Aufgaben:Aufgabe 2.4Z: Fehlerwahrscheinlichkeiten beim Oktalsystem - Versionsgeschichte

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2022-05-17T13:54:21Z

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Guenter am 12. Februar 2019 um 08:53 Uhr

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2019-02-12T08:46:31Z

Mwiki-lnt: Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

2018-05-29T12:02:44Z

Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

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2018-01-04T06:24:00Z

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 {{ML-Kopf}}
 '''(1)'''&nbsp;  Entsprechend der Beschreibung auf der Angabenseite steht
-*„LHH” für den Amplitudenkoeffizienten $a_{3}$  &nbsp; &rArr; &nbsp; $\underline{\mu =3}$.
+*$\rm LHH$&nbsp; für den Amplitudenkoeffizienten&nbsp; $a_{3}$  &nbsp; &rArr; &nbsp; $\underline{\mu =3}$.
-* „HLL” für für den Amplitudenkoeffizienten $a_{8}$  &nbsp; &rArr; &nbsp; $\underline{\mu =8}$.
+*$\rm HLL$&nbsp; für für den Amplitudenkoeffizienten&nbsp; $a_{8}$  &nbsp; &rArr; &nbsp; $\underline{\mu =8}$.
-'''(2)'''&nbsp; Die äußeren Koeffizienten ($a_{1}$ und $a_{8}$) werden jeweils mit der Wahrscheinlichkeit $p = 1 \%$ verfälscht, <br>die $M – 2 = 6$ inneren mit der doppelten Wahrscheinlichkeit $(2p= 2 \%)$. Durch Mittelung erhält man:
+'''(2)'''&nbsp; Die äußeren Koeffizienten&nbsp; $(a_{1}$&nbsp; und&nbsp; $a_{8})$&nbsp; werden jeweils mit der Wahrscheinlichkeit&nbsp; $p = 1 \%$&nbsp; verfälscht,&nbsp; &nbsp;<br>die&nbsp; $M – 2 = 6$&nbsp; inneren mit der doppelten Wahrscheinlichkeit&nbsp; $(2p= 2 \%)$.&nbsp; Durch Mittelung erhält man:
 :$$p_{\rm S} = \frac{2 \cdot 1 + 6 \cdot 2} { 8} \cdot p\hspace{0.15cm}\underline { = 1.75 \,\%} \hspace{0.05cm}.$$
 '''(3)'''&nbsp; Jeder Übertragungsfehler (Symbolfehler) hat beim Graycode genau einen Bitfehler zur Folge. Da jedoch jedes Oktalsymbol drei Binärzeichen beinhaltet, gilt
 :$$p_{\rm B} ={p_{\rm S}}/ { 3}\hspace{0.15cm}\underline { = 0.583 \,\%} \hspace{0.05cm}.$$
 '''(4)'''&nbsp; Von den insgesamt sieben möglichen Übergängen (jeweils in beiden Richtungen) führen zu
-*einem Fehler: &nbsp; &nbsp; '''HLH''' $\Leftrightarrow$ '''LLH''',
+*einem Fehler: &nbsp; &nbsp; $\rm HLH \ \Leftrightarrow \ LLH$,
-*zwei Fehlern: &nbsp; &nbsp;&nbsp;  '''HLL''' $\Leftrightarrow$ '''HHH''', '''LLL''' $\Leftrightarrow$ '''LHH''', '''HHL''' $\Leftrightarrow$ '''HLH''', '''LLH''' $\Leftrightarrow$ '''LHL''',
+*zwei Fehlern: &nbsp; &nbsp;&nbsp; $\rm HLL \ \Leftrightarrow \ HHH$, &nbsp;  &nbsp; $\rm LLL \ \Leftrightarrow \ LHH$, &nbsp;   &nbsp; $\rm HHL \ \Leftrightarrow \ HLH$, &nbsp;  &nbsp; $\rm LLH \ \Leftrightarrow \ LHL$,
-*drei Fehlern: &nbsp; &nbsp; &nbsp; '''HHH''' $\Leftrightarrow$ '''LLL''', '''LHH''' $\Leftrightarrow$ '''HHL'''.
+*drei Fehlern: &nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp; $\rm HHH \ \Leftrightarrow \ LLL$, &nbsp;  &nbsp; $\rm LHH \ \Leftrightarrow \ HHL$.

