Aufgaben:Aufgabe 2.5: Scatter-Funktion - Versionsgeschichte

Guenter am 16. Februar 2021 um 10:33 Uhr

2021-02-16T10:33:52Z

Guenter am 25. Mai 2020 um 13:06 Uhr

2020-05-25T13:06:46Z

Guenter am 25. Mai 2020 um 12:49 Uhr

2020-05-25T12:49:09Z

Guenter am 12. April 2019 um 15:06 Uhr

2019-04-12T15:06:30Z

Guenter am 12. April 2019 um 14:47 Uhr

2019-04-12T14:47:50Z

Guenter am 12. April 2019 um 14:47 Uhr

2019-04-12T14:47:05Z

Guenter am 5. Dezember 2017 um 16:42 Uhr

2017-12-05T16:42:40Z

Guenter am 5. Dezember 2017 um 16:41 Uhr

2017-12-05T16:41:15Z

Guenter am 5. Dezember 2017 um 16:27 Uhr

2017-12-05T16:27:11Z

Guenter: Guenter verschob die Seite Aufgaben:2.5 Scatter-Funktion nach Aufgaben:Aufgabe 2.5: Scatter-Funktion

2017-12-05T16:13:44Z

Guenter verschob die Seite 2.5 Scatter-Funktion nach Aufgabe 2.5: Scatter-Funktion

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 ''Hinweise:''
-* Die Aufgabe soll den Lehrstoff des Kapitels&nbsp; [[Mobile_Kommunikation/Das_GWSSUS%E2%80%93Kanalmodell| Das GWSSUS&ndash;Kanalmodell]] verdeutlichen.
+* Die Aufgabe soll den Lehrstoff des Kapitels&nbsp; [[Mobile_Kommunikation/Das_GWSSUS%E2%80%93Kanalmodell| Das GWSSUS&ndash;Kanalmodell]]&nbsp; verdeutlichen.
 * Der Zusammenhang zwischen den einzelnen Systemfunktionen ist in der&nbsp; [[Mobile_Kommunikation/Das_GWSSUS%E2%80%93Kanalmodell#Verallgemeinerte_Systemfunktionen_zeitvarianter_Systeme|Grafik auf der ersten Seite]]&nbsp; dieses Kapitels angegeben.
 *Beachten Sie, dass oben die Betragsfunktion&nbsp; $|\eta_{\rm VD}(\tau, \hspace{0.1cm} f_{\rm D})|$&nbsp; dargestellt ist, so dass negative Gewichte der Diracfunktionen nicht zu erkennen sind.

