Aufgaben:Aufgabe 2.6Z: Signal–zu–Rausch–Leistungsverhältnis - Versionsgeschichte

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 Hinweise:
 *Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Modulationsverfahren/Synchrondemodulation|Synchrondemodulation]].
 *Bezug genommen wird insbesondere auf die Seiten  <br> &nbsp; &nbsp;[[Modulationsverfahren/Synchrondemodulation#Berechnung_der_Rauschleistung|Berechnung der Rauschleistung]]&nbsp; sowie <br> &nbsp; &nbsp;[[Modulationsverfahren/Synchrondemodulation#Zusammenhang_zwischen_den_Leistungen_von_Quellensignal_und_Sendesignal|Zusammenhang zwischen den Leistungen von Quellensignal und Sendesignal]].
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 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; Das Leistungsdichtespektrum eines Cosinussignals mit der Amplitude&nbsp; $A$&nbsp; besteht aus zwei Diraclinien, jeweils mit Gewicht&nbsp; $A^2/4$.
+'''(1)'''&nbsp; Das Leistungsdichtespektrum eines Cosinussignals mit der Amplitude&nbsp; $A$&nbsp; besteht aus zwei Diraclinien,&nbsp; jeweils mit Gewicht&nbsp; $A^2/4$.
-*Die Leistung ergibt sich aus dem Integral über das LDS und ist somit gleich der Summe der beiden Diracgewichte.&nbsp; Mit&nbsp; $A = 4 \ \rm V$&nbsp; erhält man somit für die Leistung des Quellensignals:
+*Die Leistung ergibt sich aus dem Integral über das LDS und ist somit gleich der Summe der beiden Diracgewichte.&nbsp;
 :$$ P_q = \frac{A^2}{2} \hspace{0.15cm}\underline {= 8\,{\rm V^2}} \hspace{0.05cm}.$$
 *Beim Modulationsverfahren „ZSB-AM ohne Träger” ist dies gleichzeitig die auf den Einheitswiderstand&nbsp; $1\ \rm  Ω$&nbsp; bezogene Sendeleistung $P_{\rm S}$.
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+'''(3)'''&nbsp; Im Theorieteil wird gezeigt,&nbsp; dass bei idealen Voraussetzungen&nbsp; $v(t) = q(t)$&nbsp; gilt.&nbsp; Zu berücksichtigen ist allerdings:
-'''(3)'''&nbsp; Im Theorieteil wird gezeigt, dass bei idealen Voraussetzungen&nbsp; $v(t) = q(t)$&nbsp; gilt.&nbsp; Zu berücksichtigen ist allerdings:
+*Aus der Grafik erkennt man,&nbsp; dass&nbsp; $Z_{\rm E}(f) = Z(f)$&nbsp; gilt.&nbsp; Damit hat das empfängerseitige Trägersignal&nbsp; $z_{\rm E}(t)$&nbsp; wie&nbsp; $z(t)$&nbsp; die Amplitude&nbsp; $1$.
 *Im Idealfall müsste aber das empfängerseitige Trägersignal&nbsp; $z_{\rm E}(t)$&nbsp;  die Amplitude&nbsp;  $2$&nbsp; besitzen.
-*Deshalb gilt gilt hier $υ(t) = q(t)/2$.
+*Deshalb gilt gilt hier&nbsp; $υ(t) = q(t)/2$.
-*Berücksichtigt man weiter die Kanaldämpfung&nbsp; $α_{\rm K} = 10^{–4}$, so erhält man das Endergebnis: &nbsp; $α\hspace{0.15cm}\underline { = 0.5 · 10^{–4}}.$
+*Berücksichtigt man weiter die Kanaldämpfung&nbsp; $α_{\rm K} = 10^{–4}$,&nbsp; so erhält man das Endergebnis: &nbsp; $α\hspace{0.15cm}\underline { = 0.5 · 10^{–4}}.$
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 *Für das Leistungsdichtespektrum des Signals&nbsp; $ε(t)$&nbsp; nach dem Tiefpass erhält man eine Rechteckform mit dem gleichen Wert bei&nbsp; $f = 0$:
 :$${\it \Phi}_\varepsilon (f) = {\it \Phi}_\varepsilon \hspace{0.01cm} '(f) \cdot |H_{\rm E}(f)|^2 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} {\it \Phi}_\varepsilon (f=0)= N_0\hspace{0.15cm}\underline {= 4 \cdot 10^{-19}\,{\rm W/Hz}} \hspace{0.05cm}.$$
 '''(5)'''&nbsp;  Die Rauschleistung ist das Integral über die Rauschleistungsdichte:
 :$$ P_{\varepsilon} = \int_{-f_{\rm E}}^{ + f_{\rm E}} {{\it \Phi}_\varepsilon (f)}\hspace{0.1cm}{\rm d}f = N_0 \cdot 2 f_{\rm E} = 4 \cdot 10^{-19}\,\frac{ \rm W}{\rm  Hz} \cdot 10^{4}\,{\rm Hz} \hspace{0.15cm}\underline {= 4 \cdot 10^{-15}\,{\rm W}}\hspace{0.05cm}.$$

