Aufgaben:Aufgabe 2.3: Reduzible und irreduzible Polynome - Versionsgeschichte

Guenter am 29. September 2022 um 15:48 Uhr

2022-09-29T15:48:53Z

Guenter am 29. September 2022 um 15:27 Uhr

2022-09-29T15:27:05Z

Guenter am 20. Mai 2019 um 12:43 Uhr

2019-05-20T12:43:32Z

Guenter am 20. Mai 2019 um 12:37 Uhr

2019-05-20T12:37:06Z

Guenter am 20. Mai 2019 um 12:25 Uhr

2019-05-20T12:25:38Z

Tasnad: Textersetzung - „* Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein. “ durch „“

2018-05-29T11:35:29Z

Textersetzung - „* Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein. “ durch „“

Guenter am 8. Januar 2018 um 09:12 Uhr

2018-01-08T09:12:29Z

Guenter am 8. Januar 2018 um 08:52 Uhr

2018-01-08T08:52:18Z

Guenter: Guenter verschob die Seite Aufgaben:2.3 Reduzible und irreduzible Polynome nach Aufgaben:Aufgabe 2.3: Reduzible und irreduzible Polynome

2018-01-03T09:20:12Z

Guenter verschob die Seite 2.3 Reduzible und irreduzible Polynome nach Aufgabe 2.3: Reduzible und irreduzible Polynome

