Aufgaben:Aufgabe 2.3: cos- und sin-Anteil - Versionsgeschichte

Guenter am 13. April 2021 um 14:16 Uhr

2021-04-13T14:16:30Z

Guenter am 13. April 2021 um 14:04 Uhr

2021-04-13T14:04:49Z

Guenter am 2. September 2019 um 16:02 Uhr

2019-09-02T16:02:15Z

Guenter am 2. September 2019 um 15:56 Uhr

2019-09-02T15:56:17Z

Guenter am 12. Juli 2018 um 13:23 Uhr

2018-07-12T13:23:45Z

Mwiki-lnt: Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

2018-05-29T12:02:43Z

Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

Guenter am 20. Dezember 2017 um 10:02 Uhr

2017-12-20T10:02:36Z

Guenter am 20. Dezember 2017 um 09:52 Uhr

2017-12-20T09:52:18Z

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2017-12-15T14:40:23Z

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Guenter am 15. Januar 2017 um 14:10 Uhr

2017-01-15T14:10:35Z

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-'''(2)'''&nbsp; Die Grundfrequenz&nbsp; $f_0$&nbsp; ist der kleinste gemeinsame Teiler
+'''(2)'''&nbsp; Die Grundfrequenz&nbsp; $f_0$&nbsp; ist der größte gemeinsame Teiler
 *von $f_1 = 4{\,\rm kHz}$
 *und $2.5 · f_1 = 10{\,\rm kHz}$.

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 *Das bedeutet, dass weiterhin&nbsp; $T_0 = 0.5 {\,\rm ms}$&nbsp;  gilt.
 *Der Gleichanteil verschwindet aufgrund der Differentiation.
-*Der Anteil bei&nbsp; $f_1$&nbsp; ist sinusförmig. Somit hat&nbsp; $X(f)$&nbsp; einen (imaginären) Dirac bei&nbsp; $f = f_1$, jedoch mit negativem Vorzeichen.
+*Der Anteil bei&nbsp; $f_1$&nbsp; ist sinusförmig.&nbsp; Somit hat&nbsp; $X(f)$&nbsp; einen (imaginären) Dirac bei&nbsp; $f = f_1$, jedoch mit negativem Vorzeichen.
 *Der Cosinusanteil mit der Amplitude&nbsp; ${10\,\rm V}$&nbsp; hat die beiden Diracfunktionen bei&nbsp; $\pm 2.5 \cdot f_1$&nbsp; zur Folge, jeweils mit dem Gewicht&nbsp; ${5\,\rm V}$ .
 {{ML-Fuß}}

