Aufgaben:Aufgabe 2.5: Verzerrung und Entzerrung - Versionsgeschichte

Guenter am 5. Oktober 2021 um 14:00 Uhr

2021-10-05T14:00:54Z

Guenter am 5. Oktober 2021 um 13:53 Uhr

2021-10-05T13:53:44Z

Guenter am 29. Oktober 2019 um 14:00 Uhr

2019-10-29T14:00:04Z

Guenter am 29. Oktober 2019 um 13:50 Uhr

2019-10-29T13:50:17Z

Guenter am 9. November 2018 um 16:27 Uhr

2018-11-09T16:27:32Z

Guenter am 9. November 2018 um 16:14 Uhr

2018-11-09T16:14:09Z

Mwiki-lnt: Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

2018-05-29T12:02:44Z

Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

Guenter am 8. März 2018 um 15:18 Uhr

2018-03-08T15:18:24Z

Guenter am 8. März 2018 um 14:56 Uhr

2018-03-08T14:56:05Z

Guenter am 8. März 2018 um 14:53 Uhr

2018-03-08T14:53:15Z

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 .$$
-*Der Faktor&nbsp; $3/8$&nbsp; beschreibt&nbsp; $H(f = 9 \ \rm kHz)$. Alle weiteren Spektralanteile bei&nbsp; $15 \ \rm kHz$,&nbsp; $21 \ \rm kHz$,&nbsp; usw. werden vom System unterdrückt.
+*Der Faktor&nbsp; $3/8$&nbsp; beschreibt&nbsp; $H(f = 9 \ \rm kHz)$.&nbsp; Alle weiteren Spektralanteile bei&nbsp; $15 \ \rm kHz$,&nbsp; $21 \ \rm kHz$,&nbsp; usw. werden vom System unterdrückt.
-*Die stärksten Abweichungen zwischen&nbsp; $x_2(t)$&nbsp; und&nbsp; $y_2(t)$&nbsp; wird es bei den Dreieckspitzen geben, da sich hier die fehlenden hohen Frequenzen am stärksten auswirken. Zum Beispiel erhält man für den Zeitpunkt&nbsp; $\underline{t= 0}$:
+*Die stärksten Abweichungen zwischen&nbsp; $x_2(t)$&nbsp; und&nbsp; $y_2(t)$&nbsp; wird es bei den Dreieckspitzen geben, da sich hier die fehlenden hohen Frequenzen am stärksten auswirken.&nbsp; Zum Beispiel erhält man für den Zeitpunkt&nbsp; $\underline{t= 0}$:
 :$$y_2(t=0)=  \frac{8\,{\rm  V}}{\pi^2} \left( 1 +
   {3}/{72}\right)= 0.844\,{\rm

