Aufgaben:Aufgabe 2.4Z: Endliche und unendliche Körper - Versionsgeschichte

Guenter am 3. Oktober 2022 um 15:59 Uhr

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Guenter am 3. Oktober 2022 um 15:46 Uhr

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Guenter am 3. Oktober 2022 um 14:51 Uhr

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Guenter am 20. Mai 2019 um 14:01 Uhr

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Guenter am 8. Januar 2018 um 13:10 Uhr

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Guenter: Guenter verschob die Seite Aufgaben:2.4Z Endliche und unendliche Körper nach Aufgaben:Aufgabe 2.4Z: Endliche und unendliche Körper

2018-01-03T09:22:12Z

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Hussain am 15. Dezember 2017 um 19:52 Uhr

2017-12-15T19:52:45Z

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 In der Mathematik unterscheidet man verschiedene Zahlenmengen:
 * die Menge der natürlichen Zahlen:&nbsp; $\mathcal{N} = \{0, \, 1, \, 2, \hspace{0.05cm}\text{ ...} \}$,
 * die Menge der ganzen Zahlen:&nbsp; $\mathcal{Z} = \{\text{ ...}, \, -1, \, 0, \, +1, \hspace{0.05cm}\text{ ...}  \}$,
 * die Menge der rationalen Zahlen:&nbsp; $\mathcal{Q} = \{m/n\}$ mit $m &#8712; \mathcal{Z}, \ n &#8712; \mathcal{Z} \, \backslash \, \{0\}$,
 * die Menge&nbsp; $\mathcal{R}$&nbsp; der reellen Zahlen,
 * die Menge der komplexen Zahlen:&nbsp; $\mathcal{C}= \{a + {\rm j} \cdot b\}$&nbsp; mit&nbsp; $a &#8712; \mathcal{R}, \ b &#8712; \mathcal{R}$&nbsp; und der imaginären Einheit&nbsp; $\rm j$.
-Eine solche Menge (englisch: &nbsp; <i>Set</i>&nbsp;) bezeichnet man dann (und nur dann) als einen&nbsp; '''Körper'''&nbsp; (englisch: &nbsp; <i>Field</i>&nbsp;) im algebraischen Sinne, wenn in ihr die vier Rechenoperationen Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division erlaubt und die Ergebnisse im gleichen Körper darstellbar sind. Einige diesbezügliche Definitionen finden Sie im&nbsp; [[Kanalcodierung/Einige_Grundlagen_der_Algebra#Gruppe.2C_Ring.2C_K.C3.B6rper_.E2.80.93_algebraische_Grundbegriffe|Theorieteil]]. Soviel vorneweg: &nbsp;Nicht alle der oben aufgelisteten Mengen sind Körper.
+Eine solche Menge&nbsp; (englisch: &nbsp; "Set"&nbsp;) bezeichnet man dann&nbsp; (und nur dann)&nbsp; als einen&nbsp; '''Körper'''&nbsp; (englisch: &nbsp; "Field"&nbsp;) im algebraischen Sinne,&nbsp; wenn in ihr die vier Rechenoperationen Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division erlaubt und die Ergebnisse im gleichen Körper darstellbar sind.&nbsp; Einige diesbezügliche Definitionen finden Sie im&nbsp; [[Kanalcodierung/Einige_Grundlagen_der_Algebra#Gruppe.2C_Ring.2C_K.C3.B6rper_.E2.80.93_algebraische_Grundbegriffe|"Theorieteil"]].&nbsp; Soviel vorneweg: &nbsp;Nicht alle der oben aufgelisteten Mengen sind Körper.
 * $m &#8712; \mathcal{N}$&nbsp; eine natürliche Zahl bezeichnet.
-Ist der Exponent&nbsp; $m &#8805; 2$, so spricht man von einem&nbsp; [[Kanalcodierung/Erweiterungsk%C3%B6rper|Erweiterungskörper]]&nbsp; (englisch: &nbsp; <i>Extension Field</i>&nbsp;). In dieser Aufgabe beschränken wir uns auf Erweiterungskörper zur Basis&nbsp; $P = 2$.
+Ist der Exponent&nbsp; $m &#8805; 2$, so spricht man von einem&nbsp; [[Kanalcodierung/Erweiterungsk%C3%B6rper|"Erweiterungskörper"]]&nbsp; (englisch: &nbsp; "Extension Field"&nbsp;).&nbsp; In dieser Aufgabe beschränken wir uns auf Erweiterungskörper zur Basis&nbsp; $P = 2$.
-Die beiden ersten Teilaufgaben beziehen sich auf die Klassifizierung von Polynomen.
+Die beiden ersten Teilaufgaben beziehen sich auf die Klassifizierung von Polynomen:
 *Ein Grad&ndash;$m$&ndash;Polynom nennt man&nbsp; "reduzibel"&nbsp; im Körper&nbsp; $\mathcal{F}$,&nbsp; wenn es in der Form
 :$$p(x)= \prod_{i = 1}^m (x-x_i) = (x - x_1)  \cdot  (x - x_2) \cdot  \hspace{0.05cm}\text{ ...}\hspace{0.05cm} \cdot (x - x_m) $$

