Aufgaben:Aufgabe 2.5Z: Einige Berechnungen über GF(2 hoch 3) - Versionsgeschichte

Guenter am 4. Oktober 2022 um 12:24 Uhr

2022-10-04T12:24:32Z

Guenter am 4. Oktober 2022 um 12:18 Uhr

2022-10-04T12:18:36Z

Guenter am 20. Mai 2019 um 15:21 Uhr

2019-05-20T15:21:59Z

Guenter am 20. Mai 2019 um 15:17 Uhr

2019-05-20T15:17:35Z

Guenter am 8. Januar 2018 um 15:42 Uhr

2018-01-08T15:42:33Z

Guenter am 8. Januar 2018 um 15:35 Uhr

2018-01-08T15:35:02Z

Guenter am 8. Januar 2018 um 15:33 Uhr

2018-01-08T15:33:51Z

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2018-01-08T09:46:41Z

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2018-01-03T09:23:23Z

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Hussain am 15. Dezember 2017 um 21:12 Uhr

2017-12-15T21:12:30Z

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 :$$\alpha^{13} \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} \alpha^7 \cdot \alpha^6 = 1 \cdot \alpha^6 = \alpha^2 +  1\hspace{0.05cm}.$$
-Die Tabelle lässt sich also modulo $7$ fortsetzen. Das bedeutet: <u>Alle Lösungsvorschläge</u> sind richtig.
+*Die Tabelle lässt sich also modulo&nbsp; $7$&nbsp; fortsetzen.
 '''(2)'''&nbsp; Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 2</u> wegen
-*$\alpha^8 = \alpha$ entsprechend Teilaufgabe (1),
+'''(2)'''&nbsp; Richtig ist der&nbsp; <u>Lösungsvorschlag 2</u>&nbsp; wegen
-*$\alpha^6 = \alpha^2 + 1$ (gemäß Tabelle), und
+*$\alpha^8 = \alpha$&nbsp; entsprechend Teilaufgabe&nbsp; '''(1)''',
 *$-\alpha^2 = \alpha^2$ (Operationen im binären Galoisfeld).
@@ Zeile 118: / Zeile 122: @@
-'''(3)'''&nbsp; Mit $\alpha^{16} = \alpha^{16-14} = \alpha^2$ sowie $\alpha^{12} \cdot \alpha^3 = \alpha^{15} = \alpha^{15-14} = \alpha$ erhält man den <u>Lösungsvorschlag 5</u>:
+'''(3)'''&nbsp; Mit &nbsp; $\alpha^{16} = \alpha^{16-14} = \alpha^2$ &nbsp; sowie&nbsp;  $\alpha^{12} \cdot \alpha^3 = \alpha^{15} = \alpha^{15-14} = \alpha$ &nbsp; erhält man den&nbsp; <u>Lösungsvorschlag 5</u>:
 :$$B = \alpha^2 + \alpha= \alpha^4
 \hspace{0.05cm}.$$
@@ Zeile 124: / Zeile 128: @@
-'''(4)'''&nbsp; Es gilt $\alpha^3 = \alpha + 1$ und damit $C = \alpha^3 + \alpha = \alpha + 1 + \alpha = 1$ &nbsp; &#8658; &nbsp; <u>Lösungsvorschlag 1</u>.
+'''(4)'''&nbsp; Es gilt &nbsp; $\alpha^3 = \alpha + 1$ &nbsp; und damit &nbsp; $C = \alpha^3 + \alpha = \alpha + 1 + \alpha = 1$ &nbsp; &#8658; &nbsp; <u>Lösungsvorschlag 1</u>.
-'''(5)'''&nbsp; Mit $\alpha^4 = \alpha^2 + \alpha$ erhält man $D = \alpha^4 + \alpha = \alpha^2$ &nbsp; &#8658; &nbsp; <u>Lösungsvorschlag 3</u>.
+'''(5)'''&nbsp; Mit &nbsp; $\alpha^4 = \alpha^2 + \alpha$ erhält &nbsp; man &nbsp; $D = \alpha^4 + \alpha = \alpha^2$ &nbsp; &#8658; &nbsp; <u>Lösungsvorschlag 3</u>.
-'''(6)'''&nbsp; Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 4</u>:
+'''(6)'''&nbsp; Richtig ist der&nbsp; <u>Lösungsvorschlag 4</u>:
 :$$E = A \cdot B \cdot C/D = \alpha \cdot  \alpha^4 \cdot 1/\alpha^2 = \alpha^3
 \hspace{0.05cm}.$$
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-'''(7)'''&nbsp; Laut Tabelle gilt $\alpha^2 + \alpha = \alpha^4$. Deshalb muss gelten:
+'''(7)'''&nbsp; Laut Tabelle gilt&nbsp; $\alpha^2 + \alpha = \alpha^4$.&nbsp; Deshalb muss gelten:
 :$$\alpha^4 \cdot {\rm Inv_M}( \alpha^4) = 1 \hspace{0.3cm} \Rightarrow\hspace{0.3cm}
 {\rm Inv_M}( \alpha^2 + \alpha) = {\rm Inv_M}( \alpha^4) = \alpha^{-4} = \alpha^3
 \hspace{0.05cm}.$$
-Wegen $\alpha^3 = \alpha + 1$ sind somit die <u>Lösungsvorschläge 2 und 3</u> richtig.
+*Wegen &nbsp; $\alpha^3 = \alpha + 1$ &nbsp; sind somit die&nbsp; <u>Lösungsvorschläge 2 und 3</u>&nbsp; richtig.
 {{ML-Fuß}}
 [[Category:Aufgaben zu  Kanalcodierung|^2.2 Erweiterungskörper^]]

