Aufgaben:Aufgabe 2.5: Restredundanz bei LZW-Codierung - Versionsgeschichte

Guenter am 10. August 2021 um 09:22 Uhr

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Guenter am 10. August 2021 um 09:09 Uhr

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Guenter am 8. Juli 2021 um 15:19 Uhr

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Guenter am 24. Januar 2020 um 12:12 Uhr

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Guenter am 24. Januar 2020 um 11:52 Uhr

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Guenter am 24. Januar 2020 um 11:22 Uhr

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Guenter am 26. September 2018 um 09:16 Uhr

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Guenter am 26. September 2018 um 08:34 Uhr

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Guenter am 26. September 2018 um 07:37 Uhr

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Guenter am 25. September 2018 um 14:59 Uhr

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-'''(2)'''&nbsp; Aus der Beziehung&nbsp; ${A}/{\rm lg}\hspace{0.1cm}(N) &#8804; 0.05$ &nbsp;&nbsp;&nbsp;&#8658;&nbsp;&nbsp;&nbsp; ${A}/{\rm lg}\hspace{0.1cm}(N) = 0.05$&nbsp; folgt:
+'''(2)'''&nbsp; Aus der Beziehung&nbsp; ${A}/{\rm lg}\hspace{0.1cm}(N) &#8804; 0.05$ &nbsp;&nbsp;&nbsp;&#8658;&nbsp;&nbsp;&nbsp; ${A}/{\rm lg}\hspace{0.1cm}(N_2) = 0.05$&nbsp; folgt:
 :$${{\rm lg}\hspace{0.1cm}N_{\rm 2}} = \frac{A}{0.05} = 21.2 \hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}
 N_{\rm 2} = 10^{21.2} \hspace{0.15cm}\underline{= 1.58 \cdot 10^{21}}
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 *$\rm BQ1$&nbsp; hat die Entropie&nbsp; $H = 0.5$ bit/Symbol.&nbsp;
 *Daraus folgt wegen &nbsp;$r(N) &asymp; r\hspace{0.05cm}'(N)$&nbsp; für&nbsp; $K(N_3) = 0.6$:
-:$$r(N_{\rm c}) = 1 - \frac{0.5}{0.6} = 0.167 \hspace{0.1cm}\Rightarrow\hspace{0.1cm}
+:$$r(N_{\rm 3}) = 1 - \frac{0.5}{0.6} = 0.167 \hspace{0.1cm}\Rightarrow\hspace{0.1cm}
 {\rm lg}\hspace{0.1cm}N_{\rm 3} = \frac{A}{0.167} = 6.36
 \hspace{0.1cm}\Rightarrow\hspace{0.1cm}
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 # Quelle&nbsp; $\rm BQ1$&nbsp; mit&nbsp; $H = 0.50$ &nbsp; &rArr; &nbsp; $A = 1.06$ &nbsp; &rArr; &nbsp; entsprechend dem Angabenblatt,
 # Quelle&nbsp; $\rm BQ2$&nbsp; mit&nbsp; $H = 1.00$ &nbsp; &rArr; &nbsp; $A = 0.76$ &nbsp; &rArr; &nbsp; siehe Teilaufgabe&nbsp; '''(4)''',
-# Quelle&nbsp; $\rm BQ3$&nbsp; $(H$ unbekannt$)$: $A = 4 &middot; 0.34 =1.36$ &nbsp; &rArr; &nbsp; entsprechend der letzten Spalte in der Tabelle.
+# Quelle&nbsp; $\rm BQ3$&nbsp; $(H$ unbekannt$)$: $A = 4 &middot; 0.34 =1.36$ &nbsp; &rArr; &nbsp; entsprechend der hier angegebenen Tabelle.

