Aufgaben:Aufgabe 2.4Z: Endliche und unendliche Körper - Versionsgeschichte

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	[[Category:Aufgaben zu Kanalcodierung\|^2.2 Erweiterungskörper^]]		[[Category:Aufgaben zu Kanalcodierung\|^2.2 Erweiterungskörper^]]
			[[en:Aufgaben:Exercise_2.4Z:_Finite_and_Infinite_Fields]]

Guenter am 3. Oktober 2022 um 15:59 Uhr

2022-10-03T15:59:41Z

← Nächstältere Version		Version vom 3. Oktober 2022, 17:59 Uhr
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	In der Mathematik unterscheidet man verschiedene Zahlenmengen:		In der Mathematik unterscheidet man verschiedene Zahlenmengen:
	* die Menge der natürlichen Zahlen:  $\mathcal{N} = \{0, \, 1, \, 2, \hspace{0.05cm}\text{ ...} \}$,		* die Menge der natürlichen Zahlen:  $\mathcal{N} = \{0, \, 1, \, 2, \hspace{0.05cm}\text{ ...} \}$,

	* die Menge der ganzen Zahlen:  $\mathcal{Z} = \{\text{ ...}, \, -1, \, 0, \, +1, \hspace{0.05cm}\text{ ...} \}$,		* die Menge der ganzen Zahlen:  $\mathcal{Z} = \{\text{ ...}, \, -1, \, 0, \, +1, \hspace{0.05cm}\text{ ...} \}$,
	* die Menge der rationalen Zahlen:  $\mathcal{Q} = \{m/n\}$ mit $m ∈ \mathcal{Z}, \ n ∈ \mathcal{Z} \, \backslash \, \{0\}$,
			* die Menge der rationalen Zahlen:  $\mathcal{Q} = \{m/n\}$   mit   $m ∈ \mathcal{Z}, \ n ∈ \mathcal{Z} \, \backslash \, \{0\}$,

	* die Menge  $\mathcal{R}$  der reellen Zahlen,		* die Menge  $\mathcal{R}$  der reellen Zahlen,

	* die Menge der komplexen Zahlen:  $\mathcal{C}= \{a + {\rm j} \cdot b\}$  mit  $a ∈ \mathcal{R}, \ b ∈ \mathcal{R}$  und der imaginären Einheit  $\rm j$.		* die Menge der komplexen Zahlen:  $\mathcal{C}= \{a + {\rm j} \cdot b\}$  mit  $a ∈ \mathcal{R}, \ b ∈ \mathcal{R}$  und der imaginären Einheit  $\rm j$.


	Eine solche Menge (englisch:   ~~<i>~~Set~~</i>~~ ) bezeichnet man dann (und nur dann) als einen  '''Körper'''  (englisch:   ~~<i>~~Field~~</i>~~ ) im algebraischen Sinne, wenn in ihr die vier Rechenoperationen Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division erlaubt und die Ergebnisse im gleichen Körper darstellbar sind. Einige diesbezügliche Definitionen finden Sie im  [[Kanalcodierung/Einige_Grundlagen_der_Algebra#Gruppe.2C_Ring.2C_K.C3.B6rper_.E2.80.93_algebraische_Grundbegriffe\|Theorieteil]]. Soviel vorneweg:  Nicht alle der oben aufgelisteten Mengen sind Körper.		Eine solche Menge  (englisch:   "Set" ) bezeichnet man dann  (und nur dann)  als einen  '''Körper'''  (englisch:   "Field" ) im algebraischen Sinne,  wenn in ihr die vier Rechenoperationen Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division erlaubt und die Ergebnisse im gleichen Körper darstellbar sind.  Einige diesbezügliche Definitionen finden Sie im  [[Kanalcodierung/Einige_Grundlagen_der_Algebra#Gruppe.2C_Ring.2C_K.C3.B6rper_.E2.80.93_algebraische_Grundbegriffe\|"Theorieteil"]].  Soviel vorneweg:  Nicht alle der oben aufgelisteten Mengen sind Körper.

			Daneben gibt es auch noch  [[Kanalcodierung/Einige_Grundlagen_der_Algebra#Definition_eines_Galoisfeldes\|endliche Körper]]  (englisch:   "Finite Fields"),  die in unserem Lerntutorial auch als  <b>Galoisfeld</b>  ${\rm GF}(P^m)$  bezeichnet werden, wobei
			* $P ∈ \mathcal{P}$  eine Primzahl angibt,  und

	Daneben gibt es auch noch  [[Kanalcodierung/Einige_Grundlagen_der_Algebra#Definition_eines_Galoisfeldes\|endliche Körper]]  (englisch:   <i>Finite Fields</i>), die in unserem Lerntutorial auch als  <b>Galoisfeld</b>  ${\rm GF}(P^m)$  bezeichnet werden, wobei
	* $P ∈ \mathcal{P}$  eine Primzahl angibt, und
	* $m ∈ \mathcal{N}$  eine natürliche Zahl bezeichnet.		* $m ∈ \mathcal{N}$  eine natürliche Zahl bezeichnet.


	Ist der Exponent  $m ≥ 2$, so spricht man von einem  [[Kanalcodierung/Erweiterungsk%C3%B6rper\|Erweiterungskörper]]  (englisch:   ~~<i>~~Extension Field~~</i>~~ ). In dieser Aufgabe beschränken wir uns auf Erweiterungskörper zur Basis  $P = 2$.		Ist der Exponent  $m ≥ 2$, so spricht man von einem  [[Kanalcodierung/Erweiterungsk%C3%B6rper\|"Erweiterungskörper"]]  (englisch:   "Extension Field" ).  In dieser Aufgabe beschränken wir uns auf Erweiterungskörper zur Basis  $P = 2$.

	Die beiden ersten Teilaufgaben beziehen sich auf die Klassifizierung von Polynomen.		Die beiden ersten Teilaufgaben beziehen sich auf die Klassifizierung von Polynomen:
	*Ein Grad–$m$–Polynom nennt man  "reduzibel"  im Körper  $\mathcal{F}$,  wenn es in der Form		*Ein Grad–$m$–Polynom nennt man  "reduzibel"  im Körper  $\mathcal{F}$,  wenn es in der Form
	:$$p(x)= \prod_{i = 1}^m (x-x_i) = (x - x_1) \cdot (x - x_2) \cdot \hspace{0.05cm}\text{ ...}\hspace{0.05cm} \cdot (x - x_m) $$		:$$p(x)= \prod_{i = 1}^m (x-x_i) = (x - x_1) \cdot (x - x_2) \cdot \hspace{0.05cm}\text{ ...}\hspace{0.05cm} \cdot (x - x_m) $$

Guenter am 3. Oktober 2022 um 15:46 Uhr

2022-10-03T15:46:26Z

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	'''(3)'''  Richtig sind die <u>letzten drei Lösungsvorschläge</u>:		'''(3)'''  Richtig sind die  <u>letzten drei Lösungsvorschläge</u>:
	* Die Menge  $\mathcal{N}$  ist kein Körper, da schon die Subtraktion nicht für alle Elemente zulässig ist, zum Beispiel ist  $2 - 3 = -1 ∉ \mathcal{N}$.		* Die Menge  $\mathcal{N}$  ist kein Körper,  da schon die Subtraktion nicht für alle Elemente zulässig ist,  zum Beispiel ist  $2 - 3 = -1 ∉ \mathcal{N}$.
	* Auch die Menge  $\mathcal{Z}$  der ganzen Zahlen ist kein Körper, da beispielsweise die Gleichung  $2 \cdot z = 1$  für kein  $z ∈ \mathcal{N}$  zu erfüllen ist.

			* Auch die Menge  $\mathcal{Z}$  der ganzen Zahlen ist kein Körper,  da beispielsweise die Gleichung  $2 \cdot z = 1$  für kein  $z ∈ \mathcal{N}$  zu erfüllen ist.



