Aufgaben:Aufgabe 2.4Z: Dreiecksignal - Versionsgeschichte

Guenter am 15. April 2021 um 12:37 Uhr

2021-04-15T12:37:43Z

Guenter am 15. April 2021 um 12:34 Uhr

2021-04-15T12:34:51Z

Guenter am 3. September 2019 um 14:41 Uhr

2019-09-03T14:41:20Z

Guenter am 3. September 2019 um 14:29 Uhr

2019-09-03T14:29:38Z

Guenter am 17. Juli 2018 um 14:03 Uhr

2018-07-17T14:03:55Z

Mwiki-lnt: Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

2018-05-29T12:02:44Z

Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

Guenter am 20. Dezember 2017 um 10:56 Uhr

2017-12-20T10:56:03Z

Guenter am 20. Dezember 2017 um 10:51 Uhr

2017-12-20T10:51:45Z

Guenter am 20. Dezember 2017 um 10:51 Uhr

2017-12-20T10:51:06Z

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2017-12-15T14:41:44Z

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 {{ML-Kopf}}
 '''(1)'''&nbsp;  Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 1 und 2</u>:
-*Der Gleichanteil ist tatsächlich&nbsp; $T_1/T_0$. Da&nbsp; ${x(t)}$&nbsp; eine gerade Funktion ist, sind alle Sinuskoeffizienten&nbsp; $B_n = 0$.
+*Der Gleichanteil ist tatsächlich&nbsp; $T_1/T_0$.&nbsp; Da&nbsp; ${x(t)}$&nbsp; eine gerade Funktion ist, sind alle Sinuskoeffizienten&nbsp; $B_n = 0$.
 *Die geradzahligen Cosinuskoeffizienten&nbsp; $A_{2n}$&nbsp; verschwinden nur dann, wenn&nbsp; $T_1 = T_0/2$&nbsp; ist.
-*In diesem Fall ist die Bedingung&nbsp; ${x(t)} = 2A_0 - x(t - T_0/2)$&nbsp; erfüllt $($mit $A_0 = 0.5)$.
+*In diesem Fall ist die Bedingung&nbsp; ${x(t)} = 2A_0 - x(t - T_0/2)$&nbsp; erfüllt&nbsp; $($mit $A_0 = 0.5)$.
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 '''(2)'''&nbsp; Unter Ausnutzung der Symmetrieeigenschaft&nbsp; ${x(-t)} = {x(t)}$&nbsp; erhält man:
 :$$A_n=2 \cdot \frac{2}{T_0}\cdot \hspace{-0.1cm}\int_0^{T_1}(1-\frac{t}{T_1})\cos(2\pi n\frac{t}{T_0})\, {\rm d}t.$$
-*Dies führt zu zwei Teilintegralen&nbsp; $I_1$&nbsp; und&nbsp; $I_2$. Das erste lautet:
+*Dies führt zu zwei Teilintegralen&nbsp; $I_1$&nbsp; und&nbsp; $I_2$.&nbsp; Das erste lautet:
 :$$I_1=\frac{4}{T_0} \cdot \hspace{-0.1cm} \int_0^{T_1}\cos(2\pi n\frac{t}{T_0})\,{\rm d}t=\frac{2}{\pi n}\sin(2\pi n\frac{T_1}{T_0}).$$
 *Für das zweite Integral gilt mit dem Integral auf der Angabenseite:

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 [[Datei:P_ID317__Sig_Z_2_4.png|right|frame|Vorgegebenes Dreiecksignal]]
-Wir betrachten das mit&nbsp; $T_0$&nbsp; periodische Signal&nbsp; ${x(t)}$&nbsp; entsprechend nebenstehender Skizze, wobei für den zweiten Signalparameter&nbsp;  $T_1 ≤ T_0/2$&nbsp; gelten soll. Dieses Signal ist dimensionslos und auf&nbsp; $1$&nbsp; begrenzt.
+Wir betrachten das mit&nbsp; $T_0$&nbsp; periodische Signal&nbsp; ${x(t)}$&nbsp; entsprechend nebenstehender Skizze, wobei für den zweiten Signalparameter&nbsp;  $T_1 ≤ T_0/2$&nbsp; gelten soll.&nbsp; Dieses Signal ist dimensionslos und auf&nbsp; $1$&nbsp; begrenzt.
 In der Teilaufgabe&nbsp; '''(3)'''&nbsp; wird die auf nur&nbsp; $N = 3$&nbsp; Koeffizienten basierende Fourierreihendarstellung&nbsp; $x_3(t)$&nbsp; verwendet.
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-{Berechnen Sie die Fourierkoeffizienten&nbsp; $A_n$&nbsp; in allgemeiner Form. Welche Werte ergeben sich für&nbsp; $A_1$,&nbsp; $A_2$&nbsp; und&nbsp; $A_3$&nbsp; mit&nbsp; $T_1/T_0 = 0.25$?
+{Berechnen Sie die Fourierkoeffizienten&nbsp; $A_n$&nbsp; in allgemeiner Form.&nbsp; Welche Werte ergeben sich für&nbsp; $A_1$,&nbsp; $A_2$&nbsp; und&nbsp; $A_3$&nbsp; mit&nbsp; $T_1/T_0 = 0.25$?
 |type="{}"}
 $A_1\ = \ $ { 0.405 3% }
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-{Schreiben Sie die Funktion&nbsp; ${x(t)}$&nbsp; als Fourierreihe und brechen Sie diese nach&nbsp; $N = 3$&nbsp; Koeffizienten ab. Wie groß ist der Fehler&nbsp; $\varepsilon_3(t = 0)$?
+{Schreiben Sie die Funktion&nbsp; ${x(t)}$&nbsp; als Fourierreihe und brechen Sie diese nach&nbsp; $N = 3$&nbsp; Koeffizienten ab.&nbsp; Wie groß ist der Fehler&nbsp; $\varepsilon_3(t = 0)$?
 |type="{}"}
 $\varepsilon_3(t = 0)\ = \ $  { -0.11--0.09 }

