Aufgaben:Aufgabe 2.5: Drei Varianten von GF(2 hoch 4) - Versionsgeschichte

Guenter am 4. Oktober 2022 um 11:19 Uhr

2022-10-04T11:19:33Z

Guenter am 4. Oktober 2022 um 10:13 Uhr

2022-10-04T10:13:47Z

Guenter am 20. Mai 2019 um 14:54 Uhr

2019-05-20T14:54:32Z

Guenter am 20. Mai 2019 um 14:44 Uhr

2019-05-20T14:44:33Z

Guenter am 20. Mai 2019 um 14:37 Uhr

2019-05-20T14:37:36Z

Guenter am 8. Januar 2018 um 14:07 Uhr

2018-01-08T14:07:35Z

Guenter am 8. Januar 2018 um 13:54 Uhr

2018-01-08T13:54:11Z

Guenter am 8. Januar 2018 um 13:50 Uhr

2018-01-08T13:50:21Z

Guenter: Guenter verschob die Seite Aufgaben:Aufgabe 2.5: Drei Varianten von GF(2^4) nach Aufgaben:Aufgabe 2.5: Drei Varianten von GF(2 hoch 4)

2018-01-08T09:46:13Z

Guenter verschob die Seite Aufgabe 2.5: Drei Varianten von GF(2^4) nach Aufgabe 2.5: Drei Varianten von GF(2 hoch 4)

Guenter: Guenter verschob die Seite Aufgaben:2.5 Drei Varianten von GF(2^4) nach Aufgaben:Aufgabe 2.5: Drei Varianten von GF(2^4)

2018-01-03T09:22:52Z

Guenter verschob die Seite 2.5 Drei Varianten von GF(2^4) nach Aufgabe 2.5: Drei Varianten von GF(2^4)