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 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; Die zeitvariante Impulsantwort $h(\tau, \hspace{0.05cm} t) = \eta_{\rm VZ}(\tau, \hspace{0.05cm} t)$ ist die Fourierrücktransformierte der Verzögerungs&ndash;Doppler&ndash;Funktion $\eta_{\rm VD}(\tau,\hspace{0.05cm}  f_{\rm D}) = s(\tau, \hspace{0.05cm} f_{\rm D})$:
+'''(1)'''&nbsp; Die zeitvariante Impulsantwort&nbsp; $h(\tau, \hspace{0.1cm} t) = \eta_{\rm VZ}(\tau, \hspace{0.1cm} t)$&nbsp; ist die Fourierrücktransformierte der Verzögerungs&ndash;Doppler&ndash;Funktion&nbsp; $\eta_{\rm VD}(\tau,\hspace{0.1cm}  f_{\rm D}) = s(\tau, \hspace{0.1cm} f_{\rm D})$:
-:$$\eta_{\rm VZ}(\tau, \hspace{0.05cm} t)
+:$$\eta_{\rm VZ}(\tau, \hspace{0.1cm} t)
-  \hspace{0.2cm}  \stackrel{t, \hspace{0.02cm}f_{\rm D}}{\circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet} \hspace{0.2cm} \eta_{\rm VD}(\tau, f_{\rm D})\hspace{0.05cm}.$$
+  \hspace{0.2cm}  \stackrel{t, \hspace{0.02cm}f_{\rm D}}{\circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet} \hspace{0.2cm} \eta_{\rm VD}(\tau,\ f_{\rm D})\hspace{0.05cm}.$$
-*Dementsprechend ist $\eta_{\rm VZ}(\tau,\hspace{0.05cm}  t)$ für alle Werte von $\tau$ identisch $0$, für die auch in der Scatter&ndash;Funktion $\eta_{\rm VD}(\tau, f_{\rm D})$ keine Anteile zu erkennen sind.
+*Dementsprechend ist&nbsp; $\eta_{\rm VZ}(\tau,\hspace{0.1cm}  t)$&nbsp; für alle Werte von&nbsp; $\tau$&nbsp; identisch Null, für die auch in der Scatter&ndash;Funktion&nbsp; $\eta_{\rm VD}(\tau,\ f_{\rm D})$&nbsp; keine Anteile zu erkennen sind.
-*Richtig sind also die <u>Lösungsvorschläge 1 und 2</u>: Nur für $\tau = 0$ und $\tau = 1 \ \rm \mu s$ besitzt die zeitvariante Impulsantwort endliche Werte.
+*Richtig sind also die <u>Lösungsvorschläge 1 und 2</u>: &nbsp; &nbsp; Nur für&nbsp; $\tau = 0$&nbsp; und&nbsp; $\tau = 1 \ \rm &micro; s$&nbsp; besitzt die zeitvariante Impulsantwort endliche Werte.
-'''(2)'''&nbsp; Für die Verzögerung $\tau = 0$ besteht die Scatter&ndash;Funktion ($\eta_{\rm VD}$) aus einem einzigen Dirac bei $f_{\rm D} = 100 \ \rm Hz$.
 *Für die gesuchte Zeitfunktion gilt gemäß dem zweiten Fourierintegral:
-:$$\eta_{\rm VZ}(\tau = 0, t) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \int\limits_{-\infty}^{+\infty} \delta (f_{\rm D} - 100\,{\rm Hz}) \cdot {\rm e}^{{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm} 2 \pi f_{\rm D} t}\hspace{0.15cm}{\rm d}f_{\rm D} =\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot {\rm e}^{ {\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}2 \pi  t \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}100\,{\rm Hz}} .$$
+:$$\eta_{\rm VZ}(\tau = 0,\ t) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \int\limits_{-\infty}^{+\infty} \delta (f_{\rm D} - 100\,{\rm Hz}) \cdot {\rm e}^{{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm} 2 \pi f_{\rm D} t}\hspace{0.15cm}{\rm d}f_{\rm D} =\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot {\rm e}^{ {\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}2 \pi  t \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}100\,{\rm Hz}} .$$
 *Richtig ist demzufolge der <u>Lösungsvorschlag 1</u>.
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 '''(3)'''&nbsp; Bei der Verzögerungszeit $\tau = 1 \ \rm &micro; s$ besteht die Verzögerungs&ndash;Doppler&ndash;Funktion dagegen aus zwei Diracfunktionen bei $&plusmn;50 \ \rm Hz$, jeweils mit dem Gewicht $-0.5$.
 *Die Zeitfunktion ergibt sich damit zu
-:$$\eta_{\rm VZ}(\tau = 1\,{\rm \mu s}, t) = - \cos( 2 \pi t \cdot 50\,{\rm Hz})\hspace{0.05cm}.$$
+:$$\eta_{\rm VZ}(\tau = 1\,{\rm &micro; s},\ t) = - \cos( 2 \pi t \cdot 50\,{\rm Hz})\hspace{0.05cm}.$$
-'''(4)'''&nbsp; Die drei Diracfunktionen $\eta_{\rm VD}(\tau, \hspace{0.05cm}f_{\rm D})$ liegen bei den Dopplerfrequenzen $+100 \ \rm Hz$, $+50 \ \rm Hz$ und $-50 \ \rm Hz$.
+'''(4)'''&nbsp; Die drei Diracfunktionen&nbsp; $\eta_{\rm VD}(\tau, \hspace{0.05cm}f_{\rm D})$&nbsp; liegen bei den Dopplerfrequenzen&nbsp; $+100 \ \rm Hz$,&nbsp; $+50 \ \rm Hz$&nbsp; und&nbsp; $-50 \ \rm Hz$.
-*Für alle anderen Dopplerfrequenzen muss deshalb auch $\eta_{\rm FD}(f, \hspace{0.05cm}f_{\rm D}) \equiv 0$ sein.
+*Für alle anderen Dopplerfrequenzen muss deshalb auch&nbsp; $\eta_{\rm FD}(f, \hspace{0.05cm}f_{\rm D}) \equiv 0$&nbsp; sein.
 *Richtig ist hier also der <u>Lösungsvorschlag 2</u>.
-'''(5)'''&nbsp; Betrachtet man die Scatter&ndash;Funktion $\eta_{\rm VD}(\tau, \hspace{0.05cm}f_{\rm D})$ in Richtung der $\tau$&ndash;Achse, so erkennt man bei den Dopplerfrequenzen $100 \ \rm Hz$ und $&plusmn;50 \ \rm Hz$ nur jeweils eine Diracfunktion.
-*Hier ergeben sich in Abhängigkeit von $f$ jeweils komplexe Exponentialschwingungen mit konstantem Betrag (woraus folgt, dass der <u>Lösungsvorschlag 1</u> richtig ist):
+'''(5)'''&nbsp; Betrachtet man die Scatter&ndash;Funktion&nbsp; $\eta_{\rm VD}(\tau, \hspace{0.1cm}f_{\rm D})$&nbsp; in Richtung der $\tau$&ndash;Achse, so gibt es bei den Dopplerfrequenzen&nbsp; $100 \ \rm Hz$&nbsp; und&nbsp; $&plusmn;50 \ \rm Hz$&nbsp; nur jeweils einen Dirac.
 :$$|\eta_{\rm FD}(f, \hspace{0.05cm}f_{\rm D} = 100\,{\rm Hz})| \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} {1}/{\sqrt{2}} = {\rm const.}$$
 :$$| \eta_{\rm FD}(f, \hspace{0.05cm}f_{\rm D}= \pm 50\,{\rm Hz})| \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} 0.5 = {\rm const.}$$
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 [[Datei:P_ID2168__Mob_A_2_5e_neu.png|right|frame|Zusammenhang aller Systemfunktionen]]
-'''(6)'''&nbsp; Wie aus der angegebenen [[Mobile_Kommunikation/Das_GWSSUS%E2%80%93Kanalmodell#Verallgemeinerte_Systemfunktionen_zeitvarianter_Systeme|Grafik]] zu ersehen, treffen die <u>Lösungsalternativen 2 und 3</u> zu.
+'''(6)'''&nbsp; Wie aus der angegebenen&nbsp; [[Mobile_Kommunikation/Das_GWSSUS%E2%80%93Kanalmodell#Verallgemeinerte_Systemfunktionen_zeitvarianter_Systeme|Grafik]]&nbsp; zu ersehen, treffen die <u>Lösungsalternativen 2 und 3</u> zu.
 *Die Grafik zeigt alle Systemfunktionen.
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 ''Hinweis:''
-Vergleichen Sie die zeitvariante Übertragungsfunktion $|\eta_{\rm FZ}(f, \hspace{0.05cm} t)|$ im Bild unten rechts mit der entsprechenden Grafik für  [[Aufgaben:Aufgabe_2.4:_2D-Übertragungsfunktion| Aufgabe 2.4]]:
+Vergleichen Sie die zeitvariante Übertragungsfunktion&nbsp; $|\eta_{\rm FZ}(f, \hspace{0.1cm} t)|$&nbsp; im Bild unten rechts mit der entsprechenden Grafik für&nbsp;  [[Aufgaben:Aufgabe_2.4:_2D-Übertragungsfunktion| Aufgabe 2.4]]:
-*Die jeweils dargestellten Betragsfunktionen unterscheiden sich signifikant, obwohl $|\eta_{\rm VZ}(\tau, t)|$ in beiden Fällen gleich ist.
+*Die jeweils dargestellten Betragsfunktionen unterscheiden sich signifikant, obwohl&nbsp; $|\eta_{\rm VZ}(\tau,\ t)|$&nbsp; in beiden Fällen gleich ist.
-*In der Aufgabe 2.4 wurde für $\eta_{\rm VZ}(\tau = 1 \ {\rm &micro; s}, t)$ implizit ein Cosinus vorausgesetzt, hier eine Minus&ndash;Cosinusfunktion.
+*In der Aufgabe 2.4 wurde für&nbsp; $\eta_{\rm VZ}(\tau = 1 \ {\rm &micro; s},\ t)$&nbsp; implizit ein Cosinus vorausgesetzt, hier eine Minus&ndash;Cosinusfunktion.
-*Die (nicht explizit) angegebene Verzögerungs&ndash;Dopplerfunktion für die Aufgabe 2.4 lautete:
+*Die&nbsp; (nicht explizit)&nbsp; angegebene Verzögerungs&ndash;Dopplerfunktion für die Aufgabe 2.4 lautete:
-:$$\eta_{\rm VD}(\tau, f_{\rm D}) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \delta (\tau) \cdot \delta (f_{\rm D} - 100\,{\rm Hz})+$$
+:$$\eta_{\rm VD}(\tau,\ f_{\rm D}) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \delta (\tau) \cdot \delta (f_{\rm D} - 100\,{\rm Hz})+$$
 :$$\hspace{2cm}+\hspace{0.22cm}\frac{1}{2} \cdot \delta (\tau- 1\,{\rm \mu s}) \cdot \delta (f_{\rm D} - 50\,{\rm Hz})+ $$
 :$$\hspace{2cm}+\hspace{0.22cm} \frac{1}{2} \cdot \delta (\tau- 1\,{\rm \mu s}) \cdot \delta (f_{\rm D} + 50\,{\rm Hz})
   \hspace{0.05cm}.$$
-*Ein Vergleich mit der Gleichung auf der [[Aufgaben:2.5_Scatter-Funktion|Angabenseite]] zeigt, dass sich nur die Vorzeichen der Diracs bei $\tau = 1 \ \rm &micro; s$ geändert haben.
+*Ein Vergleich mit der entsprechenden Gleichung auf der&nbsp; [[Aufgaben:2.5_Scatter-Funktion|Angabenseite]]&nbsp; zeigt, dass sich nur die Vorzeichen der Diracs bei&nbsp; $\tau = 1 \ \rm &micro; s$&nbsp; geändert haben.
 {{ML-Fuß}}