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 }}
-[[Datei:P_ID907__LZI_A_2_5.png|right|frame|Trapezspektrum (oben) und <br>zugehörige Impulsantwort (unten)]]
+[[Datei:P_ID907__LZI_A_2_5.png|right|frame|Trapezspektrum (oben), <br>zugehörige Impulsantwort (unten)]]
-Betrachtet wird ein Nachrichtensystem mit Eingang&nbsp;  $x(t)$&nbsp; und Ausgang&nbsp; $y(t)$, das durch den trapezförmigen Frequenzgang&nbsp; $H(f)$&nbsp; gemäß der oberen Grafik vollständig beschrieben wird. Mit dem Rolloff&ndash;Faktor&nbsp; $r = 0.5$&nbsp; sowie der äquivalenten Bandbreite&nbsp; $\Delta f = 16 \ \rm kHz$&nbsp; lautet die dazugehörige, über die Fourierrücktransformation berechenbare Impulsantwort:
+Betrachtet wird ein Nachrichtensystem mit Eingang&nbsp;  $x(t)$&nbsp; und Ausgang&nbsp; $y(t)$,&nbsp; das durch den trapezförmigen Frequenzgang&nbsp; $H(f)$&nbsp; gemäß der oberen Grafik vollständig beschrieben wird.&nbsp; Mit dem Rolloff&ndash;Faktor&nbsp; $r = 0.5$&nbsp; sowie der äquivalenten Bandbreite&nbsp; $\Delta f = 16 \ \rm kHz$&nbsp; lautet die dazugehörige,&nbsp; über die Fourierrücktransformation berechenbare Impulsantwort:
 :$$h(t) = \Delta f \cdot {\rm si}(\pi \cdot \Delta f \cdot t )\cdot
 {\rm si}(\pi \cdot r \cdot \Delta f \cdot t
-) .$$
+) = \Delta f \cdot {\rm sinc}(\Delta f \cdot t )\cdot
 Als Eingangssignale stehen zur Verfügung:
 *Die Summe zweier harmonischer Schwingungen:
 :$$x_1(t) =  {1\, \rm V} \cdot \cos(\omega_1 \cdot  t) + {1\, \rm V} \cdot \sin(\omega_2 \cdot
   t).$$
-:Hierbei gelte für&nbsp; $\omega_1 = 2\pi \cdot 2000 \ {\rm 1/s}$&nbsp; und&nbsp; $\omega_2 \gt \omega_1$.
+:Hierbei sei&nbsp; $\omega_1 = 2\pi \cdot 2000 \ {\rm 1/s}$&nbsp; und&nbsp; $\omega_2 \gt \omega_1$.
 * Ein periodisches Dreiecksignal:
 :$$x_2(t) =  \frac{8\, \rm V}{\pi^2} \cdot \big[\cos(\omega_0  t) + {1}/{9} \cdot \cos(3\omega_0  t)
   + {1}/{25} \cdot \cos(5\omega_0  t) + \hspace{0.05cm}\text{...}\big].$$
-:Es ist anzumerken, dass die Grundfrequenz&nbsp; $f_0 = 2 \ \rm kHz$&nbsp; bzw.&nbsp; $3\ \rm kHz$&nbsp; beträgt. Zum Zeitpunkt&nbsp; $t = 0$&nbsp; ist der Signalwert in beiden Fällen&nbsp; $1 \ \rm V$.
+:Die Grundfrequenz beträgt&nbsp; $f_0 = 2 \ \rm kHz$&nbsp; bzw.&nbsp; $3\ \rm kHz$.&nbsp; Zum Zeitpunkt&nbsp; $t = 0$&nbsp; ist der Signalwert in beiden Fällen&nbsp; $1 \ \rm V$.
-* Ein Rechteckimpuls&nbsp; $x_3(t)$&nbsp; mit Amplitude&nbsp; $A = 1 \ \rm V$&nbsp; und Dauer&nbsp; $T = 1 \ \rm ms$. Da dessen Spektrum&nbsp; $X_3(f)$&nbsp; bis ins Unendliche reicht, führt&nbsp; $H(f)$&nbsp; hier immer zu linearen Verzerrungen.
+* Ein Rechteckimpuls&nbsp; $x_3(t)$&nbsp; mit Amplitude&nbsp; $A = 1 \ \rm V$&nbsp; und Dauer&nbsp; $T = 1 \ \rm ms$. <br>Da dessen Spektrum&nbsp; $X_3(f)$&nbsp; bis ins Unendliche reicht, führt&nbsp; $H(f)$&nbsp; hier immer zu linearen Verzerrungen.