@@ Zeile 60: / Zeile 60: @@
 p(x) = x^4 + x +1 =p_1(x)\hspace{0.05cm}.$$
-Richtig ist somit der <u>Lösungsvorschlag 1</u>.
+*Richtig ist somit der&nbsp; <u>Lösungsvorschlag 1</u>.
-'''(2)'''&nbsp; Nach gleicher Vorgehensweise kann gezeigt werden, dass die Potenztabelle &nbsp;$\rm (B)$&nbsp; auf dem Polynom $p_2(x) = x^4 + x^3 + 1$ basiert &nbsp; &#8658; &nbsp; <u>Lösungsvorschlag 2</u>.
+'''(2)'''&nbsp; Nach gleicher Vorgehensweise kann gezeigt werden,&nbsp; dass die Potenztabelle &nbsp;$\rm (B)$&nbsp; auf dem Polynom &nbsp; $p_2(x) = x^4 + x^3 + 1$ &nbsp; basiert &nbsp; &#8658; &nbsp; <u>Lösungsvorschlag 2</u>.
-'''(3)'''&nbsp; Ausgehend von Polynom $p_2(x) = x^4 + x^3 + 1$ erhält man aus der Bestimmungsgleichung $p(\alpha) = 0$ das Ergebnis $\alpha^4 = \alpha^3 + 1$. Damit ergibt sich weiter:
+'''(3)'''&nbsp; Ausgehend vom Polynom &nbsp; $p_2(x) = x^4 + x^3 + 1$ &nbsp; erhält man aus der Bestimmungsgleichung&nbsp; $p(\alpha) = 0$&nbsp; das Ergebnis&nbsp; $\alpha^4 = \alpha^3 + 1$.&nbsp; Damit ergibt sich weiter:
 :$$\alpha^5 \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} \alpha \cdot \alpha^4 = \alpha \cdot (\alpha^3 + 1) = \alpha^4 + \alpha = \alpha^3 + \alpha +1\hspace{0.05cm} \Rightarrow\hspace{0.05cm}{\rm Vektor\hspace{0.15cm} 1011},$$
 :$$\alpha^6 \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} \alpha \cdot \alpha^5 = \alpha \cdot (\alpha^3 +\alpha + 1) = \alpha^4 + \alpha^2 + \alpha= \alpha^3 +\alpha^2  + \alpha + 1\hspace{0.05cm} \Rightarrow\hspace{0.05cm}{\rm Vektor\hspace{0.15cm} 1111},$$
@@ Zeile 74: / Zeile 74: @@
 :$$\alpha^8 \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} \alpha \cdot \alpha^7 = \alpha \cdot (\alpha^2  + \alpha + 1) = \alpha^3 +\alpha^2 +\alpha \hspace{0.05cm} \Rightarrow\hspace{0.05cm}{\rm Vektor\hspace{0.15cm} 1110}.$$
-*Richtig sind somit nur die <u>Lösungsvorschläge 1 und 4</u>. Die beiden anderen Angaben sind vertauscht.
+*Richtig sind somit die&nbsp; <u>Lösungsvorschläge 1 und 4</u>.&nbsp; Die beiden anderen Angaben sind vertauscht.
-*Nachfolgend finden Sie die vollständigen Potenztabellen für $p_1(x) = x^4 + x + 1$ (links, rot hinterlegt) und für $p_2(x) = x^4 + x^3 + 1$ (rechts, blau hinterlegt).
+*Nachfolgend finden Sie die vollständigen Potenztabellen für &nbsp; $p_1(x) = x^4 + x + 1$ &nbsp; (links,&nbsp; rot hinterlegt) und für &nbsp; $p_2(x) = x^4 + x^3 + 1$ &nbsp; (rechts,&nbsp; blau hinterlegt).
