Aufgaben:Aufgabe 2.5: Einweggleichrichtung - Versionsgeschichte

Guenter am 15. April 2021 um 12:55 Uhr

2021-04-15T12:55:20Z

Guenter am 15. April 2021 um 12:52 Uhr

2021-04-15T12:52:36Z

Guenter am 3. September 2019 um 14:59 Uhr

2019-09-03T14:59:11Z

Guenter am 3. September 2019 um 14:51 Uhr

2019-09-03T14:51:42Z

Guenter am 17. Juli 2018 um 14:16 Uhr

2018-07-17T14:16:18Z

Guenter am 17. Juli 2018 um 14:11 Uhr

2018-07-17T14:11:03Z

Guenter am 17. Juli 2018 um 14:10 Uhr

2018-07-17T14:10:25Z

Guenter am 17. Juli 2018 um 14:09 Uhr

2018-07-17T14:09:26Z

Mwiki-lnt: Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

2018-05-29T12:02:44Z

Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

Guenter am 20. Dezember 2017 um 11:18 Uhr

2017-12-20T11:18:22Z

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 $w(t)$: &nbsp;$B_1\ = \ $ { 1.571 3% }
-{Wie kann&nbsp; $x(t)$&nbsp; aus&nbsp; $v(t)$&nbsp; und&nbsp; $w(t)$&nbsp; zusammengesetzt werden? Geben Sie die entsprechenden Fourierkoeffizienten des Signals&nbsp; $x(t)$&nbsp; an, insbesondere
+{Wie kann&nbsp; $x(t)$&nbsp; aus&nbsp; $v(t)$&nbsp; und&nbsp; $w(t)$&nbsp; zusammengesetzt werden?&nbsp; Geben Sie die entsprechenden Fourierkoeffizienten des Signals&nbsp; $x(t)$&nbsp; an, insbesondere
 |type="{}"}
 $x(t)$: &nbsp;$A_0\ = \ $ { 0.5 3% }

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 Gesucht sind die Fourierkoeffizienten des unten skizzierten Signals&nbsp; $x(t)$, das sich durch die Einweggleichrichtung des Sinussignals&nbsp; $w(t)$&nbsp; mit der Amplitude&nbsp; $\pi /2$&nbsp; ergibt.
-Als bekannt vorausgesetzt wird die Fourierreihendarstellung des oben skizzierten Signals&nbsp; $u(t)$. Diese wurde bereits in der&nbsp; [[Aufgaben:Aufgabe_2.4:_Gleichgerichteter_Cosinus|Aufgabe 2.4]]&nbsp; ermittelt. Unter Berücksichtigung der Amplitude&nbsp; $\pi /2$&nbsp; gilt hierfür:
+Als bekannt vorausgesetzt wird die Fourierreihendarstellung des oben skizzierten Signals&nbsp; $u(t)$.&nbsp; Diese wurde bereits in der&nbsp; [[Aufgaben:Aufgabe_2.4:_Gleichgerichteter_Cosinus|Aufgabe 2.4]]&nbsp; ermittelt.&nbsp; Unter Berücksichtigung der Amplitude&nbsp; $\pi /2$&nbsp; gilt hierfür:
 :$$u(t)=1+\frac{2}{3} \cdot \cos(\omega_1t)-\frac{2}{15}\cdot \cos(2\omega_1t)+\frac{2}{35}\cdot \cos(3\omega_1t)-\dots$$
 Anzumerken ist:
-*Die Grundkreisfrequenz ist mit&nbsp; $\omega_1$&nbsp; bezeichnet. Da aber die Periodendauer der Signale&nbsp; $u(t)$&nbsp; und&nbsp; $v(t)$&nbsp; jeweils&nbsp; $T/2$&nbsp; beträgt, gilt&nbsp; $\omega_1 = 2\pi /(T/2) = 4 \pi /T$.
+*Die Grundkreisfrequenz ist mit&nbsp; $\omega_1$&nbsp; bezeichnet.&nbsp; Da aber die Periodendauer der Signale&nbsp; $u(t)$&nbsp; und&nbsp; $v(t)$&nbsp; jeweils&nbsp; $T/2$&nbsp; beträgt, gilt&nbsp; $\omega_1 = 2\pi /(T/2) = 4 \pi /T$.
 *Weil in dieser Aufgabe die Signale&nbsp; $u(t)$,&nbsp; $w(t)$&nbsp; und&nbsp; $x(t)$&nbsp; zueinander in Bezug gebracht werden sollen, muss auch das Signal&nbsp; $u(t)$&nbsp; mit der Periodendauer&nbsp; $T$&nbsp; des Signals&nbsp; $x(t)$&nbsp; dargestellt werden.
 *Mit&nbsp; $\omega_0 = 2\pi /T = \omega_1/2$&nbsp; gilt somit gleichermaßen:

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 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; Auch das verschobene Signal $v(t)$ ist gerade und alle Sinuskoeffizienten sind dementsprechend $0$. Am Gleichsignalkoeffizienten ändert sich ebenfalls nichts: $A_0 = 1$.
+'''(1)'''&nbsp; Auch das verschobene Signal&nbsp; $v(t)$&nbsp; ist gerade und alle Sinuskoeffizienten sind dementsprechend Null.
-Aus den Signalverläufen ist zu erkennen, dass $v(t) = u(t - T/4)$ gilt:&nbsp;
+*Aus den Signalverläufen ist zu erkennen, dass&nbsp; $v(t) = u(t - T/4)$&nbsp; gilt:&nbsp;
 :$$v(t)=1+\frac{2}{3}\cdot \cos(2\omega_0(t-\frac{T}{4}))-\frac{2}{15}\cdot \cos(4\omega_0(t-\frac{T}{4}))+\frac{2}{35}\cdot \cos(6\omega_0(t-\frac{T}{4}))-\dots$$
-Die Cosinusterme können nun mit $\omega_0 \cdot T = 2 \pi$ umgeformt werden:&nbsp;
+*Die Cosinusterme können nun mit&nbsp; $\omega_0 \cdot T = 2 \pi$&nbsp; umgeformt werden:&nbsp;
 :$$\cos(2\omega_0(t-\frac{T}{4}))=\cos(2\omega_0t-\pi)=-\cos(2\omega_0t),$$
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 :$$\cos(6\omega_0(t-\frac{T}{4}))=\cos(6\omega_0t-3\pi)=-\cos(6\omega_0t).$$
-Damit erhält man für die Fourierreihe:
+*Damit erhält man für die Fourierreihe:
 :$$v(t)=1-{2}/{3}\cdot \cos(2\omega_0t)-{2}/{15}\cdot \cos(4\omega_0t)-{2}/{35}\cdot \cos(6\omega_0t)-\dots$$
-bzw. für die Cosinuskoeffizienten mit geradzahligem $n$:
+:bzw. für die Cosinuskoeffizienten mit geradzahligem&nbsp; $n$:
 :$$A_n=\frac{-2}{n^2-1}\hspace{0.5cm}\Rightarrow\hspace{0.5cm}A_2=-\hspace{-0.05cm}2/3 \hspace{0.1cm}\underline{= -\hspace{-0.05cm}0.667}.$$
 '''(3)'''&nbsp; Aus der grafischen Darstellung erkennt man den Zusammenhang $x(t)={1}/{2} \cdot [v(t)+w(t)].$ Das bedeutet:
 :$$x(t)=\frac{1}{2}+\frac{\pi}{4}\cdot \sin(\omega_0 t)-\frac{1}{3}\cdot \cos(2\omega_0 t)-\frac{1}{15}\cdot \cos(4\omega_0 t)-\frac{1}{35}\cdot \cos(6\omega_0 t)-\ldots$$
-Die gesuchten Fourierkoeffizienten sind somit:
+*Die gesuchten Fourierkoeffizienten sind somit:
-:$$A_0 \hspace{0.1cm}\underline{=0.5},$$
+:$$A_0 \hspace{0.1cm}\underline{=0.5},\hspace{1cm}
-:$$B_1 = \pi /4 \hspace{0.1cm}\underline{= 0.785},$$
+B_1 = \pi /4 \hspace{0.1cm}\underline{= 0.785},\hspace{1cm}
-:$$A_2\hspace{0.1cm}\underline{ = -0.333}.$$
+A_2\hspace{0.1cm}\underline{ = -0.333}.$$
 {{ML-Fuß}}
 __NOEDITSECTION__
 [[Category:Aufgaben zu Signaldarstellung|^2. Periodische Signale^]]

