Aufgaben:Aufgabe 2.5Z: Nyquistentzerrung - Versionsgeschichte

Guenter am 6. Oktober 2021 um 08:41 Uhr

2021-10-06T08:41:15Z

Guenter am 6. Oktober 2021 um 08:10 Uhr

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Guenter am 6. Oktober 2021 um 08:10 Uhr

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Guenter am 6. Oktober 2021 um 08:08 Uhr

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Guenter am 29. Oktober 2019 um 14:15 Uhr

2019-10-29T14:15:31Z

Guenter am 29. Oktober 2019 um 14:06 Uhr

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Guenter am 9. November 2018 um 16:39 Uhr

2018-11-09T16:39:38Z

Guenter am 9. November 2018 um 16:34 Uhr

2018-11-09T16:34:32Z

Mwiki-lnt: Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

2018-05-29T12:02:45Z

Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

Guenter am 8. März 2018 um 15:37 Uhr

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	:$$ H_{\rm E}(f \cdot T = 1.00)= { \pi }/{2} \cdot {\rm cot}\left( 90^{\circ}\right) ={ \pi }/{2} \cdot 0 \hspace{0.15cm}\underline{ = 0}.$$		:$$ H_{\rm E}(f \cdot T = 1.00)= { \pi }/{2} \cdot {\rm cot}\left( 90^{\circ}\right) ={ \pi }/{2} \cdot 0 \hspace{0.15cm}\underline{ = 0}.$$
		+
		+	Die rote Kurve in der Grafik fasst die Ergebnisse dieser Teilaufgabe zusammen.

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 Es wird darauf hingewiesen, dass es sich hierbei um ein so genanntes &bdquo;Nyquistsystem&rdquo; handelt.
-Wie im Buch&nbsp; [[Digitalsignalübertragung/Lineare_Nyquistentzerrung]]&nbsp; noch ausführlich diskutiert werden wird, stellen diese Nyquistsysteme eine wichtige Klasse digitaler Übertragungssysteme dar, da sich bei ihnen die sequenziell übertragenen Symbole nicht gegenseitig beeinflussen.
+Wie im Buch&nbsp; [[Digitalsignalübertragung/Lineare_Nyquistentzerrung|Digitalsignalübertragung]]&nbsp; noch ausführlich diskutiert werden wird, stellen diese Nyquistsysteme eine wichtige Klasse digitaler Übertragungssysteme dar, da sich bei ihnen die sequenziell übertragenen Symbole nicht gegenseitig beeinflussen.
 Für die Lösung dieser Aufgabe werden diese weiterreichenden Aspekte jedoch nicht benötigt.

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 Es wird darauf hingewiesen, dass es sich hierbei um ein so genanntes &bdquo;Nyquistsystem&rdquo; handelt.
-Wie im Buch&nbsp; [[Digitalsignalübertragung]]&nbsp; noch ausführlich diskutiert werden wird, stellen diese Nyquistsysteme eine wichtige Klasse digitaler Übertragungssysteme dar, da sich bei ihnen die sequenziell übertragenen Symbole nicht gegenseitig beeinflussen.
+Wie im Buch&nbsp; [[Digitalsignalübertragung/Lineare_Nyquistentzerrung]]&nbsp; noch ausführlich diskutiert werden wird, stellen diese Nyquistsysteme eine wichtige Klasse digitaler Übertragungssysteme dar, da sich bei ihnen die sequenziell übertragenen Symbole nicht gegenseitig beeinflussen.
 Für die Lösung dieser Aufgabe werden diese weiterreichenden Aspekte jedoch nicht benötigt.

