Aufgaben:Aufgabe 2.2Z: Galoisfeld GF(5) - Versionsgeschichte

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	[[Category:Aufgaben zu Kanalcodierung\|^2.1 Einige Grundlagen der Algebra^]]		[[Category:Aufgaben zu Kanalcodierung\|^2.1 Einige Grundlagen der Algebra^]]
			[[en:Aufgaben:Exercise_2.2Z:_Galois_Field_GF(5)]]

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	*Also erhält man als Endergebnis:		*Also erhält man als Endergebnis:
	:$$\rm a \hspace{0.15cm}\underline{= 3}\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}b \hspace{0.15cm}\underline{= 2}\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}		:$$\rm a \hspace{0.15cm}\underline{= 3}\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}b \hspace{0.15cm}\underline{= 2}\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}c \hspace{0.15cm}\underline{= 1}\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}d \hspace{0.15cm}\underline{= 0}\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}e \hspace{0.15cm}\underline{= 4}\hspace{0.05cm}.$$
	c \hspace{0.15cm}\underline{= 1}\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}d \hspace{0.15cm}\underline{= 0}\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}
	e \hspace{0.15cm}\underline{= 4}\hspace{0.05cm}.$$

	*Die Grafik zeigt die Additions– und die Multiplikationstabelle für diese Zahlenmenge.		*Die Grafik zeigt die Additions– und die Multiplikationstabelle für diese Zahlenmenge.
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	'''(7)'''  Bezüglich der primitiven Elemente erhält man		'''(7)'''  Bezüglich der primitiven Elemente erhält man
	:$$\rm a \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} 3 \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} a^2 = 9 \hspace{0.1cm}{\rm mod} \hspace{0.1cm} 5 = 4		:$$\rm a \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} 3 \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} a^2 = 9 \hspace{0.1cm}{\rm mod} \hspace{0.1cm} 5 = 4\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} a^3 = 27 \hspace{0.1cm}{\rm mod} \hspace{0.1cm} 5 = 2\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} a^4 = 81 \hspace{0.1cm}{\rm mod} \hspace{0.1cm} 5 = 1\hspace{0.13cm} \Rightarrow \hspace{0.13cm}{\rm primitiv}\hspace{0.05cm},$$
	\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} a^3 = 27 \hspace{0.1cm}{\rm mod} \hspace{0.1cm} 5 = 2\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} a^4 = 81 \hspace{0.1cm}{\rm mod} \hspace{0.1cm} 5 = 1\hspace{0.13cm} \Rightarrow \hspace{0.13cm}{\rm primitiv}\hspace{0.05cm},$$		:$$b \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} 2 \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} b^2 = 4 \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} b^3 = 8 \hspace{0.1cm}{\rm mod} \hspace{0.1cm} 5 = 3\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} b^4 = 16 \hspace{0.1cm}{\rm mod} \hspace{0.1cm} 5 = 1\hspace{0.13cm} \Rightarrow \hspace{0.13cm}{\rm primitiv}\hspace{0.05cm},$$
	:$$b \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} 2 \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} b^2 = 4		:$$e \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} 4 \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} e^2 = 16 \hspace{0.1cm}{\rm mod} \hspace{0.1cm} 5 = 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} e^3 = \hspace{0.05cm} ...\hspace{0.05cm}= 4\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} e^4 =\hspace{0.05cm} ...\hspace{0.05cm} = 1\hspace{0.13cm} \Rightarrow \hspace{0.13cm}{\rm nicht\hspace{0.15cm} primitiv}\hspace{0.05cm}.$$
	\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} b^3 = 8 \hspace{0.1cm}{\rm mod} \hspace{0.1cm} 5 = 3\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} b^4 = 16 \hspace{0.1cm}{\rm mod} \hspace{0.1cm} 5 = 1\hspace{0.13cm} \Rightarrow \hspace{0.13cm}{\rm primitiv}\hspace{0.05cm},$$
	:$$e \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} 4 \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} e^2 = 16 \hspace{0.1cm}{\rm mod} \hspace{0.1cm} 5 = 1
	\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} e^3 = \hspace{0.05cm} ...\hspace{0.05cm}= 4\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} e^4 =\hspace{0.05cm} ...\hspace{0.05cm} = 1\hspace{0.13cm} \Rightarrow \hspace{0.13cm}{\rm nicht\hspace{0.15cm} primitiv}\hspace{0.05cm}.$$

	*Von der Menge  $Z_5 = \{0, \, 1, \, 2, \, 3, \, 4\}$  sind  &bdquo;$2$”  und  &bdquo;$3$”  primitive Elemente   ⇒   <u>Lösungsvorschläge 1 und 2</u>.		*Von der Menge  $Z_5 = \{0, \, 1, \, 2, \, 3, \, 4\}$  sind  &bdquo;$2$”  und  &bdquo;$3$”  primitive Elemente   ⇒   <u>Lösungsvorschläge 1 und 2</u>.

