Aufgaben:Aufgabe 2.4: Zum LZW-Algorithmus - Versionsgeschichte

Guenter am 13. Juli 2021 um 11:53 Uhr

2021-07-13T11:53:02Z

Guenter am 13. Juli 2021 um 09:38 Uhr

2021-07-13T09:38:52Z

Guenter am 23. Januar 2020 um 16:08 Uhr

2020-01-23T16:08:59Z

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2020-01-23T15:41:54Z

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2018-09-24T14:17:47Z

Mwiki-lnt: Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

2018-05-29T12:02:44Z

Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

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-'''(3)'''&nbsp; Richtig is tdie  <u>Aussage 2</u>.
+'''(3)'''&nbsp; Richtig ist die  <u>Aussage 2</u>.
 *Man erhält folgende Decodierergebnisse (in verkürzter Form):
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 Nun zur dritten Aussage, die ebenfalls nicht zutrifft:
-* Bei der uncodierten Übertragung von&nbsp; $N = 150$&nbsp; Zeichen aus der Symbolmenge&nbsp; $\{$ <b>A</b>, \ <b>B</b>, \ <b>C</b>, \  <b>D</b> $\}$&nbsp; würde man genau&nbsp; $300$&nbsp; Bit benötigen. Mit LZW benötigt man sicher mehr Bit, wenn die Quelle redundanzfrei ist&nbsp; (Zeichen gleichwahrscheinlich und statistisch unabhängig).
+* Bei der uncodierten Übertragung von&nbsp; $N = 150$&nbsp; Zeichen aus der Symbolmenge&nbsp; $\{$ <b>A</b>,&nbsp;  <b>B</b>,&nbsp;  <b>C</b>,&nbsp;   <b>D</b> $\}$&nbsp; würde man genau&nbsp; $300$&nbsp; Bit benötigen. Mit LZW benötigt man sicher mehr Bit, wenn die Quelle redundanzfrei ist&nbsp; (Zeichen gleichwahrscheinlich und statistisch unabhängig).
 * Bei redundanter Quelle mit (beispielsweise)&nbsp; $H = 1.6$ bit/Quellensymbol kann man die Bitanzahl auf&nbsp; $N_{\rm Bit} = N \cdot H$&nbsp;  begrenzen, vorausgesetzt, es handelt sich um eine sehr große Datei&nbsp; $(N \to \infty)$.
-* Bei einer eher kleinen Datei &ndash; wie hier lediglich mit&nbsp; $N = 150$&nbsp; Bit &ndash; ist keine Aussage möglich, ob die Bitanzahl&nbsp; $N_{\rm Bit}$&nbsp; kleiner, gleich oder größer als&nbsp; $150 &middot; 1.6 = 240$&nbsp; sein wird.
+* Bei einer eher kleinen Datei &ndash; hier lediglich:&nbsp; $N = 150$&nbsp; &ndash; ist keine Aussage möglich, ob die Bitanzahl&nbsp; $N_{\rm Bit}$&nbsp; kleiner, gleich oder größer als&nbsp; $150 &middot; 1.6 = 240$&nbsp; ist.
 *Auch&nbsp; $N_{\rm Bit} > 300$&nbsp; ist durchaus möglich.&nbsp; Dann sollte man auf die &bdquo;Lempel&ndash;Ziv&ndash;Komprimierung&rdquo; besser verzichten.
 {{ML-Fuß}}

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 *Der gefundene Wörterbuchindex&nbsp; $I_i$&nbsp; wird stets in Binärform übertragen.&nbsp; Gleichzeitig wird ins Wörterbuch unter dem nächsten freien Index&nbsp; $W(I_i) + Z$&nbsp; eingetragen.
 *Hierbei bezeichner&nbsp; $W(I_i)$&nbsp; ein Zeichen oder eine Zeichenfolge, und&nbsp; $Z$&nbsp; ist das erste Zeichen des anstehenden Eingabe&ndash;Strings&nbsp; (also ebenfalls ein Character), das in&nbsp; $W(I_i)$&nbsp; nicht mehr berücksichtigt ist.
-*Bei&nbsp; $M = 4$&nbsp; möglichen Zeichen wird der erste Index&nbsp; $I_1$&nbsp; mit zwei Bit übertragen, die Indizes&nbsp; $I_2$,&nbsp;... ,&nbsp;$I_5$&nbsp; mit drei Bit, die nächsten acht Indizes mit vier Bit, danach 16 Indizes mit fünf Bit usw. Die Begründung für diese bitsparende Maßnahme finden Sie in der Musterlösung zu dieser Aufgabe.
+*Bei&nbsp; $M = 4$&nbsp; möglichen Zeichen wird der erste Index&nbsp; $I_1$&nbsp; mit zwei Bit übertragen, die Indizes&nbsp; $I_2$,&nbsp;... ,&nbsp;$I_5$&nbsp; mit drei Bit, die nächsten acht Indizes mit vier Bit, danach 16 Indizes mit fünf Bit usw.&nbsp; Die Begründung für diese bitsparende Maßnahme finden Sie in der Musterlösung zu dieser Aufgabe.

