Aufgaben:Aufgabe 2.2Z: Leistungsbetrachtung - Versionsgeschichte

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2026-03-16T12:35:31Z

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← Nächstältere Version		Version vom 16. März 2026, 14:35 Uhr
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	[[Category:Aufgaben zu Modulationsverfahren\|^2.1 ZSB-Amplitudenmodulation^]]		[[Category:Aufgaben zu Modulationsverfahren\|^2.1 ZSB-Amplitudenmodulation^]]
			[[en:Aufgaben:Exercise_2.2Z:_Power_Consideration]]

Maintenance script: Fix quiz parser eating LaTeX braces

2026-03-05T14:24:01Z

Fix quiz parser eating LaTeX braces

← Nächstältere Version		Version vom 5. März 2026, 16:24 Uhr
Zeile 35:		Zeile 35:
	{Berechnen Sie die Leistung des Cosinussignals  $s_1(t)$.		{Berechnen Sie die Leistung des Cosinussignals  $s_1(t)$.
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$P_1 \ = \ $ { 2 3% } $\ \rm V^{ 2 }$		$P_1 \ = \ $ { 2 3% } $\ \rm V^{2}$

	{Es gelte  $R = 50 \ \rm Ω$.  Wie groß ist die physikalische Leistung des Signals  $s_1(t)$?		{Es gelte  $R = 50 \ \rm Ω$.  Wie groß ist die physikalische Leistung des Signals  $s_1(t)$?
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	{Wie groß ist die Leistung der phasenverschobenen Schwingung  $s_2(t)$?		{Wie groß ist die Leistung der phasenverschobenen Schwingung  $s_2(t)$?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$P_2 \ = \ $ { 0.5 3% } $\ \rm V^{ 2 }$		$P_2 \ = \ $ { 0.5 3% } $\ \rm V^{2}$

	{Wie groß ist die Leistung des Summensignals  $s(t)$  unter der Bedingung  $f_2 ≠ f_1$?		{Wie groß ist die Leistung des Summensignals  $s(t)$  unter der Bedingung  $f_2 ≠ f_1$?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$P_{\rm S} \ = \ $ { 2.5 3% } $\ \rm V^{ 2 }$		$P_{\rm S} \ = \ $ { 2.5 3% } $\ \rm V^{2}$

	{Welche Leistung erhält man für  $f_2 = f_1$  mit  $ϕ = 0$,  $ϕ = 90^\circ$  und  $ϕ = 180^\circ$?		{Welche Leistung erhält man für  $f_2 = f_1$  mit  $ϕ = 0$,  $ϕ = 90^\circ$  und  $ϕ = 180^\circ$?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$ϕ = 0\text{:}\hspace{0.3cm} P_{\rm S} \ = \ $ { 4.5 3% }$\ \rm V^{ 2 }$		$ϕ = 0\text{:}\hspace{0.3cm} P_{\rm S} \ = \ $ { 4.5 3% }$\ \rm V^{2}$
	$ϕ = 90^\circ\text{:}\hspace{0.3cm} P_{\rm S} \ = \ $ { 2.5 3% } $\ \rm V^{ 2 }$		$ϕ = 90^\circ\text{:}\hspace{0.3cm} P_{\rm S} \ = \ $ { 2.5 3% } $\ \rm V^{2}$
	$ϕ = 180^\circ\text{:}\hspace{0.3cm} P_{\rm S} \ = \ $ { 0.5 3% } $\ \rm V^{ 2 }$		$ϕ = 180^\circ\text{:}\hspace{0.3cm} P_{\rm S} \ = \ $ { 0.5 3% } $\ \rm V^{2}$
	</quiz>		</quiz>

Maintenance script: Join multi-line formulas for MW 1.43 parser compat

2026-02-24T13:38:47Z

Join multi-line formulas for MW 1.43 parser compat

← Nächstältere Version		Version vom 24. Februar 2026, 15:38 Uhr
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	:$$s(t) = A_3 \cdot \cos(\omega_{\rm 1} t + \phi_3) \hspace{0.05cm},$$		:$$s(t) = A_3 \cdot \cos(\omega_{\rm 1} t + \phi_3) \hspace{0.05cm},$$
	:dessen Phase  $ϕ_3$  für die Leistungsberechnung keine Rolle spielt.  Die Amplitude dieses Signals ist		:dessen Phase  $ϕ_3$  für die Leistungsberechnung keine Rolle spielt.  Die Amplitude dieses Signals ist
	:$$A_3 = \sqrt{ \left(A_1 + A_2 \cdot \cos(\phi)\right)^2 + A_2^2 \cdot \sin^2(\phi)} =		:$$A_3 = \sqrt{ \left(A_1 + A_2 \cdot \cos(\phi)\right)^2 + A_2^2 \cdot \sin^2(\phi)} =\sqrt{ A_1^2 + A_2^2 + 2 \cdot A_1 \cdot A_2 \cdot \cos(\phi)}\hspace{0.05cm}.$$
	\sqrt{ A_1^2 + A_2^2 + 2 \cdot A_1 \cdot A_2 \cdot \cos(\phi)}\hspace{0.05cm}.$$
	*Für  $ϕ = 0$  addieren sich die Amplituden skalar:		*Für  $ϕ = 0$  addieren sich die Amplituden skalar:
	:$$A_3 = \sqrt{ A_1^2 + A_2^2 + 2 \cdot A_1 \cdot A_2 } = A_1 + A_2 = 3\,{\rm V}\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} P_{\rm S} \hspace{0.15cm}\underline {= 4.5\,{\rm V}^2}\hspace{0.05cm}.$$		:$$A_3 = \sqrt{ A_1^2 + A_2^2 + 2 \cdot A_1 \cdot A_2 } = A_1 + A_2 = 3\,{\rm V}\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} P_{\rm S} \hspace{0.15cm}\underline {= 4.5\,{\rm V}^2}\hspace{0.05cm}.$$