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-'''(3)'''&nbsp; Richtig sind die <u>letzten drei Lösungsvorschläge</u>:
+'''(3)'''&nbsp; Richtig sind die&nbsp; <u>letzten drei Lösungsvorschläge</u>:
-* Die Menge&nbsp; $\mathcal{N}$&nbsp; ist kein Körper, da schon die Subtraktion nicht für alle Elemente zulässig ist, zum Beispiel ist&nbsp; $2 - 3 = -1 &#8713; \mathcal{N}$.
+* Die Menge&nbsp; $\mathcal{N}$&nbsp; ist kein Körper,&nbsp; da schon die Subtraktion nicht für alle Elemente zulässig ist,&nbsp; zum Beispiel ist&nbsp; $2 - 3 = -1 &#8713; \mathcal{N}$.
 '''(5)'''&nbsp; Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 2</u>:
 * Die Menge&nbsp; $\mathcal{C}$&nbsp; der komplexen Zahlen ist eine Erweiterung der reellen Zahlen&nbsp; $(\mathcal{R})$&nbsp; in eine zweite Dimension. Hierfür kann geschrieben werden:
 :$$\mathcal{C} = \{k_0 + {\rm j} \cdot k_1\hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm}k_0 \in {\mathcal{R}}, k_1 \in \mathcal{R}\}\hspace{0.05cm}.$$
 * $\rm GF(2^2)$&nbsp; ist eine Erweiterung des endlichen Körpers&nbsp; $\rm GF(2) = \{0, \, 1\}$&nbsp; in eine zweite Dimension:
 :$${\rm GF}(2^2) = \{k_0 + \alpha \cdot k_1\hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm}k_0 \in {\rm GF}(2), k_1 \in {\rm GF}(2)\}\hspace{0.05cm}.$$
-*Die imaginäre Einheit&nbsp; ${\rm j} &#8713; \mathcal{C}$&nbsp; ergibt sich als Lösung der Gleichung&nbsp; ${\rm j}^2 + 1 = 0$, während das neue Element von&nbsp; $\rm GF(2^2)$&nbsp; mit&nbsp; $\alpha &#8713; \rm GF(2)$&nbsp; bezeichnet wird und aus der Gleichung&nbsp; $\alpha^2 + \alpha + 1 = 0$&nbsp; folgt.
+*Die imaginäre Einheit&nbsp; ${\rm j} &#8713; \mathcal{C}$&nbsp; ergibt sich als Lösung der Gleichung&nbsp; ${\rm j}^2 + 1 = 0$,&nbsp; während das neue Element von&nbsp; $\rm GF(2^2)$&nbsp; mit&nbsp; $\alpha &#8713; \rm GF(2)$&nbsp; bezeichnet wird und aus der Gleichung&nbsp; $\alpha^2 + \alpha + 1 = 0$&nbsp; folgt.
 {{ML-Fuß}}

