Aufgaben:Aufgabe 2.6: Einheiten bei GWSSUS - Versionsgeschichte

Guenter am 25. Mai 2020 um 14:38 Uhr

2020-05-25T14:38:05Z

Guenter am 25. Mai 2020 um 14:22 Uhr

2020-05-25T14:22:03Z

Guenter am 25. Mai 2020 um 14:20 Uhr

2020-05-25T14:20:46Z

Guenter am 12. April 2019 um 16:14 Uhr

2019-04-12T16:14:21Z

Guenter am 12. April 2019 um 16:11 Uhr

2019-04-12T16:11:21Z

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2017-12-06T14:28:16Z

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2017-12-06T14:18:49Z

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2017-12-06T14:10:51Z

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Hussain am 20. November 2017 um 11:24 Uhr

2017-11-20T11:24:18Z

Hussain am 20. November 2017 um 11:23 Uhr

2017-11-20T11:23:33Z

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 {{ML-Kopf}}
 '''(1)'''&nbsp; <u>Alle Aussagen sind richtig</u>:
-*$\eta_{\rm VZ}(\tau, t)$ ist die zeitvariante Impulsantwort, für die auch die Bezeichnung $h(\tau, t)$ gebräuchlich ist. Wie jede Impulsantwort hat auch $h(\tau, t)$ die Einheit $[1/\rm s]$.
+*$\eta_{\rm VZ}(\tau,\ t)$&nbsp; ist die zeitvariante Impulsantwort, für die auch die Bezeichnung&nbsp; $h(\tau,\ t)$&nbsp; gebräuchlich ist.&nbsp; Wie jede Impulsantwort hat auch&nbsp; $h(\tau,\ t)$&nbsp; die Einheit&nbsp; $[1/\rm s]$.
-*Durch Fouriertransformation der Funktion $\eta_{\rm VZ}(\tau, t)$ bezüglich der Verzögerung $\tau$ kommt man zu
+*Durch Fouriertransformation der Funktion&nbsp; $\eta_{\rm VZ}(\tau,\ t)$&nbsp; bezüglich der Verzögerung&nbsp; $\tau$&nbsp; kommt man zu
 :$$\eta_{\rm FZ}(f, t) = \int_{-\infty}^{+\infty} \eta_{\rm VZ}(\tau, t) \cdot {\rm e}^{- {\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}2 \pi f \tau}\hspace{0.15cm}{\rm d}\tau
   \hspace{0.05cm}. $$
-*Durch die Integration nach $\tau$ (Einheit: $\rm s$) ist $\eta_{\rm FZ}(f, t)$, die auch als &bdquo;zeitvariante Übertragungsfunktion&rdquo; bezeichnet wird, ohne Einheit. In mancher Literatur wird anstelle von $\eta_{\rm FZ}(f, t)$ auch $H(f, t)$ verwendet.
+*Durch die Integration nach&nbsp; $\tau$&nbsp; $($Einheit:&nbsp; $\rm s)$&nbsp; ist&nbsp; $\eta_{\rm FZ}(f,\ t)$, die auch als &bdquo;zeitvariante Übertragungsfunktion&rdquo; bezeichnet wird, ohne Einheit.&nbsp; In mancher Literatur wird anstelle von&nbsp; $\eta_{\rm FZ}(f,\ t)$&nbsp; auch&nbsp; $H(f,\ t)$&nbsp; verwendet.
-*Auch die Verzögerungs&ndash;Doppler&ndash;Darstellung $\eta_{\rm VD}(\tau, f_{\rm D})$ hat keine Einheit. Diese Funktion ergibt sich aus der zeitvarianten Impulsantwort $\eta_{\rm VZ}(\tau, t)$ durch die Fouriertransformation hinsichtlich $t$:
+*Auch die Verzögerungs&ndash;Doppler&ndash;Darstellung&nbsp; $\eta_{\rm VD}(\tau,\ f_{\rm D})$&nbsp; hat keine Einheit.&nbsp; Diese Funktion ergibt sich aus der zeitvarianten Impulsantwort&nbsp; $\eta_{\rm VZ}(\tau,\ t)$&nbsp; durch die Fouriertransformation hinsichtlich&nbsp; $t$:
 :$$\eta_{\rm VD}(\tau, f_{\rm D}) = \int_{-\infty}^{+\infty} \eta_{\rm VZ}(\tau, t) \cdot {\rm e}^{- {\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}2 \pi f_{\rm D} t}\hspace{0.15cm}{\rm d}t
   \hspace{0.05cm}.$$
-*Die Funktion $\eta_{\rm FD}(t, f_{\rm D})$ ergibt sich aus den dimensionalen Funktionen $\eta_{\rm VD}(\tau, f_{\rm D})$ bzw. $\eta_{\rm FZ}(f, t)$ jeweils durch eine Fouriertransformation, was die Einheit $[\rm s] = [1/\rm Hz]$ zur Folge hat.
+*Die Funktion&nbsp; $\eta_{\rm FD}(t,\ f_{\rm D})$&nbsp; ergibt sich aus den dimensionslosen Funktionen&nbsp; $\eta_{\rm VD}(\tau,\ f_{\rm D})$&nbsp; bzw.&nbsp; $\eta_{\rm FZ}(f,\ t)$&nbsp; jeweils durch eine Fouriertransformation, was die Einheit&nbsp; $[\hspace{0.03cm}\rm s\hspace{0.03cm}] = [1/\rm Hz\hspace{0.03cm}]$&nbsp; zur Folge hat.