Guenter am 28. August 2022 um 15:22 Uhr

2022-08-28T15:22:09Z

Änderungen zeigen

Guenter am 28. August 2022 um 15:04 Uhr

2022-08-28T15:04:28Z

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Zeile 1:		Zeile 1:
	{{quiz-Header\|Buchseite=Kanalcodierung/Einige Grundlagen der Algebra}}		{{quiz-Header\|Buchseite=Kanalcodierung/Einige Grundlagen der Algebra}}

	[[Datei:P_ID2494__KC_Z_2_2.png\|right\|frame\|Addition/Multiplikation für  $\{a, \, b, \, c, \, d, \, e\}$]]		[[Datei:P_ID2494__KC_Z_2_2.png\|right\|frame\|Addition/Multiplikation für  $\{\rm a, \, b, \, c, \, d, \, e\}$]]
	Wie in der  [[Aufgaben:2.2_Eigenschaften_von_Galoisfeldern\|Aufgabe 2.2]]  betrachten wir einen endlichen Körper der Ordnung  $q = 5$  und damit das Galoisfeld		Wie in der  [[Aufgaben:2.2_Eigenschaften_von_Galoisfeldern\|"Aufgabe 2.2"]]  betrachten wir einen endlichen Körper der Ordnung  $q = 5$  und damit das Galoisfeld
	:$${\rm GF}(5) = \{{a}, { b},{c},{d},{e}\}\hspace{0.05cm}.$$		:$$\rm GF(5) = \{{a}, { b},{c},{d},{e}\}\hspace{0.05cm}.$$

	Über die Elemente werden weiter keine Aussagen getroffen. Es können sowohl ganze Zahlen sein oder irgendwelche ~~mathematische~~ Ausdrücke.		Über die Elemente werden weiter keine Aussagen getroffen.  Es können sowohl ganze Zahlen sein oder irgendwelche mathematischen Ausdrücke.

	Das Galoisfeld wird ausschließlich bestimmt durch		Das Galoisfeld wird ausschließlich bestimmt durch
	* eine Additionstabelle modulo 5,		* eine Additionstabelle modulo 5,
	* eine Multiplikationstabelle modulo 5,
			* eine Multiplikationstabelle modulo 5.


	Die wichtigsten Eigenschaften eines Galoisfeldes sind auf der  [[Kanalcodierung/Einige_Grundlagen_der_Algebra#Definition_eines_Galoisfeldes\|ersten Theorieseite]]  zusammengestellt. Hier wird Bezug genommen auf		Die wichtigsten Eigenschaften eines Galoisfeldes sind auf der  [[Kanalcodierung/Einige_Grundlagen_der_Algebra#Definition_eines_Galoisfeldes\|ersten Theorieseite]]  zusammengestellt. Hier wird Bezug genommen auf
	* das Kommutativ– und das Distributivgesetz,		* das Kommutativ– und das Distributivgesetz,

	* die neutralen Elemente von Addition und Multiplikation,		* die neutralen Elemente von Addition und Multiplikation,

	* die inversen Elemente von Addition und Multiplikation, sowie		* die inversen Elemente von Addition und Multiplikation, sowie

	* die Bestimmung primitiver Elemente.		* die Bestimmung primitiver Elemente.


	Im vorliegenden Beispiel wäre  $\beta$  ein primitives Element, wenn  $\beta^2, \ \beta^3$  und  $\beta^4$  (allgemein:  $\beta^{q-1})$  die übrigen Elemente des Galoisfeldes  $\rm GF(5)$  mit Ausnahme des Nullelementes ergeben.		Im vorliegenden Beispiel wäre  $\beta$  ein primitives Element,  wenn  $\beta^2, \ \beta^3$  und  $\beta^4$  $($allgemein:  $\beta^{q-1})$  die übrigen Elemente des Galoisfeldes  $\rm GF(5)$  mit Ausnahme des Nullelementes ergeben.





