Aufgaben:Aufgabe 2.6: Zweiwegekanal - Versionsgeschichte

Guenter am 6. Oktober 2021 um 09:00 Uhr

2021-10-06T09:00:00Z

Guenter am 6. Oktober 2021 um 08:47 Uhr

2021-10-06T08:47:50Z

Guenter am 29. Oktober 2019 um 14:45 Uhr

2019-10-29T14:45:56Z

Guenter am 29. Oktober 2019 um 14:32 Uhr

2019-10-29T14:32:07Z

Guenter am 10. November 2018 um 13:34 Uhr

2018-11-10T13:34:53Z

Guenter am 10. November 2018 um 13:20 Uhr

2018-11-10T13:20:28Z

Mwiki-lnt: Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

2018-05-29T12:02:45Z

Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

Guenter am 8. März 2018 um 16:11 Uhr

2018-03-08T16:11:52Z

Guenter am 8. März 2018 um 15:49 Uhr

2018-03-08T15:49:27Z

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2018-01-03T13:17:36Z

Guenter verschob die Seite 2.6 Zweiwegekanal nach Aufgabe 2.6: Zweiwegekanal

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 '''(1)'''&nbsp; Richtig sind die <u>Aussagen 1 und 2</u>:
 *Mit &nbsp;$z_1 = 1$, $T_1 = 0$, $z_2 =0$&nbsp; ist &nbsp;$h(t) = \delta(t)$&nbsp; und dementsprechend &nbsp;$H(f) = 1$, so dass stets &nbsp;$y(t) = x(t)$&nbsp; gelten wird.
-*Jede verzerrungsfreie Kanalimpulsantwort &nbsp;$h(t)$&nbsp; besteht aus einer einzigen Diracfunktion, zum Beispiel bei &nbsp;$t = T_1$.
+*Jede verzerrungsfreie Kanalimpulsantwort &nbsp;$h(t)$&nbsp; besteht aus einer einzigen Diracfunktion,&nbsp zum Beispiel bei &nbsp;$t = T_1$.
-*Dieser Fall ist im Modell durch &nbsp;$z_2 =0$&nbsp; berücksichtigt. Damit lautet der Frequenzgang:
+*Dieser Fall ist im Modell durch &nbsp;$z_2 =0$&nbsp; berücksichtigt.&nbsp; Damit lautet der Frequenzgang:
 :$$H(f)=  z_1\cdot {\rm e}^{-{\rm j}\cdot \hspace{0.05cm}2 \pi f T_1} \ \Rightarrow \ y(t) = z_1 \cdot x(t- T_1).$$
-*Dagegen wird der Kanal immer dann zu linearen Verzerrungen führen, wenn gleichzeitig &nbsp;$z_1$&nbsp; und &nbsp;$z_2$&nbsp; von Null verschieden sind.
+*Dagegen wird der Kanal immer dann zu linearen Verzerrungen führen,&nbsp; wenn gleichzeitig &nbsp;$z_1$&nbsp; und &nbsp;$z_2$&nbsp; von Null verschieden sind.
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 '''(3)'''&nbsp; Richtig ist nur die <u>erste Antwort</u>:
-*Aus&nbsp; '''(2)'''&nbsp; folgt für alle Vielfachen von &nbsp;$f_1 =1 \ \rm kHz$&nbsp; die Betragsfunktion &nbsp;$|H(f)| = 1.5$&nbsp; und die Phasenfunktion &nbsp;$b(f) \equiv 0$.
+*Aus&nbsp; '''(2)'''&nbsp; folgt für alle Vielfachen von &nbsp;$f_1 =1 \ \rm kHz$ &nbsp; &rArr; &nbsp; $f= n \cdot f_1$&nbsp; die Betragsfunktion &nbsp;$|H(f)| = 1.5$&nbsp; und die Phasenfunktion &nbsp;$b(f) \equiv 0$.
 *Damit ist für diese diskreten Frequenzwerte auch die Phasenlaufzeit jeweils Null.
 *Da aber das Spektrum &nbsp;$X_1(f)$&nbsp; des Diracpulses genau bei diesen Frequenzen Spektrallinien aufweist, gilt &nbsp;$y_1(t) = 1.5 \cdot x_1(t)$.
@@ Zeile 147: / Zeile 147: @@
 \cos(2 \pi f_3 \cdot  t - 27^\circ).$$
-Richtig ist demnach die <u>Antwort 3</u>:
+Richtig ist demnach die&nbsp; <u>Antwort 3</u>:
-*Es gibt also Phasenverzerrungen, obwohl für beide Schwingungen &nbsp;$\varphi_2 = \varphi_3= 27^\circ$&nbsp; gilt.
+*Es gibt also Phasenverzerrungen, obwohl für beide Schwingungen die gleichen Phasenwerte &nbsp;$\varphi_2 = \varphi_3= 27^\circ$&nbsp; gelten.
 *Damit keine Phasenverzerrungen auftreten, müssten
 **die Phasenlaufzeiten $\tau_2$ und $\tau_3$  gleich sein, und

