Aufgaben:Aufgabe 2.4: Gleichgerichteter Cosinus - Versionsgeschichte

Guenter am 15. April 2021 um 12:00 Uhr

2021-04-15T12:00:56Z

Guenter am 15. April 2021 um 11:55 Uhr

2021-04-15T11:55:35Z

Guenter am 3. September 2019 um 14:19 Uhr

2019-09-03T14:19:51Z

Guenter am 3. September 2019 um 14:17 Uhr

2019-09-03T14:17:36Z

Guenter am 3. September 2019 um 14:04 Uhr

2019-09-03T14:04:07Z

Guenter am 17. Juli 2018 um 13:56 Uhr

2018-07-17T13:56:38Z

Guenter am 17. Juli 2018 um 13:43 Uhr

2018-07-17T13:43:06Z

Mwiki-lnt: Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

2018-05-29T12:02:43Z

Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

Guenter am 20. Dezember 2017 um 10:37 Uhr

2017-12-20T10:37:35Z

Guenter am 20. Dezember 2017 um 10:22 Uhr

2017-12-20T10:22:29Z

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-'''(3)'''&nbsp; Im Bereich von&nbsp; $–T_0/2$&nbsp; bis&nbsp; $+T_0/2 \ (–25\,&micro;\text{s} \ \text{...}  +25\,&micro;\text{s})$&nbsp; ist&nbsp; $y(t) = x(t)$. Mit&nbsp; $f_x= 10\,\rm{kHz} = 1/(2T_0)$&nbsp; gilt deshalb für diesen Abschnitt:
+'''(3)'''&nbsp; Im Bereich von&nbsp; $–T_0/2$&nbsp; bis&nbsp; $+T_0/2 \ (–25\,&micro;\text{s} \ \text{...}  +25\,&micro;\text{s})$&nbsp; ist&nbsp; $y(t) = x(t)$.&nbsp; Mit&nbsp; $f_x= 10\,\rm{kHz} = 1/(2T_0)$&nbsp; gilt deshalb für diesen Abschnitt:
 :$$y(t)={\rm 1V}\cdot\cos(2{\pi} f_0\hspace{0.05cm}t)={\rm 1V}\cdot\cos(\pi \cdot {t}/{T_0}).$$
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-'''(4)'''&nbsp; Da&nbsp; $y(–t) = y(t)$&nbsp; gilt, sind alle Sinuskoeffizienten&nbsp; $B_n = 0$. Damit ist auch&nbsp; $B_2 \hspace{0.1cm}\underline{= 0}$.
+'''(4)'''&nbsp; Da&nbsp; $y(–t) = y(t)$&nbsp; gilt, sind alle Sinuskoeffizienten&nbsp; $B_n = 0$.&nbsp; Damit ist auch&nbsp; $B_2 \hspace{0.1cm}\underline{= 0}$.
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-'''(7)'''&nbsp; Die Zeit&nbsp; $t = 25\,&micro;\text{s}$&nbsp;  entspricht der halben Periodendauer des Signals&nbsp; $y(t)$. Hierfür gilt wegen&nbsp; $\omega_0 \cdot T_0 = 2\pi$:
+'''(7)'''&nbsp; Die Zeit&nbsp; $t = 25\,&micro;\text{s}$&nbsp;  entspricht der halben Periodendauer des Signals&nbsp; $y(t)$.&nbsp; Hierfür gilt wegen&nbsp; $\omega_0 \cdot T_0 = 2\pi$:
 :$$y_3(T_0/2)  = \frac{2{\rm V}}{\pi} \left [1+\frac{2}{3} \cdot \cos({\pi}) -\frac{2}{15}\cdot \cos(2\pi)+\frac{2}{35}\cdot \cos(3\pi)\right ]=   \frac{2{\rm V}}{\pi}\left [1-\frac{2}{3}-\frac{2}{15}-\frac{2}{35}\right ] =  \frac{2{\rm V}}{7\pi}\approx 0.091{\rm V}.$$