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 }}
-[[Datei:P_ID2446__Inf_A_2_5_neu.png|right|frame|Restredundanz&nbsp; $r(N)$&nbsp; & Näherung&nbsp; $r\hspace{0.05cm}'(N)$&nbsp; dreier Binärquellen]]
+[[Datei:P_ID2446__Inf_A_2_5_neu.png|right|frame|Restredundanz&nbsp; $r(N)$&nbsp; und <br>Näherung&nbsp; $r\hspace{0.05cm}'(N)$&nbsp; dreier Binärquellen]]
 Wir gehen hier von einer binären Eingangsfolge der Länge&nbsp; $N$&nbsp; aus und  betrachten drei verschiedene binäre Nachrichtenquellen:
 * $\rm BQ1$: &nbsp; Symbolwahrscheinlichkeiten&nbsp;   $p_{\rm A} = 0.89$&nbsp; und&nbsp; $p_{\rm B} = 0.11$, also unterschiedlich<br> &nbsp;  &#8658; &nbsp; Entropie&nbsp; $H = 0.5\text{ bit/Quellensymbol}$ &nbsp; &#8658; &nbsp; die Quelle ist redundant.
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-Für diese drei Quellen wurden per Simulation die jeweilige <i>Restredundanz</i>&nbsp; $r(N)$&nbsp; ermittelt, die nach der&nbsp; [[Informationstheorie/Komprimierung_nach_Lempel,_Ziv_und_Welch#Der_Lempel.E2.80.93Ziv.E2.80.93Welch.E2.80.93Algorithmus|Lempel&ndash;Ziv&ndash;Welch&ndash;Codierung]]&nbsp; in der Binärfolge verbleibt.&nbsp;
+Für diese drei Quellen wurden per Simulation die jeweilige Restredundanz&nbsp; $r(N)$&nbsp; ermittelt, die nach der&nbsp; [[Informationstheorie/Komprimierung_nach_Lempel,_Ziv_und_Welch#Der_Lempel.E2.80.93Ziv.E2.80.93Welch.E2.80.93Algorithmus|Lempel&ndash;Ziv&ndash;Welch&ndash;Codierung]]&nbsp; in der Binärfolge verbleibt.&nbsp;
 Die Ergebnisse sind in der jeweils ersten Spalte obiger Tabelle für die Quellen
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 eingetragen, wobei wir uns bei der Simulation auf Folgenlängen&nbsp; $N &#8804; 50000$&nbsp; beschränkt haben.
-Die <i>relative Redundanz der Ausgangsfolge</i> &ndash; vereinfachend <i>Restredundanz</i> genannt &ndash;  kann aus
+Die relative Redundanz der Ausgangsfolge &ndash; vereinfachend &bdquo;Restredundanz&rdquo; genannt &ndash;  kann aus
 * der Länge&nbsp;  $N$&nbsp;  der Eingangsfolge,
 * der Länge&nbsp;  $L(N)$&nbsp;  der Ausgangsfolge und
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-Eine zweite Kenngröße zur Effizienzmessung der LZW&ndash;Codierung ist der&nbsp;  <i>Komprimierungsfaktor</i>&nbsp;  $K(N)$, der als der Quotient der Längen von Ausgangs&ndash; und Eingangsfolge ebenfalls klein sein sollte:
+Eine zweite Kenngröße zur Effizienzmessung der LZW&ndash;Codierung ist der&nbsp;  &bdquo;Komprimierungsfaktor&rdquo;&nbsp;  $K(N)$, der als der Quotient der Längen von Ausgangs&ndash; und Eingangsfolge ebenfalls klein sein sollte:
 :$$K(N) = {L(N) }/{N} \hspace{0.05cm},$$
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-{Welche Quellenentropie&nbsp; $H$&nbsp; könnte&nbsp; $\rm BQ3$&nbsp; nach diesem Ergebnis besitzen?&nbsp; <i>Hinweis:</i> Es ist genau eine Antwort richtig.
+{Welche Quellenentropie&nbsp; $H$&nbsp; könnte&nbsp; $\rm BQ3$&nbsp; nach diesem Ergebnis besitzen?&nbsp; Hinweis:&nbsp; Es ist genau eine Antwort richtig.
 |type="()"}
 - $H = 1.00 \ \rm bit/Quellensymbol$,

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−	[[Datei:~~P_ID2448__Inf_A_2_5e~~.png\|right\|frame\|Ergebnisse für  $\rm BQ3$]]	+	[[Datei:Inf_A_2_5e_v2.png\|right\|frame\|Ergebnisse für  $\rm BQ3$]]
	'''(5)'''  Nach ähnlicher Vorgehensweise wie in der Teilaufgabe  '''(4)'''  erhält man für die Binärquelle  $\rm BQ3$  den Anpassungsparameter  $A = 1.36$  und daraus die Ergebnisse gemäß der blau hinterlegten Tabelle.		'''(5)'''  Nach ähnlicher Vorgehensweise wie in der Teilaufgabe  '''(4)'''  erhält man für die Binärquelle  $\rm BQ3$  den Anpassungsparameter  $A = 1.36$  und daraus die Ergebnisse gemäß der blau hinterlegten Tabelle.