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 {{ML-Kopf}}
 '''(1)'''&nbsp;  Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 1 und 2</u>:
-*Der Gleichanteil ist tatsächlich $T_1/T_0$. Da ${x(t)}$ eine gerade Funktion ist, sind alle Sinuskoeffizienten $B_n = 0$.
+*Der Gleichanteil ist tatsächlich&nbsp; $T_1/T_0$. Da&nbsp; ${x(t)}$&nbsp; eine gerade Funktion ist, sind alle Sinuskoeffizienten&nbsp; $B_n = 0$.
-*Die geradzahligen Cosinuskoeffizienten $A_{2n}$ verschwinden nur dann, wenn $T_1 = T_0/2$ ist.
+*Die geradzahligen Cosinuskoeffizienten&nbsp; $A_{2n}$&nbsp; verschwinden nur dann, wenn&nbsp; $T_1 = T_0/2$&nbsp; ist.
-*In diesem Fall ist die Bedingung ${x(t)} = 2A_0 - x(t - T_0/2)$ erfüllt (mit $A_0 = 0.5$).
+*In diesem Fall ist die Bedingung&nbsp; ${x(t)} = 2A_0 - x(t - T_0/2)$&nbsp; erfüllt $($mit $A_0 = 0.5)$.
 '''(2)'''&nbsp; Unter Ausnutzung der Symmetrieeigenschaft ${x(-t)} = {x(t)}$ erhält man:
 :$$A_n=2 \cdot \frac{2}{T_0}\cdot \hspace{-0.1cm}\int_0^{T_1}(1-\frac{t}{T_1})\cos(2\pi n\frac{t}{T_0})\, {\rm d}t.$$
-Dies führt zu zwei Teilintegralen $I_1$ und $I_2$. Das erste lautet:
+*Dies führt zu zwei Teilintegralen&nbsp; $I_1$&nbsp; und&nbsp; $I_2$. Das erste lautet:
 :$$I_1=\frac{4}{T_0} \cdot \hspace{-0.1cm} \int_0^{T_1}\cos(2\pi n\frac{t}{T_0})\,{\rm d}t=\frac{2}{\pi n}\sin(2\pi n\frac{T_1}{T_0}).$$
-Für das zweite Integral gilt mit dem Integral auf der Angabenseite:
+*Für das zweite Integral gilt mit dem Integral auf der Angabenseite:
 :$$I_2=\frac{-4}{T_0\cdot T_1}\cdot \hspace{-0.1cm}\int_0^{T_1}t\cdot\cos(2\pi n\frac{t}{T_0})\,{\rm d}t=\frac{-4}{T_0\cdot T_1}\cdot \hspace{0.1cm}\left[\frac{T^2_0 \cdot \cos(2\pi nt/T_0)}{4\pi^2n^2}+\frac{T_0 \cdot t \cdot \sin(2\pi nt/T_0)}{2\pi n}\right]^{T_1}_0.$$
-Dieses letzte Integral kann wie folgt zusammengefasst werden:
+*Dieses letzte Integral kann wie folgt zusammengefasst werden:
 :$$I_2=\frac{-\cos(2\pi nT_1/T_0)}{\pi^2 n^2T_1/T_0}+\frac{1}{\pi^2 n^2 T_1/T_0}-I_1.$$
-Daraus folgt mit $1 - \cos(2\alpha) = 2 \cdot \sin^2(\alpha)$:
+*Daraus folgt mit&nbsp; $1 - \cos(2\alpha) = 2 \cdot \sin^2(\alpha)$:
 :$$A_n=I_1+I_2=\frac{1-\cos(2\pi nT_1/T_0)}{\pi^2 n^2 T_1/T_0}=\frac{2\sin^2 (\pi nT_1/T_0)}{\pi^2 n^2 T_1/T_0}.$$
-Für $T_1/T_0 = 0.25$ erhält man:
+*Für&nbsp; $T_1/T_0 = 0.25$&nbsp; erhält man:
 :$$A_n=\frac{8\sin^2 (\pi n/4)}{\pi^2 n^2}.$$
-Insbesondere gilt:
+*Insbesondere gilt:
-:$$A_1=\frac{8}{\pi^2}\sin^2(\pi/4)=\frac{4}{\pi^2}\hspace{0.15cm}\underline{\approx 0.405},$$
+:$$A_1=\frac{8}{\pi^2}\sin^2(\pi/4)=\frac{4}{\pi^2}\hspace{0.15cm}\underline{\approx 0.405},\hspace{0.5cm}
-:$$A_2=\frac{2}{\pi^2}\sin^2(\pi/2)=\frac{2}{\pi^2}\hspace{0.15cm}\underline{\approx 0.202},$$
+A_2=\frac{2}{\pi^2}\sin^2(\pi/2)=\frac{2}{\pi^2}\hspace{0.15cm}\underline{\approx 0.202},\hspace{0.5cm}
-:$$A_3=\frac{8}{9\pi^2}\sin^2(3\pi/4)=\frac{4}{9\pi^2}\hspace{0.15cm}\underline{\approx 0.045}.$$
+A_3=\frac{8}{9\pi^2}\sin^2(3\pi/4)=\frac{4}{9\pi^2}\hspace{0.15cm}\underline{\approx 0.045}.$$
 '''(3)'''&nbsp;  Es gilt:
 :$$x_3(t)=\frac{1}{4}+\frac{4}{\pi^2}\left[\cos(\omega_0 t)+\frac{1}{2}\cos(2\omega_0 t)+\frac{1}{9}\cos(3\omega_0 t)\right].$$
-*Zum Zeitpunkt $t = 0$ ergibt sich hieraus:
+*Zum Zeitpunkt&nbsp; $t = 0$&nbsp; ergibt sich hieraus:
 :$$x_3(t=0)=\frac{1}{4}+\frac{4}{\pi^2}\cdot \frac{29}{18}\approx 0.9 \hspace{0.5cm}\Rightarrow  \hspace{0.5cm}\varepsilon_3(t=0)=x_3(t=0)-x(t=0)\hspace{0.15cm}\underline{=-0.1}.$$
-* Für die Zeit $t = 0$ und bei Vielfachen der Periodendauer $T_0$ (Spitze der Dreiecksfunktionen) ist die Abweichung betragsmäßig am größten.
+* Für die Zeit&nbsp; $t = 0$&nbsp; und bei Vielfachen der Periodendauer&nbsp; $T_0$&nbsp; (jeweils Spitze der Dreiecksfunktionen)&nbsp; ist die Abweichung betragsmäßig am größten.
 {{ML-Fuß}}

