Aufgaben:Aufgabe 2.3: Sinusförmige Kennlinie - Versionsgeschichte

Guenter am 29. September 2021 um 13:13 Uhr

2021-09-29T13:13:09Z

Guenter am 29. September 2021 um 12:46 Uhr

2021-09-29T12:46:14Z

Guenter am 29. September 2021 um 12:37 Uhr

2021-09-29T12:37:25Z

Guenter am 28. Oktober 2019 um 16:45 Uhr

2019-10-28T16:45:33Z

Guenter am 28. Oktober 2019 um 16:34 Uhr

2019-10-28T16:34:43Z

Guenter am 9. November 2018 um 12:25 Uhr

2018-11-09T12:25:47Z

Guenter am 9. November 2018 um 12:17 Uhr

2018-11-09T12:17:13Z

Mwiki-lnt: Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

2018-05-29T12:02:43Z

Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

Guenter am 7. März 2018 um 15:46 Uhr

2018-03-07T15:46:37Z

Guenter am 7. März 2018 um 15:37 Uhr

2018-03-07T15:37:33Z

@@ Zeile 29: / Zeile 29: @@
 *Die Aufgabe bezieht sich auf das Kapitel&nbsp;  [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Nichtlineare_Verzerrungen|Nichtlineare Verzerrungen]].
 *Die sich ergebenden Signalverläufe für&nbsp; $x(t)$&nbsp; und&nbsp; $y(t)$&nbsp; sind auf der Seite&nbsp; [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Nichtlineare_Verzerrungen#Beschreibung_nichtlinearer_Systeme|Beschreibung nichtlinearer Systeme]]&nbsp; grafisch dargestellt.
 *Alle hier abgefragten Leistungen beziehen sich auf den Widerstand&nbsp; $R = 1 \ \rm \Omega$&nbsp; und haben somit die Einheit&nbsp; ${\rm V}^2$.
 *Als bekannt vorausgesetzt werden die folgenden trigonometrischen Beziehungen:

@@ Zeile 121: / Zeile 121: @@
 '''(4)'''&nbsp; Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 1 und 3</u>:
 *Der Ansatz&nbsp; $g_5(x)$&nbsp; ist im gesamten Bereich eine bessere Näherung für die Sinusfunktion&nbsp; $g(x)$&nbsp; als die Näherung&nbsp; $g_3(x)$.
-*Deshalb ist der in der Teilaufgabe&nbsp; '''(3)'''&nbsp; berechnete Wert&nbsp; $K_{g5}$&nbsp; eine bessere Näherung für den tatsächlichen Klirrfaktor als&nbsp; $K_{g3}$. <br>die erste Aussage ist somit richtig.
+*Deshalb ist der in der Teilaufgabe&nbsp; '''(3)'''&nbsp; berechnete Wert&nbsp; $K_{g5}$&nbsp; eine bessere Näherung für den tatsächlichen Klirrfaktor als&nbsp; $K_{g3}$. <br>Die erste Aussage ist somit richtig.
 *Die zweite Aussage ist falsch, wie schon die Berechnung für&nbsp; $A=1$&nbsp; gezeigt hat: &nbsp; $K_{g3} \approx 4.76 \%$&nbsp; ist größer als&nbsp; $K_{g5} \approx 4.45 \%$.
 *Der Grund hierfür ist, dass $g_3(x)$ unterhalb von $g_5(x)$ liegt und damit auch eine größere Abweichung vom linearen Verlauf vorliegt.