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 [[Datei:P_ID2164__Mob_A_2_5.png|right|frame|Verzögerungs–Doppler–Funktion]]
-Für den Mobilfunkkanal als zeitvariantes System gibt es insgesamt vier Systemfunktionen, die über die Fouriertransformation miteinander verknüpft sind. Mit der in unserem Lerntutorial formalisierten Nomenklatur sind diese:
+Für den Mobilfunkkanal als zeitvariantes System gibt es insgesamt vier Systemfunktionen, die über die Fouriertransformation miteinander verknüpft sind.&nbsp; Mit der in unserem Lerntutorial formalisierten Nomenklatur sind diese:
-* die zeitvariante Impulsantwort&nbsp; $h(\tau, \hspace{0.05cm}t)$, die wir hier auch mit&nbsp; $\eta_{\rm VZ}(\tau,\hspace{0.05cm} t)$&nbsp; bezeichnen,
+* die zeitvariante Impulsantwort&nbsp; $h(\tau, \hspace{0.1cm}t)$, die wir hier auch mit&nbsp; $\eta_{\rm VZ}(\tau,\hspace{0.1cm} t)$&nbsp; bezeichnen,
-* die Verzögerungs&ndash;Doppler&ndash;Funktion&nbsp; $\eta_{\rm VD}(\tau,\hspace{0.05cm} f_{\rm D})$,
+* die Verzögerungs&ndash;Doppler&ndash;Funktion&nbsp; $\eta_{\rm VD}(\tau,\hspace{0.1cm} f_{\rm D})$,
-* die Frequenz&ndash;Doppler&ndash;Funktion&nbsp; $\eta_{\rm FD}(f, \hspace{0.05cm}f_{\rm D})$,
+* die Frequenz&ndash;Doppler&ndash;Funktion&nbsp; $\eta_{\rm FD}(f, \hspace{0.1cm}f_{\rm D})$,
-* die zeitvariante Übertragungsfunktion&nbsp; $\eta_{\rm FZ}(f,\hspace{0.05cm}t)$&nbsp; oder&nbsp; $H(f, \hspace{0.05cm}t)$.
+* die zeitvariante Übertragungsfunktion&nbsp; $\eta_{\rm FZ}(f,\hspace{0.1cm}t)$&nbsp; oder&nbsp; $H(f, \hspace{0.1cm}t)$.
-Die Indizes stehen für die <b>V</b>erzögerung&nbsp; $\tau$, die <b>Z</b>eit&nbsp; $t$, die <b>F</b>requenz&nbsp; $f$&nbsp; sowie die <b>D</b>opplerfrequenz&nbsp; $f_{\rm D}$.
+Die Indizes stehen für die&nbsp; $\rm V\hspace{-0.05cm}$erzögerung&nbsp; $\tau$,&nbsp; die &nbsp; $\rm Z$eit&nbsp; $t$,&nbsp; die &nbsp; $\rm F$requenz&nbsp; $f$&nbsp; sowie die&nbsp; $\rm D$opplerfrequenz&nbsp; $f_{\rm D}$.
 Gegeben ist die Verzögerungs&ndash;Doppler&ndash;Funktion&nbsp; $\eta_{\rm VD}(\tau,\hspace{0.05cm} f_{\rm D})$&nbsp; entsprechend der oberen Grafik:
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   \hspace{0.05cm}.$$
-In der Literatur wird&nbsp; $\eta_{\rm VD}(\tau, \hspace{0.05cm}f_{\rm D})$&nbsp; oft auch <i>Scatter&ndash;Funktion</i> genannt und mit&nbsp; $s(\tau, \hspace{0.05cm}f_{\rm D})$&nbsp; bezeichnet.
+In der Literatur wird&nbsp; $\eta_{\rm VD}(\tau, \hspace{0.1cm}f_{\rm D})$&nbsp; oft auch <i>Scatter&ndash;Funktion</i> genannt und mit&nbsp; $s(\tau, \hspace{0.1cm}f_{\rm D})$&nbsp; bezeichnet.
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 * Die Aufgabe soll den Lehrstoff des Kapitels&nbsp; [[Mobile_Kommunikation/Das_GWSSUS%E2%80%93Kanalmodell| Das GWSSUS&ndash;Kanalmodell]] verdeutlichen.
 * Der Zusammenhang zwischen den einzelnen Systemfunktionen ist in der&nbsp; [[Mobile_Kommunikation/Das_GWSSUS%E2%80%93Kanalmodell#Verallgemeinerte_Systemfunktionen_zeitvarianter_Systeme|Grafik auf der ersten Seite]]&nbsp; dieses Kapitels angegeben.
-*Beachten Sie, dass oben die Betragsfunktion&nbsp; $|\eta_{\rm VD}(\tau, \hspace{0.05cm} f_{\rm D})|$&nbsp; dargestellt ist, so dass negative Gewichte der Diracfunktionen nicht zu erkennen sind.
+*Beachten Sie, dass oben die Betragsfunktion&nbsp; $|\eta_{\rm VD}(\tau, \hspace{0.1cm} f_{\rm D})|$&nbsp; dargestellt ist, so dass negative Gewichte der Diracfunktionen nicht zu erkennen sind.
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 ===Fragebogen===
 <quiz display=simple>
-{Bei welchen&nbsp; $\tau$&ndash;Werten hat die 2D&ndash;Impulsantwort&nbsp; $\eta_{\rm VZ}(\tau, \hspace{0.05cm}t)$&nbsp; Anteile? Bei
+{Bei welchen&nbsp; $\tau$&ndash;Werten hat die 2D&ndash;Impulsantwort&nbsp; $\eta_{\rm VZ}(\tau, \hspace{0.1cm}t)$&nbsp; Anteile? Bei
 |type="[]"}
 + $\tau = 0$,
 + $\tau = 1 \ \rm &micro; s$,
-- anderen $\tau$&ndash;Werte.
+- anderen&nbsp; $\tau$&ndash;Werte.