@@ Zeile 9: / Zeile 9: @@
 *Bis auf wenige Kombinationen der Systemparameter&nbsp; $z_1$,&nbsp; $T_1$,&nbsp; $z_2$&nbsp; und&nbsp;  $T_2$&nbsp; wird dieser Kanal zu linearen Verzerrungen führen.
-* Man spricht nur dann von einem verzerrungsfreien Kanal, wenn durch ihn kein einziges Eingangssignal verzerrt wird.  Das bedeutet: &nbsp; Auch bei verzerrendem Kanal kann es Sonderfälle geben, bei denen tatsächlich&nbsp; $y(t) = \alpha \cdot x(t - \tau)$&nbsp; gilt.
+* Man spricht nur dann von einem verzerrungsfreien Kanal, wenn durch ihn kein einziges Eingangssignal verzerrt wird.
 Als Testsignale werden an den Systemeingang angelegt:
-* ein&nbsp; [[Signaldarstellung/Zeitdiskrete_Signaldarstellung#Diracpuls_im_Zeit-_und_im_Frequenzbereich|Diracpuls]]&nbsp; $x_1(t)$&nbsp; im Zeitabstand&nbsp; $T_0 = 1 \ \rm ms$, dessen Spektralfunktion&nbsp; $X_1(f)$&nbsp; ebenfalls ein Diracpuls ist, und zwar mit Abstand&nbsp; $f_0 = 1/T_0 = 1 \ \rm kHz$:
+* ein&nbsp; [[Signaldarstellung/Zeitdiskrete_Signaldarstellung#Diracpuls_im_Zeit-_und_im_Frequenzbereich|Diracpuls]]&nbsp; $x_1(t)$&nbsp; im Zeitabstand&nbsp; $T_0 = 1 \ \rm ms$, dessen Spektralfunktion&nbsp; $X_1(f)$&nbsp; ebenfalls ein Diracpuls ist, <br>und zwar mit Abstand&nbsp; $f_0 = 1/T_0 = 1 \ \rm kHz$:
 :$$x_1(t) = \sum_{n = - \infty}^{+\infty} \delta ( t - n \cdot T_0) ,\hspace{0.5cm} X_1(f) = T_0 \cdot \sum_{k = - \infty}^{+\infty} \delta ( f - k
 \cdot f_0) ,$$
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 Hinweise:
 *Die Aufgabe gehört zum Kapitel&nbsp;  [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Lineare_Verzerrungen|Lineare Verzerrungen]].
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-{Es gelte&nbsp; $\big[z_1 = 1$,&nbsp; $T_1 = 0$,&nbsp; $z_2 =0.5$,&nbsp;  $T_2 = 1 \ \rm ms\big ]$.&nbsp; Berechnen Sie den Frequenzgang&nbsp; $H(f)$&nbsp; dieses Kanals. <br>Welche Werte gibt es bei Vielfachen von&nbsp; $1 \ \rm kHz$?
+{Es gelte&nbsp; $\big[z_1 = 1$,&nbsp; $T_1 = 0$,&nbsp; $z_2 =0.5$,&nbsp;  $T_2 = 1 \ \rm ms\big ]$.&nbsp; Berechnen Sie den Frequenzgang&nbsp; $H(f)$&nbsp; dieses Kanals.&nbsp; <br>Welche Werte gibt es bei Vielfachen von&nbsp; $1 \ \rm kHz$?
 |type="{}"}
 ${\rm Re}\big[H(f = n \cdot 1 \ {\rm kHz})\big] \ = \ $ { 1.5 3% }