Guenter am 17. Februar 2022 um 14:51 Uhr

2022-02-17T14:51:24Z

← Nächstältere Version		Version vom 17. Februar 2022, 16:51 Uhr
Zeile 11:		Zeile 11:
	Die Grafik zeigt das Spektrum des analytischen Signals  $s_+(t)$,  das sich additiv aus den beiden Anteilen  $s_{1+}(t)$  und  $s_ {2+}(t)$  zusammensetzt.		Die Grafik zeigt das Spektrum des analytischen Signals  $s_+(t)$,  das sich additiv aus den beiden Anteilen  $s_{1+}(t)$  und  $s_ {2+}(t)$  zusammensetzt.

	*Unter der Sendeleistung  $P_{\rm S}$  soll hier ~~der quadratische Mittelwert~~ des Signals  $s(t)$  verstanden werden,  gemittelt über eine möglichst große Messdauer:		*Unter der Sendeleistung  $P_{\rm S}$  soll hier das Moment zweiter Ordnung des Signals  $s(t)$  verstanden werden,  gemittelt über eine möglichst große Messdauer:
	:$$P_{\rm S} = \lim_{T_{\rm M} \rightarrow \infty}\hspace{0.1cm}\frac{1}{T_{\rm M}} \cdot \int_{0}^{ T_{\rm M}} {s^2(t) }\hspace{0.1cm}{\rm d}t \hspace{0.05cm}.$$		:$$P_{\rm S} = \lim_{T_{\rm M} \rightarrow \infty}\hspace{0.1cm}\frac{1}{T_{\rm M}} \cdot \int_{0}^{ T_{\rm M}} {s^2(t) }\hspace{0.1cm}{\rm d}t \hspace{0.05cm}.$$
	*Beschreibt  $s(t)$  einen Spannungsverlauf,  so besitzt  $P_{\rm S}$  nach dieser Definition die Einheit  $\rm V^2$  und bezieht sich auf den Bezugswiderstand  $R = 1 \ \rm Ω$.		*Beschreibt  $s(t)$  einen Spannungsverlauf,  so besitzt  $P_{\rm S}$  nach dieser Definition die Einheit  $\rm V^2$  und bezieht sich auf den Bezugswiderstand  $R = 1 \ \rm Ω$.

Guenter am 29. November 2021 um 15:50 Uhr

2021-11-29T15:50:58Z

Guenter am 29. November 2021 um 15:44 Uhr

2021-11-29T15:44:54Z

← Nächstältere Version		Version vom 29. November 2021, 17:44 Uhr
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	}}		}}

	[[Datei:P_ID991__Mod_Z_2_2.png\|right\|frame\|Linienspektrum des analytischen Signals]]		[[Datei:P_ID991__Mod_Z_2_2.png\|right\|frame\|Linienspektrum des <br>analytischen Signals]]
	Wir betrachten zwei harmonische Schwingungen		Wir betrachten zwei harmonische Schwingungen
	:$$ s_1(t) = A_1 \cdot \cos(\omega_{\rm 1} \cdot t ) \hspace{0.05cm},$$		:$$ s_1(t) = A_1 \cdot \cos(\omega_{\rm 1} \cdot t ) \hspace{0.05cm},$$

Guenter am 29. November 2021 um 15:44 Uhr

2021-11-29T15:44:37Z

← Nächstältere Version		Version vom 29. November 2021, 17:44 Uhr
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	}}		}}

	[[Datei:P_ID991__Mod_Z_2_2.png\|right\|frame\|~~Analytisches Signal –~~ Linienspektrum ]]		[[Datei:P_ID991__Mod_Z_2_2.png\|right\|frame\|Linienspektrum des analytischen Signals]]
	Wir betrachten zwei harmonische Schwingungen		Wir betrachten zwei harmonische Schwingungen
	:$$ s_1(t) = A_1 \cdot \cos(\omega_{\rm 1} \cdot t ) \hspace{0.05cm},$$		:$$ s_1(t) = A_1 \cdot \cos(\omega_{\rm 1} \cdot t ) \hspace{0.05cm},$$
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	wobei für die Frequenzen  $f_2 ≥ f_1$  gelten soll.		wobei für die Frequenzen  $f_2 ≥ f_1$  gelten soll.

