Aufgaben:Aufgabe 2.5Z: Rechtecksignale - Versionsgeschichte

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2026-03-16T12:35:47Z

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← Nächstältere Version		Version vom 16. März 2026, 14:35 Uhr
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	__NOEDITSECTION__		__NOEDITSECTION__
	[[Category:Aufgaben zu Signaldarstellung\|^2. Periodische Signale^]]		[[Category:Aufgaben zu Signaldarstellung\|^2. Periodische Signale^]]
			[[en:Aufgaben:Exercise_2.5Z:_Square_Wave]]

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2026-02-24T13:38:57Z

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Zeile 96:		Zeile 96:
	:$$A_1^{(z)}=-A_1^{(y)}={\sqrt2}/{\pi}\hspace{0.15cm}\underline{=+0.450}, \hspace {0.5cm} A_2^{(z)}=A_2^{(y)}=-{1}/{\pi}\hspace{0.15cm}\underline{=-0.318}.$$		:$$A_1^{(z)}=-A_1^{(y)}={\sqrt2}/{\pi}\hspace{0.15cm}\underline{=+0.450}, \hspace {0.5cm} A_2^{(z)}=A_2^{(y)}=-{1}/{\pi}\hspace{0.15cm}\underline{=-0.318}.$$
	Das gleiche Ergebnis erhält man ausgehend von den gegebenen Koeffizienten mit  $\Delta t/T_0 = 0.75$:		Das gleiche Ergebnis erhält man ausgehend von den gegebenen Koeffizienten mit  $\Delta t/T_0 = 0.75$:
	:$$A_1^{(z)}={2}/{\pi} \cdot \sin({3}/{4}\cdot \pi)={\sqrt2}/{\pi},		:$$A_1^{(z)}={2}/{\pi} \cdot \sin({3}/{4}\cdot \pi)={\sqrt2}/{\pi}, \hspace {0.5cm}A_2^{(z)}={1}/{\pi} \cdot \sin({3}/{2} \cdot \pi)=-{1}/{\pi}.$$
	\hspace {0.5cm}A_2^{(z)}=
	{1}/{\pi} \cdot \sin({3}/{2} \cdot \pi)
	=-{1}/{\pi}.$$
	{{ML-Fuß}}		{{ML-Fuß}}

Guenter am 16. April 2021 um 11:12 Uhr

2021-04-16T11:12:06Z

← Nächstältere Version		Version vom 16. April 2021, 13:12 Uhr
Zeile 21:		Zeile 21:
	*Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Signaldarstellung/Fourierreihe\|Fourierreihe]].		*Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Signaldarstellung/Fourierreihe\|Fourierreihe]].
	*Eine kompakte Zusammenfassung der Thematik finden Sie in den beiden Lernvideos		*Eine kompakte Zusammenfassung der Thematik finden Sie in den beiden Lernvideos
	::[[Zur_Berechnung_der_Fourierkoeffizienten_(Lernvideo)\|Zur Berechnung der Fourierkoeffizienten]],		:[[Zur_Berechnung_der_Fourierkoeffizienten_(Lernvideo)\|Zur Berechnung der Fourierkoeffizienten]],
	:: [[Eigenschaften_der_Fourierreihendarstellung_(Lernvideo)\|Eigenschaften der Fourierreihendarstellung]].		: [[Eigenschaften_der_Fourierreihendarstellung_(Lernvideo)\|Eigenschaften der Fourierreihendarstellung]].

Guenter am 15. April 2021 um 13:28 Uhr

2021-04-15T13:28:56Z

Guenter am 15. April 2021 um 13:19 Uhr

2021-04-15T13:19:00Z

← Nächstältere Version		Version vom 15. April 2021, 15:19 Uhr
Zeile 53:		Zeile 53:


	{Welcher Zusammenhang besteht zwischen den Signalen  $x(t)$  und  ${y(t)}$? Geben Sie mit Hilfe dieser Überlegungen die Fourierkoeffizienten von  ${y(t)}$ an. <br>Wie groß sind die Koeffizienten  $A_1$  und  $A_2$  dieses Signals?		{Welcher Zusammenhang besteht zwischen den Signalen  $x(t)$  und  ${y(t)}$?  Geben Sie mit Hilfe dieser Überlegungen die Fourierkoeffizienten von  ${y(t)}$ an. <br>Wie groß sind die Koeffizienten  $A_1$  und  $A_2$  dieses Signals?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$y(t)$:   $A_1\ = \ $ { -0.46--0.44 }		$y(t)$:   $A_1\ = \ $ { -0.46--0.44 }
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	{Welcher Zusammenhang besteht zwischen den Signalen  ${y(t)}$  und  ${z(t)}$? Wie groß sind die Koeffizienten  $A_1$  und  $A_2$  des Signals  ${z(t)}$? <br>Überprüfen Sie das Ergebnis anhand der angebenen Koeffizienten des Signals  $x(t)$.		{Welcher Zusammenhang besteht zwischen den Signalen  ${y(t)}$  und  ${z(t)}$?  Wie groß sind die Koeffizienten  $A_1$  und  $A_2$  des Signals  ${z(t)}$? <br>Überprüfen Sie das Ergebnis anhand der angebenen Koeffizienten des Signals  $x(t)$.
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$z(t)$:   $A_1 \ = \ $ { 0.45 3% }		$z(t)$:   $A_1 \ = \ $ { 0.45 3% }

