Aufgaben:Aufgabe 2.2Z: Nochmals Verzerrungsleistung - Versionsgeschichte

Guenter am 28. Oktober 2019 um 08:39 Uhr

2019-10-28T08:39:45Z

Guenter am 28. Oktober 2019 um 08:32 Uhr

2019-10-28T08:32:41Z

Guenter am 6. November 2018 um 16:14 Uhr

2018-11-06T16:14:59Z

Guenter am 6. November 2018 um 16:07 Uhr

2018-11-06T16:07:36Z

Guenter am 6. November 2018 um 16:05 Uhr

2018-11-06T16:05:40Z

Mwiki-lnt: Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

2018-05-29T12:02:42Z

Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

Guenter am 7. März 2018 um 15:27 Uhr

2018-03-07T15:27:47Z

Guenter am 7. März 2018 um 15:22 Uhr

2018-03-07T15:22:11Z

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2018-01-03T13:15:23Z

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Guenter am 2. Februar 2017 um 16:46 Uhr

2017-02-02T16:46:29Z

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 '''(2)'''&nbsp; Um die Leistung im Zeitbereich zu berechnen, muss das Signal &nbsp;$x(t) = x_1(t) + x_2(t)$&nbsp; quadriert und über ein geeignetes Zeitintervall gemittelt werden. Für ein periodisches Signal genügt die Mittelung über &nbsp;$T_0$:
 :$$P_{\rm V}  = \frac{1}{T_{\rm 0}} \cdot \int_{0}^{  T_{\rm 0}}
   {\left[x_1(t)+ x_2(t) \right]^2 }\hspace{0.1cm}{\rm d}t
@@ Zeile 93: / Zeile 95: @@
   { x_1(t) \cdot x_2(t) }\hspace{0.1cm}{\rm d}t.$$
-Das erste Integral liefert:
+*Das erste Integral liefert:
 :$$P_{\rm 1} = \frac{1}{T_{\rm 0}} \cdot \int_{0}^{  T_{\rm 0}}
   { ({1 \, \rm V})^2 \cdot {\rm cos}^2(2\pi   f_1  t )}\hspace{0.1cm}{\rm
@@ Zeile 101: / Zeile 103: @@
   d}t = {0.5 \, \rm V^2}.$$
-In gleicher Weise erhält man für die Leistung des zweiten Terms: &nbsp; $P_2 = (0.2 \ {\rm  V}^2/2 = 0.02 \ {\rm  V}^2.$ Dagegen liefert das letzte Integral keinen Beitrag, da &nbsp;$x_1(t)$&nbsp; und &nbsp;$x_2(t)$&nbsp; zueinander orthogonal sind. Somit erhält man für die gesamte Signalleistung:
+*In gleicher Weise erhält man für die Leistung des zweiten Terms: &nbsp; $P_2 = (0.2 \ {\rm  V})^2/2 = 0.02 \ {\rm  V}^2.$&nbsp;
 :$$P_{x}  =P_{\rm 1} + P_{\rm 2} = {0.5 \, \rm V^2} + {0.02 \, \rm V^2}\hspace{0.15cm}\underline{ = {0.52 \, \rm V^2}}.$$
 Dieses Ergebnis kann man auch aus der Spektralfunktion herleiten, wenn man die Amplituden aller diskreten Spektralanteile quadriert, halbiert und aufsummiert. Die Phasenlagen der einzelnen Spektrallinien müssen dabei nicht berücksichtigt werden.
@@ Zeile 112: / Zeile 116: @@
   \right] \cdot \delta(f- f_3) + {0.05 \,\rm V} \cdot {\rm e}^{-\rm j \cdot 90^{\circ} } \cdot \delta(f- f_5).$$
-Die komplexe Amplitude des zweiten Terms ist:
+*Die komplexe Amplitude des zweiten Terms ist:
 :$$C_2 = {0.25 \,\rm V}  \cdot \cos( 60^{\circ}) + {\rm j}
   \cdot{0.25 \,\rm V}  \cdot \sin( 60^{\circ}) - {\rm j}
@@ Zeile 121: / Zeile 125: @@
   \cdot{0.016 \,\rm V}.$$
-Damit ergibt sich für den Betrag:
+*Damit ergibt sich für den Betrag:
 :$$|C_2| = \sqrt{({0.125 \,\rm V})^2+({0.016 \,\rm V})^2 }=
   {0.126 \,\rm V}.$$
-Die Phasenlagen müssen bei der Leistungsberechnung nicht berücksichtigt werden. Somit gilt:
+*Die Phasenlagen müssen bei der Leistungsberechnung nicht berücksichtigt werden. Somit gilt:
 :$$P_{\rm V} = \frac{1}{2} \cdot \left[ ({0.1 \,\rm V})^2 + ({0.126 \,\rm V})^2 + ({0.05 \,\rm V})^2\right] \hspace{0.15cm}\underline{= {0.0142 \, \rm V^2}}.$$