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 ''Hinweise:''
 *Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Modulationsverfahren/Synchrondemodulation|Synchrondemodulation]].
-*Bezug genommen wird insbesondere auf die Seiten  &nbsp;[[Modulationsverfahren/Synchrondemodulation#Berechnung_der_Rauschleistung|Berechnung der Rauschleistung]]&nbsp; sowie &nbsp;[[Modulationsverfahren/Synchrondemodulation#Zusammenhang_zwischen_den_Leistungen_von_Quellensignal_und_Sendesignal|Zusammenhang zwischen den Leistungen von Quellensignal und Sendesignal]].
+*Bezug genommen wird insbesondere auf die Seiten  <br> &nbsp; &nbsp;[[Modulationsverfahren/Synchrondemodulation#Berechnung_der_Rauschleistung|Berechnung der Rauschleistung]]&nbsp; sowie <br> &nbsp; &nbsp;[[Modulationsverfahren/Synchrondemodulation#Zusammenhang_zwischen_den_Leistungen_von_Quellensignal_und_Sendesignal|Zusammenhang zwischen den Leistungen von Quellensignal und Sendesignal]].
 *Beachten Sie bitte auch,&nbsp; dass die Größen &nbsp;$α$&nbsp; und &nbsp;$α_{\rm K}$&nbsp; nicht unbedingt gleich sein müssen.
 *Alle Leistungen mit Ausnahme der Teilaufgabe&nbsp; '''(1)'''&nbsp; beziehen sich auf den Widerstand &nbsp;$R = 50 \ \rm Ω$.

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 ''Hinweise:''
 *Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Modulationsverfahren/Synchrondemodulation|Synchrondemodulation]].
-*Bezug genommen wird insbesondere auf die Seiten  &nbsp;[[Modulationsverfahren/Synchrondemodulation#Berechnung_der_Rauschleistung|Berechnung der Rauschleistung]]&nbsp; sowie &nbsp;[[Modulationsverfahren/Synchrondemodulation#Zusammenhang_zwischen_.7F.27.22.60UNIQ-MathJax165-QINU.60.22.27.7F_und_.7F.27.22.60UNIQ-MathJax166-QINU.60.22.27.7F|Zusammenhang zwischen $P_q$ &nbsp;und&nbsp; $P_{\rm S}$]].
+*Bezug genommen wird insbesondere auf die Seiten  &nbsp;[[Modulationsverfahren/Synchrondemodulation#Berechnung_der_Rauschleistung|Berechnung der Rauschleistung]]&nbsp; sowie &nbsp;[[Modulationsverfahren/Synchrondemodulation#Zusammenhang_zwischen_den_Leistungen_von_Quellensignal_und_Sendesignal|Zusammenhang zwischen den Leistungen von Quellensignal und Sendesignal]].
 *Beachten Sie bitte auch,&nbsp; dass die Größen &nbsp;$α$&nbsp; und &nbsp;$α_{\rm K}$&nbsp; nicht unbedingt gleich sein müssen.
 *Alle Leistungen mit Ausnahme der Teilaufgabe&nbsp; '''(1)'''&nbsp; beziehen sich auf den Widerstand &nbsp;$R = 50 \ \rm Ω$.