	Die Grafik zeigt das Spektrum des analytischen Signals  $s_+(t)$, das sich additiv aus den beiden Anteilen  $s_{1+}(t)$  und  $s_ {2+}(t)$  zusammensetzt.		Die Grafik zeigt das Spektrum des analytischen Signals  $s_+(t)$,  das sich additiv aus den beiden Anteilen  $s_{1+}(t)$  und  $s_ {2+}(t)$  zusammensetzt.

	Unter der Sendeleistung  $P_{\rm S}$  soll hier der quadratische Mittelwert des Signals  $s(t)$  verstanden werden, gemittelt über eine möglichst große Messdauer:		*Unter der Sendeleistung  $P_{\rm S}$  soll hier der quadratische Mittelwert des Signals  $s(t)$  verstanden werden,  gemittelt über eine möglichst große Messdauer:
	:$$P_{\rm S} = \lim_{T_{\rm M} \rightarrow \infty}\hspace{0.1cm}\frac{1}{T_{\rm M}} \cdot \int_{0}^{ T_{\rm M}} {s^2(t) }\hspace{0.1cm}{\rm d}t \hspace{0.05cm}.$$		:$$P_{\rm S} = \lim_{T_{\rm M} \rightarrow \infty}\hspace{0.1cm}\frac{1}{T_{\rm M}} \cdot \int_{0}^{ T_{\rm M}} {s^2(t) }\hspace{0.1cm}{\rm d}t \hspace{0.05cm}.$$
	Beschreibt  $s(t)$  einen Spannungsverlauf, so besitzt  $P_{\rm S}$  nach dieser Definition die Einheit  $\rm V^2$  und bezieht sich auf den ~~Widerstand~~  $R = 1 \ \rm Ω$.  Die Division durch  $R$  liefert die physikalische Leistung in  $\rm W$.		*Beschreibt  $s(t)$  einen Spannungsverlauf,  so besitzt  $P_{\rm S}$  nach dieser Definition die Einheit  $\rm V^2$  und bezieht sich auf den Bezugswiderstand  $R = 1 \ \rm Ω$.
			*Die Division durch  $R$  liefert die physikalische Leistung in  $\rm W$.

Guenter am 6. März 2020 um 15:35 Uhr

2020-03-06T15:35:00Z

Guenter am 6. März 2020 um 15:26 Uhr

2020-03-06T15:26:51Z

Guenter am 12. Dezember 2018 um 14:44 Uhr

2018-12-12T14:44:45Z

← Nächstältere Version		Version vom 29. November 2021, 17:50 Uhr
Zeile 60:		Zeile 60:
	'''(1)'''  Entsprechend den Gleichungen auf der Angabenseite gilt:		'''(1)'''  Entsprechend den Gleichungen auf der Angabenseite gilt:
	:$$P_{\rm 1} = \lim_{T_{\rm M} \rightarrow \infty}\hspace{0.1cm}\frac{1}{T_{\rm M}} \cdot \int_{0}^{ T_{\rm M}} {A_1^2 \cdot \cos^2(\omega_{\rm 1} t + \phi_1) }\hspace{0.1cm}{\rm d}t \hspace{0.05cm}.$$		:$$P_{\rm 1} = \lim_{T_{\rm M} \rightarrow \infty}\hspace{0.1cm}\frac{1}{T_{\rm M}} \cdot \int_{0}^{ T_{\rm M}} {A_1^2 \cdot \cos^2(\omega_{\rm 1} t + \phi_1) }\hspace{0.1cm}{\rm d}t \hspace{0.05cm}.$$
	*Zur allgemeineren Berechnung ist die Phase  $ϕ_1$  berücksichtigt, die hier eigentlich Null ist.  Mit der Gleichung $\cos^{2}(α) = 0.5 · (1 + \cos(2α))$  ergibt sich:		*Zur allgemeineren Berechnung ist die Phase  $ϕ_1$  berücksichtigt,  die hier eigentlich Null ist.  Mit der Gleichung  $\cos^{2}(α) = 0.5 · (1 + \cos(2α))$  ergibt sich:
	:$$ P_{\rm 1} = \lim_{T_{\rm M} \rightarrow \infty}\hspace{0.1cm}\frac{1}{T_{\rm M}} \cdot \int_{0}^{ T_{\rm M}} {\frac{A_1^2}{2}}\hspace{0.1cm}{\rm d}t + \lim_{T_{\rm M} \rightarrow \infty}\hspace{0.1cm}\frac{1}{T_{\rm M}} \cdot \int_{0}^{ T_{\rm M}} {\frac{A_1^2}{2}\cdot \cos(2\omega_{\rm 1} t + 2\phi_1)}\hspace{0.1cm}{\rm d}t\hspace{0.05cm}.$$		:$$ P_{\rm 1} = \lim_{T_{\rm M} \rightarrow \infty}\hspace{0.1cm}\frac{1}{T_{\rm M}} \cdot \int_{0}^{ T_{\rm M}} {\frac{A_1^2}{2}}\hspace{0.1cm}{\rm d}t + \lim_{T_{\rm M} \rightarrow \infty}\hspace{0.1cm}\frac{1}{T_{\rm M}} \cdot \int_{0}^{ T_{\rm M}} {\frac{A_1^2}{2}\cdot \cos(2\omega_{\rm 1} t + 2\phi_1)}\hspace{0.1cm}{\rm d}t\hspace{0.05cm}.$$
	*Der zweite Term liefert aufgrund der Integration über die Cosinusfunktion, der Division durch  $T_{\rm M}$  und dem anschließenden Grenzübergang unabhängig von der Phase  $ϕ_1$  keinen Beitrag. Damit erhält man:		*Der zweite Term liefert aufgrund der Integration über die Cosinusfunktion,  der Division durch  $T_{\rm M}$  und dem anschließenden Grenzübergang unabhängig von der Phase  $ϕ_1$  keinen Beitrag.  Damit erhält man:
	:$$P_{\rm 1} = \frac{A_1^2}{2} = \frac{(2\,{\rm V})^2}{2} \hspace{0.15cm}\underline {= 2\,{\rm V}^2}\hspace{0.05cm}.$$		:$$P_{\rm 1} = \frac{A_1^2}{2} = \frac{(2\,{\rm V})^2}{2} \hspace{0.15cm}\underline {= 2\,{\rm V}^2}\hspace{0.05cm}.$$