	~~'''(4)'''  Richtig sind die <u>Antworten 1 und 3</u>:~~
	* Es gilt $\mathcal{Q} ⊂ \mathcal{R}$ (rationale Zahlen sind eine Untermenge der reellen Zahlen) und $\mathcal{R} ⊂ \mathcal{C}$ (reelle Zahlen sind eine Untermenge der komplexen Zahlen).
	*Damit gilt auch $\mathcal{Q} ⊂ \mathcal{C}$.
	*Bei den endlichen Körpern bedeutet ${\rm GF}(2^m) ⊂ {\rm GF}(2^M)$, dass $m < M$ gelten muss.

			'''(4)'''  Richtig sind die  <u>Antworten 1 und 3</u>:
			* Es gilt  $\mathcal{Q} ⊂ \mathcal{R}$  $($rationale Zahlen sind eine Untermenge der reellen Zahlen$)$  und  $\mathcal{R} ⊂ \mathcal{C}$  $($reelle Zahlen sind eine Untermenge der komplexen Zahlen$)$.

			*Damit gilt auch  $\mathcal{Q} ⊂ \mathcal{C}$.

			*Bei den endlichen Körpern bedeutet  ${\rm GF}(2^m) ⊂ {\rm GF}(2^M)$,  dass  $m < M$  gelten muss.


	'''(5)'''  Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 2</u>:
	* Die Menge  $\mathcal{C}$  der komplexen Zahlen ist eine Erweiterung der reellen Zahlen  $(\mathcal{R})$  in eine zweite Dimension. Hierfür kann geschrieben werden:
			'''(5)'''  Richtig ist der  <u>Lösungsvorschlag 2</u>:
			* Die Menge  $\mathcal{C}$  der komplexen Zahlen ist eine Erweiterung der reellen Zahlen  $(\mathcal{R})$  in eine zweite Dimension.  Hierfür kann geschrieben werden:
	:$$\mathcal{C} = \{k_0 + {\rm j} \cdot k_1\hspace{0.05cm}\| \hspace{0.05cm}k_0 \in {\mathcal{R}}, k_1 \in \mathcal{R}\}\hspace{0.05cm}.$$		:$$\mathcal{C} = \{k_0 + {\rm j} \cdot k_1\hspace{0.05cm}\| \hspace{0.05cm}k_0 \in {\mathcal{R}}, k_1 \in \mathcal{R}\}\hspace{0.05cm}.$$
	* $\rm GF(2^2)$  ist eine Erweiterung des endlichen Körpers  $\rm GF(2) = \{0, \, 1\}$  in eine zweite Dimension:		* $\rm GF(2^2)$  ist eine Erweiterung des endlichen Körpers  $\rm GF(2) = \{0, \, 1\}$  in eine zweite Dimension:
	:$${\rm GF}(2^2) = \{k_0 + \alpha \cdot k_1\hspace{0.05cm}\| \hspace{0.05cm}k_0 \in {\rm GF}(2), k_1 \in {\rm GF}(2)\}\hspace{0.05cm}.$$		:$${\rm GF}(2^2) = \{k_0 + \alpha \cdot k_1\hspace{0.05cm}\| \hspace{0.05cm}k_0 \in {\rm GF}(2), k_1 \in {\rm GF}(2)\}\hspace{0.05cm}.$$

	*Die imaginäre Einheit  ${\rm j} ∉ \mathcal{C}$  ergibt sich als Lösung der Gleichung  ${\rm j}^2 + 1 = 0$, während das neue Element von  $\rm GF(2^2)$  mit  $\alpha ∉ \rm GF(2)$  bezeichnet wird und aus der Gleichung  $\alpha^2 + \alpha + 1 = 0$  folgt.		*Die imaginäre Einheit  ${\rm j} ∉ \mathcal{C}$  ergibt sich als Lösung der Gleichung  ${\rm j}^2 + 1 = 0$,  während das neue Element von  $\rm GF(2^2)$  mit  $\alpha ∉ \rm GF(2)$  bezeichnet wird und aus der Gleichung  $\alpha^2 + \alpha + 1 = 0$  folgt.
	{{ML-Fuß}}		{{ML-Fuß}}

Guenter am 3. Oktober 2022 um 14:51 Uhr

2022-10-03T14:51:28Z

Guenter am 3. Oktober 2022 um 14:11 Uhr

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← Nächstältere Version		Version vom 3. Oktober 2022, 16:11 Uhr
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	Ist der Exponent  $m ≥ 2$, so spricht man von einem  [[Kanalcodierung/Erweiterungsk%C3%B6rper\|Erweiterungskörper]]  (englisch:   <i>Extension Field</i> ). In dieser Aufgabe beschränken wir uns auf Erweiterungskörper zur Basis  $P = 2$.		Ist der Exponent  $m ≥ 2$, so spricht man von einem  [[Kanalcodierung/Erweiterungsk%C3%B6rper\|Erweiterungskörper]]  (englisch:   <i>Extension Field</i> ). In dieser Aufgabe beschränken wir uns auf Erweiterungskörper zur Basis  $P = 2$.

	Die beiden ersten Teilaufgaben beziehen sich auf die Klassifizierung von Polynomen. Ein Grad–$m$–Polynom nennt man ''reduzibel''  im Körper  $\mathcal{F}$, wenn es in der Form		Die beiden ersten Teilaufgaben beziehen sich auf die Klassifizierung von Polynomen.
			*Ein Grad–$m$–Polynom nennt man  "reduzibel"  im Körper  $\mathcal{F}$,  wenn es in der Form
	:$$p(x)= \prod_{i = 1}^m (x-x_i) = (x - x_1) \cdot (x - x_2) \cdot \hspace{0.05cm}\text{ ...}\hspace{0.05cm} \cdot (x - x_m) $$		:$$p(x)= \prod_{i = 1}^m (x-x_i) = (x - x_1) \cdot (x - x_2) \cdot \hspace{0.05cm}\text{ ...}\hspace{0.05cm} \cdot (x - x_m) $$

	darstellbar ist und für alle Nullstellen $x_i ∈ \mathcal{F}$ gilt. Ist dies nicht möglich, so spricht man von einem ''irreduziblen Polynom''.		:darstellbar ist und für alle Nullstellen  $x_i ∈ \mathcal{F}$  gilt.
			*Ist dies nicht möglich,  so spricht man von einem  "irreduziblen Polynom".




			Hinweise:
			* Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Kanalcodierung/Erweiterungsk%C3%B6rper\|"Erweiterungskörper"]].

			* Oben sehen Sie Abbildungen der italienischen Mathematiker  [https://de.wikipedia.org/wiki/Gerolamo_Cardano Gerolamo Cardano]  sowie  [https://de.wikipedia.org/wiki/Rafael_Bombelli Rafael Bombelli],  die erstmals imaginäre Zahlen zur Lösung algebraischer Gleichungen einführten,  sowie von  [https://de.wikipedia.org/wiki/%C3%89variste_Galois Évariste Galois],  der schon in sehr jungen Jahren die Grundlagen der endlichen Körper geschaffen hat.


	~~''Hinweise:''~~
	* Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Kanalcodierung/Erweiterungsk%C3%B6rper\|Erweiterungskörper]].
	* Oben sehen Sie Abbildungen der italienischen Mathematiker  [https://de.wikipedia.org/wiki/Gerolamo_Cardano Gerolamo Cardano]  sowie  [https://de.wikipedia.org/wiki/Rafael_Bombelli Rafael Bombelli], die erstmals imaginäre Zahlen zur Lösung algebraischer Gleichungen einführten, sowie von  [https://de.wikipedia.org/wiki/%C3%89variste_Galois Évariste Galois], der schon in sehr jungen Jahren die Grundlagen der endlichen Körper geschaffen hat.


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	+ die Menge  $\mathcal{C}$  der komplexen Zahlen.		+ die Menge  $\mathcal{C}$  der komplexen Zahlen.

