Aufgaben:Aufgabe 2.5Z: Nyquistentzerrung - Versionsgeschichte

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2026-03-16T12:35:47Z

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← Nächstältere Version		Version vom 16. März 2026, 14:35 Uhr
Zeile 102:		Zeile 102:

	'''(3)'''  Unter Berücksichtigung des Gaußkanals gilt:		'''(3)'''  Unter Berücksichtigung des Gaußkanals gilt:
	$$H_{\rm E}(f)= \frac{H(f)}{H_{\rm S}(f) \cdot H_{\rm K}(f)} = H_{\~~rmE~~}^{(2)}(f)\cdot {\rm e}^{\pi (f\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} T)^2}.$$		$$H_{\rm E}(f)= \frac{H(f)}{H_{\rm S}(f) \cdot H_{\rm K}(f)} = H_{\rm E}^{(2)}(f)\cdot {\rm e}^{\pi (f\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} T)^2}.$$

	Hierbei bezeichnet  $H_{\rm E}^{(2)}(f)$  den bei der Teilaufgabe  '''(2)'''  berechneten Entzerrerfrequenzgang unter der Voraussetzung eines idealen Kanals. Man erhält folgende numerische Ergebnisse:		Hierbei bezeichnet  $H_{\rm E}^{(2)}(f)$  den bei der Teilaufgabe  '''(2)'''  berechneten Entzerrerfrequenzgang unter der Voraussetzung eines idealen Kanals. Man erhält folgende numerische Ergebnisse:
Zeile 117:		Zeile 117:

	[[Category:Aufgaben zu Lineare zeitinvariante Systeme\|^2.3 Lineare Verzerrungen^]]		[[Category:Aufgaben zu Lineare zeitinvariante Systeme\|^2.3 Lineare Verzerrungen^]]
			[[en:Aufgaben:Exercise_2.5Z:_Nyquist_Equalization]]

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2026-02-24T13:38:56Z

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Zeile 9:		Zeile 9:

	* Der Gesamtfrequenzgang  $H(f) = H_{\rm S}(f) \cdot H_{\rm K}(f) \cdot H_{\rm E}(f)$  besitze einen  $\cos^2$–förmigen Verlauf:		* Der Gesamtfrequenzgang  $H(f) = H_{\rm S}(f) \cdot H_{\rm K}(f) \cdot H_{\rm E}(f)$  besitze einen  $\cos^2$–förmigen Verlauf:
	:$$H(f) = \left\{ \begin{array}{c} \cos^2\left({\pi}/{2} \cdot f \cdot T \right) \\		:$$H(f) = \left\{ \begin{array}{c} \cos^2\left({\pi}/{2} \cdot f \cdot T \right) \\0 \\ \end{array} \right.\quad \quad\begin{array}{{10}c} {\rm{f\ddot{u}r}} \\ {\rm{f\ddot{u}r}}\\ \end{array}\begin{array}{{20}c}{\left\| \hspace{0.005cm} f\hspace{0.05cm} \right\| < 1/T,} \\{\left\|\hspace{0.005cm} f \hspace{0.05cm} \right\| \ge 1/T.} \\\end{array}$$
	0 \\ \end{array} \right.\quad \quad
	\begin{array}{*{10}c} {\rm{f\ddot{u}r}} \\ {\rm{f\ddot{u}r}}
	\\ \end{array}\begin{array}{*{20}c}
	{\left\| \hspace{0.005cm} f\hspace{0.05cm} \right\| < 1/T,} \\
	{\left\|\hspace{0.005cm} f \hspace{0.05cm} \right\| \ge 1/T.} \\
	\end{array}$$
	* Das Signal  $y(t)$  vor dem Entscheider weist somit äquidistante Nulldurchgänge im Abstand  $T$  auf.		* Das Signal  $y(t)$  vor dem Entscheider weist somit äquidistante Nulldurchgänge im Abstand  $T$  auf.
	* Vorausgesetzt ist dabei, dass die Quelle einen  [[Signaldarstellung/Einige_Sonderfälle_impulsartiger_Signale#Diracimpuls\|Diracimpuls]]  $x(t)$  mit Gewicht  $T$  abgibt (siehe Grafik).		* Vorausgesetzt ist dabei, dass die Quelle einen  [[Signaldarstellung/Einige_Sonderfälle_impulsartiger_Signale#Diracimpuls\|Diracimpuls]]  $x(t)$  mit Gewicht  $T$  abgibt (siehe Grafik).
Zeile 29:		Zeile 23:

	* der Sendeimpuls  $s(t)$  rechteckförmig sei mit Impulsdauer  $T$:		* der Sendeimpuls  $s(t)$  rechteckförmig sei mit Impulsdauer  $T$:
	:$$H_{\rm S}(f) = {\rm si}(\pi f T)= {\rm sinc}(f T)\hspace{1.0cm} \Rightarrow \hspace{0.5cm}		:$$H_{\rm S}(f) = {\rm si}(\pi f T)= {\rm sinc}(f T)\hspace{1.0cm} \Rightarrow \hspace{0.5cm}{\rm si}(x) = \sin(x)/x,\hspace{0.5cm}{\rm sinc}(x) = \sin(\pi x)/(\pi x),$$
	{\rm si}(x) = \sin(x)/x,\hspace{0.5cm}{\rm sinc}(x) = \sin(\pi x)/(\pi x),$$
	* der Kanal bis einschließlich Teilaufgabe  '''(2)'''  als ideal vorausgesetzt wird,  während für die letzte Teilaufgabe  '''(3)'''  gelten soll:		* der Kanal bis einschließlich Teilaufgabe  '''(2)'''  als ideal vorausgesetzt wird,  während für die letzte Teilaufgabe  '''(3)'''  gelten soll:
	:$$H_{\rm K}(f) = H_{\rm G}(f) = {\rm e}^{-\pi(f \cdot T)^2} .$$		:$$H_{\rm K}(f) = H_{\rm G}(f) = {\rm e}^{-\pi(f \cdot T)^2} .$$
Zeile 95:		Zeile 88:

	*Mit der gegebenen trigonometrischen Umformung gilt weiter:		*Mit der gegebenen trigonometrischen Umformung gilt weiter:
	:$$H_{\rm E}(f) = {\pi f T}/{2} \cdot {\rm cot}\left( {\pi f		:$$H_{\rm E}(f) = {\pi f T}/{2} \cdot {\rm cot}\left( {\pi fT}/{2}\right),$$
	T}/{2}\right),$$

	:$$H_{\rm E}(f \cdot T = 0.25) = {\pi }/{8} \cdot {\rm cot}\left( 22.5^{\circ}\right)		:$$H_{\rm E}(f \cdot T = 0.25) = {\pi }/{8} \cdot {\rm cot}\left( 22.5^{\circ}\right) = {\pi }/{8} \cdot 2.414 =\hspace{0.15cm}\underline{0.948},$$
	= {\pi }/{8} \cdot 2.414 =
	\hspace{0.15cm}\underline{0.948},$$

	:$$H_{\rm E}(f \cdot T = 0.50) = {\pi }/{4} \cdot {\rm cot}\left( 45^{\circ}\right)		:$$H_{\rm E}(f \cdot T = 0.50) = {\pi }/{4} \cdot {\rm cot}\left( 45^{\circ}\right) = {\pi }/{4} \cdot 1 \hspace{0.15cm}\underline{=0.785},$$
	= {\pi }/{4} \cdot 1 \hspace{0.15cm}\underline{=
	0.785},$$

	:$$ H_{\rm E}(f \cdot T = 0.75) = {3 \pi }/{8} \cdot {\rm cot}\left( 67.5^{\circ}\right) = {3 \pi }/{8} \cdot 0.414 \hspace{0.15cm}\underline{=		:$$ H_{\rm E}(f \cdot T = 0.75) = {3 \pi }/{8} \cdot {\rm cot}\left( 67.5^{\circ}\right) = {3 \pi }/{8} \cdot 0.414 \hspace{0.15cm}\underline{=0.488},$$
	0.488},$$

	:$$ H_{\rm E}(f \cdot T = 1.00)= { \pi }/{2} \cdot {\rm cot}\left( 90^{\circ}\right) ={ \pi }/{2} \cdot 0 \hspace{0.15cm}\underline{ = 0}.$$		:$$ H_{\rm E}(f \cdot T = 1.00)= { \pi }/{2} \cdot {\rm cot}\left( 90^{\circ}\right) ={ \pi }/{2} \cdot 0 \hspace{0.15cm}\underline{ = 0}.$$
Zeile 115:		Zeile 102:

	'''(3)'''  Unter Berücksichtigung des Gaußkanals gilt:		'''(3)'''  Unter Berücksichtigung des Gaußkanals gilt:
	$$H_{\rm E}(f)= \frac{H(f)}{H_{\rm S}(f) \cdot H_{\rm K}(f)} = H_{\rm		$$H_{\rm E}(f)= \frac{H(f)}{H_{\rm S}(f) \cdot H_{\rm K}(f)} = H_{\rmE}^{(2)}(f)\cdot {\rm e}^{\pi (f\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} T)^2}.$$
	E}^{(2)}(f)\cdot {\rm e}^{\pi (f\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} T)^2}.$$

	Hierbei bezeichnet  $H_{\rm E}^{(2)}(f)$  den bei der Teilaufgabe  '''(2)'''  berechneten Entzerrerfrequenzgang unter der Voraussetzung eines idealen Kanals. Man erhält folgende numerische Ergebnisse:		Hierbei bezeichnet  $H_{\rm E}^{(2)}(f)$  den bei der Teilaufgabe  '''(2)'''  berechneten Entzerrerfrequenzgang unter der Voraussetzung eines idealen Kanals. Man erhält folgende numerische Ergebnisse:

Guenter am 6. Oktober 2021 um 08:41 Uhr

2021-10-06T08:41:15Z

← Nächstältere Version		Version vom 6. Oktober 2021, 10:41 Uhr
Zeile 110:		Zeile 110:

	:$$ H_{\rm E}(f \cdot T = 1.00)= { \pi }/{2} \cdot {\rm cot}\left( 90^{\circ}\right) ={ \pi }/{2} \cdot 0 \hspace{0.15cm}\underline{ = 0}.$$		:$$ H_{\rm E}(f \cdot T = 1.00)= { \pi }/{2} \cdot {\rm cot}\left( 90^{\circ}\right) ={ \pi }/{2} \cdot 0 \hspace{0.15cm}\underline{ = 0}.$$

			Die rote Kurve in der Grafik fasst die Ergebnisse dieser Teilaufgabe zusammen.

Guenter am 6. Oktober 2021 um 08:10 Uhr

2021-10-06T08:10:42Z

← Nächstältere Version		Version vom 6. Oktober 2021, 10:10 Uhr
Zeile 22:		Zeile 22:
	Es wird darauf hingewiesen, dass es sich hierbei um ein so genanntes &bdquo;Nyquistsystem” handelt.		Es wird darauf hingewiesen, dass es sich hierbei um ein so genanntes &bdquo;Nyquistsystem” handelt.

	Wie im Buch  [[Digitalsignalübertragung/Lineare_Nyquistentzerrung]]  noch ausführlich diskutiert werden wird, stellen diese Nyquistsysteme eine wichtige Klasse digitaler Übertragungssysteme dar, da sich bei ihnen die sequenziell übertragenen Symbole nicht gegenseitig beeinflussen.		Wie im Buch  [[Digitalsignalübertragung/Lineare_Nyquistentzerrung\|Digitalsignalübertragung]]  noch ausführlich diskutiert werden wird, stellen diese Nyquistsysteme eine wichtige Klasse digitaler Übertragungssysteme dar, da sich bei ihnen die sequenziell übertragenen Symbole nicht gegenseitig beeinflussen.

	Für die Lösung dieser Aufgabe werden diese weiterreichenden Aspekte jedoch nicht benötigt.		Für die Lösung dieser Aufgabe werden diese weiterreichenden Aspekte jedoch nicht benötigt.

Guenter am 6. Oktober 2021 um 08:10 Uhr

2021-10-06T08:10:09Z

← Nächstältere Version		Version vom 6. Oktober 2021, 10:10 Uhr
Zeile 22:		Zeile 22:
	Es wird darauf hingewiesen, dass es sich hierbei um ein so genanntes &bdquo;Nyquistsystem” handelt.		Es wird darauf hingewiesen, dass es sich hierbei um ein so genanntes &bdquo;Nyquistsystem” handelt.

	Wie im Buch  [[Digitalsignalübertragung]]  noch ausführlich diskutiert werden wird, stellen diese Nyquistsysteme eine wichtige Klasse digitaler Übertragungssysteme dar, da sich bei ihnen die sequenziell übertragenen Symbole nicht gegenseitig beeinflussen.		Wie im Buch  [[Digitalsignalübertragung/Lineare_Nyquistentzerrung]]  noch ausführlich diskutiert werden wird, stellen diese Nyquistsysteme eine wichtige Klasse digitaler Übertragungssysteme dar, da sich bei ihnen die sequenziell übertragenen Symbole nicht gegenseitig beeinflussen.

	Für die Lösung dieser Aufgabe werden diese weiterreichenden Aspekte jedoch nicht benötigt.		Für die Lösung dieser Aufgabe werden diese weiterreichenden Aspekte jedoch nicht benötigt.

Guenter am 6. Oktober 2021 um 08:08 Uhr

2021-10-06T08:08:53Z

← Nächstältere Version		Version vom 6. Oktober 2021, 10:08 Uhr
Zeile 29:		Zeile 29:

	* der Sendeimpuls  $s(t)$  rechteckförmig sei mit Impulsdauer  $T$:		* der Sendeimpuls  $s(t)$  rechteckförmig sei mit Impulsdauer  $T$:
	:$$H_{\rm S}(f) = {\rm si}(\pi f T),$$		:$$H_{\rm S}(f) = {\rm si}(\pi f T)= {\rm sinc}(f T)\hspace{1.0cm} \Rightarrow \hspace{0.5cm}
	* der Kanal bis einschließlich Teilaufgabe  '''(2)'''  als ideal vorausgesetzt wird, während für die letzte Teilaufgabe  '''(3)'''  gelten soll:		{\rm si}(x) = \sin(x)/x,\hspace{0.5cm}{\rm sinc}(x) = \sin(\pi x)/(\pi x),$$
			* der Kanal bis einschließlich Teilaufgabe  '''(2)'''  als ideal vorausgesetzt wird,  während für die letzte Teilaufgabe  '''(3)'''  gelten soll:
	:$$H_{\rm K}(f) = H_{\rm G}(f) = {\rm e}^{-\pi(f \cdot T)^2} .$$		:$$H_{\rm K}(f) = H_{\rm G}(f) = {\rm e}^{-\pi(f \cdot T)^2} .$$

