Aufgaben:Aufgabe 2.5Z: Blumenwiese - Versionsgeschichte

Guenter am 13. November 2019 um 14:44 Uhr

2019-11-13T14:44:55Z

Guenter am 13. November 2019 um 14:38 Uhr

2019-11-13T14:38:18Z

Guenter am 13. November 2019 um 14:35 Uhr

2019-11-13T14:35:38Z

Guenter am 7. August 2018 um 13:39 Uhr

2018-08-07T13:39:05Z

Guenter am 7. August 2018 um 13:30 Uhr

2018-08-07T13:30:20Z

Mwiki-lnt: Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

2018-05-29T12:02:44Z

Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

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2018-01-03T13:31:18Z

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Guenter am 5. März 2017 um 15:17 Uhr

2017-03-05T15:17:47Z

Guenter am 5. März 2017 um 14:58 Uhr

2017-03-05T14:58:39Z

Guenter am 5. März 2017 um 14:57 Uhr

2017-03-05T14:57:14Z

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 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; Der lineare Mittelwert dieser zehn Zahlen ergibt  $\underline{m_z  = 3}$.
+'''(1)'''&nbsp; Der lineare Mittelwert dieser zehn Zahlen ergibt&nbsp;  $\underline{m_z  = 3}$.
-'''(2)'''&nbsp; F&uuml;r den quadratischen Mittelwert der Zufallsgr&ouml;&szlig;e $z$ gilt entsprechend:
+'''(2)'''&nbsp; F&uuml;r den quadratischen Mittelwert der Zufallsgr&ouml;&szlig;e&nbsp; $z$&nbsp; gilt entsprechend:
 :$$m_{\rm 2\it z}=\frac{1}{10}\cdot (0^2+1^2+ 2\cdot 2^2+ 2\cdot 3^2+2\cdot 4^2+ 5^2+6^2)=12.$$
-Die Varianz ist nach dem Satz von Steiner somit gleich $\sigma_z^2 =12 -3^2 = 3$ und dementsprechend die Streuung $\underline{\sigma_z  \approx  1.732}$.
+*Die Varianz ist nach dem Satz von Steiner somit gleich
 '''(3)'''&nbsp;  Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 1, 2 und 4</u>:
-*Mittelwert und Streuung stimmen hier überein. Dies ist ein Indiz für die Poissonverteilung mit der Rate $\lambda = 3$ (gleich dem Mittelwert und gleich der Varianz, nicht gleich der Streuung).
+*Mittelwert und Streuung stimmen hier überein.&nbsp; Dies ist ein Indiz für die Poissonverteilung mit der Rate&nbsp; $\lambda = 3$&nbsp; (gleich dem Mittelwert und gleich der Varianz, nicht gleich der Streuung).
 *Nat&uuml;rlich ist es fragw&uuml;rdig, diese Aussage auf der Basis von nur zehn Werten zu treffen. Bei den Momenten ist eine geringere Stichprobenanzahl aber weniger gravierend als beispielsweise bei den Wahrscheinlichkeiten.
-'''(4)'''&nbsp; Insgesamt gibt es $80000$ solcher Quadrate mit jeweils drei Blumen im Mittel. Dies l&auml;sst auf insgesamt $\underline{B  = 240\hspace{0.03cm}000}$ Blumen schlie&szlig;en.
+'''(4)'''&nbsp; Insgesamt gibt es&nbsp; $80000$&nbsp; solcher Quadrate mit jeweils drei Blumen im Mittel.&nbsp;
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 :$${\rm Pr}(z = 0) = \frac{3^0}{0!} \cdot{\rm e}^{-3}\hspace{0.15cm}\underline{\approx 5\%}.$$
-Die dieser Aufgabe zugrunde gelegte kleine Stichprobenmenge $N = 10$ h&auml;tte allerdings auf die Wahrscheinlichkeit ${\rm Pr}(z = 0) = { 10\%}$ hingedeutet, da nur in einem einzigen Quadrat keine einzige Blume gez&auml;hlt wurde.
+*Die dieser Aufgabe zugrunde gelegte kleine Stichprobenmenge&nbsp; $N = 10$&nbsp; h&auml;tte allerdings auf die Wahrscheinlichkeit&nbsp; ${\rm Pr}(z = 0) = { 10\%}$&nbsp; hingedeutet,&nbsp; da nur in einem einzigen Quadrat keine einzige Blume gez&auml;hlt wurde.
 {{ML-Fuß}}