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	'''(3)'''  Bereits in der Musterlösung zur Teilaufgabe  '''(1)'''  wurde gezeigt, dass die Phase keinen Einfluss auf die Leistung hat.  Daraus folgt:		'''(3)'''  Bereits in der Musterlösung zur Teilaufgabe  '''(1)'''  wurde gezeigt,  dass die Phase keinen Einfluss auf die Leistung hat.  Daraus folgt:
	:$$P_{\rm 2} = \frac{A_2^2}{2} \hspace{0.15cm}\underline {= 0.5\,{\rm V}^2}\hspace{0.05cm}.$$		:$$P_{\rm 2} = \frac{A_2^2}{2} \hspace{0.15cm}\underline {= 0.5\,{\rm V}^2}\hspace{0.05cm}.$$


	'''(4)'''  Zur Leistungsberechnung muss über $s^{2}(t)$ gemittelt werden, wobei gilt:		'''(4)'''  Zur Leistungsberechnung muss über  $s^{2}(t)$  gemittelt werden,  wobei gilt:
	:$$s^2(t) = s_1^2(t) + s_2^2(t) + 2 \cdot s_1(t) \cdot s_2(t).$$		:$$s^2(t) = s_1^2(t) + s_2^2(t) + 2 \cdot s_1(t) \cdot s_2(t).$$
	*Aufgrund der Division durch die Messdauer  $T_{\rm M}$  und des erforderlichen Grenzübergangs liefert der letzte Term unabhängig von der Phase  $ϕ$  keinen Beitrag~~.  Deshalb~~:		*Aufgrund der Division durch die Messdauer  $T_{\rm M}$  und des erforderlichen Grenzübergangs liefert der letzte Term unabhängig von der Phase  $ϕ$  keinen Beitrag:
	:$$P_{\rm S} = P_{\rm 1} + P_{\rm 2} \hspace{0.15cm}\underline {= 2.5\,{\rm V}^2}\hspace{0.05cm}.$$		:$$P_{\rm S} = P_{\rm 1} + P_{\rm 2} \hspace{0.15cm}\underline {= 2.5\,{\rm V}^2}\hspace{0.05cm}.$$