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 '''(1)'''&nbsp; Im Angabenteil steht sinngemäß:
-Ein Polynom vom Grad $m$ nennt man ''reduzibel'' im Körper $\mathcal{F}$, wenn es in der Form
+Ein Polynom vom Grad&nbsp; $m$&nbsp; nennt man&nbsp; "reduzibel"&nbsp; im Körper&nbsp; $\mathcal{F}$,&nbsp; wenn es in der Form
 :$$p(x)= \prod_{i = 1}^m (x-x_i) = (x - x_1)  \cdot  (x - x_2) \cdot \hspace{0.05cm}\text{ ...}\hspace{0.05cm}  \cdot (x - x_m) $$
-dargestellt werden kann und für alle Nullstellen $x_i &#8712; \mathcal{F}$ gilt. Ist dies nicht möglich, so spricht man von einem ''irreduziblen'' Polynom.
+dargestellt werden kann und für alle Nullstellen&nbsp; $x_i &#8712; \mathcal{F}$ gilt.&nbsp; Ist dies nicht möglich,&nbsp; so spricht man von einem "irreduziblen"&nbsp; Polynom.
 Im reellen Zahlenraum gilt für die jeweils&nbsp; $m = 2$&nbsp; Nullstellen&nbsp; $x_1$&nbsp; und&nbsp; $x_2$:
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 :$$p_4(x) \text{:}\hspace{0.3cm}x_1 \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} +1\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}x_2 = -2\hspace{0.05cm}.$$
-Richtig sind somit die <u>Lösungsvorschläge 1 und 3</u>:
+*Richtig sind somit die&nbsp; <u>Lösungsvorschläge 1 und 3</u>:
-*Die beiden Nullstellen von $p_2(x)$ und $p_4(x)$ sind jeweils reell. Somit handelt es sich hierbei mit Sicherheit um reduzible Polynome.
+#Die beiden Nullstellen von&nbsp; $p_2(x)$&nbsp; und&nbsp; $p_4(x)$&nbsp; sind jeweils reell.&nbsp; Somit handelt es sich hierbei mit Sicherheit um reduzible Polynome.
-*Die beiden anderen Polynome weisen dagegen keine reellen Nullstellen auf (vielmehr imaginäre bzw. komplexe) und sind nach obiger Definition irreduzibel im reellen Körper.
+#Die beiden anderen Polynome weisen dagegen keine reellen Nullstellen auf&nbsp; $($vielmehr imaginäre bzw. komplexe$)$ und sind nach obiger Definition irreduzibel im reellen Körper.
-'''(2)'''&nbsp; Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 3</u>:
+'''(2)'''&nbsp; Richtig ist der&nbsp; <u>Lösungsvorschlag 3</u>:
-$p_3 = x^2 + x + 1$&nbsp; ist das einzige irreduzible Polynom im Galoisfeld &nbsp;$\rm GF(2^2)$. Im [[Kanalcodierung/Erweiterungsk%C3%B6rper#GF.2822.29_.E2.80.93_Beispiel_eines_Erweiterungsk.C3.B6rpers|Theorieteil]] wurden hierfür die Additions&ndash; und die Multiplikationstabelle angegeben.
+$p_3 = x^2 + x + 1$&nbsp; ist das einzige irreduzible Polynom im Galoisfeld &nbsp;$\rm GF(2^2)$.&nbsp; Im&nbsp; [[Kanalcodierung/Erweiterungsk%C3%B6rper#GF.2822.29_.E2.80.93_Beispiel_eines_Erweiterungsk.C3.B6rpers|"Theorieteil"]]&nbsp; wurden hierfür die Additions&ndash; und die Multiplikationstabelle angegeben.
 Für die anderen Polynome gilt:
-* Das Polynom&nbsp; $p_1(x)$&nbsp; ist in&nbsp; ${\rm GF}(2) = \{0, \, 1\}$&nbsp; reduzibel, da dieses Polynom faktorisiert werden kann:
+* Das Polynom&nbsp; $p_1(x)$&nbsp; ist in&nbsp; ${\rm GF}(2) = \{0, \, 1\}$&nbsp; reduzibel,&nbsp; da dieses Polynom faktorisiert werden kann:
 :$$p_1(x) = x^2 + 1 = (x+1)^2\hspace{0.05cm}.$$
-* Da in&nbsp; $\rm GF(2)$&nbsp; kein Unterschied zwischen Summe und Differenz besteht, ist auch das Polynom&nbsp; $p_2(x) = x^2 - 1$&nbsp; reduzibel.
+* Da in&nbsp; $\rm GF(2)$&nbsp; kein Unterschied zwischen Summe und Differenz besteht,&nbsp; ist auch das Polynom&nbsp; $p_2(x) = x^2 - 1$&nbsp; reduzibel.
 * Das Polynom&nbsp; $p_4(x) = x^2 + x - 2$ ist&nbsp; schon allein deshalb für&nbsp; $\rm GF(2)$&nbsp; ungeeignet, da nicht alle Polynomkoeffizienten $0$ oder $1$ sind.
-*Die &bdquo;$2$&rdquo; wäre nur im Galoisfeld $\rm GF(3)$ möglich.
+* Das Polynom&nbsp; $p_4(x) = x^2 + x - 2$&nbsp; ist&nbsp; schon allein deshalb für&nbsp; $\rm GF(2)$&nbsp; ungeeignet,&nbsp; da nicht alle Polynomkoeffizienten&nbsp; $0$&nbsp; oder&nbsp; $1$&nbsp; sind.&nbsp; Die&nbsp; "$2$"&nbsp; wäre nur im Galoisfeld&nbsp; $\rm GF(3)$&nbsp; möglich.