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 '''(1)'''&nbsp; Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 1 und 3</u>:
 *Durch die Angabe eines Frequenzgangs wird bereits implizit ein lineares System vorausgesetzt, so dass nichtlineare Verzerrungen nicht auftreten können.
-*Da $H(f)$ rein reell ist, können Phasenverzerrungen ebenfalls ausgeschlossen werden.
+*Da&nbsp; $H(f)$&nbsp; rein reell ist, können Phasenverzerrungen ebenfalls ausgeschlossen werden.
 '''(2)'''&nbsp; Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 1 und 2</u>:
-*Das Ausgangssignal ist $y_1(t) = x_1(t)$.
+*Das Ausgangssignal ist&nbsp; $y_1(t) = x_1(t)$.
 *Somit ist das System nicht nur verzerrungsfrei, sondern kann für diese Anwendung auch als ideal bezeichnet werden.
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 *In diesem Fall erhält man für das Ausgangssignal:
 :$$y_1(t)=  1\,{\rm  V}\cdot \cos(2 \pi \cdot f_1 \cdot t) + {1}/{4}\cdot 1\,{\rm  V}\cdot \sin(2 \pi \cdot f_2 \cdot t).$$
-*Während der Anteil bei $f_1$ unverändert übertragen wird, ist der Sinusanteil mit $f_2$ auf ein Viertel gedämpft.
+*Während der Anteil bei&nbsp; $f_1$&nbsp; unverändert übertragen wird, ist der Sinusanteil mit&nbsp; $f_2$&nbsp; auf ein Viertel gedämpft.
 *Also liegen Dämpfungsverzerrungen vor.
 '''(4)'''&nbsp; Das Ausgangssignal $y_2(t)$ hat die folgende Form, wenn man die Grundfrequenz $f_0 = 3 \ \rm kHz$ berücksichtigt:
 :$$y_2(t)=  \frac{8\,{\rm  V}}{\pi^2} \left( \cos(\omega_0  t) +
   \frac{3}{8}\cdot \frac{1}{9} \cdot \cos(3\omega_0  t)\right)
 .$$
-Der Faktor $3/8$ beschreibt $H(f = 9 \ \rm kHz)$. Alle weiteren Spektralanteile bei $15 \ \rm kHz$, $21 \ \rm kHz$ usw. werden vom System unterdrückt.
+*Der Faktor&nbsp; $3/8$&nbsp; beschreibt&nbsp; $H(f = 9 \ \rm kHz)$. Alle weiteren Spektralanteile bei&nbsp; $15 \ \rm kHz$,&nbsp; $21 \ \rm kHz$,&nbsp; usw. werden vom System unterdrückt.
-Die stärksten Abweichungen zwischen $x_2(t)$ und $y_2(t)$ wird es bei den Dreieckspitzen geben, da sich hier die fehlenden hohen Frequenzen am stärksten auswirken. Zum Beispiel erhält man für den Zeitpunkt $\underline{t= 0}$:
+*Die stärksten Abweichungen zwischen&nbsp; $x_2(t)$&nbsp; und&nbsp; $y_2(t)$&nbsp; wird es bei den Dreieckspitzen geben, da sich hier die fehlenden hohen Frequenzen am stärksten auswirken. Zum Beispiel erhält man für den Zeitpunkt&nbsp; $\underline{t= 0}$:
 :$$y_2(t=0)=  \frac{8\,{\rm  V}}{\pi^2} \left( 1 +
   {3}/{72}\right)= 0.844\,{\rm
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 '''(5)'''&nbsp; Mit der Grundfrequenz $f_0 = 2 \ \rm kHz$ sowie den Übertragungswerten  $H(3f_0) = 0.75$, $H(5f_0) = 0.25$, $H(7f_0) = 0$ ergibt sich:
 :$$y_2(t=0)=  \frac{8\,{\rm  V}}{\pi^2} \left( 1 +
   \frac{3}{4}\cdot \frac{1}{9} + \frac{1}{4} \cdot\frac{1}{25}\right)= 0.886\,{\rm
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 '''(6)'''&nbsp; Im Bereich bis $4  \  \rm kHz$ ist $H_{\rm E}(f) = H(f) = 1$ zu setzen. Dagegen gilt im Bereich von $4  \  \rm kHz$ bis $12  \  \rm kHz$:
 :$$H_{\rm  E}(f)=  \frac{1}{H(f)} =
   \frac{1}{1.5 \cdot \big[1 - f/(12\,{\rm  kHz})\big]}
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 Der Nennerausdruck beschreibt hierbei die Geradengleichung des Flankenabfalls.
 '''(7)'''&nbsp; Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 1</u>:
-*Sowohl $x_2(t)$ als auch $x_3(t)$ beinhalten auch Spektralanteile bei Frequenzen größer als $12  \  \rm kHz$.
+*Sowohl&nbsp; $x_2(t)$&nbsp; als auch&nbsp; $x_3(t)$&nbsp; beinhalten auch Spektralanteile bei Frequenzen größer als&nbsp; $12  \  \rm kHz$.
-*Wurden diese von $H(f)$ abgeschnitten &nbsp; &rArr; &nbsp; Bandbegrenzung, so können sie durch den Entzerrer nicht mehr rekonstruiert werden.
+*Wurden diese von&nbsp; $H(f)$&nbsp; abgeschnitten &nbsp; &rArr; &nbsp; Bandbegrenzung, so können sie durch den Entzerrer nicht mehr rekonstruiert werden.
-*Das heißt, dass nur das Signal $x_1(t)$ durch $H_{\rm E}(f)$ wieder hergestellt werden kann, allerdings nur dann, wenn $f_2 < 12  \  \rm kHz$ gilt:
+*Das heißt, dass nur das Signal&nbsp; $x_1(t)$&nbsp; durch&nbsp; $H_{\rm E}(f)$&nbsp; wieder hergestellt werden kann, allerdings nur dann, wenn&nbsp; $f_2 < 12  \  \rm kHz$ gilt:
 :$$z_1(t)=  \underline{1} \cdot 1\,{\rm  V}\cdot \cos(2 \pi \cdot f_1 \cdot t) +  \underline{4} \cdot \frac{1}{4}\cdot 1\,{\rm  V}\cdot \sin(2 \pi \cdot f_2 \cdot t).$$
-*Die jeweils ersten (unterstrichenen) Faktoren geben jeweils die Verstärkungswerte von $H_{\rm E}(f)$ an.
+*Die jeweils ersten (unterstrichenen) Faktoren geben jeweils die Verstärkungswerte von&nbsp; $H_{\rm E}(f)$&nbsp; an.
 {{ML-Fuß}}