@@ Zeile 4: / Zeile 4: @@
 [[Datei:P_ID894__LZI_A_2_3.png|right|frame|Sinusförmige Kennlinie]]
-Wie betrachten ein System mit Eingang&nbsp; $x(t)$&nbsp; und Ausgang&nbsp; $y(t)$. Zur einfacheren Darstellung werden die Signale als dimensionslos betrachtet.
+Wie betrachten ein System mit Eingang&nbsp; $x(t)$&nbsp; und Ausgang&nbsp; $y(t)$.&nbsp; Zur einfacheren Darstellung werden die Signale als dimensionslos betrachtet.
 Der Zusammenhang zwischen dem Eingangssignal&nbsp; $x(t)$&nbsp; und dem Ausgangssignal&nbsp; $y(t)$&nbsp; ist im Bereich zwischen&nbsp; $-\pi/2$&nbsp; und&nbsp; $+\pi/2$&nbsp; durch die folgende Kennlinie gegeben.
@@ Zeile 17: / Zeile 17: @@
 :$$g_5(x) = x- x^3\hspace{-0.1cm}/{6}+x^5\hspace{-0.1cm}/{120}\hspace{0.05cm}.$$
-Es wird stets das Eingangssignal&nbsp; $x(t) = A \cdot \cos(\omega_0 \cdot t)$&nbsp; vorausgesetzt, wobei für die (dimensionslose) Signalamplitude die Werte&nbsp; $A = 0.5$,&nbsp; $A = 1.0$&nbsp; und&nbsp; $A = 1.5$&nbsp; zu betrachten sind.
+Es wird stets das Eingangssignal&nbsp; $x(t) = A \cdot \cos(\omega_0 \cdot t)$&nbsp; vorausgesetzt, wobei für die&nbsp; (dimensionslose)&nbsp; Signalamplitude die Werte&nbsp; $A = 0.5$,&nbsp; $A = 1.0$&nbsp; und&nbsp; $A = 1.5$&nbsp; zu betrachten sind.