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 [[Datei:P_ID2509__KC_Z_2_5.png|right|frame|Elemente von&nbsp; $\rm GF(2^3)$&nbsp; für das Polynom&nbsp; $p(x) = x^3 + x + 1$]]
-Wir betrachten nun den Erweiterungskörper (englisch: &nbsp; <i>Extension Field</i>&nbsp;) mit acht Elementen &nbsp; &#8658; &nbsp; $\rm GF(2^3)$&nbsp; gemäß der nebenstehenden Tabelle. Da das zugrunde liegende Polynom
+Wir betrachten nun den Erweiterungskörper&nbsp; $($englisch: &nbsp; "Extension Field"$)$&nbsp; mit acht Elementen &nbsp; &#8658; &nbsp; $\rm GF(2^3)$&nbsp; gemäß der nebenstehenden Tabelle.
 :$$p(x) = x^3 + x +1 $$
-sowohl irreduzibel als auch primitiv ist, kann das vorliegende Galoisfeld in folgender Form angegeben werden:
+sowohl irreduzibel als auch primitiv ist,&nbsp; kann das vorliegende Galoisfeld in folgender Form angegeben werden:
 :$${\rm GF}(2^3) = \{\hspace{0.1cm}0\hspace{0.05cm},\hspace{0.1cm} 1,\hspace{0.05cm}\hspace{0.1cm}
 \alpha\hspace{0.05cm},\hspace{0.1cm} \alpha^{2}\hspace{0.05cm},\hspace{0.1cm} \alpha^{3}\hspace{0.05cm},\hspace{0.1cm} \alpha^{4}\hspace{0.05cm},\hspace{0.1cm} \alpha^{5}\hspace{0.05cm},\hspace{0.1cm} \alpha^{6}\hspace{0.1cm}\}\hspace{0.05cm}. $$
-Das Element&nbsp; $\alpha$&nbsp; ergibt sich dabei als Lösung der Gleichung&nbsp; $p(\alpha) = 0$&nbsp; im Galoisfeld&nbsp; $\rm GF(2)$.
+Das Element&nbsp; $\alpha$&nbsp; ergibt sich dabei als Lösung der Gleichung &nbsp; $p(\alpha) = 0$ &nbsp; im Galoisfeld&nbsp; $\rm GF(2)$.
 *Damit erhält man folgende Nebenbedingung:
 :$$\alpha^3 + \alpha +1 = 0\hspace{0.3cm} \Rightarrow\hspace{0.3cm} \alpha^3 = \alpha +1\hspace{0.05cm}.$$
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 :$$\alpha^6 \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} \alpha \cdot \alpha^5 = \alpha \cdot (\alpha^2 +\alpha + 1)= \alpha^3 + \alpha^2 + \alpha=  \alpha + 1 + \alpha^2  + \alpha = \alpha^2+ 1\hspace{0.05cm}.$$
-In dieser Aufgabe sollen Sie einige algebraische Umformungen im&nbsp; Galoisfeld $\rm GF(2^3)$&nbsp; vornehmen. Unter anderem ist nach der multiplikativen Inversen des Elementes&nbsp; $\alpha^4$&nbsp;  gefragt. Dann muss gelten:
+In dieser Aufgabe sollen Sie einige algebraische Umformungen im&nbsp; Galoisfeld $\rm GF(2^3)$&nbsp; vornehmen.
 :$$\alpha^4 \cdot {\rm Inv_M}( \alpha^4) = 1 \hspace{0.05cm}.$$
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+* Diese Aufgabe ist als Ergänzung zur etwas schwierigeren&nbsp; [[Aufgaben:Aufgabe_2.5:_Drei_Varianten_von_GF(2_hoch_4)|"Aufgabe 2.5"]]&nbsp; gedacht.