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 [[Datei:P_ID907__LZI_A_2_5.png|right|frame|Trapezspektrum (oben) und <br>zugehörige Impulsantwort (unten)]]
-Betrachtet wird ein Nachrichtensystem mit Eingang $x(t)$ und Ausgang $y(t)$ , das durch den trapezförmigen Frequenzgang $H(f)$ gemäß der oberen Grafik vollständig beschrieben wird. Mit dem Rolloff&ndash;Faktor $r = 0.5$ sowie der äquivalenten Bandbreite $\Delta f = 16 \ \rm kHz$ lautet die dazugehörige, über die Fourierrücktransformation berechenbare Impulsantwort:
+Betrachtet wird ein Nachrichtensystem mit Eingang&nbsp;  $x(t)$&nbsp; und Ausgang&nbsp; $y(t)$, das durch den trapezförmigen Frequenzgang&nbsp; $H(f)$&nbsp; gemäß der oberen Grafik vollständig beschrieben wird. Mit dem Rolloff&ndash;Faktor&nbsp; $r = 0.5$&nbsp; sowie der äquivalenten Bandbreite&nbsp; $\Delta f = 16 \ \rm kHz$&nbsp; lautet die dazugehörige, über die Fourierrücktransformation berechenbare Impulsantwort:
 :$$h(t) = \Delta f \cdot {\rm si}(\pi \cdot \Delta f \cdot t )\cdot
 {\rm si}(\pi \cdot r \cdot \Delta f \cdot t
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 :$$x_1(t) =  {1\, \rm V} \cdot \cos(\omega_1 \cdot  t) + {1\, \rm V} \cdot \sin(\omega_2 \cdot
   t).$$
-:Hierbei gelte für $\omega_1 = 2\pi \cdot 2000 \ {\rm 1/s}$ und $\omega_2 \gt \omega_1$.
+:Hierbei gelte für&nbsp; $\omega_1 = 2\pi \cdot 2000 \ {\rm 1/s}$&nbsp; und&nbsp; $\omega_2 \gt \omega_1$.
 * Ein periodisches Dreiecksignal:
 :$$x_2(t) =  \frac{8\, \rm V}{\pi^2} \cdot \big[\cos(\omega_0  t) + {1}/{9} \cdot \cos(3\omega_0  t)
   + {1}/{25} \cdot \cos(5\omega_0  t) + \hspace{0.05cm}\text{...}\big].$$
-:Es ist anzumerken, dass die Grundfrequenz $f_0 = 2 \ \rm kHz$ bzw. $3\ \rm kHz$ beträgt. Zum Zeitpunkt $t = 0$ ist der Signalwert in beiden Fällen $1 \ \rm V$.
+:Es ist anzumerken, dass die Grundfrequenz&nbsp; $f_0 = 2 \ \rm kHz$&nbsp; bzw.&nbsp; $3\ \rm kHz$&nbsp; beträgt. Zum Zeitpunkt&nbsp; $t = 0$&nbsp; ist der Signalwert in beiden Fällen&nbsp; $1 \ \rm V$.
-* Ein Rechteckimpuls $x_3(t)$ mit Amplitude $A = 1 \ \rm V$ und Dauer $T = 1 \ \rm ms$. Da dessen Spektrum $X_3(f)$ bis ins Unendliche reicht, führt $H(f)$ hier immer zu linearen Verzerrungen.
+* Ein Rechteckimpuls&nbsp; $x_3(t)$&nbsp; mit Amplitude&nbsp; $A = 1 \ \rm V$&nbsp; und Dauer&nbsp; $T = 1 \ \rm ms$. Da dessen Spektrum&nbsp; $X_3(f)$&nbsp; bis ins Unendliche reicht, führt&nbsp; $H(f)$&nbsp; hier immer zu linearen Verzerrungen.
-Ab der Teilaufgabe '''(6)''' soll versucht werden, durch einen nachgeschalteten Entzerrer mit
+Ab der Teilaufgabe&nbsp; '''(6)'''&nbsp; soll versucht werden, durch einen nachgeschalteten Entzerrer mit
-* Frequenzgang $H_{\rm E}(f)$,
+* Frequenzgang&nbsp; $H_{\rm E}(f)$,
-* Eingangssignal $y(t)$, und
+* Eingangssignal&nbsp; $y(t)$,&nbsp; und
-* Ausgangssignal $z(t)$
+* Ausgangssignal&nbsp; $z(t)$
-die eventuell von $H(f)$ erzeugten Verzerrungen zu eliminieren.
+die eventuell von&nbsp; $H(f)$&nbsp; erzeugten Verzerrungen zu eliminieren.
