Aufgaben:Aufgabe 2.2Z: Realer Zweiwegekanal - Versionsgeschichte

Guenter am 18. Mai 2020 um 09:53 Uhr

2020-05-18T09:53:35Z

Guenter am 18. Mai 2020 um 09:45 Uhr

2020-05-18T09:45:06Z

Guenter am 11. April 2019 um 15:00 Uhr

2019-04-11T15:00:11Z

Guenter am 11. April 2019 um 14:52 Uhr

2019-04-11T14:52:23Z

Mwiki-lnt: Textersetzung - „* Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

2018-05-29T13:18:33Z

Textersetzung - „* Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

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2017-12-05T16:08:54Z

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Guenter am 4. Dezember 2017 um 16:17 Uhr

2017-12-04T16:17:33Z

Guenter am 4. Dezember 2017 um 16:06 Uhr

2017-12-04T16:06:21Z

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2017-12-04T16:00:00Z

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Hussain am 21. November 2017 um 16:19 Uhr

2017-11-21T16:19:06Z

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 *Eigentlich ist die Angabe einer solchen Länge mit der Genauigkeit eines Millimeters nicht sehr sinnvoll und widerspricht der Mentalität eines Ingenieurs.
-*Wir haben das hier trotzdem gemacht, um die Genauigkeit der in der Teilaufgabe (4) gesuchten Näherung überprüfen zu können.
+*Wir haben das hier trotzdem gemacht, um die Genauigkeit der in der Teilaufgabe&nbsp; '''(4)'''&nbsp; gesuchten Näherung überprüfen zu können.
-'''(2)'''&nbsp; Klappt man den reflektierten Strahl rechts vpn $x_{\rm R}$ nach unten (Spiegelung am Erdboden), so erhält man wiederum ein rechtwinkliges Dreieck. Daraus folgt:
 :$$d_2 = \sqrt{d^2 + (h_{\rm S}+ h_{\rm E})^2} = \sqrt{10^2 + (0.5+ 0.03)^2} \,\,{\rm km} \hspace{0.1cm} \underline {=10014.035\,{\rm m}}
    \hspace{0.05cm}.$$
 '''(3)'''&nbsp; Mit den Ergebnissen aus '''(1)''' und '''(2)''' erhält man für die Längen&ndash; und die Laufzeitdifferenz:
 :$$\Delta d = d_2 - d_1 = \hspace{0.1cm} \underline {=2.996\,{\rm m}}
    \hspace{0.05cm},\hspace{1cm}
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 '''(4)'''&nbsp; Mit $h_{\rm S} + h_{\rm E} \ll d$ lassen sich die obigen Gleichung wie folgt ausdrücken:
 :$$d_1 \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} d \cdot \sqrt{1 + \frac{(h_{\rm S}- h_{\rm E})^2}{d^2}} \approx  d \cdot \left [ 1 + \frac{(h_{\rm S}- h_{\rm E})^2}{2d^2} \right ] \hspace{0.05cm},\hspace{1cm}
 d_2 \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} d \cdot \sqrt{1 + \frac{(h_{\rm S}+ h_{\rm E})^2}{d^2}} \approx  d \cdot \left [ 1 + \frac{(h_{\rm S}+ h_{\rm E})^2}{2d^2} \right ] $$
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    \hspace{0.05cm}.$$
-*Richtig ist also der <u>Lösungsvorschlag 3</u>. Mit den vorgegebenen Zahlenwerten erhält man hierfür:
+*Richtig ist also der <u>Lösungsvorschlag 3</u>.&nbsp; Mit den vorgegebenen Zahlenwerten erhält man hierfür:
 :$$\Delta \tau  \approx  \frac {2 \cdot 500\,{\rm m}\cdot 30\,{\rm m}}{3 \cdot 10^8 \,{\rm m/s} \cdot 10000\,{\rm m}} = 10^{-8}\,{\rm s} = 10\,{\rm ns}
    \hspace{0.05cm}.$$
-*Die relative Verfälschung gegenüber dem tatsächlichen Wert entsprechend Teilaufgabe '''(3)''' beträgt nur $0.13\%$.
+*Die relative Verfälschung gegenüber dem tatsächlichen Wert entsprechend Teilaufgabe&nbsp; '''(3)'''&nbsp; beträgt nur&nbsp; $0.13\%$.
 *Beim Lösungsvorschlag 1 stimmt schon die Einheit nicht.
-*Bei Lösungsvorschlag 2 käme es zu keiner Laufzeitverschiebung, wenn beide Antennen die gleiche Höhe hätten. Dies trifft sicher nicht zu.
+*Bei Lösungsvorschlag 2 käme es zu keiner Laufzeitverschiebung, wenn beide Antennen die gleiche Höhe hätten.&nbsp; Dies trifft sicher nicht zu.
-'''(5)'''&nbsp; Der Pfadverlustexponent $\gamma = 2$ sagt aus, dass die Empfangsleistung $P_{\rm E}$ quadratisch mit der Distanz abnimmt.
+'''(5)'''&nbsp; Der Pfadverlustexponent&nbsp; $\gamma = 2$&nbsp; sagt aus, dass die Empfangsleistung&nbsp; $P_{\rm E}$&nbsp; quadratisch mit der Distanz abnimmt.
-*Die Signalamplitude nimmt also mit $1/d$ ab, und mit einer Konstanten $K$ gilt:
+*Die Signalamplitude nimmt also mit&nbsp; $1/d$&nbsp; ab, und mit einer Konstanten&nbsp; $K$&nbsp; gilt:
 :$$k_1 =  \frac {K}{d_1} \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}|k_2| =  \frac {K}{d_2} \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}
    \frac {|k_2|}{k_1} = \frac {d_1}{d_2}= \frac {10011.039\,{\rm m}}{10014.035\,{\rm m}} \approx 0.99 \hspace{0.05cm}.$$
-*Die beiden Pfadgewichte unterscheiden sich somit im Betrag nur um etwa $1\%$.
+*Die beiden Pfadgewichte unterscheiden sich somit im Betrag nur um etwa&nbsp; $1\%$.
-*Allerdings haben die Koeffizienten $k_1$ und $k_2$ verschiedene Vorzeichen &nbsp; &#8658; &nbsp; Richtig sind die <u>Antworten 1 und 3</u>.
+*Allerdings haben die Koeffizienten&nbsp; $k_1$&nbsp; und&nbsp; $k_2$&nbsp; verschiedene Vorzeichen &nbsp; <br>&#8658; &nbsp; Richtig sind die <u>Antworten 1 und 3</u>.
 {{ML-Fuß}}