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 [[Datei:P_ID311__Sig_A_2_5.png|right|frame|Gleichgerichtete Cosinusfunktionen]]
-Gesucht sind die Fourierkoeffizienten des unten skizzierten Signals $x(t)$, das sich durch die Einweggleichrichtung des Sinussignals $w(t)$ mit der Amplitude $\pi /2$ ergibt.
+Gesucht sind die Fourierkoeffizienten des unten skizzierten Signals&nbsp; $x(t)$, das sich durch die Einweggleichrichtung des Sinussignals&nbsp; $w(t)$&nbsp; mit der Amplitude&nbsp; $\pi /2$&nbsp; ergibt.
-Als bekannt vorausgesetzt wird die Fourierreihendarstellung des oben skizzierten Signals $u(t)$. Diese wurde bereits in der [[Aufgaben:Aufgabe_2.4:_Gleichgerichteter_Cosinus|Aufgabe 2.4]] ermittelt. Unter Berücksichtigung der Amplitude $\pi /2$ gilt hierfür:
+Als bekannt vorausgesetzt wird die Fourierreihendarstellung des oben skizzierten Signals&nbsp; $u(t)$. Diese wurde bereits in der&nbsp; [[Aufgaben:Aufgabe_2.4:_Gleichgerichteter_Cosinus|Aufgabe 2.4]]&nbsp; ermittelt. Unter Berücksichtigung der Amplitude&nbsp; $\pi /2$&nbsp; gilt hierfür:
 :$$u(t)=1+\frac{2}{3} \cdot \cos(\omega_1t)-\frac{2}{15}\cdot \cos(2\omega_1t)+\frac{2}{35}\cdot \cos(3\omega_1t)-\dots$$
 Anzumerken ist:
-*Die Grundkreisfrequenz ist mit $\omega_1$ bezeichnet. Da aber die Periodendauer der Signale $u(t)$ und $v(t)$ jeweils $T/2$ beträgt, gilt $\omega_1 = 2\pi /(T/2) = 4 \pi /T$.
+*Die Grundkreisfrequenz ist mit&nbsp; $\omega_1$&nbsp; bezeichnet. Da aber die Periodendauer der Signale&nbsp; $u(t)$&nbsp; und&nbsp; $v(t)$&nbsp; jeweils&nbsp; $T/2$&nbsp; beträgt, gilt&nbsp; $\omega_1 = 2\pi /(T/2) = 4 \pi /T$.
-*Weil in dieser Aufgabe die Signale $u(t)$, $w(t)$ und $x(t)$ zueinander in Bezug gebracht werden sollen, muss auch das Signal $u(t)$ mit der Periodendauer $T$ des Signals $x(t)$ dargestellt werden. Mit $\omega_0 = 2\pi /T = \omega_1/2$ gilt somit gleichermaßen:
+*Weil in dieser Aufgabe die Signale&nbsp; $u(t)$,&nbsp; $w(t)$&nbsp; und&nbsp; $x(t)$&nbsp; zueinander in Bezug gebracht werden sollen, muss auch das Signal&nbsp; $u(t)$&nbsp; mit der Periodendauer&nbsp; $T$&nbsp; des Signals&nbsp; $x(t)$&nbsp; dargestellt werden.
 :$$u(t)=1+\frac{2}{3} \cdot \cos(2\omega_0t)-\frac{2}{15} \cdot \cos(4\omega_0t)+\frac{2}{35} \cdot \cos(6\omega_0t)-\dots$$
 Für die Fourierkoeffizienten bedeutet dies:
-*Der Gleichkoeffizient ergibt sich zu $A_0 = 1$,
+*Der Gleichkoeffizient ergibt sich zu&nbsp; $A_0 = 1$,
-*Alle Sinuskoeffizienten sind $B_n = 0$,
+*Alle Sinuskoeffizienten sind&nbsp; $B_n = 0$,
-*Die Cosinuskoeffizienten mit ungeradzahligem $n = 1, 3, 5, \dots$ sind alle $0$,
+*Die Cosinuskoeffizienten mit ungeradzahligem&nbsp; $n = 1, \ 3, \ 5, \dots$ sind alle&nbsp; $0$,
-*Die Cosinuskoeffizienten mit geradzahligem $n = 2, 4, 6, \dots$ sind ungleich $0$:
+*Die Cosinuskoeffizienten mit geradzahligem&nbsp; $n = 2, \ 4, \ 6, \dots$ sind ungleich&nbsp; $0$&nbsp;:
 :$$A_n=(-1)^{\hspace{0.01cm}n/2+1}\frac{2}{n^2-1}.$$
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 :$$A_2=2/3; \;A_4=-2/15;\;A_6=2/35;\;A_8=-2/63.$$
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 ''Hinweise:''
-*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Signaldarstellung/Fourierreihe|Fourierreihe]].
+*Die Aufgabe gehört zum Kapitel&nbsp; [[Signaldarstellung/Fourierreihe|Fourierreihe]].
 *Eine kompakte Zusammenfassung der Thematik finden Sie in den beiden Lernvideos
 ::[[Zur_Berechnung_der_Fourierkoeffizienten_(Lernvideo)|Zur Berechnung der Fourierkoeffizienten]],
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 <quiz display=simple>
-{Berechnen Sie die Fourierkoeffizienten des Signals $v(t)$. Welchen Wert besitzt der Koeffizient $A_2$?
+{Berechnen Sie die Fourierkoeffizienten des Signals&nbsp; $v(t)$. Welchen Wert besitzt der Koeffizient&nbsp; $A_2$?
 |type="{}"}
-$A_2\ = \ $  { -0.67--0.66 }
+$v(t)$: &nbsp; $A_2\ = \ $  { -0.67--0.66 }
-{Berechnen Sie die Fourierkoeffizienten des Signals $w(t)$. Welchen Wert besitzt der Koeffizient $B_1$?
+{Berechnen Sie die Fourierkoeffizienten des Signals&nbsp; $w(t)$. Welchen Wert besitzt der Koeffizient&nbsp; $B_1$?
 |type="{}"}
-$B_1\ = \ $ { 1.571 3% }
+$w(t)$: &nbsp;$B_1\ = \ $ { 1.571 3% }
-{Wie kann $x(t)$ aus $v(t)$ und $w(t)$ zusammengesetzt werden? Geben Sie die entsprechenden Fourierkoeffizienten des Signals $x(t)$ an, insbesondere
+{Wie kann&nbsp; $x(t)$&nbsp; aus&nbsp; $v(t)$&nbsp; und&nbsp; $w(t)$&nbsp; zusammengesetzt werden? Geben Sie die entsprechenden Fourierkoeffizienten des Signals&nbsp; $x(t)$&nbsp; an, insbesondere
 |type="{}"}
-$A_0\ = \ $ { 0.5 3% }
+$x(t)$: &nbsp;$A_0\ = \ $ { 0.5 3% }
-$B_1\ = \ $ { 0.785 3% }
+$\hspace{1cm}B_1\ = \ $ { 0.785 3% }
-$A_2\ = \ $ { -0.34--0.33 }
+$\hspace{1cm}A_2\ = \ $ { -0.34--0.33 }
 </quiz>