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 *Die Aufgabe gehört zum Kapitel&nbsp;  [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Lineare_Verzerrungen|Lineare Verzerrungen]].
 * Bezug wird insbesondere genommen auf die Seite&nbsp;  [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Lineare_Verzerrungen#Entzerrungsverfahren|Entzerrungsverfahren]].
-*Der im Fragenkatalog verwendete Begriff &bdquo;Gesamtverzerrung&rdquo; bezieht sich auf das Eingangssignal $x(t)$ und das Ausgangssignal $z(t)$.
+*Der im Fragenkatalog verwendete Begriff &bdquo;Gesamtverzerrung&rdquo; bezieht sich auf das Eingangssignal&nbsp; $x(t)$&nbsp; und das Ausgangssignal&nbsp; $z(t)$.
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-{Welche Eigenschaften zeigt das System beim Testsignal $x_1(t)$ mit $\underline{f_2 = 4 \ \rm kHz}$?
+{Welche Eigenschaften zeigt das System beim Testsignal&nbsp; $x_1(t)$&nbsp; mit&nbsp; $\underline{f_2 = 4 \ \rm kHz}$?
 |type="[]"}
 + Es wirkt wie ein ideales System.
@@ Zeile 58: / Zeile 58: @@
-{Welche Eigenschaften zeigt das System beim Testsignal $x_1(t)$ mit $\underline{f_2 = 10 \ \rm kHz}$?
+{Welche Eigenschaften zeigt das System beim Testsignal&nbsp; $x_1(t)$&nbsp; mit&nbsp; $\underline{f_2 = 10 \ \rm kHz}$?
 |type="[]"}
 - Es wirkt wie ein ideales System.
@@ Zeile 65: / Zeile 65: @@
-{Wie groß ist beim Testsignal $x_2(t)$  mit $\underline{f_0 = 3 \ \rm kHz}$ die Maximalabweichung &nbsp;$\varepsilon_{\rm max} = |y_2(t_0) - x_2(t_0)|$. <br>An welcher Stelle &nbsp;$t_0$&nbsp; tritt $\varepsilon_{\rm max}$ zum ersten Mal auf?
+{Wie groß ist beim Testsignal&nbsp; $x_2(t)$&nbsp;  mit&nbsp; $\underline{f_0 = 3 \ \rm kHz}$&nbsp; die Maximalabweichung &nbsp;$\varepsilon_{\rm max} = |y_2(t_0) - x_2(t_0)|$. <br>An welcher Stelle &nbsp;$t_0$&nbsp; tritt&nbsp; $\varepsilon_{\rm max}$&nbsp; zum ersten Mal auf?
 |type="{}"}
 $\varepsilon_\text{max} \ = \ $ { 0.156 3% } $\ \rm V$
@@ Zeile 76: / Zeile 76: @@
-{Welchen Verlauf sollte der Entzerrer $H_{\rm E}(f)$ besitzen, um alle Verzerrungen von $H(f)$ bestmöglich zu kompensieren. <br>Welcher Betragswert ergibt sich bei $\underline{f = 10 \ \rm kHz}$?
+{Welchen Verlauf sollte der Entzerrer&nbsp; $H_{\rm E}(f)$&nbsp; besitzen, um alle Verzerrungen von&nbsp; $H(f)$&nbsp; bestmöglich zu kompensieren. <br>Welcher Betragswert ergibt sich bei&nbsp; $\underline{f = 10 \ \rm kHz}$?
 |type="{}"}
 $|H_E(f = 10 \ \rm kHz)| \ = \ $ { 4 3% }
-{Bei welchen der aufgeführten Signale ist eine vollständige Entzerrung möglich? <br>Unter vollständiger Entzerrung soll dabei $z(t) = x(t)$ verstanden werden.
+{Bei welchen der aufgeführten Signale ist eine vollständige Entzerrung möglich? <br>Unter &bdquo;vollständiger Entzerrung&rdquo; soll dabei&nbsp; $z(t) = x(t)$&nbsp; verstanden werden.
 |type="[]"}
-+ Beim Signal $x_1(t)$ mit $f_2 = 10 \ \rm kHz$.
++ Beim Signal&nbsp; $x_1(t)$&nbsp; mit&nbsp; $f_2 = 10 \ \rm kHz$,
-- Beim Signal $x_2(t)$.
+- beim Signal&nbsp; $x_2(t)$,
-- Beim Signal $x_3(t)$.
+- beim Signal&nbsp; $x_3(t)$.