← Nächstältere Version		Version vom 6. März 2020, 17:35 Uhr
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	'''(1)'''  Entsprechend den Gleichungen auf der Angabenseite gilt:		'''(1)'''  Entsprechend den Gleichungen auf der Angabenseite gilt:
	:$$P_{\rm 1} = \lim_{T_{\rm M} \rightarrow \infty}\hspace{0.1cm}\frac{1}{T_{\rm M}} \cdot \int_{0}^{ T_{\rm M}} {A_1^2 \cdot \cos^2(\omega_{\rm 1} t + \phi_1) }\hspace{0.1cm}{\rm d}t \hspace{0.05cm}.$$		:$$P_{\rm 1} = \lim_{T_{\rm M} \rightarrow \infty}\hspace{0.1cm}\frac{1}{T_{\rm M}} \cdot \int_{0}^{ T_{\rm M}} {A_1^2 \cdot \cos^2(\omega_{\rm 1} t + \phi_1) }\hspace{0.1cm}{\rm d}t \hspace{0.05cm}.$$
	Zur allgemeineren Berechnung ist die Phase $ϕ_1$ berücksichtigt, die eigentlich ~~$0$~~ ist. Mit der Gleichung $\cos^{2}(α) = 0.5 · (1 + \cos(2α))$ ergibt sich:		*Zur allgemeineren Berechnung ist die Phase  $ϕ_1$  berücksichtigt, die hier eigentlich Null ist.  Mit der Gleichung $\cos^{2}(α) = 0.5 · (1 + \cos(2α))$  ergibt sich:
	:$$ P_{\rm 1} = \lim_{T_{\rm M} \rightarrow \infty}\hspace{0.1cm}\frac{1}{T_{\rm M}} \cdot \int_{0}^{ T_{\rm M}} {\frac{A_1^2}{2}}\hspace{0.1cm}{\rm d}t + \lim_{T_{\rm M} \rightarrow \infty}\hspace{0.1cm}\frac{1}{T_{\rm M}} \cdot \int_{0}^{ T_{\rm M}} {\frac{A_1^2}{2}\cdot \cos(2\omega_{\rm 1} t + 2\phi_1)}\hspace{0.1cm}{\rm d}t\hspace{0.05cm}.$$		:$$ P_{\rm 1} = \lim_{T_{\rm M} \rightarrow \infty}\hspace{0.1cm}\frac{1}{T_{\rm M}} \cdot \int_{0}^{ T_{\rm M}} {\frac{A_1^2}{2}}\hspace{0.1cm}{\rm d}t + \lim_{T_{\rm M} \rightarrow \infty}\hspace{0.1cm}\frac{1}{T_{\rm M}} \cdot \int_{0}^{ T_{\rm M}} {\frac{A_1^2}{2}\cdot \cos(2\omega_{\rm 1} t + 2\phi_1)}\hspace{0.1cm}{\rm d}t\hspace{0.05cm}.$$
	Der zweite Term liefert aufgrund der Integration über die Cosinusfunktion, der Division durch $T_{\rm M}$ und dem anschließenden Grenzübergang unabhängig von der Phase $ϕ_1$ keinen Beitrag. Damit erhält man:		*Der zweite Term liefert aufgrund der Integration über die Cosinusfunktion, der Division durch  $T_{\rm M}$  und dem anschließenden Grenzübergang unabhängig von der Phase  $ϕ_1$  keinen Beitrag. Damit erhält man:
	:$$P_{\rm 1} = \frac{A_1^2}{2} = \frac{(2\,{\rm V})^2}{2} \hspace{0.15cm}\underline {= 2\,{\rm V}^2}\hspace{0.05cm}.$$		:$$P_{\rm 1} = \frac{A_1^2}{2} = \frac{(2\,{\rm V})^2}{2} \hspace{0.15cm}\underline {= 2\,{\rm V}^2}\hspace{0.05cm}.$$

	'''(2)'''  Mit $R = 50\ \rm Ω$ erhält man für die „unnormierte” Leistung:
			'''(2)'''  Mit  $R = 50\ \rm Ω$  erhält man für die „unnormierte” Leistung:
	:$$P_{\rm 1} = \frac{2\,{\rm V}^2}{50\,{\rm \Omega}} \hspace{0.15cm}\underline {= 40\,{\rm mW}}\hspace{0.05cm}.$$		:$$P_{\rm 1} = \frac{2\,{\rm V}^2}{50\,{\rm \Omega}} \hspace{0.15cm}\underline {= 40\,{\rm mW}}\hspace{0.05cm}.$$

	'''(3)'''  Bereits in der Musterlösung zur Teilaufgabe '''(1)''' wurde gezeigt, dass die Phase keinen Einfluss auf die Leistung hat. Daraus folgt:
			'''(3)'''  Bereits in der Musterlösung zur Teilaufgabe  '''(1)'''  wurde gezeigt, dass die Phase keinen Einfluss auf die Leistung hat.  Daraus folgt:
	:$$P_{\rm 2} = \frac{A_2^2}{2} \hspace{0.15cm}\underline {= 0.5\,{\rm V}^2}\hspace{0.05cm}.$$		:$$P_{\rm 2} = \frac{A_2^2}{2} \hspace{0.15cm}\underline {= 0.5\,{\rm V}^2}\hspace{0.05cm}.$$