	{Welche Körper sind Teilmenge (Unterraum) eines anderen Körpers?		{Welche Körper sind Teilmenge  $($Unterraum$)$  eines anderen Körpers?
	\|type="[]"}		\|type="[]"}
	+ $\mathcal{Q} ⊂ \mathcal{C}$,		+ $\mathcal{Q} ⊂ \mathcal{C}$,

Guenter am 20. Mai 2019 um 14:28 Uhr

2019-05-20T14:28:16Z

← Nächstältere Version		Version vom 20. Mai 2019, 16:28 Uhr
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	===Fragebogen===		===Fragebogen===
	<quiz display=simple>		<quiz display=simple>
	{Welche Polynome sind irreduzibel im reellen Körper?		{Welche Polynome sind irreduzibel im reellen Körper  $\mathcal{R}$?
	\|type="[]"}		\|type="[]"}
	+ $p_1(x) = x^2 + 1$.		+ $p_1(x) = x^2 + 1$.
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	===Musterlösung===		===Musterlösung===
	{{ML-Kopf}}		{{ML-Kopf}}
	'''(1)'''  Im Angabenteil steht sinngemäß: Ein Polynom vom Grad $m$ nennt man ''reduzibel'' im Körper $K$, wenn es in der Form		'''(1)'''  Im Angabenteil steht sinngemäß:

			Ein Polynom vom Grad $m$ nennt man ''reduzibel'' im Körper $\mathcal{F}$, wenn es in der Form
	:$$p(x)= \prod_{i = 1}^m (x-x_i) = (x - x_1) \cdot (x - x_2) \cdot \hspace{0.05cm}\text{ ...}\hspace{0.05cm} \cdot (x - x_m) $$		:$$p(x)= \prod_{i = 1}^m (x-x_i) = (x - x_1) \cdot (x - x_2) \cdot \hspace{0.05cm}\text{ ...}\hspace{0.05cm} \cdot (x - x_m) $$

	dargestellt werden kann und für alle Nullstellen $x_i ∈ K$ gilt. Ist dies nicht möglich, so spricht man von einem ''irreduziblen'' Polynom.		dargestellt werden kann und für alle Nullstellen $x_i ∈ \mathcal{F}$ gilt. Ist dies nicht möglich, so spricht man von einem ''irreduziblen'' Polynom.

	Im reellen Zahlenraum gilt für die jeweils $m = 2$ Nullstellen $x_1$ und $x_2$:		Im reellen Zahlenraum gilt für die jeweils  $m = 2$  Nullstellen  $x_1$  und  $x_2$:
	:$$p_1(x) \text{:}\hspace{0.3cm}x_1 \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} +{\rm j}\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}x_2 = -{\rm j}\hspace{0.05cm},$$		:$$p_1(x) \text{:}\hspace{0.3cm}x_1 \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} +{\rm j}\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}x_2 = -{\rm j}\hspace{0.05cm},$$
	:$$p_2(x) \text{:}\hspace{0.3cm}x_1 \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} +1\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}x_2 = -1\hspace{0.05cm},$$		:$$p_2(x) \text{:}\hspace{0.3cm}x_1 \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} +1\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}x_2 = -1\hspace{0.05cm},$$
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	*Die beiden Nullstellen von $p_2(x)$ und $p_4(x)$ sind jeweils reell. Somit handelt es sich hierbei mit Sicherheit um reduzible Polynome.		*Die beiden Nullstellen von $p_2(x)$ und $p_4(x)$ sind jeweils reell. Somit handelt es sich hierbei mit Sicherheit um reduzible Polynome.
	*Die beiden anderen Polynome weisen dagegen keine reellen Nullstellen auf (vielmehr imaginäre bzw. komplexe) und sind nach obiger Definition irreduzibel im reellen Körper.		*Die beiden anderen Polynome weisen dagegen keine reellen Nullstellen auf (vielmehr imaginäre bzw. komplexe) und sind nach obiger Definition irreduzibel im reellen Körper.




	'''(2)'''  Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 3</u>:		'''(2)'''  Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 3</u>:
	*$p_3 = x^2 + x + 1$ ist das einzige irreduzible Polynom im Galoisfeld $\rm GF(2^2)$. Im [[Kanalcodierung/Erweiterungsk%C3%B6rper#GF.2822.29_.E2.80.93_Beispiel_eines_Erweiterungsk.C3.B6rpers\|Theorieteil]] wurden hierfür die Additions– und die Multiplikationstabelle angegeben. Für die anderen Polynome gilt:		$p_3 = x^2 + x + 1$  ist das einzige irreduzible Polynom im Galoisfeld  $\rm GF(2^2)$. Im [[Kanalcodierung/Erweiterungsk%C3%B6rper#GF.2822.29_.E2.80.93_Beispiel_eines_Erweiterungsk.C3.B6rpers\|Theorieteil]] wurden hierfür die Additions– und die Multiplikationstabelle angegeben.
	* Das Polynom $p_1(x)$ ist in ${\rm GF}(2) = \{0, \, 1\}$ reduzibel, da dieses Polynom faktorisiert werden kann:
			Für die anderen Polynome gilt:
			* Das Polynom  $p_1(x)$  ist in  ${\rm GF}(2) = \{0, \, 1\}$  reduzibel, da dieses Polynom faktorisiert werden kann:
	:$$p_1(x) = x^2 + 1 = (x+1)^2\hspace{0.05cm}.$$		:$$p_1(x) = x^2 + 1 = (x+1)^2\hspace{0.05cm}.$$
	* Da in $\rm GF(2)$ kein Unterschied zwischen Summe und Differenz besteht, ist auch das Polynom $p_2(x) = x^2 - 1$ reduzibel.		* Da in  $\rm GF(2)$  kein Unterschied zwischen Summe und Differenz besteht, ist auch das Polynom  $p_2(x) = x^2 - 1$  reduzibel.
	* Das Polynom $p_4(x) = x^2 + x - 2$ ist schon allein deshalb für $\rm GF(2)$ ungeeignet, da nicht alle Polynomkoeffizienten $0$ oder $1$ sind. Die &bdquo;$2$” wäre nur im Galoisfeld $\rm GF(3)$ möglich.		* Das Polynom  $p_4(x) = x^2 + x - 2$ ist  schon allein deshalb für  $\rm GF(2)$  ungeeignet, da nicht alle Polynomkoeffizienten $0$ oder $1$ sind.
			*Die &bdquo;$2$” wäre nur im Galoisfeld $\rm GF(3)$ möglich.




	'''(3)'''  Richtig sind die <u>letzten drei Lösungsvorschläge</u>:		'''(3)'''  Richtig sind die <u>letzten drei Lösungsvorschläge</u>:
	* Die Menge $\mathcal{N}$ ist kein Körper, da schon die Subtraktion nicht für alle Elemente zulässig ist, ~~z.B.~~ ist $2 - 3 = -1 ∉ \mathcal{N}$.		* Die Menge  $\mathcal{N}$  ist kein Körper, da schon die Subtraktion nicht für alle Elemente zulässig ist, zum Beispiel ist  $2 - 3 = -1 ∉ \mathcal{N}$.
	* Auch die Menge $\mathcal{Z}$ der ganzen Zahlen ist kein Körper, da beispielsweise die Gleichung $2 \cdot z = 1$ für kein $z ∈ \mathcal{N}$ zu erfüllen ist.		* Auch die Menge  $\mathcal{Z}$  der ganzen Zahlen ist kein Körper, da beispielsweise die Gleichung  $2 \cdot z = 1$  für kein  $z ∈ \mathcal{N}$  zu erfüllen ist.