@@ Zeile 70: / Zeile 70: @@
 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; Die sehr ungenaue Näherung $g_1(x) = x$ ist linear in $x$ und führt deshalb auch nicht zu nichtlinearen Verzerrungen. Damit ergibt sich für den Klirrfaktor $\underline{K = 0}$.
+'''(1)'''&nbsp; Die sehr ungenaue Näherung&nbsp; $g_1(x) = x$&nbsp; ist linear in&nbsp; $x$&nbsp; und führt deshalb auch nicht zu nichtlinearen Verzerrungen. Damit ergibt sich für den Klirrfaktor $\underline{K = 0}$.
@@ Zeile 76: / Zeile 77: @@
 :$$X_+(f) = A  \cdot {\rm \delta}(f- f_0) .$$
-Am Ausgang der nichtlinearen Kennlinie $g_3(x)$ liegt dann folgendes Signal an:
+*Am Ausgang der nichtlinearen Kennlinie&nbsp; $g_3(x)$&nbsp; liegt dann folgendes Signal an:
 :$$y(t) = A \cdot {\rm cos}(\omega_0  t ) - \frac{A^3}{6} \cdot
 {\rm cos}^3(\omega_0  t )=
@@ Zeile 84: / Zeile 85: @@
 + A_3 \cdot {\rm cos}(3\omega_0  t ).$$
-Für die Koeffizienten $A_1$ und $A_3$ erhält man durch Koeffizientenvergleich:
+*Für die Koeffizienten&nbsp; $A_1$&nbsp; und $A_3$ erhält man durch Koeffizientenvergleich:
 :$$A_1 = A  - {A^3}\hspace{-0.1cm}/{8},  \hspace{0.5cm}A_3 =   - {A^3}\hspace{-0.1cm}/{24}.$$
-Mit $A = 0.5$ ergibt sich $A_1 \approx 0.484$ und $A_3 \approx 0.005$. Somit lautet der Klirrfaktor:
+*Mit $A = 0.5$ ergibt sich $A_1 \approx 0.484$ und&nbsp; $A_3 \approx 0.005$. Somit lautet der Klirrfaktor:
 :$$K = K_3 ={|A_3|}/{A_1}= {0.005}/{0.484} \hspace{0.15cm}\underline{ =  1.08\%}.$$
-Anzumerken ist, dass bei der Näherung $g_3(x)$ nur der kubische Anteil $K_3$ des Klirrfaktors wirksam ist.
+:Anzumerken ist, dass bei der Näherung&nbsp; $g_3(x)$&nbsp; nur der kubische Anteil&nbsp; $K_3$&nbsp; des Klirrfaktors wirksam ist.
-Für $A = 1.0$ und $A = 1.5$ ergeben sich folgende Zahlenwerte:
+*Für&nbsp; $A = 1.0$&nbsp; und&nbsp; $A = 1.5$&nbsp; ergeben sich folgende Zahlenwerte:
 :$$A = 1.0: A_1 \approx 0.875, \hspace{0.2cm} A_3 \approx
 -0.041\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} \hspace{0.15cm}\underline{K \approx 4.76\%}\; \; \Rightarrow \; \; K_{g3},$$
@@ Zeile 99: / Zeile 100: @@
 '''(3)'''&nbsp; In ähnlicher Weise wie beim Unterpunkt '''(2)''' gilt nun
 :$$y(t) = A_1 \cdot {\rm cos}(\omega_0  t ) + A_3 \cdot {\rm
 cos}(3\omega_0  t )+ A_5 \cdot {\rm cos}(5\omega_0  t )$$
-mit folgenden Koeffizienten:
+:mit folgenden Koeffizienten:
 :$$A_1 = A  - {A^3}\hspace{-0.1cm}/{8} + {A^5}\hspace{-0.1cm}/{192},\hspace{0.3cm}
 A_3 =  - {A^3}\hspace{-0.1cm}/{24} +  {A^5}\hspace{-0.1cm}/{384},\hspace{0.3cm}
 A_5 =  {A^5}\hspace{-0.1cm}/{1920}.$$
-Daraus ergeben sich mit $A=1$ die Zahlenwerte:
+*Daraus ergeben sich mit&nbsp; $A=1$&nbsp; die Zahlenwerte:
 :$$A_1 \approx 1 -0.125 +0.005 = 0.880,\hspace{0.3cm}
 A_3 \approx  -0.042 +0.003 = -0.039,\hspace{0.3cm}
@@ Zeile 118: / Zeile 120: @@
 '''(4)'''&nbsp; Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 1 und 3</u>:
-*Der Ansatz $g_5(x)$ ist im gesamten Bereich eine bessere Näherung für die Sinusfunktion $g(x)$ als die Näherung $g_3(x)$.
+*Der Ansatz&nbsp; $g_5(x)$&nbsp; ist im gesamten Bereich eine bessere Näherung für die Sinusfunktion&nbsp; $g(x)$&nbsp; als die Näherung&nbsp; $g_3(x)$.
-*Deshalb ist der in der Teilaufgabe '''(3)''' berechnete Wert $K_{g5}$ eine bessere Näherung für den tatsächlichen Klirrfaktor als $K_{g3}$. <br>die erste Aussage ist somit richtig.
+*Deshalb ist der in der Teilaufgabe&nbsp; '''(3)'''&nbsp; berechnete Wert&nbsp; $K_{g5}$&nbsp; eine bessere Näherung für den tatsächlichen Klirrfaktor als&nbsp; $K_{g3}$. <br>die erste Aussage ist somit richtig.
-*Die zweite Aussage ist falsch, wie schon die Berechnung für $A=1$ gezeigt hat: $K_{g3} \approx 4.76 \%$ ist größer als $K_{g5} \approx 4.45 \%$.
+*Die zweite Aussage ist falsch, wie schon die Berechnung für&nbsp; $A=1$&nbsp; gezeigt hat: &nbsp; $K_{g3} \approx 4.76 \%$&nbsp; ist größer als&nbsp; $K_{g5} \approx 4.45 \%$.
 *Der Grund hierfür ist, dass $g_3(x)$ unterhalb von $g_5(x)$ liegt und damit auch eine größere Abweichung vom linearen Verlauf vorliegt.
-*Für $A=0.5$ wird $K_{g5} \approx K_{g3} = 1.08 \%$ gelten.
+*Für&nbsp; $A=0.5$&nbsp; wird&nbsp; $K_{g5} \approx K_{g3} = 1.08 \%$&nbsp; gelten.
-*Schon die Kennlinie auf der Angabenseite zeigt, dass für $|x| \le 0.5$ die beiden Funktionen $g_3(x)$ und $g_5(x)$  innerhalb der Zeichengenauigkeit nicht zu unterscheiden sind.
+*Die Kennlinie auf der Angabenseite zeigt, dass   für&nbsp; $|x| \le 0.5$&nbsp; die Funktionen&nbsp; $g_3(x)$&nbsp; und&nbsp; $g_5(x)$&nbsp;  innerhalb der Zeichengenauigkeit nicht zu unterscheiden sind.
 *Damit ergeben sich auch gleiche Klirrfaktoren.
 {{ML-Fuß}}