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 [[Datei:P_ID1326__Dig_Z_2_4.png|right|frame|Oktale „Zufallscodierung” und Graycodierung]]
-Es wird ein Digitalsystem mit &nbsp;$M = 8$&nbsp; Amplitudenstufen (Oktalsystem) betrachtet, dessen &nbsp;$M – 1 = 7$&nbsp; Entscheiderschwellen genau bei den jeweiligen Intervallmitten liegen.
+Es wird ein Digitalsystem mit &nbsp;$M = 8$&nbsp; Amplitudenstufen&nbsp;  ("Oktalsystem")&nbsp betrachtet,&nbsp dessen &nbsp;$M – 1 = 7$&nbsp; Entscheiderschwellen genau bei den jeweiligen Intervallmitten liegen.
-Ein jeder der gleichwahrscheinlichen Amplitudenkoeffizienten &nbsp;$a_{\mu}$&nbsp; mit &nbsp;$1 ≤ \mu ≤ 8$&nbsp; kann nur in die unmittelbaren Nachbarkoeffizienten &nbsp;$a_{\mu–1}$&nbsp; bzw. &nbsp;$a_{\mu+1}$&nbsp; verfälscht werden und zwar in beiden Richtungen mit der gleichen Wahrscheinlichkeit &nbsp;$p = 0.01$. Hierzu einige Beispiele:
+Ein jeder der gleichwahrscheinlichen Amplitudenkoeffizienten &nbsp;$a_{\mu}$&nbsp; mit &nbsp;$1 ≤ \mu ≤ 8$&nbsp; kann nur in die unmittelbaren Nachbarkoeffizienten &nbsp;$a_{\mu–1}$&nbsp; bzw. &nbsp;$a_{\mu+1}$&nbsp; verfälscht werden und zwar in beiden Richtungen mit der gleichen Wahrscheinlichkeit &nbsp;$p = 0.01$.
 *$a_5$&nbsp; geht mit der Wahrscheinlichkeit &nbsp;$p = 0.01$&nbsp; in den Koeffizienten $a_4$ über und mit der gleichen Wahrscheinlichkeit &nbsp;$p = 0.01$&nbsp; in den Koeffizienten &nbsp;$a_6$.
-*$a_8$&nbsp; wird mit der Wahrscheinlichkeit &nbsp;$p = 0.01$&nbsp; in den Koeffizienten &nbsp;$a_7$&nbsp; verfälscht. In die andere Richtung ist keine Verfälschung möglich.
+Hierzu einige Beispiele:
 Die Zuordnung von jeweils drei binären Quellensymbolen in einen oktalen Amplitudenkoeffizienten geschieht alternativ entsprechend
-*der zweiten Spalte in der angegebenen Tabelle, die „zufällig” – ohne Strategie – generiert wurde,
+*der zweiten Spalte in der angegebenen Tabelle,&nbsp; die „zufällig” – ohne Strategie – generiert wurde,
-Angegeben ist der Graycode für &nbsp;$M = 4$. Bei &nbsp;$M = 8$&nbsp; sind die beiden letzten Binärzeichen an der gestrichelt eingezeichneten Linie zu spiegeln. Für die ersten vier Amplitudenkoeffizienten ist an der ersten Stelle ein '''L''' zu ergänzen, für &nbsp;$a_{5}, ..., a_{8}$&nbsp; das Binärsymbol '''H'''.
 Für die beiden Zuordnungen „Zufall” und „Gray” sollen berechnet werden:
-*die ''Symbolfehlerwahrscheinlichkeit'' &nbsp;$p_{\rm S}$, die in beiden Fällen gleich ist; $p_{\rm S}$&nbsp; gibt die mittlere Verfälschungswahrscheinlichkeit eines Amplitudenkoeffizienten &nbsp;$a_{\mu}$&nbsp; an;
+*die Symbolfehlerwahrscheinlichkeit &nbsp;$p_{\rm S}$,&nbsp; die in beiden Fällen gleich ist; &nbsp; $p_{\rm S}$&nbsp; gibt die mittlere Verfälschungswahrscheinlichkeit eines Amplitudenkoeffizienten &nbsp;$a_{\mu}$&nbsp; an;
-*die ''Bitfehlerwahrscheinlichkeit'' &nbsp;$p_{\rm B}$&nbsp; bezogen auf die (decodierten) Binärsymbole.
+*die Bitfehlerwahrscheinlichkeit  &nbsp;$p_{\rm B}$&nbsp; bezogen auf die&nbsp; (decodierten)&nbsp; Binärsymbole.
-''Hinweise:''
+*Bezug genommen wird auch auf das Kapitel&nbsp; [[Digitalsignalübertragung/Redundanzfreie_Codierung|"Redundanzfreie Codierung"]] .
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 $p_{\rm S} \ = \ $ { 1.75 3% } $\ \%$
-{Berechnen Sie die Bitfehlerwahrscheinlichkeit &nbsp;$p_{\rm B}$&nbsp; für den <u>Graycode</u>.
+{Berechnen Sie die Bitfehlerwahrscheinlichkeit &nbsp;$p_{\rm B}$&nbsp; für den&nbsp; <u>Graycode</u>.
 |type="{}"}
 $p_{\rm B} \ = \ $ { 0.583 3% } $\ \%$
-{Berechnen Sie die Bitfehlerwahrscheinlichkeit &nbsp;$p_{\rm B}$&nbsp; für den <u>Zufallscode</u>.
+{Berechnen Sie die Bitfehlerwahrscheinlichkeit &nbsp;$p_{\rm B}$&nbsp; für den&nbsp; <u>Zufallscode</u>.
 |type="{}"}
 $p_{\rm B} \ = \ $ { 0.714 3% } $\ \%$

