Aufgaben:Aufgabe 2.2Z: Leistungsbetrachtung - Versionsgeschichte

Guenter am 17. Februar 2022 um 14:51 Uhr

2022-02-17T14:51:24Z

Guenter am 29. November 2021 um 15:50 Uhr

2021-11-29T15:50:58Z

Guenter am 29. November 2021 um 15:44 Uhr

2021-11-29T15:44:54Z

Guenter am 29. November 2021 um 15:44 Uhr

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Guenter am 6. März 2020 um 15:35 Uhr

2020-03-06T15:35:00Z

Guenter am 6. März 2020 um 15:26 Uhr

2020-03-06T15:26:51Z

Guenter am 12. Dezember 2018 um 14:44 Uhr

2018-12-12T14:44:45Z

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Mwiki-lnt: Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

2018-05-29T12:02:42Z

Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

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2018-01-03T14:17:37Z

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 Die Grafik zeigt das Spektrum des analytischen Signals &nbsp;$s_+(t)$,&nbsp; das sich additiv aus den beiden Anteilen &nbsp;$s_{1+}(t)$&nbsp; und &nbsp;$s_ {2+}(t)$&nbsp; zusammensetzt.
-*Unter der Sendeleistung &nbsp;$P_{\rm S}$&nbsp; soll hier der quadratische Mittelwert des Signals &nbsp;$s(t)$&nbsp; verstanden werden,&nbsp; gemittelt über eine möglichst große Messdauer:
+*Unter der Sendeleistung &nbsp;$P_{\rm S}$&nbsp; soll hier das Moment zweiter Ordnung des Signals &nbsp;$s(t)$&nbsp; verstanden werden,&nbsp; gemittelt über eine möglichst große Messdauer:
 :$$P_{\rm S} = \lim_{T_{\rm M} \rightarrow \infty}\hspace{0.1cm}\frac{1}{T_{\rm M}} \cdot \int_{0}^{ T_{\rm M}} {s^2(t) }\hspace{0.1cm}{\rm d}t \hspace{0.05cm}.$$
 *Beschreibt &nbsp;$s(t)$&nbsp; einen Spannungsverlauf,&nbsp; so besitzt &nbsp;$P_{\rm S}$&nbsp; nach dieser Definition die Einheit&nbsp; $\rm V^2$&nbsp; und bezieht sich auf den Bezugswiderstand &nbsp;$R = 1 \ \rm Ω$.&nbsp;