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 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; Bei der LZW&ndash;Codierung des ersten Zeichens $(i = 1)$ sind nur die vier Indizes $I = 0$, ... , $I = 3$ möglich, für die bereits zum Schritt $i = 0$ (Vorbelegung) ein Wörterbucheintrag vorgenommen wurde. Deshalb genügt es hier, den Index mit zwei Bit zu übertragen.
+'''(1)'''&nbsp; Bei der LZW&ndash;Codierung des ersten Zeichens&nbsp; $(i = 1)$&nbsp; sind nur die vier Indizes&nbsp; $I = 0$, ... , $I = 3$&nbsp; möglich, für die bereits zum Schritt&nbsp; $i = 0$&nbsp; (Vorbelegung) ein Wörterbucheintrag vorgenommen wurde. Deshalb genügt es hier, den Index mit zwei Bit zu übertragen.
-Bereits zum Schritt $i = 2$ werden dagegen drei Bit benötigt. Hätte die Eingangsfolge mit <b>AAA</b> begonnen, so hätte die LZW&ndash;Codierung $I_2 = I(i = 2)$ den Dezimalwert $4$ ergeben. Dieser ist nicht mehr mit zwei Bit darstellbar und muss mit drei Bit codiert werden, ebenso wie $I_3$, $I_4$ und $I_5$.
+*Bereits zum Schritt&nbsp; $i = 2$&nbsp; werden dagegen drei Bit benötigt. Hätte die Eingangsfolge mit&nbsp; <b>AAA</b>&nbsp; begonnen, so hätte die LZW&ndash;Codierung&nbsp; $I_2 = I(i = 2)$&nbsp; den Dezimalwert&nbsp; $4$&nbsp; ergeben. Dieser ist nicht mehr mit zwei Bit darstellbar und muss mit drei Bit codiert werden, ebenso wie&nbsp; $I_3$,&nbsp; $I_4$&nbsp; und&nbsp; $I_5$.
-Der vorgegebene Eingabestring
+*Der vorgegebene Eingabestring
 :$$\boldsymbol{\rm 00 000 001 010 100 0001}\hspace{0.05cm}...$$
-ist deshalb vom Decoder wie folgt aufzuteilen:
+:ist deshalb vom Decoder wie folgt aufzuteilen:
 :$$\boldsymbol{\rm 00 | 000 |001 |010 |100 |0001|}\hspace{0.05cm}...$$
-Die Decoderergebnisse der ersten vier Schritte lauten somit:
+*Die Decoderergebnisse der ersten vier Schritte lauten somit:
-* $I_1 =$ <b>00</b> (binär) &nbsp;&nbsp; &nbsp;<u> = 0</u> (dezimal) &nbsp;&nbsp;&#8658;&nbsp;&nbsp; <b>A</b>,
+:* $I_1 =$ <b>00</b> (binär) &nbsp;&nbsp; &nbsp;<u> = 0</u> (dezimal) &nbsp;&nbsp;&#8658;&nbsp;&nbsp; <b>A</b>,
-* $I_2 =$ <b>000</b> (binär) &nbsp;&nbsp;<u> = 0</u> (dezimal) &nbsp;&nbsp;&#8658;&nbsp;&nbsp; <b>A</b>,
+:* $I_2 =$ <b>000</b> (binär) &nbsp;&nbsp;<u> = 0</u> (dezimal) &nbsp;&nbsp;&#8658;&nbsp;&nbsp; <b>A</b>,
-* $I_3 =$ <b>001</b> (binär) &nbsp;&nbsp;<u> = 1</u> (dezimal) &nbsp;&nbsp;&#8658;&nbsp;&nbsp; <b>B</b>,
+:* $I_3 =$ <b>001</b> (binär) &nbsp;&nbsp;<u> = 1</u> (dezimal) &nbsp;&nbsp;&#8658;&nbsp;&nbsp; <b>B</b>,
-* $I_4 =$ <b>010</b> (binär) &nbsp;&nbsp;<u> = 2</u> (dezimal) &nbsp;&nbsp;&#8658;&nbsp;&nbsp; <b>C</b>.
+:* $I_4 =$ <b>010</b> (binär) &nbsp;&nbsp;<u> = 2</u> (dezimal) &nbsp;&nbsp;&#8658;&nbsp;&nbsp; <b>C</b>.
 '''(2)'''&nbsp; Berücksichtigt man, dass
-* für $i = 1$ zwei Bit verwendet werden,
+* für&nbsp; $i = 1$&nbsp; zwei Bit verwendet werden,
-* für $2 &#8804; i &#8804; 5$ drei Bit,
+* für&nbsp; $2 &#8804; i &#8804; 5$&nbsp; drei Bit,
-* für $6 &#8804; i &#8804; 19$ vier Bit,
+* für&nbsp; $6 &#8804; i &#8804; 19$&nbsp; vier Bit,
-* für $14 &#8804; i &#8804; 29$ fünf Bit,
+* für&nbsp; $14 &#8804; i &#8804; 29$&nbsp; fünf Bit,