@@ Zeile 7: / Zeile 7: @@
 :$$X_+(f) = {1 \,\rm V}  \cdot {\rm \delta}(f- {2 \,\rm kHz})  + {0.2 \,\rm V} \cdot {\rm e}^{\rm j \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}90^{\circ} } \cdot \delta(f- {3 \,\rm kHz}).$$
-Diese Spektralfunktion ergibt sich aus dem üblichen Spektrum &nbsp;$X(f)$, indem
+Diese Spektralfunktion ergibt sich aus dem üblichen Spektrum &nbsp;$X(f)$,&nbsp; indem
-*alle Anteile bei negativen Frequenzen abgeschnitten, und
+*alle Anteile bei negativen Frequenzen abgeschnitten,&nbsp; und
 *die Anteile bei den positiven Frequenzen verdoppelt werden.
@@ Zeile 18: / Zeile 18: @@
   \cdot \delta(f- {3 \,\rm kHz})+ {0.05 \,\rm V} \cdot {\rm e}^{-\rm j \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 90^{\circ} } \cdot \delta(f- {5 \,\rm kHz}).$$
-Die untere Skizze zeigt das Differenzsignal &nbsp;$\varepsilon(t) = y(t) - x(t)$. Ein Maß für die im System entstandenen Verzerrungen ist die auf den Widerstand &nbsp;$R = 1 \ \rm \Omega$&nbsp; bezogene &bdquo;Verzerrungsleistung&rdquo;.
+Die untere Skizze zeigt das Differenzsignal &nbsp;$\varepsilon(t) = y(t) - x(t)$.&nbsp; Ein Maß für die im System entstandenen Verzerrungen ist die auf den Widerstand &nbsp;$R = 1 \ \rm \Omega$&nbsp; bezogene &bdquo;Verzerrungsleistung&rdquo;.
 :$$P_{\rm V}  = \overline{\varepsilon^2(t)} = \frac{1}{T_{\rm 0}} \cdot \int_{0}^{  T_{\rm 0}}
   {\varepsilon^2(t) }\hspace{0.1cm}{\rm d}t.$$
@@ Zeile 24: / Zeile 24: @@
 Anzumerken ist, dass die Verzerrungsleistung auch im Spektralbereich  berechnet werden kann &ndash; und hier zudem einfacher.
-In analoger Weise ist die Leistung &nbsp;$P_x$&nbsp; des Eingangssignals &nbsp;$x(t)$&nbsp; definiert. Als quantitatives Maß für die Stärke der Verzerrungen wird das Signal&ndash;zu&ndash;Verzerrungs&ndash;Leistungsverhältnis angegeben, das meistens logarithmisch in dB dargestellt wird:
+In analoger Weise ist die Leistung &nbsp;$P_x$&nbsp; des Eingangssignals &nbsp;$x(t)$&nbsp; definiert.&nbsp; Als quantitatives Maß für die Stärke der Verzerrungen wird das Signal&ndash;zu&ndash;Verzerrungs&ndash;Leistungsverhältnis angegeben, das meistens logarithmisch (in dB) dargestellt wird:
 :$$10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm}\rho_{\rm V} = 10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm}{ P_{x}}/{P_{\rm V}} \hspace{0.05cm}.$$