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 Ist der Exponent&nbsp; $m &#8805; 2$, so spricht man von einem&nbsp; [[Kanalcodierung/Erweiterungsk%C3%B6rper|Erweiterungskörper]]&nbsp; (englisch: &nbsp; <i>Extension Field</i>&nbsp;). In dieser Aufgabe beschränken wir uns auf Erweiterungskörper zur Basis&nbsp; $P = 2$.
-Die beiden ersten Teilaufgaben beziehen sich auf die Klassifizierung von Polynomen. Ein Grad&ndash;$m$&ndash;Polynom nennt man ''reduzibel''&nbsp; im Körper&nbsp; $\mathcal{F}$, wenn es in der Form
+Die beiden ersten Teilaufgaben beziehen sich auf die Klassifizierung von Polynomen.
 :$$p(x)= \prod_{i = 1}^m (x-x_i) = (x - x_1)  \cdot  (x - x_2) \cdot  \hspace{0.05cm}\text{ ...}\hspace{0.05cm} \cdot (x - x_m) $$
-darstellbar ist und für alle Nullstellen $x_i &#8712; \mathcal{F}$ gilt. Ist dies nicht möglich, so spricht man von einem ''irreduziblen Polynom''.
+:darstellbar ist und für alle Nullstellen&nbsp; $x_i &#8712; \mathcal{F}$&nbsp; gilt.
+* Oben sehen Sie Abbildungen der italienischen Mathematiker&nbsp; [https://de.wikipedia.org/wiki/Gerolamo_Cardano Gerolamo Cardano]&nbsp; sowie&nbsp; [https://de.wikipedia.org/wiki/Rafael_Bombelli Rafael Bombelli],&nbsp; die erstmals imaginäre Zahlen zur Lösung algebraischer Gleichungen einführten,&nbsp; sowie von&nbsp; [https://de.wikipedia.org/wiki/%C3%89variste_Galois Évariste Galois],&nbsp; der schon in sehr jungen Jahren die Grundlagen der endlichen Körper geschaffen hat.
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 + die Menge&nbsp; $\mathcal{C}$&nbsp; der komplexen Zahlen.
-{Welche Körper sind Teilmenge (Unterraum) eines anderen Körpers?
+{Welche Körper sind Teilmenge&nbsp; $($Unterraum$)$&nbsp; eines anderen Körpers?
 |type="[]"}
 + $\mathcal{Q} &#8834; \mathcal{C}$,