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 '''(2)'''&nbsp; Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 2 und 3</u>:
 *Die Autokorrelationsfunktion ist definitionsgemäß der folgende Erwartungswert:
-:$$\varphi_{\rm VZ}(\tau_1, t_1, \tau_2, t_2) = {\rm E} \left [ \eta_{\rm VZ}(\tau_1, t_1) \cdot
+:$$\varphi_{\rm VZ}(\tau_1,\ t_1,\ \tau_2,\ t_2) = {\rm E} \left [ \eta_{\rm VZ}(\tau_1,\ t_1) \cdot
-  \eta_{\rm VZ}^{\star}(\tau_2, t_2) \right ]\hspace{0.05cm}.$$
+  \eta_{\rm VZ}^{\star}(\tau_2,\ t_2) \right ]\hspace{0.05cm}.$$
-*Da die zeitvariante Impulsantwort $\eta_{\rm VZ}(\tau, t)$ die Einheit $[1/\rm s]$ aufweist, hat deren AKF $\varphi_{\rm VZ}$ die Einheit $[1/\rm s^2]$, sowohl mit dem Argument $(\tau_1, l_1, \tau_2, t_2)$ als auch mit dem GWSSUS&ndash;Argument $(\Delta \tau, \ \Delta t)$.
+*Da die zeitvariante Impulsantwort&nbsp; $\eta_{\rm VZ}(\tau,\ t)$&nbsp; die Einheit&nbsp; $[1/\rm s\hspace{0.03cm}]$&nbsp; aufweist, hat deren AKF&nbsp; $\varphi_{\rm VZ}$&nbsp; die Einheit&nbsp; $[1/\rm s^2\hspace{0.03cm}]$, sowohl mit dem Argument&nbsp; $(\tau_1,\ t_1,\ \tau_2,\ t_2)$&nbsp; als auch mit dem GWSSUS&ndash;Argument&nbsp; $(\Delta \tau, \ \Delta t)$.
-*Die Diracfunktion $\delta(\Delta \tau)$ hat die Dimension $[1/\rm s]$, da das Integral über alle $\tau$ (mit Einheit $[\rm s]$) den Wert $1$ ergeben muss. Daraus folgt für die Verzögerungs&ndash;Zeit&ndash;Kreuzleistungsdichte ${\it \Phi}_{\rm VZ}(\tau, \Delta \tau)$ die Einheit $[1/\rm s]$, ebenso für die Verzögerungs&ndash;Leistungsdichte ${\it \Phi}_{\rm V}(\tau) = {\it \Phi}_{\rm VZ}(\tau, \Delta t = 0)$.
+*Die Diracfunktion&nbsp; $\delta(\Delta \tau)$&nbsp; hat die Dimension&nbsp; $[1/\rm s\hspace{0.03cm}]$, da das Integral über alle&nbsp; $\tau$&nbsp; $($mit Einheit&nbsp; $[\rm s\hspace{0.03cm}])$&nbsp; den Wert&nbsp; $1$&nbsp; ergeben muss.&nbsp; Daraus folgt für die Verzögerungs&ndash;Zeit&ndash;Kreuzleistungsdichte&nbsp; ${\it \Phi}_{\rm VZ}(\tau,\ \Delta \tau)$&nbsp; die Einheit&nbsp; $[1/\rm s\hspace{0.03cm}]$, ebenso für die Verzögerungs&ndash;Leistungsdichte&nbsp; ${\it \Phi}_{\rm V}(\tau) = {\it \Phi}_{\rm VZ}(\tau,\ \Delta t = 0)$.
 '''(3)'''&nbsp; Richtig sind hier die <u>Aussagen 1 und 3</u>:
-*Ausgehend von der Einheit $[1/\rm s]$ der Funktion ${\it \Phi}_{\rm VZ}(\tau, \Delta t)$ kommt man durch Fouriertransformation bezüglich $\tau$ bzw. $\Delta t$ zu den Funktionen $\varphi_{\rm FZ}(\Delta f, \Delta t)$ bzw. ${\it \Phi}_{\rm VD}(\tau, f_{\rm D})$. Beide sind dimensionslos.
+*Ausgehend von der Einheit&nbsp; $[1/\rm s\hspace{0.03cm}]$&nbsp; der Funktion&nbsp; ${\it \Phi}_{\rm VZ}(\tau,\ \Delta t)$&nbsp; kommt man durch Fouriertransformation bezüglich&nbsp; $\tau$&nbsp; bzw.&nbsp; $\Delta t$&nbsp; zu den Funktionen&nbsp; $\varphi_{\rm FZ}(\Delta f,\ \Delta t)$&nbsp; bzw.&nbsp; ${\it \Phi}_{\rm VD}(\tau,\ f_{\rm D})$.&nbsp; Beide sind dimensionslos.
-*Das Frequenz&ndash;Doppler&ndash;Kreuzleistungsdichtespektrum hat die Einheit $[\rm s] = [1/\rm Hz]$, wegen
+*Das Frequenz&ndash;Doppler&ndash;Kreuzleistungsdichtespektrum hat die Einheit&nbsp; $[\rm s\hspace{0.03cm}] = [1/\rm Hz\hspace{0.03cm}]$, wegen
 :$${\it \Phi}_{\rm FD}(\Delta f, f_{\rm D}) = \int_{-\infty}^{+\infty} {\it \Phi}_{\rm VD}(\tau, f_{\rm D}) \cdot {\rm e}^{- {\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}2 \pi f_{\rm D} \tau}\hspace{0.15cm}{\rm d}\tau \hspace{0.05cm}. $$
 {{ML-Fuß}}