@@ Zeile 82: / Zeile 82: @@
 :$$H(f)=  z_1\cdot {\rm e}^{-{\rm j}\cdot \hspace{0.05cm}2 \pi f T_1} \ \Rightarrow \ y(t) = z_1 \cdot x(t- T_1).$$
 *Dagegen wird der Kanal immer dann zu linearen Verzerrungen führen, wenn gleichzeitig &nbsp;$z_1$&nbsp; und &nbsp;$z_2$&nbsp; von Null verschieden sind.
@@ Zeile 88: / Zeile 89: @@
    .$$
-Mit &nbsp;$z_1 = 1$, $T_1 = 0$, $z_2 =0.5$&nbsp; und  &nbsp;$T_2 = 1 \ \rm ms$&nbsp; erhält man daraus:
+*Mit &nbsp;$z_1 = 1$, $T_1 = 0$, $z_2 =0.5$&nbsp; und  &nbsp;$T_2 = 1 \ \rm ms$&nbsp; erhält man daraus:
 :$$H(f) =1 + 0.5 \cdot {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}2 \pi f T_2}.$$
-Aufgeschlüsselt nach Real&ndash; und Imaginärteil liefert dies:
+*Aufgeschlüsselt nach Real&ndash; und Imaginärteil liefert dies:
 :$${\rm Re}\big[H(f)\big] = 1 + 0.5 \cdot \cos(2 \pi f \cdot 1\,{\rm  ms}) \ \Rightarrow \ \underline{{\rm Re}[H(f = f_1 =1 \ \rm kHz)] = 1.5}, $$
 :$${\rm Im}\big[H(f)\big] = -0.5 \cdot \sin(2 \pi f \cdot 1\,{\rm  ms}) \ \Rightarrow \ \underline{{\rm Im}\big[H(f = f_1 =1 \ \rm kHz)\big] = 0}, $$
@@ Zeile 97: / Zeile 98: @@
 '''(3)'''&nbsp; Richtig ist nur die <u>erste Antwort</u>:
-*Aus '''(2)''' folgt für alle Vielfachen von &nbsp;$f_1 =1 \ \rm kHz$&nbsp; die Betragsfunktion &nbsp;$|H(f)| = 1.5$&nbsp; und die Phasenfunktion &nbsp;$b(f) \equiv 0$.
+*Aus&nbsp; '''(2)'''&nbsp; folgt für alle Vielfachen von &nbsp;$f_1 =1 \ \rm kHz$&nbsp; die Betragsfunktion &nbsp;$|H(f)| = 1.5$&nbsp; und die Phasenfunktion &nbsp;$b(f) \equiv 0$.
 *Damit ist für diese diskreten Frequenzwerte auch die Phasenlaufzeit jeweils Null.
 *Da aber das Spektrum &nbsp;$X_1(f)$&nbsp; des Diracpulses genau bei diesen Frequenzen Spektrallinien aufweist, gilt &nbsp;$y_1(t) = 1.5 \cdot x_1(t)$.
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    = \sqrt{1.25 +  \cos(2 \pi f \cdot T_2) }.$$
-Für die Frequenz &nbsp;$f_2 =0.25 \ \rm kHz$&nbsp; erhält man somit:
+*Für die Frequenz &nbsp;$f_2 =0.25 \ \rm kHz$&nbsp; erhält man somit:
 :$$|H(f)| = \sqrt{1.25 +  \cos(\frac{\pi}{2} ) }= \sqrt{1.25} = 1.118.$$
-Die Phasenfunktion lautet allgemein bzw. bei der Frequenz $f_2 =0.25 \ \rm kHz$:
+*Die Phasenfunktion lautet allgemein bzw. bei der Frequenz&nbsp; $f_2 =0.25 \ \rm kHz$:
 :$$b(f) = - {\rm arctan}\hspace{0.1cm}\frac{{\rm Im}[H(f)]}{{\rm
 Re}[H(f)]} = - {\rm arctan}\hspace{0.1cm}\frac{-0.5 \cdot \sin(2
@@ Zeile 119: / Zeile 120: @@
 arctan}\hspace{0.1cm}\frac{0.5}{1} = 0.464.$$
-Damit beträgt die Phasenlaufzeit für diese Frequenz:
+*Damit beträgt die Phasenlaufzeit für diese Frequenz:
 :$$\tau_2 = \frac {b(f_2)}{2 \pi f_2}  = \frac {0.464}{2 \pi \cdot
 .25\,{\rm  kHz}} \approx 0.3\,{\rm  ms},$$
-und es gilt für das Ausgangssignal:
+* Für das Ausgangssignal gilt somit:
 :$$y_2(t) = 1.118 \cdot \cos(2 \pi \cdot 0.25\,{\rm  kHz}\cdot (t -
 .3\,{\rm  ms})).$$
-Der Signalwert zum Nullzeitpunkt ist somit:
+*Der Signalwert zum Nullzeitpunkt ist somit:
 :$$y_2(t=0) = 1.118 \cdot \cos(-2 \pi \cdot 0.25\,{\rm  kHz} \cdot
 .3\,{\rm  ms}) \approx 1.118 \cdot  0.891 \hspace{0.15cm}\underline{= 0.996}.$$
@@ Zeile 134: / Zeile 135: @@
 '''(5)'''&nbsp; Beide Frequenzen haben den gleichen Dämpfungsfaktor &nbsp;$\alpha = 1.118$&nbsp;, daher sind keine Dämpfungsverzerrungen festzustellen.
-Mit &nbsp;$f_3 = 1.25 \ \rm kHz$&nbsp; und &nbsp;$T_2 = 1 \ \rm ms$&nbsp; ergibt sich für die Phasenfunktion:
+*Mit &nbsp;$f_3 = 1.25 \ \rm kHz$&nbsp; und &nbsp;$T_2 = 1 \ \rm ms$&nbsp; ergibt sich für die Phasenfunktion:
 :$$b(f = f_3)  = - {\rm arctan}\hspace{0.1cm}\frac{-0.5 \cdot \sin(
 .5 \pi)}{1+0.5 \cdot \cos(2.5 \pi)}= 0.464 = b(f = f_2),$$
-also genau der gleiche Wert wie bei der Frequenz &nbsp;$f_2 = 0.25 \ \rm kHz$. Trotzdem kommt es aber nun zu Phasenverzerrungen, da für &nbsp;$f_3$&nbsp; die Phasenlaufzeit nur mehr &nbsp;$\tau  = 60 \  &micro; \rm s$&nbsp; beträgt.
+:also genau der gleiche Wert wie bei der Frequenz &nbsp;$f_2 = 0.25 \ \rm kHz$.
-Für das Ausgangssignal kann also geschrieben werden:
+*Für das Ausgangssignal kann also geschrieben werden:
 :$$y_3(t) = 1.118 \cdot \cos(2 \pi f_2 \cdot (t - 0.3\,{\rm  ms}) +
 .118