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 :$$\boldsymbol{\rm 00 000 001 010 100 0001 1000 0111 0001 0001 0011 1011 1011 01101 00011 01001}$$
-zum &bdquo;eingeteilten Decoder&ndash;Eingabestring&rdquo; (bezeichnet mit  $I_1$, ... , $I_{16}$):
+zum &bdquo;eingeteilten Decoder&ndash;Eingabestring&rdquo; $($bezeichnet mit&nbsp;  $I_1$, ... ,&nbsp; $I_{16})$:
 :$$\boldsymbol{\rm 00 |000 |001 |010 |100 |0001 |1000 |0111 | 0001 |0001 |0011  |1011 |1011 |01101 |00011 |01001}
 \hspace{0.1cm}.$$
+Damit lauten die gesuchten Ergebnisse für die Decodierschritte&nbsp; $i = 5$, ... ,&nbsp; $i = 8$:
 * $I_5 =$ <b>100</b> (binär) &nbsp; &nbsp;&nbsp;<u> = 4</u> (dezimal) &nbsp;&nbsp;&#8658;&nbsp;&nbsp; <b>AA</b>,
 * $I_6 =$ <b>0001</b> (binär) &nbsp;&nbsp;<u> = 1</u> (dezimal) &nbsp;&nbsp;&#8658;&nbsp;&nbsp; <b>B</b>,
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-'''(3)'''&nbsp; Richtig istdie  <u>Aussage 2</u>. Man erhält folgende Decodierergebnisse (in verkürzter Form):
+::&nbsp;&nbsp;$I_{9} = 1$ &nbsp;&nbsp;&#8658;&nbsp;&nbsp; <b>B</b>, $\hspace{0.5cm}I_{10} = 1$ &nbsp;&nbsp;&#8658;&nbsp;&nbsp;<b>B</b>,$\hspace{0.5cm}I_{11} = 3$ &nbsp;&nbsp;&#8658;&nbsp;&nbsp; <b>D</b>,$\hspace{0.5cm}I_{12} = 11$ &nbsp;&nbsp;&#8658;&nbsp;&nbsp; <b>CAB</b>,
-&nbsp;&nbsp;$I_{9} = 1$ &nbsp;&nbsp;&#8658;&nbsp;&nbsp; <b>B</b>, $\hspace{0.5cm}I_{10} = 1$ &nbsp;&nbsp;&#8658;&nbsp;&nbsp;<b>B</b>,$\hspace{0.5cm}I_{11} = 3$ &nbsp;&nbsp;&#8658;&nbsp;&nbsp; <b>D</b>,$\hspace{0.5cm}I_{12} = 11$ &nbsp;&nbsp;&#8658;&nbsp;&nbsp; <b>CAB</b>,$\hspace{0.5cm}I_{13} = 11$ &nbsp;&nbsp;&#8658;&nbsp;&nbsp; <b>CAB</b>,$\hspace{0.5cm}I_{14} = 13$ &nbsp;&nbsp;&#8658;&nbsp;&nbsp; <b>BD</b>,$\hspace{0.5cm}I_{15} = 3$ &nbsp;&nbsp;&#8658;&nbsp;&nbsp; <b>D</b>,$\hspace{0.5cm}I_{16} = 9$ &nbsp;&nbsp;&#8658;&nbsp;&nbsp; <b>BA</b>.
+::&nbsp;&nbsp;$I_{13} = 11$ &nbsp;&nbsp;&#8658;&nbsp;&nbsp; <b>CAB</b>,$\hspace{0.5cm}I_{14} = 13$ &nbsp;&nbsp;&#8658;&nbsp;&nbsp; <b>BD</b>,$\hspace{0.5cm}I_{15} = 3$ &nbsp;&nbsp;&#8658;&nbsp;&nbsp; <b>D</b>,$\hspace{0.5cm}I_{16} = 9$ &nbsp;&nbsp;&#8658;&nbsp;&nbsp; <b>BA</b>.
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 '''(4)'''&nbsp; Richtig sind die <u>Aussagen 1 und 4</u>. Begründung:
-* Der neu ankommende Index ist $18$ (dezimal) und im Wörterbuch wird unter dem Index $I = 18$ der Eintrag <b>DB</b> gefunden.
+* Der neu ankommende Index ist&nbsp; $18$&nbsp; (dezimal) und im Wörterbuch wird unter dem Index&nbsp; $I = 18$&nbsp; der Eintrag&nbsp; <b>DB</b>&nbsp; gefunden.
-* Zum Decodierschritt $i = 17$ wird in das Wörterbuch die Zeile $I = 19$ eingetragen.
+* Zum Decodierschritt&nbsp; $i = 17$&nbsp; wird in das Wörterbuch die Zeile&nbsp; $I = 19$&nbsp; eingetragen.
-*Der Eintrag <b>BAD</b> setzt sich zusammen aus dem Decodierergebnis aus Schritt $i = 16$ (<b>BA</b>) und dem ersten Zeichen (<b>D</b>) des neuen Ergebnisses <b>DB</b>.
+*Der Eintrag&nbsp; <b>BAD</b>&nbsp; setzt sich zusammen aus dem Decodierergebnis aus Schritt&nbsp; $i = 16$&nbsp; $($<b>BA</b>$)$&nbsp; und dem ersten Zeichen&nbsp; $($<b>D</b>$)$&nbsp; des neuen Ergebnisses&nbsp; <b>DB</b>.
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 '''(5)'''&nbsp; Richtig ist hier nur die <u>Aussage 1</u>:
 * Für die erste Phrase genügen zwei Bit.
-* Für die Phrasen $I_2$, ... , $I_5$ benötigt man drei Bit.
+* Für die Phrasen&nbsp; $I_2$, ... , $I_5$&nbsp; benötigt man drei Bit.
-* Für die Phrasen $I_6$, ... , $I_{13}$ benötigt man vier Bit.
+* Für die Phrasen&nbsp; $I_6$, ... , $I_{13}$&nbsp; benötigt man vier Bit.
-* Für die Phrasen $I_{14}$, ... , $I_{29}$ benötigt man fünf Bit.
+* Für die Phrasen&nbsp; $I_{14}$, ... , $I_{29}$&nbsp; benötigt man fünf Bit.
-* Für die Phrasen $I_{30}$, ... , $I_{58}$ benötigt man sechs Bit.
+* Für die Phrasen&nbsp; $I_{30}$, ... , $I_{58}$&nbsp; benötigt man sechs Bit.
 *Damit erhält man für die gesamte Bitanzahl:
 :$$N_{\rm Bit} = 1 \cdot 2 + 4 \cdot 3 + 8 \cdot 4 + 16 \cdot 5 + 29 \cdot 6 = 300 \hspace{0.05cm}.$$
-*Mit einheitlicher Bitlänge (sechs Bit für jeden Index) wären $58 &middot; 6 = 348$ Bit (also mehr) erforderlich &nbsp; &#8658; &nbsp; die Aussage 2 ist prinzipiell falsch.
+*Mit einheitlicher Bitlänge (sechs Bit für jeden Index) wären&nbsp; $58 &middot; 6 = 348$&nbsp; Bit (also mehr) erforderlich &nbsp; &#8658; &nbsp; die Aussage 2 ist prinzipiell falsch.
 Nun zur dritten Aussage, die ebenfalls nicht zutrifft:
-* Bei der uncodierten Übertragung von $N = 150$ Zeichen aus der Symbolmenge $\{$ <b>A</b>, <b>B</b>, <b>C</b>,  <b>D</b> $\}$ würde man genau $300$ Bit benötigen. Mit LZW benötigt man sicher mehr Bit, wenn die Quelle redundanzfrei ist (Zeichen gleichwahrscheinlich und statistisch unabhängig).
+* Bei der uncodierten Übertragung von&nbsp; $N = 150$&nbsp; Zeichen aus der Symbolmenge&nbsp; $\{$ <b>A</b>, \ <b>B</b>, \ <b>C</b>, \  <b>D</b> $\}$&nbsp; würde man genau&nbsp; $300$&nbsp; Bit benötigen. Mit LZW benötigt man sicher mehr Bit, wenn die Quelle redundanzfrei ist&nbsp; (Zeichen gleichwahrscheinlich und statistisch unabhängig).
-* Bei redundanter Quelle mit (beispielsweise) $H = 1.6$ bit/Quellensymbol kann man die Bitanzahl auf $N_{\rm Bit} = N \cdot H$  begrenzen, vorausgesetzt, es handelt sich um eine sehr große Datei $(N \to \infty)$.
+* Bei redundanter Quelle mit (beispielsweise)&nbsp; $H = 1.6$ bit/Quellensymbol kann man die Bitanzahl auf&nbsp; $N_{\rm Bit} = N \cdot H$&nbsp;  begrenzen, vorausgesetzt, es handelt sich um eine sehr große Datei&nbsp; $(N \to \infty)$.
-* Bei einer eher kleinen Datei &ndash; wie hier lediglich mit $N = 150$ Bit &ndash; ist keine Aussage möglich, ob die Bitanzahl $N_{\rm Bit}$ kleiner, gleich oder größer als $150 &middot; 1.6 = 240$ sein wird.
+* Bei einer eher kleinen Datei &ndash; wie hier lediglich mit&nbsp; $N = 150$&nbsp; Bit &ndash; ist keine Aussage möglich, ob die Bitanzahl&nbsp; $N_{\rm Bit}$&nbsp; kleiner, gleich oder größer als&nbsp; $150 &middot; 1.6 = 240$&nbsp; sein wird.
-*Auch $N_{\rm Bit} > 300$ ist durchaus möglich. Dann sollte man auf die &bdquo;Lempel&ndash;Ziv&ndash;Komprimierung&rdquo; besser verzichten.
+*Auch&nbsp; $N_{\rm Bit} > 300$&nbsp; ist durchaus möglich.&nbsp; Dann sollte man auf die &bdquo;Lempel&ndash;Ziv&ndash;Komprimierung&rdquo; besser verzichten.
 {{ML-Fuß}}
 [[Category:Aufgaben zu Informationstheorie|^2.2 Verfahren von Lempel, Ziv, Welch^]]

