Aufgaben:Aufgabe 2.3: Noch ein weiterer Mehrwegekanal - Versionsgeschichte

Guenter am 18. Mai 2020 um 10:21 Uhr

2020-05-18T10:21:52Z

Guenter am 18. Mai 2020 um 10:04 Uhr

2020-05-18T10:04:06Z

Guenter am 11. April 2019 um 15:30 Uhr

2019-04-11T15:30:00Z

Guenter am 11. April 2019 um 15:19 Uhr

2019-04-11T15:19:37Z

Mwiki-lnt: Textersetzung - „* Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

2018-05-29T13:18:34Z

Textersetzung - „* Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

Guenter am 4. Dezember 2017 um 16:57 Uhr

2017-12-04T16:57:27Z

Guenter am 4. Dezember 2017 um 16:29 Uhr

2017-12-04T16:29:57Z

Guenter am 4. Dezember 2017 um 16:29 Uhr

2017-12-04T16:29:05Z

Guenter: Guenter verschob die Seite Aufgaben:2.3 Noch ein Mehrwegekanal nach Aufgaben:Aufgabe 2.3: Noch ein weiterer Mehrwegekanal

2017-12-04T16:18:51Z

Guenter verschob die Seite 2.3 Noch ein Mehrwegekanal nach Aufgabe 2.3: Noch ein weiterer Mehrwegekanal