	Gesucht ist für beide Kanäle der Empfänger– und gleichzeitig Entzerrerfrequenzgang  $H_{\rm E}(f)$, damit der Gesamtfrequenzgang die gewünschte Nyquistform aufweist.		Gesucht ist für beide Kanäle der Empfänger– und gleichzeitig Entzerrerfrequenzgang  $H_{\rm E}(f)$,  damit der Gesamtfrequenzgang die gewünschte Nyquistform aufweist.


Zeile 41:		Zeile 42:

	''Hinweise:''		''Hinweise:''
	*Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Lineare_Verzerrungen\|Lineare Verzerrungen]].		*Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Lineare_Verzerrungen\|Lineare Verzerrungen]].

	*Als bekannt vorausgesetzt wird die folgende trigonometrische Beziehung:		*Als bekannt vorausgesetzt wird die folgende trigonometrische Beziehung:
	:$$\frac{\cos^2(\alpha /2)}{\sin(\alpha )} = {1}/{2} \cdot {\rm cot}(\alpha /2) .$$		:$$\frac{\cos^2(\alpha /2)}{\sin(\alpha )} = {1}/{2} \cdot {\rm cot}(\alpha /2) .$$

Guenter am 29. Oktober 2019 um 14:15 Uhr

2019-10-29T14:15:31Z

← Nächstältere Version		Version vom 29. Oktober 2019, 16:15 Uhr
Zeile 79:		Zeile 79:
	{{ML-Kopf}}		{{ML-Kopf}}
	[[Datei:P_ID922__LZI_Z_2_5_a.png\|right\|frame\|Cosinus–Quadrat–Spektrum]]		[[Datei:P_ID922__LZI_Z_2_5_a.png\|right\|frame\|Cosinus–Quadrat–Spektrum]]
	'''(1)'''  Mit dem konstanten Spektrum $X(f) = T$ erhält man für die Spektralfunktion des Empfängerausgangssignals $y(t)$:		'''(1)'''  Mit dem konstanten Spektrum  $X(f) = T$  erhält man für die Spektralfunktion des Empfängerausgangssignals  $y(t)$:
	:$$Y(f)= T \cdot {H(f)}.$$		:$$Y(f)= T \cdot {H(f)}.$$

	*Der Signalwert bei $t = 0$ ist gleich der Fläche unter $Y(f)$.		*Der Signalwert bei  $t = 0$  ist gleich der Fläche unter $Y(f)$.
	*Wie aus der nebenstehenden Skizze hervorgeht, ist diese gleich $1$. Daraus folgt:		*Wie aus der nebenstehenden Skizze hervorgeht, ist diese gleich  $1$. Daraus folgt:
	:$$y(t = 0)\; \underline{= 1}.$$		:$$y(t = 0)\; \underline{= 1}.$$



	[[Datei:P_ID923__LZI_Z_2_5_c_neu.png\|right\|frame\|Frequenzgang des Nyquistentzerrers]]		[[Datei:P_ID923__LZI_Z_2_5_c_neu.png\|right\|frame\|Frequenzgang des Nyquistentzerrers]]
	'''(2)'''  Aus der Bedingung $H_{\rm S}(f) \cdot H_{\rm E}(f) = H(f)$ folgt im betrachteten Bereich:		'''(2)'''  Aus der Bedingung  $H_{\rm S}(f) \cdot H_{\rm E}(f) = H(f)$  folgt im betrachteten Bereich:
	:$$H_{\rm E}(f)= \frac{H(f)}{H_{\rm S}(f)} = \frac{\cos^2(\pi f T/2)}{\sin(\pi f T)/(\pi f T)}.$$		:$$H_{\rm E}(f)= \frac{H(f)}{H_{\rm S}(f)} = \frac{\cos^2(\pi f T/2)}{\sin(\pi f T)/(\pi f T)}.$$

	Wegen $\cos(0) = 1$ und ${\rm si}(0) = 1$ gilt auch $H_{\rm E}(f = 0)\;\underline{=1}$.		*Wegen  $\cos(0) = 1$  und  ${\rm si}(0) = 1$  gilt auch  $H_{\rm E}(f = 0)\;\underline{=1}$.