			Hinweis:  Die Aufgabe bezieht ich auf das Kapitel  [[Kanalcodierung/Einige_Grundlagen_der_Algebra\| "Einige Grundlagen der Algebra"]].

	~~''Hinweise:''~~
	* Die Aufgabe bezieht ich auf das Themengebiet des Kapitels  [[Kanalcodierung/Einige_Grundlagen_der_Algebra\| Einige Grundlagen der Algebra]].
	* Lassen Sie sich bitte nicht verwirren, dass im Text die Menge  $ \{{a}, { b},{c},{d},{e}\}$  verwendet wird und in den Tabellen  $ \rm \{{a}, { b},{c},{d},{e}\}$. Entschuldigung!


Zeile 36:		Zeile 36:
	{Bestimmen Sie das neutrale Element der Addition.		{Bestimmen Sie das neutrale Element der Addition.
	\|type="()"}		\|type="()"}
	- $N_{\rm A} = a$,		- $N_{\rm A} = \rm a$,
	- $N_{\rm A} = b$,		- $N_{\rm A} = \rm b$,
	- $N_{\rm A} = c$,		- $N_{\rm A} = \rm c$,
	+ $N_{\rm A} = d$,		+ $N_{\rm A} = \rm d$,
	- $N_{\rm A} = e$.		- $N_{\rm A} = \rm e$.

	{Bestimmen Sie das neutrale Element der Multiplikation.		{Bestimmen Sie das neutrale Element der Multiplikation.
	\|type="()"}		\|type="()"}
	- $N_{\rm M} = a$,		- $N_{\rm M} = \rm a$,
	- $N_{\rm M} = b$,		- $N_{\rm M} = \rm b$,
	+ $N_{\rm M} = c$,		+ $N_{\rm M} = \rm c$,
	- $N_{\rm M} = d$,		- $N_{\rm M} = \rm d$,
	- $N_{\rm M} = e$.		- $N_{\rm M} = \rm e$.

	{Ist das Kommutativgesetz erfüllt,		{Ist das Kommutativgesetz erfüllt,
	\|type="[]"}		\|type="[]"}
	+ hinsichtlich Addition, zum Beispiel  $a + b = b + a, \hspace{0.05cm}\text{ ...} \hspace{0.1cm}, \ d + e = e + d$,		+ hinsichtlich Addition,  zum Beispiel  $\rm a + b = b + a, \hspace{0.05cm}\text{ ...} \hspace{0.1cm}, \ d + e = e + d$,
	+ hinsichtlich Multiplikation, zum Beispiel  $a \cdot b = b \cdot a, \hspace{0.05cm}\text{ ...} \hspace{0.1cm}, \ d \cdot e = e \cdot d$.		+ hinsichtlich Multiplikation,  zum Beispiel  $\rm a \cdot b = b \cdot a, \hspace{0.05cm}\text{ ...} \hspace{0.1cm}, \ d \cdot e = e \cdot d$.

	{Für welche Ausdrücke ist das Distributivgesetz erfüllt?		{Für welche Ausdrücke ist das Distributivgesetz erfüllt?
	\|type="[]"}		\|type="[]"}
	+ $a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$,		+ $\rm a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$,
	+ $d \cdot (b + c) = d \cdot b + d \cdot c$,		+ $\rm d \cdot (b + c) = d \cdot b + d \cdot c$,
	+ $e \cdot (a + b) = e \cdot a + e \cdot b$.		+ $\rm e \cdot (a + b) = e \cdot a + e \cdot b$.

	{Ersetzen Sie  $a, \ b, \ c, \ d, \ e$  durch Elemente der Zahlenmenge  $\{0, \, 1, \, 2, \, 3, \, 4\}$, so dass sich gleiche Operationstabellen ergeben.		{Ersetzen Sie  $\rm a, \ b, \ c, \ d, \ e$  durch Elemente der Zahlenmenge  $\{0, \, 1, \, 2, \, 3, \, 4\}$,  so dass sich gleiche Operationstabellen ergeben.
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$a \hspace{0.~~2cm~~} = \ ${ 3 }		$\rm a \hspace{0.15cm} = \ ${ 3 }
	$b \hspace{0.~~25cm~~} = \ ${ 2 }		$\rm b \hspace{0.15cm} = \ ${ 2 }
	$c \hspace{0.~~25cm~~} = \ ${ 1 }		$\rm c \hspace{0.15cm} = \ ${ 1 }
	$d \hspace{0.~~2cm~~} = \ ${ 0. }		$d \hspace{0.15cm} = \ ${ 0. }
	$e \hspace{0.~~2cm~~} = \ ${ 4 }		$e \hspace{0.15cm} = \ ${ 4 }