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 '''(1)'''&nbsp; Entsprechend den Gleichungen auf der Angabenseite gilt:
 :$$P_{\rm 1} = \lim_{T_{\rm M} \rightarrow \infty}\hspace{0.1cm}\frac{1}{T_{\rm M}} \cdot \int_{0}^{ T_{\rm M}} {A_1^2 \cdot \cos^2(\omega_{\rm 1} t + \phi_1) }\hspace{0.1cm}{\rm d}t \hspace{0.05cm}.$$
-*Zur allgemeineren Berechnung ist die Phase&nbsp; $ϕ_1$&nbsp; berücksichtigt, die hier eigentlich Null ist.&nbsp; Mit der Gleichung $\cos^{2}(α) = 0.5 · (1 + \cos(2α))$&nbsp; ergibt sich:
+*Zur allgemeineren Berechnung ist die Phase&nbsp; $ϕ_1$&nbsp; berücksichtigt,&nbsp; die hier eigentlich Null ist.&nbsp; Mit der Gleichung&nbsp; $\cos^{2}(α) = 0.5 · (1 + \cos(2α))$&nbsp; ergibt sich:
 :$$ P_{\rm 1} = \lim_{T_{\rm M} \rightarrow \infty}\hspace{0.1cm}\frac{1}{T_{\rm M}} \cdot \int_{0}^{ T_{\rm M}} {\frac{A_1^2}{2}}\hspace{0.1cm}{\rm d}t + \lim_{T_{\rm M} \rightarrow \infty}\hspace{0.1cm}\frac{1}{T_{\rm M}} \cdot \int_{0}^{ T_{\rm M}} {\frac{A_1^2}{2}\cdot \cos(2\omega_{\rm 1} t + 2\phi_1)}\hspace{0.1cm}{\rm d}t\hspace{0.05cm}.$$
-*Der zweite Term liefert aufgrund der Integration über die Cosinusfunktion, der Division durch&nbsp; $T_{\rm M}$&nbsp; und dem anschließenden Grenzübergang unabhängig von der Phase&nbsp; $ϕ_1$&nbsp; keinen Beitrag. Damit erhält man:
+*Der zweite Term liefert aufgrund der Integration über die Cosinusfunktion,&nbsp; der Division durch&nbsp; $T_{\rm M}$&nbsp; und dem anschließenden Grenzübergang unabhängig von der Phase&nbsp; $ϕ_1$&nbsp; keinen Beitrag.&nbsp; Damit erhält man:
 :$$P_{\rm 1} = \frac{A_1^2}{2} = \frac{(2\,{\rm V})^2}{2} \hspace{0.15cm}\underline {= 2\,{\rm V}^2}\hspace{0.05cm}.$$
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-'''(3)'''&nbsp; Bereits in der Musterlösung zur Teilaufgabe&nbsp; '''(1)'''&nbsp; wurde gezeigt, dass die Phase keinen Einfluss auf die Leistung hat.&nbsp; Daraus folgt:
+'''(3)'''&nbsp; Bereits in der Musterlösung zur Teilaufgabe&nbsp; '''(1)'''&nbsp; wurde gezeigt,&nbsp; dass die Phase keinen Einfluss auf die Leistung hat.&nbsp; Daraus folgt:
 :$$P_{\rm 2} = \frac{A_2^2}{2} \hspace{0.15cm}\underline {= 0.5\,{\rm V}^2}\hspace{0.05cm}.$$
-'''(4)'''&nbsp; Zur Leistungsberechnung muss über $s^{2}(t)$ gemittelt werden, wobei gilt:
+'''(4)'''&nbsp; Zur Leistungsberechnung muss über&nbsp; $s^{2}(t)$&nbsp; gemittelt werden,&nbsp; wobei gilt:
 :$$s^2(t) = s_1^2(t) + s_2^2(t) + 2 \cdot s_1(t) \cdot s_2(t).$$
-*Aufgrund der Division durch die Messdauer&nbsp; $T_{\rm M}$&nbsp; und des erforderlichen Grenzübergangs liefert der letzte Term unabhängig von der Phase&nbsp; $ϕ$&nbsp; keinen Beitrag.&nbsp; Deshalb:
+*Aufgrund der Division durch die Messdauer&nbsp; $T_{\rm M}$&nbsp; und des erforderlichen Grenzübergangs liefert der letzte Term unabhängig von der Phase&nbsp; $ϕ$&nbsp; keinen Beitrag:
 :$$P_{\rm S} = P_{\rm 1} + P_{\rm 2} \hspace{0.15cm}\underline {= 2.5\,{\rm V}^2}\hspace{0.05cm}.$$

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 }}
-[[Datei:P_ID991__Mod_Z_2_2.png|right|frame|Linienspektrum des analytischen Signals]]
+[[Datei:P_ID991__Mod_Z_2_2.png|right|frame|Linienspektrum des <br>analytischen Signals]]
 Wir betrachten zwei harmonische Schwingungen
 :$$ s_1(t)  = A_1 \cdot \cos(\omega_{\rm 1} \cdot t ) \hspace{0.05cm},$$

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 }}
-[[Datei:P_ID991__Mod_Z_2_2.png|right|frame|Analytisches Signal &ndash; Linienspektrum ]]
+[[Datei:P_ID991__Mod_Z_2_2.png|right|frame|Linienspektrum des analytischen Signals]]
 Wir betrachten zwei harmonische Schwingungen
 :$$ s_1(t)  = A_1 \cdot \cos(\omega_{\rm 1} \cdot t ) \hspace{0.05cm},$$
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 wobei für die Frequenzen&nbsp;  $f_2 ≥ f_1$&nbsp; gelten soll.
-Die Grafik zeigt das Spektrum des analytischen Signals &nbsp;$s_+(t)$, das sich additiv aus den beiden Anteilen &nbsp;$s_{1+}(t)$&nbsp; und &nbsp;$s_ {2+}(t)$&nbsp; zusammensetzt.
+Die Grafik zeigt das Spektrum des analytischen Signals &nbsp;$s_+(t)$,&nbsp; das sich additiv aus den beiden Anteilen &nbsp;$s_{1+}(t)$&nbsp; und &nbsp;$s_ {2+}(t)$&nbsp; zusammensetzt.
-Unter der Sendeleistung &nbsp;$P_{\rm S}$&nbsp; soll hier der quadratische Mittelwert des Signals &nbsp;$s(t)$&nbsp; verstanden werden, gemittelt über eine möglichst große Messdauer:
+*Unter der Sendeleistung &nbsp;$P_{\rm S}$&nbsp; soll hier der quadratische Mittelwert des Signals &nbsp;$s(t)$&nbsp; verstanden werden,&nbsp; gemittelt über eine möglichst große Messdauer:
 :$$P_{\rm S} = \lim_{T_{\rm M} \rightarrow \infty}\hspace{0.1cm}\frac{1}{T_{\rm M}} \cdot \int_{0}^{ T_{\rm M}} {s^2(t) }\hspace{0.1cm}{\rm d}t \hspace{0.05cm}.$$
-Beschreibt &nbsp;$s(t)$&nbsp; einen Spannungsverlauf, so besitzt &nbsp;$P_{\rm S}$&nbsp; nach dieser Definition die Einheit&nbsp; $\rm V^2$&nbsp; und bezieht sich auf den Widerstand &nbsp;$R = 1 \ \rm Ω$.&nbsp; Die Division durch &nbsp;$R$&nbsp; liefert die physikalische Leistung in&nbsp; $\rm W$.
+*Beschreibt &nbsp;$s(t)$&nbsp; einen Spannungsverlauf,&nbsp; so besitzt &nbsp;$P_{\rm S}$&nbsp; nach dieser Definition die Einheit&nbsp; $\rm V^2$&nbsp; und bezieht sich auf den Bezugswiderstand &nbsp;$R = 1 \ \rm Ω$.&nbsp;