	'''(4)'''  Zur Leistungsberechnung muss über $s^{2}(t)$ gemittelt werden, wobei gilt:		'''(4)'''  Zur Leistungsberechnung muss über $s^{2}(t)$ gemittelt werden, wobei gilt:
	:$$s^2(t) = s_1^2(t) + s_2^2(t) + 2 \cdot s_1(t) \cdot s_2(t).$$		:$$s^2(t) = s_1^2(t) + s_2^2(t) + 2 \cdot s_1(t) \cdot s_2(t).$$
	Aufgrund der Division durch die Messdauer $T_{\rm M}$ und des erforderlichen Grenzübergangs liefert der letzte Term unabhängig von der Phase $ϕ$ keinen Beitrag. Deshalb:		*Aufgrund der Division durch die Messdauer  $T_{\rm M}$  und des erforderlichen Grenzübergangs liefert der letzte Term unabhängig von der Phase  $ϕ$  keinen Beitrag.  Deshalb:
	:$$P_{\rm S} = P_{\rm 1} + P_{\rm 2} \hspace{0.15cm}\underline {= 2.5\,{\rm V}^2}\hspace{0.05cm}.$$		:$$P_{\rm S} = P_{\rm 1} + P_{\rm 2} \hspace{0.15cm}\underline {= 2.5\,{\rm V}^2}\hspace{0.05cm}.$$

	'''(5)'''  Mit $f_2 = f_1$ lautet das Spektrum des analytischen Signals:

			'''(5)'''  Mit  $f_2 = f_1$  lautet das Spektrum des analytischen Signals:
	:$$S_+(f) = (A_{\rm 1} + A_{\rm 2} \cdot {\rm e}^{{\rm j}\hspace{0.03cm} \cdot \hspace{0.03cm} \phi})\cdot \delta (f - f_1) \hspace{0.05cm}.$$		:$$S_+(f) = (A_{\rm 1} + A_{\rm 2} \cdot {\rm e}^{{\rm j}\hspace{0.03cm} \cdot \hspace{0.03cm} \phi})\cdot \delta (f - f_1) \hspace{0.05cm}.$$
	Somit ergibt sich das Signal		*Somit ergibt sich das Signal
	:$$s(t) = A_3 \cdot \cos(\omega_{\rm 1} t + \phi_3) \hspace{0.05cm},$$		:$$s(t) = A_3 \cdot \cos(\omega_{\rm 1} t + \phi_3) \hspace{0.05cm},$$
	dessen Phase $ϕ_3$ für die Leistungsberechnung keine Rolle spielt. Die Amplitude dieses Signals ist		:dessen Phase  $ϕ_3$  für die Leistungsberechnung keine Rolle spielt.  Die Amplitude dieses Signals ist
	:$$A_3 = \sqrt{ \left(A_1 + A_2 \cdot \cos(\phi)\right)^2 + A_2^2 \cdot \sin^2(\phi)} =		:$$A_3 = \sqrt{ \left(A_1 + A_2 \cdot \cos(\phi)\right)^2 + A_2^2 \cdot \sin^2(\phi)} =
	\sqrt{ A_1^2 + A_2^2 + 2 \cdot A_1 \cdot A_2 \cdot \cos(\phi)}\hspace{0.05cm}.$$		\sqrt{ A_1^2 + A_2^2 + 2 \cdot A_1 \cdot A_2 \cdot \cos(\phi)}\hspace{0.05cm}.$$
	*Für $ϕ = 0$ addieren sich die Amplituden skalar:		*Für  $ϕ = 0$  addieren sich die Amplituden skalar:
	:$$A_3 = \sqrt{ A_1^2 + A_2^2 + 2 \cdot A_1 \cdot A_2 } = A_1 + A_2 = 3\,{\rm V}\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} P_{\rm S} \hspace{0.15cm}\underline {= 4.5\,{\rm V}^2}\hspace{0.05cm}.$$		:$$A_3 = \sqrt{ A_1^2 + A_2^2 + 2 \cdot A_1 \cdot A_2 } = A_1 + A_2 = 3\,{\rm V}\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} P_{\rm S} \hspace{0.15cm}\underline {= 4.5\,{\rm V}^2}\hspace{0.05cm}.$$
	*Dagegen addieren sich die Amplituden für $ϕ = 90^\circ$ vektoriell  ⇒   gleiches Ergebnis wie in der Teilaufgabe '''(4)''':		*Dagegen addieren sich die Amplituden für  $ϕ = 90^\circ$  vektoriell  ⇒   gleiches Ergebnis wie in der Teilaufgabe  '''(4)''':
	:$$ A_3 = \sqrt{ A_1^2 + A_2^2 } = \sqrt{5}\,{\rm V}\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} P_{\rm S} = \frac{5\,{\rm V}^2}{2}\hspace{0.15cm}\underline {= 2.5\,{\rm V}^2}\hspace{0.05cm}.$$		:$$ A_3 = \sqrt{ A_1^2 + A_2^2 } = \sqrt{5}\,{\rm V}\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} P_{\rm S} = \frac{5\,{\rm V}^2}{2}\hspace{0.15cm}\underline {= 2.5\,{\rm V}^2}\hspace{0.05cm}.$$
	*Für $ϕ = 180^\circ$ überlagern sich die Cosinusschwingungen destruktiv:		*Für  $ϕ = 180^\circ$  überlagern sich die Cosinusschwingungen destruktiv:
	:$$A_3 = A_1 - A_2 = 1\,{\rm V}\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} P_{\rm S} \hspace{0.15cm}\underline {= 0.5\,{\rm V}^2}\hspace{0.05cm}.$$		:$$A_3 = A_1 - A_2 = 1\,{\rm V}\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} P_{\rm S} \hspace{0.15cm}\underline {= 0.5\,{\rm V}^2}\hspace{0.05cm}.$$
	{{ML-Fuß}}		{{ML-Fuß}}