	'''(4)'''  Richtig sind die <u>Antworten 1 und 3</u>:		'''(4)'''  Richtig sind die <u>Antworten 1 und 3</u>:
	* Es gilt $\mathcal{Q} ⊂ \mathcal{R}$ (rationale Zahlen sind eine Untermenge der reellen Zahlen) und $\mathcal{R} ⊂ \mathcal{C}$ (reelle Zahlen sind eine Untermenge der komplexen Zahlen) ~~und damit~~ auch $\mathcal{Q} ⊂ \mathcal{C}$.		* Es gilt $\mathcal{Q} ⊂ \mathcal{R}$ (rationale Zahlen sind eine Untermenge der reellen Zahlen) und $\mathcal{R} ⊂ \mathcal{C}$ (reelle Zahlen sind eine Untermenge der komplexen Zahlen).
	*Bei den endlichen Körpern bedeutet $\rm GF(2^m) ⊂ GF(2^M)$, dass $m < M$ gelten muss.		*Damit gilt auch $\mathcal{Q} ⊂ \mathcal{C}$.
			*Bei den endlichen Körpern bedeutet ${\rm GF}(2^m) ⊂ {\rm GF}(2^M)$, dass $m < M$ gelten muss.




	'''(5)'''  Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 2</u>:		'''(5)'''  Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 2</u>:
	* Die Menge $\mathcal{C}$ der komplexen Zahlen ist eine Erweiterung der reellen Zahlen $(\mathcal{R})$ in eine zweite Dimension. Hierfür kann geschrieben werden:		* Die Menge  $\mathcal{C}$  der komplexen Zahlen ist eine Erweiterung der reellen Zahlen  $(\mathcal{R})$  in eine zweite Dimension. Hierfür kann geschrieben werden:
	:$$\mathcal{C} = \{k_0 + {\rm j} \cdot k_1\hspace{0.05cm}\| \hspace{0.05cm}k_0 \in {\mathcal{R}}, k_1 \in \mathcal{R}\}\hspace{0.05cm}.$$		:$$\mathcal{C} = \{k_0 + {\rm j} \cdot k_1\hspace{0.05cm}\| \hspace{0.05cm}k_0 \in {\mathcal{R}}, k_1 \in \mathcal{R}\}\hspace{0.05cm}.$$
	* $\rm GF(2^2)$ ist eine Erweiterung des endlichen Körpers $\rm GF(2) = \{0, \, 1\}$ in eine zweite Dimension:		* $\rm GF(2^2)$  ist eine Erweiterung des endlichen Körpers  $\rm GF(2) = \{0, \, 1\}$  in eine zweite Dimension:
	:$${\rm GF}(2^2) = \{k_0 + \alpha \cdot k_1\hspace{0.05cm}\| \hspace{0.05cm}k_0 \in {\rm GF}(2), k_1 \in {\rm GF}(2)\}\hspace{0.05cm}.$$		:$${\rm GF}(2^2) = \{k_0 + \alpha \cdot k_1\hspace{0.05cm}\| \hspace{0.05cm}k_0 \in {\rm GF}(2), k_1 \in {\rm GF}(2)\}\hspace{0.05cm}.$$

	*Die imaginäre Einheit $j ∉ \mathcal{C}$ ergibt sich als Lösung der Gleichung ${\rm j}^2 + 1 = 0$, während das neue Element von $\rm GF(2^2)$ mit $\alpha ∉ \rm GF(2)$ bezeichnet wird und aus der Gleichung $\alpha^2 + \alpha + 1 = 0$ folgt.		*Die imaginäre Einheit  ${\rm j} ∉ \mathcal{C}$  ergibt sich als Lösung der Gleichung  ${\rm j}^2 + 1 = 0$, während das neue Element von  $\rm GF(2^2)$  mit  $\alpha ∉ \rm GF(2)$  bezeichnet wird und aus der Gleichung  $\alpha^2 + \alpha + 1 = 0$  folgt.
	{{ML-Fuß}}		{{ML-Fuß}}

Guenter am 20. Mai 2019 um 14:01 Uhr

2019-05-20T14:01:22Z

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	[[Datei:P_ID2511__KC_Z_2_4.png\|right\|frame\|Einige Pioniere der Mathematik]]		[[Datei:P_ID2511__KC_Z_2_4.png\|right\|frame\|Einige Pioniere der Mathematik]]
	In der Mathematik unterscheidet man verschiedene Zahlenmengen:		In der Mathematik unterscheidet man verschiedene Zahlenmengen:
	* die Menge der natürlichen Zahlen: $\mathcal{N} = \{0, \, 1, \, 2, \hspace{0.05cm}\text{ ...} \}$,		* die Menge der natürlichen Zahlen:  $\mathcal{N} = \{0, \, 1, \, 2, \hspace{0.05cm}\text{ ...} \}$,
	* die Menge der ganzen Zahlen: $\mathcal{Z} = \{\text{ ...}, \, -1, \, 0, \, +1, \hspace{0.05cm}\text{ ...} \}$,		* die Menge der ganzen Zahlen:  $\mathcal{Z} = \{\text{ ...}, \, -1, \, 0, \, +1, \hspace{0.05cm}\text{ ...} \}$,
	* die Menge der rationalen Zahlen: $\mathcal{Q} = \{m/n\}$ mit $m ∈ \mathcal{Z}, \ n ∈ \mathcal{Z} \, \backslash \, \{0\}$,		* die Menge der rationalen Zahlen:  $\mathcal{Q} = \{m/n\}$ mit $m ∈ \mathcal{Z}, \ n ∈ \mathcal{Z} \, \backslash \, \{0\}$,
	* die Menge $\mathcal{R}$ der reellen Zahlen,		* die Menge  $\mathcal{R}$  der reellen Zahlen,
	* die Menge der komplexen Zahlen: $\mathcal{C}= \{a + {\rm j} \cdot b\}$ mit $a ∈ \mathcal{R}, \ b ∈ \mathcal{R}$ und der imaginären Einheit $\rm j$.		* die Menge der komplexen Zahlen:  $\mathcal{C}= \{a + {\rm j} \cdot b\}$  mit  $a ∈ \mathcal{R}, \ b ∈ \mathcal{R}$  und der imaginären Einheit  $\rm j$.


	Eine solche Menge (englisch: <i>Set</i>) bezeichnet man dann (und nur dann) als einen '''Körper''' (englisch: <i>Field</i>) im algebraischen Sinne, wenn in ihr die vier Rechenoperationen Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division erlaubt und die Ergebnisse im gleichen Körper darstellbar sind. Einige diesbezügliche Definitionen finden Sie im [[Kanalcodierung/Einige_Grundlagen_der_Algebra#Gruppe.2C_Ring.2C_K.C3.B6rper_.E2.80.93_algebraische_Grundbegriffe\|Theorieteil]]. Soviel vorneweg: Nicht alle der oben aufgelisteten Mengen sind Körper.		Eine solche Menge (englisch:   <i>Set</i> ) bezeichnet man dann (und nur dann) als einen  '''Körper'''  (englisch:   <i>Field</i> ) im algebraischen Sinne, wenn in ihr die vier Rechenoperationen Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division erlaubt und die Ergebnisse im gleichen Körper darstellbar sind. Einige diesbezügliche Definitionen finden Sie im  [[Kanalcodierung/Einige_Grundlagen_der_Algebra#Gruppe.2C_Ring.2C_K.C3.B6rper_.E2.80.93_algebraische_Grundbegriffe\|Theorieteil]]. Soviel vorneweg:  Nicht alle der oben aufgelisteten Mengen sind Körper.

	Daneben gibt es auch noch [[Kanalcodierung/Einige_Grundlagen_der_Algebra#Definition_eines_Galoisfeldes\|endliche Körper]] (englisch: <i>Finite Fields</i>), die in unserem Lerntutorial auch als <b>Galoisfeld</b> ${\rm GF}(P^m)$ bezeichnet werden, wobei		Daneben gibt es auch noch  [[Kanalcodierung/Einige_Grundlagen_der_Algebra#Definition_eines_Galoisfeldes\|endliche Körper]]  (englisch:   <i>Finite Fields</i>), die in unserem Lerntutorial auch als  <b>Galoisfeld</b>  ${\rm GF}(P^m)$  bezeichnet werden, wobei
	* $P ∈ N$ eine Primzahl angibt, und		* $P ∈ \mathcal{P}$  eine Primzahl angibt, und
	* $m ∈ N$ eine natürliche Zahl bezeichnet.		* $m ∈ \mathcal{N}$  eine natürliche Zahl bezeichnet.