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 *Insbesondere wird  Bezug genommen auf die Seiten&nbsp;
 :: [[Informationstheorie/Komprimierung_nach_Lempel,_Ziv_und_Welch#LZ77_.E2.80.93_die_Grundform_der_Lempel.E2.80.93Ziv.E2.80.93Algorithmen|LZ77 &ndash; die Grundform der Lempel-Ziv-Algorithmen]],
-:: [[Informationstheorie/Komprimierung_nach_Lempel,_Ziv_und_Welch#Lempel.E2.80.93Ziv.E2.80.93Codierung_mit_variabler_Indexbitl.C3.A4nge|Lempel-Ziv-Codierung mit variabler Indexbitlänge]] sowie
+:: [[Informationstheorie/Komprimierung_nach_Lempel,_Ziv_und_Welch#Lempel.E2.80.93Ziv.E2.80.93Codierung_mit_variabler_Indexbitl.C3.A4nge|Lempel-Ziv-Codierung mit variabler Indexbitlänge]],
 :: [[Informationstheorie/Komprimierung_nach_Lempel,_Ziv_und_Welch#Decodierung_des_LZW.E2.80.93Algorithmus|Decodierung des LZW-Agorithmus]].

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 [[Datei:P_ID2440__Inf_A_2_4.png|right|frame|LZW–Wörterbuch für Codierung/Decodierung]]
-Der Komprimierungsalgorithmus &bdquo;LZW &rdquo; &ndash; benannt nach den Erfindern  [https://de.wikipedia.org/wiki/Abraham_Lempel Abraham Lempel], [https://de.wikipedia.org/wiki/Jacob_Ziv Jacob Ziv]  und  [https://de.wikipedia.org/wiki/Terry_Welch Terry Welch] &ndash; arbeitet ebenso wie &bdquo;LZ78 &rdquo; mit einem globalen Wörterbuch. Dieses ist hier zu Beginn mit allen möglichen Zeichen &ndash; im Beispiel <b>A</b>, <b>B</b>, <b>C</b>, <b>D</b> &ndash; vorbelegt und wird während der Codierung sukzessive erweitert.
+Der Komprimierungsalgorithmus &bdquo;LZW &rdquo; &ndash; benannt nach den Erfindern&nbsp;  [https://de.wikipedia.org/wiki/Abraham_Lempel Abraham Lempel],&nbsp; [https://de.wikipedia.org/wiki/Jacob_Ziv Jacob Ziv]&nbsp;  und&nbsp;  [https://de.wikipedia.org/wiki/Terry_Welch Terry Welch]&nbsp; &ndash; arbeitet ebenso wie &bdquo;LZ78 &rdquo; mit einem globalen Wörterbuch.&nbsp; Dieses ist hier zu Beginn mit allen möglichen Zeichen &ndash; im Beispiel&nbsp; <b>A</b>,&nbsp; <b>B</b>,&nbsp; <b>C</b>,&nbsp; <b>D</b>&nbsp; &ndash; vorbelegt und wird während der Codierung sukzessive erweitert.
-Bei der Decodierung entsteht genau das gleiche Wörterbuch, nur erfolgt der gleiche Eintrag mit dem Index $I$ einen Schritt später als während der Codierung. Zur Bezeichnung der Decodierschritte verwenden wir hier die Laufvariable $i$.
+Bei der Decodierung entsteht genau das gleiche Wörterbuch, nur erfolgt der gleiche Eintrag mit dem Index&nbsp; $I$&nbsp; einen Schritt später als während der Codierung.&nbsp; Zur Bezeichnung der Decodierschritte verwenden wir hier die Laufvariable&nbsp; $i$.
 Hier noch einige Hinweise zur LZW&ndash;Codierung und &ndash;Decodierung:
-*Bei der Codierung wird zu jedem Zeitpunkt $i$ im Wörterbuch nach einer möglichst langen Zeichenkette gesucht, die mit dem aktuell anliegenden Eingabe&ndash;String übereinstimmt.
+*Bei der Codierung wird zu jedem Zeitpunkt&nbsp; $i$&nbsp; im Wörterbuch nach einer möglichst langen Zeichenkette gesucht, die mit dem aktuell anliegenden Eingabe&ndash;String übereinstimmt.
-*Der gefundene Wörterbuchindex $I_i$ wird stets in Binärform übertragen. Gleichzeitig wird ins Wörterbuch unter dem nächsten freien Index $W(I_i) + Z$ eingetragen.
+*Der gefundene Wörterbuchindex&nbsp; $I_i$&nbsp; wird stets in Binärform übertragen.&nbsp; Gleichzeitig wird ins Wörterbuch unter dem nächsten freien Index&nbsp; $W(I_i) + Z$&nbsp; eingetragen.
-*Hierbei bezeichner $W(I_i)$ ein Zeichen oder eine Zeichenfolge, und $Z$ ist das erste Zeichen des anstehenden Eingabe&ndash;Strings (also ebenfalls ein Character), das in $W(I_i)$ nicht mehr berücksichtigt ist.
+*Hierbei bezeichner&nbsp; $W(I_i)$&nbsp; ein Zeichen oder eine Zeichenfolge, und&nbsp; $Z$&nbsp; ist das erste Zeichen des anstehenden Eingabe&ndash;Strings&nbsp; (also ebenfalls ein Character), das in&nbsp; $W(I_i)$&nbsp; nicht mehr berücksichtigt ist.
-*Bei $M = 4$ möglichen Zeichen wird der erste Index $I_1$ mit zwei Bit übertragen, die Indizes $I_2$,&nbsp;... ,&nbsp;$I_5$ mit drei Bit, die nächsten 8 Indizes mit vier Bit, danach 16 Indizes mit fünf Bit usw. Die Begründung für diese bitsparende Maßnahme finden Sie in der Musterlösung zu dieser Aufgabe.
+*Bei&nbsp; $M = 4$&nbsp; möglichen Zeichen wird der erste Index&nbsp; $I_1$&nbsp; mit zwei Bit übertragen, die Indizes&nbsp; $I_2$,&nbsp;... ,&nbsp;$I_5$&nbsp; mit drei Bit, die nächsten acht Indizes mit vier Bit, danach 16 Indizes mit fünf Bit usw. Die Begründung für diese bitsparende Maßnahme finden Sie in der Musterlösung zu dieser Aufgabe.
-Nach der Codierung in der hier beschriebenen Art und Weise über 16 Codierschritte ergibt sich die folgende Binärfolge der Länge $_{\rm Bit} = 61$:
+Nach der Codierung in der hier beschriebenen Weise über&nbsp; $16$&nbsp; Codierschritte ergibt sich die folgende Binärfolge der Länge&nbsp; $N_{\rm Bit} = 61$:
-:$$\boldsymbol{\rm 00 000 001 010 100 0001 1000 0111 0001 0001 0011 1011 1011 01101 00011 01001}\hspace{0.05cm}.$$