← Nächstältere Version		Version vom 6. März 2020, 17:26 Uhr
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	}}		}}

	[[Datei:P_ID991__Mod_Z_2_2.png\|right\|frame\|Linienspektrum ~~des analytischen Signals~~]]		[[Datei:P_ID991__Mod_Z_2_2.png\|right\|frame\|Analytisches Signal – Linienspektrum ]]
	Wir betrachten zwei harmonische Schwingungen		Wir betrachten zwei harmonische Schwingungen
	:$$ s_1(t) = A_1 \cdot \cos(\omega_{\rm 1} \cdot t ) \hspace{0.05cm},$$		:$$ s_1(t) = A_1 \cdot \cos(\omega_{\rm 1} \cdot t ) \hspace{0.05cm},$$
	:$$s_2(t) = A_2 \cdot \cos(\omega_{\rm 2} \cdot t + \phi) \hspace{0.05cm},$$		:$$s_2(t) = A_2 \cdot \cos(\omega_{\rm 2} \cdot t + \phi) \hspace{0.05cm},$$
	wobei für die Frequenzen $f_2 ≥ f_1$ gelten soll.		wobei für die Frequenzen  $f_2 ≥ f_1$  gelten soll.

	Die Grafik zeigt das Spektrum des analytischen Signals  $s_+(t)$, das sich additiv aus den beiden Anteilen  $s_{1+}(t)$  und  $s_ {2+}(t)$  zusammensetzt.		Die Grafik zeigt das Spektrum des analytischen Signals  $s_+(t)$, das sich additiv aus den beiden Anteilen  $s_{1+}(t)$  und  $s_ {2+}(t)$  zusammensetzt.
Zeile 13:		Zeile 13:
	Unter der Sendeleistung  $P_{\rm S}$  soll hier der quadratische Mittelwert des Signals  $s(t)$  verstanden werden, gemittelt über eine möglichst große Messdauer:		Unter der Sendeleistung  $P_{\rm S}$  soll hier der quadratische Mittelwert des Signals  $s(t)$  verstanden werden, gemittelt über eine möglichst große Messdauer:
	:$$P_{\rm S} = \lim_{T_{\rm M} \rightarrow \infty}\hspace{0.1cm}\frac{1}{T_{\rm M}} \cdot \int_{0}^{ T_{\rm M}} {s^2(t) }\hspace{0.1cm}{\rm d}t \hspace{0.05cm}.$$		:$$P_{\rm S} = \lim_{T_{\rm M} \rightarrow \infty}\hspace{0.1cm}\frac{1}{T_{\rm M}} \cdot \int_{0}^{ T_{\rm M}} {s^2(t) }\hspace{0.1cm}{\rm d}t \hspace{0.05cm}.$$
	Beschreibt  $s(t)$  einen Spannungsverlauf, so besitzt  $P_{\rm S}$  nach dieser Definition die Einheit $\rm V^2$ und bezieht sich auf den Widerstand  $R = 1 \ \rm Ω$. Die Division durch  $R$  liefert die physikalische Leistung in $\rm W$.		Beschreibt  $s(t)$  einen Spannungsverlauf, so besitzt  $P_{\rm S}$  nach dieser Definition die Einheit  $\rm V^2$  und bezieht sich auf den Widerstand  $R = 1 \ \rm Ω$.  Die Division durch  $R$  liefert die physikalische Leistung in  $\rm W$.




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	$P_1 \ = \ $ { 2 3% } $\ \rm V^{ 2 }$		$P_1 \ = \ $ { 2 3% } $\ \rm V^{ 2 }$

	{Es gelte  $R = 50 \ \rm Ω$. Wie groß ist die physikalische Leistung des Signals  $s_1(t)$?		{Es gelte  $R = 50 \ \rm Ω$.  Wie groß ist die physikalische Leistung des Signals  $s_1(t)$?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$P_1 \ = \ $ { 40 3% } $\ \text{mW}$		$P_1 \ = \ $ { 40 3% } $\ \text{mW}$

← Nächstältere Version		Version vom 12. Dezember 2018, 16:44 Uhr
Zeile 65:		Zeile 65:
	:$$P_{\rm 1} = \frac{2\,{\rm V}^2}{50\,{\rm \Omega}} \hspace{0.15cm}\underline {= 40\,{\rm mW}}\hspace{0.05cm}.$$		:$$P_{\rm 1} = \frac{2\,{\rm V}^2}{50\,{\rm \Omega}} \hspace{0.15cm}\underline {= 40\,{\rm mW}}\hspace{0.05cm}.$$