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 * der Sendeimpuls&nbsp; $s(t)$&nbsp; rechteckförmig sei mit Impulsdauer&nbsp; $T$:
-:$$H_{\rm S}(f) = {\rm si}(\pi f T),$$
+:$$H_{\rm S}(f) = {\rm si}(\pi f T)= {\rm sinc}(f T)\hspace{1.0cm} \Rightarrow \hspace{0.5cm}
-* der Kanal bis einschließlich Teilaufgabe&nbsp; '''(2)'''&nbsp; als ideal vorausgesetzt wird, während für die letzte Teilaufgabe&nbsp; '''(3)'''&nbsp; gelten soll:
+{\rm si}(x) = \sin(x)/x,\hspace{0.5cm}{\rm sinc}(x) = \sin(\pi x)/(\pi x),$$
 :$$H_{\rm K}(f) = H_{\rm G}(f) = {\rm e}^{-\pi(f \cdot T)^2} .$$
-Gesucht ist für beide Kanäle der Empfänger&ndash; und gleichzeitig Entzerrerfrequenzgang&nbsp; $H_{\rm E}(f)$, damit der Gesamtfrequenzgang die gewünschte Nyquistform aufweist.
+Gesucht ist für beide Kanäle der Empfänger&ndash; und gleichzeitig Entzerrerfrequenzgang&nbsp; $H_{\rm E}(f)$,&nbsp; damit der Gesamtfrequenzgang die gewünschte Nyquistform aufweist.
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 ''Hinweise:''
 *Die Aufgabe gehört zum Kapitel&nbsp;  [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Lineare_Verzerrungen|Lineare Verzerrungen]].
 *Als bekannt vorausgesetzt wird die folgende trigonometrische Beziehung:
 :$$\frac{\cos^2(\alpha /2)}{\sin(\alpha )} = {1}/{2} \cdot {\rm cot}(\alpha /2) .$$