 '''(4)'''&nbsp; Die beiden Polynome &nbsp; $p_1(x) = x^4 + x + 1$ &nbsp; und &nbsp; $p_2(x) = x^4 + x^3 + 1$ &nbsp; sind primitiv.
-'''(4)'''&nbsp; Die beiden Polynome&nbsp; $p_1(x) = x^4 + x + 1$&nbsp; und&nbsp; $p_2(x) = x^4 + x^3 + 1$&nbsp; sind primitiv.
+*Dies erkennt man daran,&nbsp; dass für&nbsp; $0 < i < 14$&nbsp; jeweils&nbsp; $\alpha^i \ne 1$&nbsp; ist.
-*Dies erkennt man daran, dass $\alpha^i$ für $0 < i < 14$ jeweils ungleich $1$ ist.
-*Dagegen gilt $\alpha^{15} = \alpha^0 = 1$. In beiden Fällen kann das Galoisfeld wie folgt ausgedrückt werden:
+*Dagegen gilt&nbsp; $\alpha^{15} = \alpha^0 = 1$.&nbsp; In beiden Fällen kann das Galoisfeld wie folgt ausgedrückt werden:
 :$${\rm GF}(2^4) = \{\hspace{0.1cm}0\hspace{0.05cm},\hspace{0.1cm} \alpha^{0}  = 1,\hspace{0.05cm}\hspace{0.1cm}
 \alpha\hspace{0.05cm},\hspace{0.1cm} \alpha^{2},\hspace{0.1cm}  ... \hspace{0.1cm}  , \hspace{0.1cm}\alpha^{14}\hspace{0.1cm}\}\hspace{0.05cm}. $$
-Für das Polynom&nbsp; $p_3(x) = x^4 + x^3 + x^2 + x +1$&nbsp; erhält man :
+&rArr; &nbsp; Für das Polynom&nbsp; $p_3(x) = x^4 + x^3 + x^2 + x +1$&nbsp; erhält man :
 :$$\alpha^4 \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} \alpha^3 + \alpha^2 + \alpha  +1\hspace{0.25cm} \Rightarrow\hspace{0.25cm}{\rm Vektor\hspace{0.15cm} 1111}\hspace{0.05cm},$$
-:$$\alpha^5 \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} \alpha \cdot \alpha^4 = \alpha^4 + \alpha^3 + \alpha^2 + \alpha  = (\alpha^3 + \alpha^2 + \alpha  +1) + \alpha^3 + \alpha^2 + \alpha  = 1 \hspace{0.25cm} \Rightarrow\hspace{0.25cm}{\rm Vektor\hspace{0.15cm} 0001}\hspace{0.05cm}.$$
+:$$\alpha^5 \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} \alpha \cdot \alpha^4 = \alpha^4 + \alpha^3 + \alpha^2 + \alpha  $$
-*Hier ist also bereits $\alpha^5 = \alpha^0 = 1 \ \Rightarrow \ p_3(x)$ ist kein primitives Polynom &nbsp; &#8658; &nbsp; <u>Lösungsvorschlag 2</u>.
+*Hier ist also bereits $\alpha^5 = \alpha^0 = 1$  <br>$\Rightarrow \  p_3(x)$&nbsp; ist kein primitives Polynom &nbsp; &#8658; &nbsp; <u>Lösungsvorschlag 2</u>.
 *Für die weiteren Potenzen gilt für dieses Polynom:
 :$$\alpha^6 = \alpha^{11} = \alpha\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}