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 [[Datei:P_ID300__Sig_A_2_4.png|right|frame|Gleichgerichteter Cosinus]]
-Ein Cosinussignal&nbsp; $x(t)$&nbsp; mit der Amplitude&nbsp; $1\,\rm{V}$&nbsp; und der Frequenz&nbsp; $f_0= 10\,\rm{kHz}$&nbsp; wird an den Eingang eines Doppelweggleichrichters gelegt. An dessen Ausgang ergibt sich das Signal&nbsp; $y(t)$, das in der Grafik unten dargestellt ist.
+Ein Cosinussignal&nbsp; $x(t)$&nbsp; mit der Amplitude&nbsp; $1\,\rm{V}$&nbsp; und der Frequenz&nbsp; $f_0= 10\,\rm{kHz}$&nbsp; wird an den Eingang eines Doppelweggleichrichters gelegt.&nbsp; An dessen Ausgang ergibt sich das Signal&nbsp; $y(t)$, das in der Grafik unten dargestellt ist.
-Bei den Teilaufgaben&nbsp; '''(6)'''&nbsp; und&nbsp; '''(7)'''&nbsp; wird auch das Fehlersignal&nbsp; $\varepsilon_3(t) = y_3(t) - y(t)$&nbsp; verwendet. Dieses beschreibt die Differenz zwischen der auf lediglich&nbsp; $N = 3$&nbsp; Koeffizienten begrenzten Fourierreihe  &nbsp; ⇒ &nbsp; $y_3(t)$ &nbsp;  und dem tatsächlichen Ausgangssignal&nbsp; $y(t)$.
+Bei den Teilaufgaben&nbsp; '''(6)'''&nbsp; und&nbsp; '''(7)'''&nbsp; wird auch das Fehlersignal&nbsp; $\varepsilon_3(t) = y_3(t) - y(t)$&nbsp; verwendet.&nbsp; Dieses beschreibt die Differenz zwischen der auf lediglich&nbsp; $N = 3$&nbsp; Koeffizienten begrenzten Fourierreihe  &nbsp; ⇒ &nbsp; $y_3(t)$ &nbsp;  und dem tatsächlichen Ausgangssignal&nbsp; $y(t)$.
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 $A_0\ = \ $  { 0.637 3% } &nbsp; ${\rm V}$
-{Wie lauten die Sinuskoeffizienten&nbsp; $B_n$? Begründen Sie Ihr Ergebnis. Geben Sie zur Kontrolle den Koeffizienten&nbsp; $B_2$&nbsp; ein.
+{Wie lauten die Sinuskoeffizienten&nbsp; $B_n$?&nbsp; Begründen Sie Ihr Ergebnis.&nbsp; Geben Sie zur Kontrolle den Koeffizienten&nbsp; $B_2$&nbsp; ein.
 |type="{}"}
 $B_2\ = \ $  { 0. } &nbsp; ${\rm V}$
-{Berechnen Sie nun die Cosinuskoeffizienten&nbsp; $A_n$. Geben Sie zur Kontrolle den Koeffizienten&nbsp; $A_2$&nbsp; ein.
+{Berechnen Sie nun die Cosinuskoeffizienten&nbsp; $A_n$.&nbsp; Geben Sie zur Kontrolle den Koeffizienten&nbsp; $A_2$&nbsp; ein.
 |type="{}"}
 $A_2\ = \ $  { -0.087--0.083 } &nbsp; ${\rm V}$
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 $\varepsilon_3(t= 0)\ = \ $  { 0.0125 3% } ${\rm V}$
-{Berechnen Sie nun den Fehler&nbsp; $\varepsilon_3(t= 25 \,&micro;{\rm s})$. Interpretieren Sie diesen Wert im Vergleich zum Ergebnis aus&nbsp; '''(6)'''.
+{Berechnen Sie nun den Fehler&nbsp; $\varepsilon_3(t= 25 \,&micro;{\rm s})$.&nbsp; Interpretieren Sie diesen Wert im Vergleich zum Ergebnis aus&nbsp; '''(6)'''.
 |type="{}"}
 $\varepsilon_3(t= 25 \,&micro;{\rm s})\ = \ $  { 0.091 3% } ${\rm V}$