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 {{ML-Kopf}}
 [[Datei:P_ID922__LZI_Z_2_5_a.png|right|frame|Cosinus–Quadrat–Spektrum]]
-'''(1)'''&nbsp; Mit dem konstanten Spektrum $X(f) = T$ erhält man für die Spektralfunktion des Empfängerausgangssignals $y(t)$:
+'''(1)'''&nbsp; Mit dem konstanten Spektrum&nbsp; $X(f) = T$&nbsp; erhält man für die Spektralfunktion des Empfängerausgangssignals&nbsp; $y(t)$:
 :$$Y(f)=  T \cdot {H(f)}.$$
-*Der Signalwert bei $t = 0$ ist gleich der Fläche unter $Y(f)$.
+*Der Signalwert bei&nbsp; $t = 0$&nbsp; ist gleich der Fläche unter $Y(f)$.
-*Wie aus der nebenstehenden Skizze hervorgeht, ist diese gleich $1$. Daraus folgt:
+*Wie aus der nebenstehenden Skizze hervorgeht, ist diese gleich&nbsp; $1$. Daraus folgt:
 :$$y(t = 0)\; \underline{= 1}.$$
 [[Datei:P_ID923__LZI_Z_2_5_c_neu.png|right|frame|Frequenzgang des Nyquistentzerrers]]
-'''(2)'''&nbsp; Aus der Bedingung $H_{\rm S}(f) \cdot H_{\rm E}(f) = H(f)$ folgt im betrachteten Bereich:
+'''(2)'''&nbsp; Aus der Bedingung&nbsp; $H_{\rm S}(f) \cdot H_{\rm E}(f) = H(f)$&nbsp; folgt im betrachteten Bereich:
 :$$H_{\rm  E}(f)=  \frac{H(f)}{H_{\rm  S}(f)} =   \frac{\cos^2(\pi f T/2)}{\sin(\pi f T)/(\pi f T)}.$$
-Wegen $\cos(0) = 1$ und ${\rm si}(0) = 1$ gilt auch $H_{\rm E}(f = 0)\;\underline{=1}$.
+*Wegen&nbsp; $\cos(0) = 1$&nbsp; und&nbsp; ${\rm si}(0) = 1$&nbsp; gilt auch&nbsp; $H_{\rm E}(f = 0)\;\underline{=1}$.
-Mit der gegebenen trigonometrischen Umformung gilt weiter:
+*Mit der gegebenen trigonometrischen Umformung gilt weiter:
-:$$H_{\rm  E}(f) = \frac{\pi f T}{2} \cdot {\rm cot}\left( \frac{\pi f
+:$$H_{\rm  E}(f) = {\pi f T}/{2} \cdot {\rm cot}\left( {\pi f
-  T}{2}\right),$$
+  T}/{2}\right),$$
 :$$H_{\rm  E}(f \cdot T = 0.25)  = {\pi }/{8} \cdot {\rm cot}\left( 22.5^{\circ}\right)
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 '''(3)'''&nbsp; Unter Berücksichtigung des Gaußkanals gilt:
 $$H_{\rm  E}(f)=  \frac{H(f)}{H_{\rm  S}(f) \cdot H_{\rm  K}(f)} =  H_{\rm
-  E}^{(2)}(f)\cdot {\rm e}^{\pi (f T)^2}.$$
+  E}^{(2)}(f)\cdot {\rm e}^{\pi (f\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} T)^2}.$$
-Hierbei bezeichnet $H_{\rm E}^{(2)}(f)$ den bei der Teilaufgabe '''(2)''' berechneten Entzerrerfrequenzgang unter der Voraussetzung eines idealen Kanals. Man erhält folgende numerische Ergebnisse:
+Hierbei bezeichnet&nbsp; $H_{\rm E}^{(2)}(f)$&nbsp; den bei der Teilaufgabe&nbsp; '''(2)'''&nbsp; berechneten Entzerrerfrequenzgang unter der Voraussetzung eines idealen Kanals. Man erhält folgende numerische Ergebnisse:
 :$$H_{\rm  E}(f\cdot T = 0) =  1 \cdot {\rm e}^{0} \hspace{0.15cm}\underline{= 1},$$
 :$$H_{\rm  E}(f \cdot T = 0.25) =  0.948 \cdot 1.217 \hspace{0.15cm}\underline{=  1.154},$$
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 :$$H_{\rm  E}(f \cdot T = 1.00) =  0 \cdot 23.141 \hspace{0.15cm}\underline{=  0}.$$
-Die grüne Kurve in der zweiten Grafik fasst die Ergebnisse dieser Teilaufgabe zusammen.
+Die grüne Kurve in obiger Grafik fasst die Ergebnisse dieser Teilaufgabe zusammen.
 {{ML-Fuß}}