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 ===Fragebogen===
 <quiz display=simple>
-{Welche Polynome sind irreduzibel im reellen Körper?
+{Welche Polynome sind irreduzibel im reellen Körper&nbsp; $\mathcal{R}$?
 |type="[]"}
 + $p_1(x) = x^2 + 1$.
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 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; Im Angabenteil steht sinngemäß: Ein Polynom vom Grad $m$ nennt man ''reduzibel'' im Körper $K$, wenn es in der Form
+'''(1)'''&nbsp; Im Angabenteil steht sinngemäß:
 :$$p(x)= \prod_{i = 1}^m (x-x_i) = (x - x_1)  \cdot  (x - x_2) \cdot \hspace{0.05cm}\text{ ...}\hspace{0.05cm}  \cdot (x - x_m) $$
-dargestellt werden kann und für alle Nullstellen $x_i &#8712; K$ gilt. Ist dies nicht möglich, so spricht man von einem ''irreduziblen'' Polynom.
+dargestellt werden kann und für alle Nullstellen $x_i &#8712; \mathcal{F}$ gilt. Ist dies nicht möglich, so spricht man von einem ''irreduziblen'' Polynom.
-Im reellen Zahlenraum gilt für die jeweils $m = 2$ Nullstellen $x_1$ und $x_2$:
+Im reellen Zahlenraum gilt für die jeweils&nbsp; $m = 2$&nbsp; Nullstellen&nbsp; $x_1$&nbsp; und&nbsp; $x_2$:
 :$$p_1(x) \text{:}\hspace{0.3cm}x_1 \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} +{\rm j}\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}x_2 = -{\rm j}\hspace{0.05cm},$$
 :$$p_2(x) \text{:}\hspace{0.3cm}x_1 \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} +1\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}x_2 = -1\hspace{0.05cm},$$
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 *Die beiden Nullstellen von $p_2(x)$ und $p_4(x)$ sind jeweils reell. Somit handelt es sich hierbei mit Sicherheit um reduzible Polynome.
 *Die beiden anderen Polynome weisen dagegen keine reellen Nullstellen auf (vielmehr imaginäre bzw. komplexe) und sind nach obiger Definition irreduzibel im reellen Körper.
 '''(2)'''&nbsp; Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 3</u>:
-*$p_3 = x^2 + x + 1$ ist das einzige irreduzible Polynom im Galoisfeld $\rm GF(2^2)$. Im [[Kanalcodierung/Erweiterungsk%C3%B6rper#GF.2822.29_.E2.80.93_Beispiel_eines_Erweiterungsk.C3.B6rpers|Theorieteil]] wurden hierfür die Additions&ndash; und die Multiplikationstabelle angegeben. Für die anderen Polynome gilt:
+$p_3 = x^2 + x + 1$&nbsp; ist das einzige irreduzible Polynom im Galoisfeld &nbsp;$\rm GF(2^2)$. Im [[Kanalcodierung/Erweiterungsk%C3%B6rper#GF.2822.29_.E2.80.93_Beispiel_eines_Erweiterungsk.C3.B6rpers|Theorieteil]] wurden hierfür die Additions&ndash; und die Multiplikationstabelle angegeben.
 * Das Polynom $p_1(x)$ ist in ${\rm GF}(2) = \{0, \, 1\}$ reduzibel, da dieses Polynom faktorisiert werden kann:
 :$$p_1(x) = x^2 + 1 = (x+1)^2\hspace{0.05cm}.$$
-* Da in $\rm GF(2)$ kein Unterschied zwischen Summe und Differenz besteht, ist auch das Polynom $p_2(x) = x^2 - 1$ reduzibel.
+* Da in&nbsp; $\rm GF(2)$&nbsp; kein Unterschied zwischen Summe und Differenz besteht, ist auch das Polynom&nbsp; $p_2(x) = x^2 - 1$&nbsp; reduzibel.
-* Das Polynom $p_4(x) = x^2 + x - 2$ ist schon allein deshalb für $\rm GF(2)$ ungeeignet, da nicht alle Polynomkoeffizienten $0$ oder $1$ sind. Die &bdquo;$2$&rdquo; wäre nur im Galoisfeld $\rm GF(3)$ möglich.