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−	'''(7)'''  Die Zeit  $t = 25\,µ\text{s}$  entspricht der halben Periodendauer des Signals  $y(t)$.	+	'''(7)'''  Die Zeit  $t = 25\,µ\text{s}$  entspricht der halben Periodendauer des Signals  $y(t)$. Hierfür gilt wegen  $\omega_0 \cdot T_0 = 2\pi$:
−	* Hierfür gilt wegen  $\omega_0 \cdot T_0 = 2\pi$:

	:$$y_3(T_0/2) = \frac{2{\rm V}}{\pi} \left [1+\frac{2}{3} \cdot \cos({\pi}) -\frac{2}{15}\cdot \cos(2\pi)+\frac{2}{35}\cdot \cos(3\pi)\right ]= \frac{2{\rm V}}{\pi}\left [1-\frac{2}{3}-\frac{2}{15}-\frac{2}{35}\right ] = \frac{2{\rm V}}{7\pi}\approx 0.091{\rm V}.$$		:$$y_3(T_0/2) = \frac{2{\rm V}}{\pi} \left [1+\frac{2}{3} \cdot \cos({\pi}) -\frac{2}{15}\cdot \cos(2\pi)+\frac{2}{35}\cdot \cos(3\pi)\right ]= \frac{2{\rm V}}{\pi}\left [1-\frac{2}{3}-\frac{2}{15}-\frac{2}{35}\right ] = \frac{2{\rm V}}{7\pi}\approx 0.091{\rm V}.$$