	Mit der gegebenen trigonometrischen Umformung gilt weiter:		*Mit der gegebenen trigonometrischen Umformung gilt weiter:
	:$$H_{\rm E}(f) = ~~\frac~~{\pi f T}{2} \cdot {\rm cot}\left( ~~\frac~~{\pi f		:$$H_{\rm E}(f) = {\pi f T}/{2} \cdot {\rm cot}\left( {\pi f
	T}{2}\right),$$		T}/{2}\right),$$

	:$$H_{\rm E}(f \cdot T = 0.25) = {\pi }/{8} \cdot {\rm cot}\left( 22.5^{\circ}\right)		:$$H_{\rm E}(f \cdot T = 0.25) = {\pi }/{8} \cdot {\rm cot}\left( 22.5^{\circ}\right)
Zeile 113:		Zeile 114:
	'''(3)'''  Unter Berücksichtigung des Gaußkanals gilt:		'''(3)'''  Unter Berücksichtigung des Gaußkanals gilt:
	$$H_{\rm E}(f)= \frac{H(f)}{H_{\rm S}(f) \cdot H_{\rm K}(f)} = H_{\rm		$$H_{\rm E}(f)= \frac{H(f)}{H_{\rm S}(f) \cdot H_{\rm K}(f)} = H_{\rm
	E}^{(2)}(f)\cdot {\rm e}^{\pi (f T)^2}.$$		E}^{(2)}(f)\cdot {\rm e}^{\pi (f\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} T)^2}.$$

	Hierbei bezeichnet $H_{\rm E}^{(2)}(f)$ den bei der Teilaufgabe '''(2)''' berechneten Entzerrerfrequenzgang unter der Voraussetzung eines idealen Kanals. Man erhält folgende numerische Ergebnisse:		Hierbei bezeichnet  $H_{\rm E}^{(2)}(f)$  den bei der Teilaufgabe  '''(2)'''  berechneten Entzerrerfrequenzgang unter der Voraussetzung eines idealen Kanals. Man erhält folgende numerische Ergebnisse:
	:$$H_{\rm E}(f\cdot T = 0) = 1 \cdot {\rm e}^{0} \hspace{0.15cm}\underline{= 1},$$		:$$H_{\rm E}(f\cdot T = 0) = 1 \cdot {\rm e}^{0} \hspace{0.15cm}\underline{= 1},$$
	:$$H_{\rm E}(f \cdot T = 0.25) = 0.948 \cdot 1.217 \hspace{0.15cm}\underline{= 1.154},$$		:$$H_{\rm E}(f \cdot T = 0.25) = 0.948 \cdot 1.217 \hspace{0.15cm}\underline{= 1.154},$$
Zeile 122:		Zeile 123:
	:$$H_{\rm E}(f \cdot T = 1.00) = 0 \cdot 23.141 \hspace{0.15cm}\underline{= 0}.$$		:$$H_{\rm E}(f \cdot T = 1.00) = 0 \cdot 23.141 \hspace{0.15cm}\underline{= 0}.$$

	Die grüne Kurve in ~~der zweiten~~ Grafik fasst die Ergebnisse dieser Teilaufgabe zusammen.		Die grüne Kurve in obiger Grafik fasst die Ergebnisse dieser Teilaufgabe zusammen.
	{{ML-Fuß}}		{{ML-Fuß}}

Guenter am 29. Oktober 2019 um 14:06 Uhr

2019-10-29T14:06:41Z

← Nächstältere Version		Version vom 29. Oktober 2019, 16:06 Uhr
Zeile 6:		Zeile 6:
	Ein digitales Basisbandübertragungssystem wird durch das dargestellte Blockschaltbild modelliert.		Ein digitales Basisbandübertragungssystem wird durch das dargestellte Blockschaltbild modelliert.

	* Die Komponenten &bdquo;Sender”, &bdquo;Kanal” und &bdquo;Empfänger” werden im Frequenzbereich durch $H_{\rm S}(f)$, $H_{\rm K}(f)$ und $H_{\rm E}(f)$ beschrieben .		* Die Komponenten &bdquo;Sender”, &bdquo;Kanal” und &bdquo;Empfänger” werden im Frequenzbereich durch  $H_{\rm S}(f)$,  $H_{\rm K}(f)$  und  $H_{\rm E}(f)$  beschrieben .