Guenter am 15. April 2021 um 13:16 Uhr

2021-04-15T13:16:33Z

← Nächstältere Version		Version vom 15. April 2021, 15:16 Uhr
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	[[Datei:P_ID323__Sig_Z_2_5.png\|right\|frame\|Verschiedene Rechtecksignale]]		[[Datei:P_ID323__Sig_Z_2_5.png\|right\|frame\|Verschiedene Rechtecksignale]]
	Das mit der Zeit  $T_0$  periodische Signal  $x(t)$  wird durch den einzigen Parameter  $\Delta t$  beschrieben; die Amplitude der Rechteckimpulse sei jeweils  $1$. Da  $x(t)$  gerade ist, sind alle Sinuskoeffizienten  $B_n = 0$.		Das mit der Zeit  $T_0$  periodische Signal  $x(t)$  wird durch den einzigen Parameter  $\Delta t$  beschrieben; die Amplitude der Rechteckimpulse sei jeweils  $1$.  Da  $x(t)$  gerade ist, sind alle Sinuskoeffizienten  $B_n = 0$.

	Der Gleichsignalkoeffizient ist  $A_0 = \Delta t/T_0$  und für die Cosinuskoeffizienten gilt:		Der Gleichsignalkoeffizient ist  $A_0 = \Delta t/T_0$  und für die Cosinuskoeffizienten gilt:

Guenter am 3. September 2019 um 15:12 Uhr

2019-09-03T15:12:49Z

← Nächstältere Version		Version vom 3. September 2019, 17:12 Uhr
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	[[Datei:P_ID323__Sig_Z_2_5.png\|right\|frame\|Verschiedene Rechtecksignale]]		[[Datei:P_ID323__Sig_Z_2_5.png\|right\|frame\|Verschiedene Rechtecksignale]]
	Das mit der Zeit $T_0$ periodische Signal $x(t)$ wird durch den einzigen Parameter $\Delta t$ beschrieben; die Amplitude der Rechteckimpulse sei jeweils $1$. Da $x(t)$ gerade ist, sind alle Sinuskoeffizienten $B_n = 0$.		Das mit der Zeit  $T_0$  periodische Signal  $x(t)$  wird durch den einzigen Parameter  $\Delta t$  beschrieben; die Amplitude der Rechteckimpulse sei jeweils  $1$. Da  $x(t)$  gerade ist, sind alle Sinuskoeffizienten  $B_n = 0$.

	Der Gleichsignalkoeffizient ist $A_0 = \Delta t/T_0$ und für die Cosinuskoeffizienten gilt:		Der Gleichsignalkoeffizient ist  $A_0 = \Delta t/T_0$  und für die Cosinuskoeffizienten gilt:
	:$$A_n=\frac{2}{n\pi}\cdot \sin(n\pi \Delta t/T_0).$$		:$$A_n=\frac{2}{n\pi}\cdot \sin(n\pi \Delta t/T_0).$$
	In den Teilaufgaben (1) und (2) wird das Signal $x(t)$ für die zwei Parameterwerte $\Delta t/T_0 = 0.5$ bzw. $\Delta t/T_0 = 0.25$ analysiert.		In den Teilaufgaben  '''(1)'''  und  '''(2)'''  wird das Signal  $x(t)$  für die zwei Parameterwerte  $\Delta t/T_0 = 0.5$  bzw.  $\Delta t/T_0 = 0.25$  analysiert.

			Danach betrachten wir die beiden ebenfalls in der Abbildung dargestellten Signale  $y(t)$  und  $z(t)$, jeweils mit  $\Delta t/T_0 = 0.25$. Zwischen diesen Signalen und  $x(t)$  besteht ein fester Zusammenhang, der zur Berechnung ausgenutzt werden kann.



	Danach betrachten wir die beiden ebenfalls in der Abbildung dargestellten Signale $y(t)$ und $z(t)$, jeweils mit $\Delta t/T_0 = 0.25$. Zwischen diesen und $x(t)$ besteht ein fester Zusammenhang, der zur Berechnung ausgenutzt werden kann.


