Aufgaben:Aufgabe 2.6: Komplexe Fourierreihe - Versionsgeschichte

Guenter am 16. April 2021 um 09:22 Uhr

2021-04-16T09:22:53Z

Guenter am 16. April 2021 um 09:17 Uhr

2021-04-16T09:17:56Z

Guenter am 3. September 2019 um 15:40 Uhr

2019-09-03T15:40:50Z

Guenter am 3. September 2019 um 15:27 Uhr

2019-09-03T15:27:34Z

Guenter am 17. Juli 2018 um 16:08 Uhr

2018-07-17T16:08:06Z

Mwiki-lnt: Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

2018-05-29T12:02:45Z

Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

Guenter am 26. Mai 2018 um 11:33 Uhr

2018-05-26T11:33:42Z

Guenter am 20. Dezember 2017 um 15:19 Uhr

2017-12-20T15:19:38Z

Guenter am 20. Dezember 2017 um 15:00 Uhr

2017-12-20T15:00:19Z

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2017-12-15T14:43:31Z

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-'''(2)'''&nbsp; Es wird nun&nbsp; $n \neq 0$&nbsp; vorausgesetzt. Mit&nbsp; $T_1 = T_0$&nbsp; erhält man für den Realteil wegen&nbsp; $\text{cos}(2\pi n) = 1$:
+'''(2)'''&nbsp; Es wird nun&nbsp; $n \neq 0$&nbsp; vorausgesetzt.&nbsp; Mit&nbsp; $T_1 = T_0$&nbsp; erhält man für den Realteil wegen&nbsp; $\text{cos}(2\pi n) = 1$:
 :$${\rm Re}[D_n^{(y)}] =\frac{1}{(2\pi n)^2}\cdot(1-\cos(2\pi n))=0.$$
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 :$$B_n^{(x)}=-2\cdot{\rm Im}[D_n] =\frac{1}{\pi n}.$$
-*Hierbei ist berücksichtigt, dass für alle ganzzahligen Werte von&nbsp; $n$&nbsp; die Funktion&nbsp; $\text{sin}(n\pi ) = 0$&nbsp; ist. Die jeweils ersten reellen Koeffizienten lauten
+*Hierbei ist berücksichtigt, dass für alle ganzzahligen Werte von&nbsp; $n$&nbsp; die Funktion&nbsp; $\text{sin}(n\pi ) = 0$&nbsp; ist.&nbsp; Die jeweils ersten reellen Koeffizienten lauten:
 :$$A_1^{(x)} = 2/\pi^{2} \hspace{0.1cm}\underline{\approx 0.203},$$
 :$$B_1 = 1/\pi \hspace{0.1cm}\underline{\approx 0.318}.$$