-{Berechnen Sie&nbsp; $|\eta_{\rm VZ}(\tau = 0,\hspace{0.05cm}t)|$. Welche der folgenden Aussagen treffen zu?
+{Berechnen Sie&nbsp; $|\eta_{\rm VZ}(\tau = 0,\hspace{0.1cm}t)|$.&nbsp; Welche der folgenden Aussagen treffen zu?
 |type="()"}
-+ $|\eta_{\rm VZ}(\tau = 0,\hspace{0.05cm} t)|$&nbsp; ist unabhängig von&nbsp; $t$.
++ $|\eta_{\rm VZ}(\tau = 0,\hspace{0.1cm} t)|$&nbsp; ist unabhängig von&nbsp; $t$.
-- Es gilt&nbsp; $\eta_{\rm VZ}(\tau = 0, \hspace{0.05cm}t) = A \cdot \cos {(2\pi f_0 t)}$.
+- Es gilt&nbsp; $\eta_{\rm VZ}(\tau = 0, \hspace{0.1cm}t) = A \cdot \cos {(2\pi f_0 t)}$.
-- Es gilt&nbsp; $\eta_{\rm VZ}(\tau = 0, \hspace{0.05cm}t) = A \cdot \sin {(2\pi f_0 t)}$.
+- Es gilt&nbsp; $\eta_{\rm VZ}(\tau = 0, \hspace{0.1cm}t) = A \cdot \sin {(2\pi f_0 t)}$.
-{Berechnen Sie&nbsp; $|\eta_{\rm VZ}(\tau = 1 \ {\rm &micro; s},\hspace{0.05cm} t)|$. Welche der Aussagen treffen zu?
+{Berechnen Sie&nbsp; $|\eta_{\rm VZ}(\tau = 1 \ {\rm &micro; s},\hspace{0.05cm} t)|$.&nbsp; Welche der Aussagen treffen zu?
 |type="()"}
-- $|\eta_{\rm VZ}(\tau = 1 \ {\rm &micro; s},\hspace{0.05cm} t)|$&nbsp; ist unabhängig von&nbsp; $t$.
+- $|\eta_{\rm VZ}(\tau = 1 \ {\rm &micro; s},\hspace{0.1cm} t)|$&nbsp; ist unabhängig von&nbsp; $t$.
-+ Es gilt&nbsp; $\eta_{\rm VZ}(\tau = 1 \ {\rm &micro; s}, \hspace{0.05cm}t) = A \cdot \cos {(2\pi f_0 t)}$.
++ Es gilt&nbsp; $\eta_{\rm VZ}(\tau = 1 \ {\rm &micro; s}, \hspace{0.1cm}t) = A \cdot \cos {(2\pi f_0 t)}$.
-- Es gilt&nbsp; $\eta_{\rm VZ}(\tau = 1 \ {\rm &micro; s}, \hspace{0.05cm}t) = A \cdot \sin {(2\pi f_0 t)}$.
+- Es gilt&nbsp; $\eta_{\rm VZ}(\tau = 1 \ {\rm &micro; s}, \hspace{0.1cm}t) = A \cdot \sin {(2\pi f_0 t)}$.
-{Betrachten Sie nun die Frequenz&ndash;Doppler&ndash;Darstellung&nbsp; $\eta_{\rm FD}(f, \hspace{0.05cm}f_{\rm D})$. Für welche&nbsp; $f_{\rm D}$&ndash;Werte ist diese Funktion ungleich Null? Für
+{Betrachten Sie nun die Frequenz&ndash;Doppler&ndash;Darstellung&nbsp; $\eta_{\rm FD}(f, \hspace{0.1cm}f_{\rm D})$.&nbsp; Für welche&nbsp; $f_{\rm D}$&ndash;Werte ist diese Funktion ungleich Null? Für
 |type="[]"}
 - $f_{\rm D} = 0$,
@@ Zeile 61: / Zeile 64: @@
 - $f_{\rm D} = &plusmn; 100 \ \rm Hz$.
-{Welche der folgenden Aussagen gelten für&nbsp; $\eta_{\rm FD}(f,\hspace{0.05cm} f_{\rm D})$?
+{Welche der folgenden Aussagen gelten für&nbsp; $\eta_{\rm FD}(f,\hspace{0.1cm} f_{\rm D})$?
 |type="()"}
-+ $|\eta_{\rm FD}(f,\hspace{0.05cm} f_{\rm D} = 100 \ \rm Hz)|$&nbsp; ist unabhängig von&nbsp; $f_{\rm D}$.
++ $|\eta_{\rm FD}(f,\hspace{0.1cm} f_{\rm D} = 100 \ \rm Hz)|$&nbsp; ist unabhängig von&nbsp; $f_{\rm D}$.
-- Es gilt&nbsp; $\eta_{\rm FD}(f, \hspace{0.05cm}f_{\rm D} = 50 \ {\rm Hz}) = A \cdot \cos {(2\pi t_0 f)}$.
+- Es gilt&nbsp; $\eta_{\rm FD}(f, \hspace{0.1cm}f_{\rm D} = 50 \ {\rm Hz}) = A \cdot \cos {(2\pi t_0 f)}$.
-- Es gilt&nbsp; $\eta_{\rm FD}(f, \hspace{0.05cm}f_{\rm D} = 50 \ {\rm Hz}) = A \cdot \sin {(2\pi t_0 f)}$.
+- Es gilt&nbsp; $\eta_{\rm FD}(f, \hspace{0.1cm}f_{\rm D} = 50 \ {\rm Hz}) = A \cdot \sin {(2\pi t_0 f)}$.
-{Wie kommt man zur zeitvarianten Übertragungsfunktion&nbsp; $\eta_{\rm FZ}(f, \hspace{0.05cm}t)$?
+{Wie kommt man zur zeitvarianten Übertragungsfunktion&nbsp; $\eta_{\rm FZ}(f, \hspace{0.1cm}t)$?
 |type="[]"}
-- Durch Fouriertransformation von&nbsp; $\eta_{\rm VD}(\tau,\hspace{0.05cm} f_{\rm D})$&nbsp; bezüglich&nbsp; $\tau$.
+- Durch Fouriertransformation von&nbsp; $\eta_{\rm VD}(\tau,\hspace{0.1cm} f_{\rm D})$&nbsp; bezüglich&nbsp; $\tau$.
-+ Durch Fouriertransformation von&nbsp; $\eta_{\rm VZ}(\tau, \hspace{0.05cm}t)$&nbsp; bezüglich&nbsp; $\tau$.
++ Durch Fouriertransformation von&nbsp; $\eta_{\rm VZ}(\tau, \hspace{0.1cm}t)$&nbsp; bezüglich&nbsp; $\tau$.
-+ Durch Fourierrücktransformation von&nbsp; $\eta_{\rm FD}(f,\hspace{0.05cm} f_{\rm D})$&nbsp; bezüglich&nbsp; $f_{\rm D}$.
++ Durch Fourierrücktransformation von&nbsp; $\eta_{\rm FD}(f,\hspace{0.1cm} f_{\rm D})$&nbsp; bezüglich&nbsp; $f_{\rm D}$.
 </quiz>