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 {{ML-Kopf}}
 '''(1)'''&nbsp;  Entsprechend der Beschreibung auf der Angabenseite steht
-*„LHH” für den Amplitudenkoeffizienten $a_{3}$  &nbsp; &rArr; &nbsp; $(\mu =3)$ und
+*„LHH” für den Amplitudenkoeffizienten $a_{3}$  &nbsp; &rArr; &nbsp; $\underline{\mu =3}$.
-* und „HLL” für für den Amplitudenkoeffizienten $a_{8}$  &nbsp; &rArr; &nbsp; $(\mu =8)$.
+* „HLL” für für den Amplitudenkoeffizienten $a_{8}$  &nbsp; &rArr; &nbsp; $\underline{\mu =8}$.
-'''(2)'''&nbsp; Die äußeren Koeffizienten ($a_{1}$ und $a_{8}$) werden jeweils mit der Wahrscheinlichkeit $p = 1 \%$ verfälscht, die $M – 2 = 6$ inneren mit der doppelten Wahrscheinlichkeit $(2p= 2 \%)$. Durch Mittelung erhält man:
+'''(2)'''&nbsp; Die äußeren Koeffizienten ($a_{1}$ und $a_{8}$) werden jeweils mit der Wahrscheinlichkeit $p = 1 \%$ verfälscht, <br>die $M – 2 = 6$ inneren mit der doppelten Wahrscheinlichkeit $(2p= 2 \%)$. Durch Mittelung erhält man:
 :$$p_{\rm S} = \frac{2 \cdot 1 + 6 \cdot 2} { 8} \cdot p\hspace{0.15cm}\underline { = 1.75 \,\%} \hspace{0.05cm}.$$
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 '''(4)'''&nbsp; Von den insgesamt sieben möglichen Übergängen (jeweils in beiden Richtungen) führen zu
 *einem Fehler: &nbsp; &nbsp; '''HLH''' $\Leftrightarrow$ '''LLH''',
-*zwei Fehlern: &nbsp; &nbsp; '''HLL''' $\Leftrightarrow$ '''HHH''', '''LLL''' $\Leftrightarrow$ '''LHH''', '''HHL''' $\Leftrightarrow$ '''HLH''', '''LLH''' $\Leftrightarrow$ '''LHL''',
+*zwei Fehlern: &nbsp; &nbsp;&nbsp;  '''HLL''' $\Leftrightarrow$ '''HHH''', '''LLL''' $\Leftrightarrow$ '''LHH''', '''HHL''' $\Leftrightarrow$ '''HLH''', '''LLH''' $\Leftrightarrow$ '''LHL''',
-*drei Fehlern: &nbsp; &nbsp; '''HHH''' $\Leftrightarrow$ '''LLL''', '''LHH''' $\Leftrightarrow$ '''HHL'''.
+*drei Fehlern: &nbsp; &nbsp; &nbsp; '''HHH''' $\Leftrightarrow$ '''LLL''', '''LHH''' $\Leftrightarrow$ '''HHL'''.