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 [[Datei:P_ID312__Sig_A_2_6.png|right|frame|Verschiedene periodische Dreiecksignale]]
-Wir betrachten das Signal&nbsp; $x(t)$, das durch die beiden Parameter&nbsp; $T_0$&nbsp; und&nbsp; $T_1$&nbsp; festgelegt ist, wobei stets&nbsp; $T_1 \leq T_0$&nbsp; gelten soll. Für die komplexen Fourierkoeffizienten
+Wir betrachten das Signal&nbsp; $x(t)$, das durch die beiden Parameter&nbsp; $T_0$&nbsp; und&nbsp; $T_1$&nbsp; festgelegt ist, wobei stets&nbsp; $T_1 \leq T_0$&nbsp; gelten soll.&nbsp; Für die komplexen Fourierkoeffizienten
 :$$D_n=\frac{1}{T_0} \cdot \int_0^{T_0}x(t)\cdot\rm e^{-\rm j\it n\omega_0t}\,{\rm d} \it t$$
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 dieses Signals erhält man nach mathematischen Umformungen:
-:$$D_n=\frac{T_0/T_1} {(2\pi n)^2} \cdot  \bigg(1-{\rm e}^{-{\rm j} 2\pi nT_1/T_0}\bigg)-\frac{\rm j}{2\pi n}.$$
+:$$D_n=\frac{T_0/T_1} {(2\pi n)^2} \cdot  \big(1-{\rm e}^{-{\rm j} 2\pi nT_1/T_0}\big)-\frac{\rm j}{2\pi n}.$$
 *Der in den Teilaufgaben&nbsp; '''(1)'''&nbsp; und&nbsp; '''(3)'''&nbsp; behandelte Parametersatz&nbsp; $($mit $T_1 = T_0/2)$&nbsp; ist als das Signal&nbsp; $x(t)$&nbsp; dargestellt.
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 <quiz display=simple>
-{Berechnen Sie den Koeffizienten&nbsp; $D_0$&nbsp; und zeigen Sie, dass dieser stets reell ist. Welcher Wert ergibt sich für&nbsp; $T_1 = T_0/2$, also für das Signal&nbsp; $x(t)$?
+{Berechnen Sie den Koeffizienten&nbsp; $D_0$&nbsp; und zeigen Sie, dass dieser stets reell ist.&nbsp; Welcher Wert ergibt sich für&nbsp; $T_1 = T_0/2$, also für das Signal&nbsp; $x(t)$?
 |type="{}"}
 $D_0^{(x)}\ = \ $  { 0.25 3% }
-{Berechnen Sie für den Sonderfall&nbsp; $T_1 = T_0$&nbsp; entsprechend dem Signal&nbsp; $y(t)$&nbsp; die komplexen Fourierkoeffizienten&nbsp; $D_n^{(y)}$&nbsp; für&nbsp; $n \neq 0$. <br>Wie lauten die Koeffizienten&nbsp; $A_n^{(y)}$&nbsp; und&nbsp; $B_n^{(y)}$, insbesondere für&nbsp; $n = 1$?
+{Berechnen Sie für den Sonderfall&nbsp; $T_1 = T_0$&nbsp; entsprechend dem Signal&nbsp; $y(t)$&nbsp; die komplexen Fourierkoeffizienten&nbsp; $D_n^{(y)}$&nbsp; für&nbsp; $n \neq 0$. <br>Wie lauten die Koeffizienten&nbsp; $A_n^{(y)}$&nbsp; und&nbsp; $B_n^{(y)}$,&nbsp; insbesondere für&nbsp; $n = 1$?
 |type="{}"}
 $A_1^{(y)}\ = \ $ { 0. }
 $B_1^{(y)}\ = \ $ { 0.318 3% }
-{Berechnen Sie nun für das Signal&nbsp; $x(t)$&nbsp; mit&nbsp; $T_1 = T_0/2$&nbsp; die Koeffizienten&nbsp; $A_n^{(x)}$&nbsp; und&nbsp; $B_n^{(x)}$&nbsp; für&nbsp; $n \neq 0$. Welche Werte ergeben sich für&nbsp; $A_1^{(x)}$&nbsp; und&nbsp; $B_1^{(x)}$?
+{Berechnen Sie nun für das Signal&nbsp; $x(t)$&nbsp; mit&nbsp; $T_1 = T_0/2$&nbsp; die Koeffizienten&nbsp; $A_n^{(x)}$&nbsp; und&nbsp; $B_n^{(x)}$&nbsp; für&nbsp; $n \neq 0$.&nbsp; Welche Werte ergeben sich für&nbsp; $A_1^{(x)}$&nbsp; und&nbsp; $B_1^{(x)}$?
 |type="{}"}
 $A_1^{(x)}\ = \ $ { 0.203 3% }