	Ist der Exponent $m ≥ 2$, so spricht man von einem [[Kanalcodierung/Erweiterungsk%C3%B6rper\|Erweiterungskörper]] (englisch: <i>Extension Field</i>). In dieser Aufgabe beschränken wir uns auf Erweiterungskörper zur Basis $P = 2$.		Ist der Exponent  $m ≥ 2$, so spricht man von einem  [[Kanalcodierung/Erweiterungsk%C3%B6rper\|Erweiterungskörper]]  (englisch:   <i>Extension Field</i> ). In dieser Aufgabe beschränken wir uns auf Erweiterungskörper zur Basis  $P = 2$.

	Die beiden ersten Teilaufgaben beziehen sich auf die Klassifizierung von Polynomen. Ein Grad–$m$–Polynom nennt man ''reduzibel'' im Körper $K$, wenn es in der Form		Die beiden ersten Teilaufgaben beziehen sich auf die Klassifizierung von Polynomen. Ein Grad–$m$–Polynom nennt man ''reduzibel''  im Körper  $\mathcal{F}$, wenn es in der Form
	:$$p(x)= \prod_{i = 1}^m (x-x_i) = (x - x_1) \cdot (x - x_2) \cdot \hspace{0.05cm}\text{ ...}\hspace{0.05cm} \cdot (x - x_m) $$		:$$p(x)= \prod_{i = 1}^m (x-x_i) = (x - x_1) \cdot (x - x_2) \cdot \hspace{0.05cm}\text{ ...}\hspace{0.05cm} \cdot (x - x_m) $$

	darstellbar ist und für alle Nullstellen $x_i ∈ K$ gilt. Ist dies nicht möglich, so spricht man von einem ''irreduziblen Polynom''.		darstellbar ist und für alle Nullstellen $x_i ∈ \mathcal{F}$ gilt. Ist dies nicht möglich, so spricht man von einem ''irreduziblen Polynom''.






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	''Hinweise:''		''Hinweise:''
	* Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Kanalcodierung/Erweiterungsk%C3%B6rper\|Erweiterungskörper]].		* Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Kanalcodierung/Erweiterungsk%C3%B6rper\|Erweiterungskörper]].
	* Oben sehen Sie Abbildungen der italienischen Mathematiker [https://de.wikipedia.org/wiki/Gerolamo_Cardano Gerolamo Cardano] sowie [https://de.wikipedia.org/wiki/Rafael_Bombelli Rafael Bombelli], die erstmals imaginäre Zahlen zur Lösung algebraischer Gleichungen einführten, sowie von [https://de.wikipedia.org/wiki/%C3%89variste_Galois Évariste Galois], der schon in sehr jungen Jahren die Grundlagen der endlichen Körper geschaffen hat.		* Oben sehen Sie Abbildungen der italienischen Mathematiker  [https://de.wikipedia.org/wiki/Gerolamo_Cardano Gerolamo Cardano]  sowie  [https://de.wikipedia.org/wiki/Rafael_Bombelli Rafael Bombelli], die erstmals imaginäre Zahlen zur Lösung algebraischer Gleichungen einführten, sowie von  [https://de.wikipedia.org/wiki/%C3%89variste_Galois Évariste Galois], der schon in sehr jungen Jahren die Grundlagen der endlichen Körper geschaffen hat.


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	- $p_4(x) = x^2 + x - 2$.		- $p_4(x) = x^2 + x - 2$.

	{Welche Polynome sind irreduzibel in $\rm GF(2)$?		{Welche Polynome sind irreduzibel in  $\rm GF(2)$?
	\|type="[]"}		\|type="[]"}
	- $p_1(x) = x^2 + 1$,		- $p_1(x) = x^2 + 1$,
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	{Bei welchen Mengen handelt es sich im algebraischen Sinne um Körper?		{Bei welchen Mengen handelt es sich im algebraischen Sinne um Körper?
	\|type="[]"}		\|type="[]"}
	- die Menge $\mathcal{N}$ der natürlichen Zahlen,		- die Menge  $\mathcal{N}$  der natürlichen Zahlen,
	- die Menge $\mathcal{Z}$ der ganzen Zahlen,		- die Menge  $\mathcal{Z}$  der ganzen Zahlen,
	+ die Menge $\mathcal{Q}$ der rationalen Zahlen,		+ die Menge  $\mathcal{Q}$  der rationalen Zahlen,
	+ die Menge $\mathcal{R}$ der reellen Zahlen,		+ die Menge  $\mathcal{R}$  der reellen Zahlen,
	+ die Menge $\mathcal{C}$ der komplexen Zahlen.		+ die Menge  $\mathcal{C}$  der komplexen Zahlen.

	{Welche Körper sind Teilmenge (Unterraum) eines anderen Körpers?		{Welche Körper sind Teilmenge (Unterraum) eines anderen Körpers?
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	{Zwischen welchen Körpern bestehen gewisse Analogien?		{Zwischen welchen Körpern bestehen gewisse Analogien?
	\|type="[]"}		\|type="[]"}
	- Menge $\mathcal{Q}$ der rationalen Zahlen und ${\rm GF}(2^2)$,		- Menge  $\mathcal{Q}$  der rationalen Zahlen und  ${\rm GF}(2^2)$,
	+ Menge $\mathcal{C}$ der komplexen Zahlen und ${\rm GF}(2^2)$,		+ Menge  $\mathcal{C}$  der komplexen Zahlen und  ${\rm GF}(2^2)$,
	- Menge $\mathcal{C}$ der komplexen Zahlen und ${\rm GF}(2^3)$.		- Menge  $\mathcal{C}$  der komplexen Zahlen und  ${\rm GF}(2^3)$.
	</quiz>		</quiz>

Guenter am 8. Januar 2018 um 13:24 Uhr

2018-01-08T13:24:26Z

Guenter am 8. Januar 2018 um 13:10 Uhr

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	[[Datei:P_ID2511__KC_Z_2_4.png\|right\|frame\|Einige Pioniere der Mathematik]]		[[Datei:P_ID2511__KC_Z_2_4.png\|right\|frame\|Einige Pioniere der Mathematik]]
	In der Mathematik unterscheidet man verschiedene Zahlenmengen:		In der Mathematik unterscheidet man verschiedene Zahlenmengen:
	* die Menge der natürlichen Zahlen: $N = \{0, \, 1, \, 2, \, ...\}$,		* die Menge der natürlichen Zahlen: $\mathcal{N} = \{0, \, 1, \, 2, \hspace{0.05cm}\text{ ...} \}$,
	* die Menge der ganzen Zahlen: $Z = \{..., \, -1, \, 0, \, +1, \, ...\}$,		* die Menge der ganzen Zahlen: $\mathcal{Z} = \{\text{ ...}, \, -1, \, 0, \, +1, \hspace{0.05cm}\text{ ...} \}$,
	* die Menge der rationalen Zahlen: $Q = \{m/n\}$ mit $m ∈ Z, \ n ∈ Z \, \backslash \, \{0\}$,		* die Menge der rationalen Zahlen: $\mathcal{Q} = \{m/n\}$ mit $m ∈ \mathcal{Z}, \ n ∈ \mathcal{Z} \, \backslash \, \{0\}$,
	* die Menge $R$ der reellen Zahlen,		* die Menge $\mathcal{R}$ der reellen Zahlen,
	* die Menge der komplexen Zahlen: $C = \{a + {\rm j} \cdot b\}$ mit $a ∈ R, \ b ∈ R$ und der imaginären Einheit $\rm j$.		* die Menge der komplexen Zahlen: $\mathcal{C}= \{a + {\rm j} \cdot b\}$ mit $a ∈ \mathcal{R}, \ b ∈ \mathcal{R}$ und der imaginären Einheit $\rm j$.