	* Der Gesamtfrequenzgang $H(f) = H_{\rm S}(f) \cdot H_{\rm K}(f) \cdot H_{\rm E}(f)$ ~~soll~~ einen $\cos^2$–förmigen Verlauf ~~haben~~:		* Der Gesamtfrequenzgang  $H(f) = H_{\rm S}(f) \cdot H_{\rm K}(f) \cdot H_{\rm E}(f)$  besitze einen  $\cos^2$–förmigen Verlauf:
	:$$H(f) = \left\{ \begin{array}{c} \cos^2\left({\pi}/{2} \cdot f \cdot T \right) \\		:$$H(f) = \left\{ \begin{array}{c} \cos^2\left({\pi}/{2} \cdot f \cdot T \right) \\
	0 \\ \end{array} \right.\quad \quad		0 \\ \end{array} \right.\quad \quad
Zeile 16:		Zeile 16:
	{\left\|\hspace{0.005cm} f \hspace{0.05cm} \right\| \ge 1/T.} \\		{\left\|\hspace{0.005cm} f \hspace{0.05cm} \right\| \ge 1/T.} \\
	\end{array}$$		\end{array}$$
	* Das Signal $y(t)$ vor dem Entscheider weist somit äquidistante Nulldurchgänge im Abstand $T$ auf.		* Das Signal  $y(t)$  vor dem Entscheider weist somit äquidistante Nulldurchgänge im Abstand  $T$  auf.
	* Vorausgesetzt ist dabei, dass die Quelle einen [[Signaldarstellung/Einige_Sonderfälle_impulsartiger_Signale#Diracimpuls\|Diracimpuls]] $x(t)$ mit Gewicht $T$ abgibt (siehe Grafik).		* Vorausgesetzt ist dabei, dass die Quelle einen  [[Signaldarstellung/Einige_Sonderfälle_impulsartiger_Signale#Diracimpuls\|Diracimpuls]]  $x(t)$  mit Gewicht  $T$  abgibt (siehe Grafik).


	Es wird darauf hingewiesen, dass es sich hierbei um ein so genanntes &bdquo;Nyquistsystem” handelt.		Es wird darauf hingewiesen, dass es sich hierbei um ein so genanntes &bdquo;Nyquistsystem” handelt.

	Wie im Buch [[Digitalsignalübertragung]] noch ausführlich diskutiert werden wird, stellen diese Nyquistsysteme eine wichtige Klasse digitaler Übertragungssysteme dar, da sich bei ihnen die sequenziell übertragenen Symbole nicht gegenseitig beeinflussen.		Wie im Buch  [[Digitalsignalübertragung]]  noch ausführlich diskutiert werden wird, stellen diese Nyquistsysteme eine wichtige Klasse digitaler Übertragungssysteme dar, da sich bei ihnen die sequenziell übertragenen Symbole nicht gegenseitig beeinflussen.

	Für die Lösung dieser Aufgabe werden diese weiterreichenden Aspekte jedoch nicht benötigt.		Für die Lösung dieser Aufgabe werden diese weiterreichenden Aspekte jedoch nicht benötigt.
Zeile 28:		Zeile 28:
	Es wird hier lediglich vorausgesetzt, dass		Es wird hier lediglich vorausgesetzt, dass

	* der Sendeimpuls $s(t)$ rechteckförmig sei mit Impulsdauer $T$:		* der Sendeimpuls  $s(t)$  rechteckförmig sei mit Impulsdauer  $T$:
	:$$H_{\rm S}(f) = {\rm si}(\pi f T),$$		:$$H_{\rm S}(f) = {\rm si}(\pi f T),$$
	* der Kanal bis einschließlich Teilaufgabe '''(2)''' als ideal vorausgesetzt wird, während für die letzte Teilaufgabe '''(3)''' gelten soll:		* der Kanal bis einschließlich Teilaufgabe  '''(2)'''  als ideal vorausgesetzt wird, während für die letzte Teilaufgabe  '''(3)'''  gelten soll:
	:$$H_{\rm K}(f) = H_{\rm G}(f) = {\rm e}^{-\pi(f \cdot T)^2} .$$		:$$H_{\rm K}(f) = H_{\rm G}(f) = {\rm e}^{-\pi(f \cdot T)^2} .$$

	Gesucht ist für beide Kanäle der Empfänger– und gleichzeitig Entzerrerfrequenzgang $H_{\rm E}(f)$, damit der Gesamtfrequenzgang die gewünschte Nyquistform aufweist.		Gesucht ist für beide Kanäle der Empfänger– und gleichzeitig Entzerrerfrequenzgang  $H_{\rm E}(f)$, damit der Gesamtfrequenzgang die gewünschte Nyquistform aufweist.


Zeile 50:		Zeile 50:

	<quiz display=simple>		<quiz display=simple>
	{Berechnen Sie den Ausgangssignalwert zum Zeitpunkt $t = 0$.		{Berechnen Sie den Ausgangssignalwert zum Zeitpunkt  $t = 0$.
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$y(t = 0) \ = \ $ { 1 3% }		$y(t = 0) \ = \ $ { 1 3% }


	{Zunächst sei $H_{\rm K}(f) = 1$   ⇒   <u>idealer Kanal</u>. Berechnen Sie für diesen Fall den Frequenzgang $H_{\rm E}(f)$. <br>Welche Werte ergeben sich bei den nachfolgend genannten Frequenzen?		{Zunächst sei  $H_{\rm K}(f) = 1$   ⇒   <u>idealer Kanal</u>. Berechnen Sie für diesen Fall den Frequenzgang  $H_{\rm E}(f)$. <br>Welche Werte ergeben sich bei den nachfolgend genannten Frequenzen?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$\|H_{\rm E}(f \cdot T = 0)\| \ = \ $ { 1 3% }		$\|H_{\rm E}(f \cdot T = 0)\| \ = \ $ { 1 3% }
Zeile 64:		Zeile 64:


	{Berechnen Sie $H_{\rm E}(f)$ für den gaußförmigen Kanal $H_{\rm K}(f) = H_{\rm G}(f)$ entsprechend der Angabe.		{Berechnen Sie  $H_{\rm E}(f)$  für den gaußförmigen Kanal  $H_{\rm K}(f) = H_{\rm G}(f)$  entsprechend der Angabe.
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$\|H_{\rm E}(f \cdot T = 0)\|\ = \ $ { 1 3% }		$\|H_{\rm E}(f \cdot T = 0)\|\ = \ $ { 1 3% }

Guenter am 9. November 2018 um 16:39 Uhr

2018-11-09T16:39:38Z

← Nächstältere Version		Version vom 9. November 2018, 18:39 Uhr
Zeile 83:		Zeile 83:

	*Der Signalwert bei $t = 0$ ist gleich der Fläche unter $Y(f)$.		*Der Signalwert bei $t = 0$ ist gleich der Fläche unter $Y(f)$.
	*Wie aus der nebenstehenden Skizze hervorgeht, ist diese gleich $1$. Daraus folgt: $y(t = 0)\; \underline{= 1}$.		*Wie aus der nebenstehenden Skizze hervorgeht, ist diese gleich $1$. Daraus folgt:
			:$$y(t = 0)\; \underline{= 1}.$$


Zeile 92:		Zeile 93:
	Wegen $\cos(0) = 1$ und ${\rm si}(0) = 1$ gilt auch $H_{\rm E}(f = 0)\;\underline{=1}$.		Wegen $\cos(0) = 1$ und ${\rm si}(0) = 1$ gilt auch $H_{\rm E}(f = 0)\;\underline{=1}$.

	Mit der gegebenen trigonometrischen Umformung gilt weiter: ~~ ~~ $H_{\rm E}(f) = \frac{\pi f T}{2} \cdot {\rm cot}\left( \frac{\pi f		Mit der gegebenen trigonometrischen Umformung gilt weiter:
	T}{2}\right),$		:$$H_{\rm E}(f) = \frac{\pi f T}{2} \cdot {\rm cot}\left( \frac{\pi f
			T}{2}\right),$$

	:$$H_{\rm E}(f \cdot T = 0.25) = {\pi }/{8} \cdot {\rm cot}\left( 22.5^{\circ}\right)		:$$H_{\rm E}(f \cdot T = 0.25) = {\pi }/{8} \cdot {\rm cot}\left( 22.5^{\circ}\right)
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	E}^{(2)}(f)\cdot {\rm e}^{\pi (f T)^2}.$$		E}^{(2)}(f)\cdot {\rm e}^{\pi (f T)^2}.$$

	Hierbei bezeichnet $H_{\rm E}^{(2)}(f)$ den bei der Teilaufgabe (2) berechneten Entzerrerfrequenzgang unter der Voraussetzung eines idealen Kanals.		Hierbei bezeichnet $H_{\rm E}^{(2)}(f)$ den bei der Teilaufgabe '''(2)''' berechneten Entzerrerfrequenzgang unter der Voraussetzung eines idealen Kanals. Man erhält folgende numerische Ergebnisse:

	Man erhält folgende numerische Ergebnisse:
	:$$H_{\rm E}(f\cdot T = 0) = 1 \cdot {\rm e}^{0} \hspace{0.15cm}\underline{= 1},$$		:$$H_{\rm E}(f\cdot T = 0) = 1 \cdot {\rm e}^{0} \hspace{0.15cm}\underline{= 1},$$
	:$$H_{\rm E}(f \cdot T = 0.25) = 0.948 \cdot 1.217 \hspace{0.15cm}\underline{= 1.154},$$		:$$H_{\rm E}(f \cdot T = 0.25) = 0.948 \cdot 1.217 \hspace{0.15cm}\underline{= 1.154},$$

Guenter am 9. November 2018 um 16:34 Uhr

2018-11-09T16:34:32Z

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	[[Datei:P_ID910__LZI_Z_2_5.png\|right\|frame\|Blockschaltbild für das betrachtete Nyquistsystem]]		[[Datei:P_ID910__LZI_Z_2_5.png\|right\|frame\|Blockschaltbild für das betrachtete Nyquistsystem]]
	Ein digitales Basisbandübertragungssystem ~~kann~~ durch das dargestellte Blockschaltbild modelliert ~~werden~~.		Ein digitales Basisbandübertragungssystem wird durch das dargestellte Blockschaltbild modelliert.