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 {{ML-Kopf}}
 '''(1)'''&nbsp; Richtig sind hier alle Lösungsvorschläge außer dem Vierten:
-*Aus der Signalfrequenz $f_0= 10\,\rm{kHz}$ folgt $T_0 = 1/f_0 = 100\,&micro;\text{s}$.
+*Aus der Signalfrequenz&nbsp; $f_0= 10\,\rm{kHz}$&nbsp; folgt&nbsp; $T_0 = 1/f_0 = 100\,&micro;\text{s}$.
-*Das Cosinussignal ist gleichsignalfrei ($A_0 = 0$) und wird durch einen einzigen Cosinuskoeffizienten – nämlich $A_1$ – vollständig beschrieben.
+*Das Cosinussignal ist gleichsignalfrei&nbsp; $(A_0 = 0)$&nbsp; und wird durch einen einzigen Cosinuskoeffizienten – nämlich&nbsp; $A_1$&nbsp; – vollständig beschrieben.
-*Alle Sinuskoeffizienten  sind $B_n \equiv 0$, da $x(t)$ eine gerade Funktion ist.
+*Alle Sinuskoeffizienten  sind&nbsp; $B_n \equiv 0$, da&nbsp; $x(t)$&nbsp; eine gerade Funktion ist.
-*Die Fourierreihendarstellung $x_3(t)$ bildet $x(t)$ fehlerfrei nach.
+*Die Fourierreihendarstellung&nbsp; $x_3(t)$&nbsp; bildet&nbsp; $x(t)$&nbsp; fehlerfrei nach.
 '''(3)'''&nbsp; Im Bereich von $–T_0/2$ bis $+T_0/2 \ (–25\,&micro;\text{s} \ \text{...}  +25\,&micro;\text{s})$ ist $y(t) = x(t)$. Mit $f_x= 10\,\rm{kHz} = 1/(2T_0)$ gilt deshalb für diesen Abschnitt:
 :$$y(t)={\rm 1V}\cdot\cos(2{\pi} f_0\hspace{0.05cm}t)={\rm 1V}\cdot\cos(\pi \cdot {t}/{T_0}).$$
-Daraus ergibt sich für den Gleichsignalanteil:
+*Daraus ergibt sich für den Gleichsignalanteil:
 :$$A_0=\frac{1}{T_0}\int^{T_0/2}_{-T_0/2}y(t)\,{\rm d} t=\frac{1}{T_0}\int^{T_0/2}_{-T_0/2}{\rm 1V}\cdot\cos(\pi\cdot {t}/{T_0})\,{\rm d}t.$$
-Mit der Substitution $u = \pi \cdot t/T_0$ erhält man schließlich:
+*Mit der Substitution&nbsp; $u = \pi \cdot t/T_0$&nbsp; erhält man schließlich:
 :$$A_0=\left. \frac{ {\rm 1V}}{\pi}\int_{-\pi /2}^{\pi/2}\cos(u)\,{\rm d}u=\frac{ {\rm 1V}}{\pi}\sin(u)\; \right| _{-\pi/2}^{\pi/2}=\frac{ {\rm 1V}\cdot 2}{\pi} \hspace{0.15cm}\underline{\approx 0.637\;{\rm V}}.$$
 '''(4)'''&nbsp; Da $y(–t) = y(t)$ gilt, sind alle Sinuskoeffizienten $B_n = 0$. Damit ist auch $B_2 \hspace{0.1cm}\underline{= 0}$.
-'''(5)'''&nbsp;  Für die Koeffizienten $A_n$ gilt mit der Substitution $u = \pi \cdot t/T_0$ entsprechend dem angegebenen Integral:
+'''(5)'''&nbsp;  Für die Koeffizienten&nbsp; $A_n$&nbsp; gilt mit der Substitution&nbsp; $u = \pi \cdot t/T_0$&nbsp; entsprechend dem angegebenen Integral:
 :$$A_n  = \frac{2{\rm V}}{T_0}\int_{-T_0/2}^{T_0/2}\cos(\pi\frac{t}{T_0})\cdot \cos(n\cdot 2\pi\frac{t}{T_0})\,{\rm d}t  = \frac{2{\rm V}}{\pi}\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\cos(u)\cdot \cos(2n u)\,{\rm d}u \quad