Hussain am 21. November 2017 um 16:19 Uhr

2017-11-21T16:19:34Z

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 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; Es gilt hier $r(\tau) = s(\tau) &#8727; h(\tau)$, wobei $s(\tau)$ ein Rechteckimpuls der Dauer $T = 5 \ \rm &micro; s$ bezeichnet und die Impulsantwort $h(\tau)$ sich allgemein aus $M$ gewichteten Diracfunktionen bei $\tau_1, \tau_2, \ \text{...} \ , \tau_M$ zusammensetzt.
+'''(1)'''&nbsp; Es gilt hier&nbsp; $r(\tau) = s(\tau) &#8727; h(\tau)$, wobei&nbsp; $s(\tau)$&nbsp; ein Rechteckimpuls der Dauer&nbsp; $T = 5 \ \rm &micro; s$&nbsp; bezeichnet und die Impulsantwort&nbsp; $h(\tau)$&nbsp; sich allgemein aus&nbsp; $M$&nbsp; gewichteten Diracfunktionen bei&nbsp; $\tau_1,\ \tau_2, \ \text{...} \ ,\ \tau_M$&nbsp; zusammensetzt.
-Das skizzierte Ausgangssignal $r(\tau)$ kann sich nur ergeben, falls
+Das skizzierte Ausgangssignal&nbsp; $r(\tau)$&nbsp; kann sich nur ergeben, falls
-* $\tau_1 = 0$ ist (sonst würde $r(\tau)$ nicht bei $\tau = 0$ beginnen),
+* $\tau_1 = 0$&nbsp; ist&nbsp; $($sonst würde&nbsp; $r(\tau)$&nbsp; nicht bei&nbsp; $\tau = 0$&nbsp; beginnen$)$,
-* $\tau_M = 10 \ \rm &micro; s$ ist (daraus ergibt sich der Rechteckverlauf zwischen $10 \ \rm &micro; s$ und $15 \ \rm &micro; s$),
+* $\tau_M = 10 \ \rm &micro; s$&nbsp; ist&nbsp; $($daraus ergibt sich der Rechteckverlauf zwischen&nbsp; $10 \ \rm &micro; s$&nbsp; und&nbsp; $15 \ \rm &micro; s)$,
-* dazwischen noch eine Diracfunktion bei $\tau_2 = 2 \ \rm &micro; s$ auftritt.
+* dazwischen noch eine Diracfunktion bei&nbsp; $\tau_2 = 2 \ \rm &micro; s$&nbsp; auftritt.
-Das heißt: &nbsp; Die Impulsantwort setzt sich hier aus $\underline {M = 3}$ Diracfunktionen zusammen.
+Das heißt: &nbsp; Die Impulsantwort setzt sich hier aus&nbsp; $\underline {M = 3}$&nbsp; Diracfunktionen zusammen.
@@ Zeile 85: / Zeile 85: @@
 '''(4)'''&nbsp; Mit dem Verschiebungssatz erhält man für die Fouriertransformatierte der Impulsantwort $h(\tau)$:
 :$$h(\tau) = k_1 \cdot \delta( \tau) + k_2 \cdot \delta( \tau - \tau_2)+ k_3 \cdot \delta( \tau - \tau_3) \hspace{0.3cm}
-\Rightarrow \hspace{0.3cm}H(f) = k_1 + k_2 \cdot {\rm e}^{- {\rm j}\cdot 2 \pi f \tau_2}+  k_3 \cdot {\rm e}^{- {\rm j}\cdot 2 \pi f \tau_3}
+\Rightarrow \hspace{0.3cm}H(f) = k_1 + k_2 \cdot {\rm e}^{- {\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm} 2 \pi \hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm}f \tau_2}+  k_3 \cdot {\rm e}^{- {\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm} 2 \pi\hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm} f \tau_3}
   \hspace{0.05cm}. $$
 Durch Analyse der einzelnen Beiträge kommt man zu folgendem Ergebnis:
-* Der erste Anteil ist konstant &nbsp;&#8658;&nbsp; Periode $f_1 &#8594; &#8734;$.
+* Der erste Anteil ist konstant &nbsp; &#8658; &nbsp; Periode&nbsp; $f_1 &#8594; &#8734;$.
-* Der zweite Anteil ist periodisch mit $f_2 = 1/\tau_2 = 500 \ \rm kHz$.
+* Der zweite Anteil ist periodisch mit&nbsp; $f_2 = 1/\tau_2 = 500 \ \rm kHz$.
-* Der dritte Anteil ist periodisch mit $f_3 = 1/\tau_3 = 100 \ \rm kHz$.
+* Der dritte Anteil ist periodisch mit&nbsp; $f_3 = 1/\tau_3 = 100 \ \rm kHz$.
-&#8658; &nbsp; Insgesamt ist damit $H(f)$ periodisch mit $f_0 \ \underline {= 500 \ \rm kHz}$.
+&#8658; &nbsp; Insgesamt ist damit&nbsp; $H(f)$&nbsp; periodisch mit&nbsp; $f_0 \ \underline {= 500 \ \rm kHz}$.
 '''(5)'''&nbsp; Mit $A = 2\pi f \cdot \tau_2$ und $B = 2\pi f \cdot \tau_3$ erhält man:
 :$$|H(f)|^2 \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} H(f) \cdot H^{\star}(f)=
   \left [ \frac {3}{4} - \frac {1}{2} \cdot {\rm e}^{-{\rm j}A} + \frac {1}{4} \cdot {\rm e}^{-{\rm j}B}\right ]
@@ Zeile 116: / Zeile 118: @@
 \frac {3}{16} \cdot \left [  {\rm e}^{{\rm j}B} + {\rm e}^{-{\rm j}B}\right ]- \frac {1}{8} \cdot \left [  {\rm e}^{{\rm j}(B-A)} + {\rm e}^{-{\rm j}(B-A)}\right ]\hspace{0.05cm}.$$
-Daraus ergibt sich mit dem [[Signaldarstellung/Zum_Rechnen_mit_komplexen_Zahlen#Darstellung_nach_Betrag_und_Phase|Satz von Euler]]  unter Berücksichtigung der Frequenzperiodizität:
+*Daraus ergibt sich mit dem&nbsp; [[Signaldarstellung/Zum_Rechnen_mit_komplexen_Zahlen#Darstellung_nach_Betrag_und_Phase|Satz von Euler]]&nbsp;  unter Berücksichtigung der Frequenzperiodizität:
 :$$|H(f)|= \sqrt{\frac {7}{8 }- \frac {3}{4} \cdot \cos( 2 \pi f \tau_2) +
 \frac {3}{8} \cdot \cos( 2 \pi f \tau_3)- \frac {1}{4} \cdot \cos( 2 \pi f (\tau_3 - \tau_2))}$$
@@ Zeile 125: / Zeile 127: @@
 '''(6)'''&nbsp; Der soeben berechnete Frequenzgang kann für die Frequenz $f = 250 \ \rm kHz$ wie folgt dargestellt werden:
 [[Datei:P_ID2162__Mob_A_2_3e.png|right|frame|Betragsfrequenzgang beim Dreiwegekanal]]
-:$$H(f = 250\,{\rm kHz})= k_1 + k_2 \cdot {\rm e}^{-{\rm j}\cdot \pi}+  k_3 \cdot {\rm e}^{-{\rm j}\cdot 5\pi} =  k_1 - k_2 - k_3
+:$$H(f = 250\,{\rm kHz})= k_1 + k_2 \cdot {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm} \pi}+  k_3 \cdot {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm} 5\pi} =  k_1 - k_2 - k_3
   \hspace{0.05cm}.$$
-Wählt man nun &nbsp;
+*Wählt man nun &nbsp;
 :$$k_3 =  k_1 - k_2  = 0.75 + 0.50\hspace{0.1cm} \underline {= 1.25}\hspace{0.05cm},$$
-so ergibt sich $|H(f = 250 \ \rm kHz)| = 0$ und damit der für diese Signalfrequenz ungünstigste Wert.
+:so ergibt sich&nbsp; $|H(f = 250 \ \rm kHz)| = 0$&nbsp; und damit der für diese Signalfrequenz ungünstigste Wert.
-Die Grafik zeigt $|H(f)|$ im Bereich zwischen $0$ und $500 \ \rm kHz$:
+Die Grafik zeigt&nbsp; $|H(f)|$&nbsp; im Bereich zwischen&nbsp; $0$&nbsp; und&nbsp; $500 \ \rm kHz$:
-*Die blaue Kurve gilt für $k_3 = 0.25$ entsprechend den Vorgaben von Teilaufgabe '''(4)'''.
+*Die blaue Kurve gilt für&nbsp; $k_3 = 0.25$&nbsp; entsprechend den Vorgaben von Teilaufgabe&nbsp; '''(4)'''.
-*Die rote Kurve gilt für $k_3 = 1.25$, dem ungünstigsten Wert für $f = 250 \ \rm kHz$.
+*Die rote Kurve gilt für&nbsp; $k_3 = 1.25$, dem ungünstigsten Wert bezüglich&nbsp; $f = 250 \ \rm kHz$.
 {{ML-Fuß}}