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 {Sagen Sie die Gesamtzahl&nbsp; $B$&nbsp; aller Blumen auf der Wiese voraus.
 |type="{}"}
-$B\ =  \ $  { 240000 3% }
+$B\ =  \ $  { 240 3% }  $\ \text{Tausend}$

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 }}
-[[Datei:P_ID124__Sto_Z_2_5.gif|right|frame|Blumenwiese &ndash; <br>Beispiel der Poissonverteilung]]
+[[Datei:P_ID124__Sto_Z_2_5.gif|right|frame|Blumenwiese &ndash; ein weiteres <br>Beispiel der Poissonverteilung]]
 Ein Bauer freut sich &uuml;ber die Bl&uuml;tenpracht auf seinem Grund und m&ouml;chte wissen, wie viele L&ouml;wenzahn gerade auf seiner Wiese bl&uuml;hen.
-*Er wei&szlig;, dass die Wiese eine Fl&auml;che von 5000 Quadratmeter hat und au&szlig;erdem wei&szlig; er noch von der Landwirtschaftsschule, dass die Anzahl der Blumen in einem kleinen Gebiet stets ''poissonverteilt'' ist.
+*Er wei&szlig;, dass die Wiese eine Fl&auml;che von&nbsp; $5000$&nbsp; Quadratmeter hat und au&szlig;erdem wei&szlig; er noch von der Landwirtschaftsschule, dass die Anzahl der Blumen in einem kleinen Gebiet stets&nbsp; ''poissonverteilt''&nbsp; ist.
-*Er steckt &uuml;ber der gesamten Wiese &ndash; zuf&auml;llig verteilt &ndash; zehn Quadrate mit einer jeweiligen Kantenl&auml;nge von $\text{25 cm}$ ab und z&auml;hlt in jedem dieser Quadrate die Blumen. Dabei kommt er zu folgendem Ergebnis:
+*Er steckt &uuml;ber der gesamten Wiese &ndash; zuf&auml;llig verteilt &ndash; zehn Quadrate mit einer jeweiligen Kantenl&auml;nge von&nbsp; $\text{25 cm}$&nbsp; ab und z&auml;hlt in jedem dieser Quadrate die Blumen.&nbsp; Dabei kommt er zu folgendem Ergebnis:
 ::$$\rm 3, \ 4, \ 1, \ 5, \ 0, \ 3, \ 2, \ 4, \ 2, \ 6.$$
-Betrachten Sie diese Zahlenwerte als zuf&auml;llige Ergebnisse der diskreten Zufallsgr&ouml;&szlig;e $z$.
+Betrachten Sie diese Zahlenwerte als zuf&auml;llige Ergebnisse der diskreten Zufallsgr&ouml;&szlig;e&nbsp; $z$.
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 ''Hinweise:''
-*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Poissonverteilung|Poissonverteilung]].
+*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Poissonverteilung|Poissonverteilung]].
-*Bezug genommen wird aber auch auf das  Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Momente_einer_diskreten_Zufallsgröße|Momente einer diskreten Zufallsgröße]].
+*Bezug genommen wird auch auf das  Kapitel&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Momente_einer_diskreten_Zufallsgröße|Momente einer diskreten Zufallsgröße]].
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 <quiz display=simple>
-{Ermitteln Sie den Mittelwert von $z$, das heißt die mittlere Anzahl der in den zehn Quadraten  abgez&auml;hlten Blumen.
+{Ermitteln Sie den Mittelwert von&nbsp; $z$,&nbsp; das heißt die mittlere Anzahl der in den zehn Quadraten  abgez&auml;hlten Blumen.
 |type="{}"}
 $m_z \ =$ { 3 3% }
-{Bestimmen Sie die Streuung der Zufallsgr&ouml;&szlig;e $z$.
+{Bestimmen Sie die Streuung der Zufallsgr&ouml;&szlig;e&nbsp; $z$.
 |type="{}"}
 $\sigma_z\ = \ $ { 1.732 3% }
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 |type="[]"}
 + Eigentlich m&uuml;sste man deutlich mehr als zehn Zufallszahlen (Quadrate) zur Momentenberechnung heranziehen.
-+ Die Zufallsgr&ouml;&szlig;e $z$ ist tats&auml;chlich poissonverteilt.
++ Die Zufallsgr&ouml;&szlig;e&nbsp; $z$&nbsp; ist tats&auml;chlich poissonverteilt.
-- Die Rate $\lambda$ der Poissonverteilung ist gleich der Streuung $\sigma_z$.
+- Die Rate&nbsp; $\lambda$&nbsp; der Poissonverteilung ist gleich der Streuung&nbsp; $\sigma_z$.
-+ Die Rate $\lambda$ der Poissonverteilung ist gleich dem Mittelwert $m_z$.
++ Die Rate&nbsp; $\lambda$&nbsp; der Poissonverteilung ist gleich dem Mittelwert&nbsp; $m_z$.
-{Sagen Sie die Gesamtzahl $B$ aller Blumen auf der Wiese voraus.
+{Sagen Sie die Gesamtzahl&nbsp; $B$&nbsp; aller Blumen auf der Wiese voraus.
 |type="{}"}
 $B\ =  \ $  { 240000 3% }