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 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; Die Näherung $r\hspace{0.05cm}'(N)$ stimmt definitionsgemäß für die Eingangsfolgenlänge  $N = 10000$ mit der per Simulation ermittelten Restredundanz $r(N) = 0.265$ exakt überein. Damit ist
+'''(1)'''&nbsp; Die Näherung&nbsp; $r\hspace{0.05cm}'(N)$&nbsp; stimmt per Definition für die Folgenlänge&nbsp;  $N = 10000$&nbsp; mit der per Simulation ermittelten Restredundanz&nbsp; $r(N) = 0.265$&nbsp; exakt überein.
 :$$A = 4 \cdot  r(N = 10000) =4 \cdot {0.265} \hspace{0.15cm}\underline{= 1.06}
 \hspace{0.05cm}. $$
 '''(2)'''&nbsp; Aus der Beziehung ${A}/{\rm lg}\hspace{0.1cm}(N) &#8804; 0.05$ &nbsp;&nbsp;&nbsp;&#8658;&nbsp;&nbsp;&nbsp; ${A}/{\rm lg}\hspace{0.1cm}(N) = 0.05$ folgt:
 :$${{\rm lg}\hspace{0.1cm}N_{\rm 2}} = \frac{A}{0.05} = 21.2 \hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}
 N_{\rm 2} = 10^{21.2} \hspace{0.15cm}\underline{= 1.58 \cdot 10^{21}}
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 '''(3)'''&nbsp; Allgemein gilt &nbsp;$r(N) = 1 - {H}/{K(N)} \hspace{0.05cm}.$ $\rm BQ1$ hat die Entropie $H = 0.5$ bit/Symbol. Daraus folgt wegen &nbsp;$r(N) &asymp; r\hspace{0.05cm}'(N)$ für $K(N_3) = 0.6$:
 :$$r(N_{\rm c}) = 1 - \frac{0.5}{0.6} = 0.167 \hspace{0.1cm}\Rightarrow\hspace{0.1cm}
 {\rm lg}\hspace{0.1cm}N_{\rm 3} = \frac{A}{0.167} = 6.36
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 [[Datei:P_ID2447__Inf_A_2_5d.png|right|frame|Ergebnisse für  $\rm BQ2$]]
-'''(4)'''&nbsp; Für $N = 10000$ gilt &nbsp;$r(N) &asymp; r\hspace{0.05cm}'(N) = 0.19$:
+[[Datei:P_ID2447__Inf_A_2_5d.png|right|frame|Ergebnisse für&nbsp;  $\rm BQ2$]]
 :$$\frac{A}{{\rm lg}\hspace{0.1cm}10000} = 0.19 \hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}
 A = 0.19 \cdot 4 = 0.76 \hspace{0.05cm}. $$
-Die Ergebnisse sind in nebenstehender Tabelle zusammengefasst. Man erkennt die sehr gute Übereinstimmung zwischen &nbsp;$r(N)$ und  &nbsp;$r\hspace{0.05cm}'(N)$. Die gesuchten Zahlenwerte sind in der Tabelle rot markiert:
+*Die Ergebnisse sind in nebenstehender Tabelle zusammengefasst.
 $$r'(N = 50000)\hspace{0.15cm}\underline{ = 0.162},\hspace{0.3cm}r'(N = 10^{6})\hspace{0.15cm}\underline{ = 0.127},\hspace{0.3cm}
 r'(N = 10^{12})\hspace{0.15cm}\underline{ = 0.063}.$$
-Für den Komprimierungsfaktor gilt (der Apostroph weist darauf hin, dass von der Näherung $r\hspace{0.05cm}'(N)$ ausgegangen wurde):
+*Für den Komprimierungsfaktor gilt (der Apostroph weist darauf hin, dass von der Näherung &nbsp;$r\hspace{0.05cm}'(N)$&nbsp; ausgegangen wurde):
 :$$K\hspace{0.05cm}'(N) = \frac{1}{1 - r\hspace{0.05cm}'(N)}\hspace{0.05cm}.$$
-Damit gilt für die Länge des LZW&ndash;Ausgabestrings:
+*Damit gilt für die Länge des LZW&ndash;Ausgabestrings:
 :$$L\hspace{0.05cm}'(N) = K\hspace{0.05cm}'(N) \cdot N  = \frac{N}{1 - r\hspace{0.05cm}'(N)}\hspace{0.05cm}.$$
-In diesem Fall gilt für den Komprimierungsfaktor:
+[[Datei:P_ID2448__Inf_A_2_5e.png|right|frame|Ergebnisse für&nbsp; $\rm BQ3$]]
 :$$K\hspace{0.05cm}'(N) = \frac{H}{1 - r\hspace{0.05cm}'(N)} = \frac{0.25}{1 - r'(N)} \hspace{0.05cm}.$$
-Damit erhält man für die gesuchten Werte der Restredundanz:
+*Damit erhält man für die gesuchten Werte der Restredundanz:
 :$$r\hspace{0.05cm}'(N = 50000)\hspace{0.15cm}\underline{ = 0.289},\hspace{0.3cm}r\hspace{0.05cm}'(N = 10^{6})\hspace{0.15cm}\underline{ = 0.227},\hspace{0.3cm}
 r\hspace{0.05cm}'(N = 10^{12})\hspace{0.15cm}\underline{ = 0.113}.$$
-Für $N = 10^{12}$ weicht also der Komprimierungsfaktor $(0.282)$ noch deutlich von der Entropie $(0.25)$ ab, die für $N \to \infty$ erreicht werden kann (Quellencodierungstheorem).
+*Für&nbsp; $N = 10^{12}$&nbsp; weicht also der Komprimierungsfaktor&nbsp; $(0.282)$&nbsp; noch deutlich von der Entropie&nbsp; $(0.25)$&nbsp; ab, die erst  für&nbsp; $N \to \infty$&nbsp; erreicht werden kann (Quellencodierungstheorem).
-'''(6)'''&nbsp; Die einzelnen Näherungen $r\hspace{0.05cm}'(N)$ unterscheiden sich nur durch den Parameter $A$. Dabei haben wir festgestellt:
+'''(6)'''&nbsp; Die einzelnen Näherungen&nbsp; $r\hspace{0.05cm}'(N)$&nbsp; unterscheiden sich nur durch den Parameter&nbsp; $A$.&nbsp; Dabei haben wir festgestellt:
-* Quelle $\rm BQ1$ mit $H = 0.50$ &nbsp; &rArr; &nbsp; $A = 1.06$ &nbsp; &rArr; &nbsp; entsprechend dem Angabenblatt,
+# Quelle&nbsp; $\rm BQ1$&nbsp; mit&nbsp; $H = 0.50$ &nbsp; &rArr; &nbsp; $A = 1.06$ &nbsp; &rArr; &nbsp; entsprechend dem Angabenblatt,
-* Quelle $\rm BQ2$ mit $H = 1.00$ &nbsp; &rArr; &nbsp; $A = 0.76$ &nbsp; &rArr; &nbsp; siehe Teilaufgabe '''(4)''',
+# Quelle&nbsp; $\rm BQ2$&nbsp; mit&nbsp; $H = 1.00$ &nbsp; &rArr; &nbsp; $A = 0.76$ &nbsp; &rArr; &nbsp; siehe Teilaufgabe&nbsp; '''(4)''',
-* Quelle $\rm BQ3$ ($H$ unbekannt): $A = 4 &middot; 0.34 =1.36$ &nbsp; &rArr; &nbsp; entsprechend der letzten Spalte in der Tabelle.
+# Quelle&nbsp; $\rm BQ3$&nbsp; $(H$ unbekannt$)$: $A = 4 &middot; 0.34 =1.36$ &nbsp; &rArr; &nbsp; entsprechend der letzten Spalte in der Tabelle.
-Je kleiner die Entropie $H$ ist, um so größer ist offensichtlich der Anpassungsfaktor $A$ (und umgekehrt). <br>
+*Je kleiner die Entropie&nbsp; $H$&nbsp; ist, um so größer ist offensichtlich der Anpassungsfaktor&nbsp; $A$&nbsp; (und umgekehrt).
-Da genau eine Lösung möglich ist, muss $H = 0.25$ bit/Quellensymbol richtig sein &nbsp;&nbsp;&#8658;&nbsp;&nbsp; <u>Antwort 4</u>.
+*Da genau eine Lösung möglich ist, muss&nbsp; $H = 0.25$&nbsp; bit/Quellensymbol richtig sein &nbsp;&nbsp;&#8658;&nbsp;&nbsp; <u>Antwort 4</u>.
-Tatsächlich wurden bei der Simulation für die Quelle $\rm BQ3$ die Wahrscheinlichkeiten &nbsp;$p_{\rm A} = 0.96$ und &nbsp;$p_{\rm B} = 0.04$ &nbsp; &#8658; &nbsp; $H &asymp; 0.25$ verwendet.
+*Tatsächlich wurden bei der Simulation für die Quelle&nbsp; $\rm BQ3$&nbsp; die Wahrscheinlichkeiten &nbsp;$p_{\rm A} = 0.96$&nbsp; und &nbsp;$p_{\rm B} = 0.04$&nbsp; &nbsp; &#8658; &nbsp; $H &asymp; 0.25$ verwendet.
 {{ML-Fuß}}