@@ Zeile 7: / Zeile 7: @@
   \hspace{0.05cm}.$$
-Alle Koeffizienten&nbsp; $k_{m}$&nbsp;  seien reell (positiv oder negativ). Weiterhin ist anzumerken:
+Alle Koeffizienten&nbsp; $k_{m}$&nbsp;  seien reell (positiv oder negativ).&nbsp; Weiterhin ist anzumerken:
 * Aus der Angabe&nbsp; $h(\tau, \hspace{0.05cm}t) = h(\tau)$&nbsp; erkennt man, dass der Kanal zeitinvariant ist.
-* Allgemein weist der Kanal&nbsp; $M$&nbsp; Pfade auf. Der&nbsp; $M$&ndash;Wert soll aus der Grafik bestimmt werden.
+* Allgemein weist der Kanal&nbsp; $M$&nbsp; Pfade auf.&nbsp; Der&nbsp; $M$&ndash;Wert soll aus der Grafik bestimmt werden.
 * Für die Verzögerungszeiten gelten folgende Relationen:&nbsp; $\tau_1 < \tau_2 < \tau_3 < \ \text{...}$
-Die Grafik zeigt das Ausgangssignal&nbsp; $r(\tau)$&nbsp; des Kanals, wenn am Eingang folgendes Sendesignal anliegt (dargestellt im äquivalenten Tiefpassbereich):
+Die Grafik zeigt das Ausgangssignal&nbsp; $r(\tau)$&nbsp; des Kanals, wenn am Eingang folgendes Sendesignal anliegt&nbsp; (dargestellt im äquivalenten Tiefpassbereich):
 :$$s(\tau) = \left\{ \begin{array}{c} s_0\\
    \end{array} \right.\quad
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 Gesucht wird die dazugehörige Impulsantwort&nbsp; $h(\tau)$&nbsp; sowie die Übertragungsfunktion&nbsp; $H(f)$.
@@ Zeile 28: / Zeile 30: @@
 ''Hinweise:''
 * Die Aufgabe bezieht sich auf das Kapitel&nbsp; [[Mobile_Kommunikation/Mehrwegeempfang_beim_Mobilfunk| Mehrwegeempfang beim Mobilfunk]].
-* Gehen Sie bei der Lösung der Teilaufgabe '''(1)''' davon aus, dass sich die Impulsantwort&nbsp; $h(\tau)$&nbsp; über 5 Mikrosekunden erstreckt.
+* Gehen Sie bei der Lösung der Teilaufgabe&nbsp; '''(1)'''&nbsp; davon aus, dass sich die Impulsantwort&nbsp; $h(\tau)$&nbsp; über fünf Mikrosekunden erstreckt.
@@ Zeile 35: / Zeile 37: @@
 ===Fragebogen===
 <quiz display=simple>
-{Wie lautet die Impulsantwort&nbsp; $h(\tau)$? Wie viele Pfade&nbsp; $(M)$&nbsp; gibt es hier?
+{Wie lautet die Impulsantwort&nbsp; $h(\tau)$?&nbsp; Wie viele Pfade&nbsp; $(M)$&nbsp; gibt es hier?
 |type="{}"}
 $M \ = \ ${ 3 }
@@ Zeile 51: / Zeile 53: @@
 $k_3 \ = \ ${ 0.25 3% }
-{Berechnen Sie den Frequenzgang&nbsp; $H(f)$. Wie groß ist die Frequenzperiode&nbsp; $f_0$? <br><i>Hinweis:</i> &nbsp; Bei ganzzahligem&nbsp; $i$&nbsp; muss&nbsp; $H(f + i \cdot f_0) = H(f)$&nbsp; gelten.
+{Berechnen Sie den Frequenzgang&nbsp; $H(f)$.&nbsp; Wie groß ist die Frequenzperiode&nbsp; $f_0$? <br><i>Hinweis:</i> &nbsp; Bei ganzzahligem&nbsp; $i$&nbsp; muss&nbsp; $H(f + i \cdot f_0) = H(f)$&nbsp; gelten.
 |type="{}"}
 $f_0 \ = \ ${ 500 3% } $\ \rm kHz$
-{Berechnen Sie den Betragsfrequenzgang. Welche Werte ergeben sich für die Frequenzen&nbsp; $f = 0$,&nbsp; $f = 250 \ \rm kHz$&nbsp; und&nbsp; $f = 500 \ \rm kHz$?
+{Berechnen Sie den Betragsfrequenzgang.&nbsp; Welche Werte ergeben sich für die Frequenzen&nbsp; $f = 0$,&nbsp; $f = 250 \ \rm kHz$&nbsp; und&nbsp; $f = 500 \ \rm kHz$?
 |type="{}"}
 $|H(f = 0)| \ = \ ${ 0.5 3% }