 \Rightarrow  \quad A_n  = \left( { - 1} \right)^{n + 1} \frac{{4\;{\rm{V}}}}{{{\rm{\pi }}\left( {4n^2  - 1} \right)}}.$$
-Der Koeffizient $A_2$ ist damit gleich $-4 \,\text{V}/(15\pi) \hspace{0.1cm}\underline{\approx -\hspace{0.05cm}0.085 \, \text{V}}$.
+Der Koeffizient&nbsp; $A_2$&nbsp; ist damit gleich&nbsp; $-4 \,\text{V}/(15\pi) \hspace{0.1cm}\underline{\approx -\hspace{0.05cm}0.085 \, \text{V}}$.
 '''(6)'''&nbsp; Für die endliche Fourierreihe mit $N = 3$ gilt allgemein:
 :$$y_3(t)=\frac{2{\rm V}}{\pi} \cdot \left [ 1+{2}/{3} \cdot \cos(\omega_0t)-{2}/{15}\cdot \cos(2\omega_0t)+{2}/{35}\cdot \cos(3\omega_0t) \right ].$$
-Zum Zeitpunkt $t = 0$ ist $y_3(0) \approx$ 1.0125 V; damit ergibt sich der Fehler zu $\varepsilon_3(t = 0) \hspace{0.15cm}\underline{= 0.0125 \,\text{V}}$ .
+Zum Zeitpunkt&nbsp; $t = 0$&nbsp; ist&nbsp; $y_3(0) \approx 1.0125 \ \rm V$; damit ergibt sich der Fehler zu&nbsp; $\varepsilon_3(t = 0) \hspace{0.15cm}\underline{= 0.0125 \,\text{V}}$ .
-'''(7)'''&nbsp; Die Zeit $t = 25\,&micro;\text{s}$  entspricht der halben Periodendauer des Signals $y(t)$. Hierfür gilt wegen $\omega_0 \cdot T_0 = 2\pi$:
+'''(7)'''&nbsp; Die Zeit&nbsp; $t = 25\,&micro;\text{s}$&nbsp;  entspricht der halben Periodendauer des Signals&nbsp; $y(t)$.
 :$$y_3(T_0/2)  = \frac{2{\rm V}}{\pi} \left [1+\frac{2}{3} \cdot \cos({\pi}) -\frac{2}{15}\cdot \cos(2\pi)+\frac{2}{35}\cdot \cos(3\pi)\right ]=   \frac{2{\rm V}}{\pi}\left [1-\frac{2}{3}-\frac{2}{15}-\frac{2}{35}\right ] =  \frac{2{\rm V}}{7\pi}\approx 0.091{\rm V}.$$
-Da $y(T_0/2) = 0$ ist, ergibt sich auch $\varepsilon_3(T_0/2) \hspace{0.15cm}\underline{\approx 0.091\,{\rm V}}$.
+*Da&nbsp; $y(T_0/2) = 0$&nbsp; ist, ergibt sich auch&nbsp; $\varepsilon_3(T_0/2) \hspace{0.15cm}\underline{\approx 0.091\,{\rm V}}$.
-*Dieser Fehler ist um mehr als den Faktor 7 größer als der Fehler bei $t = 0$, da das Signal $y(t)$ bei $t = T_0/2$ mehr hochfrequente Anteile besitzt (spitzförmiger Verlauf).
+*Dieser Fehler ist um mehr als den Faktor $7$ größer als der Fehler bei&nbsp; $t = 0$, da&nbsp; $y(t)$&nbsp; bei&nbsp; $t = T_0/2$&nbsp; mehr hochfrequente Anteile besitzt (spitzförmiger Verlauf).
-*Wird gefordert, dass der Fehler $\varepsilon_3(T_0/2)$ kleiner als 0.01 sein soll, dann müssten mindestens 32 Fourierkoeffizienten berücksichtigt werden.
+*Wird gefordert, dass der Fehler&nbsp; $\varepsilon_3(T_0/2)$&nbsp; kleiner als&nbsp; $0.01$&nbsp; sein soll, dann müssten mindestens&nbsp; $32$&nbsp; Fourierkoeffizienten berücksichtigt werden.
 {{ML-Fuß}}