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 [[Datei:P_ID2159__Mob_Z_2_2.png|right|frame|Zweiwege–Szenario]]
-Betrachtet wird das skizzierte Szenario, bei dem das Sendesignal&nbsp; $s(t)$&nbsp; die Antenne des Empfängers über zwei Wege erreicht:
+Betrachtet wird das skizzierte Szenario, bei dem das Sendesignal&nbsp; $s(t)$&nbsp; die Empfängerantenne über zwei unterschiedlich lange Wege erreicht:
 :$$r(t) \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm}  r_1(t) + r_2(t) =k_1 \cdot s( t - \tau_1) + k_2 \cdot s( t - \tau_2)
    \hspace{0.05cm}.$$
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 * Die Amplitudenfaktoren&nbsp; $k_1$&nbsp; und&nbsp; $k_2$&nbsp; sollen vereinfachend gemäß dem Pfadverlustmodell mit dem Pfadverlustexponenten&nbsp; $\gamma = 2$&nbsp; angenommen werden (Freiraumdämpfung).
 * Die Höhe der Sendeantenne ist&nbsp; $h_{\rm S} = 500 \ \rm m$, die der Empfangsantenne&nbsp; $h_{\rm E} = 30 \ \rm m$. Die Antennen stehen im Abstand von&nbsp; $d = 10 \ \rm km$.
-* Die Reflektion auf dem Nebenpfad führt zu einer Phasenänderung um&nbsp; $\pi$, so dass man die Teilsignale subtrahieren muss. Dies wird durch einen negativen&nbsp; $k_2$&ndash;Wert berücksichtigt.
+* Die Reflektion auf dem Nebenpfad führt zu einer Phasenänderung um&nbsp; $\pi$, so dass man die Teilsignale subtrahieren muss.&nbsp; Dies wird durch einen negativen&nbsp; $k_2$&ndash;Wert berücksichtigt.
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 ''Hinweis:''
-* Die Aufgabe gehört zum Kapitel&nbsp; [[Mobile_Kommunikation/Mehrwegeempfang_beim_Mobilfunk| Mehrwegeempfang beim Mobilfunk]].
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 {Welche Gleichung ergibt sich für die Laufzeitdifferenz&nbsp; $\Delta \tau$&nbsp; mit der für kleine&nbsp; $\varepsilon$&nbsp; gültigen Näherung $\sqrt{(1 + \varepsilon)} \approx 1 + \varepsilon/2$?
-|type="[]"}
+|type="()"}
 - $\Delta \tau = (h_{\rm S} \ - h_{\rm E})/d$,
 - $\Delta \tau = (h_{\rm S} \ - h_{\rm E})/(c \cdot d)$,