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 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; Mit dem Eulerschen Satz ist der komplexe Fourierkoeffizient $D_n$ wie folgt darstellbar:
+'''(1)'''&nbsp; Mit dem Eulerschen Satz ist der komplexe Fourierkoeffizient&nbsp; $D_n$&nbsp; wie folgt darstellbar:
 :$${\rm Re} [D_n] =\frac{T_0/T_1}{(2\pi n)^2}\cdot(1-\cos(2\pi nT_1/T_0)),$$
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 :$${\rm Im}[D_n] =\frac{T_0/T_1}{(2\pi n)^2} \cdot \sin(2\pi nT_1/T_0)-\frac{1}{2\pi n}.$$
-Mit der für kleine $\alpha$ -Werte gültigen Näherung $\text{sin}(\alpha ) \approx \alpha$ erhält man für den Imaginärteil:
+*Mit der für kleine&nbsp; $\alpha$-Werte gültigen Näherung&nbsp; $\text{sin}(\alpha ) \approx \alpha$&nbsp; erhält man für den Imaginärteil:
 :$${\rm Im}[D_n] =\frac{T_0/T_1}{(2\pi n)^2}\cdot(2\pi nT_1/T_0)-\frac{1}{2\pi n}=0.$$
-Für den Realteil erhält man mit $\text{cos}(\alpha) \approx 1 – \alpha^{2}/2$:
+*Für den Realteil erhält man mit&nbsp; $\text{cos}(\alpha) \approx 1 – \alpha^{2}/2$:
 :$${\rm Re}[D_n] =\frac{T_0/T_1}{(2\pi n)^2}\frac{(2\pi nT_1/T_0)^2}{2}=\frac{T_1/T_0}{2}.$$
-*Für $T_1 = T_0/2$ folgt daraus der Gleichsignalkoeffizient $D_0^{(x)} \hspace{0.1cm}\underline{= 0.25}$.
+*Für&nbsp; $T_1 = T_0/2$&nbsp; folgt daraus der Gleichsignalkoeffizient&nbsp; $D_0^{(x)} \hspace{0.1cm}\underline{= 0.25}$.
-*Mit $T_1 = T_0$ ergibt sich $D_0^{(y)} = 0.5$.
+*Mit&nbsp; $T_1 = T_0$&nbsp; ergibt sich&nbsp; $D_0^{(y)} = 0.5$.
-*Ein Vergleich mit den Signalen $x(t)$ und $y(t)$ auf der Angabenseite zeigen die Richtigkeit dieser Ergebnisse.
+*Ein Vergleich mit den Signalen&nbsp; $x(t)$&nbsp; und&nbsp; $y(t)$&nbsp; auf der Angabenseite zeigen die Richtigkeit dieser Ergebnisse.
 '''(2)'''&nbsp; Es wird nun $n \neq 0$ vorausgesetzt. Mit $T_1 = T_0$ erhält man für den Realteil wegen $\text{cos}(2\pi n) = 1$:
 :$${\rm Re}[D_n^{(y)}] =\frac{1}{(2\pi n)^2}\cdot(1-\cos(2\pi n))=0.$$
-Der Imagnärteil lautet:
+*Der Imagnärteil lautet:
 :$${\rm Im}[D_n^{(y)}] =\frac{1}{(2\pi n)^2}\cdot(\sin(2\pi n))-\frac{1}{2\pi n}.$$
-Wegen $\text{sin}(2\pi n) = 0$ folgt daraus &nbsp; ${\rm Im}[D_n] =-{1}/({2\pi n}).$ Somit ist
+*Wegen&nbsp; $\text{sin}(2\pi n) = 0$&nbsp; folgt daraus &nbsp; ${\rm Im}[D_n] =-{1}/({2\pi n}).$ Somit ist
 :$$D_n^{(y)}=\frac{-\rm j}{2\pi n}={1}/{2} \cdot (A_n- {\rm j} \cdot B_n).$$
-Der Koeffizientenvergleich liefert $A_n^{(y)} = 0$ und $B_n^{(y)} = 1/(\pi n)$, Insbesondere sind $A_1^{(y)} \hspace{0.1cm}\underline{= 0}$ und $B_1^{(y)}\hspace{0.1cm}\underline{ \approx 0.318}$.
+*Der Koeffizientenvergleich liefert&nbsp; $A_n^{(y)} = 0$&nbsp; und&nbsp; $B_n^{(y)} = 1/(\pi n)$. Insbesondere sind&nbsp; $A_1^{(y)} \hspace{0.1cm}\underline{= 0}$&nbsp; und&nbsp; $B_1^{(y)}\hspace{0.1cm}\underline{ \approx 0.318}$.