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	''Hinweise:''		''Hinweise:''
	*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Signaldarstellung/Fourierreihe\|Fourierreihe]].		*Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Signaldarstellung/Fourierreihe\|Fourierreihe]].
	*Eine kompakte Zusammenfassung der Thematik finden Sie in den beiden Lernvideos		*Eine kompakte Zusammenfassung der Thematik finden Sie in den beiden Lernvideos
	::[[Zur_Berechnung_der_Fourierkoeffizienten_(Lernvideo)\|Zur Berechnung der Fourierkoeffizienten]],		::[[Zur_Berechnung_der_Fourierkoeffizienten_(Lernvideo)\|Zur Berechnung der Fourierkoeffizienten]],
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	<quiz display=simple>		<quiz display=simple>
	{Welche Aussagen gelten für das Signal $x(t)$ mit $\Delta t/T_0 = 0.5$?		{Welche Aussagen gelten für das Signal  $x(t)$  mit  $\Delta t/T_0 = 0.5$?
	\|type="[]"}		\|type="[]"}
	+ Die Spektralfunktion ${X(f)}$ beinhaltet eine Diracfunktion bei $f = 0$ mit dem Gewicht $0.5$.		+ Die Spektralfunktion  ${X(f)}$  beinhaltet eine Diracfunktion bei  $f = 0$  mit dem Gewicht  $0.5$.
	- Die Spektralfunktion ${X(f)}$ beinhaltet Diraclinien bei allen Vielfachen der Grundfrequenz $f_0 = 1/T_0$.		- Die Spektralfunktion  ${X(f)}$  beinhaltet Diraclinien bei allen Vielfachen der Grundfrequenz  $f_0 = 1/T_0$.
	+ Die Spektralfunktion ${X(f)}$ beinhaltet Diraclinien bei ungeradzahligen Vielfachen der Grundfrequenz $f_0$.		+ Die Spektralfunktion  ${X(f)}$  beinhaltet Diraclinien bei ungeradzahligen Vielfachen der Grundfrequenz  $f_0$.
	- Die Spektrallinie bei $f_0$ hat das Gewicht $2/\pi = 0.636$.		- Die Spektrallinie bei  $f_0$  hat das Gewicht  $2/\pi = 0.636$.
	+ Die Spektrallinie bei $–\hspace{-0.1cm}f_0$ hat das Gewicht $1/\pi = 0.318$.		+ Die Spektrallinie bei  $–\hspace{-0.1cm}f_0$  hat das Gewicht  $1/\pi = 0.318$.


	{Welche Aussagen gelten für das Signal $x(t)$ mit $\Delta t/T_0 = 0.25$?		{Welche Aussagen gelten für das Signal  $x(t)$  mit  $\Delta t/T_0 = 0.25$?
	\|type="[]"}		\|type="[]"}
	+ Die Spektralfunktion ${X(f)}$ beinhaltet Diraclinien bei allen ungeraden Vielfachen der Grundfrequenz $f_0$.		+ Die Spektralfunktion  ${X(f)}$  beinhaltet Diraclinien bei allen ungeraden Vielfachen der Grundfrequenz  $f_0$.
	+ ${X(f)}$ hat Diraclinien bei $\pm2f_0$, $\pm6f_0$, $\pm10f_0$, usw.		+ ${X(f)}$  hat Diraclinien bei  $\pm2f_0$,  $\pm6f_0$,  $\pm10f_0$, usw.
	- ${X(f)}$ hat Diraclinien bei $\pm4f_0$, $\pm8f_0$, $\pm12f_0$, usw.		- ${X(f)}$  hat Diraclinien bei  $\pm4f_0$,  $\pm8f_0$,  $\pm12f_0$, usw.
	+ Die Spektrallinie bei $2f_0$ hat das Gewicht $1/(2\pi) = 0.159$.		+ Die Spektrallinie bei  $2f_0$  hat das Gewicht  $1/(2\pi) = 0.159$.


	{Wie groß ist der Gleichanteil des Signals ${y(t)}$?		{Wie groß ist der Gleichanteil des Signals  ${y(t)}$?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$A_0 \ = \ $ { 0.75 3% }		$y(t)$:   $A_0 \ = \ $ { 0.75 3% }


	{Welcher Zusammenhang besteht zwischen den Signalen $x(t)$ und ${y(t)}$? Geben Sie mit Hilfe dieser Überlegungen die Fourierkoeffizienten von ${y(t)}$ an. Wie groß sind die Koeffizienten $A_1$ und $A_2$ dieses Signals?		{Welcher Zusammenhang besteht zwischen den Signalen  $x(t)$  und  ${y(t)}$? Geben Sie mit Hilfe dieser Überlegungen die Fourierkoeffizienten von  ${y(t)}$ an. <br>Wie groß sind die Koeffizienten  $A_1$  und  $A_2$  dieses Signals?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$A_1\ = \ $ { -0.46--0.44 }		$y(t)$:   $A_1\ = \ $ { -0.46--0.44 }
	$A_2 \ = \ $ { -0.325--0.315 }		$\hspace{1cm}A_2 \ = \ $ { -0.325--0.315 }