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 Das Sinkensignal &nbsp;$v(t)$&nbsp; setzt sich aus dem Nutzanteil &nbsp;$α · q(t)$&nbsp; und dem Rauschanteil &nbsp;$ε(t)$&nbsp; zusammen.&nbsp; Somit gilt allgemein für das zu bestimmende Signal–zu–Rausch–Leistungsverhältnis:
 :$$ \rho_{v } = \frac{\alpha^2 \cdot P_q}{P_\varepsilon}\hspace{0.05cm}.$$
-Dieses wichtige Qualitätskriterium wird häufig mit&nbsp; '''SNR'''&nbsp; (englisch:&nbsp; ''Signal–to–Noise–Ratio'') abgekürzt.
+Dieses wichtige Qualitätskriterium wird häufig mit&nbsp; $\rm SNR$&nbsp; (englisch:&nbsp; "signal–to–noise power ratio") abgekürzt.
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 *Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Modulationsverfahren/Synchrondemodulation|Synchrondemodulation]].
 *Bezug genommen wird insbesondere auf die Seiten  &nbsp;[[Modulationsverfahren/Synchrondemodulation#Berechnung_der_Rauschleistung|Berechnung der Rauschleistung]]&nbsp; sowie &nbsp;[[Modulationsverfahren/Synchrondemodulation#Zusammenhang_zwischen_.7F.27.22.60UNIQ-MathJax165-QINU.60.22.27.7F_und_.7F.27.22.60UNIQ-MathJax166-QINU.60.22.27.7F|Zusammenhang zwischen $P_q$ &nbsp;und&nbsp; $P_{\rm S}$]].
-*Beachten Sie bitte auch, dass die Größen &nbsp;$α$&nbsp; und &nbsp;$α_{\rm K}$&nbsp; nicht unbedingt gleich sein müssen.
+*Beachten Sie bitte auch,&nbsp; dass die Größen &nbsp;$α$&nbsp; und &nbsp;$α_{\rm K}$&nbsp; nicht unbedingt gleich sein müssen.
 *Alle Leistungen mit Ausnahme der Teilaufgabe&nbsp; '''(1)'''&nbsp; beziehen sich auf den Widerstand &nbsp;$R = 50 \ \rm Ω$.
 *$P_q$&nbsp; gibt bei „ZSB–AM ohne Träger” gleichzeitig die Sendeleistung &nbsp;$P_{\rm S}$&nbsp; an.

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 }}
-[[Datei:P_ID1017__Mod_Z_2_6.png|right|frame|Verschiedene Leistungsdichtespektren]]
+[[Datei:P_ID1017__Mod_Z_2_6.png|right|frame|Spektren und Leistungsdichtespektren]]
 Wir gehen in dieser Aufgabe von folgenden Voraussetzungen aus:
 *ein cosinusförmiges Quellensignal:

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(kein Unterschied)

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(kein Unterschied)