	Eine solche Menge (englisch: <i>Set</i>) bezeichnet man dann (und nur dann) als einen ~~<font color="#cc0000"><span style="font-weight: bold;">~~Körper~~</span></font>~~ (englisch: <i>Field</i>) im algebraischen Sinne, wenn in ihr die vier Rechenoperationen Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division erlaubt und die Ergebnisse im gleichen Körper darstellbar sind. Einige diesbezügliche Definitionen finden Sie im [[Kanalcodierung/Einige_Grundlagen_der_Algebra#Gruppe.2C_Ring.2C_K.C3.B6rper_.E2.80.93_algebraische_Grundbegriffe\|Theorieteil]]. Soviel vorneweg: Nicht alle der oben aufgelisteten Mengen sind Körper.		Eine solche Menge (englisch: <i>Set</i>) bezeichnet man dann (und nur dann) als einen '''Körper''' (englisch: <i>Field</i>) im algebraischen Sinne, wenn in ihr die vier Rechenoperationen Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division erlaubt und die Ergebnisse im gleichen Körper darstellbar sind. Einige diesbezügliche Definitionen finden Sie im [[Kanalcodierung/Einige_Grundlagen_der_Algebra#Gruppe.2C_Ring.2C_K.C3.B6rper_.E2.80.93_algebraische_Grundbegriffe\|Theorieteil]]. Soviel vorneweg: Nicht alle der oben aufgelisteten Mengen sind Körper.

	Daneben gibt es auch noch [[Kanalcodierung/Einige_Grundlagen_der_Algebra#Definition_eines_Galoisfeldes\|endliche Körper]] (englisch: <i>Finite Fields</i>), die in unserem Lerntutorial als ~~<span style="color: rgb(204, 0, 0);">~~<b>Galoisfeld</b~~></span~~> ${\rm GF}(P^m)$ bezeichnet werden, wobei		Daneben gibt es auch noch [[Kanalcodierung/Einige_Grundlagen_der_Algebra#Definition_eines_Galoisfeldes\|endliche Körper]] (englisch: <i>Finite Fields</i>), die in unserem Lerntutorial auch als <b>Galoisfeld</b> ${\rm GF}(P^m)$ bezeichnet werden, wobei
	* $P ∈ N$ eine Primzahl angibt,		* $P ∈ N$ eine Primzahl angibt, und
	* ~~und~~ $m ∈ N$ eine natürliche Zahl bezeichnet.		* $m ∈ N$ eine natürliche Zahl bezeichnet.


	Ist der Exponent $m ≥ 2$, so spricht man von einem [[Kanalcodierung/Erweiterungsk%C3%B6rper\|Erweiterungskörper]] (englisch: <i>Extension Field</i>). In dieser Aufgabe beschränken wir uns auf Erweiterungskörper zur Basis $P = 2$.		Ist der Exponent $m ≥ 2$, so spricht man von einem [[Kanalcodierung/Erweiterungsk%C3%B6rper\|Erweiterungskörper]] (englisch: <i>Extension Field</i>). In dieser Aufgabe beschränken wir uns auf Erweiterungskörper zur Basis $P = 2$.

	Die beiden ersten Teilaufgaben beziehen sich auf die Klassifizierung von Polynomen. Ein Grad–$m$–Polynom nennt man reduzibel im Körper $K$, wenn es in der Form		Die beiden ersten Teilaufgaben beziehen sich auf die Klassifizierung von Polynomen. Ein Grad–$m$–Polynom nennt man ''reduzibel'' im Körper $K$, wenn es in der Form
	:$$p(x)= \prod_{i = 1}^m (x-x_i) = (x - x_1) \cdot (x - x_2) \cdot ... \cdot (x - x_m) $$		:$$p(x)= \prod_{i = 1}^m (x-x_i) = (x - x_1) \cdot (x - x_2) \cdot \hspace{0.05cm}\text{ ...}\hspace{0.05cm} \cdot (x - x_m) $$

			darstellbar ist und für alle Nullstellen $x_i ∈ K$ gilt. Ist dies nicht möglich, so spricht man von einem ''irreduziblen Polynom''.



	darstellbar ist und für alle Nullstellen $x_i ∈ K$ gilt. Ist dies nicht möglich, so spricht man von einem <font color="#cc0000"><span style="font-weight: bold;">irreduziblen Polynom</span></font>.

	''Hinweise:''		''Hinweise:''
	* Die Aufgabe ~~bezieht sich auf die Thematik des Kapitels~~ [[Kanalcodierung/Erweiterungsk%C3%B6rper\|Erweiterungskörper]].		* Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Kanalcodierung/Erweiterungsk%C3%B6rper\|Erweiterungskörper]].
	* Oben sehen Sie Abbildungen der italienischen Mathematiker [https://de.wikipedia.org/wiki/Gerolamo_Cardano Gerolamo Cardano] sowie [https://de.wikipedia.org/wiki/Rafael_Bombelli Rafael Bombelli], die erstmals imaginäre Zahlen zur Lösung algebraischer Gleichungen einführten, sowie von [https://de.wikipedia.org/wiki/%C3%89variste_Galois Évariste Galois], der schon in sehr jungen Jahren die Grundlagen der endlichen Körper geschaffen hat.		* Oben sehen Sie Abbildungen der italienischen Mathematiker [https://de.wikipedia.org/wiki/Gerolamo_Cardano Gerolamo Cardano] sowie [https://de.wikipedia.org/wiki/Rafael_Bombelli Rafael Bombelli], die erstmals imaginäre Zahlen zur Lösung algebraischer Gleichungen einführten, sowie von [https://de.wikipedia.org/wiki/%C3%89variste_Galois Évariste Galois], der schon in sehr jungen Jahren die Grundlagen der endlichen Körper geschaffen hat.

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	{Bei welchen Mengen handelt es sich im algebraischen Sinne um Körper?		{Bei welchen Mengen handelt es sich im algebraischen Sinne um Körper?
	\|type="[]"}		\|type="[]"}
	- die Menge $N$ der natürlichen Zahlen,		- die Menge $\mathcal{N}$ der natürlichen Zahlen,
	- die Menge $Z$ der ganzen Zahlen,		- die Menge $\mathcal{Z}$ der ganzen Zahlen,
	+ die Menge $Q$ der rationalen Zahlen,		+ die Menge $\mathcal{Q}$ der rationalen Zahlen,
	+ die Menge $R$ der reellen Zahlen,		+ die Menge $\mathcal{R}$ der reellen Zahlen,
	+ die Menge $C$ der komplexen Zahlen.		+ die Menge $\mathcal{C}$ der komplexen Zahlen.

	{Welche Körper sind Teilmenge (Unterraum) eines anderen Körpers?		{Welche Körper sind Teilmenge (Unterraum) eines anderen Körpers?
	\|type="[]"}		\|type="[]"}
	+ $Q ⊂ C$,		+ $\mathcal{Q} ⊂ \mathcal{C}$,
	- $C ⊂ R$,		- $\mathcal{C} ⊂ \mathcal{R}$,
	+ ${\rm GF}(2) ⊂ {\rm GF}(2^2)$,		+ ${\rm GF}(2) ⊂ {\rm GF}(2^2)$,
	- ${\rm GF}(2^3) ⊂ {\rm GF}(2^2)$.		- ${\rm GF}(2^3) ⊂ {\rm GF}(2^2)$.
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	{Zwischen welchen Körpern bestehen gewisse Analogien?		{Zwischen welchen Körpern bestehen gewisse Analogien?
	\|type="[]"}		\|type="[]"}
	- Menge $Q$ der rationalen Zahlen und ${\rm GF}(2^2)$,		- Menge $\mathcal{Q}$ der rationalen Zahlen und ${\rm GF}(2^2)$,
	+ Menge $C$ der komplexen Zahlen und ${\rm GF}(2^2)$,		+ Menge $\mathcal{C}$ der komplexen Zahlen und ${\rm GF}(2^2)$,
	- Menge $C$ der komplexen Zahlen und ${\rm GF}(2^3)$.		- Menge $\mathcal{C}$ der komplexen Zahlen und ${\rm GF}(2^3)$.
	</quiz>		</quiz>

