Aufgaben:Aufgabe 2.4: GF(2 hoch 2)–Darstellungsformen - Versionsgeschichte

Guenter am 2. Oktober 2022 um 14:25 Uhr

2022-10-02T14:25:38Z

Guenter am 2. Oktober 2022 um 13:57 Uhr

2022-10-02T13:57:31Z

Guenter am 20. Mai 2019 um 13:43 Uhr

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Guenter am 20. Mai 2019 um 13:37 Uhr

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Guenter am 8. Januar 2018 um 09:45 Uhr

2018-01-08T09:45:16Z

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2018-01-08T09:36:14Z

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2018-01-08T09:30:01Z

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2018-01-03T09:21:42Z

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Hussain am 16. Dezember 2017 um 15:22 Uhr

2017-12-16T15:22:56Z

Hussain am 16. Dezember 2017 um 15:22 Uhr

2017-12-16T15:22:37Z

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 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; Zutreffend sind die <u>Lösungsvorschläge 1, 2 und 5</u>.
+'''(1)'''&nbsp; Zutreffend sind die&nbsp; <u>Lösungsvorschläge 1, 2 und 5.&nbsp; Begründung</u>:
-Begründung:
+* Die Modulo&ndash;2&ndash;Rechnung erkennt man aus der Additionstabelle.&nbsp; Beispielsweise gilt&nbsp; $1 + 1 = 0, \ \alpha + \alpha = 0, \ (1 + \alpha) + (1 + \alpha) = 0$, usw.
-* Wäre $\alpha = 0$ oder $\alpha = 1$, so wäre das Pseudoelement $\alpha$ nicht mehr unterscheidbar von den beiden anderen ${\rm GF}(2)$&ndash;Elementen $0$ und $1$.
-* Die Modulo&ndash;$2$&ndash;Rechnung erkennt man aus der Additionstabelle. Beispielsweise gilt $1 + 1 = 0, \ \alpha + \alpha = 0, \ (1 + \alpha) + (1 + \alpha) = 0$, usw.
+* Aus der Multiplikationstabelle geht hervor,&nbsp; dass&nbsp; $\alpha^2 = \alpha \cdot \alpha = 1 + \alpha$ gilt&nbsp; $($3. Zeile, 3. Spalte$)$.&nbsp; Damit gilt auch
 :$$\alpha^2 + \alpha + 1 = 0.$$
-'''(2)'''&nbsp; Richtig ist <u>Lösungsvorschlag 2</u>. So steht
+'''(2)'''&nbsp; Richtig ist&nbsp; <u>Lösungsvorschlag 2</u>.&nbsp; So steht
-*&bdquo;$01$&rdquo; für das Element &bdquo;$1$&rdquo; und
+*"$(0 \ 1)$"&nbsp; für das Element&nbsp; "$1$",&nbsp; und
-*&bdquo;$10$&rdquo; für das Element &bdquo;$\alpha$&rdquo;.
-'''(3)'''&nbsp; Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 2 und 3</u>:
+'''(3)'''&nbsp; Richtig sind die&nbsp; <u>Lösungsvorschläge 2 und 3</u>:
-*Es gilt $\alpha^0 = 1$ und $\alpha^1 = \alpha$.
+*Es gilt&nbsp; $\alpha^0 = 1$&nbsp; und&nbsp; $\alpha^1 = \alpha$.
 *Bei dem zugrundeliegenden Polynom $p(x) = x^2 + x + 1$ folgt aus $p(\alpha) = 0$ weiterhin:
 :$$\alpha^2 +\alpha + 1 = 0  \hspace{0.3cm} \Rightarrow\hspace{0.3cm} \alpha^2 =\alpha + 1 \hspace{0.05cm}.$$
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   \hspace{0.05cm}.$$
-Richtig sind demnach die <u>Lösungsvorschläge 1 und 2</u>.
+Richtig sind demnach die&nbsp; <u>Lösungsvorschläge 1 und 2</u>.
-Zu den gleichen Ergebnissen kommt man mit der Koeffizientenvektordarstellung:
+*Zu den gleichen Ergebnissen kommt man mit der Koeffizientenvektordarstellung:
 :$$A \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} z_2 \cdot z_2 + z_2 \cdot z_3 + z_3 \cdot z_3 = (10) \cdot (10) + (10) \cdot (11) + (11) \cdot (11) = (11) + (01) + (10) = (00) = 0 = z_0
   \hspace{0.05cm},$$
@@ Zeile 94: / Zeile 97: @@
   \hspace{0.05cm}.$$
-Und schließlich mit der Exponentendarstellung:
+*Und schließlich mit der Exponentendarstellung:
 :$$A \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} z_2 \cdot z_2 + z_2 \cdot z_3 + z_3 \cdot z_3 = \alpha^1 \cdot \alpha^1 + \alpha^1 \cdot \alpha^2 + \alpha^2 \cdot \alpha^2 =
   \alpha^2 + \alpha^3 + \alpha^4 =  \alpha^2 + \alpha^0 + \alpha^1 = 0 = z_0