@@ Zeile 73: / Zeile 73: @@
 {{ML-Kopf}}
 '''(1)'''&nbsp; Richtig ist die <u>Antwort 2</u>:
-*Der größte gemeinsame Teiler von $f_1 = 2 \ \rm kHz$ und $f_2 = 3 \ \rm kHz$ ist $f_0 = 1 \ \rm kHz$.
+*Der größte gemeinsame Teiler von &nbsp;$f_1 = 2 \ \rm kHz$&nbsp; und &nbsp;$f_2 = 3 \ \rm kHz$&nbsp; ist &nbsp;$f_0 = 1 \ \rm kHz$.
-*Damit beträgt die Periodendauer $T_0 = 1/f_0 = 1 \ \rm ms$.
+*Damit beträgt die Periodendauer &nbsp;$T_0 = 1/f_0 = 1 \ \rm ms$.
-*Das Signal lautet aufgrund des Phasenterms ${\rm e}^{{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}90^\circ}$:
+*Das Signal lautet aufgrund des Phasenterms &nbsp;${\rm e}^{{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}90^\circ}$:
 :$$x(t) = {1 \, \rm V} \cdot {\rm cos}(2\pi   f_1  t ) - {0.2 \, \rm
 V} \cdot {\rm sin}(2\pi   f_2  t ).$$
-'''(2)'''&nbsp; Um die Leistung im Zeitbereich zu berechnen, muss das Signal $x(t) = x_1(t) + x_2(t)$ quadriert und über ein geeignetes Zeitintervall gemittelt werden. Für ein periodisches Signal genügt die Mittelung über $T_0$:
+'''(2)'''&nbsp; Um die Leistung im Zeitbereich zu berechnen, muss das Signal &nbsp;$x(t) = x_1(t) + x_2(t)$&nbsp; quadriert und über ein geeignetes Zeitintervall gemittelt werden. Für ein periodisches Signal genügt die Mittelung über &nbsp;$T_0$:
 :$$P_{\rm V}  = \frac{1}{T_{\rm 0}} \cdot \int_{0}^{  T_{\rm 0}}
   {\left[x_1(t)+ x_2(t) \right]^2 }\hspace{0.1cm}{\rm d}t
@@ Zeile 98: / Zeile 98: @@
   d}t = {0.5 \, \rm V^2}.$$
-In gleicher Weise erhält man für die Leistung des zweiten Terms: &nbsp; $P_2 = (0.2 \ {\rm  V}^2/2 = 0.02 \ {\rm  V}^2.$ Dagegen liefert das letzte Integral keinen Beitrag, da $x_1(t)$ und $x_2(t)$ zueinander orthogonal sind. Somit erhält man für die gesamte Signalleistung:
+In gleicher Weise erhält man für die Leistung des zweiten Terms: &nbsp; $P_2 = (0.2 \ {\rm  V}^2/2 = 0.02 \ {\rm  V}^2.$ Dagegen liefert das letzte Integral keinen Beitrag, da &nbsp;$x_1(t)$&nbsp; und &nbsp;$x_2(t)$&nbsp; zueinander orthogonal sind. Somit erhält man für die gesamte Signalleistung:
 :$$P_{x}  =P_{\rm 1} + P_{\rm 2} = {0.5 \, \rm V^2} + {0.02 \, \rm V^2}\hspace{0.15cm}\underline{ = {0.52 \, \rm V^2}}.$$
@@ Zeile 104: / Zeile 104: @@
-'''(3)'''&nbsp; Unabhängig davon, ob ein lineares oder ein nichtlineares System vorliegt, kann für das analytische Spektrum des Differenzsignals $\varepsilon(t) = y(t) - x(t)$ mit $f_2 = 2 \ \rm kHz$,  $f_3 = 3 \ \rm kHz$ und $f_5 = 5 \ \rm kHz$ geschrieben werden:
+'''(3)'''&nbsp; Unabhängig davon, ob ein lineares oder ein nichtlineares System vorliegt, kann für das analytische Spektrum des Differenzsignals $\varepsilon(t) = y(t) - x(t)$&nbsp; mit &nbsp;$f_2 = 2 \ \rm kHz$,  &nbsp;$f_3 = 3 \ \rm kHz$&nbsp; und &nbsp;$f_5 = 5 \ \rm kHz$&nbsp; geschrieben werden:
 :$$E_+(f) = Y_+(f) - X_+(f) = {0.1 \,\rm V}  \cdot {\rm \delta}(f- f_2) +
   \left[{0.25 \,\rm V} \cdot {\rm e}^{\rm j \cdot 60^{\circ} } - {0.2 \,\rm V} \cdot {\rm e}^{\rm j \cdot 90^{\circ} }
@@ Zeile 112: / Zeile 112: @@
 :$$C_2 = {0.25 \,\rm V}  \cdot \cos( 60^{\circ}) + {\rm j}
   \cdot{0.25 \,\rm V}  \cdot \sin( 60^{\circ}) - {\rm j}
-  \cdot{0.05 \,\rm V} = {0.25 \,\rm V}  \cdot 0.5 + {\rm j}
+  \cdot{0.05 \,\rm V} $$
   \cdot{0.25 \,\rm V}  \cdot 0.866 - {\rm j}
   \cdot{0.2 \,\rm V} = {0.125 \,\rm V}  + {\rm j}
@@ Zeile 123: / Zeile 124: @@
 Die Phasenlagen müssen bei der Leistungsberechnung nicht berücksichtigt werden. Somit gilt:
 :$$P_{\rm V} = \frac{1}{2} \cdot \left[ ({0.1 \,\rm V})^2 + ({0.126 \,\rm V})^2 + ({0.05 \,\rm V})^2\right] \hspace{0.15cm}\underline{= {0.0142 \, \rm V^2}}.$$
 '''(4)'''&nbsp; Entsprechend der Definition auf der Angabenseite gilt:

@@ Zeile 45: / Zeile 45: @@
 <quiz display=simple>
-{Welche Aussagen sind bezüglich des Signals $x(t)$ zutreffend?
+{Welche Aussagen sind bezüglich des Signals &nbsp;$x(t)$&nbsp; zutreffend?
 |type="[]"}
-- Es ist $x(t) = 1 \ { \rm V} \cdot {\rm cos}(2\pi  \cdot  2 \ {\rm kHz}  \cdot  t )  + 0.2 \ { \rm V} \cdot {\rm cos}(2\pi  \cdot  3 \ {\rm kHz}  \cdot  t )$.
+- Es ist &nbsp;$x(t) = 1 \ { \rm V} \cdot {\rm cos}(2\pi  \cdot  2 \ {\rm kHz}  \cdot  t )  + 0.2 \ { \rm V} \cdot {\rm cos}(2\pi  \cdot  3 \ {\rm kHz}  \cdot  t )$.
-+ Die Periodendauer ist $T_0 = 1 \ \rm  ms$.
++ Die Periodendauer ist &nbsp;$T_0 = 1 \ \rm  ms$.
-- Die Periodendauer ist $T_0 = 2 \ \rm  ms$.
+- Die Periodendauer ist &nbsp;$T_0 = 2 \ \rm  ms$.
-{Berechnen Sie die Leistung $P_x$ des Eingangssignals $x(t)$.
+{Berechnen Sie die Leistung &nbsp;$P_x$&nbsp; des Eingangssignals &nbsp;$x(t)$.
 |type="{}"}
 $P_x \ = \ $ { 0.52 3% } $\ \rm V^2$
-{Berechnen Sie die Verzerrungsleistung $P_{\rm V}$.
+{Berechnen Sie die Verzerrungsleistung &nbsp;$P_{\rm V}$.
 |type="{}"}
 $P_{\rm V} \ = \ $  { 0.0142 3% } $\ \rm V^2$
-{Berechnen Sie das Signal&ndash;zu&ndash;Verzerrungs&ndash;Leistungsverhältnis $\rho_{\rm V}$ und geben Sie dieses als dB&ndash;Wert ein.
+{Berechnen Sie das Signal&ndash;zu&ndash;Verzerrungs&ndash;Leistungsverhältnis &nbsp;$\rho_{\rm V}$&nbsp; und geben Sie dieses als dB&ndash;Wert ein.
 |type="{}"}
 $10 \cdot {\rm lg} \ \rho_{\rm V} \ = \ $  { 15.64 3% } $\ \rm dB$

