Aufgaben:Aufgabe 2.3Z: Kennlinienbetrieb asymmetrisch - Versionsgeschichte

Guenter am 29. September 2021 um 13:23 Uhr

2021-09-29T13:23:40Z

Guenter am 29. September 2021 um 13:22 Uhr

2021-09-29T13:22:07Z

Guenter am 29. September 2021 um 13:19 Uhr

2021-09-29T13:19:34Z

Guenter am 29. September 2021 um 13:16 Uhr

2021-09-29T13:16:07Z

Guenter am 28. Oktober 2019 um 17:03 Uhr

2019-10-28T17:03:25Z

Guenter am 28. Oktober 2019 um 16:58 Uhr

2019-10-28T16:58:05Z

Guenter am 9. November 2018 um 12:42 Uhr

2018-11-09T12:42:46Z

Guenter am 9. November 2018 um 12:41 Uhr

2018-11-09T12:41:19Z

Guenter am 9. November 2018 um 12:32 Uhr

2018-11-09T12:32:30Z

Mwiki-lnt: Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

2018-05-29T12:02:43Z

Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

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   -0.448}.$$
-*Das Signal&nbsp; $y(t)$&nbsp; ist gegenüber dem in der Skizze auf der Angabenseite eingezeichnetem Signal&nbsp; um $0.448$&nbsp;  nach unten verschoben.
+*Das Signal&nbsp; $y(t)$&nbsp; ist gegenüber dem in der Skizze auf der Angabenseite eingezeichnetem Signal&nbsp; um&nbsp; $0.448$&nbsp;  nach unten verschoben.
 *Dieser Signalwert ergibt sich aus folgender Gleichung mit&nbsp; $A = C = 1/2$:
 :$$C - \frac{C \cdot A^2}{4}- \frac{C^3}{6} =  {1}/{2} - {1}/{32}-  {1}/{48}   = 0.448.$$

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   t) + A^3 \cdot \cos^3(\omega_0  t)\big].$$
-*Das Signal&nbsp; $y_{\rm C}(t)$&nbsp; beinhaltet eine Gleichkomponente&nbsp; $C - C^3/6$, die aufgrund des Hochpasses im Signal&nbsp; $y(t)$&nbsp; nicht mehr enthalten ist:
+*Das Signal&nbsp; $y_{\rm C}(t)$&nbsp; beinhaltet eine Gleichkomponente&nbsp; $C - C^3/6$,&nbsp; die aufgrund des Hochpasses im Signal&nbsp; $y(t)$&nbsp; nicht mehr enthalten ist:
 :$$\underline{ A_0 = 0}.$$

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 }}
-[[Datei:P_ID895__LZI_Z_2_3.png|right|frame|Einfluss nichtlinearer Verzerrungen]]
+[[Datei:P_ID895__LZI_Z_2_3.png|right|frame|System und Signalbeispiele]]
 Am Eingang eines Systems&nbsp; $S$&nbsp; liegt das Cosinussignal
 :$$x(t) =  A \cdot \cos(\omega_0 t)$$

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 :$$x(t) =  A \cdot \cos(\omega_0 t)$$
-an, wobei für die Amplitude stets&nbsp; $A = 0.5$&nbsp; gelten soll. Das System&nbsp; $S$&nbsp; besteht
+an, wobei für die Amplitude stets&nbsp; $A = 0.5$&nbsp; gelten soll.&nbsp; Das System&nbsp; $S$&nbsp; besteht
 *aus der Addition eines Gleichanteils&nbsp; $C$,
 *einer Nichtlinearität mit der Kennlinie
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 *Die Kennlinie wird also unsymmetrisch betrieben mit Werten zwischen&nbsp; $0$&nbsp; und&nbsp; $1$.
 *In obiger Grafik sind zusätzlich die Signale&nbsp; $x_{\rm C}(t)$&nbsp; und&nbsp; $y_{\rm C}(t)$&nbsp; direkt vor und nach der Kennlinie&nbsp; $g(x)$&nbsp; eingezeichnet.
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 <quiz display=simple>
-{Berechnen Sie das Ausgangssignal&nbsp; $y(t)$&nbsp; unter Berücksichtigung des Hochpasses. Wie lautet der Gleichsignalanteil&nbsp; $A_0$?
+{Berechnen Sie das Ausgangssignal&nbsp; $y(t)$&nbsp; unter Berücksichtigung des Hochpasses.&nbsp; Wie lautet der Gleichsignalanteil&nbsp; $A_0$?
 |type="{}"}
 $A_0 \ = \ $ { 0. }