@@ Zeile 4: / Zeile 4: @@
 [[Datei:P_ID912__LZI_A_2_6.png|right|frame|Impulsantwort des Zweiwegekanals]]
-Der so genannte Zweiwegekanal wird durch folgende Impulsantwort charakterisiert (mit $T_1 < T_2$):
+Der so genannte Zweiwegekanal wird durch folgende Impulsantwort charakterisiert&nbsp; $($mit&nbsp; $T_1 < T_2)$:
 :$$h(t) = z_1 \cdot \delta ( t - T_1) + z_2 \cdot \delta (
 t - T_2).$$
-*Bis auf wenige Kombinationen der Systemparameter $z_1$, $T_1$, $z_2$ und  $T_2$ wird dieser Kanal zu linearen Verzerrungen führen.
+*Bis auf wenige Kombinationen der Systemparameter&nbsp; $z_1$,&nbsp; $T_1$,&nbsp; $z_2$&nbsp; und&nbsp;  $T_2$&nbsp; wird dieser Kanal zu linearen Verzerrungen führen.
-* Man spricht nur dann von einem verzerrungsfreien Kanal, wenn durch ihn kein einziges Eingangssignal verzerrt wird.  Das bedeutet: &nbsp; Auch bei verzerrendem Kanal kann es Sonderfälle geben, bei denen tatsächlich $y(t) = \alpha \cdot x(t - \tau)$ gilt.
+* Man spricht nur dann von einem verzerrungsfreien Kanal, wenn durch ihn kein einziges Eingangssignal verzerrt wird.  Das bedeutet: &nbsp; Auch bei verzerrendem Kanal kann es Sonderfälle geben, bei denen tatsächlich&nbsp; $y(t) = \alpha \cdot x(t - \tau)$&nbsp; gilt.
 Als Testsignale werden an den Systemeingang angelegt:
-* ein [[Signaldarstellung/Zeitdiskrete_Signaldarstellung#Diracpuls_im_Zeit-_und_im_Frequenzbereich|Diracpuls]] $x_1(t)$ im Zeitabstand $T_0 = 1 \ \rm ms$, dessen Spektralfunktion ebenfalls ein Diracpuls ist, und zwar mit Abstand $f_0 = 1/T_0 = 1 \ \rm kHz$:
+* ein&nbsp; [[Signaldarstellung/Zeitdiskrete_Signaldarstellung#Diracpuls_im_Zeit-_und_im_Frequenzbereich|Diracpuls]]&nbsp; $x_1(t)$&nbsp; im Zeitabstand&nbsp; $T_0 = 1 \ \rm ms$, dessen Spektralfunktion&nbsp; $X_1(f)$&nbsp; ebenfalls ein Diracpuls ist, und zwar mit Abstand&nbsp; $f_0 = 1/T_0 = 1 \ \rm kHz$:
 :$$x_1(t) = \sum_{n = - \infty}^{+\infty} \delta ( t - n \cdot T_0) ,\hspace{0.5cm} X_1(f) = T_0 \cdot \sum_{k = - \infty}^{+\infty} \delta ( f - k
 \cdot f_0) ,$$
-* ein Cosinussignal mit der Frequenz $f_2 = 250 \ \rm Hz$:
+* ein Cosinussignal mit der Frequenz&nbsp; $f_2 = 250 \ \rm Hz$:
 :$$x_2(t) =   \cos(2 \pi \cdot f_2 \cdot  t) ,$$
-* die Summe zweier Cosinussignale mit den Frequenzen $f_2 = 250 \ \rm Hz$ und $f_3 = 1250 \ \rm Hz$:
+* die Summe zweier Cosinussignale mit den Frequenzen&nbsp; $f_2 = 250 \ \rm Hz$&nbsp; und&nbsp; $f_3 = 1250 \ \rm Hz$:
 :$$x_3(t)  = \cos(2 \pi \cdot f_2 \cdot  t) +   \cos(2 \pi \cdot f_3 \cdot  t) .$$
@@ Zeile 30: / Zeile 33: @@
 *Die Aufgabe gehört zum Kapitel&nbsp;  [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Lineare_Verzerrungen|Lineare Verzerrungen]].
-*Um Ihnen einige Rechnungen zu ersparen, wird das Ergebnis für den Parametersatz $z_1 = 1$, $T_1 = 0$, $z_2 =0.5$,  $T_2 = 1 \ \rm ms$ angegeben:
+*Um Ihnen Rechnungen zu ersparen, geben wir das Ergebnis für den Parametersatz&nbsp; $\big [z_1 = 1$,&nbsp; $T_1 = 0$,&nbsp; $z_2 =0.5$,&nbsp;  $T_2 = 1 \ \rm ms\big ]$&nbsp; an:
 :$$|H(f = f_2)| = |H(f = f_3)| = \sqrt{1.25}   \approx 1.118, \; \; \; \;  b(f = f_2) = b(f = f_3) = \arctan (0.5)  \approx  0.464.$$
@@ Zeile 39: / Zeile 42: @@
 {Welche der folgenden Aussagen sind zutreffend?
 |type="[]"}
-+ Der Parametersatz $\big[z_1 = 1$, $T_1 = 0$, $z_2 =0 \big]$ ist der einzig mögliche zur Beschreibung des idealen Kanals.
++ Der Parametersatz&nbsp;  $\big[z_1 = 1$, $T_1 = 0$, $z_2 =0 \big]$&nbsp;  ist der einzig mögliche zur Beschreibung des idealen Kanals.
-+ Jeder verzerrungsfreie Kanal wird durch die beiden Kombinationen $\big[z_1 \ne 0, \; z_2 = 0 \big]$ bzw. $\big[z_1 = 0, \; z_2 \ne 0 \big]$ erfasst.
++ Jeder verzerrungsfreie Kanal wird durch die beiden Kombinationen&nbsp;  $\big[z_1 \ne 0, \; z_2 = 0 \big]$&nbsp;  bzw.&nbsp;  $\big[z_1 = 0, \; z_2 \ne 0 \big]$&nbsp;  erfasst.
-- Die Werte $\big[z_1 \ne 0\big]$ und $\big[z_2 \ne 0\big]$ führen zu einem verzerrungsfreien Kanal, wenn $T_1$ und $T_2$ bestmöglich angepasst sind.
+- Die Werte&nbsp;  $\big[z_1 \ne 0\big]$&nbsp; und&nbsp;  $\big[z_2 \ne 0\big]$&nbsp; führen zu einem verzerrungsfreien Kanal, wenn&nbsp; $T_1$&nbsp; und&nbsp; $T_2$&nbsp; bestmöglich angepasst sind.
-{Es gelte $z_1 = 1$, &nbsp; $T_1 = 0$, &nbsp;$z_2 =0.5$ und  $T_2 = 1 \ \rm ms$. Berechnen Sie den Frequenzgang $H(f)$ dieses Kanals. <br>Welche Werte gibt es bei Vielfachen von $1 \ \rm kHz$?
+{Es gelte&nbsp; $\big[z_1 = 1$,&nbsp; $T_1 = 0$,&nbsp; $z_2 =0.5$,&nbsp;  $T_2 = 1 \ \rm ms\big ]$.&nbsp; Berechnen Sie den Frequenzgang&nbsp; $H(f)$&nbsp; dieses Kanals. <br>Welche Werte gibt es bei Vielfachen von&nbsp; $1 \ \rm kHz$?
 |type="{}"}
 ${\rm Re}\big[H(f = n \cdot 1 \ {\rm kHz})\big] \ = \ $ { 1.5 3% }
@@ Zeile 50: / Zeile 53: @@
-{Am Eingang des Systems mit gleichen Parametern wie in der Teilaufgabe '''(2)''' liegt nun der Diracpuls nbsp;$x_1(t)$nbsp;  an. <br>Welche Aussagen treffen für das Ausgangssignal &nbsp;$y_1(t)$&nbsp; zu?
+{Am Eingang des Systems mit gleichen Parametern wie in Teilaufgabe&nbsp; '''(2)'''&nbsp; liegt nun der Diracpuls &nbsp;$x_1(t)$&nbsp;  an. <br>Welche Aussagen treffen für das Ausgangssignal &nbsp;$y_1(t)$&nbsp; zu?
 |type="[]"}
 + $y_1(t)$&nbsp;  ist gegenüber &nbsp;$x_1(t)$&nbsp;  um eine Konstante gedämpft/verstärkt.
 - $y_1(t)$&nbsp;  ist gegenüber &nbsp;$x_1(t)$&nbsp; verschoben.
-- $y_1(t)$ &nbsp; weist gegenüber &nbsp;$x_1(t)$&nbsp; Verzerrungen auf.
+- $y_1(t)$&nbsp; weist gegenüber &nbsp;$x_1(t)$&nbsp; Verzerrungen auf.
-{Berechnen Sie das Signal &nbsp;$y_2(t)$&nbsp; als Systemantwort auf das Cosinussignal &nbsp;$x_2(t)$. Welcher Signalwert tritt zum Zeitpunkt &nbsp;$t = 0$&nbsp; auf?
+{Berechnen Sie das Signal &nbsp;$y_2(t)$&nbsp; als Systemantwort auf das Cosinussignal &nbsp;$x_2(t)$. &nbsp; Welcher Signalwert tritt zum Zeitpunkt &nbsp;$t = 0$&nbsp; auf?
 |type="{}"}
 $y_2(t = 0) \ = \ $  { 0.996 3% }