-'''(3)'''&nbsp; Aus der in der Teilaufgabe (1) berechneten allgemeinen Gleichung folgt mit $T_1/T_0 = 1/2$:
+'''(3)'''&nbsp; Aus der in der Teilaufgabe&nbsp; '''(1)'''&nbsp; berechneten allgemeinen Gleichung folgt mit&nbsp; $T_1/T_0 = 1/2$:
 :$$D_n^{(x)}=\frac{2}{(2\pi n)^2}(1-\cos(\pi n))+{\rm j}\cdot \left[\frac{2\sin(\pi n)}{(2\pi n)^2}-\frac{1}{(2\pi n)}\right].$$
-Daraus erhält man die Cosinuskoeffizienten
+*Daraus erhält man die Cosinuskoeffizienten
 :$$A_n^{(x)}={2}\cdot{\rm Re}[D_n] =\left\{ \begin{array}{cl} {\frac{\displaystyle 2}{\displaystyle(\pi n)^2}} & {\rm   f\ddot{u}r\; ungeradzahliges\; \it n ,} \\ 0 &  {\rm f\ddot{u}r\; geradzahliges\;\it n.} \end{array}\right. $$
-Die Sinuskoeffizienten lauten:
+*Die Sinuskoeffizienten lauten:
 :$$B_n^{(x)}=-2\cdot{\rm Im}[D_n] =\frac{1}{\pi n}.$$
-Hierbei ist berücksichtigt, dass für alle ganzzahligen Werte von $n$ die Funktion $\text{sin}(n\pi ) = 0$ ist. Die jeweils ersten reellen Koeffizienten lauten
+*Hierbei ist berücksichtigt, dass für alle ganzzahligen Werte von&nbsp; $n$&nbsp; die Funktion&nbsp; $\text{sin}(n\pi ) = 0$&nbsp; ist. Die jeweils ersten reellen Koeffizienten lauten
 :$$A_1^{(x)} = 2/\pi^{2} \hspace{0.1cm}\underline{\approx 0.203},$$
 :$$B_1 = 1/\pi \hspace{0.1cm}\underline{\approx 0.318}.$$
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 '''(4)'''&nbsp; Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 2, 4 und 5</u>:
-*Das Signal $x(t)$ ist gleich der Differenz zwischen $y(t)$ und $z(t)$. Da $z(t)$ eine gerade und $y(t)$ eine ungerade Funktion ist, werden die Cosinuskoeffizienten $A_n$ allein durch die Koeffizienten des Signals $z(t)$ bestimmt, allerdings mit negativen Vorzeichen.
+*Das Signal&nbsp; $x(t)$&nbsp; ist gleich der Differenz zwischen&nbsp; $y(t)$&nbsp; und&nbsp; $z(t)$. Da&nbsp; $z(t)$&nbsp; eine gerade und&nbsp; $y(t)$&nbsp; eine ungerade Funktion ist, werden die Cosinuskoeffizienten&nbsp; $A_n$&nbsp; allein durch die Koeffizienten des Signals&nbsp; $z(t)$&nbsp; bestimmt, allerdings mit negativen Vorzeichen.
-*Die Sinuskoeffizienten $B_n$ stimmen vollständig mit denen von $y(t)$ überein.
+*Die Sinuskoeffizienten $B_n$ stimmen vollständig mit denen von&nbsp; $y(t)$&nbsp; überein.
-*Der Gleichsignalanteil von $x(t)$ ergibt sich aus der Differenz der beiden Gleichanteile von $y(t)$ und $z(t)$: &nbsp; $A_0 = 0.5 - 0.25 = 0.25$.
+*Der Gleichsignalanteil von&nbsp; $x(t)$&nbsp; ergibt sich aus der Differenz der beiden Gleichanteile von&nbsp; $y(t)$&nbsp; und&nbsp; $z(t)$: &nbsp;
 {{ML-Fuß}}
 __NOEDITSECTION__
 [[Category:Aufgaben zu Signaldarstellung|^2. Periodische Signale^]]