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 '''(1)'''&nbsp; Entsprechend den Gleichungen auf der Angabenseite gilt:
 :$$P_{\rm 1} = \lim_{T_{\rm M} \rightarrow \infty}\hspace{0.1cm}\frac{1}{T_{\rm M}} \cdot \int_{0}^{ T_{\rm M}} {A_1^2 \cdot \cos^2(\omega_{\rm 1} t + \phi_1) }\hspace{0.1cm}{\rm d}t \hspace{0.05cm}.$$
-Zur allgemeineren Berechnung ist die Phase $ϕ_1$ berücksichtigt, die eigentlich $0$ ist. Mit der Gleichung $\cos^{2}(α) = 0.5 · (1 + \cos(2α))$ ergibt sich:
+*Zur allgemeineren Berechnung ist die Phase&nbsp; $ϕ_1$&nbsp; berücksichtigt, die hier eigentlich Null ist.&nbsp; Mit der Gleichung $\cos^{2}(α) = 0.5 · (1 + \cos(2α))$&nbsp; ergibt sich:
 :$$ P_{\rm 1} = \lim_{T_{\rm M} \rightarrow \infty}\hspace{0.1cm}\frac{1}{T_{\rm M}} \cdot \int_{0}^{ T_{\rm M}} {\frac{A_1^2}{2}}\hspace{0.1cm}{\rm d}t + \lim_{T_{\rm M} \rightarrow \infty}\hspace{0.1cm}\frac{1}{T_{\rm M}} \cdot \int_{0}^{ T_{\rm M}} {\frac{A_1^2}{2}\cdot \cos(2\omega_{\rm 1} t + 2\phi_1)}\hspace{0.1cm}{\rm d}t\hspace{0.05cm}.$$
-Der zweite Term liefert aufgrund der Integration über die Cosinusfunktion, der Division durch $T_{\rm M}$ und dem anschließenden Grenzübergang unabhängig von der Phase $ϕ_1$ keinen Beitrag. Damit erhält man:
+*Der zweite Term liefert aufgrund der Integration über die Cosinusfunktion, der Division durch&nbsp; $T_{\rm M}$&nbsp; und dem anschließenden Grenzübergang unabhängig von der Phase&nbsp; $ϕ_1$&nbsp; keinen Beitrag. Damit erhält man:
 :$$P_{\rm 1} = \frac{A_1^2}{2} = \frac{(2\,{\rm V})^2}{2} \hspace{0.15cm}\underline {= 2\,{\rm V}^2}\hspace{0.05cm}.$$
 '''(2)'''&nbsp; Mit $R = 50\ \rm  Ω$ erhält man für die „unnormierte” Leistung:
 :$$P_{\rm 1} = \frac{2\,{\rm V}^2}{50\,{\rm \Omega}} \hspace{0.15cm}\underline {= 40\,{\rm mW}}\hspace{0.05cm}.$$
 '''(3)'''&nbsp; Bereits in der Musterlösung zur Teilaufgabe '''(1)''' wurde gezeigt, dass die Phase keinen Einfluss auf die Leistung hat. Daraus folgt:
 :$$P_{\rm 2} = \frac{A_2^2}{2} \hspace{0.15cm}\underline {= 0.5\,{\rm V}^2}\hspace{0.05cm}.$$
 '''(4)'''&nbsp; Zur Leistungsberechnung muss über $s^{2}(t)$ gemittelt werden, wobei gilt:
 :$$s^2(t) = s_1^2(t) + s_2^2(t) + 2 \cdot s_1(t) \cdot s_2(t).$$
-Aufgrund der Division durch die Messdauer $T_{\rm M}$ und des erforderlichen Grenzübergangs liefert der letzte Term unabhängig von der Phase $ϕ$ keinen Beitrag. Deshalb:
+*Aufgrund der Division durch die Messdauer&nbsp; $T_{\rm M}$&nbsp; und des erforderlichen Grenzübergangs liefert der letzte Term unabhängig von der Phase&nbsp; $ϕ$&nbsp; keinen Beitrag.&nbsp; Deshalb:
 :$$P_{\rm S} = P_{\rm 1} + P_{\rm 2} \hspace{0.15cm}\underline {= 2.5\,{\rm V}^2}\hspace{0.05cm}.$$
 '''(5)'''&nbsp; Mit $f_2 = f_1$ lautet das Spektrum des analytischen Signals:
 :$$S_+(f) = (A_{\rm 1} + A_{\rm 2} \cdot {\rm e}^{{\rm j}\hspace{0.03cm} \cdot \hspace{0.03cm} \phi})\cdot \delta (f - f_1) \hspace{0.05cm}.$$
-Somit ergibt sich das Signal
+*Somit ergibt sich das Signal
 :$$s(t) = A_3 \cdot \cos(\omega_{\rm 1} t + \phi_3) \hspace{0.05cm},$$
-dessen Phase $ϕ_3$ für die Leistungsberechnung keine Rolle spielt. Die Amplitude dieses Signals ist
+:dessen Phase&nbsp; $ϕ_3$&nbsp; für die Leistungsberechnung keine Rolle spielt.&nbsp; Die Amplitude dieses Signals ist
 :$$A_3  =  \sqrt{ \left(A_1 + A_2 \cdot \cos(\phi)\right)^2 + A_2^2 \cdot \sin^2(\phi)} =
 \sqrt{ A_1^2 + A_2^2 + 2 \cdot A_1 \cdot A_2 \cdot \cos(\phi)}\hspace{0.05cm}.$$
-*Für $ϕ = 0$ addieren sich die Amplituden skalar:
+*Für&nbsp; $ϕ = 0$&nbsp; addieren sich die Amplituden skalar:
 :$$A_3 = \sqrt{ A_1^2 + A_2^2 + 2 \cdot A_1 \cdot A_2 } = A_1 + A_2 = 3\,{\rm V}\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} P_{\rm S} \hspace{0.15cm}\underline {= 4.5\,{\rm V}^2}\hspace{0.05cm}.$$
-*Dagegen addieren sich die Amplituden für $ϕ = 90^\circ$ vektoriell&nbsp; &rArr; &nbsp; gleiches Ergebnis wie in der Teilaufgabe '''(4)''':
+*Dagegen addieren sich die Amplituden für&nbsp; $ϕ = 90^\circ$&nbsp; vektoriell&nbsp; &rArr; &nbsp; gleiches Ergebnis wie in der Teilaufgabe&nbsp; '''(4)''':
 :$$ A_3 = \sqrt{ A_1^2 + A_2^2 } = \sqrt{5}\,{\rm V}\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} P_{\rm S} = \frac{5\,{\rm V}^2}{2}\hspace{0.15cm}\underline {= 2.5\,{\rm V}^2}\hspace{0.05cm}.$$
-*Für $ϕ = 180^\circ$ überlagern sich die Cosinusschwingungen destruktiv:
+*Für&nbsp; $ϕ = 180^\circ$&nbsp; überlagern sich die Cosinusschwingungen destruktiv:
 :$$A_3 = A_1 - A_2 = 1\,{\rm V}\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} P_{\rm S} \hspace{0.15cm}\underline {= 0.5\,{\rm V}^2}\hspace{0.05cm}.$$
 {{ML-Fuß}}