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 {{quiz-Header|Buchseite=Kanalcodierung/Erweiterungskörper}}
-[[Datei:P_ID2507__KC_A_2_4_neu.png|right|frame|Drei Darstellungen für &nbsp;${\rm GF}(2^2)$]]
+[[Datei:P_ID2507__KC_A_2_4_neu.png|right|frame|Drei Darstellungsformen für &nbsp;${\rm GF}(2^2)$]]
 Nebenstehend sehen Sie für den Erweiterungskörper&nbsp; $\rm GF(2^2)$&nbsp; die Additions&ndash; sowie die Multiplikationstabelle in drei verschiedenen Varianten:
-* die Polynomdarstellung,
+* die&nbsp; '''Polynomdarstellung''',
-''Hinweise:''
+Hinweise:
-* Die Aufgabe bezieht sich auf das Kapitel&nbsp; [[Kanalcodierung/Erweiterungsk%C3%B6rper|Erweiterungskörper]].
+* Die Aufgabe bezieht sich auf das Kapitel&nbsp; [[Kanalcodierung/Erweiterungsk%C3%B6rper|"Erweiterungskörper"]].
 * Alle notwendigen Informationen zu&nbsp; ${\rm GF}(2^2)$&nbsp; finden Sie auf der&nbsp; [[Kanalcodierung/Erweiterungsk%C3%B6rper#GF.2822.29_.E2.80.93_Beispiel_eines_Erweiterungsk.C3.B6rpers|ersten Seite]]&nbsp; dieses Kapitels.
-* In der Teilaufgabe '''(4)''' werden folgende Ausdrücke betrachtet:
+* Alle notwendigen Informationen zu&nbsp; ${\rm GF}(2^2)$&nbsp; finden Sie auf der&nbsp; [[Kanalcodierung/Erweiterungsk%C3%B6rper#GF.2822.29_.E2.80.93_Beispiel_eines_Erweiterungsk.C3.B6rpers|"ersten Seite"]]&nbsp; dieses Kapitels.
 :$$A = z_2 \cdot z_2 + z_2 \cdot z_3 + z_3 \cdot z_3,$$
 :$$B = (z_0 + z_1 + z_2) \cdot (z_0 + z_1 + z_3).$$
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 {Welche Charakteristika erkennt man aus der Polynomdarstellung?
 |type="[]"}
-+ Die Elemente&nbsp; $\alpha$&nbsp; und&nbsp; $1 + \alpha$&nbsp; sind weder&nbsp; $0$&nbsp; noch&nbsp; $1$.
++ Die Elemente&nbsp; "$\alpha$"&nbsp; und&nbsp; "$1 + \alpha$"&nbsp; sind weder&nbsp; $0$&nbsp; noch&nbsp; $1$.
 + Die Rechenoperationen erfolgen modulo&nbsp; $2$.
 - Die Rechenoperationen erfolgen modulo&nbsp; $4$.
-- Man erkennt das Ergebnis&nbsp; $\alpha^2 + \alpha + 1 = 0$&nbsp; aus der Additionstabelle.
+- Man erkennt das Ergebnis&nbsp; "$\alpha^2 + \alpha + 1 = 0$"&nbsp; aus der Additionstabelle.
-+ Man erkennt das Ergebnis&nbsp; $\alpha^2 + \alpha + 1 = 0$&nbsp; aus der Multiplikationstabelle.
++ Man erkennt das Ergebnis&nbsp; "$\alpha^2 + \alpha + 1 = 0$"&nbsp; aus der Multiplikationstabelle.
-{Welcher Zusammenhang besteht zwischen der Koeffizientenvektor&ndash; und der Polynomdarstellung? Es gelte&nbsp; $k_0 &#8712; \{0, \, 1\}$&nbsp; und&nbsp; $k_1 &#8712; \{0, \, 1\}$.
+{Welcher Zusammenhang besteht zwischen der Koeffizientenvektor&ndash; und der Polynomdarstellung?&nbsp; Es gelte&nbsp; $k_0 &#8712; \{0, \, 1\}$&nbsp; und&nbsp; $k_1 &#8712; \{0, \, 1\}$.
 |type="()"}
-- $(k_0 \ k_1)$&nbsp; bezieht sich auf das Element&nbsp; $k_1 \cdot \alpha + k_0$.
+- "$(k_0 \ k_1)$"&nbsp; bezieht sich auf das Element&nbsp; "$k_1 \cdot \alpha + k_0$".
-+ $(k_1 \ k_0)$&nbsp; bezieht sich auf das Element&nbsp; $k_1 \cdot \alpha + k_0$.
++ "$(k_1 \ k_0)$"&nbsp; bezieht sich auf das Element&nbsp; "$k_1 \cdot \alpha + k_0$".
 - Zwischen beiden Darstellungen besteht keinerlei Zusammenhang.
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 |type="[]"}
 - Es sind keine Zusammenhänge erkennbar.
-+ Die Elemente&nbsp; $0, \ 1$&nbsp; und&nbsp; $\alpha$&nbsp; sind in beiden Darstellungen gleich.
++ Die Elemente&nbsp; "$0$",&nbsp; "$1$"&nbsp; und&nbsp; "$\alpha$"&nbsp; sind in beiden Darstellungen gleich.
-+ Das Element&nbsp; $1 + \alpha$&nbsp; lautet in der Exponentendarstellung&nbsp; $\alpha^2$.
++ Das Element&nbsp; "$1 + \alpha$"&nbsp; lautet in der Exponentendarstellung&nbsp; "$\alpha^2$".
-- Das Element&nbsp; $\alpha^2$&nbsp; der Exponentendarstellung steht für&nbsp; $\alpha \cdot (1 + \alpha)$.
+- Das Element&nbsp; "$\alpha^2$"&nbsp; der Exponentendarstellung steht für&nbsp; "$\alpha \cdot (1 + \alpha)$".
-{Berechnen Sie die Ausdrücke&nbsp; $A$&nbsp; und&nbsp; $B$&nbsp; nach diesen drei Darstellungsformen. Welche Aussagen treffen zu?
+{Berechnen Sie die Ausdrücke&nbsp; $A$&nbsp; und&nbsp; $B$&nbsp; nach diesen drei Darstellungsformen.&nbsp; Welche Aussagen treffen zu?
 |type="[]"}
 + Es gilt&nbsp; $A = z_0$,