+* Das Polynom&nbsp; $p_4(x) = x^2 + x - 2$ ist&nbsp; schon allein deshalb für&nbsp; $\rm GF(2)$&nbsp; ungeeignet, da nicht alle Polynomkoeffizienten $0$ oder $1$ sind.
 '''(3)'''&nbsp; Richtig sind die <u>letzten drei Lösungsvorschläge</u>:
-* Die Menge $\mathcal{N}$ ist kein Körper, da schon die Subtraktion nicht für alle Elemente zulässig ist, z.B. ist $2 - 3 = -1 &#8713; \mathcal{N}$.
+* Die Menge&nbsp; $\mathcal{N}$&nbsp; ist kein Körper, da schon die Subtraktion nicht für alle Elemente zulässig ist, zum Beispiel ist&nbsp; $2 - 3 = -1 &#8713; \mathcal{N}$.
-* Auch die Menge $\mathcal{Z}$ der ganzen Zahlen ist kein Körper, da beispielsweise die Gleichung $2 \cdot z = 1$ für kein $z &#8712; \mathcal{N}$ zu erfüllen ist.
+* Auch die Menge&nbsp; $\mathcal{Z}$&nbsp; der ganzen Zahlen ist kein Körper, da beispielsweise die Gleichung&nbsp; $2 \cdot z = 1$&nbsp; für kein&nbsp; $z &#8712; \mathcal{N}$&nbsp; zu erfüllen ist.
 '''(4)'''&nbsp; Richtig sind die <u>Antworten 1 und 3</u>:
-* Es gilt $\mathcal{Q} &#8834; \mathcal{R}$ (rationale Zahlen sind eine Untermenge der reellen Zahlen) und $\mathcal{R} &#8834; \mathcal{C}$ (reelle Zahlen sind eine Untermenge der komplexen Zahlen) und damit auch $\mathcal{Q} &#8834; \mathcal{C}$.
+* Es gilt $\mathcal{Q} &#8834; \mathcal{R}$ (rationale Zahlen sind eine Untermenge der reellen Zahlen) und $\mathcal{R} &#8834; \mathcal{C}$ (reelle Zahlen sind eine Untermenge der komplexen Zahlen).
-*Bei den endlichen Körpern bedeutet $\rm GF(2^m) &#8834; GF(2^M)$, dass $m < M$ gelten muss.
+*Damit gilt auch $\mathcal{Q} &#8834; \mathcal{C}$.
 '''(5)'''&nbsp; Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 2</u>:
-* Die Menge $\mathcal{C}$ der komplexen Zahlen ist eine Erweiterung der reellen Zahlen $(\mathcal{R})$ in eine zweite Dimension. Hierfür kann geschrieben werden:
+* Die Menge&nbsp; $\mathcal{C}$&nbsp; der komplexen Zahlen ist eine Erweiterung der reellen Zahlen&nbsp; $(\mathcal{R})$&nbsp; in eine zweite Dimension. Hierfür kann geschrieben werden:
 :$$\mathcal{C} = \{k_0 + {\rm j} \cdot k_1\hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm}k_0 \in {\mathcal{R}}, k_1 \in \mathcal{R}\}\hspace{0.05cm}.$$
-* $\rm GF(2^2)$ ist eine Erweiterung des endlichen Körpers $\rm GF(2) = \{0, \, 1\}$ in eine zweite Dimension:
+* $\rm GF(2^2)$&nbsp; ist eine Erweiterung des endlichen Körpers&nbsp; $\rm GF(2) = \{0, \, 1\}$&nbsp; in eine zweite Dimension:
 :$${\rm GF}(2^2) = \{k_0 + \alpha \cdot k_1\hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm}k_0 \in {\rm GF}(2), k_1 \in {\rm GF}(2)\}\hspace{0.05cm}.$$
-*Die imaginäre Einheit $j &#8713; \mathcal{C}$ ergibt sich als Lösung der Gleichung ${\rm j}^2 + 1 = 0$, während das neue Element von $\rm GF(2^2)$ mit $\alpha &#8713; \rm GF(2)$ bezeichnet wird und aus der Gleichung $\alpha^2 + \alpha + 1 = 0$ folgt.
+*Die imaginäre Einheit&nbsp; ${\rm j} &#8713; \mathcal{C}$&nbsp; ergibt sich als Lösung der Gleichung&nbsp; ${\rm j}^2 + 1 = 0$, während das neue Element von&nbsp; $\rm GF(2^2)$&nbsp; mit&nbsp; $\alpha &#8713; \rm GF(2)$&nbsp; bezeichnet wird und aus der Gleichung&nbsp; $\alpha^2 + \alpha + 1 = 0$&nbsp; folgt.
 {{ML-Fuß}}