@@ Zeile 44: / Zeile 44: @@
 {Berechnen Sie&nbsp; $|\eta_{\rm VZ}(\tau = 0,\hspace{0.05cm}t)|$. Welche der folgenden Aussagen treffen zu?
-|type="[]"}
+|type="()"}
 + $|\eta_{\rm VZ}(\tau = 0,\hspace{0.05cm} t)|$&nbsp; ist unabhängig von&nbsp; $t$.
 - Es gilt&nbsp; $\eta_{\rm VZ}(\tau = 0, \hspace{0.05cm}t) = A \cdot \cos {(2\pi f_0 t)}$.
@@ Zeile 50: / Zeile 50: @@
 {Berechnen Sie&nbsp; $|\eta_{\rm VZ}(\tau = 1 \ {\rm &micro; s},\hspace{0.05cm} t)|$. Welche der Aussagen treffen zu?
-|type="[]"}
+|type="()"}
 - $|\eta_{\rm VZ}(\tau = 1 \ {\rm &micro; s},\hspace{0.05cm} t)|$&nbsp; ist unabhängig von&nbsp; $t$.
 + Es gilt&nbsp; $\eta_{\rm VZ}(\tau = 1 \ {\rm &micro; s}, \hspace{0.05cm}t) = A \cdot \cos {(2\pi f_0 t)}$.
@@ Zeile 62: / Zeile 62: @@
 {Welche der folgenden Aussagen gelten für&nbsp; $\eta_{\rm FD}(f,\hspace{0.05cm} f_{\rm D})$?
-|type="[]"}
+|type="()"}
 + $|\eta_{\rm FD}(f,\hspace{0.05cm} f_{\rm D} = 100 \ \rm Hz)|$&nbsp; ist unabhängig von&nbsp; $f_{\rm D}$.
 - Es gilt&nbsp; $\eta_{\rm FD}(f, \hspace{0.05cm}f_{\rm D} = 50 \ {\rm Hz}) = A \cdot \cos {(2\pi t_0 f)}$.
@@ Zeile 76: / Zeile 76: @@
 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; Die zeitvariante Impulsantwort $h(\tau, \hspace{0.05cm} t) = \eta_{\rm VZ}(\tau, \hspace{0.05cm} t)$ ist die Fourierrücktransformierte der Verzögerungs&ndash;Doppler&ndash;Funktion (Scatter&ndash;Funktion) $\eta_{\rm VD}(\tau,\hspace{0.05cm}  f_{\rm D}) = s(\tau, \hspace{0.05cm} f_{\rm D})$:
+'''(1)'''&nbsp; Die zeitvariante Impulsantwort $h(\tau, \hspace{0.05cm} t) = \eta_{\rm VZ}(\tau, \hspace{0.05cm} t)$ ist die Fourierrücktransformierte der Verzögerungs&ndash;Doppler&ndash;Funktion $\eta_{\rm VD}(\tau,\hspace{0.05cm}  f_{\rm D}) = s(\tau, \hspace{0.05cm} f_{\rm D})$:
 :$$\eta_{\rm VZ}(\tau, \hspace{0.05cm} t)
   \hspace{0.2cm}  \stackrel{t, \hspace{0.02cm}f_{\rm D}}{\circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet} \hspace{0.2cm} \eta_{\rm VD}(\tau, f_{\rm D})\hspace{0.05cm}.$$
-Dementsprechend ist $\eta_{\rm VZ}(\tau,\hspace{0.05cm}  t)$ für alle Werte von $\tau$ identisch $0$, für die auch in der Scatter&ndash;Funktion $\eta_{\rm VD}(\tau, f_{\rm D})$ keine Anteile zu erkennen sind. Richtig sind also die <u>Lösungsvorschläge 1 und 2</u>. Nur für $\tau = 0$ und $\tau = 1 \ \rm \mu s$ besitzt die zeitvariante Impulsantwort endliche Werte.
+*Dementsprechend ist $\eta_{\rm VZ}(\tau,\hspace{0.05cm}  t)$ für alle Werte von $\tau$ identisch $0$, für die auch in der Scatter&ndash;Funktion $\eta_{\rm VD}(\tau, f_{\rm D})$ keine Anteile zu erkennen sind.
 '''(2)'''&nbsp; Für die Verzögerung $\tau = 0$ besteht die Scatter&ndash;Funktion ($\eta_{\rm VD}$) aus einem einzigen Dirac bei $f_{\rm D} = 100 \ \rm Hz$. Für die gesuchte Zeitfunktion gilt gemäß dem zweiten Fourierintegral:
 :$$\eta_{\rm VZ}(\tau = 0, t) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \int\limits_{-\infty}^{+\infty} \delta (f_{\rm D} - 100\,{\rm Hz}) \cdot {\rm e}^{{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm} 2 \pi f_{\rm D} t}\hspace{0.15cm}{\rm d}f_{\rm D} =\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot {\rm e}^{ {\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}2 \pi  t \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}100\,{\rm Hz}} .$$
-Richtig ist demzufolge der <u>Lösungsvorschlag 1</u>.
+*Richtig ist demzufolge der <u>Lösungsvorschlag 1</u>.
-'''(3)'''&nbsp; Bei der Verzögerungszeit $\tau = 1 \ \rm \mu s$ besteht die Verzögerungs&ndash;Doppler&ndash;Funktion dagegen aus zwei Diracfunktionen bei $&plusmn;50 \ \rm Hz$, jeweils mit dem Gewicht $-0.5$. Die Zeitfunktion ergibt sich damit zu
+'''(3)'''&nbsp; Bei der Verzögerungszeit $\tau = 1 \ \rm &micro; s$ besteht die Verzögerungs&ndash;Doppler&ndash;Funktion dagegen aus zwei Diracfunktionen bei $&plusmn;50 \ \rm Hz$, jeweils mit dem Gewicht $-0.5$.
 :$$\eta_{\rm VZ}(\tau = 1\,{\rm \mu s}, t) = - \cos( 2 \pi t \cdot 50\,{\rm Hz})\hspace{0.05cm}.$$