@@ Zeile 73: / Zeile 73: @@
 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; Richtig sind dieh <u>Aussagen 1 und 2</u>:
+'''(1)'''&nbsp; Richtig sind die <u>Aussagen 1 und 2</u>:
-*Mit $z_1 = 1$, $T_1 = 0$, $z_2 =0$ ist $h(t) = \delta(t)$ und dementsprechend $H(f) = 1$, so dass stets $y(t) = x(t)$ gelten wird.
+*Mit &nbsp;$z_1 = 1$, $T_1 = 0$, $z_2 =0$&nbsp; ist &nbsp;$h(t) = \delta(t)$&nbsp; und dementsprechend &nbsp;$H(f) = 1$, so dass stets &nbsp;$y(t) = x(t)$&nbsp; gelten wird.
-*Jede verzerrungsfreie Kanalimpulsantwort $h(t)$ besteht aus einer einzigen Diracfunktion, zum Beispiel bei $t = T_1$.
+*Jede verzerrungsfreie Kanalimpulsantwort &nbsp;$h(t)$&nbsp; besteht aus einer einzigen Diracfunktion, zum Beispiel bei &nbsp;$t = T_1$.
-*Dieser Fall ist im Modell durch $z_2 =0$ berücksichtigt. Damit lautet der Frequenzgang:
+*Dieser Fall ist im Modell durch &nbsp;$z_2 =0$&nbsp; berücksichtigt. Damit lautet der Frequenzgang:
 :$$H(f)=  z_1\cdot {\rm e}^{-{\rm j}\cdot \hspace{0.05cm}2 \pi f T_1} \ \Rightarrow \ y(t) = z_1 \cdot x(t- T_1).$$
-*Dagegen wird der Kanal immer dann zu linearen Verzerrungen führen, wenn gleichzeitig $z_1$ und $z_2$ von Null verschieden sind.
+*Dagegen wird der Kanal immer dann zu linearen Verzerrungen führen, wenn gleichzeitig &nbsp;$z_1$&nbsp; und &nbsp;$z_2$&nbsp; von Null verschieden sind.
-'''(2)'''&nbsp; Die Fouriertransformation der Impulsantwort $h(t)$ führt auf die Gleichung:
+'''(2)'''&nbsp; Die Fouriertransformation der Impulsantwort &nbsp;$h(t)$&nbsp; führt auf die Gleichung:
 :$$H(f) =  z_1\cdot {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}2 \pi f T_1}+ z_2\cdot {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}2 \pi f T_2}
    .$$
-Mit $z_1 = 1$, $T_1 = 0$, $z_2 =0.5$ und  $T_2 = 1 \ \rm ms$ erhält man daraus:
+Mit &nbsp;$z_1 = 1$, $T_1 = 0$, $z_2 =0.5$&nbsp; und  &nbsp;$T_2 = 1 \ \rm ms$&nbsp; erhält man daraus:
 :$$H(f) =1 + 0.5 \cdot {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}2 \pi f T_2}.$$
 Aufgeschlüsselt nach Real&ndash; und Imaginärteil liefert dies:
-:$${\rm Re}[H(f)] = 1 + 0.5 \cdot \cos(2 \pi f \cdot 1\,{\rm  ms}) \ \Rightarrow \ \underline{{\rm Re}[H(f = f_1 =1 \ \rm kHz)] = 1.5}, $$
+:$${\rm Re}\big[H(f)\big] = 1 + 0.5 \cdot \cos(2 \pi f \cdot 1\,{\rm  ms}) \ \Rightarrow \ \underline{{\rm Re}[H(f = f_1 =1 \ \rm kHz)] = 1.5}, $$
-:$${\rm Im}[H(f)] = -0.5 \cdot \sin(2 \pi f \cdot 1\,{\rm  ms}) \ \Rightarrow \ \underline{{\rm Im}[H(f = f_1 =1 \ \rm kHz)] = 0}, $$
+:$${\rm Im}\big[H(f)\big] = -0.5 \cdot \sin(2 \pi f \cdot 1\,{\rm  ms}) \ \Rightarrow \ \underline{{\rm Im}\big[H(f = f_1 =1 \ \rm kHz)\big] = 0}, $$
 '''(3)'''&nbsp; Richtig ist nur die <u>erste Antwort</u>:
-*Aus dem Ergebnis zu (2) folgt für alle Vielfachen von $f_1 =1 \ \rm kHz$ die Betragsfunktion $|H(f)| = 1.5$ und die Phasenfunktion $b(f) = 0$.
