Aufgaben:Aufgabe 2.3Z: Polynomdivision - Versionsgeschichte

Guenter am 2. Oktober 2022 um 12:58 Uhr

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Hussain am 16. Dezember 2017 um 15:20 Uhr

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Hussain am 16. Dezember 2017 um 15:20 Uhr

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 :$$a(x) \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} (x^3+  x+1) \cdot (x^2+1)= x^5+x^3+ x^2+ x^3+x+1 = x^5+ x^2+x+1\hspace{0.05cm}.$$
-*Richtig ist somit der <u>Lösungsvorschlag 2</u>.
+*Richtig ist somit der&nbsp; <u>Lösungsvorschlag 2</u>.
 *Der letzte Lösungsvorschlag kann schon alleine deshalb nicht simmen, da der Grad des Produktpolynoms ungleich $5$ wäre.
-[[Datei:P_ID2506__KC_Z_2_3b_neu.png|right|frame|Beispiel 1 zur Polynomdivision]]
+[[Datei:P_ID2506__KC_Z_2_3b_neu.png|right|frame|'''Beispiel 1'''&nbsp; zur Polynomdivision]]
 '''(2)'''&nbsp; Mit den Abkürzungen
 :$$a(x) = x^5+ x^2+x+1\hspace{0.05cm},\hspace{0.4cm}p(x) = x^3+ x+1\hspace{0.05cm},\hspace{0.4cm}q(x) = x^2+ 1$$
-und dem Ergebnis aus der Teilaufgabe (1) erhält man $a(x) = p(x) \cdot q(x)$.
+und dem Ergebnis aus der Teilaufgabe&nbsp; '''(1)'''&nbsp; erhält man&nbsp; $a(x) = p(x) \cdot q(x)$.
-Das heißt: &nbsp; Die Divisionen $a(x)/p(x)$ und $a(x)/q(x)$ sind restfrei möglich &nbsp;
+Das heißt: &nbsp; Die Divisionen &nbsp; $a(x)/p(x)$ &nbsp; und &nbsp; $a(x)/q(x)$ &nbsp; sind restfrei möglich &nbsp;
-&#8658; &nbsp; Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 1 und 2</u>.
+<br>&#8658; &nbsp; Richtig sind die&nbsp; <u>Lösungsvorschläge 1 und 2</u>.
-Auch ohne Rechnung erkennt man, dass $a(x)/x^2$ einen Rest ergeben muss. Nach Rechnung ergibt sich explizit:
+Auch ohne Rechnung erkennt man,&nbsp; dass&nbsp; $a(x)/x^2$&nbsp; einen Rest ergeben muss.&nbsp; Nach Rechnung ergibt sich explizit:
 :$$(x^5 + x^2+x+1)/(x^2) = x^3 + 1 \hspace{0.05cm},\hspace{0.4cm}{\rm Rest}\hspace{0.15cm} r(x) = x+1\hspace{0.05cm}.$$
-Zum letzten Lösungsvorschlag. Wir verwenden zur Abkürzung $b(x) = x^5 + x^2 + x = a(x) + 1$. Damit ist der vorgegebene Quotient:
+Zum letzten Lösungsvorschlag.&nbsp; Wir verwenden zur Abkürzung &nbsp; $b(x) = x^5 + x^2 + x = a(x) + 1$.&nbsp; Damit ist der vorgegebene Quotient:
 :$$b(x)/q(x) = a(x)/q(x) + 1/q(x) \hspace{0.05cm}.$$
-[[Datei:P_ID2505__KC_Z_2_3c.png|Right|frame|Beispiel 2 zur Polynomdivision]]
+[[Datei:P_ID2505__KC_Z_2_3c.png|Right|frame|'''Beispiel 2'''&nbsp; zur Polynomdivision]]
-*Der erste Quotient $a(x)/q(x)$ ergibt entsprechend der Teilaufgabe (2) genau $p(x)$ ohne Rest, der zweite Quotient $0$ mit Rest $1$.
+*Der erste Quotient&nbsp; $a(x)/q(x)$&nbsp; ergibt entsprechend der Teilaufgabe&nbsp; '''(2)'''&nbsp; genau&nbsp; $p(x)$&nbsp; ohne Rest,&nbsp; der zweite Quotient hat das Ergebnis&nbsp; $0$&nbsp; mit Rest&nbsp; $1$.
-*Somit ist hier der Rest des Quotienten $b(x)/q(x)$ gleich $r(x) = 1$, wie auch die Rechnung im Beispiel 1 zeigt.
-'''(3)'''&nbsp; Die Polynomdivision ist im Beispiel 2 ausführlich erläutert. Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 3</u>.
+'''(3)'''&nbsp; Die Polynomdivision ist im&nbsp; '''Beispiel 2'''&nbsp; ausführlich erläutert.&nbsp; Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 3</u>.