@@ Zeile 4: / Zeile 4: @@
 [[Datei:P_ID894__LZI_A_2_3.png|right|frame|Sinusförmige Kennlinie]]
-Wie betrachten ein System mit Eingang $x(t)$ und Ausgang $y(t)$. Zur einfacheren Darstellung werden die Signale als dimensionslos betrachtet.
+Wie betrachten ein System mit Eingang&nbsp; $x(t)$&nbsp; und Ausgang&nbsp; $y(t)$. Zur einfacheren Darstellung werden die Signale als dimensionslos betrachtet.
-Der Zusammenhang zwischen dem Eingangssignal $x(t)$ und dem Ausgangssignal $y(t)$ ist im Bereich zwischen $-\pi/2$ und $+\pi/2$ durch die folgende Kennlinie gegeben.
+Der Zusammenhang zwischen dem Eingangssignal&nbsp; $x(t)$&nbsp; und dem Ausgangssignal&nbsp; $y(t)$&nbsp; ist im Bereich zwischen&nbsp; $-\pi/2$&nbsp; und&nbsp; $+\pi/2$&nbsp; durch die folgende Kennlinie gegeben.
 :$$g(x) =  \sin(x) = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} -
   \hspace{0.05cm}\text{...}$$
-Der zweite Teil dieser Gleichung beschreibt dabei die Reihenentwicklung der Sinusfunktion. Als Näherungen für die nichtlineare Kennlinie werden in dieser Aufgabe verwendet:
+Der zweite Teil dieser Gleichung beschreibt dabei die Reihenentwicklung der Sinusfunktion.
 :$$g_1(x) = x\hspace{0.05cm},$$
 :$$ g_3(x) = x- x^{3}\hspace{-0.1cm}/6\hspace{0.05cm},$$
 :$$g_5(x) = x- x^3\hspace{-0.1cm}/{6}+x^5\hspace{-0.1cm}/{120}\hspace{0.05cm}.$$
-Es wird stets das Eingangssignal $x(t) = A \cdot \cos(\omega_0 \cdot t)$ vorausgesetzt, wobei für die (dimensionslose) Signalamplitude die Werte $A = 0.5$, $A = 1.0$ und $A = 1.5$ zu betrachten sind.
+Es wird stets das Eingangssignal&nbsp; $x(t) = A \cdot \cos(\omega_0 \cdot t)$&nbsp; vorausgesetzt, wobei für die (dimensionslose) Signalamplitude die Werte&nbsp; $A = 0.5$,&nbsp; $A = 1.0$&nbsp; und&nbsp; $A = 1.5$&nbsp; zu betrachten sind.
@@ Zeile 22: / Zeile 27: @@
 ''Hinweise:''
-*Die Aufgabe bezieht sich auf das Kapitel  [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Nichtlineare_Verzerrungen|Nichtlineare Verzerrungen]].
+*Die Aufgabe bezieht sich auf das Kapitel&nbsp;  [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Nichtlineare_Verzerrungen|Nichtlineare Verzerrungen]].
-*Die sich ergebenden Signalverläufe für $x(t)$ und $y(t)$ sind auf der Seite [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Nichtlineare_Verzerrungen#Beschreibung_nichtlinearer_Systeme|Beschreibung nichtlinearer Systeme]] grafisch dargestellt.
+*Die sich ergebenden Signalverläufe für&nbsp; $x(t)$&nbsp; und&nbsp; $y(t)$&nbsp; sind auf der Seite&nbsp; [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Nichtlineare_Verzerrungen#Beschreibung_nichtlinearer_Systeme|Beschreibung nichtlinearer Systeme]]&nbsp; grafisch dargestellt.