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 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; Zutreffend sind die <u>Lösungsvorschläge 1, 2 und 5</u>. Begründung:
+'''(1)'''&nbsp; Zutreffend sind die <u>Lösungsvorschläge 1, 2 und 5</u>.
 * Wäre $\alpha = 0$ oder $\alpha = 1$, so wäre das Pseudoelement $\alpha$ nicht mehr unterscheidbar von den beiden anderen ${\rm GF}(2)$&ndash;Elementen $0$ und $1$.
 * Die Modulo&ndash;$2$&ndash;Rechnung erkennt man aus der Additionstabelle. Beispielsweise gilt $1 + 1 = 0, \ \alpha + \alpha = 0, \ (1 + \alpha) + (1 + \alpha) = 0$, usw.
-* Aus der Multiplikationstabelle geht hervor, dass $\alpha^2 = \alpha \cdot \alpha = 1 + \alpha$ gilt (3. Zeile, 3. Spalte). Damit gilt auch $\alpha^2 + \alpha + 1 = 0$.
+* Aus der Multiplikationstabelle geht hervor, dass $\alpha^2 = \alpha \cdot \alpha = 1 + \alpha$ gilt (3. Zeile, 3. Spalte). Damit gilt auch
@@ Zeile 64: / Zeile 68: @@
 *&bdquo;$01$&rdquo; für das Element &bdquo;$1$&rdquo; und
 *&bdquo;$10$&rdquo; für das Element &bdquo;$\alpha$&rdquo;.
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 *Bei dem zugrundeliegenden Polynom $p(x) = x^2 + x + 1$ folgt aus $p(\alpha) = 0$ weiterhin:
 :$$\alpha^2 +\alpha + 1 = 0  \hspace{0.3cm} \Rightarrow\hspace{0.3cm} \alpha^2 =\alpha + 1 \hspace{0.05cm}.$$
@@ Zeile 78: / Zeile 84: @@
   \hspace{0.05cm}.$$
-Richtig sind demnach die <u>Lösungsvorschläge 1 und 2</u>. Zu den gleichen Ergebnissen kommt man mit der Koeffizientenvektordarstellung:
+Richtig sind demnach die <u>Lösungsvorschläge 1 und 2</u>.
 :$$A \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} z_2 \cdot z_2 + z_2 \cdot z_3 + z_3 \cdot z_3 = (10) \cdot (10) + (10) \cdot (11) + (11) \cdot (11) = (11) + (01) + (10) = (00) = 0 = z_0
   \hspace{0.05cm},$$