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    \hspace{0.05cm}.$$
-Eigentlich ist die Angabe einer solchen Länge mit der Genauigkeit eines Millimeters nicht sehr sinnvoll und widerspricht der Mentalität eines Ingenieurs. Wir haben das hier trotzdem gemacht, um die Genauigkeit der in der Teilaufgabe (4) gesuchten Näherung überprüfen zu können.
+*Eigentlich ist die Angabe einer solchen Länge mit der Genauigkeit eines Millimeters nicht sehr sinnvoll und widerspricht der Mentalität eines Ingenieurs.
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    \hspace{0.05cm}.$$
 '''(3)'''&nbsp; Mit den Ergebnissen aus (1) und (2) erhält man für die Längen&ndash; und die Laufzeitdifferenz:
 :$$\Delta d = d_2 - d_1 = \hspace{0.1cm} \underline {=2.996\,{\rm m}}
    \hspace{0.05cm},\hspace{1cm}
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    \hspace{0.05cm}.$$
 '''(4)'''&nbsp; Mit $h_{\rm S} + h_{\rm E} \ll d$ lassen sich die obigen Gleichung
 :$$d_1 \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} d \cdot \sqrt{1 + \frac{(h_{\rm S}- h_{\rm E})^2}{d^2}} \approx  d \cdot \left [ 1 + \frac{(h_{\rm S}- h_{\rm E})^2}{2d^2} \right ] \hspace{0.05cm},\hspace{1cm}
 d_2 \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} d \cdot \sqrt{1 + \frac{(h_{\rm S}+ h_{\rm E})^2}{d^2}} \approx  d \cdot \left [ 1 + \frac{(h_{\rm S}+ h_{\rm E})^2}{2d^2} \right ] $$
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    \hspace{0.05cm}.$$
-Richtig ist also der <u>Lösungsvorschlag 3</u>. Mit den vorgegebenen Zahlenwerten erhält man hierfür:
+*Richtig ist also der <u>Lösungsvorschlag 3</u>. Mit den vorgegebenen Zahlenwerten erhält man hierfür:
 :$$\Delta \tau  \approx  \frac {2 \cdot 500\,{\rm m}\cdot 30\,{\rm m}}{3 \cdot 10^8 \,{\rm m/s} \cdot 10000\,{\rm m}} = 10^{-8}\,{\rm s} = 10\,{\rm ns}
    \hspace{0.05cm}.$$
-*Die relative Verfälschung gegenüber dem tatsächlichen Wert entsprechend Teilaufgabe (3) beträgt nur $0.13\%$.
+*Die relative Verfälschung gegenüber dem tatsächlichen Wert entsprechend Teilaufgabe '''(3)''' beträgt nur $0.13\%$.
 *Beim Lösungsvorschlag 1 stimmt schon die Einheit nicht.
 *Bei Lösungsvorschlag 2 käme es zu keiner Laufzeitverschiebung, wenn beide Antennen die gleiche Höhe hätten. Dies trifft sicher nicht zu.
 '''(5)'''&nbsp; Der Pfadverlustexponent $\gamma = 2$ sagt aus, dass die Empfangsleistung $P_{\rm E}$ quadratisch mit der Distanz abnimmt. Die Signalamplitude nimmt also mit $1/d$ ab, und mit einer Konstanten $K$ gilt:
 :$$k_1 =  \frac {K}{d_1} \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}|k_2| =  \frac {K}{d_2} \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}
    \frac {|k_2|}{k_1} = \frac {d_1}{d_2}= \frac {10011.039\,{\rm m}}{10014.035\,{\rm m}} \approx 0.99 \hspace{0.05cm}.$$
-Die beiden Pfadgewichte unterscheiden sich somit im Betrag nur um etwa $1\%$. Allerdings haben die Koeffizienten $k_1$ und $k_2$ verschiedene Vorzeichen &nbsp; &#8658; &nbsp; Richtig sind die <u>Antworten 1 und 3</u>.
+*Die beiden Pfadgewichte unterscheiden sich somit im Betrag nur um etwa $1\%$.
 {{ML-Fuß}}