@@ Zeile 100: / Zeile 100: @@
 Die Tabelle lässt sich also modulo $7$ fortsetzen. Das bedeutet: <u>Alle Lösungsvorschläge</u> sind richtig.
@@ Zeile 111: / Zeile 112: @@
 :$$A = \alpha^8 + \alpha^6 - \alpha^2 + 1 = \alpha + (\alpha^2 + 1) + \alpha^2 + 1 = \alpha
 \hspace{0.05cm}.$$
@@ Zeile 116: / Zeile 118: @@
 :$$B = \alpha^2 + \alpha= \alpha^4
 \hspace{0.05cm}.$$
 '''(4)'''&nbsp; Es gilt $\alpha^3 = \alpha + 1$ und damit $C = \alpha^3 + \alpha = \alpha + 1 + \alpha = 1$ &nbsp; &#8658; &nbsp; <u>Lösungsvorschlag 1</u>.
@@ Zeile 124: / Zeile 128: @@
 '''(6)'''&nbsp; Richtig ist <u>Lösungsvorschlag 4</u>:
 :$$E = A \cdot B \cdot C/D = \alpha \cdot  \alpha^4 \cdot 1/\alpha^2 = \alpha^3
 \hspace{0.05cm}.$$

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 {{quiz-Header|Buchseite=Kanalcodierung/Erweiterungskörper}}
-[[Datei:P_ID2509__KC_Z_2_5.png|right|frame|Elemente von $\rm GF(2^3)$ bezüglich $p(x) = x^3 + x + 1$]]
+[[Datei:P_ID2509__KC_Z_2_5.png|right|frame|Elemente von&nbsp; $\rm GF(2^3)$&nbsp; für das Polynom&nbsp; $p(x) = x^3 + x + 1$]]
-Wir betrachten nun den Erweiterungskörper (englisch: <i>Extension Field</i>) mit acht Elementen &nbsp; &#8658; &nbsp; $\rm GF(2^3)$ gemäß der nebenstehenden Tabelle. Da das zugrunde liegende Polynom
+Wir betrachten nun den Erweiterungskörper (englisch: &nbsp; <i>Extension Field</i>&nbsp;) mit acht Elementen &nbsp; &#8658; &nbsp; $\rm GF(2^3)$&nbsp; gemäß der nebenstehenden Tabelle. Da das zugrunde liegende Polynom
 :$$p(x) = x^3 + x +1 $$
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 \alpha\hspace{0.05cm},\hspace{0.1cm} \alpha^{2}\hspace{0.05cm},\hspace{0.1cm} \alpha^{3}\hspace{0.05cm},\hspace{0.1cm} \alpha^{4}\hspace{0.05cm},\hspace{0.1cm} \alpha^{5}\hspace{0.05cm},\hspace{0.1cm} \alpha^{6}\hspace{0.1cm}\}\hspace{0.05cm}. $$
-Das Element $\alpha$ ergibt sich dabei als Lösung der Gleichung $p(\alpha) = 0$ im Galoisfeld $\rm GF(2)$. Damit erhält man folgende Nebenbedingung:
+Das Element&nbsp; $\alpha$&nbsp; ergibt sich dabei als Lösung der Gleichung&nbsp; $p(\alpha) = 0$&nbsp; im Galoisfeld&nbsp; $\rm GF(2)$.
 :$$\alpha^3 + \alpha +1 = 0\hspace{0.3cm} \Rightarrow\hspace{0.3cm} \alpha^3 = \alpha +1\hspace{0.05cm}.$$
-Für die weiteren Elemente gelten folgende Berechnungen:
+*Für die weiteren Elemente gelten folgende Berechnungen:
 :$$\alpha^4 \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} \alpha \cdot \alpha^3 = \alpha \cdot (\alpha + 1) = \alpha^2 + \alpha \hspace{0.05cm},$$
 :$$\alpha^5 \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} \alpha \cdot \alpha^4 = \alpha \cdot (\alpha^2 +\alpha) = \alpha^3 + \alpha^2 = \alpha^2  + \alpha + 1\hspace{0.05cm},$$
 :$$\alpha^6 \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} \alpha \cdot \alpha^5 = \alpha \cdot (\alpha^2 +\alpha + 1)= \alpha^3 + \alpha^2 + \alpha=  \alpha + 1 + \alpha^2  + \alpha = \alpha^2+ 1\hspace{0.05cm}.$$