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 [[Datei:P_ID312__Sig_A_2_6.png|right|frame|Verschiedene periodische Dreiecksignale]]
-Wir betrachten das Signal $x(t)$, das durch die beiden Parameter $T_0$ und $T_1$ festgelegt ist, wobei stets $T_1 \leq T_0$ gelten soll. Für die komplexen Fourierkoeffizienten
+Wir betrachten das Signal&nbsp; $x(t)$, das durch die beiden Parameter&nbsp; $T_0$&nbsp; und&nbsp; $T_1$&nbsp; festgelegt ist, wobei stets&nbsp; $T_1 \leq T_0$&nbsp; gelten soll. Für die komplexen Fourierkoeffizienten
 :$$D_n=\frac{1}{T_0} \cdot \int_0^{T_0}x(t)\cdot\rm e^{-\rm j\it n\omega_0t}\,{\rm d} \it t$$
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 :$$D_n=\frac{T_0/T_1} {(2\pi n)^2} \cdot  \bigg(1-{\rm e}^{-{\rm j} 2\pi nT_1/T_0}\bigg)-\frac{\rm j}{2\pi n}.$$
-*Der in den Teilaufgaben (1) und (3) behandelte Parametersatz (mit $T_1 = T_0/2$) ist als das Signal $x(t)$ dargestellt.
+*Der in den Teilaufgaben&nbsp; '''(1)'''&nbsp; und&nbsp; '''(3)'''&nbsp; behandelte Parametersatz&nbsp; $($mit $T_1 = T_0/2)$&nbsp; ist als das Signal&nbsp; $x(t)$&nbsp; dargestellt.
-*Für $T_1 = T_0$ (Teilaufgabe 2) ergibt sich die Funktion $y(t)$.
+*Für&nbsp; $T_1 = T_0$&nbsp; &rArr; &nbsp; Teilaufgabe&nbsp; '''(2)'''&nbsp; ergibt sich die Funktion&nbsp; $y(t)$.
-*In der Teilaufgabe (4) wird das Signal $z(t)$ betrachtet. Dessen Fourierkoeffizienten lauten:
+*In der Teilaufgabe&nbsp; '''(4)'''&nbsp; wird das Signal&nbsp; $z(t)$&nbsp; betrachtet. Dessen Fourierkoeffizienten lauten:
 :$$A_0=1/4,\hspace{1cm}
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-''Hinweise:''
 *Die Aufgabe bezieht sich auf die Seite [[Signaldarstellung/Fourierreihe#Komplexe_Fourierreihe|Komplexe Fourierreihe]].
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 <quiz display=simple>
-{Berechnen Sie den Koeffizienten $D_0$ und zeigen Sie, dass dieser stets reell ist. Welcher Wert ergibt sich für $T_1 = T_0/2$, also für das Signal $x(t)$?
+{Berechnen Sie den Koeffizienten&nbsp; $D_0$&nbsp; und zeigen Sie, dass dieser stets reell ist. Welcher Wert ergibt sich für&nbsp; $T_1 = T_0/2$, also für das Signal&nbsp; $x(t)$?
 |type="{}"}
 $D_0^{(x)}\ = \ $  { 0.25 3% }
-{Berechnen Sie für den Sonderfall $T_1 = T_0$ entsprechend dem Signal $y(t)$ die komplexen Fourierkoeffizienten $D_n^{(y)}$ für $n \neq 0$. <br>Wie lauten die Koeffizienten $A_n^{(y)}$ und $B_n^{(y)}$, insbesondere für $n = 1$?
+{Berechnen Sie für den Sonderfall&nbsp; $T_1 = T_0$&nbsp; entsprechend dem Signal&nbsp; $y(t)$&nbsp; die komplexen Fourierkoeffizienten&nbsp; $D_n^{(y)}$&nbsp; für&nbsp; $n \neq 0$. <br>Wie lauten die Koeffizienten&nbsp; $A_n^{(y)}$&nbsp; und&nbsp; $B_n^{(y)}$, insbesondere für&nbsp; $n = 1$?
 |type="{}"}
 $A_1^{(y)}\ = \ $ { 0. }
 $B_1^{(y)}\ = \ $ { 0.318 3% }
-{Berechnen Sie nun für das Signal $x(t)$ mit $T_1 = T_0/2$ die Koeffizienten $A_n^{(x)}$ und $B_n^{(x)}$ für $n \neq 0$. Welche Werte ergeben sich für $A_1^{(x)}$ und $B_1^{(x)}$?
+{Berechnen Sie nun für das Signal&nbsp; $x(t)$&nbsp; mit&nbsp; $T_1 = T_0/2$&nbsp; die Koeffizienten&nbsp; $A_n^{(x)}$&nbsp; und&nbsp; $B_n^{(x)}$&nbsp; für&nbsp; $n \neq 0$. Welche Werte ergeben sich für&nbsp; $A_1^{(x)}$&nbsp; und&nbsp; $B_1^{(x)}$?
 |type="{}"}
 $A_1^{(x)}\ = \ $ { 0.203 3% }
 $B_1^{(x)}\ = \ $ { 0.318 3% }
-{Welche der folgenden Aussagen treffen bezüglich $x(t)$, $y(t)$ und $z(t)$ zu?
+{Welche der folgenden Aussagen treffen bezüglich&nbsp; $x(t)$,&nbsp; $y(t)$&nbsp; und&nbsp; $z(t)$&nbsp; zu?
 |type="[]"}
-- Es gilt $x(t) = y(t) + z(t)$.
+- Es gilt&nbsp; $x(t) = y(t) + z(t)$.
-+ Es gilt $x(t) = y(t) - z(t)$.
++ Es gilt&nbsp; $x(t) = y(t) - z(t)$.
-- Die Cosinuskoeffizienten $A_n$ von $x(t)$ und $z(t)$ sind identisch.
+- Die Cosinuskoeffizienten&nbsp; $A_n$&nbsp; von&nbsp; $x(t)$&nbsp; und&nbsp; $z(t)$&nbsp; sind identisch.
-+ Die Cosinuskoeffizientenn $A_n$ von $x(t)$ und $z(t)$ sind betragsgleich.
++ Die Cosinuskoeffizienten&nbsp; $A_n$&nbsp; von&nbsp; $x(t)$&nbsp; und&nbsp; $z(t)$&nbsp; sind betragsgleich.
-+ Die Sinuskoeffizienten $B_n$ von $y(t)$ und $z(t)$ sind identisch.
++ Die Sinuskoeffizienten&nbsp; $B_n$&nbsp; von&nbsp; $y(t)$&nbsp; und&nbsp; $z(t)$&nbsp; sind identisch.