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 {{quiz-Header|Buchseite=Kanalcodierung/Erweiterungskörper}}
-[[Datei:P_ID2507__KC_A_2_4_neu.png|right|frame|${\rm GF}(2^2)$ in drei verschiedenen Darstellungen]]
+[[Datei:P_ID2507__KC_A_2_4_neu.png|right|frame|Drei Darstellungen für &nbsp;${\rm GF}(2^2)$]]
-Nebenstehend sehen Sie für den Erweiterungskörper $\rm GF(2^2)$ die Additions&ndash; sowie die Multiplikationstabelle in drei verschiedenen Varianten:
+Nebenstehend sehen Sie für den Erweiterungskörper&nbsp; $\rm GF(2^2)$&nbsp; die Additions&ndash; sowie die Multiplikationstabelle in drei verschiedenen Varianten:
-* die <i>Polynomdarstellung</i>,
+* die Polynomdarstellung,
-* die <i>Koeffizientenvektordarstellung</i>,
+* die Koeffizientenvektordarstellung,
-* die <i>Exponentendarstellung</i>.
+* die Exponentendarstellung.
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 ''Hinweise:''
-* Die Aufgabe bezieht sich auf das Kapitel [[Kanalcodierung/Erweiterungsk%C3%B6rper|Erweiterungskörper]].
+* Die Aufgabe bezieht sich auf das Kapitel&nbsp; [[Kanalcodierung/Erweiterungsk%C3%B6rper|Erweiterungskörper]].
-* Alle notwendigen Informationen zu ${\rm GF}(2^2)$ finden Sie auf der [[Kanalcodierung/Erweiterungsk%C3%B6rper#GF.2822.29_.E2.80.93_Beispiel_eines_Erweiterungsk.C3.B6rpers|ersten Seite]] dieses Kapitels.
+* Alle notwendigen Informationen zu&nbsp; ${\rm GF}(2^2)$&nbsp; finden Sie auf der&nbsp; [[Kanalcodierung/Erweiterungsk%C3%B6rper#GF.2822.29_.E2.80.93_Beispiel_eines_Erweiterungsk.C3.B6rpers|ersten Seite]]&nbsp; dieses Kapitels.
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 {Welche Charakteristika erkennt man aus der Polynomdarstellung?
 |type="[]"}
-+ Die Elemente $\alpha$ und $1 + \alpha$ sind weder $0$ noch $1$.
++ Die Elemente&nbsp; $\alpha$&nbsp; und&nbsp; $1 + \alpha$&nbsp; sind weder&nbsp; $0$&nbsp; noch&nbsp; $1$.
-+ Die Rechenoperationen erfolgen modulo $2$.
++ Die Rechenoperationen erfolgen modulo&nbsp; $2$.
-- Die Rechenoperationen erfolgen modulo $4$.
+- Die Rechenoperationen erfolgen modulo&nbsp; $4$.
-- Man erkennt das Ergebnis $\alpha^2 + \alpha + 1 = 0$ aus der Additionstabelle.
+- Man erkennt das Ergebnis&nbsp; $\alpha^2 + \alpha + 1 = 0$&nbsp; aus der Additionstabelle.