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-{Welche Werte liefert die Redundanznäherung $r\hspace{0.05cm}'(N)$ für die nicht näher spezifizierte Binärquelle $\rm BQ3$? Insbesondere:
+{Welche Werte liefert die Redundanznäherung&nbsp; $r\hspace{0.05cm}'(N)$&nbsp; für die nicht näher spezifizierte Binärquelle&nbsp; $\rm BQ3$? Insbesondere:
 |type="{}"}
 $r'(N = 50000)\ =  \ $ { 0.289 3% }
@@ Zeile 95: / Zeile 95: @@
-{Welche Quellenentropie $H$ könnte $\rm BQ3$ nach diesem Ergebnis besitzen? <i>Hinweis:</i> Es ist genau eine Antwort richtig.
+{Welche Quellenentropie&nbsp; $H$&nbsp; könnte&nbsp; $\rm BQ3$&nbsp; nach diesem Ergebnis besitzen?&nbsp; <i>Hinweis:</i> Es ist genau eine Antwort richtig.
-|type="[]"}
+|type="()"}
 - $H = 1.00 \ \rm bit/Quellensymbol$,
 - $H = 0.75 \ \rm bit/Quellensymbol$,

@@ Zeile 3: / Zeile 3: @@
 }}
-[[Datei:P_ID2446__Inf_A_2_5_neu.png|right|frame|Restredundanz $r(N)$ und Näherung $r\hspace{0.05cm}'(N)$ dreier Quellen]]
+[[Datei:P_ID2446__Inf_A_2_5_neu.png|right|frame|Restredundanz&nbsp; $r(N)$&nbsp; & Näherung&nbsp; $r\hspace{0.05cm}'(N)$&nbsp; dreier Binärquellen]]
-Wir gehen hier von einer binären Eingangsfolge der Länge $N$ aus und  betrachten drei verschiedene binäre Nachrichtenquellen:
+Wir gehen hier von einer binären Eingangsfolge der Länge&nbsp; $N$&nbsp; aus und  betrachten drei verschiedene binäre Nachrichtenquellen:
-* $\rm BQ1$: &nbsp; Symbolwahrscheinlichkeiten   $p_{\rm A} = 0.89$ und $p_{\rm B} = 0.11$, also unterschiedlich<br> &#8658;&nbsp; Entropie $H = 0.5\text{ bit/Quellensymbol}$ &nbsp; &#8658; &nbsp; die Quelle ist redundant.
+* $\rm BQ1$: &nbsp; Symbolwahrscheinlichkeiten&nbsp;   $p_{\rm A} = 0.89$&nbsp; und&nbsp; $p_{\rm B} = 0.11$, also unterschiedlich<br> &nbsp;  &#8658; &nbsp; Entropie&nbsp; $H = 0.5\text{ bit/Quellensymbol}$ &nbsp; &#8658; &nbsp; die Quelle ist redundant.
-* $\rm BQ2$:  &nbsp; $p_{\rm A} = p_{\rm B} = 0.5$ (gleichwahrscheinlich) &nbsp; &#8658; &nbsp; Entropie $H = 1\text{ bit/Quellensymbol}$ <br>&#8658;&nbsp; die Quelle ist redundanzfrei.
+* $\rm BQ2$:  &nbsp; $p_{\rm A} = p_{\rm B} = 0.5$&nbsp; (gleichwahrscheinlich)<br> &nbsp; &#8658; &nbsp; Entropie&nbsp; $H = 1\text{ bit/Quellensymbol}$ &nbsp; &#8658; &nbsp; die Quelle ist redundanzfrei.
-* $\rm BQ3$: &nbsp;   Hier gibt es keine konkreten Angaben zur Statistik. In der Teilaufgabe '''(6)''' sollen Sie die Entropie $H$ dieser Quelle  abschätzen.
+* $\rm BQ3$: &nbsp;   Hier gibt es keine konkreten Angaben zur Statistik.&nbsp; <br>In der Teilaufgabe&nbsp; '''(6)'''&nbsp; sollen Sie die Entropie&nbsp; $H$&nbsp; dieser Quelle  abschätzen.
-Für diese drei Quellen wurden per Simulation die jeweilige <i>Restredundanz</i> $r(N)$ ermittelt, die nach der [[Informationstheorie/Komprimierung_nach_Lempel,_Ziv_und_Welch#Der_Lempel.E2.80.93Ziv.E2.80.93Welch.E2.80.93Algorithmus|Lempel&ndash;Ziv&ndash;Welch&ndash;Codierung]] in der Binärfolge verbleibt. Die Ergebnisse sind in der jeweils ersten Spalte obiger Tabelle für die Quellen