-Diese Funktion lässt sich mit $A = -1$ und $f_0 = 50 \ \rm Hz$ gemäß <u>Lösungsvorschlag 2</u> darstellen.
+*Diese Funktion lässt sich mit $A = -1$ und $f_0 = 50 \ \rm Hz$ gemäß <u>Lösungsvorschlag 2</u> darstellen.
-'''(4)'''&nbsp; Die drei Diracfunktionen $\eta_{\rm VD}(\tau, \hspace{0.05cm}f_{\rm D})$ liegen bei den Dopplerfrequenzen $+100 \ \rm Hz$, $+50 \ \rm Hz$ und $-50 \ \rm Hz$. Für alle anderen Dopplerfrequenzen muss deshalb auch $\eta_{\rm FD}(f, \hspace{0.05cm}f_{\rm D}) \equiv 0$ sein. Richtig ist hier also der <u>Lösungsvorschlag 2</u>.
+'''(4)'''&nbsp; Die drei Diracfunktionen $\eta_{\rm VD}(\tau, \hspace{0.05cm}f_{\rm D})$ liegen bei den Dopplerfrequenzen $+100 \ \rm Hz$, $+50 \ \rm Hz$ und $-50 \ \rm Hz$.
-'''(5)'''&nbsp; Betrachtet man die Scatter&ndash;Funktion $\eta_{\rm VD}(\tau, \hspace{0.05cm}f_{\rm D})$ in Richtung der $\tau$&ndash;Achse, so erkennt man bei den relevanten Dopplerfrequenzen $100 \ \rm Hz$ und $&plusmn;50 \ \rm Hz$ nur jeweils eine Diracfunktion. Hier ergeben sich in Abhängigkeit von $f$ jeweils komplexe Exponentialschwingungen mit konstantem Betrag (woraus folgt, dass der <u>Lösungsvorschlag 1</u> richtig ist):
 :$$|\eta_{\rm FD}(f, \hspace{0.05cm}f_{\rm D} = 100\,{\rm Hz})| \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} {1}/{\sqrt{2}} = {\rm const.}$$
 :$$| \eta_{\rm FD}(f, \hspace{0.05cm}f_{\rm D}= \pm 50\,{\rm Hz})| \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} 0.5 = {\rm const.}$$
 '''(6)'''&nbsp; Wie aus der angegebenen [[Mobile_Kommunikation/Das_GWSSUS%E2%80%93Kanalmodell#Verallgemeinerte_Systemfunktionen_zeitvarianter_Systeme|Grafik]] zu ersehen, treffen die <u>Lösungsalternativen 2 und 3</u> zu.
-Die Grafik zeigt alle Systemfunktionen. Die Fourierkorrespondenzen (grün eingezeichnet) verdeutlichen die Zusammenhänge zwischen diesen Systemfunktionen.
+*Die Grafik zeigt alle Systemfunktionen.
-[[Datei:P_ID2168__Mob_A_2_5e_neu.png|center|frame|Zusammenhang aller Systemfunktionen]]
+''Hinweis:''
-''Hinweis:'' Vergleichen Sie die zeitvariante Übertragungsfunktion $|\eta_{\rm FZ}(f, \hspace{0.05cm} t)|$ im Bild unten rechts mit der entsprechenden Grafik für  [[Aufgaben:Aufgabe_2.4:_2D-Übertragungsfunktion| Aufgabe 2.4]]:
+Vergleichen Sie die zeitvariante Übertragungsfunktion $|\eta_{\rm FZ}(f, \hspace{0.05cm} t)|$ im Bild unten rechts mit der entsprechenden Grafik für  [[Aufgaben:Aufgabe_2.4:_2D-Übertragungsfunktion| Aufgabe 2.4]]:
 *Die jeweils dargestellten Betragsfunktionen unterscheiden sich signifikant, obwohl $|\eta_{\rm VZ}(\tau, t)|$ in beiden Fällen gleich ist.
-*In der Aufgabe 2.4 wurde jedoch für $\eta_{\rm VZ}(\tau = 1 \ {\rm \mu s}, t)$ implizit eine Cosinusfunktion vorausgesetzt und hier eine Minus&ndash;Cosinusfunktion.
+*In der Aufgabe 2.4 wurde für $\eta_{\rm VZ}(\tau = 1 \ {\rm &micro; s}, t)$ implizit ein Cosinus vorausgesetzt, hier eine Minus&ndash;Cosinusfunktion.
 *Die (nicht explizit) angegebene Verzögerungs&ndash;Dopplerfunktion für die Aufgabe 2.4 lautete:
-:$$\eta_{\rm VD}(\tau, f_{\rm D}) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \delta (\tau) \cdot \delta (f_{\rm D} - 100\,{\rm Hz})+\frac{1}{2} \cdot \delta (\tau- 1\,{\rm \mu s}) \cdot \delta (f_{\rm D} - 50\,{\rm Hz})+
+:$$\eta_{\rm VD}(\tau, f_{\rm D}) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \delta (\tau) \cdot \delta (f_{\rm D} - 100\,{\rm Hz})+$$
- \frac{1}{2} \cdot \delta (\tau- 1\,{\rm \mu s}) \cdot \delta (f_{\rm D} + 50\,{\rm Hz})
+:$$\hspace{2cm}+\hspace{0.22cm}\frac{1}{2} \cdot \delta (\tau- 1\,{\rm \mu s}) \cdot \delta (f_{\rm D} - 50\,{\rm Hz})+ $$
   \hspace{0.05cm}.$$
-*Ein Vergleich mit der Gleichung auf der [[Aufgaben:2.5_Scatter-Funktion|Angabenseite]] zeigt, dass sich nur die Vorzeichen der Diracgewichte bei $\tau = 1 \ \rm \mu s$ geändert haben.
+*Ein Vergleich mit der Gleichung auf der [[Aufgaben:2.5_Scatter-Funktion|Angabenseite]] zeigt, dass sich nur die Vorzeichen der Diracs bei $\tau = 1 \ \rm &micro; s$ geändert haben.
 {{ML-Fuß}}