-+ Man erkennt das Ergebnis $\alpha^2 + \alpha + 1 = 0$ aus der Multiplikationstabelle.
++ Man erkennt das Ergebnis&nbsp; $\alpha^2 + \alpha + 1 = 0$&nbsp; aus der Multiplikationstabelle.
-{Welcher Zusammenhang besteht zwischen der Koeffizientenvektor&ndash; und der Polynomdarstellung? Es gelte $k_0 &#8712; \{0, \, 1\}$ und $k_1 &#8712; \{0, \, 1\}$.
+{Welcher Zusammenhang besteht zwischen der Koeffizientenvektor&ndash; und der Polynomdarstellung? Es gelte&nbsp; $k_0 &#8712; \{0, \, 1\}$&nbsp; und&nbsp; $k_1 &#8712; \{0, \, 1\}$.
-|type="[]"}
+|type="()"}
-- $(k_0 \ k_1)$ bezieht sich auf das Element $k_1 \cdot \alpha + k_0$.
+- $(k_0 \ k_1)$&nbsp; bezieht sich auf das Element&nbsp; $k_1 \cdot \alpha + k_0$.
-+ $(k_1 \ k_0)$ bezieht sich auf das Element $k_1 \cdot \alpha + k_0$.
++ $(k_1 \ k_0)$&nbsp; bezieht sich auf das Element&nbsp; $k_1 \cdot \alpha + k_0$.
 - Zwischen beiden Darstellungen besteht keinerlei Zusammenhang.
@@ Zeile 36: / Zeile 41: @@
 |type="[]"}
 - Es sind keine Zusammenhänge erkennbar.
-+ Die Elemente $0, \ 1$ und $\alpha$ sind in beiden Darstellungen gleich.
++ Die Elemente&nbsp; $0, \ 1$&nbsp; und&nbsp; $\alpha$&nbsp; sind in beiden Darstellungen gleich.
-+ Das Element $1 + \alpha$ lautet in der Exponentendarstellung $\alpha^2$.
++ Das Element&nbsp; $1 + \alpha$&nbsp; lautet in der Exponentendarstellung&nbsp; $\alpha^2$.
-- Das Element $\alpha^2$ der Exponentendarstellung steht für $\alpha \cdot (1 + \alpha)$.
+- Das Element&nbsp; $\alpha^2$&nbsp; der Exponentendarstellung steht für&nbsp; $\alpha \cdot (1 + \alpha)$.
-{Berechnen Sie die Ausdrücke $A$ und $B$ nach diesen drei Darstellungsformen. Welche Aussagen treffen zu?
+{Berechnen Sie die Ausdrücke&nbsp; $A$&nbsp; und&nbsp; $B$&nbsp; nach diesen drei Darstellungsformen. Welche Aussagen treffen zu?
 |type="[]"}
-+ Es gilt $A = z_2 \cdot z_2 + z_2 \cdot z_3 + z_3 \cdot z_3 = z_0$,
++ Es gilt&nbsp; $A = z_0$,
-+ Es gilt $B = (z_0 + z_1 + z_2) \cdot (z_0 + z_1 + z_3) = z_1$,
+- Es gilt&nbsp; $A = z_2$,
-- Es gilt $A = z_2 \cdot z_2 + z_2 \cdot z_3 + z_3 \cdot z_3 = z_2$,
++ Es gilt&nbsp; $B = z_1$,
-- Es gilt $B = (z_0 + z_1 + z_2) \cdot (z_0 + z_1 + z_3) = z_3$.
+- Es gilt&nbsp; $B = z_3$.
 </quiz>