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 {Stimmen die Einheiten der weiteren Funktionen?
 |type="[]"}
-+ $\varphi_{\rm FZ}(\Delta f,\ \Delta t),&nbsp; \varphi_{\rm F}(\Delta f)$&nbsp; und&nbsp; $\varphi_{\rm Z}(\Delta t)$&nbsp; haben keine Einheit.
++ $\varphi_{\rm FZ}(\Delta f,\ \Delta t), &nbsp; \varphi_{\rm F}(\Delta f)$&nbsp; und&nbsp; $\varphi_{\rm Z}(\Delta t)$&nbsp; haben keine Einheit.
 - ${\it \Phi}_{\rm VD}(\tau,\ f_{\rm D})$&nbsp; hat die Einheit&nbsp; $[1/\rm s]$.
 + ${\it \Phi}_{\rm FD}(\Delta f,\ f_{\rm D})$&nbsp; und&nbsp; ${\it \Phi}_{\rm D}(f_{\rm D})$&nbsp; haben jeweils die Einheit $[1/\rm Hz]$.

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 gegeben ist.
-Wir bezeichnen die Funktionen einheitlich mit&nbsp; $\eta_{12}$. Die Indizes seien wie folgt vereinbart:
+Wir bezeichnen die Funktionen einheitlich mit&nbsp; $\eta_{12}$.&nbsp; Die Indizes seien wie folgt vereinbart:
-* <b>V</b>&nbsp; steht für Verzögerung&nbsp; $\tau$&nbsp; (Index &bdquo;1&rdquo;),
+* $\rm V$&nbsp; steht für Verzögerung&nbsp; $\tau$&nbsp; $($Index &bdquo;1&rdquo;$)$,
-* <b>F</b>&nbsp; steht für die Frequenz&nbsp; $f$&nbsp; (Index &bdquo;1&rdquo;),
+* $\rm F$&nbsp; steht für die Frequenz&nbsp; $f$&nbsp; $($Index &bdquo;1&rdquo;$)$,
-* <b>Z</b>&nbsp; steht für die Zeit&nbsp; $t$&nbsp; (Index &bdquo;2&rdquo;),
+* $\rm Z$&nbsp; steht für die Zeit&nbsp; $t$&nbsp; $($Index &bdquo;2&rdquo;$)$,
-* <b>D</b>&nbsp; steht für die Dopplerfrequenz&nbsp; $f_{\rm D}$&nbsp; (Index &bdquo;2&rdquo;).
+* $\rm D$&nbsp; steht für die Dopplerfrequenz&nbsp; $f_{\rm D}$&nbsp; $($Index &bdquo;2&rdquo;$)$.
-Der Zusammenhang zwischen den Funktionen ist in der Grafik (gelbe Hinterlegung) dargestellt. Die Fourierkorrespondenzen sind grün eingezeichnet:
+Der Zusammenhang zwischen den Funktionen ist in der oberen Grafik (gelbe Hinterlegung) dargestellt.&nbsp; Die Fourierkorrespondenzen sind grün eingezeichnet:
 * Der Übergang von einem weiß gefüllten zu einem grün gefüllten Kreis entspricht einer&nbsp; [[Signaldarstellung/Fouriertransformation_und_-r%C3%BCcktransformation#Das_erste_Fourierintegral| Fouriertransformation]].
 * Der Übergang von einem grün gefüllten zu einem weiß gefüllten Kreis entspricht der&nbsp; [[Signaldarstellung/Fouriertransformation_und_-r%C3%BCcktransformation#Das_zweite_Fourierintegral| Fourierrücktransformation]]&nbsp;  (Gegenrichtung).
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 Beispielsweise gilt:
-:$$\eta_{\rm VZ}(\tau, t)
+:$$\eta_{\rm VZ}(\tau,\ t)