+:$$\boldsymbol{\rm 00 \ 000 \ 001 \ 010 \ 100 \ 0001 \ 1000 \ 0111 \ 0001 \ 0001 \ 0011 \ 1011 \ 1011 \ 01101 \ 00011 \  01001}\hspace{0.05cm}.$$
-Aufgabe des Decoders (genauer gesagt: Ihre Aufgabe) ist es nun,
+Aufgabe des Decoders&nbsp; (genauer gesagt:&nbsp; Ihre Aufgabe)&nbsp; ist es nun,
-* aus dieser Binärsequenz die Indizes $I_1$, ... , $I_{16}$ zu rekonstruieren, wobei die unterschiedliche Bitanzahl zu berücksichtigen ist (Beschreibung der 16 Decodierergebnisse durch Dezimalzahlen),
+* aus dieser Binärsequenz die Indizes&nbsp; $I_1$, ... , $I_{16}$&nbsp; zu rekonstruieren, wobei die unterschiedliche Bitanzahl zu berücksichtigen ist&nbsp; (Beschreibung der 16 Decodierergebnisse durch Dezimalzahlen),
 * anschließend aus dem Wörterbuch entsprechend den Indizes die zugehörigen Zeichen bzw. Zeichenfolgen auszulesen und schließlich &ndash; mit einem Schritt Verzögerung &ndash; den neuen Wörterbucheintrag zu generieren.
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 ''Hinweise:''
-*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Informationstheorie/Komprimierung_nach_Lempel,_Ziv_und_Welch|Komprimierung nach Lempel, Ziv und Welch]].
+*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Informationstheorie/Komprimierung_nach_Lempel,_Ziv_und_Welch|Komprimierung nach Lempel, Ziv und Welch]].
-*Insbesondere wird  Bezug genommen auf die Seiten
+*Insbesondere wird  Bezug genommen auf die Seiten&nbsp;
 :: [[Informationstheorie/Komprimierung_nach_Lempel,_Ziv_und_Welch#LZ77_.E2.80.93_die_Grundform_der_Lempel.E2.80.93Ziv.E2.80.93Algorithmen|LZ77 &ndash; die Grundform der Lempel-Ziv-Algorithmen]],
 :: [[Informationstheorie/Komprimierung_nach_Lempel,_Ziv_und_Welch#Lempel.E2.80.93Ziv.E2.80.93Codierung_mit_variabler_Indexbitl.C3.A4nge|Lempel-Ziv-Codierung mit variabler Indexbitlänge]] sowie
 :: [[Informationstheorie/Komprimierung_nach_Lempel,_Ziv_und_Welch#Decodierung_des_LZW.E2.80.93Algorithmus|Decodierung des LZW-Agorithmus]].
-*Die [[Aufgaben:Aufgabe_2.3:_Zur_LZ78-Komprimierung|Aufgabe 2.3]] sowie die [[Aufgaben:Aufgabe_2.3Z:_Zur_LZ77-Codierung|Aufgabe 2.3Z]] behandeln andere LZ-Verfahren in ähnlicher Weise.
+*Die&nbsp; [[Aufgaben:Aufgabe_2.3:_Zur_LZ78-Komprimierung|Aufgabe 2.3]]&nbsp; sowie die&nbsp; [[Aufgaben:Aufgabe_2.3Z:_Zur_LZ77-Codierung|Aufgabe 2.3Z]]&nbsp; behandeln andere LZ-Verfahren in ähnlicher Weise.
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 <quiz display=simple>
-{Welche Indizes stehen zu den ersten vier Schritten $i=1$, ... , $i=4$ zur Decodierung an? <br>Geben Sie alle $I_i = I(i)$ als Dezimalzahlen ein.
+{Welche Indizes stehen zu den ersten vier Schritten&nbsp; $i=1$, ... , $i=4$&nbsp; zur Decodierung an?&nbsp; Geben Sie alle&nbsp; $I_i = I(i)$&nbsp; als Dezimalzahlen ein.
 |type="{}"}
 $I_1 \ = \ $ { 0. }
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-{Setzen Sie die Unterteilung des Decoder&ndash;Eingabestrings bis zum Ende fort. <br>Welche Indizes ergeben sich bei den  Decodierschritten $i=5$, ... , $i=8$?
+{Setzen Sie die Unterteilung des Decoder&ndash;Eingabestrings bis zum Ende fort.&nbsp; Welche Indizes ergeben sich bei den  Decodierschritten&nbsp; $i=5$, ... , $i=8$?
 |type="{}"}
 $I_5 \ = \ $ { 4 }
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-{Wie lautet der Ausgabe&ndash;String nach $i = 16$ Decodierschritten?
+{Wie lautet der Ausgabe&ndash;String nach&nbsp; $i = 16$&nbsp; Decodierschritten?
-|type="[]"}
+|type="()"}
 - <b>AABCAABAABCAABCABBDBBDCDBA</b>,
 + <b>AABCAABAABCABBDCABCABBDDBA</b>,
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-{Der nächste Index lautet: &nbsp; $I_{17} = 10010$ (binär) $= 18$ (dezimal). <br>Welche der folgenden Aussagen treffen zu?
+{Der nächste Index lautet: &nbsp; $I_{17} = 10010$ (binär) $= 18$ (dezimal).&nbsp; Welche der folgenden Aussagen treffen zu?
 |type="[]"}
-+ Die Decoderausgabe zum Schritt $i = 17$ lautet <b>DB</b>.
++ Die Decoderausgabe zum Schritt&nbsp; $i = 17$&nbsp; lautet&nbsp; <b>DB</b>.
-- Die Decoderausgabe zum Schritt $i = 17$ lautet <b>BAD</b>.
+- Die Decoderausgabe zum Schritt&nbsp; $i = 17$&nbsp; lautet&nbsp; <b>BAD</b>.
-- Neuer Wörterbucheintrag <b>DB</b> in die Zeile $I = 19$.
+- Neuer Wörterbucheintrag&nbsp; <b>DB</b>&nbsp; in die Zeile&nbsp; $I = 19$.
-+ Neuer Wörterbucheintrag <b>BAD</b> in die Zeile $I = 19$.
++ Neuer Wörterbucheintrag&nbsp; <b>BAD</b>&nbsp; in die Zeile&nbsp; $I = 19$.
-{Der Decoder&ndash;Eingabestring besteht aus $N_{\rm Bit} = 300$ Binärzeichen (Bit). <br>Welche der folgenden Aussagen sind dann sicher zutreffend?
+{Der Decoder&ndash;Eingabestring bestehe aus&nbsp; $N_{\rm Bit} = 300$&nbsp; Binärzeichen (Bit).&nbsp; Welche der folgenden Aussagen sind dann sicher zutreffend?
 |type="[]"}
-+ Übertragen wurden $58$ LZW&ndash;Phrasen mit variabler Bitlänge.
++ Übertragen wurden&nbsp; $58$&nbsp; LZW&ndash;Phrasen mit variabler Bitlänge.
 - Mit einheitlicher Indexbitlänge wären weniger Bit erforderlich.
-- Übertragen wurde eine Datei mit $N =150$ Quaternärzeichen.
+- Übertragen wurde eine Datei mit&nbsp; $N =150$&nbsp; Quaternärzeichen.