@@ Zeile 53: / Zeile 53: @@
 * Wäre $\alpha = 0$ oder $\alpha = 1$, so wäre das Pseudoelement $\alpha$ nicht mehr unterscheidbar von den beiden anderen ${\rm GF}(2)$&ndash;Elementen $0$ und $1$.
 * Die Modulo&ndash;$2$&ndash;Rechnung erkennt man aus der Additionstabelle. Beispielsweise gilt $1 + 1 = 0, \ \alpha + \alpha = 0, \ (1 + \alpha) + (1 + \alpha) = 0$, usw.
-* Aus der Multiplikationstabelle geht hervor, dass $\alpha^2 = \alpha \cdot \alpha = 1 + \alpha$ gilt (3. Zeile, 3. Spalte). Daraus lässt sich die Bedingung $\alpha^2 + \alpha + 1 = 0$ ablesen.
+* Aus der Multiplikationstabelle geht hervor, dass $\alpha^2 = \alpha \cdot \alpha = 1 + \alpha$ gilt (3. Zeile, 3. Spalte). Damit gilt auch $\alpha^2 + \alpha + 1 = 0$.
-'''(2)'''&nbsp; Richtig ist <u>Lösungsvorschlag 2</u>. So steht &bdquo;$01$&rdquo; für das Element &bdquo;$1$&rdquo; und &bdquo;$10$&rdquo; für das Element &bdquo;$\alpha$&rdquo;.
+'''(2)'''&nbsp; Richtig ist <u>Lösungsvorschlag 2</u>. So steht
-'''(3)'''&nbsp; Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 2 und 3</u>. Es gilt $\alpha^0 = 1$ und $\alpha^1 = \alpha$. Bei dem zugrundeliegenden Polynom $p(x) = x^2 + x + 1$ folgt aus $p(\alpha) = 0$ weiterhin:
+'''(3)'''&nbsp; Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 2 und 3</u>:
 :$$\alpha^2 +\alpha + 1 = 0  \hspace{0.3cm} \Rightarrow\hspace{0.3cm} \alpha^2 =\alpha + 1 \hspace{0.05cm}.$$
 '''(4)'''&nbsp; Entsprechend den Tabellen der Polynomdarstellung gilt:
-:$$A \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} z_2 \cdot z_2 + z_2 \cdot z_3 + z_3 \cdot z_3 = $$
+:$$A \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} z_2 \cdot z_2 + z_2 \cdot z_3 + z_3 \cdot z_3 =  \alpha \cdot \alpha + \alpha \cdot (1+\alpha) + (1+\alpha) \cdot (1+\alpha) = (1+\alpha) + (1) + (\alpha) = 0 = z_0
   \hspace{0.05cm},$$
-:$$ B \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} (z_0 +  z_1 + z_2) \cdot (z_0 +  z_1 + z_3) = $$
+:$$ B \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} (z_0 +  z_1 + z_2) \cdot (z_0 +  z_1 + z_3) =  (0 + 1 + \alpha) \cdot (0 + 1 + 1+ \alpha) = (1+\alpha) \cdot \alpha = 1 = z_1
   \hspace{0.05cm}.$$
 Richtig sind demnach die <u>Lösungsvorschläge 1 und 2</u>. Zu den gleichen Ergebnissen kommt man mit der Koeffizientenvektordarstellung:
-:$$A \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} z_2 \cdot z_2 + z_2 \cdot z_3 + z_3 \cdot z_3 = $$
+:$$A \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} z_2 \cdot z_2 + z_2 \cdot z_3 + z_3 \cdot z_3 = (10) \cdot (10) + (10) \cdot (11) + (11) \cdot (11) = (11) + (01) + (10) = (00) = 0 = z_0
   \hspace{0.05cm},$$
-:$$B \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} (z_0 +  z_1 + z_2) \cdot (z_0 +  z_1 + z_3)  = $$
+:$$B \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} (z_0 +  z_1 + z_2) \cdot (z_0 +  z_1 + z_3)  =  [(00) + (01) + (10)]  \cdot [(00) + (01) + (11)] =(11) \cdot (10) = (01) = z_1
   \hspace{0.05cm}.$$
 Und schließlich mit der Exponentendarstellung:
-:$$A \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} z_2 \cdot z_2 + z_2 \cdot z_3 + z_3 \cdot z_3 = $$
+:$$A \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} z_2 \cdot z_2 + z_2 \cdot z_3 + z_3 \cdot z_3 = \alpha^1 \cdot \alpha^1 + \alpha^1 \cdot \alpha^2 + \alpha^2 \cdot \alpha^2 =
   \alpha^2 + \alpha^3 + \alpha^4 =  \alpha^2 + \alpha^0 + \alpha^1 = 0 = z_0
   \hspace{0.05cm},$$
-:$$B \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm}(z_0 +  z_1 + z_2) \cdot (z_0 +  z_1 + z_3)  = $$
+:$$B \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm}(z_0 +  z_1 + z_2) \cdot (z_0 +  z_1 + z_3)  =  [0 + \alpha^0 + \alpha^1]  \cdot [0 + \alpha^0 + \alpha^2] = \alpha^2 \cdot \alpha^1 = \alpha^3 = \alpha^0 = z_1
   \hspace{0.05cm}.$$
 {{ML-Fuß}}