-  \hspace{0.2cm}  \stackrel{\tau, \hspace{0.02cm}f}{\circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet} \hspace{0.2cm} \eta_{\rm FZ}(f,t)\hspace{0.05cm},
+  \hspace{0.2cm}  \stackrel{\tau, \hspace{0.08cm}f}{\circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet} \hspace{0.2cm} \eta_{\rm FZ}(f,\ t)\hspace{0.05cm},
-  \hspace{0.4cm}\eta_{\rm FZ}(f,t)
+  \hspace{0.4cm}\eta_{\rm FZ}(f,\ t)
-  \hspace{0.2cm}  \stackrel{f, \hspace{0.02cm}\tau}{\bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ} \hspace{0.2cm} \eta_{\rm VZ}(\tau, t)\hspace{0.05cm}.$$
+  \hspace{0.2cm}  \stackrel{f, \hspace{0.08cm}\tau}{\bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ} \hspace{0.2cm} \eta_{\rm VZ}(\tau,\ t)\hspace{0.05cm}.$$
-*Die hieraus abgeleitete Korrelationsfunktion&nbsp; $\varphi_{12}$&nbsp; und das Leistungsdichtespektrum&nbsp; $\it \Phi_{\rm 12}$&nbsp; werden mit den gleichen Indizes versehen wie die Systemfunktion $\eta_{12}$.
+*Die hieraus abgeleitete Korrelationsfunktion&nbsp; $\varphi_{12}$&nbsp; und das Leistungsdichtespektrum&nbsp; $\it \Phi_{\rm 12}$&nbsp; werden mit den gleichen Indizes versehen wie die Systemfunktion&nbsp; $\eta_{12}$.
-*Korrelationsfunktionen erkennt man in der unteren Grafik an der roten Schrift und alle Leistungsdichtespektren sind blau beschriftet. Es wird stets vom GWSSUS&ndash;Modell ausgegangen.
+*Korrelationsfunktionen erkennt man in der unteren Grafik an der roten Schrift, während alle Leistungsdichtespektren blau beschriftet sind.&nbsp; Es wird stets vom GWSSUS&ndash;Modell ausgegangen.
-Betrachten wir hier die Systemfunktion&nbsp; $\eta_{\rm VZ}(\tau, t)$, also die zeitvariante Impulsantwort&nbsp; $h(\tau, t)$. Für diese ergeben sich folgende Beschreibungsgrößen:
+Betrachten wir hier die Systemfunktion&nbsp; $\eta_{\rm VZ}(\tau,\ t)$, also die zeitvariante Impulsantwort&nbsp; $h(\tau,\ t)$.&nbsp; Für diese ergeben sich folgende Beschreibungsgrößen:
-:$$\varphi_{\rm VZ}(\tau_1, t_1, \tau_2, t_2) = {\rm E} \left [ \eta_{\rm VZ}(\tau_1, t_1) \cdot
+:$$\varphi_{\rm VZ}(\tau_1,\ t_1,\ \tau_2,\ t_2) = {\rm E} \left [ \eta_{\rm VZ}(\tau_1,\ t_1) \cdot
-  \eta_{\rm VZ}^{\star}(\tau_2, t_2) \right ]\hspace{0.05cm},$$
+  \eta_{\rm VZ}^{\star}(\tau_2,\ t_2) \right ]\hspace{0.05cm},$$
 :$$\Delta \tau = \tau_2 - \tau_1 \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} \Delta t = t_2 - t_1
   \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}
-  \varphi_{\rm VZ}(\Delta \tau, \Delta t) \hspace{0.05cm}, $$