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 wobei für die Frequenzen $f_2 ≥ f_1$ gelten soll.
-Die Grafik zeigt das Spektrum des analytischen Signals $s_+(t)$, das sich additiv aus den beiden Anteilen $s_{1+}(t)$ und $s_ {2+}(t)$ zusammensetzt.
+Die Grafik zeigt das Spektrum des analytischen Signals &nbsp;$s_+(t)$, das sich additiv aus den beiden Anteilen &nbsp;$s_{1+}(t)$&nbsp; und &nbsp;$s_ {2+}(t)$&nbsp; zusammensetzt.
-Unter der Sendeleistung $P_{\rm S}$ soll hier der quadratische Mittelwert des Signals $s(t)$ verstanden werden, gemittelt über eine möglichst große Messdauer:
+Unter der Sendeleistung &nbsp;$P_{\rm S}$&nbsp; soll hier der quadratische Mittelwert des Signals &nbsp;$s(t)$&nbsp; verstanden werden, gemittelt über eine möglichst große Messdauer:
 :$$P_{\rm S} = \lim_{T_{\rm M} \rightarrow \infty}\hspace{0.1cm}\frac{1}{T_{\rm M}} \cdot \int_{0}^{ T_{\rm M}} {s^2(t) }\hspace{0.1cm}{\rm d}t \hspace{0.05cm}.$$
-Beschreibt $s(t)$ einen Spannungsverlauf, so besitzt $P_{\rm S}$ nach dieser Definition die Einheit $\rm V^2$ und bezieht sich auf den Widerstand $R = 1 \ \rm Ω$. Die Division durch $R$ liefert die physikalische Leistung in $\rm W$.
+Beschreibt &nbsp;$s(t)$&nbsp; einen Spannungsverlauf, so besitzt &nbsp;$P_{\rm S}$&nbsp; nach dieser Definition die Einheit $\rm V^2$ und bezieht sich auf den Widerstand &nbsp;$R = 1 \ \rm Ω$. Die Division durch &nbsp;$R$&nbsp; liefert die physikalische Leistung in $\rm W$.
 ''Hinweise:''
-*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Modulationsverfahren/Zweiseitenband-Amplitudenmodulation|Zweiseitenband-Amplitudenmodulation]].
+*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Modulationsverfahren/Zweiseitenband-Amplitudenmodulation|Zweiseitenband-Amplitudenmodulation]].
-*Bezug genommen wird auch auf das Kapitel  [[Modulationsverfahren/Qualitätskriterien|Qualitätskriterien]].
+*Bezug genommen wird auch auf das Kapitel&nbsp;  [[Modulationsverfahren/Qualitätskriterien|Qualitätskriterien]].
-*Verwenden Sie die Zahlenwerte $A_1 = 2\ \rm  V$, $A_2 = 1 \ \rm V$ und $R = 50 \ \rm Ω$.
+*Verwenden Sie die Zahlenwerte &nbsp;$A_1 = 2\ \rm  V$, &nbsp;$A_2 = 1 \ \rm V$&nbsp; und &nbsp;$R = 50 \ \rm Ω$.
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 <quiz display=simple>
-{Berechnen Sie die Leistung des Cosinussignals $s_1(t)$.
+{Berechnen Sie die Leistung des Cosinussignals &nbsp;$s_1(t)$.
 |type="{}"}
 $P_1 \ = \ $ { 2 3% } $\ \rm V^{ 2 }$
-{Es gelte $R = 50 \ \rm Ω$. Wie groß ist die physikalische Leistung des Signals  $s_1(t)$?
+{Es gelte &nbsp;$R = 50 \ \rm Ω$. Wie groß ist die physikalische Leistung des Signals  &nbsp;$s_1(t)$?
 |type="{}"}
 $P_1 \ = \ $ { 40 3% } $\ \text{mW}$
-{Wie groß ist die Leistung der phasenverschobenen Schwingung $s_2(t)$?
+{Wie groß ist die Leistung der phasenverschobenen Schwingung &nbsp;$s_2(t)$?
 |type="{}"}
 $P_2  \ = \ $ { 0.5 3% } $\ \rm V^{ 2 }$
-{Wie groß ist die Leistung des Summensignals $s(t)$ unter der Bedingung $f_2 ≠ f_1$?
+{Wie groß ist die Leistung des Summensignals &nbsp;$s(t)$&nbsp; unter der Bedingung &nbsp;$f_2 ≠ f_1$?
 |type="{}"}
 $P_{\rm S} \ = \ $ { 2.5 3% } $\ \rm V^{ 2 }$
-{Welche Leistung erhält man für $f_2 = f_1$ mit $ϕ = 0$, $ϕ = 90^\circ$ und $ϕ = 180^\circ$?
+{Welche Leistung erhält man für &nbsp;$f_2 = f_1$&nbsp; mit &nbsp;$ϕ = 0$, &nbsp;$ϕ = 90^\circ$&nbsp; und &nbsp;$ϕ = 180^\circ$?
 |type="{}"}
 $ϕ = 0\text{:}\hspace{0.3cm}   P_{\rm S} \ = \ $ { 4.5 3% }$\ \rm V^{ 2 }$

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(kein Unterschied)