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 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; Das Leistungsdichtespektrum eines Cosinussignals mit der Amplitude $A$ besteht aus zwei Diraclinien, jeweils mit Gewicht $A^2/4$. Die Leistung ergibt sich aus dem Integral über das LDS und ist somit gleich der Summe der beiden Diracgewichte. Mit $A = 4 \ \rm V$ erhält man somit für die Leistung des Quellensignals:
+'''(1)'''&nbsp; Das Leistungsdichtespektrum eines Cosinussignals mit der Amplitude&nbsp; $A$&nbsp; besteht aus zwei Diraclinien, jeweils mit Gewicht&nbsp; $A^2/4$.
 :$$ P_q = \frac{A^2}{2} \hspace{0.15cm}\underline {= 8\,{\rm V^2}} \hspace{0.05cm}.$$
-Beim Modulationsverfahren „ZSB-AM ohne Träger” ist dies gleichzeitig die auf den Einheitswiderstand $1\ \rm  Ω$ bezogene Sendeleistung $P_{\rm S}$.
+*Beim Modulationsverfahren „ZSB-AM ohne Träger” ist dies gleichzeitig die auf den Einheitswiderstand&nbsp; $1\ \rm  Ω$&nbsp; bezogene Sendeleistung $P_{\rm S}$.
 '''(2)'''&nbsp; Nach den elementaren Gesetzen der Elektrotechnik gilt:
 :$$P_q = \frac{8\,{\rm V^2}}{50\,{\Omega}} \hspace{0.15cm}\underline {= 0.16\,{\rm W}} \hspace{0.05cm}.$$
 '''(3)'''&nbsp; Im Theorieteil wird gezeigt, dass bei idealen Voraussetzungen $v(t) = q(t)$ gilt. Zu berücksichtigen ist allerdings:
 *Aus der Grafik erkennt man, dass $Z_{\rm E}(f) = Z(f)$ gilt. Damit hat das empfängerseitige Trägersignal $z_{\rm E}(t)$ wie $z(t)$ die Amplitude $1$.
-*Im Idealfall müsste aber das empfängerseitige Trägersignal $z_{\rm E}(t)$  die Amplitude  $2$ besitzen.
+'''(3)'''&nbsp; Im Theorieteil wird gezeigt, dass bei idealen Voraussetzungen&nbsp; $v(t) = q(t)$&nbsp; gilt.&nbsp; Zu berücksichtigen ist allerdings:
 *Deshalb gilt gilt hier $υ(t) = q(t)/2$.
-*Berücksichtigt man weiter die Kanaldämpfung $α_{\rm K} = 10^{–4}$, so erhält man das Endergebnis: &nbsp; $α\hspace{0.15cm}\underline { = 0.5 · 10^{–4}}.$
+*Berücksichtigt man weiter die Kanaldämpfung&nbsp; $α_{\rm K} = 10^{–4}$, so erhält man das Endergebnis: &nbsp; $α\hspace{0.15cm}\underline { = 0.5 · 10^{–4}}.$
-'''(4)'''&nbsp; Das Leistungsdichtespektrumdes Produktes $n(t) · z(t)$ ergibt sich aus der Faltung der beiden Leistungsdichtespektren von $n(t)$ und $z(t)$:
 :$$ {\it \Phi}_\varepsilon \hspace{0.01cm} '(f) = {\it \Phi}_n (f) \star {\it \Phi}_{z }(f)= \frac{N_0}{2} \star \left[\delta(f - f_{\rm T}) + \delta(f + f_{\rm T}) \right]= N_0 \hspace{0.05cm}.$$
-Für das Leistungsdichtespektrum des Signals $ε(t)$ nach dem Tiefpass erhält man eine Rechteckform mit dem gleichen Wert bei $f = 0$:
+*Für das Leistungsdichtespektrum des Signals&nbsp; $ε(t)$&nbsp; nach dem Tiefpass erhält man eine Rechteckform mit dem gleichen Wert bei&nbsp; $f = 0$:
 :$${\it \Phi}_\varepsilon (f) = {\it \Phi}_\varepsilon \hspace{0.01cm} '(f) \cdot |H_{\rm E}(f)|^2 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} {\it \Phi}_\varepsilon (f=0)= N_0\hspace{0.15cm}\underline {= 4 \cdot 10^{-19}\,{\rm W/Hz}} \hspace{0.05cm}.$$
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 '''(6)'''&nbsp; Aus den Ergebnissen der Teilaufgaben '''(2)''', '''(3)''' und '''(5)''' folgt:
 :$$\rho_{v } = \frac{\alpha^2 \cdot P_q}{P_\varepsilon} = \frac{(0.5 \cdot 10^{-4})^2 \cdot 0.16\,{\rm W}}{4 \cdot 10^{-15}\,{\rm W}} \hspace{0.15cm}\underline {= 100000} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}10 \cdot {\rm lg }\hspace{0.1cm}\rho_{v } \hspace{0.15cm}\underline {= 50\,{\rm dB}}\hspace{0.05cm}.$$