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 *Er wei&szlig;, dass die Wiese eine Fl&auml;che von 5000 Quadratmeter hat und au&szlig;erdem wei&szlig; er noch von der Landwirtschaftsschule, dass die Anzahl der Blumen in einem kleinen Gebiet stets ''poissonverteilt'' ist.
 *Er steckt &uuml;ber der gesamten Wiese &ndash; zuf&auml;llig verteilt &ndash; zehn Quadrate mit einer jeweiligen Kantenl&auml;nge von $\text{25 cm}$ ab und z&auml;hlt in jedem dieser Quadrate die Blumen. Dabei kommt er zu folgendem Ergebnis:
-:$$\rm 3, \ 4, \ 1, \ 5, \ 0, \ 3, \ 2, \ 4, \ 2, \ 6.$$
+::$$\rm 3, \ 4, \ 1, \ 5, \ 0, \ 3, \ 2, \ 4, \ 2, \ 6.$$
 Betrachten Sie diese Zahlenwerte als zuf&auml;llige Ergebnisse der diskreten Zufallsgr&ouml;&szlig;e $z$.
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 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; Der lineare Mittelwert dieser 10 Zahlen ergibt  $\underline{m_z  = 3}$.
+'''(1)'''&nbsp; Der lineare Mittelwert dieser zehn Zahlen ergibt  $\underline{m_z  = 3}$.
 '''(2)'''&nbsp; F&uuml;r den quadratischen Mittelwert der Zufallsgr&ouml;&szlig;e $z$ gilt entsprechend:
-$$m_{\rm 2\it z}=\frac{1}{10}\cdot (0^2+1^2+ 2\cdot 2^2+ 2\cdot 3^2+2\cdot 4^2+ 5^2+6^2)=12.$$
+:$$m_{\rm 2\it z}=\frac{1}{10}\cdot (0^2+1^2+ 2\cdot 2^2+ 2\cdot 3^2+2\cdot 4^2+ 5^2+6^2)=12.$$
 '''(3)'''&nbsp;  Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 1, 2 und 4</u>:
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-'''(4)'''&nbsp; Insgesamt gibt es 80000 solcher Quadrate mit jeweils 3 Blumen im Mittel. Dies l&auml;sst auf insgesamt $\underline{B  = 240\hspace{0.03cm}000}$ Blumen schlie&szlig;en.
 '''(5)'''&nbsp; Diese Wahrscheinlichkeit ergibt sich gemäß der Poissonverteilung zu
-$${\rm Pr}(z = 0) = \frac{3^0}{0!} \cdot{\rm e}^{-3}\hspace{0.15cm}\underline{\approx 5\%}.$$
+:$${\rm Pr}(z = 0) = \frac{3^0}{0!} \cdot{\rm e}^{-3}\hspace{0.15cm}\underline{\approx 5\%}.$$
 Die dieser Aufgabe zugrunde gelegte kleine Stichprobenmenge $N = 10$ h&auml;tte allerdings auf die Wahrscheinlichkeit ${\rm Pr}(z = 0) = { 10\%}$ hingedeutet, da nur in einem einzigen Quadrat keine einzige Blume gez&auml;hlt wurde.