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 :$$x(t)={\rm 3V}-{\rm 2V}\cdot \cos(\omega_{\rm 1} \cdot t)+{\rm 4V} \cdot \sin(2.5 \cdot \omega_{\rm 1} \cdot t).$$
-Hierbei bezeichnet $\omega_1 = 2\pi f_1$ die Kreisfrequenz des Cosinusanteils. Zum Zeitpunkt $t = 0$ hat das Signal den Wert $x(t=0)\hspace{0.15 cm}\underline{=1\,\rm V}$.
+*Hierbei bezeichnet&nbsp; $\omega_1 = 2\pi f_1$&nbsp; die Kreisfrequenz des Cosinusanteils.
 '''(2)'''&nbsp; Die Grundfrequenz $f_0$ ist der kleinste gemeinsame Teiler
 *von $f_1 = 4{\,\rm kHz}$
 *und $2.5 · f_1 = 10{\,\rm kHz}$.
-Daraus folgt $f_0 = 2{\,\rm kHz}$ &nbsp; &rArr; &nbsp;  Periodendauer $T_0 = 1/f_0 \hspace{0.1cm}\underline{= 0.5 {\,\rm ms}}$.
+Daraus folgt&nbsp; $f_0 = 2{\,\rm kHz}$ &nbsp; &rArr; &nbsp;  Periodendauer $T_0 = 1/f_0 \hspace{0.1cm}\underline{= 0.5 {\,\rm ms}}$.
 <br clear=all>
 [[Datei:P_ID294__Sig_A_2_3_d_neu.png|right|300px|frame|Spektrum mit diskreten Anteilen]]
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 :$$y(t)=\frac{1}{\omega_1}\cdot\frac{ {\rm d}x(t)}{{\rm d}t}=\frac{ {\rm -2V}}{\omega_1}\cdot\omega_1 \cdot (-\sin(\omega_1 t))+\frac{\rm 4V}{\omega_1}\cdot 2.5\omega_1\cdot {\rm cos}(2.5\omega_1t).$$
-Dies führt zum Ergebnis:
+*Dies führt zum Ergebnis:
 :$$y(t)={\rm 2V}\cdot\sin(\omega_1 t)+{\rm 10V}\cdot\cos(2.5\omega_1 t).$$
-Für $t = 0$ ergibt sich der Wert $y(t=0)\hspace{0.15cm}\underline{=10\,\rm V}$.
+*Für&nbsp; $t = 0$&nbsp; ergibt sich der Wert&nbsp; $y(t=0)\hspace{0.15cm}\underline{=10\,\rm V}$.
-Rechts ist das Spektrum $Y(f)$ dargestellt.
+*Rechts ist das Spektrum&nbsp; $Y(f)$&nbsp; dargestellt.
 '''(4)'''&nbsp; Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 1 und 4</u>:
 *Die Periodendauer $T_0$ wird durch die Amplitude und die Phase der beiden Anteile nicht verändert.
-*Das bedeutet, dass weiterhin $T_0 = 0.5 {\,\rm ms}$  gilt.
+*Das bedeutet, dass weiterhin&nbsp; $T_0 = 0.5 {\,\rm ms}$&nbsp;  gilt.
 *Der Gleichanteil verschwindet aufgrund der Differentiation.
-*Der Anteil bei $f_1$ ist sinusförmig. Somit hat $X(f)$ einen (imaginären) Dirac bei $f = f_1$, jedoch mit negativem Vorzeichen.
+*Der Anteil bei&nbsp; $f_1$&nbsp; ist sinusförmig. Somit hat&nbsp; $X(f)$&nbsp; einen (imaginären) Dirac bei&nbsp; $f = f_1$, jedoch mit negativem Vorzeichen.
-*Der Cosinusanteil mit der Amplitude ${10\,\rm V}$ hat die beiden Diracfunktionen bei $\pm 2.5 \cdot f_1$ zur Folge, jeweils mit dem Gewicht ${5\,\rm V}$ .
+*Der Cosinusanteil mit der Amplitude&nbsp; ${10\,\rm V}$&nbsp; hat die beiden Diracfunktionen bei&nbsp; $\pm 2.5 \cdot f_1$&nbsp; zur Folge, jeweils mit dem Gewicht&nbsp; ${5\,\rm V}$ .
 {{ML-Fuß}}
 __NOEDITSECTION__
 [[Category:Aufgaben zu Signaldarstellung|^2. Periodische Signale^]]