Hussain am 15. Dezember 2017 um 15:21 Uhr

2017-12-15T15:21:10Z

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 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; Das Polynom $a(x) =  a_0 + a_1 \cdot x + a_2 \cdot x^2 + \hspace{0.1cm}... \hspace{0.1cm} + a_m \cdot x^{m}$
+'''(1)'''&nbsp; Das Polynom&nbsp; $a(x) =  a_0 + a_1 \cdot x + a_2 \cdot x^2 + \hspace{0.1cm}... \hspace{0.1cm} + a_m \cdot x^{m}$
-*mit $a_m = 1$
+*mit&nbsp; $a_m = 1$
-*und gegebenen Koeffizienten $a_0, \ a_1, \hspace{0.05cm}\text{ ...} \hspace{0.1cm} , \ a_{m-1}$ (jeweils $0$ oder $1$)
-ist dann irreduzibel, wenn es kein einziges Polynom $q(x)$ gibt, so dass die Modulo&ndash;$2$&ndash;Division $a(x)/q(x)$ keinen Rest ergibt. Der Grad aller zu betrachtenden Teilerpolynome $q(x)$ ist mindestens $1$ und höchstens $m-1$.
+ist dann irreduzibel,&nbsp; wenn es kein einziges Polynom&nbsp; $q(x)$&nbsp; gibt,&nbsp; so dass die Modulo&ndash;2&ndash;Division &nbsp; $a(x)/q(x)$ &nbsp; keinen Rest ergibt.&nbsp; Der Grad aller zu betrachtenden Teilerpolynome&nbsp; $q(x)$&nbsp; ist dabei mindestens&nbsp; $1$&nbsp; und höchstens&nbsp; $m-1$.
-* Für $m = 2$ sind zwei Polynomdivisionen $a(x)/q_i(x)$ erforderlich, nämlich mit
+* Für&nbsp; $m = 2$&nbsp; sind zwei Polynomdivisionen&nbsp; $a(x)/q_i(x)$&nbsp; erforderlich,&nbsp; nämlich mit
 :$$q_1(x) = x \hspace{0.5cm}{\rm und}\hspace{0.5cm}q_2(x) = x+1
 \hspace{0.3cm} \Rightarrow\hspace{0.3cm}N_{\rm D}\hspace{0.15cm}\underline{= 2}
 \hspace{0.05cm}.$$
-* Für $m = 3$ gibt es schon $N_{\rm D} \ \underline{= 6}$ Teilerpolynome, nämlich neben $q_1(x) = x$ und $q_2(x) = x + 1$ noch
+* Für&nbsp; $m = 3$&nbsp; gibt es schon&nbsp; $N_{\rm D} \ \underline{= 6}$&nbsp; Teilerpolynome,&nbsp; nämlich neben&nbsp; $q_1(x) = x$&nbsp; und&nbsp; $q_2(x) = x + 1$&nbsp; noch
 :$$q_3(x) = x^2\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}q_4(x) = x^2+1\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}
 q_5(x) = x^2 + x\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}q_6(x) = x^2+x+1\hspace{0.05cm}.$$
-* Für $m = 4$ müssen außer $q_1(x), \hspace{0.05cm}\text{ ...} \hspace{0.1cm} , \ q_6(x)$ auch noch alle möglichen Teilerpolynome mit Grad $m = 3$ berücksichtigt werden, also:
+* Für&nbsp; $m = 4$&nbsp; müssen außer&nbsp; $q_1(x), \hspace{0.05cm}\text{ ...} \hspace{0.1cm} , \ q_6(x)$&nbsp; auch noch alle möglichen Teilerpolynome mit Grad&nbsp; $m = 3$&nbsp; berücksichtigt werden,&nbsp; also:
-:$$q_i(x) =  a_0 + a_1 \cdot x + a_2 \cdot x^2 + x^3\hspace{0.05cm},\hspace{0.5cm}a_0, a_1, a_2 \in \{0,1\}
+:$$q_i(x) =  a_0 + a_1 \cdot x + a_2 \cdot x^2 + x^3\hspace{0.05cm},\hspace{0.5cm}a_0,\ a_1,\ a_2 \in \{0,1\}
 \hspace{0.05cm}.$$
-:Für den Index gilt dabei $7 &#8804; i &#8804; 14 \ \Rightarrow \ N_{\rm D} \ \underline{= 14}$.
+:Für den Index gilt dabei&nbsp; $7 &#8804; i &#8804; 14 \ \Rightarrow \ N_{\rm D} \ \underline{= 14}$.
-'''(2)'''&nbsp; Für das erste Polynom gilt: $a_1(x = 0) = 0$. Deshalb ist dieses Polynom reduzibel: &nbsp; $a_1(x) = x \cdot (x + 1)$.
+'''(2)'''&nbsp; Für das erste Polynom gilt:&nbsp; $a_1(x = 0) = 0$.&nbsp; Deshalb ist dieses Polynom reduzibel: &nbsp;
 Dagegen gilt für das zweite Polynom:
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 \hspace{0.05cm}.$$
-Diese notwendige, aber nicht hinreichende Eigenschaft zeigt, dass $a_2(x)$ irreduzibel sein könnte. Der endgültige Beweis ergibt sich erst durch zwei Modulo&ndash;2&ndash;Divisionen:
+Diese notwendige,&nbsp; aber nicht hinreichende Eigenschaft zeigt,&nbsp; dass&nbsp; $a_2(x)$&nbsp; irreduzibel sein könnte.&nbsp;
-Richtig ist demnach der <u>Lösungsvorschlag 2</u>.
+* $a_2(x)$&nbsp; geteilt durch&nbsp; $x + 1$&nbsp; liefert&nbsp; $x$,&nbsp; Rest $r(x) = 1$.
-'''(3)'''&nbsp; Die drei ersten Polynome sind reduzibel, wie die folgenden Rechenergebnisse zeigen:
+Richtig ist demnach der&nbsp; <u>Lösungsvorschlag 2</u>.