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-In der Grafik sind diese Vorgaben im Spektralbereich dargestellt. Ausdrücklich soll erwähnt werden, dass sich das Leistungsdichtespektrum &nbsp;${\it Φ}_z(f)$&nbsp; der Cosinusschwingung &nbsp;$z(t)$&nbsp; ebenso wie das Amplitudenspektrum $Z(f)$ aus zwei Diraclinien bei &nbsp;$±f_{\rm T}$&nbsp; zusammensetzt, aber mit dem Gewicht &nbsp;$A^2/4$&nbsp; anstelle von &nbsp;$A/2$. Die Amplitude ist bei dieser Aufgabe &nbsp;$A=1$&nbsp; zu setzen.
+In der Grafik sind diese Vorgaben im Spektralbereich dargestellt.&nbsp; Ausdrücklich soll erwähnt werden, dass sich das Leistungsdichtespektrum &nbsp;${\it Φ}_z(f)$&nbsp; der Cosinusschwingung &nbsp;$z(t)$&nbsp; ebenso wie das Amplitudenspektrum&nbsp; $Z(f)$&nbsp; aus zwei Diraclinien bei &nbsp;$±f_{\rm T}$&nbsp; zusammensetzt, aber mit dem Gewicht &nbsp;$A^2/4$&nbsp; anstelle von &nbsp;$A/2$.&nbsp; Die Amplitude ist bei dieser Aufgabe stets &nbsp;$A=1$&nbsp; zu setzen.
-Das Sinkensignal &nbsp;$v(t)$&nbsp; setzt sich aus dem Nutzanteil &nbsp;$α · q(t)$&nbsp; und dem Rauschanteil &nbsp;$ε(t)$&nbsp; zusammen. Somit gilt allgemein für das zu bestimmende Signal–zu–Rausch–Leistungsverhältnis:
+Das Sinkensignal &nbsp;$v(t)$&nbsp; setzt sich aus dem Nutzanteil &nbsp;$α · q(t)$&nbsp; und dem Rauschanteil &nbsp;$ε(t)$&nbsp; zusammen.&nbsp; Somit gilt allgemein für das zu bestimmende Signal–zu–Rausch–Leistungsverhältnis:
 :$$ \rho_{v } = \frac{\alpha^2 \cdot P_q}{P_\varepsilon}\hspace{0.05cm}.$$
-Dieses wichtige Qualitätskriterium wird häufig mit ''SNR'' (englisch: ''Signal–to–Noise–Ratio'') abgekürzt.
+Dieses wichtige Qualitätskriterium wird häufig mit&nbsp; '''SNR'''&nbsp; (englisch:&nbsp; ''Signal–to–Noise–Ratio'') abgekürzt.
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 *Bezug genommen wird insbesondere auf die Seiten  &nbsp;[[Modulationsverfahren/Synchrondemodulation#Berechnung_der_Rauschleistung|Berechnung der Rauschleistung]]&nbsp; sowie &nbsp;[[Modulationsverfahren/Synchrondemodulation#Zusammenhang_zwischen_.7F.27.22.60UNIQ-MathJax164-QINU.60.22.27.7F_und_.7F.27.22.60UNIQ-MathJax165-QINU.60.22.27.7F|Zusammenhang zwischen $P_q$ &nbsp;und&nbsp; $P_{\rm S}$]].
 *Beachten Sie bitte auch, dass die Größen &nbsp;$α$&nbsp; und &nbsp;$α_{\rm K}$&nbsp; nicht unbedingt gleich sein müssen.
-*Alle Leistungen mit Ausnahme der Teilaufgabe '''(1)''' beziehen sich auf den Widerstand &nbsp;$R = 50 \ \rm Ω$.
+*Alle Leistungen mit Ausnahme der Teilaufgabe&nbsp; '''(1)'''&nbsp; beziehen sich auf den Widerstand &nbsp;$R = 50 \ \rm Ω$.
 *$P_q$&nbsp; gibt bei „ZSB–AM ohne Träger” gleichzeitig die Sendeleistung &nbsp;$P_{\rm S}$&nbsp; an.
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 <quiz display=simple>
-{Berechnen Sie die Sendeleistung, bezogen auf den Einheitswiderstand &nbsp;$R = 1 \ \rm Ω$.
+{Berechnen Sie die Sendeleistung bezogen auf den Einheitswiderstand &nbsp;$R = 1 \ \rm Ω$.
 |type="{}"}
 $P_q \ = \ $ { 8 3% } $\ \rm V^2$
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-{Berechnen Sie die Leistungsdichte der Rauschkomponente &nbsp;$ε(t)$&nbsp; am Ausgang. <br>Wie groß ist der Wert bei &nbsp;$f = 0$? Es gelte &nbsp;$H_{\rm E}(f = 0) = 1$.
+{Berechnen Sie die Leistungsdichte der Rauschkomponente &nbsp;$ε(t)$&nbsp; am Ausgang.&nbsp; Wie groß ist der Wert bei &nbsp;$f = 0$?&nbsp; Es gelte &nbsp;$H_{\rm E}(f = 0) = 1$.
 |type="{}"}
 ${\it Φ}_ε(f = 0) \ = \ $ { 4 3% } $\ \cdot 10^{-19} \ \rm   W/Hz$
@@ Zeile 63: / Zeile 63: @@
-{Wie groß ist das Signal–zu–Rausch–Leistungsverhältnis (SNR) an der Sinke? Welcher dB–Wert ergibt sich daraus?
+{Wie groß ist das Signal–zu–Rausch–Leistungsverhältnis (SNR) an der Sinke?&nbsp; Welcher dB–Wert ergibt sich daraus?
 |type="{}"}
 $ρ_v \ = \ $ { 100000 3% }