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 Ein digitales Basisbandübertragungssystem wird durch das dargestellte Blockschaltbild modelliert.
-* Die Komponenten &bdquo;Sender&rdquo;, &bdquo;Kanal&rdquo; und &bdquo;Empfänger&rdquo; werden im Frequenzbereich durch $H_{\rm S}(f)$, $H_{\rm K}(f)$ und $H_{\rm E}(f)$ beschrieben .
+* Die Komponenten &bdquo;Sender&rdquo;, &bdquo;Kanal&rdquo; und &bdquo;Empfänger&rdquo; werden im Frequenzbereich durch&nbsp; $H_{\rm S}(f)$,&nbsp; $H_{\rm K}(f)$&nbsp; und&nbsp; $H_{\rm E}(f)$&nbsp; beschrieben .
-* Der Gesamtfrequenzgang $H(f) = H_{\rm S}(f) \cdot H_{\rm K}(f) \cdot H_{\rm E}(f)$ soll einen $\cos^2$&ndash;förmigen Verlauf haben:
+* Der Gesamtfrequenzgang&nbsp; $H(f) = H_{\rm S}(f) \cdot H_{\rm K}(f) \cdot H_{\rm E}(f)$&nbsp; besitze einen&nbsp; $\cos^2$&ndash;förmigen Verlauf:
 :$$H(f) = \left\{ \begin{array}{c} \cos^2\left({\pi}/{2} \cdot  f \cdot  T \right)  \\
 \\  \end{array} \right.\quad \quad
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 {\left|\hspace{0.005cm} f \hspace{0.05cm} \right| \ge 1/T.}  \\
 \end{array}$$
-* Das Signal $y(t)$ vor dem Entscheider weist somit äquidistante Nulldurchgänge im Abstand $T$ auf.
+* Das Signal&nbsp; $y(t)$&nbsp; vor dem Entscheider weist somit äquidistante Nulldurchgänge im Abstand&nbsp; $T$&nbsp; auf.
-* Vorausgesetzt ist dabei, dass die Quelle einen [[Signaldarstellung/Einige_Sonderfälle_impulsartiger_Signale#Diracimpuls|Diracimpuls]] $x(t)$ mit Gewicht $T$ abgibt (siehe Grafik).
+* Vorausgesetzt ist dabei, dass die Quelle einen&nbsp; [[Signaldarstellung/Einige_Sonderfälle_impulsartiger_Signale#Diracimpuls|Diracimpuls]]&nbsp; $x(t)$&nbsp; mit Gewicht&nbsp; $T$&nbsp; abgibt (siehe Grafik).
 Es wird darauf hingewiesen, dass es sich hierbei um ein so genanntes &bdquo;Nyquistsystem&rdquo; handelt.
-Wie im Buch [[Digitalsignalübertragung]] noch ausführlich diskutiert werden wird, stellen diese Nyquistsysteme eine wichtige Klasse digitaler Übertragungssysteme dar, da sich bei ihnen die sequenziell übertragenen Symbole nicht gegenseitig beeinflussen.
+Wie im Buch&nbsp; [[Digitalsignalübertragung]]&nbsp; noch ausführlich diskutiert werden wird, stellen diese Nyquistsysteme eine wichtige Klasse digitaler Übertragungssysteme dar, da sich bei ihnen die sequenziell übertragenen Symbole nicht gegenseitig beeinflussen.