@@ Zeile 1: / Zeile 1: @@
 {{quiz-Header|Buchseite=Kanalcodierung/Erweiterungskörper}}
-[[Datei:P_ID2508__KC_A_2_5.png|right|frame|Potenzen zweier verschiedener Erweiterungskörper über&nbsp; $\rm GF(2^4)$ – eine nicht ganz vollständige Liste]]
+[[Datei:P_ID2508__KC_A_2_5.png|right|frame|Potenzen zweier verschiedener Erweiterungskörper über&nbsp; $\rm GF(2^4)$&nbsp; – eine nicht ganz vollständige Liste]]
-Irreduzible und primitive Polynome haben große Bedeutung für die Beschreibung von Verfahren zur Fehlerkorrektur. In [LN97] findet man zum Beispiel die folgenden irreduziblen Polynome vom Grad&nbsp; $m = 4$:
+Irreduzible und primitive Polynome haben große Bedeutung für die Beschreibung von Verfahren zur Fehlerkorrektur.&nbsp; In&nbsp; '''[LN97]'''&nbsp; findet man zum Beispiel die folgenden irreduziblen Polynome vom Grad&nbsp; $m = 4$:
 * $p_1(x) = x^4 + x +1$,
 * $p_2(x) = x^4 + x^3 + 1$,
 * $p_3(x) = x^4 + x^3 + x^2 + x + 1$.
-Die beiden ersten Polynome sind auch primitiv. Dies erkennt man aus den Potenztabellen, die rechts angegeben sind &ndash; die untere Tabelle&nbsp; $\rm (B)$&nbsp; allerdings nicht ganz vollständig.
+Die beiden ersten Polynome sind auch primitiv.&nbsp; Dies erkennt man aus den Potenztabellen,&nbsp; die rechts angegeben sind &ndash; die untere Tabelle&nbsp; $\rm (B)$&nbsp; allerdings nicht ganz vollständig.
-*Aus beiden Tabellen erkennt man, dass alle Potenzen&nbsp; $\alpha^i$&nbsp; für&nbsp; $1 &#8804; i &#8804; 14$&nbsp; in der Polynomdarstellung ungleich&nbsp; $1$&nbsp; sind. Erst für&nbsp; $i = 15$&nbsp; ergibt sich
+*Aus beiden Tabellen erkennt man,&nbsp; dass alle Potenzen&nbsp; $\alpha^i$&nbsp; für&nbsp; $1 &#8804; i &#8804; 14$&nbsp; in der Polynomdarstellung ungleich&nbsp; $1$&nbsp; sind.&nbsp; Erst für&nbsp; $i = 15$&nbsp; ergibt sich
 :$$\alpha^{15} = \alpha^{0} = 1 \hspace{0.3cm} \Rightarrow\hspace{0.3cm}{\rm Koeffizientenvektor\hspace{0.15cm} 0001}\hspace{0.05cm} .$$
-*Nicht angegeben wird, ob sich die  Tabellen &nbsp;$\rm (A)$&nbsp; und &nbsp;$\rm (B)$&nbsp; aus dem Polynom&nbsp; $p_1(x) = x^4 + x + 1$&nbsp; oder aus&nbsp; $p_2(x) =x^4 + x^3 + 1$&nbsp; ergibt. Diese Zuordnungen sollen Sie in den Teilaufgaben '''(1)''' und '''(2)''' treffen.
+*Nicht angegeben wird,&nbsp; ob sich die  Tabellen &nbsp;$\rm (A)$&nbsp; und &nbsp;$\rm (B)$&nbsp; aus dem Polynom &nbsp; $p_1(x) = x^4 + x + 1$ &nbsp; oder aus &nbsp; $p_2(x) =x^4 + x^3 + 1$ &nbsp; ergibt.&nbsp; Diese Zuordnungen sollen Sie in den Teilaufgaben&nbsp; '''(1)'''&nbsp; und&nbsp; '''(2)'''&nbsp; treffen.