	* Die Komponenten &bdquo;Sender”, &bdquo;Kanal” und &bdquo;Empfänger” werden im Frequenzbereich durch $H_{\rm S}(f)$, $H_{\rm K}(f)$ und $H_{\rm E}(f)$ beschrieben .		* Die Komponenten &bdquo;Sender”, &bdquo;Kanal” und &bdquo;Empfänger” werden im Frequenzbereich durch $H_{\rm S}(f)$, $H_{\rm K}(f)$ und $H_{\rm E}(f)$ beschrieben .
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	{\left\|\hspace{0.005cm} f \hspace{0.05cm} \right\| \ge 1/T.} \\		{\left\|\hspace{0.005cm} f \hspace{0.05cm} \right\| \ge 1/T.} \\
	\end{array}$$		\end{array}$$
	* Das Signal $y(t)$ vor dem ~~(Schwellenwert–)~~Entscheider weist somit äquidistante Nulldurchgänge im Abstand $T$ auf.		* Das Signal $y(t)$ vor dem Entscheider weist somit äquidistante Nulldurchgänge im Abstand $T$ auf.
	* Vorausgesetzt ~~wird~~ dabei, dass die Quelle einen [[Signaldarstellung/Einige_Sonderfälle_impulsartiger_Signale#Diracimpuls\|Diracimpuls]] $x(t)$ mit Gewicht $T$ abgibt (siehe Grafik).		* Vorausgesetzt ist dabei, dass die Quelle einen [[Signaldarstellung/Einige_Sonderfälle_impulsartiger_Signale#Diracimpuls\|Diracimpuls]] $x(t)$ mit Gewicht $T$ abgibt (siehe Grafik).


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	Wie im Buch [[Digitalsignalübertragung]] noch ausführlich diskutiert werden wird, stellen diese Nyquistsysteme eine wichtige Klasse digitaler Übertragungssysteme dar, da sich bei ihnen die sequenziell übertragenen Symbole nicht gegenseitig beeinflussen.		Wie im Buch [[Digitalsignalübertragung]] noch ausführlich diskutiert werden wird, stellen diese Nyquistsysteme eine wichtige Klasse digitaler Übertragungssysteme dar, da sich bei ihnen die sequenziell übertragenen Symbole nicht gegenseitig beeinflussen.

	Für die Lösung dieser Aufgabe werden diese weiterreichenden Aspekte jedoch nicht benötigt. Es wird hier lediglich vorausgesetzt, dass		Für die Lösung dieser Aufgabe werden diese weiterreichenden Aspekte jedoch nicht benötigt.

			Es wird hier lediglich vorausgesetzt, dass

	* der Sendeimpuls $s(t)$ rechteckförmig sei mit Impulsdauer $T$:		* der Sendeimpuls $s(t)$ rechteckförmig sei mit Impulsdauer $T$:
	:$$H_{\rm S}(f) = {\rm si}(\pi f T),$$		:$$H_{\rm S}(f) = {\rm si}(\pi f T),$$
	* der Kanal bis einschließlich Teilaufgabe (2) als ideal vorausgesetzt wird, während für die letzte Teilaufgabe (3) gelten soll:		* der Kanal bis einschließlich Teilaufgabe '''(2)''' als ideal vorausgesetzt wird, während für die letzte Teilaufgabe '''(3)''' gelten soll:
	:$$H_{\rm K}(f) = H_{\rm G}(f) = {\rm e}^{-\pi(f \cdot T)^2} .$$		:$$H_{\rm K}(f) = H_{\rm G}(f) = {\rm e}^{-\pi(f \cdot T)^2} .$$

	Gesucht ist für beide Kanäle der Empfänger- und gleichzeitig Entzerrerfrequenzgang $H_{\rm E}(f)$, damit der Gesamtfrequenzgang die gewünschte Nyquistform aufweist.		Gesucht ist für beide Kanäle der Empfänger– und gleichzeitig Entzerrerfrequenzgang $H_{\rm E}(f)$, damit der Gesamtfrequenzgang die gewünschte Nyquistform aufweist.


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	''Hinweise:''		''Hinweise:''
	*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Lineare_Verzerrungen\|Lineare Verzerrungen]].		*Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Lineare_Verzerrungen\|Lineare Verzerrungen]].

	*Als bekannt vorausgesetzt wird die folgende trigonometrische Beziehung:		*Als bekannt vorausgesetzt wird die folgende trigonometrische Beziehung:
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	{Berechnen Sie $H_{\rm E}(f)$ für den gaußförmigen Kanal entsprechend der Angabe.		{Berechnen Sie $H_{\rm E}(f)$ für den gaußförmigen Kanal $H_{\rm K}(f) = H_{\rm G}(f)$ entsprechend der Angabe.
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$\|H_{\rm E}(f \cdot T = 0)\|\ = \ $ { 1 3% }		$\|H_{\rm E}(f \cdot T = 0)\|\ = \ $ { 1 3% }