@@ Zeile 4: / Zeile 4: @@
 [[Datei:LZI_Z_2_2_vers3.png|270px|right|frame|Zur Berechnung der Verzerrungsleistung ]]
-Am Eingang der betrachteten Funktionseinheit, die nicht näher spezifiziert wird, liegt das in der Grafik blau dargestellte periodische Signal $x(t)$ an. Dieses ist durch das Spektrum des dazugehörigen analytischen Signals gegeben:
+Am Eingang der betrachteten Funktionseinheit, die nicht näher spezifiziert wird, liegt das in der Grafik blau dargestellte periodische Signal &nbsp;$x(t)$&nbsp; an. Dieses ist durch das Spektrum des dazugehörigen analytischen Signals gegeben:
-:$$X_+(f) = {1 \,\rm V}  \cdot {\rm \delta}(f- {2 \,\rm kHz})  + {0.2 \,\rm V} \cdot {\rm e}^{\rm j \cdot 90^{\circ} } \cdot \delta(f- {3 \,\rm kHz}).$$
+:$$X_+(f) = {1 \,\rm V}  \cdot {\rm \delta}(f- {2 \,\rm kHz})  + {0.2 \,\rm V} \cdot {\rm e}^{\rm j \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}90^{\circ} } \cdot \delta(f- {3 \,\rm kHz}).$$
-Diese Spektralfunktion ergibt sich aus dem üblichen Spektrum $X(f)$, indem
+Diese Spektralfunktion ergibt sich aus dem üblichen Spektrum &nbsp;$X(f)$, indem
 *alle Anteile bei negativen Frequenzen abgeschnitten, und
 *die Anteile bei den positiven Frequenzen verdoppelt werden.
-Weitere Angaben zum analytischen Signal und dessen Spektrum finden Sie im Kapitel [[Signaldarstellung/Analytisches_Signal_und_zugehörige_Spektralfunktion|Analytisches Signal und zugehörige Spektralfunktion]] des Buches &bdquo;Signaldarstellung&rdquo;.
+Weitere Angaben zum analytischen Signal und dessen Spektrum finden Sie im Kapitel&nbsp; [[Signaldarstellung/Analytisches_Signal_und_zugehörige_Spektralfunktion|Analytisches Signal und zugehörige Spektralfunktion]]&nbsp; des Buches &bdquo;Signaldarstellung&rdquo;.
 <br clear=all>
 Das Spektrum des analytischen Signals am Ausgang der Funktionseinheit lautet:
-:$$Y_+(f) = {1.1 \,\rm V}  \cdot {\rm \delta}(f- {2 \,\rm kHz})  + {0.25 \,\rm V} \cdot {\rm e}^{\rm j \cdot 60^{\circ} }
+:$$Y_+(f) = {1.1 \,\rm V}  \cdot {\rm \delta}(f- {2 \,\rm kHz})  + {0.25 \,\rm V} \cdot {\rm e}^{\rm j \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 60^{\circ} }
-  \cdot \delta(f- {3 \,\rm kHz})+ {0.05 \,\rm V} \cdot {\rm e}^{-\rm j \cdot 90^{\circ} } \cdot \delta(f- {5 \,\rm kHz}).$$
+  \cdot \delta(f- {3 \,\rm kHz})+ {0.05 \,\rm V} \cdot {\rm e}^{-\rm j \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 90^{\circ} } \cdot \delta(f- {5 \,\rm kHz}).$$
-Die untere Skizze zeigt das Differenzsignal $\varepsilon(t) = y(t) - x(t)$. Ein Maß für die im System entstandenen Verzerrungen ist die auf den Widerstand $R = 1 \ \rm \Omega$ bezogene &bdquo;Verzerrungsleistung&rdquo;.
+Die untere Skizze zeigt das Differenzsignal &nbsp;$\varepsilon(t) = y(t) - x(t)$. Ein Maß für die im System entstandenen Verzerrungen ist die auf den Widerstand &nbsp;$R = 1 \ \rm \Omega$&nbsp; bezogene &bdquo;Verzerrungsleistung&rdquo;.