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   t) + A^3 \cdot \cos^3(\omega_0  t)\big].$$
-Das Signal $y_{\rm C}(t)$ beinhaltet eine Gleichkomponente $C - C^3/6$, die aufgrund des Hochpasses im Signal $y(t)$ nicht mehr enthalten ist:
+*Das Signal&nbsp; $y_{\rm C}(t)$&nbsp; beinhaltet eine Gleichkomponente&nbsp; $C - C^3/6$, die aufgrund des Hochpasses im Signal&nbsp; $y(t)$&nbsp; nicht mehr enthalten ist:
 :$$\underline{ A_0 = 0}.$$
-'''(2)'''&nbsp; Bei Anwendung der angegebenen trigonometrischen Beziehungen erhält man folgende Koeffizienten mit $A= C = 0.5$:
+'''(2)'''&nbsp; Bei Anwendung der angegebenen trigonometrischen Beziehungen erhält man folgende Koeffizienten mit&nbsp; $A= C = 0.5$:
 :$$A_1 = A - {1}/{6}\cdot 3 \cdot C^2 \cdot A  - {1}/{6} \cdot {3}/{4}\cdot
   A^3 = {1}/{2} - {1}/{16} - {1}/{64} = {27}/{64}
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    A^3 = - {1}/{192}  \hspace{0.15cm}\underline{\approx -0.005}.$$
-Terme höherer Ordnung kommen nicht vor. Somit ist auch $\underline{A_4  = 0}$.
+*Terme höherer Ordnung kommen nicht vor. Somit ist auch&nbsp; $\underline{A_4  = 0}$.
 '''(3)'''&nbsp; Die Klirrfaktoren höherer Ordnung ergeben sich bei dieser Aufgabe zu $K_2   = 2/27 \approx 7.41\%$ und $K_3   = 1/81 \approx 1.23\%$. Damit erhält man für den Gesamtklirrfaktor
 :$$K = \sqrt{K_2^2 + K_3^2} \hspace{0.15cm}\underline{\approx7.51 \%}.$$
 '''(4)'''&nbsp; Der Maximalwert tritt zum Zeitpunkt $t = 0$ und bei Vielfachen von $T$ auf:
 :$$y_{\rm max}= y(t=0) = A_1 + A_2 + A_3 = 0.422 -0.031 -0.005 \hspace{0.15cm}\underline{=
 .386}.$$
-Die Minimalwerte liegen genau in der Mitte zwischen zwei Maxima und es gilt:
+*Die Minimalwerte liegen genau in der Mitte zwischen zwei Maxima und es gilt:
 :$$y_{\rm min}= - A_1 + A_2 - A_3 = -0.422 -0.031 +0.005\hspace{0.15cm}\underline{ =
   -0.448}.$$
-*Das Signal $y(t)$ ist gegenüber dem in der Skizze auf der Angabenseite eingezeichnetem Signal um $0.448$  nach unten verschoben.
+*Das Signal&nbsp; $y(t)$&nbsp; ist gegenüber dem in der Skizze auf der Angabenseite eingezeichnetem Signal&nbsp; um $0.448$&nbsp;  nach unten verschoben.
-*Dieser Signalwert ergibt sich aus folgender Gleichung mit $A = C = 1/2$:
+*Dieser Signalwert ergibt sich aus folgender Gleichung mit&nbsp; $A = C = 1/2$:
 :$$C - \frac{C \cdot A^2}{4}- \frac{C^3}{6} =  {1}/{2} - {1}/{32}-  {1}/{48}   = 0.448.$$
 {{ML-Fuß}}