+Für diese drei Quellen wurden per Simulation die jeweilige <i>Restredundanz</i>&nbsp; $r(N)$&nbsp; ermittelt, die nach der&nbsp; [[Informationstheorie/Komprimierung_nach_Lempel,_Ziv_und_Welch#Der_Lempel.E2.80.93Ziv.E2.80.93Welch.E2.80.93Algorithmus|Lempel&ndash;Ziv&ndash;Welch&ndash;Codierung]]&nbsp; in der Binärfolge verbleibt.&nbsp;
 eingetragen, wobei wir uns bei der Simulation auf Folgenlängen $N &#8804; 50000$ beschränkt haben.
 Die <i>relative Redundanz der Ausgangsfolge</i> &ndash; vereinfachend <i>Restredundanz</i> genannt &ndash;  kann aus
-* der Länge $N$ der Eingangsfolge,
+* der Länge&nbsp;  $N$&nbsp;  der Eingangsfolge,
-* der Länge $L(N)$ der Ausgangsfolge und
+* der Länge&nbsp;  $L(N)$&nbsp;  der Ausgangsfolge und
-*der Entropie $H$
+*der Entropie&nbsp;  $H$
@@ Zeile 27: / Zeile 29: @@
 :$$r(N) = \frac{L(N) - N \cdot H}{L(N)}= 1 -  \frac{ N \cdot H}{L(N)}\hspace{0.05cm}.$$
-Hierbei ist berücksichtigt, dass bei perfekter Quellencodierung die Länge der Ausgangsfolge bis auf den Wert  $L_{\rm min} = N &middot; H$ herabgesenkt werden könnte.
+Hierbei ist berücksichtigt, dass bei perfekter Quellencodierung die Länge der Ausgangsfolge bis auf den Wert&nbsp;   $L_{\rm min} = N &middot; H$&nbsp;  herabgesenkt werden könnte.
-*Bei nichtperfekter Quellencodierung  gibt $L(n) - N &middot; H$ die verbleibende Redundanz (mit der Pseudo&ndash;Einheit &bdquo;bit&rdquo;) an.
+*Bei nichtperfekter Quellencodierung  gibt&nbsp;  $L(n) - N &middot; H$&nbsp;  die verbleibende Redundanz (mit der Pseudo&ndash;Einheit &bdquo;bit&rdquo;) an.
-*Nach Division durch $L(n)$ erhält man die relative Redundanz $r(n)$ mit dem Wertebereich zwischen $0$ und $1$; $r(n)$ sollte möglichst klein sein.
+*Nach Division durch&nbsp;  $L(n)$&nbsp;  erhält man die relative Redundanz&nbsp;  $r(n)$&nbsp;  mit dem Wertebereich zwischen Null und Eins; $r(n)$ sollte möglichst klein sein.
-Eine zweite Kenngröße zur Effizienzmessung der LZW&ndash;Codierung ist der <i>Komprimierungsfaktor</i> $K(N)$, der ebenfalls klein sein sollte:
+Eine zweite Kenngröße zur Effizienzmessung der LZW&ndash;Codierung ist der&nbsp;  <i>Komprimierungsfaktor</i>&nbsp;  $K(N)$, der als der Quotient der Längen von Ausgangs&ndash; und Eingangsfolge ebenfalls klein sein sollte:
 :$$K(N) = {L(N) }/{N} \hspace{0.05cm},$$
-Im [[Informationstheorie/Komprimierung_nach_Lempel,_Ziv_und_Welch#Quantitative_Aussagen_zur_asymptotischen_Optimalit.C3.A4t|Theorieteil]] wurde gezeigt, dass die Restredundanz $r(n)$ oft durch die Funktion
+Im&nbsp;  [[Informationstheorie/Komprimierung_nach_Lempel,_Ziv_und_Welch#Quantitative_Aussagen_zur_asymptotischen_Optimalit.C3.A4t|Theorieteil]]&nbsp;  wurde gezeigt, dass die Restredundanz&nbsp;  $r(n)$&nbsp;  oft durch die Funktion
 :$$r\hspace{0.05cm}'(N) =\frac {A}{{\rm lg}\hspace{0.1cm}(N)}
 \hspace{0.5cm}{\rm mit}\hspace{0.5cm} A = 4 \cdot {r(N = 10000)}