-In dieser Aufgabe sollen Sie einige algebraische Umformungen in diesem Galoisfeld $\rm GF(2^3)$ vornehmen. Unter anderem ist nach der multiplikativen Inversen des Elementes $\alpha^4$  gefragt. Dann muss gelten:
+In dieser Aufgabe sollen Sie einige algebraische Umformungen im&nbsp; Galoisfeld $\rm GF(2^3)$&nbsp; vornehmen. Unter anderem ist nach der multiplikativen Inversen des Elementes&nbsp; $\alpha^4$&nbsp;  gefragt. Dann muss gelten:
 :$$\alpha^4 \cdot {\rm Inv_M}( \alpha^4) = 1 \hspace{0.05cm}.$$
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 ''Hinweise:''
-* Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Kanalcodierung/Erweiterungsk%C3%B6rper| Erweiterungskörper]].
+* Die Aufgabe gehört zum Kapitel&nbsp; [[Kanalcodierung/Erweiterungsk%C3%B6rper| Erweiterungskörper]].
-* Diese Aufgabe ist als Ergänzung zur etwas schwierigeren [[Aufgaben:Aufgabe_2.5:_Drei_Varianten_von_GF(2_hoch_4)|Aufgabe 2.5]] gedacht.
+* Diese Aufgabe ist als Ergänzung zur etwas schwierigeren&nbsp; [[Aufgaben:Aufgabe_2.5:_Drei_Varianten_von_GF(2_hoch_4)|Aufgabe 2.5]]&nbsp; gedacht.
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 ===Fragebogen===
 <quiz display=simple>
-{Welche der Aussagen treffen für die höheren Potenzen von $\alpha^{i} \ (i &#8805; 7)$ zu?
+{Welche der Aussagen treffen für die höheren Potenzen von&nbsp; $\alpha^{i} \ (i &#8805; 7)$&nbsp; zu?
 |type="[]"}
 + $\alpha^7 = 1$,
@@ Zeile 39: / Zeile 44: @@
 + $\alpha^i = \alpha^{i \ \rm mod \, 7}$.
-{Welche Umformung ist für $A = \alpha^8 + \alpha^6 - \alpha^2 + 1$ zulässig?
+{Welche Umformung ist für&nbsp; $A = \alpha^8 + \alpha^6 - \alpha^2 + 1$&nbsp; zulässig?
-|type="[]"}
+|type="()"}
 - $A = 1$,
 + $A = \alpha$,
@@ Zeile 47: / Zeile 52: @@
 - $A = \alpha^4$.
-{Welche Umformung ist für $B = \alpha^{16} - \alpha^{12} \cdot \alpha^3$ zulässig?
+{Welche Umformung ist für&nbsp; $B = \alpha^{16} - \alpha^{12} \cdot \alpha^3$&nbsp; zulässig?
-|type="[]"}
+|type="()"}
 - $B = 1$,
 - $B = \alpha$,
@@ Zeile 55: / Zeile 60: @@
 + $B = \alpha^4$.
-{Welche Umformung ist für $C = \alpha^3 + \alpha$ zulässig?
+{Welche Umformung ist für&nbsp; $C = \alpha^3 + \alpha$&nbsp; zulässig?
-|type="[]"}
+|type="()"}
 + $C = 1$,
 - $C = \alpha$,
@@ Zeile 63: / Zeile 68: @@
 - $C = \alpha^4$.
-{Welche Umformung ist für $D = \alpha^4 + \alpha$ zulässig?
+{Welche Umformung ist für&nbsp; $D = \alpha^4 + \alpha$&nbsp; zulässig?
-|type="[]"}
+|type="()"}
 - $D = 1$,
 - $D = \alpha$,
@@ Zeile 71: / Zeile 76: @@
 - $D = \alpha^4$.
-{Welche Umformung ist für $E = A \cdot B \cdot C/D$ zulässig?
+{Welche Umformung ist für&nbsp; $E = A \cdot B \cdot C/D$&nbsp; zulässig?
-|type="[]"}
+|type="()"}
 - $E = 1$,
 - $E = \alpha$,
@@ Zeile 79: / Zeile 84: @@
 - $E = \alpha^4$.
-{Welche Aussagen gelten für die multiplikative Inverse zu $\alpha^2 + \alpha$?
+{Welche Aussagen gelten für die multiplikative Inverse zu&nbsp; $\alpha^2 + \alpha$?
 |type="[]"}
 - ${\rm Inv_M}(\alpha^2 + \alpha) = 1$,