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 [[Datei:P_ID895__LZI_Z_2_3.png|right|frame|Einfluss nichtlinearer Verzerrungen]]
-Am Eingang eines Systems $S$ liegt das Cosinussignal
+Am Eingang eines Systems&nbsp; $S$&nbsp; liegt das Cosinussignal
 :$$x(t) =  A \cdot \cos(\omega_0 t)$$
-an, wobei für die Amplitude stets $A = 0.5$ gelten soll. Das System $S$ besteht
+an, wobei für die Amplitude stets&nbsp; $A = 0.5$&nbsp; gelten soll. Das System&nbsp; $S$&nbsp; besteht
-*aus der Addition eines Gleichanteils $C$,
+*aus der Addition eines Gleichanteils&nbsp; $C$,
 *einer Nichtlinearität mit der Kennlinie
 :$$g(x) =  \sin(x) \hspace{0.05cm} \approx x -{x^3}\hspace{-0.1cm}/{6} = g_3(x),$$
-*sowie einem idealen Hochpass, der alle Frequenzen bis auf ein Gleichsignal $(f = 0)$ unverfälscht passieren lässt.
+*sowie einem idealen Hochpass, der alle Frequenzen bis auf ein Gleichsignal&nbsp; $(f = 0)$&nbsp; unverfälscht passieren lässt.
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   A_3 \cdot \cos(3\omega_0 t) + \hspace{0.05cm}\text{...}$$
-Die sinusförmige Kennlinie $g(x)$ soll in der gesamten Aufgabe entsprechend der obigen Gleichung durch die kubische Näherung &nbsp;$g_3(x)$&nbsp; approximiert werden. Für $C = 0$ ergäbe sich somit die exakt gleiche Konstellation wie in [[Aufgaben:2.3_Sinusförmige_Kennlinie|Aufgabe 2.3]], in deren Unterpunkt '''(2)''' der Klirrfaktor berechnet wurde:
+Die sinusförmige Kennlinie&nbsp; $g(x)$&nbsp; soll in der gesamten Aufgabe entsprechend der obigen Gleichung durch die kubische Näherung &nbsp;$g_3(x)$&nbsp; approximiert werden.
 *$K = K_{g3} \approx 1.08 \%$ &nbsp;für&nbsp; $A = 0.5$,
 *$K = K_{g3} \approx 4.76 \%$ &nbsp;für&nbsp; $A = 1.0$.
-Unter Berücksichtigung der Konstanten $A = C = 0.5$ gilt für das Eingangssignal der Nichtlinearität:
+Unter Berücksichtigung der Konstanten&nbsp; $A = C = 0.5$&nbsp; gilt für das Eingangssignal der Nichtlinearität:
 :$$x_{\rm C}(t) =  C + A \cdot \cos(\omega_0 t) = {1}/{2} + {1}/{2}\cdot \cos(\omega_0 t).$$
-*Die Kennlinie wird also unsymmetrisch betrieben mit Werten zwischen $0$ und $1$.
+*Die Kennlinie wird also unsymmetrisch betrieben mit Werten zwischen&nbsp; $0$&nbsp; und&nbsp; $1$.
-*In obiger Grafik sind zusätzlich die Signale $x_{\rm C}(t)$ und $y_{\rm C}(t)$ direkt vor und nach der Kennlinie $g(x)$ eingezeichnet.
+*In obiger Grafik sind zusätzlich die Signale&nbsp; $x_{\rm C}(t)$&nbsp; und&nbsp; $y_{\rm C}(t)$&nbsp; direkt vor und nach der Kennlinie&nbsp; $g(x)$&nbsp; eingezeichnet.
@@ Zeile 47: / Zeile 52: @@
 <quiz display=simple>
-{Berechnen Sie das Ausgangssignal $y(t)$ unter Berücksichtigung des Hochpasses. Wie lautet der Gleichsignalanteil $A_0$?
+{Berechnen Sie das Ausgangssignal&nbsp; $y(t)$&nbsp; unter Berücksichtigung des Hochpasses. Wie lautet der Gleichsignalanteil&nbsp; $A_0$?
 |type="{}"}
 $A_0 \ = \ $ { 0. }
-{Geben Sie die weiteren Fourierkoeffizienten des Signals $y(t)$ an.
+{Geben Sie die weiteren Fourierkoeffizienten des Signals&nbsp; $y(t)$&nbsp; an.
 |type="{}"}
 $A_1  \ = \ $  { 0.422 3% }
@@ Zeile 65: / Zeile 70: @@
-{Berechnen Sie den Maximal&ndash; und den Minimalwert des Signals $y(t)$.
+{Berechnen Sie den Maximal&ndash; und den Minimalwert des Signals&nbsp; $y(t)$.
 |type="{}"}
 $y_\text{max}  \ = \ $  { 0.386 3% }

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−	'''(3)'''  Die Klirrfaktoren ~~zweiter und dritter~~ Ordnung ergeben sich bei dieser Aufgabe zu $K_2 = 2/27 \approx 7.41\%$ und $K_3 = 1/81 \approx 1.23\%$. Damit erhält man für den Gesamtklirrfaktor	+	'''(3)'''  Die Klirrfaktoren höherer Ordnung ergeben sich bei dieser Aufgabe zu $K_2 = 2/27 \approx 7.41\%$ und $K_3 = 1/81 \approx 1.23\%$. Damit erhält man für den Gesamtklirrfaktor
	:$$K = \sqrt{K_2^2 + K_3^2} \hspace{0.15cm}\underline{\approx7.51 \%}.$$		:$$K = \sqrt{K_2^2 + K_3^2} \hspace{0.15cm}\underline{\approx7.51 \%}.$$