 *In der Teilaufgabe '''(3)''' sollen Sie zudem die fehlenden Potenzen&nbsp; $\alpha^5, \ \alpha^6, \ \alpha^7$&nbsp; und&nbsp; $\alpha^8$&nbsp; in der Tabelle&nbsp; $\rm (B)$&nbsp; ergänzen.
-*Die Teilaufgabe '''(4)''' bezieht sich auf das ebenfalls irreduzible Polynom&nbsp; $p_3(x) = x^4 + x^3 + x^2 + x +1$. Entsprechend den oben genannten Kriterien sollen Sie entscheiden, ob dieses Polynom primitiv ist.
+*In der Teilaufgabe&nbsp; '''(3)'''&nbsp; sollen Sie zudem die fehlenden Potenzen&nbsp; $\alpha^5, \ \alpha^6, \ \alpha^7$&nbsp; und&nbsp; $\alpha^8$&nbsp; in der Tabelle&nbsp; $\rm (B)$&nbsp; ergänzen.
-''Hinweise:''
+*Das Literaturzitat&nbsp;  '''[LN97]'''&nbsp; verweist auf das Buch&nbsp;  "Lidl, R.; Niederreiter, H.:&nbsp; Finite Fields.&nbsp; Encyclopedia of Mathematics and its Application. 2. Auflage. Cambridge: University Press, 1997".
@@ Zeile 39: / Zeile 41: @@
 + $p_2(x) = x^4 + x^3 + 1$.
-{Ergänzen Sie die in der Tabelle &nbsp;$\rm (B)$&nbsp; fehlenden Einträge. Welche der folgenden Angaben sind richtig?
+{Ergänzen Sie die in der Tabelle &nbsp;$\rm (B)$&nbsp; fehlenden Einträge.&nbsp; Welche der folgenden Angaben sind richtig?
 |type="[]"}
-+ $\alpha^5 = \alpha^3 + \alpha + 1$ &nbsp; &rArr; &nbsp; Koeffizientenvektor &bdquo;$1011$&rdquo;,
++ $\alpha^5 = \alpha^3 + \alpha + 1$ &nbsp; &rArr; &nbsp; Koeffizientenvektor&nbsp; &bdquo;$1011$&rdquo;,
-- $\alpha^6 = \alpha^2 + 1$ &nbsp; &rArr; &nbsp; Koeffizientenvektor &bdquo;$0111$&rdquo;,
+- $\alpha^6 = \alpha^2 + 1$ &nbsp; &rArr; &nbsp; Koeffizientenvektor&nbsp; &bdquo;$0111$&rdquo;,
-- $\alpha^7 = \alpha^3 + \alpha^2 + \alpha + 1$ &nbsp; &rArr; &nbsp; Koeffizientenvektor &bdquo;$1111$&rdquo;,
+- $\alpha^7 = \alpha^3 + \alpha^2 + \alpha + 1$ &nbsp; &rArr; &nbsp; Koeffizientenvektor&nbsp; &bdquo;$1111$&rdquo;,
-+ $\alpha^8 = \alpha^3 + \alpha^2 + \alpha$ &nbsp; &rArr; &nbsp; Koeffizientenvektor &bdquo;$1110$&rdquo;.
++ $\alpha^8 = \alpha^3 + \alpha^2 + \alpha$ &nbsp; &rArr; &nbsp; Koeffizientenvektor&nbsp; &bdquo;$1110$&rdquo;.
-{Ist&nbsp; $p_3(x) = x^4 + x^3 + x^2 + x + 1$&nbsp; ein primitives Polynom? Klären Sie diese Frage anhand der Potenzen&nbsp; $\alpha^i$&nbsp; $(i$ soweit erforderlich$)$.
+{Ist &nbsp; $p_3(x) = x^4 + x^3 + x^2 + x + 1$ &nbsp; ein primitives Polynom?&nbsp; Klären Sie diese Frage anhand der Potenzen&nbsp; $\alpha^i$&nbsp; $(i$&nbsp; soweit erforderlich$)$.
 |type="()"}
 - Ja.