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 [[Datei:P_ID2504__KC_Z_2_3.png|right|frame|Multiplikation und Division von Polynomen  in&nbsp; $\rm GF(2)$]]
-In dieser Aufgabe beschäftigen wir uns mit der Multiplikation und insbesondere der Division von Polynomen im Galoisfeld&nbsp;  $\rm GF(2)$. In der Abbildung ist jeweils die Vorgehensweise an einem einfachen und (hoffentlich) selbsterklärenden Beispiel angedeutet:
+In dieser Aufgabe beschäftigen wir uns mit der Multiplikation und insbesondere der Division von Polynomen im Galoisfeld&nbsp;  $\rm GF(2)$.&nbsp; In der Abbildung ist jeweils die Vorgehensweise an einem einfachen und&nbsp; (hoffentlich)&nbsp; selbsterklärenden Beispiel angedeutet:
-* Die Multiplikation der beiden Polynome&nbsp;  $x^2 + 1$&nbsp;  und&nbsp;  $x +1$&nbsp;  liefert das Ergebnis&nbsp;  $a(x) = x^3 + x^2 + x + 1$.
+* Die Multiplikation der beiden Polynome &nbsp;  $x^2 + 1$ &nbsp;  und &nbsp;  $x +1$ &nbsp;  liefert das Ergebnis &nbsp;  $a(x) = x^3 + x^2 + x + 1$.
 * Die Division des Polynoms&nbsp;  $b(x) = x^3$&nbsp;  durch&nbsp;  $p(x) = x + 1$&nbsp;  liefert den Quotienten&nbsp;  $q(x) = x^2 + x$&nbsp;  und den Rest&nbsp;  $r(x) = x$.
 * Man kann das letztere Ergebnis wie folgt überprüfen:
 :$$b(x) \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} p(x) \cdot q(x) + r(x)\hspace{0.05cm}= \big[(x+1) \cdot (x^2+x)\big] +x =\big[x^3+ x^2+x^2+ x\big] +x = x^3\hspace{0.05cm}.$$
-''Hinweis:''
+Hinweis:&nbsp; Die Aufgabe gehört zum Kapitel&nbsp;  [[Kanalcodierung/Erweiterungsk%C3%B6rper| "Erweiterungskörper"]].
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 - $a(x) = x^6 + x^3 + x^2 + 1$-
-{Welche der Polynomdivisionen ergeben keinen Rest&nbsp;  $r(x)$?
+{Welche der Polynomdivisionen ergeben keinen Rest&nbsp;  $r(x) \ne 0$?
 |type="[]"}
 + $(x^5 + x^2 + x + 1)/(x^3 + x + 1)$.
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 - $(x^5 + x^2 + x)/(x^2 + 1)$.
-{Es sei&nbsp;  $a(x) = x^6 + x^5 + 1$&nbsp;  und&nbsp;  $p(x) = x^3 + x^2 + 1$. <br>Bestimmen Sie&nbsp;  $q(x)$&nbsp;  und&nbsp;  $r(x)$&nbsp;  entsprechend der Beschreibungsgleichung&nbsp;  $a(x) = p(x) \cdot q(x) + r(x)$.
+{Es sei &nbsp;  $a(x) = x^6 + x^5 + 1$ &nbsp;  und &nbsp;  $p(x) = x^3 + x^2 + 1$. <br>Bestimmen Sie&nbsp;  $q(x)$&nbsp;  und&nbsp;  $r(x)$&nbsp;  entsprechend der Beschreibungsgleichung &nbsp;  $a(x) = p(x) \cdot q(x) + r(x)$.
 |type="()"}
 - $q(x) = x^3 + x^2 + 1, \hspace{0.2cm} r(x) = 0$,