@@ Zeile 68: / Zeile 68: @@
 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; Es gilt hier $r(\tau) = s(\tau) &#8727; h(\tau)$, wobei $s(\tau)$ ein Rechteckimpuls der Dauer $T = 5 \ \rm \mu s$ bezeichnet und die Impulsantwort $h(\tau)$ sich allgemein aus $M$ gewichteten Diracfunktionen bei $\tau_1, \tau_2, \ \text{...} \ , \tau_M$ zusammengesetzt. Das skizzierte Ausgangssignal $r(\tau)$ kann sich nur ergeben, falls
+'''(1)'''&nbsp; Es gilt hier $r(\tau) = s(\tau) &#8727; h(\tau)$, wobei $s(\tau)$ ein Rechteckimpuls der Dauer $T = 5 \ \rm &micro; s$ bezeichnet und die Impulsantwort $h(\tau)$ sich allgemein aus $M$ gewichteten Diracfunktionen bei $\tau_1, \tau_2, \ \text{...} \ , \tau_M$ zusammensetzt.
 * $\tau_1 = 0$ ist (sonst würde $r(\tau)$ nicht bei $\tau = 0$ beginnen),
-* $\tau_M = 10 \ \rm \mu s$ ist (daraus ergibt sich der Rechteckverlauf zwischen $10 \ \rm \mu s$ und $15 \ \rm \mu s$),
+* $\tau_M = 10 \ \rm &micro; s$ ist (daraus ergibt sich der Rechteckverlauf zwischen $10 \ \rm &micro; s$ und $15 \ \rm &micro; s$),
-* dazwischen noch eine Diracfunktion bei $\tau_2 = 2 \ \rm \mu s$ auftritt.
+* dazwischen noch eine Diracfunktion bei $\tau_2 = 2 \ \rm &micro; s$ auftritt.
-Das heißt: Die Impulsantwort setzt sich hier aus $\underline {M = 3}$ Diracfunktionen zusammen.
+Das heißt: &nbsp; Die Impulsantwort setzt sich hier aus $\underline {M = 3}$ Diracfunktionen zusammen.
 '''(2)'''&nbsp; Wie bereits bei der ersten Teilaufgabe berechnet, erhält man
-:$$\tau_1 \hspace{0.1cm} \underline {= 0}\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}\tau_2 \hspace{0.1cm} \underline {= 2\,{\rm \mu s}}\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}\tau_3 \hspace{0.1cm} \underline {= 10\,{\rm \mu s}}\hspace{0.05cm}.$$
+:$$\tau_1 \hspace{0.1cm} \underline {= 0}\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}\tau_2 \hspace{0.1cm} \underline {= 2\,{\rm &micro; s}}\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}\tau_3 \hspace{0.1cm} \underline {= 10\,{\rm &micro; s}}\hspace{0.05cm}.$$
 '''(3)'''&nbsp; Vergleicht man Eingang $s(\tau)$ und Ausgang $r(\tau)$, so gelangt man zu folgenden Ergebnissen:
-* Intervall $0 < \tau < 2 \ {\rm \mu s} \text{:} \, s(\tau) = s_0, \hspace{1cm} r(\tau) = 0.75 \cdot s_0 \,\,\Rightarrow\,\, k_1 \ \underline {= 0.75}$,
+* Intervall $0 < \tau < 2 \ {\rm &micro; s} \text{:} \, s(\tau) = s_0, \hspace{1cm} r(\tau) = 0.75 \cdot s_0 \,\,\Rightarrow\,\, k_1 \ \underline {= 0.75}$,
-* Intervall $2 \ {\rm \mu s} < \tau < 5 \ {\rm \mu s} \text{:} \, \hspace{2.4cm} r(\tau) =(k_1 + k_2) \cdot s_0 = 0.25 \cdot s_0 \Rightarrow k_2 \ \underline {= \, &ndash;0.50}$,
+* Intervall $2 \ {\rm &micro; s} < \tau < 5 \ {\rm &micro; s} \text{:} \, \hspace{2.4cm} r(\tau) =(k_1 + k_2) \cdot s_0 = 0.25 \cdot s_0 \Rightarrow k_2 \ \underline {= \, &ndash;0.50}$,
-* Intervall $10 \ {\rm \mu s} < \tau < 15 \ {\rm \mu s} \text{:} \, \hspace{1.95cm} r(\tau) =k_3 \cdot s_0 = 0.25 \cdot s_0 \,\Rightarrow\, k_3 \ \underline {= 0.25}$.
+* Intervall $10 \ {\rm &micro; s} < \tau < 15 \ {\rm &micro; s} \text{:} \, \hspace{1.95cm} r(\tau) =k_3 \cdot s_0 = 0.25 \cdot s_0 \,\Rightarrow\, k_3 \ \underline {= 0.25}$.
@@ Zeile 120: / Zeile 124: @@
 '''(6)'''&nbsp; Der soeben berechnete Frequenzgang kann für die Frequenz $f = 250 \ \rm kHz$ wie folgt dargestellt werden:
 :$$H(f = 250\,{\rm kHz})= k_1 + k_2 \cdot {\rm e}^{-{\rm j}\cdot \pi}+  k_3 \cdot {\rm e}^{-{\rm j}\cdot 5\pi} =  k_1 - k_2 - k_3
   \hspace{0.05cm}.$$
-[[Datei:P_ID2162__Mob_A_2_3e.png|right|frame|Betragsfrequenzgang beim Dreiwegekanal]]
+Wählt man nun &nbsp;
-Wählt man nun &nbsp; $k_3 =  k_1 - k_2  = 0.75 + 0.50\hspace{0.1cm} \underline {= 1.25}\hspace{0.05cm}$ so ergibt sich $|H(f = 250 \ \rm kHz)| = 0$ und damit der für diese Signalfrequenz ungünstigste Wert.
+:$$k_3 =  k_1 - k_2  = 0.75 + 0.50\hspace{0.1cm} \underline {= 1.25}\hspace{0.05cm},$$
 Die Grafik zeigt $|H(f)|$ im Bereich zwischen $0$ und $500 \ \rm kHz$:
-*Die blaue Kurve gilt für $k_3 = 0.25$ entsprechend den Vorgaben von Teilaufgabe (4).
+*Die blaue Kurve gilt für $k_3 = 0.25$ entsprechend den Vorgaben von Teilaufgabe '''(4)'''.
 *Die rote Kurve gilt für $k_3 = 1.25$, dem ungünstigsten Wert für $f = 250 \ \rm kHz$.