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 ''Hinweise:''
 * Die Aufgabe soll den Lehrstoff des Kapitels&nbsp; [[Mobile_Kommunikation/Das_GWSSUS%E2%80%93Kanalmodell| Das GWSSUS&ndash;Kanalmodell]] verdeutlichen.
-* Der Zusammenhang zwischen den einzelnen Systemfunktionen ist in der&nbsp; [[Mobile_Kommunikation/Das_GWSSUS%E2%80%93Kanalmodell#Verallgemeinerte_Systemfunktionen_zeitvarianter_Systeme|Grafik]]&nbsp; auf der ersten Seite dieses Kapitels angegeben.
+* Der Zusammenhang zwischen den einzelnen Systemfunktionen ist in der&nbsp; [[Mobile_Kommunikation/Das_GWSSUS%E2%80%93Kanalmodell#Verallgemeinerte_Systemfunktionen_zeitvarianter_Systeme|Grafik auf der ersten Seite]]&nbsp; dieses Kapitels angegeben.
 *Beachten Sie, dass oben die Betragsfunktion&nbsp; $|\eta_{\rm VD}(\tau, \hspace{0.05cm} f_{\rm D})|$&nbsp; dargestellt ist, so dass negative Gewichte der Diracfunktionen nicht zu erkennen sind.