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 :$$a(x) \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} (x^3+  x+1) \cdot (x^2+1)= x^5+x^3+ x^2+ x^3+x+1 = x^5+ x^2+x+1\hspace{0.05cm}.$$
-Richtig ist somit der <u>Lösungsvorschlag 2</u>. Der letzte Lösungsvorschlag kann schon alleine deshalb nicht simmen, da der Grad des Produktpolynoms ungleich $5$ wäre.
+*Richtig ist somit der <u>Lösungsvorschlag 2</u>.
 [[Datei:P_ID2506__KC_Z_2_3b_neu.png|right|frame|Beispiel 1 zur Polynomdivision]]
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 :$$a(x) = x^5+ x^2+x+1\hspace{0.05cm},\hspace{0.4cm}p(x) = x^3+ x+1\hspace{0.05cm},\hspace{0.4cm}q(x) = x^2+ 1$$
-und dem Ergebnis aus der Teilaufgabe (1) erhält man $a(x) = p(x) \cdot q(x)$. Das heißt: Die Divisionen $a(x)/p(x)$ und $a(x)/q(x)$ sind restfrei möglich &nbsp; &#8658; &nbsp; Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 1 und 2</u>.
+und dem Ergebnis aus der Teilaufgabe (1) erhält man $a(x) = p(x) \cdot q(x)$.
 Auch ohne Rechnung erkennt man, dass $a(x)/x^2$ einen Rest ergeben muss. Nach Rechnung ergibt sich explizit:
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 [[Datei:P_ID2505__KC_Z_2_3c.png|Right|frame|Beispiel 2 zur Polynomdivision]]
-Der erste Quotient $a(x)/q(x)$ ergibt entsprechend der Teilaufgabe (2) genau $p(x)$ ohne Rest, der zweite Quotient $0$ mit Rest $1$. Somit ist hier der Rest des Quotienten $b(x)/q(x)$ gleich $r(x) = 1$, wie auch die Rechnung im Beispiel 1 zeigt.
+*Der erste Quotient $a(x)/q(x)$ ergibt entsprechend der Teilaufgabe (2) genau $p(x)$ ohne Rest, der zweite Quotient $0$ mit Rest $1$.

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 * Die Division des Polynoms&nbsp;  $b(x) = x^3$&nbsp;  durch&nbsp;  $p(x) = x + 1$&nbsp;  liefert den Quotienten&nbsp;  $q(x) = x^2 + x$&nbsp;  und den Rest&nbsp;  $r(x) = x$.
 * Man kann das letztere Ergebnis wie folgt überprüfen:
-:$$b(x) \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} p(x) \cdot q(x) + r(x)\hspace{0.05cm}= [(x+1) \cdot (x^2+x)] +x =[x^3+ x^2+x^2+ x] +x = x^3\hspace{0.05cm}.$$
+:$$b(x) \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} p(x) \cdot q(x) + r(x)\hspace{0.05cm}= \big[(x+1) \cdot (x^2+x)\big] +x =\big[x^3+ x^2+x^2+ x\big] +x = x^3\hspace{0.05cm}.$$