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 <quiz display=simple>
-{Welche Indizes stehen zu den ersten vier Schritten zur Decodierung an? Geben Sie alle <i>I<sub>i&nbsp;</sub></i> als Dezimalzahlen ein.
+{Welche Indizes stehen zu den ersten vier Schritten $i=1$, ... , $i=4$ zur Decodierung an? <br>Geben Sie alle $I_i = I(i)$ als Dezimalzahlen ein.
 |type="{}"}
-$i = 1\text{:}\ \ I_1 \ = $ { 0. }
+$I_1 \ = \ $ { 0. }
-$i = 2\text{:}\ \ I_2 \ = $ { 0. }
+$I_2 \ = \ $ { 0. }
-$i = 3\text{:}\ \ I_3 \ = $ { 1 }
+$I_3 \ = \ $ { 1 }
-$i = 4\text{:}\ \ I_4 \ = $ { 2 }
+$I_4 \ = \ $ { 2 }
-{Setzen Sie die Unterteilung des Decoder&ndash;Eingabestrings bis zum Ende fort. Welche Indizes ergeben sich bei den aufgeführten Decodierschritten?
+{Setzen Sie die Unterteilung des Decoder&ndash;Eingabestrings bis zum Ende fort. <br>Welche Indizes ergeben sich bei den  Decodierschritten $i=5$, ... , $i=8$?
 |type="{}"}
-$i = 5\text{:}\ \ I_5 \ = $ { 4 }
+$I_5 \ = \ $ { 4 }
-$i = 6\text{:}\ \ I_6 \ = $ { 1 }
+$I_6 \ = \ $ { 1 }
-$i = 7\text{:}\ \ I_7 \ = $ { 8 }
+$I_7 \ = \ $ { 8 }
-$i = 8\text{:}\ \ I_8 \ = $ { 7 }
+$I_8 \ = \ $ { 7 }
-{Wie lautet der Ausgabe&ndash;String nach <i>i</i> = 16 Decodierschritten?
+{Wie lautet der Ausgabe&ndash;String nach $i = 16$ Decodierschritten?
 |type="[]"}
 - <b>AABCAABAABCAABCABBDBBDCDBA</b>,
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-{Der nächste Index lautet: <i>I</i><sub>17</sub> = 10010 (binär) = 18 (dezimal). Welche der folgenden Aussagen treffen zu?
+{Der nächste Index lautet: &nbsp; $I_{17} = 10010$ (binär) $= 18$ (dezimal). <br>Welche der folgenden Aussagen treffen zu?
 |type="[]"}
-+ Die Decoderausgabe zum Schritt <i>i</i> = 17 lautet <b>DB</b>.
++ Die Decoderausgabe zum Schritt $i = 17$ lautet <b>DB</b>.
-- Die Decoderausgabe zum Schritt <i>i</i> = 17 lautet <b>BAD</b>.
+- Die Decoderausgabe zum Schritt $i = 17$ lautet <b>BAD</b>.
-- Neuer Wörterbucheintrag <b>DB</b> in die Zeile <i>I</i> = 19.
+- Neuer Wörterbucheintrag <b>DB</b> in die Zeile $I = 19$.
-+ Neuer Wörterbucheintrag <b>BAD</b> in die Zeile <i>I</i> = 19.
++ Neuer Wörterbucheintrag <b>BAD</b> in die Zeile $I = 19$.
-{Der Decoder&ndash;Eingabestring besteht aus <i>N</i><sub>Bit</sub> = 300 Binärzeichen (Bit). Welche der folgenden Aussagen sind dann sicher zutreffend?
+{Der Decoder&ndash;Eingabestring besteht aus $N_{\rm Bit} = 300$ Binärzeichen (Bit). <br>Welche der folgenden Aussagen sind dann sicher zutreffend?
 |type="[]"}
-+ Übertragen wurden 58 LZW&ndash;Phrasen mit variabler Bitlänge.
++ Übertragen wurden $58$ LZW&ndash;Phrasen mit variabler Bitlänge.
 - Mit einheitlicher Indexbitlänge wären weniger Bit erforderlich.
-- Übertragen wurde eine Datei mit <i>N</i>&nbsp;=&nbsp;150 Quaternärzeichen.
+- Übertragen wurde eine Datei mit $N =150$ Quaternärzeichen.