	{Welche Aussagen gelten hinsichtlich der inversen Elemente?		{Welche Aussagen gelten hinsichtlich der inversen Elemente?
Zeile 78:		Zeile 78:
	{Welche der Elemente sind primitiv?		{Welche der Elemente sind primitiv?
	\|type="[]"}		\|type="[]"}
	+ $a = 3$.		+ $\rm a = 3$.
	+ $b = 2$,		+ $\rm b = 2$,
	- $e = 4$.		- $\rm e = 4$.
	</quiz>		</quiz>

Guenter am 16. Mai 2019 um 15:34 Uhr

2019-05-16T15:34:55Z

Guenter am 16. Mai 2019 um 15:23 Uhr

2019-05-16T15:23:49Z

← Nächstältere Version		Version vom 16. Mai 2019, 17:23 Uhr
Zeile 1:		Zeile 1:
	{{quiz-Header\|Buchseite=Kanalcodierung/Einige Grundlagen der Algebra}}		{{quiz-Header\|Buchseite=Kanalcodierung/Einige Grundlagen der Algebra}}

	[[Datei:P_ID2494__KC_Z_2_2.png\|right\|frame\|~~Tabelle zur~~ Addition ~~und~~ Multiplikation für $\{a, \, b, \, c, \, d, \, e\}$]]		[[Datei:P_ID2494__KC_Z_2_2.png\|right\|frame\|Addition/Multiplikation für  $\{a, \, b, \, c, \, d, \, e\}$]]
	Wie in der [[Aufgaben:2.2_Eigenschaften_von_Galoisfeldern\|Aufgabe 2.2]] betrachten wir einen endlichen Körper der Ordnung $q = 5$ und damit das Galoisfeld		Wie in der  [[Aufgaben:2.2_Eigenschaften_von_Galoisfeldern\|Aufgabe 2.2]]  betrachten wir einen endlichen Körper der Ordnung  $q = 5$  und damit das Galoisfeld
	:$${\rm GF}(5) = \{{a}, { b},{c},{d},{e}\}\hspace{0.05cm}.$$		:$${\rm GF}(5) = \{{a}, { b},{c},{d},{e}\}\hspace{0.05cm}.$$

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	Die wichtigsten Eigenschaften eines Galoisfeldes sind auf der [[Kanalcodierung/Einige_Grundlagen_der_Algebra#Definition_eines_Galoisfeldes\|ersten Theorieseite]] zusammengestellt. ~~In dieser Aufgabe~~ wird Bezug genommen auf		Die wichtigsten Eigenschaften eines Galoisfeldes sind auf der  [[Kanalcodierung/Einige_Grundlagen_der_Algebra#Definition_eines_Galoisfeldes\|ersten Theorieseite]]  zusammengestellt. Hier wird Bezug genommen auf
	* das Kommutativ– und das Distributivgesetz,		* das Kommutativ– und das Distributivgesetz,
	* die neutralen Elemente von Addition und Multiplikation,		* die neutralen Elemente von Addition und Multiplikation,
Zeile 19:		Zeile 19:


	Im vorliegenden Beispiel wäre $\beta$ ein primitives Element, wenn $\beta^2, \ \beta^3$ und $\beta^4$ (allgemein: $\beta^{q-1})$ die übrigen Elemente des Galoisfeldes $\rm GF(5)$ mit Ausnahme des Nullelementes ergeben.		Im vorliegenden Beispiel wäre  $\beta$  ein primitives Element, wenn  $\beta^2, \ \beta^3$  und  $\beta^4$  (allgemein:  $\beta^{q-1})$  die übrigen Elemente des Galoisfeldes  $\rm GF(5)$  mit Ausnahme des Nullelementes ergeben.




Zeile 25:		Zeile 27:

	''Hinweise:''		''Hinweise:''
	* Die Aufgabe bezieht ich auf das Themengebiet des Kapitels [[Kanalcodierung/Einige_Grundlagen_der_Algebra\| Einige Grundlagen der Algebra]].		* Die Aufgabe bezieht ich auf das Themengebiet des Kapitels  [[Kanalcodierung/Einige_Grundlagen_der_Algebra\| Einige Grundlagen der Algebra]].
			* Lassen Sie sich bitte nicht verwirren, dass im Text die Menge  $ \{{a}, { b},{c},{d},{e}\}$  verwendet wird und in den Tabellen  $ \rm \{{a}, { b},{c},{d},{e}\}$. Entschuldigung!