 \hspace{0.05cm}.$$
-gut angenähert wird. Die Näherung $r\hspace{0.05cm}'(N)$ ist für $\rm BQ1$ in der zweiten Spalte obiger Tabelle angegeben. In den Teilaufgaben '''(4)''' und '''(5)''' sollen Sie die Approximation für die Quellen $\rm BQ2$ und $\rm BQ3$ vornehmen.
+gut angenähert wird.
@@ Zeile 46: / Zeile 54: @@
 ''Hinweise:''
-*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Informationstheorie/Komprimierung_nach_Lempel,_Ziv_und_Welch|Komprimierung nach Lempel, Ziv und Welch]].
+*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp;  [[Informationstheorie/Komprimierung_nach_Lempel,_Ziv_und_Welch|Komprimierung nach Lempel, Ziv und Welch]].
 *Insbesondere wird  Bezug genommen auf die Seiten
 :: [[Informationstheorie/Komprimierung_nach_Lempel,_Ziv_und_Welch#Restredundanz_als_Ma.C3.9F_f.C3.BCr_die_Effizienz_von_Codierverfahren|Restredrundanz als Maß für die Effizienz von Codierverfahren]],
 :: [[Informationstheorie/Komprimierung_nach_Lempel,_Ziv_und_Welch#Effizienz_der_Lempel.E2.80.93Ziv.E2.80.93Codierung|Effizienz der Lempel-Ziv-Codierung]] sowie
 :: [[Informationstheorie/Komprimierung_nach_Lempel,_Ziv_und_Welch#Quantitative_Aussagen_zur_asymptotischen_Optimalit.C3.A4t|Quantitative Aussagen zur asymptotischen Optimalität]].
-*Die Beschreibungsgrößen $K(N)$ und $r(N)$ hängen deterministisch zusammen.
+*Die Beschreibungsgrößen&nbsp;  $K(N)$&nbsp;  und&nbsp;  $r(N)$&nbsp;  hängen deterministisch zusammen.
@@ Zeile 58: / Zeile 66: @@
 <quiz display=simple>
-{Mit welchem Parameter $A$ wurde die Näherung $r\hspace{0.05cm}'(N)$ der Restredundanz für die Binärquelle $\rm BQ1$ erstellt?
+{Mit welchem Parameter&nbsp; $A$&nbsp; wurde die Näherung&nbsp; $r\hspace{0.05cm}'(N)$&nbsp; der Restredundanz für die Binärquelle&nbsp; $\rm BQ1$&nbsp; erstellt?
 |type="{}"}
 $A \ = \ $  { 1.06 3% }
-{Wie groß muss $N = N_2$ bei  $\rm BQ1$ mindestens sein, damit die Restredundanz die Bedingung $r(N) &asymp; r\hspace{0.05cm}'(N) \le 5\%$   erfüllt?
+{Wie groß muss&nbsp; $N = N_2$&nbsp; bei&nbsp;  $\rm BQ1$&nbsp; mindestens sein, damit die Restredundanz die Bedingung&nbsp; $r(N) &asymp; r\hspace{0.05cm}'(N) \le 5\%$&nbsp;   erfüllt?
 |type="{}"}
 $N_{2} \ =  \ $ { 1.58 3% } $\ \cdot 10^{21}$
-{Wie groß muss $N = N_3$  bei  $\rm BQ1$ mindestens sein, damit der Komprimierungsfaktor $K(N)= L(N)/N$ nicht größer ist als $0.6$?
+{Wie groß muss&nbsp; $N = N_3$&nbsp;  bei&nbsp;  $\rm BQ1$&nbsp; mindestens sein, damit der Komprimierungsfaktor&nbsp; $K(N)= L(N)/N$&nbsp; nicht größer ist als&nbsp; $0.6$?
 |type="{}"}
 $N_{3} \ =  \ $ { 2.29 3% } $\ \cdot 10^{6}$
-{Bestimmen Sie nun die Redundanznäherung $r\hspace{0.05cm}'(N)$ für die redundanzfreie Binärquelle $\rm BQ2$, insbesondere:
+{Bestimmen Sie nun die Redundanznäherung&nbsp; $r\hspace{0.05cm}'(N)$&nbsp; für die redundanzfreie Binärquelle $\rm BQ2$, insbesondere:
 |type="{}"}
 $r'(N = 50000)\ =  \ $ { 0.162 3% }