	{Welcher Zusammenhang besteht zwischen den Signalen ${y(t)}$ und ${z(t)}$? Wie groß sind die Koeffizienten $A_1$ und $A_2$ des Signals ${z(t)}$? Überprüfen Sie das Ergebnis anhand der angebenen Koeffizienten des Signals $x(t)$.		{Welcher Zusammenhang besteht zwischen den Signalen  ${y(t)}$  und  ${z(t)}$? Wie groß sind die Koeffizienten  $A_1$  und  $A_2$  des Signals  ${z(t)}$? <br>Überprüfen Sie das Ergebnis anhand der angebenen Koeffizienten des Signals  $x(t)$.
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$A_1 \ = \ $ { 0.45 3% }		$z(t)$:   $A_1 \ = \ $ { 0.45 3% }
	$A_2 \ = \ $ { -0.325--0.315 }		$\hspace{1cm}A_2 \ = \ $ { -0.325--0.315 }

Guenter am 17. Juli 2018 um 15:58 Uhr

2018-07-17T15:58:42Z

Mwiki-lnt: Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

2018-05-29T12:02:45Z

Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

← Nächstältere Version		Version vom 29. Mai 2018, 14:02 Uhr
Zeile 17:		Zeile 17:
	*Eine kompakte Zusammenfassung der Thematik finden Sie in den beiden Lernvideos		*Eine kompakte Zusammenfassung der Thematik finden Sie in den beiden Lernvideos
	:[[Zur_Berechnung_der_Fourierkoeffizienten_(Lernvideo)\|Zur Berechnung der Fourierkoeffizienten]] sowie [[Eigenschaften_der_Fourierreihendarstellung_(Lernvideo)\|Eigenschaften der Fourierreihendarstellung]].		:[[Zur_Berechnung_der_Fourierkoeffizienten_(Lernvideo)\|Zur Berechnung der Fourierkoeffizienten]] sowie [[Eigenschaften_der_Fourierreihendarstellung_(Lernvideo)\|Eigenschaften der Fourierreihendarstellung]].
	*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes &bdquo;0” erforderlich sein, so geben Sie bitte &bdquo;0.” ein.

Guenter am 20. Dezember 2017 um 14:45 Uhr

2017-12-20T14:45:24Z

← Nächstältere Version		Version vom 20. Dezember 2017, 16:45 Uhr
Zeile 64:		Zeile 64:
	===Musterlösung===		===Musterlösung===
	{{ML-Kopf}}		{{ML-Kopf}}
	'''(1)''  Richtig sind die <u>Aussagen 1, 3 und 5</u>.:		'''(1)'''  Richtig sind die <u>Aussagen 1, 3 und 5</u>.:
	*Die Spektralfunktion beinhaltet eine Diracfunktion bei $f = 0$ mit dem Gewicht $0.5$ (Gleichanteil) sowie weitere Spektrallinien bei ungeradzahligen Vielfachen ($n = \pm1, \pm3, \pm5,...$) von $f_0$.		*Die Spektralfunktion beinhaltet eine Diracfunktion bei $f = 0$ mit dem Gewicht $0.5$ (Gleichanteil) sowie weitere Spektrallinien bei ungeradzahligen Vielfachen ($n = \pm1, \pm3, \pm5,\text{...}$) von $f_0$.
	*Die Gewichte bei $\pm f_0$ sind jeweils $A_1/2 = 1/\pi = 0.318$.		*Die Gewichte bei $\pm f_0$ sind jeweils $A_1/2 = 1/\pi = 0.318$.

	'''(2)''  Richtig sind die <u>Aussagen 1, 2 und 4</u>:
			'''(2)'''  Richtig sind die <u>Aussagen 1, 2 und 4</u>:
	*Bei allen ungeradzahligen Vielfachen der Grundfrequenz existieren Spektrallinien, zusätzlich noch bei den $2–{\rm fachen}$, $6–{\rm fachen}$ und $10–{\rm fachen}$.		*Bei allen ungeradzahligen Vielfachen der Grundfrequenz existieren Spektrallinien, zusätzlich noch bei den $2–{\rm fachen}$, $6–{\rm fachen}$ und $10–{\rm fachen}$.
	*Beispielsweise gilt $A_1 = 1/\pi = 0.450$. ~~?????~~ Die Spektrallinie bei $2f_0$ hat somit das Gewicht $A_2/2 = 1/(2\pi) = 0.159$.		*Beispielsweise gilt $A_1 = 1/\pi = 0.450$. Die Spektrallinie bei $2f_0$ hat somit das Gewicht $A_2/2 = 1/(2\pi) = 0.159$.
	*Beispielsweise gilt $A_2 = 1/\pi = 0.318$. Die Spektrallinie bei $2f_0$ hat somit das Gewicht $A_2/2 = 1/(2\pi) = 0.159$.		*Beispielsweise gilt $A_2 = 1/\pi = 0.318$. Die Spektrallinie bei $2f_0$ hat somit das Gewicht $A_2/2 = 1/(2\pi) = 0.159$.
	*Für $n = 4$, $n = 8$, usw. sind dagegen die Koeffizienten $A_n = 0$, da für die Sinusfunktion gilt: $\sin(\pi) = \sin(2\pi) = ... = 0$.		*Für $n = 4$, $n = 8$, usw. sind dagegen die Koeffizienten $A_n = 0$, da für die Sinusfunktion gilt: $\sin(\pi) = \sin(2\pi) =\text{ ...} = 0$.