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 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; Unter Berücksichtigung der kubischen Näherung $g_3(x)$ erhält man vor dem Hochpass:
+'''(1)'''&nbsp; Unter Berücksichtigung der kubischen Näherung &nbsp;$g_3(x)$&nbsp; erhält man vor dem Hochpass:
-:$$y_{\rm C}(t) = g_3\left[x_{\rm C}(t)\right] = \left[ C + A \cdot \cos(\omega_0
+:$$y_{\rm C}(t) = g_3\big[x_{\rm C}(t)\big] = \big[ C + A \cdot \cos(\omega_0
-  t)\right] - {1}/{6} \cdot \left[ C + A \cdot \cos(\omega_0
+  t)\big] - {1}/{6} \cdot \big[ C + A \cdot \cos(\omega_0
-  t)\right]^3 $$
+  t)\big]^3 $$
 :$$\Rightarrow \;  y_{\rm C}(t) =
    C + A \cdot \cos(\omega_0
-  t) - {1}/{6} \cdot [ C^3 + 3 \cdot C^2 \cdot A \cdot \cos(\omega_0
+  t) - {1}/{6} \cdot \big[ C^3 + 3 \cdot C^2 \cdot A \cdot \cos(\omega_0
   t) +   \hspace{0.09cm}3 \cdot C  \cdot A^2 \cdot \cos^2(\omega_0
-  t) + A^3 \cdot \cos^3(\omega_0  t)].$$
+  t) + A^3 \cdot \cos^3(\omega_0  t)\big].$$
-Das Signal $y_{\rm C}(t)$ beinhaltet eine Gleichkomponente $C- C^3/6$, die aufgrund des Hochpasses im Signal $y(t)$ nicht mehr enthalten ist: &nbsp; $\underline{ A_0 = 0}$.
+Das Signal $y_{\rm C}(t)$ beinhaltet eine Gleichkomponente $C - C^3/6$, die aufgrund des Hochpasses im Signal $y(t)$ nicht mehr enthalten ist:
 '''(2)'''&nbsp; Bei Anwendung der angegebenen trigonometrischen Beziehungen erhält man folgende Koeffizienten mit $A= C = 0.5$:
-:$$A_1 = A - {1}/{6}\cdot 3 \cdot C^2 \cdot A  - {1}/{6} cdot {3}/{4}\cdot
+:$$A_1 = A - {1}/{6}\cdot 3 \cdot C^2 \cdot A  - {1}/{6} \cdot {3}/{4}\cdot
   A^3 = {1}/{2} - {1}/{16} - {1}/{64} = {27}/{64}
 \hspace{0.15cm}\underline{ \approx 0.422},$$
@@ Zeile 101: / Zeile 102: @@
-'''(3)'''&nbsp; Die Klirrfaktoren zweiter und dritter Ordnung ergeben sich bei dieser Aufgabe zu $K_2   = 2/27 \approx 7.41\%$ und $K_3   = 1/81 \approx 1.23\%$ Damit ist der Gesamtklirrfaktor
+'''(3)'''&nbsp; Die Klirrfaktoren zweiter und dritter Ordnung ergeben sich bei dieser Aufgabe zu $K_2   = 2/27 \approx 7.41\%$ und $K_3   = 1/81 \approx 1.23\%$. Damit erhält man für den Gesamtklirrfaktor
 :$$K = \sqrt{K_2^2 + K_3^2} \hspace{0.15cm}\underline{\approx7.51 \%}.$$
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 .386}.$$
-Die Minimalwerte liegen genau in der Mitte zwischen den Maxima und es gilt:
+Die Minimalwerte liegen genau in der Mitte zwischen zwei Maxima und es gilt:
 :$$y_{\rm min}= - A_1 + A_2 - A_3 = -0.422 -0.031 +0.005\hspace{0.15cm}\underline{ =
   -0.448}.$$
-Das Signal $y(t)$ ist gegenüber dem in der Skizze auf der Angabenseite eingezeichnetem Signal um $0.448$  nach unten verschoben. Dieser Signalwert ergibt sich aus folgender Gleichung mit $A = C = 1/2$:
+*Das Signal $y(t)$ ist gegenüber dem in der Skizze auf der Angabenseite eingezeichnetem Signal um $0.448$  nach unten verschoben.
 :$$C - \frac{C \cdot A^2}{4}- \frac{C^3}{6} =  {1}/{2} - {1}/{32}-  {1}/{48}   = 0.448.$$
 {{ML-Fuß}}

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 ''Hinweise:''
 *Die Aufgabe bezieht sich auf das Kapitel [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Nichtlineare_Verzerrungen|Nichtlineare Verzerrungen]].
-*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes &bdquo;0&rdquo; erforderlich sein, so geben Sie bitte &bdquo;0.&rdquo; ein.
 *Als bekannt vorausgesetzt werden die folgenden trigonometrischen Beziehungen:
 :$$\cos^2(\alpha) =  {1}/{2}  + {1}/{2}