Guenter: Guenter verschob die Seite Aufgaben:2.4Z Endliche und unendliche Körper nach Aufgaben:Aufgabe 2.4Z: Endliche und unendliche Körper

2018-01-03T09:22:12Z

Guenter verschob die Seite Aufgaben:2.4Z Endliche und unendliche Körper nach Aufgaben:Aufgabe 2.4Z: Endliche und unendliche Körper

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	'''(1)'''  Im Angabenteil steht sinngemäß:		'''(1)'''  Im Angabenteil steht sinngemäß:

	Ein Polynom vom Grad $m$ nennt man ''reduzibel'' im Körper $\mathcal{F}$, wenn es in der Form		Ein Polynom vom Grad  $m$  nennt man  "reduzibel"  im Körper  $\mathcal{F}$,  wenn es in der Form
	:$$p(x)= \prod_{i = 1}^m (x-x_i) = (x - x_1) \cdot (x - x_2) \cdot \hspace{0.05cm}\text{ ...}\hspace{0.05cm} \cdot (x - x_m) $$		:$$p(x)= \prod_{i = 1}^m (x-x_i) = (x - x_1) \cdot (x - x_2) \cdot \hspace{0.05cm}\text{ ...}\hspace{0.05cm} \cdot (x - x_m) $$

	dargestellt werden kann und für alle Nullstellen $x_i ∈ \mathcal{F}$ gilt. Ist dies nicht möglich, so spricht man von einem ''irreduziblen'' Polynom.		dargestellt werden kann und für alle Nullstellen  $x_i ∈ \mathcal{F}$ gilt.  Ist dies nicht möglich,  so spricht man von einem "irreduziblen"  Polynom.

	Im reellen Zahlenraum gilt für die jeweils  $m = 2$  Nullstellen  $x_1$  und  $x_2$:		Im reellen Zahlenraum gilt für die jeweils  $m = 2$  Nullstellen  $x_1$  und  $x_2$:
Zeile 89:		Zeile 89:
	:$$p_4(x) \text{:}\hspace{0.3cm}x_1 \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} +1\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}x_2 = -2\hspace{0.05cm}.$$		:$$p_4(x) \text{:}\hspace{0.3cm}x_1 \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} +1\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}x_2 = -2\hspace{0.05cm}.$$

	Richtig sind somit die <u>Lösungsvorschläge 1 und 3</u>:		*Richtig sind somit die  <u>Lösungsvorschläge 1 und 3</u>:
	*Die beiden Nullstellen von $p_2(x)$ und $p_4(x)$ sind jeweils reell. Somit handelt es sich hierbei mit Sicherheit um reduzible Polynome.		#Die beiden Nullstellen von  $p_2(x)$  und  $p_4(x)$  sind jeweils reell.  Somit handelt es sich hierbei mit Sicherheit um reduzible Polynome.
	*Die beiden anderen Polynome weisen dagegen keine reellen Nullstellen auf (vielmehr imaginäre bzw. komplexe) und sind nach obiger Definition irreduzibel im reellen Körper.		#Die beiden anderen Polynome weisen dagegen keine reellen Nullstellen auf  $($vielmehr imaginäre bzw. komplexe$)$ und sind nach obiger Definition irreduzibel im reellen Körper.




	'''(2)'''  Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 3</u>:		'''(2)'''  Richtig ist der  <u>Lösungsvorschlag 3</u>:
	$p_3 = x^2 + x + 1$  ist das einzige irreduzible Polynom im Galoisfeld  $\rm GF(2^2)$. Im [[Kanalcodierung/Erweiterungsk%C3%B6rper#GF.2822.29_.E2.80.93_Beispiel_eines_Erweiterungsk.C3.B6rpers\|Theorieteil]] wurden hierfür die Additions– und die Multiplikationstabelle angegeben.		$p_3 = x^2 + x + 1$  ist das einzige irreduzible Polynom im Galoisfeld  $\rm GF(2^2)$.  Im  [[Kanalcodierung/Erweiterungsk%C3%B6rper#GF.2822.29_.E2.80.93_Beispiel_eines_Erweiterungsk.C3.B6rpers\|"Theorieteil"]]  wurden hierfür die Additions– und die Multiplikationstabelle angegeben.

	Für die anderen Polynome gilt:		Für die anderen Polynome gilt:
	* Das Polynom  $p_1(x)$  ist in  ${\rm GF}(2) = \{0, \, 1\}$  reduzibel, da dieses Polynom faktorisiert werden kann:		* Das Polynom  $p_1(x)$  ist in  ${\rm GF}(2) = \{0, \, 1\}$  reduzibel,  da dieses Polynom faktorisiert werden kann:
	:$$p_1(x) = x^2 + 1 = (x+1)^2\hspace{0.05cm}.$$		:$$p_1(x) = x^2 + 1 = (x+1)^2\hspace{0.05cm}.$$
	* Da in  $\rm GF(2)$  kein Unterschied zwischen Summe und Differenz besteht, ist auch das Polynom  $p_2(x) = x^2 - 1$  reduzibel.		* Da in  $\rm GF(2)$  kein Unterschied zwischen Summe und Differenz besteht,  ist auch das Polynom  $p_2(x) = x^2 - 1$  reduzibel.
	* Das Polynom  $p_4(x) = x^2 + x - 2$ ist  schon allein deshalb für  $\rm GF(2)$  ungeeignet, da nicht alle Polynomkoeffizienten $0$ oder $1$ sind.
	*Die &~~bdquo~~;$2$&~~rdquo~~; wäre nur im Galoisfeld $\rm GF(3)$ möglich.		* Das Polynom  $p_4(x) = x^2 + x - 2$  ist  schon allein deshalb für  $\rm GF(2)$  ungeeignet,  da nicht alle Polynomkoeffizienten  $0$  oder  $1$  sind.  Die  "$2$"  wäre nur im Galoisfeld  $\rm GF(3)$  möglich.

← Nächstältere Version		Version vom 8. Januar 2018, 15:24 Uhr
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	===Musterlösung===		===Musterlösung===
	{{ML-Kopf}}		{{ML-Kopf}}
	'''(1)'''  Im Angabenteil steht sinngemäß: Ein Polynom vom Grad $m$ nennt man reduzibel im Körper $K$, wenn es in der Form		'''(1)'''  Im Angabenteil steht sinngemäß: Ein Polynom vom Grad $m$ nennt man ''reduzibel'' im Körper $K$, wenn es in der Form
	:$$p(x)= \prod_{i = 1}^m (x-x_i) = (x - x_1) \cdot (x - x_2) \cdot ... \cdot (x - x_m) $$		:$$p(x)= \prod_{i = 1}^m (x-x_i) = (x - x_1) \cdot (x - x_2) \cdot \hspace{0.05cm}\text{ ...}\hspace{0.05cm} \cdot (x - x_m) $$

	dargestellt werden kann und für alle Nullstellen $x_i ∈ K$ gilt. Ist dies nicht möglich, so spricht man von einem irreduziblen Polynom.		dargestellt werden kann und für alle Nullstellen $x_i ∈ K$ gilt. Ist dies nicht möglich, so spricht man von einem ''irreduziblen'' Polynom.