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 ''Hinweise:''
 *Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Informationstheorie/Komprimierung_nach_Lempel,_Ziv_und_Welch|Komprimierung nach Lempel, Ziv und Welch]].
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 <quiz display=simple>
-{Mit welchem Parameter <i>A</i> wurde die Näherung <i>r'&nbsp;</i>(<i>N</i>) der Restredundanz für die Binärquelle '''BQ1''' erstellt?
+{Mit welchem Parameter $A$ wurde die Näherung $r\hspace{0.05cm}'(N)$ der Restredundanz für die Binärquelle $\rm BQ1$ erstellt?
 |type="{}"}
-$A \ = $  { 1.06 3% }
+$A \ = \ $  { 1.06 3% }
-{Wie groß muss <i>N</i> = <i>N</i><sub>2</sub> bei  '''BQ1''' mindestens sein, damit die Restredundanz die Bedingung <i>r&nbsp;</i>(<i>N</i>)  &asymp; <i>r'&nbsp;</i>(<i>N</i>)&#8804; 5% erfüllt?
+{Wie groß muss $N = N_2$ bei  $\rm BQ1$ mindestens sein, damit die Restredundanz die Bedingung $r(N) &asymp; r\hspace{0.05cm}'(N) \le 5\%$   erfüllt?
 |type="{}"}
-$N_{2} \ = $ { 1.58 3% } $\ \cdot 10^{21}$
+$N_{2} \ =  \ $ { 1.58 3% } $\ \cdot 10^{21}$
-{Wie groß muss <i>N</i> = <i>N</i><sub>3</sub>  bei  '''BQ1''' mindestens sein, damit der Komprimierungsfaktor <i>K</i>(<i>N</i>) = <i>L</i>(<i>N</i>)/<i>N</i> nicht größer ist als 0.6?
+{Wie groß muss $N = N_3$  bei  $\rm BQ1$ mindestens sein, damit der Komprimierungsfaktor $K(N)= L(N)/N$ nicht größer ist als $0.6$?
 |type="{}"}
-$N_{3} \ = $ { 2.29 3% } $\ \cdot 10^{6}$
+$N_{3} \ =  \ $ { 2.29 3% } $\ \cdot 10^{6}$
-{Bestimmen Sie nun die Redundanznäherung <i>r'&nbsp;</i>(<i>N</i>) für die redundanzfreie Binärquelle '''BQ2''', insbesondere:
+{Bestimmen Sie nun die Redundanznäherung $r\hspace{0.05cm}'(N)$ für die redundanzfreie Binärquelle $\rm BQ2$, insbesondere:
 |type="{}"}
-$r'(N = 50000)\ = $ { 0.162 3% }
+$r'(N = 50000)\ =  \ $ { 0.162 3% }
-$r'(N = 10^6)\ = $ { 0.127 3% }
+$r'(N = 10^6)\ =  \ $ { 0.127 3% }
-$r'(N = 10^{12})\ = $ { 0.063 3% }
+$r'(N = 10^{12})\ =  \ $ { 0.063 3% }
-{Welche Werte liefert die Redundanznäherung <i>r'&nbsp;</i>(<i>N</i>) für die nicht näher spezifizierte Binärquelle '''BQ3'''? Insbesondere:
+{Welche Werte liefert die Redundanznäherung $r\hspace{0.05cm}'(N)$ für die nicht näher spezifizierte Binärquelle $\rm BQ3$? Insbesondere:
 |type="{}"}
-$r'(N = 50000)\ = $ { 0.289 3% }
+$r'(N = 50000)\ =  \ $ { 0.289 3% }
-$r'(N = 10^6)\ = $ { 0.227 3% }
+$r'(N = 10^6)\ =  \ $ { 0.227 3% }
-$r'(N = 10^{12})\ = $ { 0.113 3% }
+$r'(N = 10^{12})\ =  \ $ { 0.113 3% }
-{Welche Quellenentropie <i>H&nbsp;</i> könnte '''BQ3''' nach diesem Ergebnis besitzen? <i>Hinweis:</i> Es ist genau eine Antwort richtig.
+{Welche Quellenentropie $H$ könnte $\rm BQ3$ nach diesem Ergebnis besitzen? <i>Hinweis:</i> Es ist genau eine Antwort richtig.
 |type="[]"}
 - $H = 1.00 \ \rm bit/Quellensymbol$,