+  \varphi_{\rm VZ}(\Delta \tau,\ \Delta t) \hspace{0.05cm}, $$
-:$$\varphi_{\rm VZ}(\Delta \tau, \Delta t) = \delta(\Delta \tau) \cdot {\it \Phi}_{\rm VZ}(\tau, \Delta t) \hspace{0.05cm}.$$
+:$$\varphi_{\rm VZ}(\Delta \tau,\ \Delta t) = \delta(\Delta \tau) \cdot {\it \Phi}_{\rm VZ}(\tau,\ \Delta t) \hspace{0.05cm}.$$
-:$${\it \Phi}_{\rm V}(\tau) =  {\it \Phi}_{\rm VZ}(\tau, \Delta t = 0)\hspace{0.05cm}. $$
+:$${\it \Phi}_{\rm V}(\tau) =  {\it \Phi}_{\rm VZ}(\tau,\ \Delta t = 0)\hspace{0.05cm}. $$
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 ===Fragebogen===
 <quiz display=simple>
-{Stimmen die angegebenen Einheiten der Systemfunktionen?
+{Stimmen die hier angegebenen Einheiten der Systemfunktionen?
 |type="[]"}
-+ $\eta_{\rm VZ}(\tau, t)$&nbsp; hat die Einheit&nbsp; $[1/\rm s]$.
++ $\eta_{\rm VZ}(\tau,\ t)$&nbsp; hat die Einheit&nbsp; $[1/\rm s]$.
-+ $\eta_{\rm FZ}(f, t)$&nbsp; hat keine Einheit.
++ $\eta_{\rm FZ}(f,\ t)$&nbsp; hat keine Einheit.
-+ $\eta_{\rm VD}(\tau, f_{\rm D})$&nbsp; hat keine Einheit.
++ $\eta_{\rm VD}(\tau,\ f_{\rm D})$&nbsp; hat keine Einheit.
-+ $\eta_{\rm FD}(f, f_{\rm D})$&nbsp; hat die Einheit&nbsp; $[1/\rm Hz]$.
++ $\eta_{\rm FD}(f,\ f_{\rm D})$&nbsp; hat die Einheit&nbsp; $[1/\rm Hz]$.
 {Stimmen die Einheiten der folgenden Funktionen?
 |type="[]"}
-- $\varphi_{\rm VZ}(\Delta \tau, \Delta t)$&nbsp; hat die Einheit&nbsp; $[1/\rm s]$.
+- $\varphi_{\rm VZ}(\Delta \tau,\ \Delta t)$&nbsp; hat die Einheit&nbsp; $[1/\rm s]$.
-+ ${\it \Phi}_{\rm VZ}(\tau, {\rm \Delta} t)$&nbsp; hat die Einheit&nbsp; $[1/\rm s]$.
++ ${\it \Phi}_{\rm VZ}(\tau,\ {\rm \Delta} t)$&nbsp; hat die Einheit&nbsp; $[1/\rm s]$.
 + ${\it \Phi}_{\rm V}(\tau)$&nbsp; hat die Einheit&nbsp; $[1/\rm s]$.
 {Stimmen die Einheiten der weiteren Funktionen?
 |type="[]"}
-+ $\varphi_{\rm FZ}(\Delta f, \Delta t),&nbsp; \varphi_{\rm F}(\Delta f)$&nbsp; und&nbsp; $\varphi_{\rm Z}(\Delta t)$&nbsp; haben keine Einheit.
++ $\varphi_{\rm FZ}(\Delta f,\ \Delta t),&nbsp; \varphi_{\rm F}(\Delta f)$&nbsp; und&nbsp; $\varphi_{\rm Z}(\Delta t)$&nbsp; haben keine Einheit.
-- ${\it \Phi}_{\rm VD}(\tau, f_{\rm D})$&nbsp; hat die Einheit&nbsp; $[1/\rm s]$.
+- ${\it \Phi}_{\rm VD}(\tau,\ f_{\rm D})$&nbsp; hat die Einheit&nbsp; $[1/\rm s]$.
-+ ${\it \Phi}_{\rm FD}(\Delta f, f_{\rm D})$&nbsp; und&nbsp; ${\it \Phi}_{\rm D}(f_{\rm D})$&nbsp; haben jeweils die Einheit $[1/\rm Hz]$.
++ ${\it \Phi}_{\rm FD}(\Delta f,\ f_{\rm D})$&nbsp; und&nbsp; ${\it \Phi}_{\rm D}(f_{\rm D})$&nbsp; haben jeweils die Einheit $[1/\rm Hz]$.
 </quiz>