@@ Zeile 7: / Zeile 7: @@
   \hspace{0.05cm}.$$
-Alle Koeffizienten $k_{m}$ seien reell (positiv oder negativ). Weiterhin ist anzumerken:
+Alle Koeffizienten&nbsp; $k_{m}$&nbsp;  seien reell (positiv oder negativ). Weiterhin ist anzumerken:
-* Aus der Angabe $h(\tau, \hspace{0.05cm}t) = h(\tau)$ erkennt man, dass der Kanal zeitinvariant ist.
+* Aus der Angabe&nbsp; $h(\tau, \hspace{0.05cm}t) = h(\tau)$&nbsp; erkennt man, dass der Kanal zeitinvariant ist.
-* Allgemein weist der Kanal $M$ Pfade auf. Der $M$&ndash;Wert soll aus der Grafik bestimmt werden.
+* Allgemein weist der Kanal&nbsp; $M$&nbsp; Pfade auf. Der&nbsp; $M$&ndash;Wert soll aus der Grafik bestimmt werden.
-* Für die Verzögerungszeiten gelten folgende Relationen: $\tau_1 < \tau_2 < \tau_3 < \ \text{...}$
+* Für die Verzögerungszeiten gelten folgende Relationen:&nbsp; $\tau_1 < \tau_2 < \tau_3 < \ \text{...}$
-Die Grafik zeigt das Ausgangssignal $r(\tau)$ des Kanals, wenn am Eingang folgendes Sendesignal anliegt (dargestellt im äquivalenten Tiefpassbereich):
+Die Grafik zeigt das Ausgangssignal&nbsp; $r(\tau)$&nbsp; des Kanals, wenn am Eingang folgendes Sendesignal anliegt (dargestellt im äquivalenten Tiefpassbereich):
 :$$s(\tau) = \left\{ \begin{array}{c} s_0\\
    \end{array} \right.\quad
-\begin{array}{*{1}c} 0 \le \tau < 5\,{\rm \mu s},
+\begin{array}{*{1}c} 0 \le \tau < 5\,{\rm &micro; s},
 \\  {\rm sonst}. \\ \end{array}$$
-Gesucht wird die dazugehörige Impulsantwort $h(\tau)$ sowie die Übertragungsfunktion $H(f)$.
+Gesucht wird die dazugehörige Impulsantwort&nbsp; $h(\tau)$&nbsp; sowie die Übertragungsfunktion&nbsp; $H(f)$.
 ''Hinweise:''
-* Die Aufgabe bezieht sich auf das Kapitel [[Mobile_Kommunikation/Mehrwegeempfang_beim_Mobilfunk| Mehrwegeempfang beim Mobilfunk]].
+* Die Aufgabe bezieht sich auf das Kapitel&nbsp; [[Mobile_Kommunikation/Mehrwegeempfang_beim_Mobilfunk| Mehrwegeempfang beim Mobilfunk]].
-* Gehen Sie bei der Lösung der Teilaufgabe (1) davon aus, dass sich die Impulsantwort $h(\tau)$ über 5 Mikrosekunden erstreckt.
+* Gehen Sie bei der Lösung der Teilaufgabe '''(1)''' davon aus, dass sich die Impulsantwort&nbsp; $h(\tau)$&nbsp; über 5 Mikrosekunden erstreckt.
@@ Zeile 32: / Zeile 35: @@
 ===Fragebogen===
 <quiz display=simple>
-{Wie lautet die Impulsantwort $h(\tau)$? Wie viele Pfade $(M)$ gibt es hier?
+{Wie lautet die Impulsantwort&nbsp; $h(\tau)$? Wie viele Pfade&nbsp; $(M)$&nbsp; gibt es hier?
 |type="{}"}
 $M \ = \ ${ 3 }
-{Geben Sie die drei ersten Verzögerungszeiten $\tau_m$ an.
+{Geben Sie die drei ersten Verzögerungszeiten&nbsp; $\tau_m$&nbsp; an.
 |type="{}"}
-$\tau_1 \ = \ ${ 0. } $\ \rm \mu s$
+$\tau_1 \ = \ ${ 0. } $\ \rm &micro; s$
-$\tau_2 \ = \ ${ 2 3% } $\ \rm \mu s$
+$\tau_2 \ = \ ${ 2 3% } $\ \rm &micro; s$
-$\tau_3 \ = \ ${ 10 3% } $\ \rm \mu s$
+$\tau_3 \ = \ ${ 10 3% } $\ \rm &micro; s$
 {Wie lauten die Gewichte der drei ersten Diracimpulse?
@@ Zeile 48: / Zeile 51: @@
 $k_3 \ = \ ${ 0.25 3% }
-{Berechnen Sie den Frequenzgang $H(f)$. Wie groß ist die Frequenzperiode $f_0$? <i>Hinweis:</i> Bei ganzzahligem $i$ muss $H(f + i \cdot f_0) = H(f)$ gelten.
+{Berechnen Sie den Frequenzgang&nbsp; $H(f)$. Wie groß ist die Frequenzperiode&nbsp; $f_0$? <br><i>Hinweis:</i> &nbsp; Bei ganzzahligem&nbsp; $i$&nbsp; muss&nbsp; $H(f + i \cdot f_0) = H(f)$&nbsp; gelten.
 |type="{}"}
 $f_0 \ = \ ${ 500 3% } $\ \rm kHz$
-{Berechnen Sie den Betragsfrequenzgang. Welche Werte ergeben sich für die Frequenzen $f = 0$, $f = 250 \ \rm kHz$ und $f = 500 \ \rm kHz$?
+{Berechnen Sie den Betragsfrequenzgang. Welche Werte ergeben sich für die Frequenzen&nbsp; $f = 0$,&nbsp; $f = 250 \ \rm kHz$&nbsp; und&nbsp; $f = 500 \ \rm kHz$?
 |type="{}"}
 $|H(f = 0)| \ = \ ${ 0.5 3% }
@@ Zeile 58: / Zeile 61: @@
 $|H(f = 500 \ \rm kHz)| \ = \ ${ 0.5 3% }
-{Was ist der ungünstigste Wert (${\rm worst \ case})$ für $k_3$ bezüglich der Frequenz $f = 250 \ \rm kHz$?
+{Was ist der ungünstigste Wert&nbsp; $({\rm worst \ case})$&nbsp; für&nbsp; $k_3$&nbsp; bezüglich der Frequenz&nbsp; $f = 250 \ \rm kHz$?
 |type="{}"}
 $k_3 \ = \ ${ 1.25 3% }