 :$$a_3(x = 0) = 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}a_4(x = 1) = 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}a_5(x = 0) = 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}a_5(x = 1) = 0
 \hspace{0.05cm}.$$
@@ Zeile 127: / Zeile 132: @@
 :$$a_5(x)  \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} x \cdot (x + 1)\cdot(x + 1) \hspace{0.05cm}.$$
-Das Polynom $a_6(x)$ ist sowohl für $x = 0$ als auch für $x = 1$ ungleich $0$. Das heißt, dass
+Das Polynom&nbsp; $a_6(x)$&nbsp; ist sowohl für&nbsp; $x = 0$&nbsp; als auch für&nbsp; $x = 1$&nbsp; ungleich&nbsp; $0$.&nbsp; Das heißt,&nbsp; dass
-* &bdquo;nichts dagegen spricht&rdquo;, dass $a_6(x)$ irreduzibel ist,
+* &bdquo;nichts dagegen spricht&rdquo;,&nbsp; dass $a_6(x)$&nbsp; irreduzibel ist,
 * die Division durch die irreduziblen Grad&ndash;1&ndash;Polynome $x$ bzw. $x + 1$ nicht ohne Rest möglich ist.
-Da aber auch die Division durch das einzige irreduzible Grad&ndash;2&ndash;Polynom einen Rest liefert, ist bewiesen, dass $a_6(x)$ ein irreduzibles Polynom ist:
+Da aber auch die Division durch das einzige irreduzible Grad&ndash;2&ndash;Polynom einen Rest liefert,&nbsp; ist bewiesen,&nbsp; dass&nbsp; $a_6(x)$&nbsp; ein irreduzibles Polynom ist:
 :$$(x^3 + x+1)/(x^2 + x+1) = x + 1 \hspace{0.05cm},\hspace{0.4cm}{\rm Rest}\hspace{0.15cm} r(x) = x\hspace{0.05cm},$$
-Mit gleichem Rechengang kann auch gezeigt werden, dass $a_7(x)$ ebenfalls irreduzibel ist &nbsp; &#8658; &nbsp; <u>Lösungsvorschläge 4 und 5</u>.
+Mit gleichem Rechengang kann auch gezeigt werden, dass&nbsp; $a_7(x)$&nbsp; ebenfalls irreduzibel ist &nbsp; &#8658; &nbsp; <u>Lösungsvorschläge 4 und 5</u>.
-'''(4)'''&nbsp; Aus $a_8(x + 1) = 0$ folgt die Reduzibilität von $a_8(x)$. Für die beiden anderen Polynome gilt dagegen:
+'''(4)'''&nbsp; Aus&nbsp; $a_8(x + 1) = 0$&nbsp; folgt die Reduzibilität von&nbsp; $a_8(x)$.&nbsp; Für die beiden anderen Polynome gilt dagegen:
 :$$a_9(x = 0)  \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.35cm}a_9(x = 1) = 1  \hspace{0.05cm},$$
 :$$a_{10}(x = 0)  \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm}1\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}a_{10}(x = 1) = 1  \hspace{0.05cm}.$$
-Beide könnten also irreduzibel sein. Der exakte Nachweis der Irreduzibilität ist aufwändiger:
+Beide könnten also irreduzibel sein.&nbsp; Der exakte Nachweis der Irreduzibilität ist aufwändiger:
-*Man muss zur Überprüfung zwar nicht alle vier Divisorpolynome mit Grad $m = 2$ heranziehen, nämlich $x^2, \ x^2 + 1, \ x^2 + x + 1$, sondern es genügt die Division durch das einzige irreduzible Grad&ndash;2&ndash;Polynom. Man erhält hinsichtlich des Polynoms $a_9(x)$:
+*Man muss zur Überprüfung zwar nicht alle vier Divisorpolynome mit Grad&nbsp; $m = 2$ heranziehen,&nbsp; nämlich $x^2, \ x^2 + 1, \ x^2 + x + 1$,&nbsp; sondern es genügt die Division durch das einzige irreduzible Grad&ndash;2&ndash;Polynom.&nbsp; Man erhält hinsichtlich des Polynoms&nbsp; $a_9(x)$:
 :$$(x^4 + x^3+1)/(x^2 + x+1) = x^2 + 1 \hspace{0.05cm},\hspace{0.4cm}{\rm Rest}\hspace{0.15cm} r(x) = x\hspace{0.05cm}.$$
@@ Zeile 150: / Zeile 156: @@
 :$$(x^4 + x^3+1)/(x^3 + x^2+1) \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} x  \hspace{0.05cm},\hspace{0.95cm}{\rm Rest}\hspace{0.15cm} r(x) = x +1\hspace{0.05cm}.$$
-Betrachten wir schließlich noch das Polynom $a_{10}(x) = x^4 + x^2 + 1$. Hier gilt
+Betrachten wir schließlich noch das Polynom&nbsp; $a_{10}(x) = x^4 + x^2 + 1$.&nbsp; Hier gilt
 :$$(x^4 + x^2+1)/(x^2 + x+1) = x^2 + x+1 \hspace{0.05cm},\hspace{0.4cm}{\rm Rest}\hspace{0.15cm} r(x) = 0\hspace{0.05cm}.$$
-Daraus folgt: Nur das Polynom $a_9(x)$ ist irreduzibel &nbsp;&#8658;&nbsp; <u>Lösungsvorschlag 2</u>.
+Daraus folgt:&nbsp; Nur das Polynom&nbsp; $a_9(x)$&nbsp; ist irreduzibel &nbsp; &#8658; &nbsp; <u>Lösungsvorschlag 2</u>.
 {{ML-Fuß}}