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	*Die Funktion $\eta_{\rm FD}(t, f_{\rm D})$ ergibt sich aus den dimensionalen Funktionen $\eta_{\rm VD}(\tau, f_{\rm D})$ bzw. $\eta_{\rm FZ}(f, t)$ jeweils durch eine Fouriertransformation, was die Einheit $[\rm s] = [1/\rm Hz]$ zur Folge hat.		*Die Funktion $\eta_{\rm FD}(t, f_{\rm D})$ ergibt sich aus den dimensionalen Funktionen $\eta_{\rm VD}(\tau, f_{\rm D})$ bzw. $\eta_{\rm FZ}(f, t)$ jeweils durch eine Fouriertransformation, was die Einheit $[\rm s] = [1/\rm Hz]$ zur Folge hat.
		+


Zeile 94:		Zeile 95:

	*Die Diracfunktion $\delta(\Delta \tau)$ hat die Dimension $[1/\rm s]$, da das Integral über alle $\tau$ (mit Einheit $[\rm s]$) den Wert $1$ ergeben muss. Daraus folgt für die Verzögerungs–Zeit–Kreuzleistungsdichte ${\it \Phi}_{\rm VZ}(\tau, \Delta \tau)$ die Einheit $[1/\rm s]$, ebenso für die Verzögerungs–Leistungsdichte ${\it \Phi}_{\rm V}(\tau) = {\it \Phi}_{\rm VZ}(\tau, \Delta t = 0)$.		*Die Diracfunktion $\delta(\Delta \tau)$ hat die Dimension $[1/\rm s]$, da das Integral über alle $\tau$ (mit Einheit $[\rm s]$) den Wert $1$ ergeben muss. Daraus folgt für die Verzögerungs–Zeit–Kreuzleistungsdichte ${\it \Phi}_{\rm VZ}(\tau, \Delta \tau)$ die Einheit $[1/\rm s]$, ebenso für die Verzögerungs–Leistungsdichte ${\it \Phi}_{\rm V}(\tau) = {\it \Phi}_{\rm VZ}(\tau, \Delta t = 0)$.
		+