@@ Zeile 103: / Zeile 103: @@
 '''(3)'''&nbsp; Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 3</u>:
-*In diesem Fall erhält man das Ausgangssignal:
+*In diesem Fall erhält man für das Ausgangssignal:
 :$$y_1(t)=  1\,{\rm  V}\cdot \cos(2 \pi \cdot f_1 \cdot t) + {1}/{4}\cdot 1\,{\rm  V}\cdot \sin(2 \pi \cdot f_2 \cdot t).$$
 *Während der Anteil bei $f_1$ unverändert übertragen wird, ist der Sinusanteil mit $f_2$ auf ein Viertel gedämpft.
@@ Zeile 116: / Zeile 116: @@
 Der Faktor $3/8$ beschreibt $H(f = 9 \ \rm kHz)$. Alle weiteren Spektralanteile bei $15 \ \rm kHz$, $21 \ \rm kHz$ usw. werden vom System unterdrückt.
-Die stärksten Abweichungen zwischen $x_2(t)$ und $y_2(t)$ wird es bei den Dreieckspitzen geben, da sich hier die fehlenden hohen Frequenzen am stärksten auswirken. Zum Beispiel erhält man den Zeitpunkt $\underline{t= 0}$:
+Die stärksten Abweichungen zwischen $x_2(t)$ und $y_2(t)$ wird es bei den Dreieckspitzen geben, da sich hier die fehlenden hohen Frequenzen am stärksten auswirken. Zum Beispiel erhält man für den Zeitpunkt $\underline{t= 0}$:
 :$$y_2(t=0)=  \frac{8\,{\rm  V}}{\pi^2} \left( 1 +
   {3}/{72}\right)= 0.844\,{\rm
@@ Zeile 124: / Zeile 124: @@
-'''(5)'''&nbsp; Mit der Grundfrequenz $f_0 = 2 \ \rm kHz$ sowie den Übertragungswerten  $H(3f_0) = 0.75$, $H(5f_0) = 0.25$ und $H(7f_0) = 0$ ergibt sich:
+'''(5)'''&nbsp; Mit der Grundfrequenz $f_0 = 2 \ \rm kHz$ sowie den Übertragungswerten  $H(3f_0) = 0.75$, $H(5f_0) = 0.25$, $H(7f_0) = 0$ ergibt sich:
 :$$y_2(t=0)=  \frac{8\,{\rm  V}}{\pi^2} \left( 1 +
   \frac{3}{4}\cdot \frac{1}{9} + \frac{1}{4} \cdot\frac{1}{25}\right)= 0.886\,{\rm
@@ Zeile 134: / Zeile 134: @@
 '''(6)'''&nbsp; Im Bereich bis $4  \  \rm kHz$ ist $H_{\rm E}(f) = H(f) = 1$ zu setzen. Dagegen gilt im Bereich von $4  \  \rm kHz$ bis $12  \  \rm kHz$:
 :$$H_{\rm  E}(f)=  \frac{1}{H(f)} =
-  \frac{1}{1.5 \cdot [1 - f/(12\,{\rm  kHz})]}
+  \frac{1}{1.5 \cdot \big[1 - f/(12\,{\rm  kHz})\big]}
   \hspace{0.5cm} \Rightarrow \hspace{0.5cm}
 H_{\rm  E}(f = 10\,{\rm  kHz})\hspace{0.15cm}\underline{= 4}
@@ Zeile 144: / Zeile 144: @@
 '''(7)'''&nbsp; Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 1</u>:
 *Sowohl $x_2(t)$ als auch $x_3(t)$ beinhalten auch Spektralanteile bei Frequenzen größer als $12  \  \rm kHz$.
-*Wurden diese durch die Bandbegrenzung von $H(f)$ abgeschnitten, so können sie durch den Entzerrer nicht mehr rekonstruiert werden.
+*Wurden diese von $H(f)$ abgeschnitten &nbsp; &rArr; &nbsp; Bandbegrenzung, so können sie durch den Entzerrer nicht mehr rekonstruiert werden.
 *Das heißt, dass nur das Signal $x_1(t)$ durch $H_{\rm E}(f)$ wieder hergestellt werden kann, allerdings nur dann, wenn $f_2 < 12  \  \rm kHz$ gilt:
 :$$z_1(t)=  \underline{1} \cdot 1\,{\rm  V}\cdot \cos(2 \pi \cdot f_1 \cdot t) +  \underline{4} \cdot \frac{1}{4}\cdot 1\,{\rm  V}\cdot \sin(2 \pi \cdot f_2 \cdot t).$$