	'''(3)''  Aus der grafischen Darstellung des Signals ${y(t)}$ wird deutlich, dass $A_0 = 0.75$ gelten muss. Zum gleichen Ergebnis kommt man über die Beziehung:		'''(3)'''  Aus der grafischen Darstellung des Signals ${y(t)}$ wird deutlich, dass $A_0 = 0.75$ gelten muss. Zum gleichen Ergebnis kommt man über die Beziehung:
	:$$A_0^{(y)}=1-A_0^{(x)}=1-0.25\hspace{0.15cm}\underline{=0.75}.$$		:$$A_0^{(y)}=1-A_0^{(x)}=1-0.25\hspace{0.15cm}\underline{=0.75}.$$

	'''(4)''  Es gilt ${y(t)} = 1 – x(t)$. Für $n \neq 0$ ergeben sich somit die gleichen Fourierkoeffizienten wie für das Signal $x(t)$, jedoch mit negativen Vorzeichen. Inbesondere gilt:
			'''(4)'''  Es gilt ${y(t)} = 1 – x(t)$. Für $n \neq 0$ ergeben sich somit die gleichen Fourierkoeffizienten wie für das Signal $x(t)$, jedoch mit negativen Vorzeichen. Inbesondere gilt:
	:$$A_1^{(y)} = -A_1^{(x)}=-{2}/{\pi} \cdot \sin({\pi}/{4})= -{\sqrt2}/{\pi}\hspace{0.15cm}\underline{\approx -0.450},$$		:$$A_1^{(y)} = -A_1^{(x)}=-{2}/{\pi} \cdot \sin({\pi}/{4})= -{\sqrt2}/{\pi}\hspace{0.15cm}\underline{\approx -0.450},$$
	:$$A_2^{(y)} = -A_2^{(x)}=-{1}/{\pi}\hspace{0.15cm}\underline{ \approx - 0.318}.$$		:$$A_2^{(y)} = -A_2^{(x)}=-{1}/{\pi}\hspace{0.15cm}\underline{ \approx - 0.318}.$$

	'''(5)''  Es gilt ${z(t)} = y(t – T_0/2)$. Mit der Fourierreihendarstellung von ${y(t)}$ folgt daraus:
			'''(5)'''  Es gilt ${z(t)} = y(t – T_0/2)$. Mit der Fourierreihendarstellung von ${y(t)}$ folgt daraus:
	:$$z(t)=A_0+A_1^{(y)}\cos(\omega_0(t-\frac{T_0}{2}))+A_2^{(y)}\cos(2\omega_0(t-\frac{T_0}{2}))+A_3^{(y)}\cos(3\omega_0(t-\frac{T_0}{2}))+\ldots$$		:$$z(t)=A_0+A_1^{(y)}\cos(\omega_0(t-\frac{T_0}{2}))+A_2^{(y)}\cos(2\omega_0(t-\frac{T_0}{2}))+A_3^{(y)}\cos(3\omega_0(t-\frac{T_0}{2}))+\ldots$$
	:$$\Rightarrow \quad z(t)=A_0-A_1^{(y)}\cos(\omega_0 t)+A_2^{(y)}\cos(2\omega_0 t)-A_3^{(y)}\cos(3\omega_0 t)+\~~ldots~~$$		:$$\Rightarrow \quad z(t)=A_0-A_1^{(y)}\cos(\omega_0 t)+A_2^{(y)}\cos(2\omega_0 t)-A_3^{(y)}\cos(3\omega_0 t)+\text{...}$$
	Damit erhält man:		Damit erhält man:
	:$$A_1^{(z)}=-A_1^{(y)}={\sqrt2}/{\pi}\hspace{0.15cm}\underline{=+0.450}, \hspace {0.5cm} A_2^{(z)}=A_2^{(y)}=-{1}/{\pi}\hspace{0.15cm}\underline{=-0.318}.$$		:$$A_1^{(z)}=-A_1^{(y)}={\sqrt2}/{\pi}\hspace{0.15cm}\underline{=+0.450}, \hspace {0.5cm} A_2^{(z)}=A_2^{(y)}=-{1}/{\pi}\hspace{0.15cm}\underline{=-0.318}.$$

← Nächstältere Version		Version vom 15. April 2021, 15:28 Uhr
Zeile 71:		Zeile 71:
	{{ML-Kopf}}		{{ML-Kopf}}
	'''(1)'''  Richtig sind die <u>Aussagen 1, 3 und 5</u>:		'''(1)'''  Richtig sind die <u>Aussagen 1, 3 und 5</u>:
	*Die Spektralfunktion beinhaltet eine Diracfunktion bei $f = 0$ mit dem Gewicht $0.5$ (Gleichanteil) sowie weitere Spektrallinien bei ungeradzahligen Vielfachen ($n = \pm1, \pm3, \pm5,\text{...}$) von $f_0$.		*Die Spektralfunktion beinhaltet eine Diracfunktion bei  $f = 0$  mit dem Gewicht  $0.5$  (Gleichanteil) sowie weitere Spektrallinien bei ungeradzahligen Vielfachen  ($n = \pm1, \pm3, \pm5,\text{...}$)  von $f_0$.
	*Die Gewichte bei $\pm f_0$ sind jeweils $A_1/2 = 1/\pi = 0.318$.		*Die Gewichte bei  $\pm f_0$  sind jeweils  $A_1/2 = 1/\pi = 0.318$.