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 [[Datei:P_ID1326__Dig_Z_2_4.png|right|frame|Oktale „Zufallscodierung” und Graycodierung]]
-Es wird ein Digitalsystem mit $M = 8$ Amplitudenstufen (Oktalsystem) betrachtet, dessen $M – 1 = 7$ Entscheiderschwellen genau bei den jeweiligen Intervallmitten liegen.
+Es wird ein Digitalsystem mit &nbsp;$M = 8$&nbsp; Amplitudenstufen (Oktalsystem) betrachtet, dessen &nbsp;$M – 1 = 7$&nbsp; Entscheiderschwellen genau bei den jeweiligen Intervallmitten liegen.
-Ein jeder der gleichwahrscheinlichen Amplitudenkoeffizienten $a_{\mu}$ mit $(1 ≤ \mu ≤ 8)$ kann nur in die unmittelbaren Nachbarkoeffizienten $a_{\mu–1}$ bzw. $a_{\mu+1}$ verfälscht werden und zwar in beiden Richtungen mit der gleichen Wahrscheinlichkeit $p = 0.01$. Hierzu einige Beispiele:
+Ein jeder der gleichwahrscheinlichen Amplitudenkoeffizienten &nbsp;$a_{\mu}$&nbsp; mit &nbsp;$1 ≤ \mu ≤ 8$&nbsp; kann nur in die unmittelbaren Nachbarkoeffizienten &nbsp;$a_{\mu–1}$&nbsp; bzw. &nbsp;$a_{\mu+1}$&nbsp; verfälscht werden und zwar in beiden Richtungen mit der gleichen Wahrscheinlichkeit &nbsp;$p = 0.01$. Hierzu einige Beispiele:
-*$a_5$ geht mit der gleichen Wahrscheinlichkeit $p = 0.01$ in den Koeffizienten $a_4$ über und mit der gleichen Wahrscheinlichkeit in den Koeffizienten $a_6$.
+*$a_5$&nbsp; geht mit der Wahrscheinlichkeit &nbsp;$p = 0.01$&nbsp; in den Koeffizienten $a_4$ über und mit der gleichen Wahrscheinlichkeit &nbsp;$p = 0.01$&nbsp; in den Koeffizienten &nbsp;$a_6$.
-*$a_8$ wird mit der Wahrscheinlichkeit $p = 0.01$ in den Koeffizienten $a_7$ verfälscht. In die andere Richtung ist keine Verfälschung möglich.
+*$a_8$&nbsp; wird mit der Wahrscheinlichkeit &nbsp;$p = 0.01$&nbsp; in den Koeffizienten &nbsp;$a_7$&nbsp; verfälscht. In die andere Richtung ist keine Verfälschung möglich.
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-Angegeben ist der Graycode für $M = 4$. Bei $M = 8$ sind die beiden letzten Binärzeichen an der gestrichelt eingezeichneten Linie zu spiegeln. Für die ersten vier Amplitudenkoeffizienten ist an der ersten Stelle ein '''L''' zu ergänzen, für $a_{5}, ..., a_{8}$ das Binärsymbol '''H'''.
+Angegeben ist der Graycode für &nbsp;$M = 4$. Bei &nbsp;$M = 8$&nbsp; sind die beiden letzten Binärzeichen an der gestrichelt eingezeichneten Linie zu spiegeln. Für die ersten vier Amplitudenkoeffizienten ist an der ersten Stelle ein '''L''' zu ergänzen, für &nbsp;$a_{5}, ..., a_{8}$&nbsp; das Binärsymbol '''H'''.
 Für die beiden Zuordnungen „Zufall” und „Gray” sollen berechnet werden:
-*die ''Symbolfehlerwahrscheinlichkeit'' $p_{\rm S}$, die in beiden Fällen gleich ist; diese Größe gibt die mittlere Verfälschungswahrscheinlichkeit eines Amplitudenkoeffizienten $a_{\mu}$ an,