 :$$P_{\rm V}  = \overline{\varepsilon^2(t)} = \frac{1}{T_{\rm 0}} \cdot \int_{0}^{  T_{\rm 0}}
   {\varepsilon^2(t) }\hspace{0.1cm}{\rm d}t.$$
@@ Zeile 24: / Zeile 24: @@
 Anzumerken ist, dass die Verzerrungsleistung auch im Spektralbereich  berechnet werden kann &ndash; und hier zudem einfacher.
-In analoger Weise ist die Leistung $P_x$ des Eingangssignals $x(t)$ definiert. Als quantitatives Maß für die Stärke der Verzerrungen wird das Signal&ndash;zu&ndash;Verzerrungs&ndash;Leistungsverhältnis angegeben, das meistens logarithmisch in dB dargestellt wird:
+In analoger Weise ist die Leistung &nbsp;$P_x$&nbsp; des Eingangssignals &nbsp;$x(t)$&nbsp; definiert. Als quantitatives Maß für die Stärke der Verzerrungen wird das Signal&ndash;zu&ndash;Verzerrungs&ndash;Leistungsverhältnis angegeben, das meistens logarithmisch in dB dargestellt wird:
 :$$10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm}\rho_{\rm V} = 10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm}{ P_{x}}/{P_{\rm V}} \hspace{0.05cm}.$$
@@ Zeile 32: / Zeile 32: @@
 ''Hinweise:''
-*Die Aufgabe bezieht sich auf das Kapitel  [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Klassifizierung_der_Verzerrungen|Klassifizierung der Verzerrungen]].
+*Die Aufgabe bezieht sich auf das Kapitel&nbsp;  [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Klassifizierung_der_Verzerrungen|Klassifizierung der Verzerrungen]].
-*Alle hier abgefragten Leistungen beziehen sich auf den Widerstand $R = 1 \ \rm \Omega$ und haben somit die Einheit ${\rm V}^2$
+*Alle hier abgefragten Leistungen beziehen sich auf den Widerstand &nbsp;$R = 1 \ \rm \Omega$&nbsp; und haben somit die Einheit &nbsp;${\rm V}^2$.
-*Die Leistung eines (reellen) Signals $x(t)$ kann auch aus der Spektralfunktion $X(f)$ berechnet werden:
+*Die Leistung eines (reellen) Signals &nbsp;$x(t)$&nbsp; kann auch aus der Spektralfunktion &nbsp;$X(f)$&nbsp; berechnet werden:
 :$$P_{x}  =\frac{1}{T_{\rm 0}} \cdot\int_{-\infty}^{  \infty}
   x^2(t)\hspace{0.1cm}{\rm d}t

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(kein Unterschied)

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 }}
-[[Datei:P_ID885__LZI_Z_2_2.png|270px|right|Zur Berechnung der Verzerrungsleistung ]]
+[[Datei:LZI_Z_2_2_vers3.png|270px|right|Zur Berechnung der Verzerrungsleistung ]]
 Am Eingang der betrachteten Funktionseinheit, die nicht näher spezifiziert wird, liegt das in der Grafik blau dargestellte periodische Signal $x(t)$ an. Dieses ist durch das Spektrum des dazugehörigen analytischen Signals gegeben:
 $$X_+(f) = {1 \,\rm V}  \cdot {\rm \delta}(f- {2 \,\rm kHz})  + {0.2 \,\rm V} \cdot {\rm e}^{\rm j \cdot 90^{\circ} } \cdot \delta(f- {3 \,\rm kHz}).$$