	'''(3)'''  Bereits in der Musterlösung zur Teilaufgabe (1) wurde gezeigt, dass die Phase keinen Einfluss auf die Leistung hat. Daraus folgt:		'''(3)'''  Bereits in der Musterlösung zur Teilaufgabe '''(1)''' wurde gezeigt, dass die Phase keinen Einfluss auf die Leistung hat. Daraus folgt:
	:$$P_{\rm 2} = \frac{A_2^2}{2} \hspace{0.15cm}\underline {= 0.5\,{\rm V}^2}\hspace{0.05cm}.$$		:$$P_{\rm 2} = \frac{A_2^2}{2} \hspace{0.15cm}\underline {= 0.5\,{\rm V}^2}\hspace{0.05cm}.$$

	'''(4)'''  Zur Leistungsberechnung muss über $s^{2}(t)$ gemittelt werden, wobei gilt:		'''(4)'''  Zur Leistungsberechnung muss über $s^{2}(t)$ gemittelt werden, wobei gilt:
	:$$s^2(t) = s_1^2(t) + s_2^2(t) + 2 \cdot s_1(t) \cdot s_2(t).$$		:$$s^2(t) = s_1^2(t) + s_2^2(t) + 2 \cdot s_1(t) \cdot s_2(t).$$
	Aufgrund der Division durch die Messdauer $T_{\rm M}$ und des erforderlichen Grenzübergangs liefert der letzte Term unabhängig von der Phase $ϕ$ keinen Beitrag ~~und man erhält~~:		Aufgrund der Division durch die Messdauer $T_{\rm M}$ und des erforderlichen Grenzübergangs liefert der letzte Term unabhängig von der Phase $ϕ$ keinen Beitrag. Deshalb:
	:$$P_{\rm S} = P_{\rm 1} + P_{\rm 2} \hspace{0.15cm}\underline {= 2.5\,{\rm V}^2}\hspace{0.05cm}.$$		:$$P_{\rm S} = P_{\rm 1} + P_{\rm 2} \hspace{0.15cm}\underline {= 2.5\,{\rm V}^2}\hspace{0.05cm}.$$

Zeile 82:		Zeile 82:
	*Für $ϕ = 0$ addieren sich die Amplituden skalar:		*Für $ϕ = 0$ addieren sich die Amplituden skalar:
	:$$A_3 = \sqrt{ A_1^2 + A_2^2 + 2 \cdot A_1 \cdot A_2 } = A_1 + A_2 = 3\,{\rm V}\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} P_{\rm S} \hspace{0.15cm}\underline {= 4.5\,{\rm V}^2}\hspace{0.05cm}.$$		:$$A_3 = \sqrt{ A_1^2 + A_2^2 + 2 \cdot A_1 \cdot A_2 } = A_1 + A_2 = 3\,{\rm V}\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} P_{\rm S} \hspace{0.15cm}\underline {= 4.5\,{\rm V}^2}\hspace{0.05cm}.$$
	*Dagegen addieren sich die Amplituden für $ϕ = ~~90°~~$ vektoriell  ⇒   gleiches Ergebnis wie in der Teilaufgabe (4):		*Dagegen addieren sich die Amplituden für $ϕ = 90^\circ$ vektoriell  ⇒   gleiches Ergebnis wie in der Teilaufgabe '''(4)''':
	:$$ A_3 = \sqrt{ A_1^2 + A_2^2 } = \sqrt{5}\,{\rm V}\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} P_{\rm S} = \frac{5\,{\rm V}^2}{2}\hspace{0.15cm}\underline {= 2.5\,{\rm V}^2}\hspace{0.05cm}.$$		:$$ A_3 = \sqrt{ A_1^2 + A_2^2 } = \sqrt{5}\,{\rm V}\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} P_{\rm S} = \frac{5\,{\rm V}^2}{2}\hspace{0.15cm}\underline {= 2.5\,{\rm V}^2}\hspace{0.05cm}.$$
	*Für $ϕ = ~~180°~~$ überlagern sich die Cosinusschwingungen destruktiv:		*Für $ϕ = 180^\circ$ überlagern sich die Cosinusschwingungen destruktiv:
	:$$A_3 = A_1 - A_2 = 1\,{\rm V}\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} P_{\rm S} \hspace{0.15cm}\underline {= 0.5\,{\rm V}^2}\hspace{0.05cm}.$$		:$$A_3 = A_1 - A_2 = 1\,{\rm V}\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} P_{\rm S} \hspace{0.15cm}\underline {= 0.5\,{\rm V}^2}\hspace{0.05cm}.$$
	{{ML-Fuß}}		{{ML-Fuß}}