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 [[Datei:P_ID300__Sig_A_2_4.png|right|frame|Gleichgerichteter Cosinus]]
-Ein Cosinussignal $x(t)$ mit der Amplitude $1\,\rm{V}$ und der Frequenz $f_0= 10\,\rm{kHz}$ wird an den Eingang eines Doppelweggleichrichters gelegt. An dessen Ausgang ergibt sich das Signal $y(t)$, das in der Grafik ebenfalls dargestellt ist.
+Ein Cosinussignal&nbsp; $x(t)$&nbsp; mit der Amplitude&nbsp; $1\,\rm{V}$&nbsp; und der Frequenz&nbsp; $f_0= 10\,\rm{kHz}$&nbsp; wird an den Eingang eines Doppelweggleichrichters gelegt. An dessen Ausgang ergibt sich das Signal&nbsp; $y(t)$, das in der Grafik unten dargestellt ist.
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 ''Hinweise:''
-*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Signaldarstellung/Fourierreihe|Fourierreihe]].
+*Die Aufgabe gehört zum Kapitel&nbsp; [[Signaldarstellung/Fourierreihe|Fourierreihe]].
-*Zur Lösung der Aufgabe können Sie das folgende bestimmte Integral benutzen ($n$ sei ganzzahlig):
+*Zur Lösung der Aufgabe können Sie das folgende bestimmte Integral benutzen&nbsp; $(n$ sei ganzzahlig$)$:
 :$$\int ^{\pi /2}_{-\pi /2}\cos(u)\cdot\cos(2nu)\,{\rm d}u  =  (-1)^{n+1}\cdot\frac{2}{4n^2-1}.$$
-*Eine kompakte Zusammenfassung der Thematik finden Sie im Lernvideo [[Zur_Berechnung_der_Fourierkoeffizienten_(Lernvideo)|Zur Berechnung der Fourierkoeffizienten]].
+*Eine kompakte Zusammenfassung der Thematik finden Sie im Lernvideo&nbsp; [[Zur_Berechnung_der_Fourierkoeffizienten_(Lernvideo)|Zur Berechnung der Fourierkoeffizienten]].
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 <quiz display=simple>
-{Welche der folgenden Aussagen sind für das Signal $x(t)$ zutreffend?
+{Welche der folgenden Aussagen sind für das Signal&nbsp; $x(t)$&nbsp; zutreffend?
 |type="[]"}
-+ Die Periodendauer ist  $T_0 = 100 \,&micro;{\rm s}$.
++ Die Periodendauer ist&nbsp;  $T_0 = 100 \,&micro;{\rm s}$.
-+ Der Gleichsignalkoeffizient ist $A_0 = 0$.
++ Der Gleichsignalkoeffizient ist&nbsp; $A_0 = 0$.
-+ Von allen Cosinuskoeffizienten $A_n$ ist nur einer ungleich $0$.
++ Von allen Cosinuskoeffizienten&nbsp; $A_n$&nbsp; ist genau einer ungleich Null.
-- Von allen Sinuskoeffizienten $B_n$ ist nur einer ungleich $0$.
+- Von allen Sinuskoeffizienten&nbsp; $B_n$&nbsp; ist genau einer ungleich Null.
-+ Die Fourierreihe $x_3(t)$ weicht nicht vom tatsächlichen Signal $x(t)$ ab.
++ Die Fourierreihe&nbsp; $x_3(t)$&nbsp; weicht nicht vom tatsächlichen Signal&nbsp; $x(t)$&nbsp; ab.
-{Wie groß ist die Periodendauer des Signals $y(t)$?
+{Wie groß ist die Periodendauer des Signals&nbsp; $y(t)$?
 |type="{}"}
 $T_0\ = \ $ { 50 3% } &nbsp; ${\rm &micro;s}$
-{Berechnen Sie den Gleichsignalanteil des Signals $y(t)$.
+{Berechnen Sie den Gleichsignalanteil des Signals&nbsp; $y(t)$.
 |type="{}"}
 $A_0\ = \ $  { 0.637 3% } &nbsp; ${\rm V}$
-{Wie lauten die Sinuskoeffizienten $B_n$? Begründen Sie Ihr Ergebnis. Geben Sie zur Kontrolle den Koeffizienten $B_2$ ein.
+{Wie lauten die Sinuskoeffizienten&nbsp; $B_n$? Begründen Sie Ihr Ergebnis. Geben Sie zur Kontrolle den Koeffizienten&nbsp; $B_2$&nbsp; ein.
 |type="{}"}
 $B_2\ = \ $  { 0. } &nbsp; ${\rm V}$
-{Berechnen Sie nun die Cosinuskoeffizienten $A_n$. Geben Sie zur Kontrolle den Koeffizienten $A_2$ ein.
+{Berechnen Sie nun die Cosinuskoeffizienten&nbsp; $A_n$. Geben Sie zur Kontrolle den Koeffizienten&nbsp; $A_2$&nbsp; ein.
 |type="{}"}
 $A_2\ = \ $  { -0.087--0.083 } &nbsp; ${\rm V}$
-{Geben Sie die Fourierreihe $y_3(t)$ analytisch an (Begrenzung auf je $N = 3$ Sinus– bzw. Cosinuskoeffizienten).
+{Geben Sie die Fourierreihe&nbsp; $y_3(t)$&nbsp; analytisch an (Begrenzung auf je&nbsp; $N = 3$&nbsp; Sinus– bzw. Cosinuskoeffizienten).
-Wie groß ist der Fehler zwischen dieser endlichen Fourierreihe und dem tatsächlichen Signalwert bei $t = 0$?
+<br>Wie groß ist der Fehler zwischen dieser endlichen Fourierreihe und dem tatsächlichen Signalwert bei&nbsp; $t = 0$?
 |type="{}"}
 $\varepsilon_3(t= 0)\ = \ $  { 0.0125 3% } ${\rm V}$
-{Berechnen Sie nun den Fehler $\varepsilon_3(t= 25 \,&micro;{\rm s})$ . Interpretieren Sie diesen Wert im Vergleich zum Ergebnis aus 6).
+{Berechnen Sie nun den Fehler&nbsp; $\varepsilon_3(t= 25 \,&micro;{\rm s})$. Interpretieren Sie diesen Wert im Vergleich zum Ergebnis aus&nbsp; '''(6)'''.
 |type="{}"}
 $\varepsilon_3(t= 25 \,&micro;{\rm s})\ = \ $  { 0.091 3% } ${\rm V}$