@@ Zeile 28: / Zeile 28: @@
 *Die Aufgabe bezieht sich auf die Seite [[Signaldarstellung/Fourierreihe#Komplexe_Fourierreihe|Komplexe Fourierreihe]].
@@ Zeile 38: / Zeile 41: @@
 $D_0^{(x)}\ = \ $  { 0.25 3% }
-{Berechnen Sie für den Sonderfall $T_1 = T_0$ entsprechend dem Signal $y(t)$ die komplexen Fourierkoeffizienten $D_n^{(y)}$ für $n \neq 0$. Wie lauten die Koeffizienten $A_n^{(y)}$ und $B_n^{(y)}$, insbesondere für $n = 1$?
+{Berechnen Sie für den Sonderfall $T_1 = T_0$ entsprechend dem Signal $y(t)$ die komplexen Fourierkoeffizienten $D_n^{(y)}$ für $n \neq 0$. <br>Wie lauten die Koeffizienten $A_n^{(y)}$ und $B_n^{(y)}$, insbesondere für $n = 1$?
 |type="{}"}
 $A_1^{(y)}\ = \ $ { 0. }
@@ Zeile 95: / Zeile 98: @@
 Der Koeffizientenvergleich liefert $A_n^{(y)} = 0$ und $B_n^{(y)} = 1/(\pi n)$, Insbesondere sind $A_1^{(y)} \hspace{0.1cm}\underline{= 0}$ und $B_1^{(y)}\hspace{0.1cm}\underline{ \approx 0.318}$.
-Wie zu erwarten war, gilt stets $B_{–n}^{(y)} = –B_n^{(y)}$.
+Wie zu erwarten war, gilt stets $B_{-n}^{(y)} = -B_n^{(y)}$.

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(kein Unterschied)