	'''(2)'''  Richtig sind die <u>Aussagen 1, 2 und 4</u>:		'''(2)'''  Richtig sind die <u>Aussagen 1, 2 und 4</u>:
	*Bei allen ungeradzahligen Vielfachen der Grundfrequenz existieren Spektrallinien, zusätzlich noch bei den $2–{\rm fachen}$, $6–{\rm fachen}$ und $10–{\rm fachen}$.		*Bei allen ungeradzahligen Vielfachen der Grundfrequenz existieren Spektrallinien, zusätzlich noch bei den  $2–{\rm fachen}$,  $6–{\rm fachen}$  und  $10–{\rm fachen}$.
	*Beispielsweise gilt $A_1 = 1/\pi = 0.450$. Die Spektrallinie bei $2f_0$ hat somit das Gewicht $A_2/2 = 1/(2\pi) = 0.159$.		*Beispielsweise gilt  $A_1 = 1/\pi = 0.450$.  Die Spektrallinie bei  $2f_0$  hat somit das Gewicht  $A_2/2 = 1/(2\pi) = 0.159$.
	*Für $n = 4$, $n = 8$, usw. sind dagegen die Koeffizienten $A_n = 0$, da für die Sinusfunktion gilt:   $\sin(\pi) = \sin(2\pi) =\text{ ...} = 0$.		*Für  $n = 4$,  $n = 8$,  usw. sind dagegen die Koeffizienten  $A_n = 0$,  da für die Sinusfunktion gilt:   $\sin(\pi) = \sin(2\pi) =\text{ ...} = 0$.


	'''(3)'''  Aus der grafischen Darstellung des Signals ${y(t)}$ wird deutlich, dass $A_0 = 0.75$ gelten muss. Zum gleichen Ergebnis kommt man über die Beziehung:		'''(3)'''  Aus der grafischen Darstellung des Signals  ${y(t)}$  wird deutlich, dass  $A_0 = 0.75$  gelten muss.  Zum gleichen Ergebnis kommt man über die Beziehung:
	:$$A_0^{(y)}=1-A_0^{(x)}=1-0.25\hspace{0.15cm}\underline{=0.75}.$$		:$$A_0^{(y)}=1-A_0^{(x)}=1-0.25\hspace{0.15cm}\underline{=0.75}.$$


	'''(4)'''  Es gilt ${y(t)} = 1 - x(t)$. Für $n \neq 0$ ergeben sich somit die gleichen Fourierkoeffizienten wie für ~~das Signal~~ $x(t)$, jedoch mit negativen Vorzeichen. Inbesondere gilt:		'''(4)'''  Es gilt  ${y(t)} = 1 - x(t)$.  Für  $n \neq 0$  ergeben sich somit die gleichen Fourierkoeffizienten wie für  $x(t)$, jedoch mit negativen Vorzeichen.  Inbesondere gilt:
	:$$A_1^{(y)} = -A_1^{(x)}=-{2}/{\pi} \cdot \sin({\pi}/{4})= -{\sqrt2}/{\pi}\hspace{0.15cm}\underline{\approx -0.450},$$		:$$A_1^{(y)} = -A_1^{(x)}=-{2}/{\pi} \cdot \sin({\pi}/{4})= -{\sqrt2}/{\pi}\hspace{0.15cm}\underline{\approx -0.450},$$
	:$$A_2^{(y)} = -A_2^{(x)}=-{1}/{\pi}\hspace{0.15cm}\underline{ \approx - 0.318}.$$		:$$A_2^{(y)} = -A_2^{(x)}=-{1}/{\pi}\hspace{0.15cm}\underline{ \approx - 0.318}.$$