← Nächstältere Version		Version vom 17. Juli 2018, 13:43 Uhr
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	Ein Cosinussignal $x(t)$ mit der Amplitude $1\,\rm{V}$ und der Frequenz $f_0= 10\,\rm{kHz}$ wird an den Eingang eines Doppelweggleichrichters gelegt. An dessen Ausgang ergibt sich das Signal $y(t)$, das in der Grafik ebenfalls dargestellt ist.		Ein Cosinussignal $x(t)$ mit der Amplitude $1\,\rm{V}$ und der Frequenz $f_0= 10\,\rm{kHz}$ wird an den Eingang eines Doppelweggleichrichters gelegt. An dessen Ausgang ergibt sich das Signal $y(t)$, das in der Grafik ebenfalls dargestellt ist.

−	Bei den Teilaufgaben (6) und (7) wird auch das Fehlersignal $\varepsilon_3(t) = y_3(t) - y(t)$ verwendet. Dieses beschreibt die Differenz zwischen der auf lediglich $N = 3$ Koeffizienten begrenzten Fourierreihe   ⇒ $y_3(t)$   und dem tatsächlichen Ausgangssignal $y(t)$.	+	Bei den Teilaufgaben (6) und (7) wird auch das Fehlersignal $\varepsilon_3(t) = y_3(t) - y(t)$ verwendet. Dieses beschreibt die Differenz zwischen der auf lediglich $N = 3$ Koeffizienten begrenzten Fourierreihe   ⇒   $y_3(t)$   und dem tatsächlichen Ausgangssignal $y(t)$.