+*die ''Symbolfehlerwahrscheinlichkeit'' &nbsp;$p_{\rm S}$, die in beiden Fällen gleich ist; $p_{\rm S}$&nbsp; gibt die mittlere Verfälschungswahrscheinlichkeit eines Amplitudenkoeffizienten &nbsp;$a_{\mu}$&nbsp; an;
-*die ''Bitfehlerwahrscheinlichkeit'' $p_{\rm B}$ bezogen auf die (decodierten) Binärsymbole.
+*die ''Bitfehlerwahrscheinlichkeit'' &nbsp;$p_{\rm B}$&nbsp; bezogen auf die (decodierten) Binärsymbole.
 ''Hinweise:''
-*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel  [[Digitalsignalübertragung/Grundlagen_der_codierten_Übertragung|Grundlagen der codierten Übertragung]].
+*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp;  [[Digitalsignalübertragung/Grundlagen_der_codierten_Übertragung|Grundlagen der codierten Übertragung]].
-*Bezug genommen wird auch auf das Kapitel [[Digitalsignalübertragung/Redundanzfreie_Codierung|Redundanzfreie Codierung]] .
+*Bezug genommen wird auch auf das Kapitel&nbsp; [[Digitalsignalübertragung/Redundanzfreie_Codierung|Redundanzfreie Codierung]] .
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 <quiz display=simple>
-{Welchem Amplitudenkoeffizienten $a_{ \mu}$ entsprechen beim Graycode die binären Folgen „LHH” bzw. „HLL”? <br>Bitte Index $ \mu$  eingeben $(1 <  \mu < 8)$.
+{Welchem Amplitudenkoeffizienten &nbsp;$a_{ \mu}$&nbsp; entsprechen beim Graycode die binären Folgen &nbsp;$\rm {LHH}$&nbsp; bzw. &nbsp;$\rm {HLL}$? <br>Bitte Index &nbsp;$ \mu$&nbsp;  eingeben &nbsp;$(1 <  \mu < 8)$.
 |type="{}"}
 $ \rm {LHH}\text{:}\hspace{0.4cm}  \mu  \ = \ $ { 3 3% }
 $ \rm {HLL}\text{:}\hspace{0.45cm}   \mu  \ = \ $ { 8 3% }
-{Berechnen Sie die Symbolfehlerwahrscheinlichkeit.
+{Berechnen Sie die Symbolfehlerwahrscheinlichkeit &nbsp;$p_{\rm S}$.
 |type="{}"}
 $p_{\rm S} \ = \ $ { 1.75 3% } $\ \%$
-{Berechnen Sie die Bitfehlerwahrscheinlichkeit für den '''Graycode'''.
+{Berechnen Sie die Bitfehlerwahrscheinlichkeit &nbsp;$p_{\rm B}$&nbsp; für den <u>Graycode</u>.
 |type="{}"}
 $p_{\rm B} \ = \ $ { 0.583 3% } $\ \%$
-{Berechnen Sie die Bitfehlerwahrscheinlichkeit für den '''Zufallscode'''.
+{Berechnen Sie die Bitfehlerwahrscheinlichkeit &nbsp;$p_{\rm B}$&nbsp; für den <u>Zufallscode</u>.
 |type="{}"}
 $p_{\rm B} \ = \ $ { 0.714 3% } $\ \%$

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 *Die Aufgabe gehört zum  Kapitel  [[Digitalsignalübertragung/Grundlagen_der_codierten_Übertragung|Grundlagen der codierten Übertragung]].
 *Bezug genommen wird auch auf das Kapitel [[Digitalsignalübertragung/Redundanzfreie_Codierung|Redundanzfreie Codierung]] .
-*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes &bdquo;0&rdquo; erforderlich sein, so geben Sie bitte &bdquo;0.&rdquo; ein.

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(kein Unterschied)