@@ Zeile 64: / Zeile 64: @@
-{Wie groß ist beim Testsignal $x_2(t)$  mit $\underline{f_0 = 3 \ \rm kHz}$ die Maximalabweichung $\varepsilon_{\rm max} = |y_2(t_0) - x_2(t_0)|$. An welcher Stelle $t_0$ tritt $\varepsilon_{\rm max}$ auf?
+{Wie groß ist beim Testsignal $x_2(t)$  mit $\underline{f_0 = 3 \ \rm kHz}$ die Maximalabweichung $\varepsilon_{\rm max} = |y_2(t_0) - x_2(t_0)|$. An welcher Stelle $t_0$ tritt $\varepsilon_{\rm max}$ zum ersten Mal auf?
 |type="{}"}
 $\varepsilon_\text{max} \ = \ $ { 0.156 3% } $\ \rm V$
@@ Zeile 72: / Zeile 72: @@
 {Wie groß ist die maximale Abweichung $\varepsilon_{\rm max}$ mit $\underline{f_0 = 2 \ \rm kHz}$?
 |type="{}"}
-$$\varepsilon_\text{max} \ = \ $ { 0.114 3% } $\ \rm V$
+$\varepsilon_\text{max} \ = \ $ { 0.114 3% } $\ \rm V$