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 [[Datei:P_ID317__Sig_Z_2_4.png|right|frame|Vorgegebenes Dreiecksignal]]
-Wir betrachten das mit $T_0$ periodische Signal ${x(t)}$ entsprechend der nebenstehenden Skizze, wobei für den zweiten Signalparameter  $T_1 ≤ T_0/2$ gelten soll. Dieses Signal ist dimensionslos und auf $1$ begrenzt.
+Wir betrachten das mit&nbsp; $T_0$&nbsp; periodische Signal&nbsp; ${x(t)}$&nbsp; entsprechend nebenstehender Skizze, wobei für den zweiten Signalparameter&nbsp;  $T_1 ≤ T_0/2$&nbsp; gelten soll. Dieses Signal ist dimensionslos und auf&nbsp; $1$&nbsp; begrenzt.
-In der Teilaufgabe (3) wird die auf nur $N = 3$ Koeffizienten basierende Fourierreihendarstellung $x_3(t)$ verwendet.
+In der Teilaufgabe&nbsp; '''(3)'''&nbsp; wird die auf nur&nbsp; $N = 3$&nbsp; Koeffizienten basierende Fourierreihendarstellung&nbsp; $x_3(t)$&nbsp; verwendet.
 Die Differenz zwischen der abgebrochenen Fourierreihe und dem tatsächlichen Signal lautet:
 :$$\varepsilon_3(t)=x_3(t)-x(t).$$
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 ''Hinweise:''
-*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Signaldarstellung/Fourierreihe|Fourierreihe]].
+*Die Aufgabe gehört zum Kapitel&nbsp; [[Signaldarstellung/Fourierreihe|Fourierreihe]].
 *Eine kompakte Zusammenfassung der Thematik finden Sie in den beiden Lernvideos
 ::[[Zur_Berechnung_der_Fourierkoeffizienten_(Lernvideo)|Zur Berechnung der Fourierkoeffizienten]]
 :: [[Eigenschaften_der_Fourierreihendarstellung_(Lernvideo)|Eigenschaften der Fourierreihendarstellung]]
-*Zur Lösung der Aufgabe können Sie das folgende bestimmte Integral benutzen ($n$ sei ganzzahlig):
+*Zur Lösung der Aufgabe können Sie das folgende bestimmte Integral benutzen&nbsp; $(n$ sei ganzzahlig$)$:
 :$$\int u \cdot \cos(au)\,{\rm d}u  =  \frac{\cos(au)}{a^2} + \frac{u \cdot \sin(au)}{a}.$$
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 <quiz display=simple>
-{Welche der folgenden Aussagen treffen für alle zulässigen $T_0$ und $T_1$ zu?
+{Welche der folgenden Aussagen treffen für alle zulässigen&nbsp; $T_0$&nbsp; und&nbsp; $T_1$&nbsp; zu?
 |type="[]"}
-+ Der Gleichanteil beträgt $A_0 = T_1/T_0$.
++ Der Gleichanteil beträgt&nbsp; $A_0 = T_1/T_0$.
-+ Alle Sinuskoeffizienten $B_n$ sind Null.
++ Alle Sinuskoeffizienten&nbsp; $B_n$&nbsp; sind Null.
-- Alle Cosinuskoeffizienten $A_n$ mit geradzahligem $n$ sind Null.
+- Alle Cosinuskoeffizienten&nbsp; $A_n$&nbsp; mit geradzahligem&nbsp; $n$&nbsp; sind Null.
-{Berechnen Sie die Fourierkoeffizienten $A_n$ in allgemeiner Form. Welche Werte ergeben sich für $A_1$, $A_2$ und $A_3$ mit $T_1/T_0 = 0.25$?
+{Berechnen Sie die Fourierkoeffizienten&nbsp; $A_n$&nbsp; in allgemeiner Form. Welche Werte ergeben sich für&nbsp; $A_1$,&nbsp; $A_2$&nbsp; und&nbsp; $A_3$&nbsp; mit&nbsp; $T_1/T_0 = 0.25$?
 |type="{}"}
 $A_1\ = \ $ { 0.405 3% }
@@ Zeile 42: / Zeile 45: @@
-{Schreiben Sie die Funktion ${x(t)}$ als Fourierreihe und brechen Sie diese nach $N = 3$ Koeffizienten ab. Wie groß ist der Fehler $\varepsilon_3(t = 0)$?
+{Schreiben Sie die Funktion&nbsp; ${x(t)}$&nbsp; als Fourierreihe und brechen Sie diese nach&nbsp; $N = 3$&nbsp; Koeffizienten ab. Wie groß ist der Fehler&nbsp; $\varepsilon_3(t = 0)$?
 |type="{}"}
 $\varepsilon_3(t = 0)\ = \ $  { -0.11--0.09 }