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 {{quiz-Header|Buchseite=Kanalcodierung/Erweiterungskörper}}
-[[Datei:P_ID2504__KC_Z_2_3.png|right|frame|Zur Multiplikation und Division von Polynomen  im Galoisfeld $\rm GF(2)$]]
+[[Datei:P_ID2504__KC_Z_2_3.png|right|frame|Multiplikation und Division von Polynomen  in&nbsp; $\rm GF(2)$]]
-In dieser Aufgabe beschäftigen wir uns mit der Multiplikation und insbesondere der Division von Polynomen im Galoisfeld $\rm GF(2)$. In der Abbildung ist jeweils die Vorgehensweise an einem einfachen und selbsterklärenden Beispiel angedeutet:
+In dieser Aufgabe beschäftigen wir uns mit der Multiplikation und insbesondere der Division von Polynomen im Galoisfeld&nbsp;  $\rm GF(2)$. In der Abbildung ist jeweils die Vorgehensweise an einem einfachen und (hoffentlich) selbsterklärenden Beispiel angedeutet:
-* Die Multiplikation der beiden Polynome $x^2 + 1$ und $x +1$ liefert das Ergebnis $a(x) = x^3 + x^2 + x + 1$.
+* Die Multiplikation der beiden Polynome&nbsp;  $x^2 + 1$&nbsp;  und&nbsp;  $x +1$&nbsp;  liefert das Ergebnis&nbsp;  $a(x) = x^3 + x^2 + x + 1$.
-* Die Division des Polynoms $b(x) = x^3$ durch $p(x) = x + 1$ liefert den Quotienten $q(x) = x^2 + x$ und den Rest $r(x) = x$.
+* Die Division des Polynoms&nbsp;  $b(x) = x^3$&nbsp;  durch&nbsp;  $p(x) = x + 1$&nbsp;  liefert den Quotienten&nbsp;  $q(x) = x^2 + x$&nbsp;  und den Rest&nbsp;  $r(x) = x$.
 * Man kann das letztere Ergebnis wie folgt überprüfen:
 :$$b(x) \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} p(x) \cdot q(x) + r(x)\hspace{0.05cm}= [(x+1) \cdot (x^2+x)] +x =[x^3+ x^2+x^2+ x] +x = x^3\hspace{0.05cm}.$$
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 ''Hinweis:''
-* Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Kanalcodierung/Erweiterungsk%C3%B6rper| Erweiterungskörper]].
+* Die Aufgabe gehört zum Kapitel&nbsp;  [[Kanalcodierung/Erweiterungsk%C3%B6rper| Erweiterungskörper]].
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 ===Fragebogen===
 <quiz display=simple>
-{Welches Ergebnis liefert $a(x) = (x^3 + x + 1) \cdot (x^2 + 1)$?
+{Welches Ergebnis liefert&nbsp;  $a(x) = (x^3 + x + 1) \cdot (x^2 + 1)$?
-|type="[]"}
+|type="()"}
 - $a(x) = x^5 + x^3 + x^2 + 1$,
 + $a(x) = x^5 + x^2 + x + 1$.
 - $a(x) = x^6 + x^3 + x^2 + 1$-
-{Welche der Polynomdivisionen ergeben keinen Rest $r(x)$?
+{Welche der Polynomdivisionen ergeben keinen Rest&nbsp;  $r(x)$?
 |type="[]"}
 + $(x^5 + x^2 + x + 1)/(x^3 + x + 1)$.
@@ Zeile 32: / Zeile 32: @@
 - $(x^5 + x^2 + x)/(x^2 + 1)$.
-{Es sei $a(x) = x^6 + x^5 + 1$ und $p(x) = x^3 + x^2 + 1$. <br>Bestimmen Sie $q(x)$ und $r(x)$ entsprechend der Beschreibungsgleichung $a(x) = p(x) \cdot q(x) + r(x)$.
+{Es sei&nbsp;  $a(x) = x^6 + x^5 + 1$&nbsp;  und&nbsp;  $p(x) = x^3 + x^2 + 1$. <br>Bestimmen Sie&nbsp;  $q(x)$&nbsp;  und&nbsp;  $r(x)$&nbsp;  entsprechend der Beschreibungsgleichung&nbsp;  $a(x) = p(x) \cdot q(x) + r(x)$.
-|type="[]"}
+|type="()"}
 - $q(x) = x^3 + x^2 + 1, \hspace{0.2cm} r(x) = 0$,
 - $q(x) = x^3 + 1, \hspace{0.2cm} r(x) = 0$,

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 * Man kann das letztere Ergebnis wie folgt überprüfen:
 :$$a(x) \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} p(x) \cdot q(x) + r(x)\hspace{0.05cm}= $$
-:$$\hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm}[(x+1) \cdot (x^2+x)] +x =$$
+:$$\hspace{0.7cm} \ = \ \hspace{-0.15cm}[(x+1) \cdot (x^2+x)] +x =$$
-:$$\hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm}[x^3+ x^2+x^2+ x] +x = x^3\hspace{0.05cm}.$$
+:$$\hspace{0.7cm} \ = \ \hspace{-0.15cm}[x^3+ x^2+x^2+ x] +x = x^3\hspace{0.05cm}.$$
 ''Hinweis:''

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 '''(1)'''&nbsp; Die Modulo&ndash;2&ndash;Multiplikation der beiden Polynome führt zum Ergebnis
 :$$a(x) \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} (x^3+  x+1) \cdot (x^2+1)= $$
-:$$\hspace{0.70625cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} x^5+x^3+ x^2+ x^3+x+1 = x^5+ x^2+x+1\hspace{0.05cm}.$$
+:$$\hspace{0.7cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} x^5+x^3+ x^2+ x^3+x+1 = x^5+ x^2+x+1\hspace{0.05cm}.$$
 Richtig ist somit der <u>Lösungsvorschlag 2</u>. Der letzte Lösungsvorschlag kann schon alleine deshalb nicht simmen, da der Grad des Produktpolynoms $&ne; 5$ wäre.