@@ Zeile 26: / Zeile 26: @@
 * Die Aufgabe bezieht sich auf das Kapitel [[Mobile_Kommunikation/Mehrwegeempfang_beim_Mobilfunk| Mehrwegeempfang beim Mobilfunk]].
 * Gehen Sie bei der Lösung der Teilaufgabe (1) davon aus, dass sich die Impulsantwort $h(\tau)$ über 5 Mikrosekunden erstreckt.
-* Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.

@@ Zeile 65: / Zeile 65: @@
 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; Es gilt hier $r(\tau) = s(\tau) &#8727; h(\tau)$, wobei $s(\tau)$ ein Rechteckimpuls der Dauer $T = 5 \ \rm \mu s$ bezeichnet und die Impulsantwort $h(\tau)$ sich allgemein aus $M$ gewichteten Diracfunktionen bei $\tau_1, \tau_2, \ ... \ , \tau_M$ zusammengesetzt. Das skizzierte Ausgangssignal $r(\tau)$ kann sich nur ergeben, falls
+'''(1)'''&nbsp; Es gilt hier $r(\tau) = s(\tau) &#8727; h(\tau)$, wobei $s(\tau)$ ein Rechteckimpuls der Dauer $T = 5 \ \rm \mu s$ bezeichnet und die Impulsantwort $h(\tau)$ sich allgemein aus $M$ gewichteten Diracfunktionen bei $\tau_1, \tau_2, \ \text{...} \ , \tau_M$ zusammengesetzt. Das skizzierte Ausgangssignal $r(\tau)$ kann sich nur ergeben, falls
 * $\tau_1 = 0$ ist (sonst würde $r(\tau)$ nicht bei $\tau = 0$ beginnen),
 * $\tau_M = 10 \ \rm \mu s$ ist (daraus ergibt sich der Rechteckverlauf zwischen $10 \ \rm \mu s$ und $15 \ \rm \mu s$),
@@ Zeile 74: / Zeile 74: @@
-'''(2)'''&nbsp; Wie bereits bei der letzten Teilaufgabe berechnet, erhält man
+'''(2)'''&nbsp; Wie bereits bei der ersten Teilaufgabe berechnet, erhält man
 :$$\tau_1 \hspace{0.1cm} \underline {= 0}\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}\tau_2 \hspace{0.1cm} \underline {= 2\,{\rm \mu s}}\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}\tau_3 \hspace{0.1cm} \underline {= 10\,{\rm \mu s}}\hspace{0.05cm}.$$
 '''(3)'''&nbsp; Vergleicht man Eingang $s(\tau)$ und Ausgang $r(\tau)$, so gelangt man zu folgenden Ergebnissen:
-* Intervall $0 < \tau < 2 \ {\rm \mu s} \text{:} \, s(\tau) = s_0, r(\tau) = 0.75 \cdot s_0 \,\,\Rightarrow\,\, k_1 \ \underline {= 0.75}$,
+* Intervall $0 < \tau < 2 \ {\rm \mu s} \text{:} \, s(\tau) = s_0, \hspace{1cm} r(\tau) = 0.75 \cdot s_0 \,\,\Rightarrow\,\, k_1 \ \underline {= 0.75}$,
-* Intervall $2 \ {\rm \mu s} < \tau < 5 \ {\rm \mu s} \text{:} \, (k_1 + k_2) \cdot s_0 = 0.25 \cdot s_0 \Rightarrow k_2 \ \underline {= \, &ndash;0.50}$,
+* Intervall $2 \ {\rm \mu s} < \tau < 5 \ {\rm \mu s} \text{:} \, \hspace{2.4cm} r(\tau) =(k_1 + k_2) \cdot s_0 = 0.25 \cdot s_0 \Rightarrow k_2 \ \underline {= \, &ndash;0.50}$,
-* Intervall $10 \ {\rm \mu s} < \tau < 15 \ {\rm \mu s} \text{:} \, k_3 \cdot s_0 = 0.25 \cdot s_0 \,\Rightarrow\, k_3 \ \underline {= 0.25}$.
+* Intervall $10 \ {\rm \mu s} < \tau < 15 \ {\rm \mu s} \text{:} \, \hspace{1.95cm} r(\tau) =k_3 \cdot s_0 = 0.25 \cdot s_0 \,\Rightarrow\, k_3 \ \underline {= 0.25}$.
 '''(4)'''&nbsp; Mit dem Verschiebungssatz erhält man für die Fouriertransformatierte der Impulsantwort $h(\tau)$:
-:$$h(\tau) = k_1 \cdot \delta( \tau) + k_2 \cdot \delta( \tau - \tau_2)+ k_3 \cdot \delta( \tau - \tau_3) $$
+:$$h(\tau) = k_1 \cdot \delta( \tau) + k_2 \cdot \delta( \tau - \tau_2)+ k_3 \cdot \delta( \tau - \tau_3) \hspace{0.3cm}
-:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}H(f) = k_1 + k_2 \cdot {\rm exp}(- {\rm j}\cdot 2 \pi f \tau_2)+  k_3 \cdot {\rm exp}(- {\rm j}\cdot 2 \pi f \tau_3)