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 {{quiz-Header|Buchseite=Kanalcodierung/Erweiterungskörper}}
-[[Datei:P_ID2503__KC_A_2_3.png|right|frame|Polynome von Grad&nbsp; $m = 2$,&nbsp; $m = 3$&nbsp; und&nbsp; $m = 4$]]
+[[Datei:P_ID2503__KC_A_2_3.png|right|frame|Einige Polynome von Grad&nbsp; $m = 2$,&nbsp; $m = 3$,&nbsp;  $m = 4$]]
-Wichtige Voraussetzungen für das Verständnis der Kanalcodierung sind Kenntnisse der Polynomeigenschaften. Wir betrachten in dieser Aufgabe Polynome der Form
+Wichtige Voraussetzungen für das Verständnis der Kanalcodierung sind Kenntnisse der Polynomeigenschaften.&nbsp;
 :$$a(x) =  a_0 + a_1 \cdot x + a_2 \cdot x^2 + \hspace{0.1cm}... \hspace{0.1cm} + a_m \cdot x^{m}
 \hspace{0.05cm},$$
-wobei für die Koeffizienten&nbsp; $a_i &#8712; {\rm GF}(2) = \{0, \, 1\}$&nbsp; gilt&nbsp; $(0 &#8804; i &#8804; m)$ und der höchste Koeffizient stets zu&nbsp; $a_m = 1$&nbsp; vorausgesetzt wird. Man bezeichnet&nbsp; $m$&nbsp; als den ''Grad''&nbsp; des Polynoms. Nebenstehend sind zehn Polynome angegeben, wobei der Polynomgrad entweder&nbsp; $m = 2$&nbsp; (rote Schrift),&nbsp; $m = 3$&nbsp; (blaue Schrift) oder&nbsp; $m = 4$&nbsp; (grüne Schrift) ist.
+*wobei für die Koeffizienten&nbsp; $a_i &#8712; {\rm GF}(2) = \{0, \, 1\}$&nbsp; gilt&nbsp; $(0 &#8804; i &#8804; m)$
 Ein Polynom&nbsp; $a(x)$&nbsp; bezeichnet man als <b>reduzibel</b>, wenn es als Produkt zweier Polynome&nbsp; $p(x)$&nbsp; und&nbsp; $q(x)$&nbsp; mit jeweils niedrigerem Grad dargestellt werden kann:
 :$$a(x) = p(x) \cdot q(x)$$
-Ist dies nicht möglich, das heißt, wenn für das Polynom
+Ist dies nicht möglich,&nbsp; das heißt,&nbsp; wenn für das Polynom
 :$$a(x) = p(x) \cdot q(x) + r(x)$$
-mit einem Restpolynom&nbsp; $r(x) &ne; 0$&nbsp; gilt, so nennt an das Polynom <b>irreduzibel</b>. Solche irreduziblen Polynome sind für die Beschreibung von Fehlerkorrekturverfahren von besonderer Bedeutung.
+mit einem Restpolynom&nbsp; $r(x) &ne; 0$&nbsp; gilt,&nbsp; so nennt an das Polynom&nbsp; <b>irreduzibel</b>.&nbsp; Solche irreduziblen Polynome sind für die Beschreibung von Fehlerkorrekturverfahren von besonderer Bedeutung.
-Der Nachweis, dass ein Polynom&nbsp; $a(x)$&nbsp; vom Grad&nbsp; $m$&nbsp; irreduzibel ist, erfordert mehrere Polynomdivisionen&nbsp; $a(x)/q(x)$, wobei der Grad des jeweiligen Divisorpolynoms&nbsp; $q(x)$&nbsp; stets kleiner ist als&nbsp; $m$. Nur wenn alle diese Modulo&ndash;$2$&ndash;Divisionen stets einen Rest&nbsp; $r(x) &ne; 0$&nbsp; liefern, ist nachgewiesen, dass&nbsp; $a(x)$&nbsp; tatsächlich ein irreduzibles Polynom ist.