	Im reellen Zahlenraum gilt für die jeweils $m = 2$ Nullstellen $x_1$ und $x_2$:		Im reellen Zahlenraum gilt für die jeweils $m = 2$ Nullstellen $x_1$ und $x_2$:
	:$$p_1(x) :\hspace{0.3cm}x_1 \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} +{\rm j}\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}x_2 = -{\rm j}\hspace{0.05cm},$$		:$$p_1(x) \text{:}\hspace{0.3cm}x_1 \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} +{\rm j}\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}x_2 = -{\rm j}\hspace{0.05cm},$$
	:$$p_2(x) :\hspace{0.3cm}x_1 \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} +1\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}x_2 = -1\hspace{0.05cm},$$		:$$p_2(x) \text{:}\hspace{0.3cm}x_1 \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} +1\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}x_2 = -1\hspace{0.05cm},$$
	:$$p_3(x) :\hspace{0.3cm}x_1 \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} -0.5 + {\rm j} \cdot \sqrt{3}/2 \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}x_2 = -0.5 - {\rm j} \cdot \sqrt{3}/2\hspace{0.05cm},$$		:$$p_3(x) \text{:}\hspace{0.3cm}x_1 \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} -0.5 + {\rm j} \cdot \sqrt{3}/2 \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}x_2 = -0.5 - {\rm j} \cdot \sqrt{3}/2\hspace{0.05cm},$$
	:$$p_4(x) :\hspace{0.3cm}x_1 \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} +1\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}x_2 = -2\hspace{0.05cm}.$$		:$$p_4(x) \text{:}\hspace{0.3cm}x_1 \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} +1\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}x_2 = -2\hspace{0.05cm}.$$

	Die beiden Nullstellen von $p_2(x)$ und $p_4(x)$ sind jeweils reell. Somit handelt es sich hierbei mit Sicherheit um reduzible Polynome. Die beiden anderen Polynome weisen dagegen keine reellen Nullstellen auf (vielmehr imaginäre bzw. komplexe) und sind nach obiger Definition irreduzibel im reellen Körper ~~ ⇒  <u>Lösungsvorschlag 1 und 3</u>~~.		Richtig sind somit die <u>Lösungsvorschläge 1 und 3</u>:
			*Die beiden Nullstellen von $p_2(x)$ und $p_4(x)$ sind jeweils reell. Somit handelt es sich hierbei mit Sicherheit um reduzible Polynome.
			*Die beiden anderen Polynome weisen dagegen keine reellen Nullstellen auf (vielmehr imaginäre bzw. komplexe) und sind nach obiger Definition irreduzibel im reellen Körper.


	'''(2)'''  Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 3</u>: $p_3 = x^2 + x + 1$ ist das einzige irreduzible Polynom im Galoisfeld $\rm GF(2^2)$. Im [[Kanalcodierung/Erweiterungsk%C3%B6rper#GF.2822.29_.E2.80.93_Beispiel_eines_Erweiterungsk.C3.B6rpers\|Theorieteil]] wurden hierfür die Additions– und die Multiplikationstabelle angegeben. Für die anderen Polynome gilt:		'''(2)'''  Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 3</u>:
			*$p_3 = x^2 + x + 1$ ist das einzige irreduzible Polynom im Galoisfeld $\rm GF(2^2)$. Im [[Kanalcodierung/Erweiterungsk%C3%B6rper#GF.2822.29_.E2.80.93_Beispiel_eines_Erweiterungsk.C3.B6rpers\|Theorieteil]] wurden hierfür die Additions– und die Multiplikationstabelle angegeben. Für die anderen Polynome gilt:
	* Das Polynom $p_1(x)$ ist in ${\rm GF}(2) = \{0, \, 1\}$ reduzibel, da dieses Polynom faktorisiert werden kann:		* Das Polynom $p_1(x)$ ist in ${\rm GF}(2) = \{0, \, 1\}$ reduzibel, da dieses Polynom faktorisiert werden kann:
	:$$p_1(x) = x^2 + 1 = (x+1)^2\hspace{0.05cm}.$$		:$$p_1(x) = x^2 + 1 = (x+1)^2\hspace{0.05cm}.$$
Zeile 95:		Zeile 98:

	'''(3)'''  Richtig sind die <u>letzten drei Lösungsvorschläge</u>:		'''(3)'''  Richtig sind die <u>letzten drei Lösungsvorschläge</u>:
	* Die Menge $N$ ist kein Körper, da schon die Subtraktion nicht für alle Elemente zulässig ist, z.B. ist $2 - 3 = -1 ∉ N$.		* Die Menge $\mathcal{N}$ ist kein Körper, da schon die Subtraktion nicht für alle Elemente zulässig ist, z.B. ist $2 - 3 = -1 ∉ \mathcal{N}$.
	* Auch die Menge $Z$ der ganzen Zahlen ist kein Körper, da beispielsweise die Gleichung $2 \cdot z = 1$ für kein $z ∈ Z$ zu erfüllen ist.		* Auch die Menge $\mathcal{Z}$ der ganzen Zahlen ist kein Körper, da beispielsweise die Gleichung $2 \cdot z = 1$ für kein $z ∈ \mathcal{N}$ zu erfüllen ist.


	'''(4)'''  Richtig sind die <u>Antworten 1 und 3</u>. Es gilt $Q ⊂ R$ (rationale Zahlen sind eine Untermenge der reellen Zahlen) und $R ⊂ C$ (reelle Zahlen sind eine Untermenge der komplexen Zahlen) und damit auch $Q ⊂ C$. Bei den endlichen Körpern bedeutet $\rm GF(2^m) ⊂ GF(2^M)$, dass $m < M$ gelten muss.		'''(4)'''  Richtig sind die <u>Antworten 1 und 3</u>:
			* Es gilt $\mathcal{Q} ⊂ \mathcal{R}$ (rationale Zahlen sind eine Untermenge der reellen Zahlen) und $\mathcal{R} ⊂ \mathcal{C}$ (reelle Zahlen sind eine Untermenge der komplexen Zahlen) und damit auch $\mathcal{Q} ⊂ \mathcal{C}$.
			*Bei den endlichen Körpern bedeutet $\rm GF(2^m) ⊂ GF(2^M)$, dass $m < M$ gelten muss.


	'''(5)'''  Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 2</u>:		'''(5)'''  Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 2</u>:
	* Die Menge der komplexen Zahlen ist eine Erweiterung der reellen Zahlen $(R)$ in eine zweite Dimension. Hierfür kann geschrieben werden:		* Die Menge $\mathcal{C}$ der komplexen Zahlen ist eine Erweiterung der reellen Zahlen $(\mathcal{R})$ in eine zweite Dimension. Hierfür kann geschrieben werden:
	:$$C = \{k_0 + {\rm j} \cdot k_1\hspace{0.05cm}\| \hspace{0.05cm}k_0 \in {R}, k_1 \in R\}\hspace{0.05cm}.$$		:$$\mathcal{C} = \{k_0 + {\rm j} \cdot k_1\hspace{0.05cm}\| \hspace{0.05cm}k_0 \in {\mathcal{R}}, k_1 \in \mathcal{R}\}\hspace{0.05cm}.$$
	* $\rm GF(2^2)$ ist eine Erweiterung des endlichen Körpers $\rm GF(2) = \{0, \, 1\}$ in eine zweite Dimension:		* $\rm GF(2^2)$ ist eine Erweiterung des endlichen Körpers $\rm GF(2) = \{0, \, 1\}$ in eine zweite Dimension:
	:$${\rm GF}(2^2) = \{k_0 + \alpha \cdot k_1\hspace{0.05cm}\| \hspace{0.05cm}k_0 \in {\rm GF}(2), k_1 \in {\rm GF}(2)\}\hspace{0.05cm}.$$		:$${\rm GF}(2^2) = \{k_0 + \alpha \cdot k_1\hspace{0.05cm}\| \hspace{0.05cm}k_0 \in {\rm GF}(2), k_1 \in {\rm GF}(2)\}\hspace{0.05cm}.$$

	Die imaginäre Einheit $j ∉ R$ ergibt sich als Lösung der Gleichung ${\rm j}^2 + 1 = 0$, während das neue Element von $\rm GF(2^2)$ mit $\alpha ∉ \rm GF(2)$ bezeichnet wird und aus der Gleichung $\alpha^2 + \alpha + 1 = 0$ folgt.		*Die imaginäre Einheit $j ∉ \mathcal{C}$ ergibt sich als Lösung der Gleichung ${\rm j}^2 + 1 = 0$, während das neue Element von $\rm GF(2^2)$ mit $\alpha ∉ \rm GF(2)$ bezeichnet wird und aus der Gleichung $\alpha^2 + \alpha + 1 = 0$ folgt.
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