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 [[Datei:P_ID2164__Mob_A_2_5.png|right|frame|Verzögerungs–Doppler–Funktion]]
-Für den Mobilfunkkanal als zeitvariantes System gibt es insgesamt vier Systemfunktionen, die über die Fouriertransformation miteinander verknüpft sind. Mit der im Lerntutorial formalisierten Nomenklatur sind diese:
+Für den Mobilfunkkanal als zeitvariantes System gibt es insgesamt vier Systemfunktionen, die über die Fouriertransformation miteinander verknüpft sind. Mit der in unserem Lerntutorial formalisierten Nomenklatur sind diese:
-* die zeitvariante Impulsantwort $h(\tau, t)$, die wir hier auch mit $\eta_{\rm VZ}(\tau, t)$ bezeichnen,
+* die zeitvariante Impulsantwort $h(\tau, \hspace{0.05cm}t)$, die wir hier auch mit $\eta_{\rm VZ}(\tau,\hspace{0.05cm} t)$ bezeichnen,
-* die Verzögerungs&ndash;Doppler&ndash;Funktion $\eta_{\rm VD}(\tau, f_{\rm D})$
+* die Verzögerungs&ndash;Doppler&ndash;Funktion $\eta_{\rm VD}(\tau,\hspace{0.05cm} f_{\rm D})$
-* die Frequenz&ndash;Doppler&ndash;Funktion $\eta_{\rm FD}(f, f_{\rm D})$,
+* die Frequenz&ndash;Doppler&ndash;Funktion $\eta_{\rm FD}(f, \hspace{0.05cm}f_{\rm D})$,
-* die zeitvariante Übertragungsfunktion $\eta_{\rm FZ}(f, t)$.
+* die zeitvariante Übertragungsfunktion $\eta_{\rm FZ}(f,\hspace{0.05cm}t)$.
 Die Indizes stehen für die <b>V</b>erzögerung $\tau$, die <b>Z</b>eit $t$, die <b>F</b>requenz $f$ sowie die <b>D</b>opplerfrequenz $f_{\rm D}$.
-Gegeben ist die Verzögerungs&ndash;Doppler&ndash;Funktion $\eta_{\rm VD}(\tau, f_{\rm D})$ entsprechend der oberen Grafik:
+Gegeben ist die Verzögerungs&ndash;Doppler&ndash;Funktion $\eta_{\rm VD}(\tau,\hspace{0.05cm} f_{\rm D})$ entsprechend der oberen Grafik:
 :$$\eta_{\rm VD}(\tau, f_{\rm D}) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \delta (\tau) \cdot \delta (f_{\rm D} - 100\,{\rm Hz})-$$
-:$$\hspace{-0.1cm} \ - \ \hspace{-0.1cm} \frac{1}{2} \cdot \delta (\tau- 1\,{\rm \mu s}) \cdot \delta (f_{\rm D} - 50\,{\rm Hz})-
+:$$\hspace{1.75cm} \ - \ \hspace{-0.1cm} \frac{1}{2} \cdot \delta (\tau- 1\,{\rm \mu s}) \cdot \delta (f_{\rm D} - 50\,{\rm Hz})-
   \frac{1}{2} \cdot \delta (\tau- 1\,{\rm \mu s}) \cdot \delta (f_{\rm D} + 50\,{\rm Hz})
   \hspace{0.05cm}.$$
-In der Literatur $\eta_{\rm VD}(\tau, f_{\rm D})$ oft auch <i>Scatter&ndash;Funktion</i> genannt und mit $s(\tau, f_{\rm D})$, bezeichnet.
+In der Literatur $\eta_{\rm VD}(\tau, \hspace{0.05cm}f_{\rm D})$ oft auch <i>Scatter&ndash;Funktion</i> genannt und mit $s(\tau, \hspace{0.05cm}f_{\rm D})$, bezeichnet.
 ''Hinweise:''
 * Die Aufgabe soll den Lehrstoff des Kapitels [[Mobile_Kommunikation/Das_GWSSUS%E2%80%93Kanalmodell| Das GWSSUS&ndash;Kanalmodell]] verdeutlichen.
 * Der Zusammenhang zwischen den einzelnen Systemfunktionen ist auf der [[Mobile_Kommunikation/Das_GWSSUS%E2%80%93Kanalmodell#Verallgemeinerte_Systemfunktionen_zeitvarianter_Systeme|Grafik]] der ersten Seite dieses Kapitels angegeben.
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 ===Fragebogen===
 <quiz display=simple>
-{Bei welchen $\tau$&ndash;Werten hat die 2D&ndash;Impulsantwort $\eta_{\rm VZ}(\tau, t)$ Anteile?
+{Bei welchen $\tau$&ndash;Werten hat die 2D&ndash;Impulsantwort $\eta_{\rm VZ}(\tau, \hspace{0.05cm}t)$ Anteile?
 |type="[]"}
 + $\tau = 0$,
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 - andere $\tau$&ndash;Werte.
-{Berechnen Sie $|\eta_{\rm VZ}(\tau = 0, t)|$. Welche der folgenden Aussagen treffen zu?
+{Berechnen Sie $|\eta_{\rm VZ}(\tau = 0,\hspace{0.05cm}t)|$. Welche der folgenden Aussagen treffen zu?
 |type="[]"}
-+ $|\eta_{\rm VZ}(\tau = 0, t)|$ ist unabhängig von $t$.
++ $|\eta_{\rm VZ}(\tau = 0,\hspace{0.05cm} t)|$ ist unabhängig von $t$.
-- Es gilt $\eta_{\rm VZ}(\tau = 0, t) = A \cdot \cos {(2\pi f_0 t)}$.
+- Es gilt $\eta_{\rm VZ}(\tau = 0, \hspace{0.05cm}t) = A \cdot \cos {(2\pi f_0 t)}$.
-- Es gilt $\eta_{\rm VZ}(\tau = 0, t) = A \cdot \sin {(2\pi f_0 t)}$.
+- Es gilt $\eta_{\rm VZ}(\tau = 0, \hspace{0.05cm}t) = A \cdot \sin {(2\pi f_0 t)}$.
-{Berechnen Sie $|\eta_{\rm VZ}(\tau = 1 \ {\rm \mu s}, t)|$. Welche der Aussagen treffen zu?
+{Berechnen Sie $|\eta_{\rm VZ}(\tau = 1 \ {\rm \mu s},\hspace{0.05cm} t)|$. Welche der Aussagen treffen zu?
 |type="[]"}
-- $|\eta_{\rm VZ}(\tau = 1 \ {\rm \mu s}, t)|$ ist unabhängig von $t$.
+- $|\eta_{\rm VZ}(\tau = 1 \ {\rm \mu s},\hspace{0.05cm} t)|$ ist unabhängig von $t$.
-+ Es gilt $\eta_{\rm VZ}(\tau = 1 \ {\rm \mu s}, t) = A \cdot \cos {(2\pi f_0 t)}$.
++ Es gilt $\eta_{\rm VZ}(\tau = 1 \ {\rm \mu s}, \hspace{0.05cm}t) = A \cdot \cos {(2\pi f_0 t)}$.
-- Es gilt $\eta_{\rm VZ}(\tau = 1 \ {\rm \mu s}, t) = A \cdot \sin {(2\pi f_0 t)}$.
+- Es gilt $\eta_{\rm VZ}(\tau = 1 \ {\rm \mu s}, \hspace{0.05cm}t) = A \cdot \sin {(2\pi f_0 t)}$.
-{Betrachten Sie nun die Frequenz&ndash;Doppler&ndash;Darstellung $\eta_{\rm FD}(f, f_{\rm D})$. Für welche $f_{\rm D}$&ndash;Werte ist diese Funktion ungleich $0$?
+{Betrachten Sie nun die Frequenz&ndash;Doppler&ndash;Darstellung $\eta_{\rm FD}(f, \hspace{0.05cm}f_{\rm D})$. Für welche $f_{\rm D}$&ndash;Werte ist diese Funktion ungleich $0$?
 |type="[]"}
 - $f_{\rm D} = 0$,
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 - $f_{\rm D} = &plusmn; 100 \ \rm Hz$.
-{Welche der folgenden Aussagen gelten für $\eta_{\rm FD}(f, f_{\rm D})$?
+{Welche der folgenden Aussagen gelten für $\eta_{\rm FD}(f,\hspace{0.05cm} f_{\rm D})$?
 |type="[]"}
-+ $|\eta_{\rm FD}(f, f_{\rm D} = 100 \ \rm Hz)|$ ist unabhängig von $f_{\rm D}$.
++ $|\eta_{\rm FD}(f,\hspace{0.05cm} f_{\rm D} = 100 \ \rm Hz)|$ ist unabhängig von $f_{\rm D}$.
-- Es gilt $\eta_{\rm FD}(f, f_{\rm D} = 50 \ {\rm Hz}) = A \cdot \cos {(2\pi t_0 f)}$.
+- Es gilt $\eta_{\rm FD}(f, \hspace{0.05cm}f_{\rm D} = 50 \ {\rm Hz}) = A \cdot \cos {(2\pi t_0 f)}$.
-- Es gilt $\eta_{\rm FD}(f, f_{\rm D} = 50 \ {\rm Hz}) = A \cdot \sin {(2\pi t_0 f)}$.
+- Es gilt $\eta_{\rm FD}(f, \hspace{0.05cm}f_{\rm D} = 50 \ {\rm Hz}) = A \cdot \sin {(2\pi t_0 f)}$.
-{Wie kommt man zur zeitvarianten Übertragungsfunktion $\eta_{\rm FZ}(f, t)$?
+{Wie kommt man zur zeitvarianten Übertragungsfunktion $\eta_{\rm FZ}(f, \hspace{0.05cm}t)$?
 |type="[]"}
-- Durch Fouriertransformation von $\eta_{\rm VD}(\tau, f_{\rm D})$ bezüglich $\tau$.
+- Durch Fouriertransformation von $\eta_{\rm VD}(\tau,\hspace{0.05cm} f_{\rm D})$ bezüglich $\tau$.
-+ Durch Fouriertransformation von $\eta_{\rm VZ}(\tau, t)$ bezüglich $\tau$.
++ Durch Fouriertransformation von $\eta_{\rm VZ}(\tau, \hspace{0.05cm}t)$ bezüglich $\tau$.
-+ Durch Fourierrücktransformation von $\eta_{\rm FD}(f, f_{\rm D})$ bezüglich $f_{\rm D}$.
++ Durch Fourierrücktransformation von $\eta_{\rm FD}(f,\hspace{0.05cm} f_{\rm D})$ bezüglich $f_{\rm D}$.
 </quiz>