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-'''(2)'''&nbsp; Mit $\alpha^8 = \alpha$ (nach Teilaufgabe (1)), $\alpha^6 = \alpha^2 + 1$ (gemäß Tabelle) und $-\alpha^2 = \alpha^2$ (Operationen im binären Galoisfeld) erhält man <u>Lösungsvorschlag 2</u>:
+'''(2)'''&nbsp; Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 2</u> wegen
 :$$A = \alpha^8 + \alpha^6 - \alpha^2 + 1 = \alpha + (\alpha^2 + 1) + \alpha^2 + 1 = \alpha
 \hspace{0.05cm}.$$
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-'''(4)'''&nbsp; Es gilt $\alpha^3 = \alpha + 1$ und damit $C = \alpha^3 + \alpha = \alpha + 1 + \alpha = 1$ &nbsp;&#8658;&nbsp; <u>Lösungsvorschlag 1</u>.
+'''(4)'''&nbsp; Es gilt $\alpha^3 = \alpha + 1$ und damit $C = \alpha^3 + \alpha = \alpha + 1 + \alpha = 1$ &nbsp; &#8658; &nbsp; <u>Lösungsvorschlag 1</u>.
-'''(5)'''&nbsp; Mit $\alpha^4 = \alpha^2 + \alpha$ erhält man $D = \alpha^4 + \alpha = \alpha^2$ &nbsp;&#8658;&nbsp; <u>Lösungsvorschlag 3</u>.
+'''(5)'''&nbsp; Mit $\alpha^4 = \alpha^2 + \alpha$ erhält man $D = \alpha^4 + \alpha = \alpha^2$ &nbsp; &#8658; &nbsp; <u>Lösungsvorschlag 3</u>.