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 *Aus der Signalfrequenz $f_0= 10\,\rm{kHz}$ folgt $T_0 = 1/f_0 = 100\,\mu\text{s}$.
 *Das Cosinussignal ist gleichsignalfrei ($A_0 = 0$) und wird durch einen einzigen Cosinuskoeffizienten – nämlich $A_1$ – vollständig beschrieben.
-*Alle Sinuskoeffizienten $B_n$ sind identisch 0, da $x(t)$ eine gerade Funktion ist.
+*Alle Sinuskoeffizienten  sind $B_n \equiv 0$, da $x(t)$ eine gerade Funktion ist.
 *Die Fourierreihendarstellung $x_3(t)$ bildet $x(t)$ fehlerfrei nach.
-'''(2)'''&nbsp; Aufgrund der Doppelweggleichrichtung ergibt sich für die Periodendauer nunmehr der halbe Wert: $T_0 = 50\,\mu\text{s} \hspace{0.1cm}\underline{= 0.05\,\text{ms}}$. Bei allen nachfolgenden Punkten bezieht sich doe Angabe $T_0$ auf diesen Wert, also auf die Periodendauer des Signals $y(t)$.
+'''(2)'''&nbsp; Aufgrund der Doppelweggleichrichtung ergibt sich für die Periodendauer nunmehr der halbe Wert: $T_0 = 50\,\mu\text{s} \hspace{0.1cm}\underline{= 0.05\,\text{ms}}$. <br>Bei allen nachfolgenden Punkten bezieht sich die Angabe $T_0$ auf diesen Wert, also auf die Periodendauer des Signals $y(t)$.
 '''(3)'''&nbsp; Im Bereich von $–T_0/2$ bis $+T_0/2 (–25\,\mu\text{s} ... +25\,\mu\text{s})$ ist $y(t) = x(t)$. Mit $f_x= 10\,\rm{kHz} = 1/(2T_0)$ gilt deshalb für diesen Abschnitt:
 :$$y(t)={\rm 1V}\cdot\cos(2{\pi} f_0\hspace{0.05cm}t)={\rm 1V}\cdot\cos(\pi{t}/{T_0}).$$
@@ Zeile 84: / Zeile 85: @@
 :$$A_0=\left. \frac{ {\rm 1V}}{\pi}\int_{-\pi /2}^{\pi/2}\cos(u)\,{\rm d}u=\frac{ {\rm 1V}}{\pi}\sin(u)\; \right| _{-\pi/2}^{\pi/2}=\frac{ {\rm 1V}\cdot 2}{\pi} \hspace{0.15cm}\underline{\approx 0.637\;{\rm V}}.$$
 '''(4)'''&nbsp; Da $y(–t) = y(t)$ gilt, sind alle Sinuskoeffizienten $B_n = 0$. Damit ist auch $B_2 \hspace{0.1cm}\underline{= 0}$.
@@ Zeile 91: / Zeile 91: @@
 '''(5)'''&nbsp;  Für die Koeffizienten $A_n$ gilt mit der Substitution $u = \pi \cdot t/T_0$ entsprechend dem angegebenen Integral:
-:$$A_n  = \frac{2{\rm V}}{T_0}\int_{-T_0/2}^{T_0/2}\cos(\pi\frac{t}{T_0})\cdot \cos(n\cdot 2\pi\frac{t}{T_0})\,{\rm d}t  = \frac{2{\rm V}}{\pi}\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\cos(u)\cdot \cos(2n u)\,{\rm d}u \\
+:$$A_n  = \frac{2{\rm V}}{T_0}\int_{-T_0/2}^{T_0/2}\cos(\pi\frac{t}{T_0})\cdot \cos(n\cdot 2\pi\frac{t}{T_0})\,{\rm d}t  = \frac{2{\rm V}}{\pi}\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\cos(u)\cdot \cos(2n u)\,{\rm d}u \quad
 \Rightarrow  \quad A_n  = \left( { - 1} \right)^{n + 1} \frac{{4\;{\rm{V}}}}{{{\rm{\pi }}\left( {4n^2  - 1} \right)}}.$$
-Der Koeffizient $A_2$ ist damit gleich $–4 \,\text{V}/(15\pi) \hspace{0.1cm}\underline{\approx –\hspace{0.05cm}0.085 \,\text{V}}$.
+Der Koeffizient $A_2$ ist damit gleich $-4 \,\text{V}/(15\pi) \hspace{0.1cm}\underline{\approx -\hspace{0.05cm}0.085 \,\text{V}}$.
 '''(6)'''&nbsp; Für die endliche Fourierreihe mit $N = 3$ gilt allgemein:
@@ Zeile 101: / Zeile 102: @@
 Zum Zeitpunkt $t = 0$ ist $y_3(0) \approx$ 1.0125 V; damit ergibt sich der Fehler zu $\varepsilon_3(t = 0) \hspace{0.15cm}\underline{= 0.0125 ,\text{V}}$ .
 '''(7)'''&nbsp; Die Zeit $t = 25\,\mu\text{s}$  entspricht der halben Periodendauer des Signals $y(t)$. Hierfür gilt wegen $\omega_0 \cdot T_0 = 2\pi$:
-:$$\begin{align*} y_3(T_0/2) & = \frac{2{\rm V}}{\pi} \left [1+\frac{2}{3} \cdot \cos({\pi}) -\frac{2}{15}\cdot \cos(2\pi)+\frac{2}{35}\cdot \cos(3\pi)\right ] \\ &  =   \frac{2{\rm V}}{\pi}\left [1-\frac{2}{3}-\frac{2}{15}-\frac{2}{35}\right ]   =  \frac{2{\rm V}}{7\pi}\approx 0.091{\rm V}\end{align*} .  $$
+:$$y_3(T_0/2)  = \frac{2{\rm V}}{\pi} \left [1+\frac{2}{3} \cdot \cos({\pi}) -\frac{2}{15}\cdot \cos(2\pi)+\frac{2}{35}\cdot \cos(3\pi)\right ]=   \frac{2{\rm V}}{\pi}\left [1-\frac{2}{3}-\frac{2}{15}-\frac{2}{35}\right ] =  \frac{2{\rm V}}{7\pi}\approx 0.091{\rm V}.$$
 Da $y(T_0/2) = 0$ ist, ergibt sich auch $\varepsilon_3(T_0/2) \hspace{0.15cm}\underline{\approx 0.091\,{\rm V}}$.