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 [[Datei:P_ID2159__Mob_Z_2_2.png|right|frame|Zweiwege–Szenario]]
-Betrachtet wird das skizzierte Szenario, bei dem das Sendesignal $s(t)$ die Antenne des Empfängers über zwei Wege erreicht:
+Betrachtet wird das skizzierte Szenario, bei dem das Sendesignal&nbsp; $s(t)$&nbsp; die Antenne des Empfängers über zwei Wege erreicht:
 :$$r(t) \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm}  r_1(t) + r_2(t) =k_1 \cdot s( t - \tau_1) + k_2 \cdot s( t - \tau_2)
    \hspace{0.05cm}.$$
 Dabei ist zu beachten:
-* Die Laufzeiten $\tau_1$ und $\tau_2$ auf Haupt&ndash; und Nebenpfad können aus den Pfadlängen $d_1$ und $d_2$ unter Verwendung der Lichtgeschwindigkeit $c = 3 \cdot 10^8 \ \rm m/s$ berechnet werden.
+* Die Laufzeiten&nbsp; $\tau_1$&nbsp; und&nbsp; $\tau_2$&nbsp; auf Haupt&ndash; und Nebenpfad können aus den Pfadlängen&nbsp; $d_1$&nbsp; und&nbsp; $d_2$&nbsp; unter Verwendung der Lichtgeschwindigkeit&nbsp; $c = 3 \cdot 10^8 \ \rm m/s$&nbsp; berechnet werden.
-* Die Amplitudenfaktoren $k_1$ und $k_2$ sollen vereinfachend gemäß dem Pfadverlustmodell mit dem Pfadverlustexponenten $\gamma = 2$ angenommen werden (Freiraumdämpfung).
+* Die Amplitudenfaktoren&nbsp; $k_1$&nbsp; und&nbsp; $k_2$&nbsp; sollen vereinfachend gemäß dem Pfadverlustmodell mit dem Pfadverlustexponenten&nbsp; $\gamma = 2$&nbsp; angenommen werden (Freiraumdämpfung).
-* Die Höhe der Sendeantenne ist $h_{\rm S} = 500 \ \rm m$, die der Empfangsantenne $h_{\rm E} = 30 \ \rm m$. Die Antennen stehen im Abstand von $d = 10 \ \rm km$.
+* Die Höhe der Sendeantenne ist&nbsp; $h_{\rm S} = 500 \ \rm m$, die der Empfangsantenne&nbsp; $h_{\rm E} = 30 \ \rm m$. Die Antennen stehen im Abstand von&nbsp; $d = 10 \ \rm km$.
-* Die Reflektion auf dem Nebenpfad führt zu einer Phasenänderung um $\pi$, so dass man die Teilsignale subtrahieren muss. Dies wird durch einen negativen $k_2$&ndash;Wert berücksichtigt.
+* Die Reflektion auf dem Nebenpfad führt zu einer Phasenänderung um&nbsp; $\pi$, so dass man die Teilsignale subtrahieren muss. Dies wird durch einen negativen&nbsp; $k_2$&ndash;Wert berücksichtigt.
-''Hinweise:''
 * Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Mobile_Kommunikation/Mehrwegeempfang_beim_Mobilfunk| Mehrwegeempfang beim Mobilfunk]].
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 ===Fragebogen===
 <quiz display=simple>
-{Berechnen Sie die Distanz $d_1$ des direkten Pfades.
+{Berechnen Sie die Länge&nbsp; $d_1$&nbsp; des direkten Pfades.
 |type="{}"}
 $d_1 \ = \ ${ 10011 1% } $\ \rm m$
-{Berechnen Sie die Länge $d_2$ des Umwegpfades.