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 [[Datei: P_ID278_Sig_A_2_3neu.png|right|frame|Spektrum von Cosinus- und Sinusanteilen]]
-Gegeben ist das Amplitudenspektrum $X(f)$ eines Signals $x(t)$ entsprechend der Grafik.
+Gegeben ist das Amplitudenspektrum&nbsp; $X(f)$&nbsp; eines Signals&nbsp; $x(t)$&nbsp; entsprechend der Grafik.
-*Die Normierungsfrequenz sei $f_1 = 4\,\text{kHz}$.
+*Die Normierungsfrequenz sei&nbsp; $f_1 = 4\,\text{kHz}$.
-*Damit liegen die tatsächlichen Frequenzen der Signalanteile bei $0\,\text{kHz}$, $4\,\text{kHz}$ und $10\,\text{kHz}$ .
+*Damit liegen die tatsächlichen Frequenzen der Signalanteile bei&nbsp; $0\,\text{kHz}$,&nbsp; $4\,\text{kHz}$&nbsp; und&nbsp; $10\,\text{kHz}$.
-Dieses Signal $x(t)$ liegt am Eingang eines linearen Differenzierers, dessen Ausgang mit $\omega_1 = 2\pi f_1$ wie folgt dargestellt werden kann:
+Dieses Signal&nbsp; $x(t)$&nbsp; liegt am Eingang eines linearen Differenzierers, dessen Ausgang mit&nbsp; $\omega_1 = 2\pi f_1$&nbsp; wie folgt dargestellt werden kann:
 :$$y(t)=\frac{1}{\omega_1}\cdot\frac{ {\rm d}  x(t)}{{\rm d}  t}.$$
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 ''Hinweis:''
-*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Signaldarstellung/Harmonische_Schwingung|Harmonische Schwingung]].
+*Die Aufgabe gehört zum Kapitel&nbsp; [[Signaldarstellung/Harmonische_Schwingung|Harmonische Schwingung]].
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 <quiz display=simple>
-{Geben Sie $x(t)$ analytisch an. Wie groß ist der Signalwert bei $t = 0$?
+{Geben Sie&nbsp; $x(t)$&nbsp; analytisch an.&nbsp; Wie groß ist der Signalwert bei&nbsp; $t = 0$?
 |type="{}"}
 $x(t=0)\ = \ $ { 1 3% } &nbsp; ${\rm V}$
-{Wie groß ist die Periodendauer des Signals $x(t)$?
+{Wie groß ist die Periodendauer des Signals&nbsp; $x(t)$?
 |type="{}"}
 $T_0\ = \ $ { 0.5 3% } &nbsp; ${\rm ms}$
-{Berechnen Sie das Ausgangssignal $y(t)$ des Differenzierers. Wie groß ist der Signalwert zum Zeitpunkt $t = 0$?
+{Berechnen Sie das Ausgangssignal&nbsp; $y(t)$&nbsp; des Differenzierers.&nbsp; Wie groß ist der Signalwert zum Zeitpunkt&nbsp; $t = 0$?
 |type="{}"}
 $y(t=0)\ = \ $ { 10 3% } &nbsp; ${\rm V}$
-{Welche der folgenden Aussagen sind bezüglich des Signals $y(t)$ bzw. seines Spektrums $Y(f)$ zutreffend?
+{Welche der folgenden Aussagen sind bezüglich des Signals&nbsp; $y(t)$&nbsp; bzw. seines Spektrums&nbsp; $Y(f)$&nbsp; zutreffend?
 |type="[]"}
-+ $y(t)$ hat die gleiche Periodendauer wie das Signal $x(t)$.
++ $y(t)$&nbsp; hat die gleiche Periodendauer wie das Signal&nbsp; $x(t)$.
-- $Y(f)$ beinhaltet eine Diracfunktion bei der Frequenz $f = 0$.
+- $Y(f)$&nbsp; beinhaltet eine Diracfunktion bei der Frequenz&nbsp; $f = 0$.
-- $Y(f)$ beinhaltet eine Diracfunktion bei $+f_1$ mit dem Gewicht $\rm{j} · 1\,{\rm V}$.
+- $Y(f)$&nbsp; beinhaltet eine Diracfunktion bei&nbsp; $+f_1$&nbsp; mit dem Gewicht&nbsp; $\rm{j} · 1\,{\rm V}$.
-+ $Y(f)$ beinhaltet eine Diracfunktion bei $–\hspace{-0.1cm}2.5 \cdot f_1$ mit dem Gewicht $5\,{\rm V}$.
++ $Y(f)$&nbsp; beinhaltet eine Diracfunktion bei&nbsp; $–\hspace{-0.1cm}2.5 \cdot f_1$&nbsp; mit dem Gewicht&nbsp; $5\,{\rm V}$.