@@ Zeile 54: / Zeile 54: @@
 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; Aus der oberen Potenztabelle '''(A)''' auf der Angabenseite erkennt man unter anderem die Eigenschaft
+'''(1)'''&nbsp; Aus der oberen Potenztabelle &nbsp;$\rm (A)$&nbsp; auf der Angabenseite erkennt man unter anderem die Eigenschaft
 :$$\alpha^{4} = \alpha + 1 \hspace{0.3cm} \Rightarrow\hspace{0.3cm}\alpha^{4} + \alpha + 1 = 0 \hspace{0.3cm} \Rightarrow\hspace{0.3cm}
 p(x) = x^4 + x +1 =p_1(x)\hspace{0.05cm}.$$
@@ Zeile 61: / Zeile 61: @@
-'''(2)'''&nbsp; Entsprechend der Vorgehensweise in Teilaufgabe (1) kann gezeigt werden, dass die Potenztabelle '''(B)''' auf dem Polynom $p_2(x) = x^4 + x^3 + 1$ basiert &nbsp; &#8658; &nbsp; <u>Lösungsvorschlag 2</u>.
@@ Zeile 70: / Zeile 72: @@
 :$$\alpha^8 \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} \alpha \cdot \alpha^7 = \alpha \cdot (\alpha^2  + \alpha + 1) = \alpha^3 +\alpha^2 +\alpha \hspace{0.05cm} \Rightarrow\hspace{0.05cm}{\rm Vektor\hspace{0.15cm} 1110}.$$
-Richtig sind somit nur die <u>Lösungsvorschläge 1 und 4</u>. Die beiden anderen Angaben sind vertauscht. Nachfolgend finden Sie die vollständigen Potenztabellen für $p_1(x) = x^4 + x + 1$ (links, rot hinterlegt) und für $p_2(x) = x^4 + x^3 + 1$ (rechts, blau hinterlegt).
+*Richtig sind somit nur die <u>Lösungsvorschläge 1 und 4</u>. Die beiden anderen Angaben sind vertauscht.
 [[Datei:P_ID2512__KC_A_2_5d_neu.png|center|frame|Vollständige Potenztabellen über $\rm GF(2^4)$ für zwei unterschiedliche Polynome]]
 '''(4)'''&nbsp; Die beiden Polynome $p_1(x) = x^4 + x + 1$ und $p_2(x) = x^4 + x^3 + 1$ sind primitiv. Dies erkennt man daran, dass $\alpha^i$ für $0 < i < 14$ jeweils ungleich $1$ ist. Dagegen gilt $\alpha^{15} = \alpha^0 = 1$. In beiden Fällen kann das Galoisfeld wie folgt ausgedrückt werden:
 :$${\rm GF}(2^4) = \{\hspace{0.1cm}0\hspace{0.05cm},\hspace{0.1cm} \alpha^{0}  = 1,\hspace{0.05cm}\hspace{0.1cm}
 \alpha\hspace{0.05cm},\hspace{0.1cm} \alpha^{2},\hspace{0.1cm}  ... \hspace{0.1cm}  , \hspace{0.1cm}\alpha^{14}\hspace{0.1cm}\}\hspace{0.05cm}. $$
-Dagegen erhält man für das Polynom $p_3(x) = x^4 + x^3 + x^2 + x +1$:
+Für das Polynom&nbsp; $p_3(x) = x^4 + x^3 + x^2 + x +1$&nbsp; erhält man :
 :$$\alpha^4 \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} \alpha^3 + \alpha^2 + \alpha  +1\hspace{0.25cm} \Rightarrow\hspace{0.25cm}{\rm Vektor\hspace{0.15cm} 1111}\hspace{0.05cm},$$
 :$$\alpha^5 \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} \alpha \cdot \alpha^4 = \alpha^4 + \alpha^3 + \alpha^2 + \alpha  = (\alpha^3 + \alpha^2 + \alpha  +1) + \alpha^3 + \alpha^2 + \alpha  = 1 \hspace{0.25cm} \Rightarrow\hspace{0.25cm}{\rm Vektor\hspace{0.15cm} 0001}\hspace{0.05cm}.$$
-Hier ist also bereits $\alpha^5 = \alpha^0 = 1 \ \Rightarrow \ p_3(x)$ ist kein primitives Polynom &nbsp; &#8658; &nbsp; <u>Lösungsvorschlag 2</u>. Für die weiteren Potenzen gilt für dieses Polynom:
+*Hier ist also bereits $\alpha^5 = \alpha^0 = 1 \ \Rightarrow \ p_3(x)$ ist kein primitives Polynom &nbsp; &#8658; &nbsp; <u>Lösungsvorschlag 2</u>.
 :$$\alpha^6 = \alpha^{11} = \alpha\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}
 \alpha^7 = \alpha^{12} = \alpha^2\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}