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 }}
-[[Datei:P_ID317__Sig_Z_2_4.png|right|frame|Fourierreihe: Dreiecksignal]]
+[[Datei:P_ID317__Sig_Z_2_4.png|right|frame|Vorgegebenes Dreiecksignal]]
 Wir betrachten das mit $T_0$ periodische Signal ${x(t)}$ entsprechend der nebenstehenden Skizze, wobei für den zweiten Signalparameter  $T_1 ≤ T_0/2$ gelten soll. Dieses Signal ist dimensionslos und auf $1$ begrenzt.
@@ Zeile 17: / Zeile 17: @@
 *Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Signaldarstellung/Fourierreihe|Fourierreihe]].
 *Eine kompakte Zusammenfassung der Thematik finden Sie in den beiden Lernvideos
-:[[Zur_Berechnung_der_Fourierkoeffizienten_(Lernvideo)|Zur Berechnung der Fourierkoeffizienten]] sowie [[Eigenschaften_der_Fourierreihendarstellung_(Lernvideo)|Eigenschaften der Fourierreihendarstellung]]
+::[[Zur_Berechnung_der_Fourierkoeffizienten_(Lernvideo)|Zur Berechnung der Fourierkoeffizienten]]
 *Zur Lösung der Aufgabe können Sie das folgende bestimmte Integral benutzen ($n$ sei ganzzahlig):
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 *Der Gleichanteil ist tatsächlich $T_1/T_0$. Da ${x(t)}$ eine gerade Funktion ist, sind alle Sinuskoeffizienten $B_n = 0$.
 *Die geradzahligen Cosinuskoeffizienten $A_{2n}$ verschwinden nur dann, wenn $T_1 = T_0/2$ ist.
-*In diesem Fall ist die Bedingung ${x(t)} = 2A_0 – x(t – T_0/2)$ erfüllt (mit $A_0 = 0.5$).
+*In diesem Fall ist die Bedingung ${x(t)} = 2A_0 - x(t - T_0/2)$ erfüllt (mit $A_0 = 0.5$).
@@ Zeile 65: / Zeile 66: @@
 Dieses letzte Integral kann wie folgt zusammengefasst werden:
 :$$I_2=\frac{-\cos(2\pi nT_1/T_0)}{\pi^2 n^2T_1/T_0}+\frac{1}{\pi^2 n^2 T_1/T_0}-I_1.$$
-Daraus folgt mit $1 – \cos(2\alpha) = 2 \cdot \sin^2(\alpha)$:
+Daraus folgt mit $1 - \cos(2\alpha) = 2 \cdot \sin^2(\alpha)$:
 :$$A_n=I_1+I_2=\frac{1-\cos(2\pi nT_1/T_0)}{\pi^2 n^2 T_1/T_0}=\frac{2\sin^2 (\pi nT_1/T_0)}{\pi^2 n^2 T_1/T_0}.$$
 Für $T_1/T_0 = 0.25$ erhält man:
@@ Zeile 76: / Zeile 77: @@
 '''(3)'''&nbsp;  Es gilt:
 :$$x_3(t)=\frac{1}{4}+\frac{4}{\pi^2}\left[\cos(\omega_0 t)+\frac{1}{2}\cos(2\omega_0 t)+\frac{1}{9}\cos(3\omega_0 t)\right].$$
-Zum Zeitpunkt $t = 0$ ergibt sich hieraus:
+*Zum Zeitpunkt $t = 0$ ergibt sich hieraus:
 :$$x_3(t=0)=\frac{1}{4}+\frac{4}{\pi^2}\cdot \frac{29}{18}\approx 0.9 \hspace{0.5cm}\Rightarrow  \hspace{0.5cm}\varepsilon_3(t=0)=x_3(t=0)-x(t=0)\hspace{0.15cm}\underline{=-0.1}.$$
 * Für die Zeit $t = 0$ und bei Vielfachen der Periodendauer $T_0$ (Spitze der Dreiecksfunktionen) ist die Abweichung betragsmäßig am größten.

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(kein Unterschied)