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 [[Datei:P_ID2511__KC_Z_2_4.png|right|frame|Einige Pioniere der Mathematik]]
 In der Mathematik unterscheidet man verschiedene Zahlenmengen:
-* die Menge der natürlichen Zahlen: $\mathcal{N} = \{0, \, 1, \, 2, \hspace{0.05cm}\text{ ...} \}$,
+* die Menge der natürlichen Zahlen:&nbsp; $\mathcal{N} = \{0, \, 1, \, 2, \hspace{0.05cm}\text{ ...} \}$,
-* die Menge der ganzen Zahlen: $\mathcal{Z} = \{\text{ ...}, \, -1, \, 0, \, +1, \hspace{0.05cm}\text{ ...}  \}$,
+* die Menge der ganzen Zahlen:&nbsp; $\mathcal{Z} = \{\text{ ...}, \, -1, \, 0, \, +1, \hspace{0.05cm}\text{ ...}  \}$,
-* die Menge der rationalen Zahlen: $\mathcal{Q} = \{m/n\}$ mit $m &#8712; \mathcal{Z}, \ n &#8712; \mathcal{Z} \, \backslash \, \{0\}$,
+* die Menge der rationalen Zahlen:&nbsp; $\mathcal{Q} = \{m/n\}$ mit $m &#8712; \mathcal{Z}, \ n &#8712; \mathcal{Z} \, \backslash \, \{0\}$,
-* die Menge $\mathcal{R}$ der reellen Zahlen,
+* die Menge&nbsp; $\mathcal{R}$&nbsp; der reellen Zahlen,
-* die Menge der komplexen Zahlen: $\mathcal{C}= \{a + {\rm j} \cdot b\}$ mit $a &#8712; \mathcal{R}, \ b &#8712; \mathcal{R}$ und der imaginären Einheit $\rm j$.
+* die Menge der komplexen Zahlen:&nbsp; $\mathcal{C}= \{a + {\rm j} \cdot b\}$&nbsp; mit&nbsp; $a &#8712; \mathcal{R}, \ b &#8712; \mathcal{R}$&nbsp; und der imaginären Einheit&nbsp; $\rm j$.
-Eine solche Menge (englisch: <i>Set</i>) bezeichnet man dann (und nur dann) als einen '''Körper''' (englisch: <i>Field</i>) im algebraischen Sinne, wenn in ihr die vier Rechenoperationen Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division erlaubt und die Ergebnisse im gleichen Körper darstellbar sind. Einige diesbezügliche Definitionen finden Sie im [[Kanalcodierung/Einige_Grundlagen_der_Algebra#Gruppe.2C_Ring.2C_K.C3.B6rper_.E2.80.93_algebraische_Grundbegriffe|Theorieteil]]. Soviel vorneweg: Nicht alle der oben aufgelisteten Mengen sind Körper.
+Eine solche Menge (englisch: &nbsp; <i>Set</i>&nbsp;) bezeichnet man dann (und nur dann) als einen&nbsp; '''Körper'''&nbsp; (englisch: &nbsp; <i>Field</i>&nbsp;) im algebraischen Sinne, wenn in ihr die vier Rechenoperationen Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division erlaubt und die Ergebnisse im gleichen Körper darstellbar sind. Einige diesbezügliche Definitionen finden Sie im&nbsp; [[Kanalcodierung/Einige_Grundlagen_der_Algebra#Gruppe.2C_Ring.2C_K.C3.B6rper_.E2.80.93_algebraische_Grundbegriffe|Theorieteil]]. Soviel vorneweg: &nbsp;Nicht alle der oben aufgelisteten Mengen sind Körper.
-Daneben gibt es auch noch [[Kanalcodierung/Einige_Grundlagen_der_Algebra#Definition_eines_Galoisfeldes|endliche Körper]] (englisch: <i>Finite Fields</i>), die in unserem Lerntutorial  auch als <b>Galoisfeld</b> ${\rm GF}(P^m)$ bezeichnet werden, wobei
+Daneben gibt es auch noch&nbsp; [[Kanalcodierung/Einige_Grundlagen_der_Algebra#Definition_eines_Galoisfeldes|endliche Körper]]&nbsp; (englisch: &nbsp; <i>Finite Fields</i>), die in unserem Lerntutorial  auch als&nbsp; <b>Galoisfeld</b>&nbsp; ${\rm GF}(P^m)$&nbsp; bezeichnet werden, wobei
-* $P &#8712; N$ eine Primzahl angibt, und
+* $P &#8712; \mathcal{P}$&nbsp; eine Primzahl angibt, und
-* $m &#8712; N$ eine natürliche Zahl bezeichnet.
+* $m &#8712; \mathcal{N}$&nbsp; eine natürliche Zahl bezeichnet.
-Ist der Exponent $m &#8805; 2$, so spricht man von einem [[Kanalcodierung/Erweiterungsk%C3%B6rper|Erweiterungskörper]] (englisch: <i>Extension Field</i>). In dieser Aufgabe beschränken wir uns auf Erweiterungskörper zur Basis $P = 2$.
+Ist der Exponent&nbsp; $m &#8805; 2$, so spricht man von einem&nbsp; [[Kanalcodierung/Erweiterungsk%C3%B6rper|Erweiterungskörper]]&nbsp; (englisch: &nbsp; <i>Extension Field</i>&nbsp;). In dieser Aufgabe beschränken wir uns auf Erweiterungskörper zur Basis&nbsp; $P = 2$.
-Die beiden ersten Teilaufgaben beziehen sich auf die Klassifizierung von Polynomen. Ein Grad&ndash;$m$&ndash;Polynom nennt man ''reduzibel'' im Körper $K$, wenn es in der Form