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 Gegeben ist das Amplitudenspektrum $X(f)$ eines Signals $x(t)$ entsprechend der Grafik.
-Die Normierungsfrequenz sei $f_1 = 4\,\text{kHz}$ . Damit liegen die tatsächlichen Frequenzen der Signalanteile bei $0\,\text{kHz}$, $4\,\text{kHz}$ und $10\,\text{kHz}$ .
+*Die Normierungsfrequenz sei $f_1 = 4\,\text{kHz}$.
 Dieses Signal $x(t)$ liegt am Eingang eines linearen Differenzierers, dessen Ausgang mit $\omega_1 = 2\pi f_1$ wie folgt dargestellt werden kann:
-:$$y(t)=\frac{1}{\omega_1}\cdot\frac{\rm d \it x(t)}{\rm d \it t}.$$
+:$$y(t)=\frac{1}{\omega_1}\cdot\frac{ {\rm d}  x(t)}{{\rm d}  t}.$$
-''Hinweise:''
+''Hinweis:''
 *Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Signaldarstellung/Harmonische_Schwingung|Harmonische Schwingung]].
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 + $y(t)$ hat die gleiche Periodendauer wie das Signal $x(t)$.
 - $Y(f)$ beinhaltet eine Diracfunktion bei der Frequenz $f = 0$.
-- $Y(f)$ beinhaltet eine Diracfunktion bei $f_1$ mit Gewicht $\rm{j} · 1\,{\rm V}$.
+- $Y(f)$ beinhaltet eine Diracfunktion bei $+f_1$ mit dem Gewicht $\rm{j} · 1\,{\rm V}$.
-+ $Y(f)$ beinhaltet eine Diracfunktion bei $–\hspace{-0.1cm}2.5 \cdot f_1$ mit Gewicht $5\,{\rm V}$.
++ $Y(f)$ beinhaltet eine Diracfunktion bei $–\hspace{-0.1cm}2.5 \cdot f_1$ mit dem Gewicht $5\,{\rm V}$.
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 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
 '''(1)'''&nbsp; Das Zeitsignal hat die folgende Form:
 :$$x(t)={\rm 3V}-{\rm 2V}\cdot \cos(\omega_{\rm 1} \cdot t)+{\rm 4V} \cdot \sin(2.5 \cdot \omega_{\rm 1} \cdot t).$$
-Hierbei bezeichnet $\omega_1 = 2\pi f_1$ die Kreisfrequenz des Cosinusanteils. Zum Zeitpunkt $t = 0$ hat das Signal den Wert $\underline{1\,\rm V}$.
+Hierbei bezeichnet $\omega_1 = 2\pi f_1$ die Kreisfrequenz des Cosinusanteils. Zum Zeitpunkt $t = 0$ hat das Signal den Wert $x(t=0)\hspace{0.15 cm}\underline{=1\,\rm V}$.
 '''(2)'''&nbsp; Die Grundfrequenz $f_0$ ist der kleinste gemeinsame Teiler
 *von $f_1 = 4{\,\rm kHz}$
-*und $2.5 · f_1 = 10{\,\rm kHz}$ $2.5 · f_1$.
+*und $2.5 · f_1 = 10{\,\rm kHz}$.
-Daraus folgt $f_1 = 4{\,\rm kHz}$ &nbsp;&rArr;&nbsp;  Periodendauer $T_0 = 1/f_0 \hspace{0.1cm}\underline{= 0.5 {\,\rm ms}}$.
+Daraus folgt $f_0 = 2{\,\rm kHz}$ &nbsp; &rArr; &nbsp;  Periodendauer $T_0 = 1/f_0 \hspace{0.1cm}\underline{= 0.5 {\,\rm ms}}$.
 <br clear=all>
 [[Datei:P_ID294__Sig_A_2_3_d_neu.png|right|300px|frame|Spektrum mit diskreten Anteilen]]
@@ Zeile 79: / Zeile 83: @@
 '''(4)'''&nbsp; Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 1 und 4</u>:
-*Die Periodendauer $T_0$ wird durch die Amplitude und die Phase der beiden Anteile nicht verändert. Das bedeutet, dass weiterhin $T_0 = 0.5 {\,\rm ms}$  gilt.
+*Die Periodendauer $T_0$ wird durch die Amplitude und die Phase der beiden Anteile nicht verändert.
 *Der Gleichanteil verschwindet aufgrund der Differentiation.
 *Der Anteil bei $f_1$ ist sinusförmig. Somit hat $X(f)$ einen (imaginären) Dirac bei $f = f_1$, jedoch mit negativem Vorzeichen.