 Für die Lösung dieser Aufgabe werden diese weiterreichenden Aspekte jedoch nicht benötigt.
@@ Zeile 28: / Zeile 28: @@
 Es wird hier lediglich vorausgesetzt, dass
-* der Sendeimpuls $s(t)$ rechteckförmig sei mit Impulsdauer $T$:
+* der Sendeimpuls&nbsp; $s(t)$&nbsp; rechteckförmig sei mit Impulsdauer&nbsp; $T$:
 :$$H_{\rm S}(f) = {\rm si}(\pi f T),$$
-* der Kanal bis einschließlich Teilaufgabe '''(2)''' als ideal vorausgesetzt wird, während für die letzte Teilaufgabe '''(3)''' gelten soll:
+* der Kanal bis einschließlich Teilaufgabe&nbsp; '''(2)'''&nbsp; als ideal vorausgesetzt wird, während für die letzte Teilaufgabe&nbsp; '''(3)'''&nbsp; gelten soll:
 :$$H_{\rm K}(f) = H_{\rm G}(f) = {\rm e}^{-\pi(f \cdot T)^2} .$$
-Gesucht ist für beide Kanäle der Empfänger&ndash; und gleichzeitig Entzerrerfrequenzgang $H_{\rm E}(f)$, damit der Gesamtfrequenzgang die gewünschte Nyquistform aufweist.
+Gesucht ist für beide Kanäle der Empfänger&ndash; und gleichzeitig Entzerrerfrequenzgang&nbsp; $H_{\rm E}(f)$, damit der Gesamtfrequenzgang die gewünschte Nyquistform aufweist.
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 <quiz display=simple>
-{Berechnen Sie den Ausgangssignalwert zum Zeitpunkt $t = 0$.
+{Berechnen Sie den Ausgangssignalwert zum Zeitpunkt&nbsp; $t = 0$.
 |type="{}"}
 $y(t = 0) \ = \ $  { 1 3% }
-{Zunächst sei $H_{\rm K}(f) = 1$ &nbsp; &rArr; &nbsp; <u>idealer Kanal</u>. Berechnen Sie für diesen Fall den Frequenzgang $H_{\rm E}(f)$. <br>Welche Werte ergeben sich bei den nachfolgend genannten Frequenzen?
+{Zunächst sei&nbsp; $H_{\rm K}(f) = 1$ &nbsp; &rArr; &nbsp; <u>idealer Kanal</u>. Berechnen Sie für diesen Fall den Frequenzgang&nbsp; $H_{\rm E}(f)$. <br>Welche Werte ergeben sich bei den nachfolgend genannten Frequenzen?
 |type="{}"}
 $|H_{\rm E}(f \cdot T = 0)| \ = \ $  { 1 3% }
@@ Zeile 64: / Zeile 64: @@
-{Berechnen Sie $H_{\rm E}(f)$  für den gaußförmigen Kanal $H_{\rm K}(f) = H_{\rm G}(f)$ entsprechend der Angabe.
+{Berechnen Sie&nbsp; $H_{\rm E}(f)$&nbsp;  für den gaußförmigen Kanal&nbsp; $H_{\rm K}(f) = H_{\rm G}(f)$&nbsp; entsprechend der Angabe.
 |type="{}"}
 $|H_{\rm E}(f \cdot T = 0)|\ = \ $ { 1 3% }