@@ Zeile 11: / Zeile 11: @@
 *Aus beiden Tabellen erkennt man, dass alle Potenzen&nbsp; $\alpha^i$&nbsp; für&nbsp; $1 &#8804; i &#8804; 14$&nbsp; in der Polynomdarstellung ungleich&nbsp; $1$&nbsp; sind. Erst für&nbsp; $i = 15$&nbsp; ergibt sich
 :$$\alpha^{15} = \alpha^{0} = 1 \hspace{0.3cm} \Rightarrow\hspace{0.3cm}{\rm Koeffizientenvektor\hspace{0.15cm} 0001}\hspace{0.05cm} .$$
-*Nicht angegeben wird, ob sich die rot hinterlegte Tabelle &nbsp; $\rm (A)$&nbsp; aus dem Polynom&nbsp; $p_1(x) = x^4 + x + 1$&nbsp; oder aus&nbsp; $p_2(x) =x^4 + x^3 + 1$&nbsp; ergibt. Diese Zuordnungen sollen Sie in den Teilaufgaben '''(1)''' und '''(2)''' treffen.
+*Nicht angegeben wird, ob sich die  Tabellen &nbsp;$\rm (A)$&nbsp; und &nbsp;$\rm (B)$&nbsp; aus dem Polynom&nbsp; $p_1(x) = x^4 + x + 1$&nbsp; oder aus&nbsp; $p_2(x) =x^4 + x^3 + 1$&nbsp; ergibt. Diese Zuordnungen sollen Sie in den Teilaufgaben '''(1)''' und '''(2)''' treffen.
 *In der Teilaufgabe '''(3)''' sollen Sie zudem die fehlenden Potenzen&nbsp; $\alpha^5, \ \alpha^6, \ \alpha^7$&nbsp; und&nbsp; $\alpha^8$&nbsp; in der Tabelle&nbsp; $\rm (B)$&nbsp; ergänzen.
 *Die Teilaufgabe '''(4)''' bezieht sich auf das ebenfalls irreduzible Polynom&nbsp; $p_3(x) = x^4 + x^3 + x^2 + x +1$. Entsprechend den oben genannten Kriterien sollen Sie entscheiden, ob dieses Polynom primitiv ist.
@@ Zeile 29: / Zeile 29: @@
 ===Fragebogen===
 <quiz display=simple>
-{Welches Polynom liegt der Tabelle '''(A)''' zugrunde?
+{Welches Polynom liegt der Tabelle &nbsp;$\rm (A)$&nbsp; zugrunde?
 |type="()"}
 + $p_1(x) = x^4 + x + 1$,
 - $p_2(x) = x^4 + x^3 + 1$.
-{Welches Polynom liegt der Tabelle '''(B)''' zugrunde?
+{Welches Polynom liegt der Tabelle &nbsp;$\rm (B)$&nbsp; zugrunde?
 |type="()"}
 - $p_1(x) = x^4 + x + 1$,
 + $p_2(x) = x^4 + x^3 + 1$.
-{Ergänzen Sie die in der Tabelle '''(B)''' fehlenden Einträge. Welche der folgenden Angaben sind richtig?
+{Ergänzen Sie die in der Tabelle &nbsp;$\rm (B)$&nbsp; fehlenden Einträge. Welche der folgenden Angaben sind richtig?
 |type="[]"}
 + $\alpha^5 = \alpha^3 + \alpha + 1$ &nbsp; &rArr; &nbsp; Koeffizientenvektor &bdquo;$1011$&rdquo;,
@@ Zeile 46: / Zeile 46: @@
 + $\alpha^8 = \alpha^3 + \alpha^2 + \alpha$ &nbsp; &rArr; &nbsp; Koeffizientenvektor &bdquo;$1110$&rdquo;.
-{Ist $p_3(x) = x^4 + x^3 + x^2 + x + 1$ ein primitives Polynom? Klären Sie diese Frage anhand der Potenzen $\alpha^i$ ($i$ soweit erforderlich).
+{Ist&nbsp; $p_3(x) = x^4 + x^3 + x^2 + x + 1$&nbsp; ein primitives Polynom? Klären Sie diese Frage anhand der Potenzen&nbsp; $\alpha^i$&nbsp; $(i$ soweit erforderlich$)$.
 |type="()"}
 - Ja.