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 }}
-[[Datei:P_ID124__Sto_Z_2_5.gif|right|Blumenwiese - Beispiel der Poissonverteilung]]
+[[Datei:P_ID124__Sto_Z_2_5.gif|right|frame|Blumenwiese &ndash; <br>Beispiel der Poissonverteilung]]
 Ein Bauer freut sich &uuml;ber die Bl&uuml;tenpracht auf seinem Grund und m&ouml;chte wissen, wie viele L&ouml;wenzahn gerade auf seiner Wiese bl&uuml;hen.
 *Er wei&szlig;, dass die Wiese eine Fl&auml;che von 5000 Quadratmeter hat und au&szlig;erdem wei&szlig; er noch von der Landwirtschaftsschule, dass die Anzahl der Blumen in einem kleinen Gebiet stets ''poissonverteilt'' ist.
-*Er steckt &uuml;ber der gesamten Wiese &ndash; zuf&auml;llig verteilt &ndash; zehn Quadrate mit einer jeweiligen Kantenl&auml;nge von 25 cm ab und z&auml;hlt in jedem dieser Quadrate die Blumen. Dabei kommt er zu folgendem Ergebnis:
+*Er steckt &uuml;ber der gesamten Wiese &ndash; zuf&auml;llig verteilt &ndash; zehn Quadrate mit einer jeweiligen Kantenl&auml;nge von $\text{25 cm}$ ab und z&auml;hlt in jedem dieser Quadrate die Blumen. Dabei kommt er zu folgendem Ergebnis:
-:$$\rm 3, 4, 1, 5, 0, 3, 2, 4, 2, 6.$$
+:$$\rm 3, \ 4, \ 1, \ 5, \ 0, \ 3, \ 2, \ 4, \ 2, \ 6.$$
 Betrachten Sie diese Zahlenwerte als zuf&auml;llige Ergebnisse der diskreten Zufallsgr&ouml;&szlig;e $z$.
-Es ist offensichtlich, dass die Stichprobenmenge mit 10 sehr klein ist, aber &ndash; soviel sei verraten &ndash; der Bauer hat Gl&uuml;ck. &Uuml;berlegen Sie sich zun&auml;chst, wie Sie zur L&ouml;sung dieser Aufgabe vorgehen w&uuml;rden, und beantworten Sie dann die folgenden Fragen.
+Es ist offensichtlich, dass die Stichprobenmenge mit $10$ sehr klein ist, aber &ndash; soviel sei verraten &ndash; der Bauer hat Gl&uuml;ck. &Uuml;berlegen Sie sich zun&auml;chst, wie Sie zur L&ouml;sung dieser Aufgabe vorgehen w&uuml;rden, und beantworten Sie dann die folgenden Fragen.
 ''Hinweise:''
 *Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Poissonverteilung|Poissonverteilung]].
 *Bezug genommen wird aber auch auf das  Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Momente_einer_diskreten_Zufallsgröße|Momente einer diskreten Zufallsgröße]].
@@ Zeile 30: / Zeile 36: @@
 {Bestimmen Sie die Streuung der Zufallsgr&ouml;&szlig;e $z$.
 |type="{}"}
-$\sigma_z\ =$ { 1.732 3% }
+$\sigma_z\ = \ $ { 1.732 3% }
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 {Sagen Sie die Gesamtzahl $B$ aller Blumen auf der Wiese voraus.
 |type="{}"}
-$B\ =$  { 240000 3% }
+$B\ =  \ $  { 240000 3% }
 {Wie gro&szlig; ist die Wahrscheinlichkeit f&uuml;r ein Quadrat ganz ohne Blumen?
 |type="{}"}
-${\rm Pr}(z = 0) \ =$ { 5 3% } $\ \%$
+${\rm Pr}(z = 0) \ = \ $ { 5 3% } $\ \%$

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(kein Unterschied)