+\Rightarrow \hspace{0.3cm}H(f) = k_1 + k_2 \cdot {\rm e}^{- {\rm j}\cdot 2 \pi f \tau_2}+  k_3 \cdot {\rm e}^{- {\rm j}\cdot 2 \pi f \tau_3}
   \hspace{0.05cm}. $$
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-&#8658; Insgesamt ist damit $H(f)$ periodisch mit $f_0 \ \underline {= 500 \ \rm kHz}$.
+&#8658; &nbsp; Insgesamt ist damit $H(f)$ periodisch mit $f_0 \ \underline {= 500 \ \rm kHz}$.
@@ Zeile 101: / Zeile 100: @@
 :$$|H(f)|^2 \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} H(f) \cdot H^{\star}(f)=
   \left [ \frac {3}{4} - \frac {1}{2} \cdot {\rm e}^{-{\rm j}A} + \frac {1}{4} \cdot {\rm e}^{-{\rm j}B}\right ]
-  \left [ \frac {3}{4} - \frac {1}{2} \cdot {\rm e}^{{\rm j}A} + \frac {1}{4} \cdot {\rm e}^{{\rm j}B}\right ]=$$
+  \left [ \frac {3}{4} - \frac {1}{2} \cdot {\rm e}^{{\rm j}A} + \frac {1}{4} \cdot {\rm e}^{{\rm j}B}\right ]$$
-:$$\hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} \frac {9}{16 }- \frac {3 {\rm e}^{{\rm j}A}}{8} +\frac {3{\rm e}^{{\rm j}B}}{16}
+:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} |H(f)|^2 \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} \frac {9}{16 }- \frac {3 {\rm e}^{{\rm j}A}}{8} +\frac {3{\rm e}^{{\rm j}B}}{16}
    - \frac {3{\rm e}^{-{\rm j}A}}{8}  +\frac {1}{4}- \frac {{\rm e}^{{\rm j}(B-A)}}{8}  +\frac {3{\rm e}^{-{\rm j}B}}{16}
    - \frac {{\rm e}^{{\rm j}(A-B)}}{8} +\frac{1}{16 }=$$
-:$$\hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm}\frac {7}{8 }- \frac {3}{8} \cdot \left [  {\rm e}^{{\rm j}A} + {\rm e}^{-{\rm j}A}\right ]+
+:$$\hspace{2.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm}\frac {7}{8 }- \frac {3}{8} \cdot \left [  {\rm e}^{{\rm j}A} + {\rm e}^{-{\rm j}A}\right ]+
 \frac {3}{16} \cdot \left [  {\rm e}^{{\rm j}B} + {\rm e}^{-{\rm j}B}\right ]- \frac {1}{8} \cdot \left [  {\rm e}^{{\rm j}(B-A)} + {\rm e}^{-{\rm j}(B-A)}\right ]\hspace{0.05cm}.$$
-Daraus ergibt sich mit dem Satz von [[Euler]] unter Berücksichtigung der Frequenzperiodizität:
+Daraus ergibt sich mit dem [[Signaldarstellung/Zum_Rechnen_mit_komplexen_Zahlen#Darstellung_nach_Betrag_und_Phase|Satz von Euler]]  unter Berücksichtigung der Frequenzperiodizität:
 :$$|H(f)|= \sqrt{\frac {7}{8 }- \frac {3}{4} \cdot \cos( 2 \pi f \tau_2) +
 \frac {3}{8} \cdot \cos( 2 \pi f \tau_3)- \frac {1}{4} \cdot \cos( 2 \pi f (\tau_3 - \tau_2))}$$
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-'''(6)'''&nbsp; Der soeben berechnete Frequenzgang kann für $f = 250 \ \rm kHz$ wie folgt dargestellt werden:
+'''(6)'''&nbsp; Der soeben berechnete Frequenzgang kann für die Frequenz $f = 250 \ \rm kHz$ wie folgt dargestellt werden:
 :$$H(f = 250\,{\rm kHz})= k_1 + k_2 \cdot {\rm e}^{-{\rm j}\cdot \pi}+  k_3 \cdot {\rm e}^{-{\rm j}\cdot 5\pi} =  k_1 - k_2 - k_3
   \hspace{0.05cm}.$$
-Wählt man nun
+[[Datei:P_ID2162__Mob_A_2_3e.png|right|frame|Betragsfrequenzgang beim Dreiwegekanal]]
-:$$k_3 =  k_1 - k_2  = 0.75 + 0.50\hspace{0.1cm} \underline {= 1.25}\hspace{0.05cm},  $$
+Wählt man nun &nbsp; $k_3 =  k_1 - k_2  = 0.75 + 0.50\hspace{0.1cm} \underline {= 1.25}\hspace{0.05cm}$ so ergibt sich $|H(f = 250 \ \rm kHz)| = 0$ und damit der für diese Signalfrequenz ungünstigste Wert.
-[[Datei:P_ID2162__Mob_A_2_3e.png|center|frame|Betragsfrequenzgang beim Dreiwegekanal]]
+Die Grafik zeigt $|H(f)|$ im Bereich zwischen $0$ und $500 \ \rm kHz$:
 {{ML-Fuß}}