@@ Zeile 1: / Zeile 1: @@
 {{quiz-Header|Buchseite=Kanalcodierung/Erweiterungskörper}}
-[[Datei:P_ID2508__KC_A_2_5.png|right|frame|Potenzen zweier verschiedener Erweiterungskörper über $\rm GF(2^4)$ – nicht ganz vollständige Liste]]
+[[Datei:P_ID2508__KC_A_2_5.png|right|frame|Potenzen zweier verschiedener Erweiterungskörper über&nbsp; $\rm GF(2^4)$ – eine nicht ganz vollständige Liste]]
-Irreduzible und primitive Polynome haben große Bedeutung für die Beschreibung von Verfahren zur Fehlerkorrektur. In [LN97] findet man zum Beispiel die folgenden irreduziblen Polynome vom Grad $m = 4$:
+Irreduzible und primitive Polynome haben große Bedeutung für die Beschreibung von Verfahren zur Fehlerkorrektur. In [LN97] findet man zum Beispiel die folgenden irreduziblen Polynome vom Grad&nbsp; $m = 4$:
-* $p(x) = x^4 + x +1$,
+* $p_1(x) = x^4 + x +1$,
-* $p(x) = x^4 + x^3 + 1$,
+* $p_2(x) = x^4 + x^3 + 1$,
-* $p(x) = x^4 + x^3 + x^2 + x + 1$.
+* $p_3(x) = x^4 + x^3 + x^2 + x + 1$.
-Die beiden ersten Polynome sind auch primitiv. Dies erkennt man aus den Potenztabellen, die rechts angegeben sind &ndash; die untere Tabelle '''(B)''' allerdings nicht ganz vollständig.
+Die beiden ersten Polynome sind auch primitiv. Dies erkennt man aus den Potenztabellen, die rechts angegeben sind &ndash; die untere Tabelle&nbsp; $\rm (B)$&nbsp; allerdings nicht ganz vollständig.
-*Aus beiden Tabellen erkennt man, dass alle Potenzen $\alpha^i$ für $1 &#8804; i &#8804; 14$ in der Polynomdarstellung ungleich $1$ sind. Erst für $i = 15$ ergibt sich
+*Aus beiden Tabellen erkennt man, dass alle Potenzen&nbsp; $\alpha^i$&nbsp; für&nbsp; $1 &#8804; i &#8804; 14$&nbsp; in der Polynomdarstellung ungleich&nbsp; $1$&nbsp; sind. Erst für&nbsp; $i = 15$&nbsp; ergibt sich
 :$$\alpha^{15} = \alpha^{0} = 1 \hspace{0.3cm} \Rightarrow\hspace{0.3cm}{\rm Koeffizientenvektor\hspace{0.15cm} 0001}\hspace{0.05cm} .$$
-*Nicht angegeben wird, ob sich die rot hinterlegte Tabelle '''(A)''' aus dem Polynom $x^4 + x + 1$ oder aus $x^4 + x^3 + 1$ ergibt. Diese Zuordnungen sollen Sie in den Teilaufgaben (1) und (2) treffen.
+*Nicht angegeben wird, ob sich die rot hinterlegte Tabelle &nbsp; $\rm (A)$&nbsp; aus dem Polynom&nbsp; $p_1(x) = x^4 + x + 1$&nbsp; oder aus&nbsp; $p_2(x) =x^4 + x^3 + 1$&nbsp; ergibt. Diese Zuordnungen sollen Sie in den Teilaufgaben '''(1)''' und '''(2)''' treffen.
-*In der Teilaufgabe (3) sollen Sie zudem die fehlenden Potenzen $\alpha^5, \ \alpha^6, \ \alpha^7$ und $\alpha^8$ in der Tabelle '''(B)''' ergänzen.
+*In der Teilaufgabe '''(3)''' sollen Sie zudem die fehlenden Potenzen&nbsp; $\alpha^5, \ \alpha^6, \ \alpha^7$&nbsp; und&nbsp; $\alpha^8$&nbsp; in der Tabelle&nbsp; $\rm (B)$&nbsp; ergänzen.
-*Die Teilaufgabe (4) bezieht sich auf das ebenfalls irreduzible Polynom $p(x) = x^4 + x^3 + x^2 + x +1$. Entsprechend den oben genannten Kriterien sollen Sie entscheiden, ob dieses Polynom primitiv ist.
+*Die Teilaufgabe '''(4)''' bezieht sich auf das ebenfalls irreduzible Polynom&nbsp; $p_3(x) = x^4 + x^3 + x^2 + x +1$. Entsprechend den oben genannten Kriterien sollen Sie entscheiden, ob dieses Polynom primitiv ist.
@@ Zeile 19: / Zeile 22: @@
 ''Hinweise:''
-* Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Kanalcodierung/Erweiterungsk%C3%B6rper|Erweiterungskörper]].
+* Die Aufgabe gehört zum Kapitel&nbsp; [[Kanalcodierung/Erweiterungsk%C3%B6rper|Erweiterungskörper]].
-*Das Literaturzitat  [LN97] verweist auf das Buch  &bdquo;Lidl, R.; Niederreiter, H.: ''Finite Fields''. Encyclopedia of Mathematics and its Application. 2. Auflage. Cambridge: University Press, 1997&rdquo;.
+*Das Literaturzitat&nbsp;  [LN97]&nbsp; verweist auf das Buch  &bdquo;Lidl, R.; Niederreiter, H.: ''Finite Fields''. Encyclopedia of Mathematics and its Application. 2. Auflage. Cambridge: University Press, 1997&rdquo;.

← Nächstältere Version	Version vom 8. Januar 2018, 09:46 Uhr
(kein Unterschied)

← Nächstältere Version	Version vom 3. Januar 2018, 09:22 Uhr
(kein Unterschied)