+{Berechnen Sie die Länge&nbsp; $d_2$&nbsp; des Umwegpfades.
 |type="{}"}
 $d_2 \ = \ ${ 10014 1% } $\ \rm m$
-{Welche Differenzen $\Delta d = d_2 \ &ndash;d_1$ und $\Delta \tau = \tau_2 \ &ndash;\tau_1$ (Laufzeit) ergeben sich nach exakter Rechnung?
+{Welche Differenzen&nbsp; $\Delta d = d_2 \ - d_1$&nbsp; und&nbsp; $\Delta \tau = \tau_2 -\tau_1$&nbsp; (Laufzeit) ergeben sich nach exakter Rechnung?
 |type="{}"}
 $\Delta d \ = \ ${ 2.996 3% } $\ \rm m$
 $\Delta \tau \ = \ ${ 9.987 3% } $\ \rm ns$
-{Welche Gleichung ergibt sich für die Laufzeitdifferenz $\Delta \tau$ mit der für kleine $\varepsilon$ gültigen Näherung $\sqrt{(1 + \varepsilon)} \approx 1 + \varepsilon/2$?
+{Welche Gleichung ergibt sich für die Laufzeitdifferenz&nbsp; $\Delta \tau$&nbsp; mit der für kleine&nbsp; $\varepsilon$&nbsp; gültigen Näherung $\sqrt{(1 + \varepsilon)} \approx 1 + \varepsilon/2$?
 |type="[]"}
 - $\Delta \tau = (h_{\rm S} \ - h_{\rm E})/d$,
-- $\Delta \tau = (h_{\rm S} \ - ;h_{\rm E})/(c \cdot d)$,
+- $\Delta \tau = (h_{\rm S} \ - h_{\rm E})/(c \cdot d)$,
 + $\Delta \tau = 2 \cdot h_{\rm S} \cdot h_{\rm E}/(c \cdot d)$.
-{Welche Aussagen treffen für die Amplitudenkoeffizienten $k_1$ und $k_2$ zu?
+{Welche Aussagen treffen für die Amplitudenkoeffizienten&nbsp; $k_1$&nbsp; und&nbsp; $k_2$&nbsp; zu?
 |type="[]"}
-+ Die Koeffizienten $k_1$und $k_2$ sind betragsmäßig nahezu gleich.
++ Die Koeffizienten&nbsp; $k_1$&nbsp; und&nbsp; $k_2$&nbsp; sind betragsmäßig nahezu gleich.
-- Die Beträge $|k_1|$ und $|k_2|$ unterscheiden sich deutlich.
+- Die Beträge&nbsp; $|k_1|$&nbsp; und&nbsp; $|k_2|$&nbsp; unterscheiden sich deutlich.
-+ Die Koeffizienten $k_1$ und $k_2$ unterscheiden sich im Vorzeichen.
++ Die Koeffizienten&nbsp; $|k_1|$&nbsp; und&nbsp; $|k_2|$&nbsp; unterscheiden sich im Vorzeichen.
 </quiz>

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 ''Hinweise:''
 * Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Mobile_Kommunikation/Mehrwegeempfang_beim_Mobilfunk| Mehrwegeempfang beim Mobilfunk]].
-* Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.

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(kein Unterschied)

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(kein Unterschied)

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−	''~~Hinweis~~:''	+	''Hinweise:''
	* Die Aufgabe gehört zum Themengebiet des Kapitels [[Mobile_Kommunikation/Mehrwegeempfang_beim_Mobilfunk\| Mehrwegeempfang beim Mobilfunk]].		* Die Aufgabe gehört zum Themengebiet des Kapitels [[Mobile_Kommunikation/Mehrwegeempfang_beim_Mobilfunk\| Mehrwegeempfang beim Mobilfunk]].
		+	* Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.