@@ Zeile 76: / Zeile 76: @@
 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-[[Datei:P_ID922__LZI_Z_2_5_a.png|right|Cosinus–Quadrat–Spektrum]]
+[[Datei:P_ID922__LZI_Z_2_5_a.png|right|frame|Cosinus–Quadrat–Spektrum]]
 '''(1)'''&nbsp; Mit dem konstanten Spektrum $X(f) = T$ erhält man für die Spektralfunktion des Empfängerausgangssignals $y(t)$:
 :$$Y(f)=  T \cdot {H(f)}.$$
-:Der Signalwert bei $t = 0$ ist gleich der Fläche unter $`Y(f)$. Wie aus der nebenstehenden Skizze hervorgeht, ist diese gleich $1$. Daraus folgt: $y(t = 0)\; \underline{= 1}$.
+*Der Signalwert bei $t = 0$ ist gleich der Fläche unter $Y(f)$.
-[[Datei:P_ID923__LZI_Z_2_5_c_neu.png|right|Frequenzgang des Nyquistentzerrers]]
+[[Datei:P_ID923__LZI_Z_2_5_c_neu.png|right|frame|Frequenzgang des Nyquistentzerrers]]
 '''(2)'''&nbsp; Aus der Bedingung $H_{\rm S}(f) \cdot H_{\rm E}(f) = H(f)$ folgt im betrachteten Bereich:
 :$$H_{\rm  E}(f)=  \frac{H(f)}{H_{\rm  S}(f)} =   \frac{\cos^2(\pi f T/2)}{\sin(\pi f T)/(\pi f T)}.$$
@@ Zeile 89: / Zeile 90: @@
 Wegen $\cos(0) = 1$ und ${\rm si}(0) = 1$ gilt auch $H_{\rm E}(f = 0)\;\underline{=1}$.
-Mit der gegebenen trigonometrischen Umformung gilt weiter:
+Mit der gegebenen trigonometrischen Umformung gilt weiter: &nbsp; $H_{\rm  E}(f) = \frac{\pi f T}{2} \cdot {\rm cot}\left( \frac{\pi f
-$$H_{\rm  E}(f) = \frac{\pi f T}{2} \cdot {\rm cot}\left( \frac{\pi f
+:$$H_{\rm  E}(f \cdot T = 0.25)  = {\pi }/{8} \cdot {\rm cot}\left( 22.5^{\circ}\right)
   = {\pi }/{8} \cdot 2.414 =
   \hspace{0.15cm}\underline{0.948},$$
-$$H_{\rm  E}(f \cdot T = 0.50) = {\pi }/{4} \cdot {\rm cot}\left( 45^{\circ}\right)
+:$$H_{\rm  E}(f \cdot T = 0.50) = {\pi }/{4} \cdot {\rm cot}\left( 45^{\circ}\right)
   = {\pi }/{4} \cdot  1 \hspace{0.15cm}\underline{=
 .785},$$
-$$ H_{\rm  E}(f \cdot T = 0.75) = {3 \pi }/{8} \cdot {\rm cot}\left( 67.5^{\circ}\right) = {3 \pi }/{8} \cdot 0.414 \hspace{0.15cm}\underline{=
+:$$ H_{\rm  E}(f \cdot T = 0.75) = {3 \pi }/{8} \cdot {\rm cot}\left( 67.5^{\circ}\right) = {3 \pi }/{8} \cdot 0.414 \hspace{0.15cm}\underline{=
 .488},$$
-$$ H_{\rm  E}(f \cdot T = 1.00)= { \pi }/{2} \cdot {\rm cot}\left( 90^{\circ}\right) ={ \pi }/{2} \cdot 0 \hspace{0.15cm}\underline{ = 0}.$$
+:$$ H_{\rm  E}(f \cdot T = 1.00)= { \pi }/{2} \cdot {\rm cot}\left( 90^{\circ}\right) ={ \pi }/{2} \cdot 0 \hspace{0.15cm}\underline{ = 0}.$$
 '''(3)'''&nbsp; Unter Berücksichtigung des Gaußkanals gilt:
@@ Zeile 111: / Zeile 111: @@
   E}^{(2)}(f)\cdot {\rm e}^{\pi (f T)^2}.$$
-Hierbei bezeichnet $H_{\rm E}^{(2)}(f)$ den bei der Teilaufgabe (2) berechneten Entzerrerfrequenzgang unter der Voraussetzung eines idealen Kanals. Man erhält folgende numerische Ergebnisse:
+Hierbei bezeichnet $H_{\rm E}^{(2)}(f)$ den bei der Teilaufgabe (2) berechneten Entzerrerfrequenzgang unter der Voraussetzung eines idealen Kanals.
 $$H_{\rm  E}(f\cdot T = 0) =  1 \cdot {\rm e}^{0} \hspace{0.15cm}\underline{= 1},$$
-$$H_{\rm  E}(f \cdot T = 0.25) =  0.948 \cdot 1.217 \hspace{0.15cm}\underline{=  1.154},$$
+Man erhält folgende numerische Ergebnisse:
-$$H_{\rm  E}(f \cdot T = 0.50) =  0.785 \cdot 2.193 \hspace{0.15cm}\underline{=  1.722},$$
+:$$H_{\rm  E}(f\cdot T = 0) =  1 \cdot {\rm e}^{0} \hspace{0.15cm}\underline{= 1},$$
-$$H_{\rm  E}(f \cdot T = 0.75) =  0.488 \cdot 5.854 \hspace{0.15cm}\underline{=  2.857},$$
+:$$H_{\rm  E}(f \cdot T = 0.25) =  0.948 \cdot 1.217 \hspace{0.15cm}\underline{=  1.154},$$
-$$H_{\rm  E}(f \cdot T = 1.00) =  0 \cdot 23.141 \hspace{0.15cm}\underline{=  0}.$$
+:$$H_{\rm  E}(f \cdot T = 0.50) =  0.785 \cdot 2.193 \hspace{0.15cm}\underline{=  1.722},$$
-Die grüne Kurve in der zweiten Grafik fasst die Ergebnisse dieser Aufgabe zusammen.
+Die grüne Kurve in der zweiten Grafik fasst die Ergebnisse dieser Teilaufgabe zusammen.
 {{ML-Fuß}}