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 [[Datei:P_ID2160__Mob_A_2_3.png|right|frame|Vorgegebene Rechteckantwort]]
 Wir betrachten einen Mehrwegekanal, der durch folgende Impulsantwort charakterisiert wird:
-:$$h(\tau, \  t) = h(\tau) = \sum_{m = 1}^{M} k_m \cdot \delta( \tau - \tau_m)
+:$$h(\tau, \hspace{0.05cm} t) = h(\tau) = \sum_{m = 1}^{M} k_m \cdot \delta( \tau - \tau_m)
   \hspace{0.05cm}.$$
 Alle Koeffizienten $k_{m}$ seien reell (positiv oder negativ). Weiterhin ist anzumerken:
-* Aus der Angabe $h(\tau, t) = h(\tau)$ erkennt man, dass der Kanal zeitinvariant ist.
+* Aus der Angabe $h(\tau, \hspace{0.05cm}t) = h(\tau)$ erkennt man, dass der Kanal zeitinvariant ist.
 * Allgemein weist der Kanal $M$ Pfade auf. Der $M$&ndash;Wert soll aus der Grafik bestimmt werden.
 * Für die Verzögerungszeiten gelten folgende Relationen: $\tau_1 < \tau_2 < \tau_3 < \ \text{...}$

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(kein Unterschied)

← Nächstältere Version		Version vom 21. November 2017, 16:19 Uhr
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	* Die Aufgabe bezieht sich auf das Kapitel [[Mobile_Kommunikation/Mehrwegeempfang_beim_Mobilfunk\| Mehrwegeempfang beim Mobilfunk]].		* Die Aufgabe bezieht sich auf das Kapitel [[Mobile_Kommunikation/Mehrwegeempfang_beim_Mobilfunk\| Mehrwegeempfang beim Mobilfunk]].
	* Gehen Sie bei der Lösung der Teilaufgabe (1) davon aus, dass sich die Impulsantwort $h(\tau)$ über 5 Mikrosekunden erstreckt.		* Gehen Sie bei der Lösung der Teilaufgabe (1) davon aus, dass sich die Impulsantwort $h(\tau)$ über 5 Mikrosekunden erstreckt.
		+	* Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.