	'''(5)'''  Es gilt ${z(t)} = y(t - T_0/2)$. Mit der Fourierreihendarstellung von ${y(t)}$ folgt daraus:		'''(5)'''  Es gilt  ${z(t)} = y(t - T_0/2)$.  Mit der Fourierreihendarstellung von  ${y(t)}$  folgt daraus:
	:$$z(t)=A_0+A_1^{(y)}\cos(\omega_0(t-\frac{T_0}{2}))+A_2^{(y)}\cos(2\omega_0(t-\frac{T_0}{2}))+A_3^{(y)}\cos(3\omega_0(t-\frac{T_0}{2}))+\ldots$$		:$$z(t)=A_0+A_1^{(y)}\cos(\omega_0(t-\frac{T_0}{2}))+A_2^{(y)}\cos(2\omega_0(t-\frac{T_0}{2}))+A_3^{(y)}\cos(3\omega_0(t-\frac{T_0}{2}))+\ldots$$
	:$$\Rightarrow \quad z(t)=A_0-A_1^{(y)}\cos(\omega_0 t)+A_2^{(y)}\cos(2\omega_0 t)-A_3^{(y)}\cos(3\omega_0 t)+\text{...}$$		:$$\Rightarrow \quad z(t)=A_0-A_1^{(y)}\cos(\omega_0 t)+A_2^{(y)}\cos(2\omega_0 t)-A_3^{(y)}\cos(3\omega_0 t)+\text{...}$$
	Damit erhält man:		Damit erhält man:
	:$$A_1^{(z)}=-A_1^{(y)}={\sqrt2}/{\pi}\hspace{0.15cm}\underline{=+0.450}, \hspace {0.5cm} A_2^{(z)}=A_2^{(y)}=-{1}/{\pi}\hspace{0.15cm}\underline{=-0.318}.$$		:$$A_1^{(z)}=-A_1^{(y)}={\sqrt2}/{\pi}\hspace{0.15cm}\underline{=+0.450}, \hspace {0.5cm} A_2^{(z)}=A_2^{(y)}=-{1}/{\pi}\hspace{0.15cm}\underline{=-0.318}.$$
	Das gleiche Ergebnis erhält man ausgehend von den gegebenen Koeffizienten mit $\Delta t/T_0 = 0.75$:		Das gleiche Ergebnis erhält man ausgehend von den gegebenen Koeffizienten mit  $\Delta t/T_0 = 0.75$:
	:$$A_1^{(z)}={2}/{\pi} \cdot \sin({3}/{4}\cdot \pi)={\sqrt2}/{\pi},		:$$A_1^{(z)}={2}/{\pi} \cdot \sin({3}/{4}\cdot \pi)={\sqrt2}/{\pi},
	\hspace {0.5cm}A_2^{(z)}=		\hspace {0.5cm}A_2^{(z)}=

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	Der Gleichsignalkoeffizient ist $A_0 = \Delta t/T_0$ und für die Cosinuskoeffizienten gilt:		Der Gleichsignalkoeffizient ist $A_0 = \Delta t/T_0$ und für die Cosinuskoeffizienten gilt:
	:$$A_n=\frac{2}{n\pi}\cdot \sin(n\pi \Delta t/T_0).$$		:$$A_n=\frac{2}{n\pi}\cdot \sin(n\pi \Delta t/T_0).$$
	In den Teilaufgaben (1) und (2) wird das Signal $x(t)$ für die zwei Parameterwerte $\Delta t/T_0 = 0.5$ bzw. $\Delta t/T_0 = 0.25$ analysiert. Danach betrachten wir die beiden ebenfalls in der Abbildung dargestellten Signale $y(t)$ und $z(t)$, jeweils mit $\Delta t/T_0 = 0.25$.		In den Teilaufgaben (1) und (2) wird das Signal $x(t)$ für die zwei Parameterwerte $\Delta t/T_0 = 0.5$ bzw. $\Delta t/T_0 = 0.25$ analysiert.

			Danach betrachten wir die beiden ebenfalls in der Abbildung dargestellten Signale $y(t)$ und $z(t)$, jeweils mit $\Delta t/T_0 = 0.25$. Zwischen diesen und $x(t)$ besteht ein fester Zusammenhang, der zur Berechnung ausgenutzt werden kann.


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	*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Signaldarstellung/Fourierreihe\|Fourierreihe]].		*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Signaldarstellung/Fourierreihe\|Fourierreihe]].
	*Eine kompakte Zusammenfassung der Thematik finden Sie in den beiden Lernvideos		*Eine kompakte Zusammenfassung der Thematik finden Sie in den beiden Lernvideos
	:[[Zur_Berechnung_der_Fourierkoeffizienten_(Lernvideo)\|Zur Berechnung der Fourierkoeffizienten]] ~~sowie~~ [[Eigenschaften_der_Fourierreihendarstellung_(Lernvideo)\|Eigenschaften der Fourierreihendarstellung]].		::[[Zur_Berechnung_der_Fourierkoeffizienten_(Lernvideo)\|Zur Berechnung der Fourierkoeffizienten]],
			:: [[Eigenschaften_der_Fourierreihendarstellung_(Lernvideo)\|Eigenschaften der Fourierreihendarstellung]].