+&rArr; &nbsp; Der Nachweis,&nbsp; dass ein Polynom&nbsp; $a(x)$&nbsp; vom Grad&nbsp; $m$&nbsp; irreduzibel ist,&nbsp; erfordert mehrere Polynomdivisionen&nbsp; $a(x)/q(x)$,&nbsp; wobei der Grad des  Divisorpolynoms&nbsp; $q(x)$&nbsp; stets kleiner ist als&nbsp; $m$. Nur wenn alle diese Modulo&ndash;2&ndash;Divisionen stets einen Rest&nbsp; $r(x) &ne; 0$&nbsp; liefern,&nbsp; ist nachgewiesen,&nbsp; dass&nbsp; $a(x)$&nbsp; tatsächlich ein irreduzibles Polynom ist.
-Dieser exakte Nachweis ist sehr aufwändig. Notwendige Voraussetzungen dafür, dass&nbsp; $a(x)$&nbsp; überhaupt ein irreduzibles Polynom sein könnte, sind die beiden Bedingungen (bei nichtbinärer Betrachtungsweise wäre &bdquo;$x=1$&rdquo; durch &bdquo;$x&ne;0$&rdquo; zu ersetzen):
+&rArr; &nbsp; Dieser exakte Nachweis ist sehr aufwändig.&nbsp; Notwendige Voraussetzungen dafür,&nbsp; dass&nbsp; $a(x)$&nbsp; überhaupt ein irreduzibles Polynom sein könnte,&nbsp; sind die beiden Bedingungen&nbsp; $($bei nichtbinärer Betrachtungsweise wäre &bdquo;$x=1$&rdquo; durch &bdquo;$x&ne;0$&rdquo; zu ersetzen$)$:
 * $a(x = 0) = 1$,
 * $a(x = 1) = 1$.
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 :$$a(x) = q(x) \cdot x \hspace{0.5cm}{\rm bzw.}\hspace{0.5cm}a(x) = q(x) \cdot (x+1)\hspace{0.05cm}.$$
-Die oben genannten Voraussetzungen sind zwar notwendig, jedoch nicht hinreichend, wie das folgende Beispiel zeigt:
+Die oben genannten Voraussetzungen sind zwar notwendig,&nbsp; jedoch nicht hinreichend,&nbsp; wie das folgende Beispiel zeigt:
 :$$a(x) = x^5 + x^4 +1 \hspace{0.3cm} \Rightarrow\hspace{0.3cm}a(x = 0) = 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}a(x = 1) = 1
 \hspace{0.05cm}.$$
-Trotzdem ist dieses Polynom reduzibel:
+Trotzdem ist dieses Polynom nämlich reduzibel:
 :$$a(x) = (x^3 + x +1)(x^2 + x +1) \hspace{0.05cm}.$$
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-''Hinweis:''
+Hinweis:&nbsp; Die Aufgabe gehört zum Kapitel&nbsp; [[Kanalcodierung/Erweiterungsk%C3%B6rper| "Erweiterungskörper"]].
@@ Zeile 44: / Zeile 55: @@
 ===Fragebogen===
 <quiz display=simple>
-{Wieviele Polynomdivisionen&nbsp; $(N_{\rm D})$&nbsp; sind erforderlich, um exakt nachzuweisen, dass ein&nbsp; ${\rm GF}(2)$&ndash;Polynom&nbsp; $a(x)$&nbsp; vom Grad&nbsp; $m$&nbsp; irreduzibel ist?
+{Wieviele Polynomdivisionen&nbsp; $(N_{\rm D})$&nbsp; sind erforderlich,&nbsp; um exakt nachzuweisen,&nbsp; dass ein&nbsp; ${\rm GF}(2)$&ndash;Polynom&nbsp; $a(x)$&nbsp; vom Grad&nbsp; $m$&nbsp; irreduzibel ist?
 |type="{}"}
 $m = 2 \text{:} \hspace{0.35cm} N_{\rm D} \ = \ ${ 2 3% }