+*Aus '''(2)''' folgt für alle Vielfachen von &nbsp;$f_1 =1 \ \rm kHz$&nbsp; die Betragsfunktion &nbsp;$|H(f)| = 1.5$&nbsp; und die Phasenfunktion &nbsp;$b(f) \equiv 0$.
-*Damit ist für diese diskreten Frequenzwerte auch die Phasenlaufzeit jeweils $0$.
+*Damit ist für diese diskreten Frequenzwerte auch die Phasenlaufzeit jeweils Null.
-*Da aber das Spektrum $X_1(f)$ des Diracpulses genau bei diesen Frequenzen Spektrallinien aufweist, gilt $y_1(t) = 1.5 \cdot x_1(t)$.
+*Da aber das Spektrum &nbsp;$X_1(f)$&nbsp; des Diracpulses genau bei diesen Frequenzen Spektrallinien aufweist, gilt &nbsp;$y_1(t) = 1.5 \cdot x_1(t)$.
@@ Zeile 104: / Zeile 105: @@
    = \sqrt{1.25 +  \cos(2 \pi f \cdot T_2) }.$$
-Für die Frequenz $f_2 =0.25 \ \rm kHz$ erhält man somit:
+Für die Frequenz &nbsp;$f_2 =0.25 \ \rm kHz$&nbsp; erhält man somit:
 :$$|H(f)| = \sqrt{1.25 +  \cos(\frac{\pi}{2} ) }= \sqrt{1.25} = 1.118.$$
@@ Zeile 128: / Zeile 129: @@
-'''(5)'''&nbsp; Beide Frequenzen werden mit dem gleichen Dämpfungsfaktor $\alpha = 1.118$ beaufschlagt; daher sind keine Dämpfungsverzerrungen festzustellen.
+'''(5)'''&nbsp; Beide Frequenzen haben den gleichen Dämpfungsfaktor &nbsp;$\alpha = 1.118$&nbsp;, daher sind keine Dämpfungsverzerrungen festzustellen.
-Mit $f_3 = 1.25 \ \rm kHz$ und $T_2 = 1 \ \rm ms$ ergibt sich für die Phasenfunktion:
+Mit &nbsp;$f_3 = 1.25 \ \rm kHz$&nbsp; und &nbsp;$T_2 = 1 \ \rm ms$&nbsp; ergibt sich für die Phasenfunktion:
 :$$b(f = f_3)  = - {\rm arctan}\hspace{0.1cm}\frac{-0.5 \cdot \sin(
 .5 \pi)}{1+0.5 \cdot \cos(2.5 \pi)}= 0.464 = b(f = f_2),$$
-also genau der gleiche Wert wie bei der Frequenz $f_2 = 0.25 \ \rm kHz$. Trotzdem kommt es aber nun zu Phasenverzerrungen, da für $f_3$ die Phasenlaufzeit nur mehr $\tau  = 60 \  &mu; \rm s$ beträgt.
+also genau der gleiche Wert wie bei der Frequenz &nbsp;$f_2 = 0.25 \ \rm kHz$. Trotzdem kommt es aber nun zu Phasenverzerrungen, da für &nbsp;$f_3$&nbsp; die Phasenlaufzeit nur mehr &nbsp;$\tau  = 60 \  &micro; \rm s$&nbsp; beträgt.
 Für das Ausgangssignal kann also geschrieben werden:
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 \cos(2 \pi f_3 \cdot  t - 27^\circ).$$
-Richtig ist also die <u>Antwort 3</u>:
+Richtig ist demnach die <u>Antwort 3</u>:
-*Es gibt also Phasenverzerrungen, obwohl für beide Schwingungen $\varphi_2 = \varphi_3= 27^\circ$ gilt.
+*Es gibt also Phasenverzerrungen, obwohl für beide Schwingungen &nbsp;$\varphi_2 = \varphi_3= 27^\circ$&nbsp; gilt.
 *Damit keine Phasenverzerrungen auftreten, müssten
 **die Phasenlaufzeiten $\tau_2$ und $\tau_3$  gleich sein, und
-**die Phasenwerte $\varphi_2$ und $\varphi_3$ linear mit den zugehörigen Frequenzen ansteigen.
+**die Phasenwerte &nbsp;$\varphi_2$&nbsp; und &nbsp;$\varphi_3$&nbsp; linear mit den zugehörigen Frequenzen ansteigen.
 {{ML-Fuß}}