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 {{quiz-Header|Buchseite=Mobile Kommunikation/Das GWSSUS&ndash;Kanalmodell}}
-[[Datei:P_ID2167__Mob_A_2_6.png|right|frame|GWSSUS–Funktionen]]
+[[Datei:P_ID2167__Mob_A_2_6.png|right|frame|Überblick der GWSSUS–Funktionen]]
 Der Mobilfunkkanal kann in sehr allgemeinen Form durch vier Systemfunktionen beschrieben werden, wobei der Zusammenhang zwischen je zwei Funktionen durch
 * die Fouriertransformation bzw.
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 gegeben ist.
-Wir bezeichnen die Funktionen einheitlich mit $\eta_{12}$. Die Indizes seien wie folgt vereinbart:
+Wir bezeichnen die Funktionen einheitlich mit&nbsp; $\eta_{12}$. Die Indizes seien wie folgt vereinbart:
-* <b>V</b> steht für Verzögerung $\tau$ (Index &bdquo;1&rdquo;),
+* <b>V</b>&nbsp; steht für Verzögerung&nbsp; $\tau$&nbsp; (Index &bdquo;1&rdquo;),
-* <b>F</b> steht für die Frequenz $f$ (Index &bdquo;1&rdquo;),
+* <b>F</b>&nbsp; steht für die Frequenz&nbsp; $f$&nbsp; (Index &bdquo;1&rdquo;),
-* <b>Z</b> steht für die Zeit $t$ (Index &bdquo;2&rdquo;),
+* <b>Z</b>&nbsp; steht für die Zeit&nbsp; $t$&nbsp; (Index &bdquo;2&rdquo;),
-* <b>D</b> ist die Dopplerfrequenz $f$ (Index &bdquo;2&rdquo;).
+* <b>D</b>&nbsp; steht für die Dopplerfrequenz&nbsp; $f_{\rm D}$&nbsp; (Index &bdquo;2&rdquo;).
 Der Zusammenhang zwischen den Funktionen ist in der Grafik (gelbe Hinterlegung) dargestellt. Die Fourierkorrespondenzen sind grün eingezeichnet:
-* Der Übergang von einem weiß gefüllten zu einem grün gefüllten Kreis entspricht einer [[Signaldarstellung/Fouriertransformation_und_-r%C3%BCcktransformation#Das_erste_Fourierintegral| Fouriertransformation]].
+* Der Übergang von einem weiß gefüllten zu einem grün gefüllten Kreis entspricht einer&nbsp; [[Signaldarstellung/Fouriertransformation_und_-r%C3%BCcktransformation#Das_erste_Fourierintegral| Fouriertransformation]].
-* Der Übergang von einem grün gefüllten zu einem weiß gefüllten Kreis (Gegenrichtung) entspricht der [[Signaldarstellung/Fouriertransformation_und_-r%C3%BCcktransformation#Das_zweite_Fourierintegral| Fourierrücktransformation]].
+* Der Übergang von einem grün gefüllten zu einem weiß gefüllten Kreis entspricht der&nbsp; [[Signaldarstellung/Fouriertransformation_und_-r%C3%BCcktransformation#Das_zweite_Fourierintegral| Fourierrücktransformation]]&nbsp;  (Gegenrichtung).
@@ Zeile 28: / Zeile 28: @@
   \hspace{0.2cm}  \stackrel{f, \hspace{0.02cm}\tau}{\bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ} \hspace{0.2cm} \eta_{\rm VZ}(\tau, t)\hspace{0.05cm}.$$
-*Die hieraus abgeleitete Korrelationsfunktion $\varphi_{12}$ und das Leistungsdichtespektrum $\it \Phi_{\rm 12}$ werden mit den gleichen Indizes versehen wie die Systemfunktion $\eta_{12}$.
+*Die hieraus abgeleitete Korrelationsfunktion&nbsp; $\varphi_{12}$&nbsp; und das Leistungsdichtespektrum&nbsp; $\it \Phi_{\rm 12}$&nbsp; werden mit den gleichen Indizes versehen wie die Systemfunktion $\eta_{12}$.