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−	'''(2)'''  Für das erste Polynom gilt: $a_1(x = 0) = 0$. Deshalb ist dieses Polynom reduzibel: $a_1(x) = x \cdot (x + 1)$.	+	'''(2)'''  Für das erste Polynom gilt: $a_1(x = 0) = 0$. Deshalb ist dieses Polynom reduzibel:   $a_1(x) = x \cdot (x + 1)$.

	Dagegen gilt für das zweite Polynom:		Dagegen gilt für das zweite Polynom:

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 ===Fragebogen===
 <quiz display=simple>
-{Wieviele Polynomdivisionen $(N_{\rm D})$ sind erforderlich, um exakt nachzuweisen, dass ein ${\rm GF}(2)$&ndash;Polynom $a(x)$ vom Grad $m$ irreduzibel ist?
+{Wieviele Polynomdivisionen&nbsp; $(N_{\rm D})$&nbsp; sind erforderlich, um exakt nachzuweisen, dass ein&nbsp; ${\rm GF}(2)$&ndash;Polynom&nbsp; $a(x)$&nbsp; vom Grad&nbsp; $m$&nbsp; irreduzibel ist?
 |type="{}"}
 $m = 2 \text{:} \hspace{0.35cm} N_{\rm D} \ = \ ${ 2 3% }