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	===Musterlösung===		===Musterlösung===
	{{ML-Kopf}}		{{ML-Kopf}}
	'''(1)'''  Richtig sind die <u>Aussagen 1, 3 und 5</u>.:		'''(1)'''  Richtig sind die <u>Aussagen 1, 3 und 5</u>:
	*Die Spektralfunktion beinhaltet eine Diracfunktion bei $f = 0$ mit dem Gewicht $0.5$ (Gleichanteil) sowie weitere Spektrallinien bei ungeradzahligen Vielfachen ($n = \pm1, \pm3, \pm5,\text{...}$) von $f_0$.		*Die Spektralfunktion beinhaltet eine Diracfunktion bei $f = 0$ mit dem Gewicht $0.5$ (Gleichanteil) sowie weitere Spektrallinien bei ungeradzahligen Vielfachen ($n = \pm1, \pm3, \pm5,\text{...}$) von $f_0$.
	*Die Gewichte bei $\pm f_0$ sind jeweils $A_1/2 = 1/\pi = 0.318$.		*Die Gewichte bei $\pm f_0$ sind jeweils $A_1/2 = 1/\pi = 0.318$.
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	'''(2)'''  Richtig sind die <u>Aussagen 1, 2 und 4</u>:		'''(2)'''  Richtig sind die <u>Aussagen 1, 2 und 4</u>:
	*Bei allen ungeradzahligen Vielfachen der Grundfrequenz existieren Spektrallinien, zusätzlich noch bei den $2–{\rm fachen}$, $6–{\rm fachen}$ und $10–{\rm fachen}$.		*Bei allen ungeradzahligen Vielfachen der Grundfrequenz existieren Spektrallinien, zusätzlich noch bei den $2–{\rm fachen}$, $6–{\rm fachen}$ und $10–{\rm fachen}$.
	*Beispielsweise gilt $A_1 = 1/\pi = 0.450$. Die Spektrallinie bei $2f_0$ hat somit das Gewicht $A_2/2 = 1/(2\pi) = 0.159$.		*Beispielsweise gilt $A_1 = 1/\pi = 0.450$. Die Spektrallinie bei $2f_0$ hat somit das Gewicht $A_2/2 = 1/(2\pi) = 0.159$.
	*Beispielsweise gilt $A_2 = 1/\pi = 0.318$. Die Spektrallinie bei $2f_0$ hat somit das Gewicht $A_2/2 = 1/(2\pi) = 0.159$.		*Für $n = 4$, $n = 8$, usw. sind dagegen die Koeffizienten $A_n = 0$, da für die Sinusfunktion gilt:   $\sin(\pi) = \sin(2\pi) =\text{ ...} = 0$.
	*Für $n = 4$, $n = 8$, usw. sind dagegen die Koeffizienten $A_n = 0$, da für die Sinusfunktion gilt: $\sin(\pi) = \sin(2\pi) =\text{ ...} = 0$.


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	'''(4)'''  Es gilt ${y(t)} = 1 – x(t)$. Für $n \neq 0$ ergeben sich somit die gleichen Fourierkoeffizienten wie für das Signal $x(t)$, jedoch mit negativen Vorzeichen. Inbesondere gilt:		'''(4)'''  Es gilt ${y(t)} = 1 - x(t)$. Für $n \neq 0$ ergeben sich somit die gleichen Fourierkoeffizienten wie für das Signal $x(t)$, jedoch mit negativen Vorzeichen. Inbesondere gilt:
	:$$A_1^{(y)} = -A_1^{(x)}=-{2}/{\pi} \cdot \sin({\pi}/{4})= -{\sqrt2}/{\pi}\hspace{0.15cm}\underline{\approx -0.450},$$		:$$A_1^{(y)} = -A_1^{(x)}=-{2}/{\pi} \cdot \sin({\pi}/{4})= -{\sqrt2}/{\pi}\hspace{0.15cm}\underline{\approx -0.450},$$
	:$$A_2^{(y)} = -A_2^{(x)}=-{1}/{\pi}\hspace{0.15cm}\underline{ \approx - 0.318}.$$		:$$A_2^{(y)} = -A_2^{(x)}=-{1}/{\pi}\hspace{0.15cm}\underline{ \approx - 0.318}.$$


	'''(5)'''  Es gilt ${z(t)} = y(t – T_0/2)$. Mit der Fourierreihendarstellung von ${y(t)}$ folgt daraus:		'''(5)'''  Es gilt ${z(t)} = y(t - T_0/2)$. Mit der Fourierreihendarstellung von ${y(t)}$ folgt daraus:
	:$$z(t)=A_0+A_1^{(y)}\cos(\omega_0(t-\frac{T_0}{2}))+A_2^{(y)}\cos(2\omega_0(t-\frac{T_0}{2}))+A_3^{(y)}\cos(3\omega_0(t-\frac{T_0}{2}))+\ldots$$		:$$z(t)=A_0+A_1^{(y)}\cos(\omega_0(t-\frac{T_0}{2}))+A_2^{(y)}\cos(2\omega_0(t-\frac{T_0}{2}))+A_3^{(y)}\cos(3\omega_0(t-\frac{T_0}{2}))+\ldots$$
	:$$\Rightarrow \quad z(t)=A_0-A_1^{(y)}\cos(\omega_0 t)+A_2^{(y)}\cos(2\omega_0 t)-A_3^{(y)}\cos(3\omega_0 t)+\text{...}$$		:$$\Rightarrow \quad z(t)=A_0-A_1^{(y)}\cos(\omega_0 t)+A_2^{(y)}\cos(2\omega_0 t)-A_3^{(y)}\cos(3\omega_0 t)+\text{...}$$