 *Korrelationsfunktionen erkennt man in der unteren Grafik an der roten Schrift und alle Leistungsdichtespektren sind blau beschriftet. Es wird stets vom GWSSUS&ndash;Modell ausgegangen.
-Betrachten wir hier die Systemfunktion $\eta_{\rm VZ}(\tau, t)$, also die zeitvariante Impulsantwort $h(\tau, t)$. Für diese ergeben sich folgende Beschreibungsgrößen:
+Betrachten wir hier die Systemfunktion&nbsp; $\eta_{\rm VZ}(\tau, t)$, also die zeitvariante Impulsantwort&nbsp; $h(\tau, t)$. Für diese ergeben sich folgende Beschreibungsgrößen:
 :$$\varphi_{\rm VZ}(\tau_1, t_1, \tau_2, t_2) = {\rm E} \left [ \eta_{\rm VZ}(\tau_1, t_1) \cdot
   \eta_{\rm VZ}^{\star}(\tau_2, t_2) \right ]\hspace{0.05cm},$$
@@ Zeile 43: / Zeile 43: @@
-''Hinweis:'' &nbsp; Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Mobile_Kommunikation/Das_GWSSUS%E2%80%93Kanalmodell| Das GWSUS&ndash;Kanalmodell]].
+''Hinweis:'' &nbsp; Die Aufgabe gehört zum Kapitel&nbsp; [[Mobile_Kommunikation/Das_GWSSUS%E2%80%93Kanalmodell| Das GWSUS&ndash;Kanalmodell]].
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 {Stimmen die angegebenen Einheiten der Systemfunktionen?
 |type="[]"}
-+ $\eta_{\rm VZ}(\tau, t)$ hat die Einheit $[1/\rm s]$.
++ $\eta_{\rm VZ}(\tau, t)$&nbsp; hat die Einheit&nbsp; $[1/\rm s]$.
-+ $\eta_{\rm FZ}(f, t)$ hat keine Einheit.
++ $\eta_{\rm FZ}(f, t)$&nbsp; hat keine Einheit.
-+ $\eta_{\rm VD}(\tau, f_{\rm D})$ hat keine Einheit.
++ $\eta_{\rm VD}(\tau, f_{\rm D})$&nbsp; hat keine Einheit.
-+ $\eta_{\rm FD}(f, f_{\rm D})$ hat die Einheit $[1/\rm Hz]$.
++ $\eta_{\rm FD}(f, f_{\rm D})$&nbsp; hat die Einheit&nbsp; $[1/\rm Hz]$.
 {Stimmen die Einheiten der folgenden Funktionen?
 |type="[]"}
-- $\varphi_{\rm VZ}(\Delta \tau, \Delta t)$ hat die Einheit $[1/\rm s]$.
+- $\varphi_{\rm VZ}(\Delta \tau, \Delta t)$&nbsp; hat die Einheit&nbsp; $[1/\rm s]$.
-+ ${\it \Phi}_{\rm VZ}(\tau, {\rm \Delta} t)$ hat die Einheit $[1/\rm s]$.
++ ${\it \Phi}_{\rm VZ}(\tau, {\rm \Delta} t)$&nbsp; hat die Einheit&nbsp; $[1/\rm s]$.
-+ ${\it \Phi}_{\rm V}(\tau)$ hat die Einheit $[1/\rm s]$.
++ ${\it \Phi}_{\rm V}(\tau)$&nbsp; hat die Einheit&nbsp; $[1/\rm s]$.
 {Stimmen die Einheiten der weiteren Funktionen?
 |type="[]"}
-+ $\varphi_{\rm FZ}(\Delta f, \Delta t), \varphi_{\rm F}(\Delta f)$ und $\varphi_{\rm Z}(\Delta t)$ haben keine Einheit.
++ $\varphi_{\rm FZ}(\Delta f, \Delta t),&nbsp; \varphi_{\rm F}(\Delta f)$&nbsp; und&nbsp; $\varphi_{\rm Z}(\Delta t)$&nbsp; haben keine Einheit.
-- ${\it \Phi}_{\rm VD}(\tau, f_{\rm D})$ hat die Einheit $[1/\rm s]$.
+- ${\it \Phi}_{\rm VD}(\tau, f_{\rm D})$&nbsp; hat die Einheit&nbsp; $[1/\rm s]$.
-+ ${\it \Phi}_{\rm FD}(\Delta f, f_{\rm D})$ und ${\it \Phi}_{\rm D}(f_{\rm D})$ haben die Einheit $[1/\rm Hz]$.
++ ${\it \Phi}_{\rm FD}(\Delta f, f_{\rm D})$&nbsp; und&nbsp; ${\it \Phi}_{\rm D}(f_{\rm D})$&nbsp; haben jeweils die Einheit $[1/\rm Hz]$.
 </quiz>

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(kein Unterschied)