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 bzw. für die Cosinuskoeffizienten mit geradzahligem $n$:
-:$$A_n=\frac{-2}{n^2-1}\hspace{0.5cm}\Rightarrow\hspace{0.5cm}A_2=-\hspace{-0.1cm}2/3 \hspace{0.1cm}\underline{= -\hspace{-0.1cm}0.667}.$$
+:$$A_n=\frac{-2}{n^2-1}\hspace{0.5cm}\Rightarrow\hspace{0.5cm}A_2=-\hspace{-0.05cm}2/3 \hspace{0.1cm}\underline{= -\hspace{-0.05cm}0.667}.$$
 '''(2)'''&nbsp; Wegen $w(t) = \pi /2 \cdot \sin(\omega_0 t)$ sind alle Fourierkoeffizienten außer $B_1 = \pi /2 \hspace{0.1cm}\underline{=1.571}$ gleich $0$.
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 Die gesuchten Fourierkoeffizienten sind somit:
 :$$A_0 \hspace{0.1cm}\underline{=0.5},$$
-:$$B_1 = \pi /4 \hspace{0.1cm}\underline{= 0.785}$$
+:$$B_1 = \pi /4 \hspace{0.1cm}\underline{= 0.785},$$
 :$$A_2\hspace{0.1cm}\underline{ = -0.333}.$$
 {{ML-Fuß}}

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 *Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Signaldarstellung/Fourierreihe|Fourierreihe]].
 *Eine kompakte Zusammenfassung der Thematik finden Sie in den beiden Lernvideos
-:[[Zur_Berechnung_der_Fourierkoeffizienten_(Lernvideo)|Zur Berechnung der Fourierkoeffizienten]] sowie [[Eigenschaften_der_Fourierreihendarstellung_(Lernvideo)|Eigenschaften der Fourierreihendarstellung]].
+::[[Zur_Berechnung_der_Fourierkoeffizienten_(Lernvideo)|Zur Berechnung der Fourierkoeffizienten]], ::[[Eigenschaften_der_Fourierreihendarstellung_(Lernvideo)|Eigenschaften der Fourierreihendarstellung]].