Zeile 32:		Zeile 35:
	<quiz display=simple>		<quiz display=simple>
	{Bestimmen Sie das neutrale Element der Addition.		{Bestimmen Sie das neutrale Element der Addition.
	\|type="[]"}		\|type="()"}
	- $N_{\rm A} = a$,		- $N_{\rm A} = a$,
	- $N_{\rm A} = b$,		- $N_{\rm A} = b$,
Zeile 39:		Zeile 42:
	- $N_{\rm A} = e$.		- $N_{\rm A} = e$.

	{Bestimmen Sie das neutrale Element der ~~Multiplikations~~		{Bestimmen Sie das neutrale Element der Multiplikation.
	\|type="[]"}		\|type="()"}
	- $N_{\rm M} = a$,		- $N_{\rm M} = a$,
	- $N_{\rm M} = b$,		- $N_{\rm M} = b$,
Zeile 49:		Zeile 52:
	{Ist das Kommutativgesetz erfüllt,		{Ist das Kommutativgesetz erfüllt,
	\|type="[]"}		\|type="[]"}
	+ hinsichtlich Addition, zum Beispiel $a + b = b + a, \hspace{0.05cm}\text{ ...} \hspace{0.1cm}, \ d + e = e + d$,		+ hinsichtlich Addition, zum Beispiel  $a + b = b + a, \hspace{0.05cm}\text{ ...} \hspace{0.1cm}, \ d + e = e + d$,
	+ ~~hinstichtlich~~ Multiplikation, zum Beispiel $a \cdot b = b \cdot a, \hspace{0.05cm}\text{ ...} \hspace{0.1cm}, \ d \cdot e = e \cdot d$.		+ hinsichtlich Multiplikation, zum Beispiel  $a \cdot b = b \cdot a, \hspace{0.05cm}\text{ ...} \hspace{0.1cm}, \ d \cdot e = e \cdot d$.

	{Für welche Ausdrücke ist das Distributivgesetz erfüllt?		{Für welche Ausdrücke ist das Distributivgesetz erfüllt?
Zeile 58:		Zeile 61:
	+ $e \cdot (a + b) = e \cdot a + e \cdot b$.		+ $e \cdot (a + b) = e \cdot a + e \cdot b$.

	{Ersetzen Sie $a, \ b, \ c, \ d, \ e$ durch Elemente der Zahlenmenge $\{0, \, 1, \, 2, \, 3, \, 4\}$, so dass sich gleiche Operationstabellen ergeben.		{Ersetzen Sie  $a, \ b, \ c, \ d, \ e$  durch Elemente der Zahlenmenge  $\{0, \, 1, \, 2, \, 3, \, 4\}$, so dass sich gleiche Operationstabellen ergeben.
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$a \hspace{0.2cm} = \ ${ 3 }		$a \hspace{0.2cm} = \ ${ 3 }
Zeile 68:		Zeile 71:
	{Welche Aussagen gelten hinsichtlich der inversen Elemente?		{Welche Aussagen gelten hinsichtlich der inversen Elemente?
	\|type="[]"}		\|type="[]"}
	+ Für alle $z_i ∈ \{0, \, 1, \, 2, \, 3, \, 4\}$ gibt es eine additive Inverse.		+ Für alle  $z_i ∈ \{0, \, 1, \, 2, \, 3, \, 4\}$  gibt es eine additive Inverse.
	- Nur für $z_i ∈ \{1, \, 2, \, 3, \, 4\}$ gibt es eine additive Inverse.		- Nur für  $z_i ∈ \{1, \, 2, \, 3, \, 4\}$  gibt es eine additive Inverse.
	- Für alle $z_i ∈ \{0, \, 1, \, 2, \, 3, \, 4\}$ gibt es eine multiplikative Inverse.		- Für alle  $z_i ∈ \{0, \, 1, \, 2, \, 3, \, 4\}$  gibt es eine multiplikative Inverse.
	+ Nur für $z_i ∈ \{1, \, 2, \, 3, \, 4\}$ gibt es eine multiplikative Inverse.		+ Nur für  $z_i ∈ \{1, \, 2, \, 3, \, 4\}$  gibt es eine multiplikative Inverse.