@@ Zeile 1: / Zeile 1: @@
 {{quiz-Header|Buchseite=Kanalcodierung/Erweiterungskörper}}
-[[Datei:P_ID2503__KC_A_2_3.png|right|frame|Polynome von Grad $m = 2$, $m = 3$ und $m = 4$]]
+[[Datei:P_ID2503__KC_A_2_3.png|right|frame|Polynome von Grad&nbsp; $m = 2$,&nbsp; $m = 3$&nbsp; und&nbsp; $m = 4$]]
 Wichtige Voraussetzungen für das Verständnis der Kanalcodierung sind Kenntnisse der Polynomeigenschaften. Wir betrachten in dieser Aufgabe Polynome der Form
 :$$a(x) =  a_0 + a_1 \cdot x + a_2 \cdot x^2 + \hspace{0.1cm}... \hspace{0.1cm} + a_m \cdot x^{m}
 \hspace{0.05cm},$$
-wobei für die Koeffizienten $a_i &#8712; {\rm GF}(2) = \{0, \, 1\}$ gilt $(0 &#8804; i &#8804; m)$ und der höchste Koeffizient stets zu $a_m = 1$ vorausgesetzt wird. Man bezeichnet $m$ als den ''Grad'' des Polynoms. Nebenstehend sind zehn Polynome angegeben, wobei der Polynomgrad entweder $m = 2$ (rote Schrift), $m = 3$ (blaue Schrift) oder $m = 4$ (grüne Schrift) ist.
+wobei für die Koeffizienten&nbsp; $a_i &#8712; {\rm GF}(2) = \{0, \, 1\}$&nbsp; gilt&nbsp; $(0 &#8804; i &#8804; m)$ und der höchste Koeffizient stets zu&nbsp; $a_m = 1$&nbsp; vorausgesetzt wird. Man bezeichnet&nbsp; $m$&nbsp; als den ''Grad''&nbsp; des Polynoms. Nebenstehend sind zehn Polynome angegeben, wobei der Polynomgrad entweder&nbsp; $m = 2$&nbsp; (rote Schrift),&nbsp; $m = 3$&nbsp; (blaue Schrift) oder&nbsp; $m = 4$&nbsp; (grüne Schrift) ist.
-Ein Polynom $a(x)$ bezeichnet man als <b>reduzibel</b>, wenn es als Produkt zweier Polynome $p(x)$ und $q(x)$ mit jeweils niedrigerem Grad dargestellt werden kann:
+Ein Polynom&nbsp; $a(x)$&nbsp; bezeichnet man als <b>reduzibel</b>, wenn es als Produkt zweier Polynome&nbsp; $p(x)$&nbsp; und&nbsp; $q(x)$&nbsp; mit jeweils niedrigerem Grad dargestellt werden kann:
 :$$a(x) = p(x) \cdot q(x)$$
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 :$$a(x) = p(x) \cdot q(x) + r(x)$$
-mit einem Restpolynom $r(x) &ne; 0$ gilt, so nennt an das Polynom <b>irreduzibel</b>. Solche irreduziblen Polynome sind für die Beschreibung von Fehlerkorrekturverfahren von besonderer Bedeutung.
+mit einem Restpolynom&nbsp; $r(x) &ne; 0$&nbsp; gilt, so nennt an das Polynom <b>irreduzibel</b>. Solche irreduziblen Polynome sind für die Beschreibung von Fehlerkorrekturverfahren von besonderer Bedeutung.
-Der Nachweis, dass ein Polynom $a(x)$ vom Grad $m$ irreduzibel ist, erfordert mehrere Polynomdivisionen $a(x)/q(x)$, wobei der Grad des jeweiligen Divisorpolynoms $q(x)$ stets kleiner ist als $m$. Nur wenn alle diese Modulo&ndash;$2$&ndash;Divisionen stets einen Rest $r(x) &ne; 0$ liefern, ist nachgewiesen, dass $a(x)$ tatsächlich ein irreduzibles Polynom ist.
+Der Nachweis, dass ein Polynom&nbsp; $a(x)$&nbsp; vom Grad&nbsp; $m$&nbsp; irreduzibel ist, erfordert mehrere Polynomdivisionen&nbsp; $a(x)/q(x)$, wobei der Grad des jeweiligen Divisorpolynoms&nbsp; $q(x)$&nbsp; stets kleiner ist als&nbsp; $m$. Nur wenn alle diese Modulo&ndash;$2$&ndash;Divisionen stets einen Rest&nbsp; $r(x) &ne; 0$&nbsp; liefern, ist nachgewiesen, dass&nbsp; $a(x)$&nbsp; tatsächlich ein irreduzibles Polynom ist.
-Dieser exakte Nachweis ist sehr aufwändig. Notwendige Voraussetzungen dafür, dass $a(x)$ überhaupt ein irreduzibles Polynom sein könnte, sind die beiden Bedingungen (bei nichtbinärer Betrachtungsweise wäre &bdquo;$=1$&rdquo; durch &bdquo;$&ne;0$&rdquo; zu ersetzen):
+Dieser exakte Nachweis ist sehr aufwändig. Notwendige Voraussetzungen dafür, dass&nbsp; $a(x)$&nbsp; überhaupt ein irreduzibles Polynom sein könnte, sind die beiden Bedingungen (bei nichtbinärer Betrachtungsweise wäre &bdquo;$x=1$&rdquo; durch &bdquo;$x&ne;0$&rdquo; zu ersetzen):
 * $a(x = 0) = 1$,
 * $a(x = 1) = 1$.
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-''Hinweise:''
+''Hinweis:''
-* Die Aufgabe gehört zum Themengebiet des Kapitels [[Kanalcodierung/Erweiterungsk%C3%B6rper| Erweiterungskörper]].
+* Die Aufgabe gehört zum Kapitel&nbsp; [[Kanalcodierung/Erweiterungsk%C3%B6rper| Erweiterungskörper]].

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	''Hinweise:''		''Hinweise:''
	* Die Aufgabe gehört zum Themengebiet des Kapitels [[Kanalcodierung/Erweiterungsk%C3%B6rper\| Erweiterungskörper]].		* Die Aufgabe gehört zum Themengebiet des Kapitels [[Kanalcodierung/Erweiterungsk%C3%B6rper\| Erweiterungskörper]].
−	* Sollte die Eingabe des Zahlenwertes &bdquo;0” erforderlich sein, so geben Sie bitte &bdquo;0.” ein.

← Nächstältere Version		Version vom 15. Dezember 2017, 15:21 Uhr
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	\hspace{0.05cm}.$$		\hspace{0.05cm}.$$

−	Für den Index gilt dabei $7 ≤ i ≤ 14 \ \Rightarrow \ N_{\rm D} \ \underline{= 14}$.	+	# Für den Index gilt dabei $7 ≤ i ≤ 14 \ \Rightarrow \ N_{\rm D} \ \underline{= 14}$.