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 *Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Informationstheorie/Komprimierung_nach_Lempel,_Ziv_und_Welch|Komprimierung nach Lempel, Ziv und Welch]].
 *Insbesondere wird  Bezug genommen auf die Seiten [[Informationstheorie/Komprimierung_nach_Lempel,_Ziv_und_Welch#Der_Lempel.E2.80.93Ziv.E2.80.93Welch.E2.80.93Algorithmus|LZ77 &ndash; die Grundform der Lempel-Ziv-Algorithmen]], [[Informationstheorie/Komprimierung_nach_Lempel,_Ziv_und_Welch#Lempel.E2.80.93Ziv.E2.80.93Codierung_mit_variabler_Indexbitl.C3.A4nge|Lempel-Ziv-Codierung mit variabler Indexbitlänge]] sowie [[Informationstheorie/Komprimierung_nach_Lempel,_Ziv_und_Welch#Decodierung_des_LZW.E2.80.93Algorithmus|Decodierung des LZW-Agorithmus]].
-*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes &bdquo;0&rdquo; erforderlich sein, so geben Sie bitte &bdquo;0.&rdquo; ein.
 *Die [[Aufgaben:2.3_Zur_LZ78-Komprimierung|Aufgabe 2.3]] sowie die [[Aufgaben:2.3Z_Zur_LZ77-Codierung|Zusatzaufgabe 2.3Z]] behandeln andere LZ-Verfahren in ähnlicher Weise.