+Die beiden ersten Teilaufgaben beziehen sich auf die Klassifizierung von Polynomen. Ein Grad&ndash;$m$&ndash;Polynom nennt man ''reduzibel''&nbsp; im Körper&nbsp; $\mathcal{F}$, wenn es in der Form
 :$$p(x)= \prod_{i = 1}^m (x-x_i) = (x - x_1)  \cdot  (x - x_2) \cdot  \hspace{0.05cm}\text{ ...}\hspace{0.05cm} \cdot (x - x_m) $$
-darstellbar ist und für alle Nullstellen $x_i &#8712; K$ gilt. Ist dies nicht möglich, so spricht man von einem ''irreduziblen Polynom''.
+darstellbar ist und für alle Nullstellen $x_i &#8712; \mathcal{F}$ gilt. Ist dies nicht möglich, so spricht man von einem ''irreduziblen Polynom''.
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 ''Hinweise:''
-* Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Kanalcodierung/Erweiterungsk%C3%B6rper|Erweiterungskörper]].
+* Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Kanalcodierung/Erweiterungsk%C3%B6rper|Erweiterungskörper]].
-* Oben sehen Sie Abbildungen der italienischen Mathematiker [https://de.wikipedia.org/wiki/Gerolamo_Cardano Gerolamo Cardano] sowie [https://de.wikipedia.org/wiki/Rafael_Bombelli Rafael Bombelli], die erstmals imaginäre Zahlen zur Lösung algebraischer Gleichungen einführten, sowie von [https://de.wikipedia.org/wiki/%C3%89variste_Galois Évariste Galois], der schon in sehr jungen Jahren die Grundlagen der endlichen Körper geschaffen hat.
+* Oben sehen Sie Abbildungen der italienischen Mathematiker&nbsp; [https://de.wikipedia.org/wiki/Gerolamo_Cardano Gerolamo Cardano]&nbsp; sowie&nbsp; [https://de.wikipedia.org/wiki/Rafael_Bombelli Rafael Bombelli], die erstmals imaginäre Zahlen zur Lösung algebraischer Gleichungen einführten, sowie von&nbsp; [https://de.wikipedia.org/wiki/%C3%89variste_Galois Évariste Galois], der schon in sehr jungen Jahren die Grundlagen der endlichen Körper geschaffen hat.
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 - $p_4(x) = x^2 + x - 2$.
-{Welche Polynome sind irreduzibel in $\rm GF(2)$?
+{Welche Polynome sind irreduzibel in&nbsp; $\rm GF(2)$?
 |type="[]"}
 - $p_1(x) = x^2 + 1$,
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 {Bei welchen Mengen handelt es sich im algebraischen Sinne um Körper?
 |type="[]"}
-- die Menge $\mathcal{N}$ der natürlichen Zahlen,
+- die Menge&nbsp; $\mathcal{N}$&nbsp; der natürlichen Zahlen,
-- die Menge $\mathcal{Z}$ der ganzen Zahlen,
+- die Menge&nbsp; $\mathcal{Z}$&nbsp; der ganzen Zahlen,
-+ die Menge $\mathcal{Q}$ der rationalen Zahlen,
++ die Menge&nbsp; $\mathcal{Q}$&nbsp; der rationalen Zahlen,
-+ die Menge $\mathcal{R}$ der reellen Zahlen,
++ die Menge&nbsp; $\mathcal{R}$&nbsp; der reellen Zahlen,
-+ die Menge $\mathcal{C}$ der komplexen Zahlen.
++ die Menge&nbsp; $\mathcal{C}$&nbsp; der komplexen Zahlen.
 {Welche Körper sind Teilmenge (Unterraum) eines anderen Körpers?
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 {Zwischen welchen Körpern bestehen gewisse Analogien?
 |type="[]"}
-- Menge $\mathcal{Q}$ der rationalen Zahlen und ${\rm GF}(2^2)$,
+- Menge&nbsp; $\mathcal{Q}$&nbsp; der rationalen Zahlen und&nbsp; ${\rm GF}(2^2)$,
-+ Menge $\mathcal{C}$ der komplexen Zahlen und ${\rm GF}(2^2)$,
++ Menge&nbsp; $\mathcal{C}$&nbsp; der komplexen Zahlen und&nbsp; ${\rm GF}(2^2)$,
-- Menge $\mathcal{C}$ der komplexen Zahlen und ${\rm GF}(2^3)$.
+- Menge&nbsp; $\mathcal{C}$&nbsp; der komplexen Zahlen und&nbsp; ${\rm GF}(2^3)$.
 </quiz>

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 * Die Menge der komplexen Zahlen ist eine Erweiterung der reellen Zahlen $(R)$ in eine zweite Dimension. Hierfür kann geschrieben werden:
 :$$C = \{k_0 + {\rm j} \cdot k_1\hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm}k_0 \in {R}, k_1 \in R\}\hspace{0.05cm}.$$
-* $\rm GF(2^2)$ ist eine Erweiterung des endlichen Körpers $\rm GF(2) = \{0, \, 1,\}$ in eine zweite Dimension:
+* $\rm GF(2^2)$ ist eine Erweiterung des endlichen Körpers $\rm GF(2) = \{0, \, 1\}$ in eine zweite Dimension:
 :$${\rm GF}(2^2) = \{k_0 + \alpha \cdot k_1\hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm}k_0 \in {\rm GF}(2), k_1 \in {\rm GF}(2)\}\hspace{0.05cm}.$$