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(kein Unterschied)

@@ Zeile 7: / Zeile 7: @@
 Gegeben ist das Amplitudenspektrum $X(f)$ eines Signals $x(t)$ entsprechend der siehe Grafik.
 Die Normierungsfrequenz sei $f_1 = 4\,\text{kHz}$ . Damit liegen die tatsächlichen Frequenzen der Signalanteile bei $0\,\text{kHz}$, $4\,\text{kHz}$ und $10\,\text{kHz}$ .
 Dieses Signal $x(t)$ liegt am Eingang eines linearen Differenzierers, dessen Ausgang mit $\omega_1 = 2\pi f_1$ wie folgt dargestellt werden kann:
@@ Zeile 49: / Zeile 50: @@
 $$x(t)={\rm 3V}-{\rm 2V}\cdot \cos(\omega_{\rm 1} \cdot t)+{\rm 4V} \cdot \sin(2.5 \cdot \omega_{\rm 1} \cdot t).$$
-Hierbei bezeichnet $\omega_1 = 2\pi f_1$ die Kreisfrequenz des Cosinusanteils. Zum Zeitpunkt $t = 0$ hat das Signal den Wert ${1\,\rm V}$.
+Hierbei bezeichnet $\omega_1 = 2\pi f_1$ die Kreisfrequenz des Cosinusanteils. Zum Zeitpunkt $t = 0$ hat das Signal den Wert $\underline{1\,\rm V}$.
 [[Datei:P_ID293__Sig_A_2_3_a.png|Summensignal aus Cosinus- und Sinusanteilen]]
-'''2.''' Die Grundfrequenz $f_0$ ist der kleinste gemeinsame Teiler von $f_1 = 4$ kHz und $2.5 · f_1$ = 10 kHz. Daraus folgt $f_0$ = 2 kHz und $T_0$ = $1/f_0$ = $0.5 ms$.
+'''2.''' Die Grundfrequenz $f_0$ ist der kleinste gemeinsame Teiler von $f_1 = 4{\,\rm kHz}$  und $2.5 · f_1 = 10{\,\rm kHz}$ $2.5 · f_1$. Daraus folgt $f_1 = 4{\,\rm kHz}$ &nbsp;&rArr;&nbsp;  Periodendauer $T_0 = 1/f_0 \hspace{0.1cm}\underline{= 0.5 {\,\rm ms}}$.
 '''3.''' Für das Ausgangssignal $y(t)$ des Differenzierers gilt:
@@ Zeile 63: / Zeile 66: @@
 $$y(t)={\rm 2V}\cdot\sin(\omega_1 t)+{\rm 10V}\cdot\cos(2.5\omega_1 t).$$
-[[Datei:P_ID294__Sig_A_2_3_d_neu.png|250px|right|Spektrum mit diskreten Anteilen (ML zu Aufgabe A2.3)]]
+Für $t = 0$ ergibt sich der Wert $\underline{10\,\rm V}$.
+Rechts sehen Sie das Spektrum $Y(f)$.
-'''4.''' Die Periodendauer $T_0$ wird durch die Amplitude und die Phase der beiden Anteile nicht verändert. Das bedeutet, dass weiterhin $T_0$ = 0.5 ms gilt.
+'''4.''' Richtig sind somit die <u>Lösungsvorschläge 1 und 4</u>:
-Der Gleichanteil verschwindet aufgrund der Differentiation. Der Anteil bei $f_1$ ist sinusförmig. Somit hat $X(f)$ einen (imaginären) Dirac bei $f = f_1$, jedoch mit negativem Vorzeichen. Der Cosinusanteil mit der Amplitude 10 V hat die beiden Diracfunktionen bei $\pm 2.5 \cdot f_1$ zur Folge, jeweils mit dem Gewicht 5 V. Richtig sind somit die Lösungsvorschläge 1 und 4.
+*Die Periodendauer $T_0$ wird durch die Amplitude und die Phase der beiden Anteile nicht verändert. Das bedeutet, dass weiterhin $T_0 = 0.5 {\,\rm ms}$  gilt.
 {{ML-Fuß}}
 __NOEDITSECTION__
 [[Category:Aufgaben zu Signaldarstellung|^2. Periodische Signale^]]