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 ''Hinweise:''
 *Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Lineare_Verzerrungen|Lineare Verzerrungen]].
-*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes &bdquo;0&rdquo; erforderlich sein, so geben Sie bitte &bdquo;0.&rdquo; ein.
 *Um Ihnen einige Rechnungen zu ersparen, wird das Ergebnis für den Parametersatz $z_1 = 1$, $T_1 = 0$, $z_2 =0.5$,  $T_2 = 1 \ \rm ms$ angegeben:
 :$$|H(f = f_2)| = |H(f = f_3)| = \sqrt{1.25}   \approx 1.118, \; \; \; \;  b(f = f_2) = b(f = f_3) = \arctan (0.5)  \approx  0.464.$$

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 }}
-[[Datei:P_ID912__LZI_A_2_6.png|right|Zweiwegekanal]]
+[[Datei:P_ID912__LZI_A_2_6.png|right|frame|Impulsantwort des Zweiwegekanals]]
 Der so genannte Zweiwegekanal wird durch folgende Impulsantwort charakterisiert (mit $T_1 < T_2$):
-$$h(t) = z_1 \cdot \delta ( t - T_1) + z_2 \cdot \delta (
+:$$h(t) = z_1 \cdot \delta ( t - T_1) + z_2 \cdot \delta (
 t - T_2).$$
 *Bis auf wenige Kombinationen der Systemparameter $z_1$, $T_1$, $z_2$ und  $T_2$ wird dieser Kanal zu linearen Verzerrungen führen.
-* Man spricht nur dann von einem verzerrungsfreien Kanal, wenn durch ihn kein einziges Eingangssignal verzerrt wird.
+* Man spricht nur dann von einem verzerrungsfreien Kanal, wenn durch ihn kein einziges Eingangssignal verzerrt wird.  Das bedeutet:
-*Das bedeutet: Auch bei einem verzerrenden Kanal kann es Sonderfälle geben, bei denen tatsächlich $y(t) = \alpha \cdot x(t - \tau)$ gilt.
+*Auch bei verzerrendem Kanal kann es Sonderfälle geben, bei denen tatsächlich $y(t) = \alpha \cdot x(t - \tau)$ gilt.
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 * die Summe zweier Cosinussignale mit den Frequenzen $f_2 = 250 \ \rm Hz$ und $f_3 = 1250 \ \rm Hz$:
 :$$x_3(t)  = \cos(2 \pi \cdot f_2 \cdot  t) +   \cos(2 \pi \cdot f_3 \cdot  t) .$$
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 *Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Lineare_Verzerrungen|Lineare Verzerrungen]].
 *Sollte die Eingabe des Zahlenwertes &bdquo;0&rdquo; erforderlich sein, so geben Sie bitte &bdquo;0.&rdquo; ein.
-*Um Ihnen einige Rechnungen zu ersparen, wird folgendes Ergebnis für den Parametersatz $z_1 = 1$, $T_1 = 0$, $z_2 =0.5$ und  $T_2 = 1 \ \rm ms$ vorweggenommen:
+*Um Ihnen einige Rechnungen zu ersparen, wird das Ergebnis für den Parametersatz $z_1 = 1$, $T_1 = 0$, $z_2 =0.5$,  $T_2 = 1 \ \rm ms$ angegeben:
-$$|H(f = f_2)| = |H(f = f_3)| = \sqrt{1.25}   \approx 1.118, \; \; \; \;  b(f = f_2) = b(f = f_3) = \arctan (0.5)  \approx  0.464.$$
+:$$|H(f = f_2)| = |H(f = f_3)| = \sqrt{1.25}   \approx 1.118, \; \; \; \;  b(f = f_2) = b(f = f_3) = \arctan (0.5)  \approx  0.464.$$
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 <quiz display=simple>
-{Welche der nachfolgenden Aussagen sind zutreffend?
+{Welche der folgenden Aussagen sind zutreffend?
 |type="[]"}
-+ Der Parametersatz &bdquo;$z_1 = 1$, $T_1 = 0$, $z_2 =0$&rdquo; ist der einzig mögliche zur Beschreibung des idealen Kanals.
++ Der Parametersatz $[z_1 = 1$, $T_1 = 0$, $z_2 =0]$ ist der einzig mögliche zur Beschreibung des idealen Kanals.
-+ Jeder verzerrungsfreie Kanal wird durch die beiden Kombinationen &bdquo;$z_1 \ne 0, \; z_2 = 0 $&rdquo; bzw. &bdquo;&bdquo;$z_1 = 0, \; z_2 \ne 0 $&rdquo;
++ Jeder verzerrungsfreie Kanal wird durch die beiden Kombinationen $[z_1 \ne 0, \; z_2 = 0 ]$ bzw. $[z_1 = 0, \; z_2 \ne 0 ]$ erfasst.
-- Die Werte &bdquo;$z_1 \ne 0$&rdquo; und &bdquo;$z_2 \ne 0$&rdquo; führen zu einem verzerrungsfreien Kanal, wenn $T_1$ und $T_2$ bestmöglich angepasst sind.
+- Die Werte $[z_1 \ne 0]$ und $[z_2 \ne 0]$ führen zu einem verzerrungsfreien Kanal, wenn $T_1$ und $T_2$ bestmöglich angepasst sind.
-{Es gelte $z_1 = 1$, $T_1 = 0$, $z_2 =0.5$ und  $T_2 = 1 \ \rm ms$. Berechnen Sie den Frequenzgang $H(f)$ dieses Kanals. Welche Werte gibt es bei Vielfachen von $1 \ \rm kHz$?
+{Es gelte $z_1 = 1$, $T_1 = 0$, $z_2 =0.5$ und  $T_2 = 1 \ \rm ms$. Berechnen Sie den Frequenzgang $H(f)$ dieses Kanals. <br>Welche Werte gibt es bei Vielfachen von $1 \ \rm kHz$?
 |type="{}"}
-${\rm Re}[H(f = n \cdot 1 \ {\rm kHz})] \ =$ { 1.5 3% }
+${\rm Re}[H(f = n \cdot 1 \ {\rm kHz})] \ = \ $ { 1.5 3% }
-${\rm Im}[H(f = n \cdot 1 \ {\rm kHz})] \ =$ { 0. }
+${\rm Im}[H(f = n \cdot 1 \ {\rm kHz})] \ = \ $ { 0. }
-{Am Eingang des Systems mit gleichen Parametern wie in der Teilaufgabe (2) liegt nun der Diracpuls $x_1(t)$  an. Welche Aussagen treffen für das Ausgangssignal $y_1(t)$ zu?
+{Am Eingang des Systems mit gleichen Parametern wie in der Teilaufgabe (2) liegt nun der Diracpuls $x_1(t)$  an. <br>Welche Aussagen treffen für das Ausgangssignal $y_1(t)$ zu?
 |type="[]"}
 + $y_1(t)$  ist gegenüber $x_1(t)$  um eine Konstante gedämpft/verstärkt.
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 {Berechnen Sie das Signal $y_2(t)$ als Systemantwort auf das Cosinussignal $x_2(t)$. Welcher Signalwert tritt zum Zeitpunkt $t = 0$ auf?
 |type="{}"}
-$y_2(t = 0) \ =$  { 0.996 3% }
+$y_2(t = 0) \ = \ $  { 0.996 3% }
-{Welche Aussagen treffen bezüglich der Signale <i>x</i><sub>3</sub>(<i>t</i>) und <i>y</i><sub>3</sub>(<i>t</i>) zu?
+{Welche Aussagen treffen bezüglich der Signale $x_3(t)$ und $y_3(t)$ zu?
 |type="[]"}
 - $y_3(t)$ weist gegenüber $x_3(t)$ keine Verzerrungen auf.

← Nächstältere Version	Version vom 3. Januar 2018, 13:17 Uhr
(kein Unterschied)