-*Alle hier abgefragten Leistungen beziehen sich auf den Widerstand $R = 1 \ \rm \Omega$ und haben somit die Einheit ${\rm V}^2$.
+*Alle hier abgefragten Leistungen beziehen sich auf den Widerstand&nbsp; $R = 1 \ \rm \Omega$&nbsp; und haben somit die Einheit&nbsp; ${\rm V}^2$.
 *Als bekannt vorausgesetzt werden die folgenden trigonometrischen Beziehungen:
 :$$\cos^3(\alpha) =  {3}/{4} \cdot \cos(\alpha) + {1}/{4} \cdot \cos(3\alpha)
@@ Zeile 37: / Zeile 42: @@
 <quiz display=simple>
-{Welchen Klirrfaktor $K$ erhält man mit der Kennliniennäherung $\underline{g_1(x)}$ unabhängig von der Amplitude $A$ des Eingangssignals?
+{Welchen Klirrfaktor&nbsp; $K$&nbsp; erhält man mit der Kennliniennäherung&nbsp; $\underline{g_1(x)}$&nbsp; unabhängig von der Amplitude&nbsp; $A$&nbsp; des Eingangssignals?
 |type="{}"}
 $K \ = \ $ { 0. } $\ \%$
-{Berechnen Sie den Klirrfaktor $K$  für das Eingangssignal $x(t) = A \cdot \cos(\omega_0 \cdot t)$ und die Näherung $\underline{g_3(x)}$. <br>Welche Werte ergeben sich für $A = 0.5$ und $A = 1.0$?
+{Berechnen Sie den Klirrfaktor&nbsp; $K$&nbsp;  für das Eingangssignal&nbsp; $x(t) = A \cdot \cos(\omega_0 \cdot t)$&nbsp; und die Näherung&nbsp; $\underline{g_3(x)}$. <br>Welche Werte ergeben sich für&nbsp; $A = 0.5$&nbsp; und&nbsp; $A = 1.0$?
 |type="{}"}
 $A = 0.5\hspace{-0.08cm}:\ \ K \ = \ $  { 1.08 3% } $\ \%$
@@ Zeile 48: / Zeile 53: @@
-{Wie lautet der Klirrfaktor für $\underline{A = 1.0}$ unter Berücksichtigung der Näherung  $\underline{g_5(x)}$?
+{Wie lautet der Klirrfaktor für&nbsp; $\underline{A = 1.0}$&nbsp; unter Berücksichtigung der Näherung&nbsp;  $\underline{g_5(x)}$?
 |type="{}"}
 $K \ =  \ $ { 4.45 3% } $\ \%$
-{Welche der folgenden Aussagen treffen zu? Hierbei bezeichnet $K$  den Klirrfaktor der Sinusfunktion $g(x)$. <br>$K_{\rm g3}$ und $K_{\rm g5}$    basieren auf den Näherungen $g_3(x)$ und $g_5(x)$.
+{Welche der folgenden Aussagen treffen zu? Hierbei bezeichnet&nbsp; $K$&nbsp;  den Klirrfaktor der Sinusfunktion&nbsp; $g(x)$. <br>$K_{\rm g3}$&nbsp; und&nbsp; $K_{\rm g5}$&nbsp; basieren auf den Näherungen&nbsp; $g_3(x)$&nbsp; bzw.&nbsp; $g_5(x)$.
 |type="[]"}
-+ $K_{\rm g5}$ stellt im Allgemeinen eine bessere Näherung für $K$ dar als $K_{\rm g3}$.
++ $K_{\rm g5}$&nbsp; stellt im Allgemeinen eine bessere Näherung für&nbsp; $K$&nbsp; dar als&nbsp; $K_{\rm g3}$.
-- Für $A = 1.0$ &nbsp;gilt&nbsp; $K_{\rm g3} < K_{\rm g5}$.
+- Für&nbsp; $A = 1.0$ &nbsp;gilt&nbsp; $K_{\rm g3} < K_{\rm g5}$.
-+ Für $A = 0.5$ &nbsp;wird&nbsp; $K_{\rm g3} \approx K_{\rm g5}$  gelten.
++ Für&nbsp; $A = 0.5$ &nbsp;wird&nbsp; $K_{\rm g3} \approx K_{\rm g5}$  gelten.