	{Welche der Elemente sind primitiv?		{Welche der Elemente sind primitiv?

Tasnad: Textersetzung - „* Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein. “ durch „“

2018-05-29T11:32:15Z

Textersetzung - „* Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein. “ durch „“

← Nächstältere Version		Version vom 29. Mai 2018, 13:32 Uhr
Zeile 26:		Zeile 26:
	''Hinweise:''		''Hinweise:''
	* Die Aufgabe bezieht ich auf das Themengebiet des Kapitels [[Kanalcodierung/Einige_Grundlagen_der_Algebra\| Einige Grundlagen der Algebra]].		* Die Aufgabe bezieht ich auf das Themengebiet des Kapitels [[Kanalcodierung/Einige_Grundlagen_der_Algebra\| Einige Grundlagen der Algebra]].
	* Sollte die Eingabe des Zahlenwertes &bdquo;0” erforderlich sein, so geben Sie bitte &bdquo;0.” ein.

Guenter am 7. Januar 2018 um 17:16 Uhr

2018-01-07T17:16:26Z

← Nächstältere Version		Version vom 7. Januar 2018, 19:16 Uhr
Zeile 134:		Zeile 134:
	*Man erkennt in der Additionstabelle in jeder Zeile und Spalte genau ein $d = 0$. Das heißt: Für alle $z_i ∈ \{0, \, 1, \, 2, \, 3, \, 4\}$ existiert eine eindeutige additive Inverse.		*Man erkennt in der Additionstabelle in jeder Zeile und Spalte genau ein $d = 0$. Das heißt: Für alle $z_i ∈ \{0, \, 1, \, 2, \, 3, \, 4\}$ existiert eine eindeutige additive Inverse.

	*Die multiplikative Inverse erkennt man in der Multiplikationstabelle durch den Eintrag $c = 1$. Die multiplikativen Inversen lauten wie folgt:		Die multiplikative Inverse erkennt man in der Multiplikationstabelle durch den Eintrag $c = 1$. Die multiplikativen Inversen lauten wie folgt:
	:$${\rm Zeile \hspace{0.15cm}1\text{:}}\hspace{0.25cm} {\rm Inv_M}(a=3) \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} b = 2 \hspace{0.05cm},$$		:$${\rm Zeile \hspace{0.15cm}1\text{:}}\hspace{0.25cm} {\rm Inv_M}(a=3) \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} b = 2 \hspace{0.05cm},$$
	:$${\rm Zeile\hspace{0.15cm} 2\text{:}}\hspace{0.25cm} {\rm Inv_M}(b=2) \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} a=3 \hspace{0.05cm},$$		:$${\rm Zeile\hspace{0.15cm} 2\text{:}}\hspace{0.25cm} {\rm Inv_M}(b=2) \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} a=3 \hspace{0.05cm},$$

Guenter am 7. Januar 2018 um 17:13 Uhr

2018-01-07T17:13:49Z

Guenter am 7. Januar 2018 um 16:54 Uhr

2018-01-07T16:54:25Z

← Nächstältere Version		Version vom 7. Januar 2018, 18:54 Uhr
Zeile 1:		Zeile 1:
	{{quiz-Header\|Buchseite=Kanalcodierung/Einige Grundlagen der Algebra}}		{{quiz-Header\|Buchseite=Kanalcodierung/Einige Grundlagen der Algebra}}

	[[Datei:P_ID2494__KC_Z_2_2.png\|right\|frame\|~~Additions–~~ und ~~Multiplikationstabelle~~ für $\{a, \, b, \, c, \, d, \, e\}$]]		[[Datei:P_ID2494__KC_Z_2_2.png\|right\|frame\|Tabelle zur Addition und Multiplikation für $\{a, \, b, \, c, \, d, \, e\}$]]
	Wie in [[Aufgaben:2.2_Eigenschaften_von_Galoisfeldern\|Aufgabe A2.2]] betrachten wir einen endlichen Körper der Ordnung $q = 5$ und damit das Galoisfeld		Wie in der [[Aufgaben:2.2_Eigenschaften_von_Galoisfeldern\|Aufgabe 2.2]] betrachten wir einen endlichen Körper der Ordnung $q = 5$ und damit das Galoisfeld
	:$${\rm GF}(5) = \{{a}, { b},{c},{d},{e}\}\hspace{0.05cm}.$$		:$${\rm GF}(5) = \{{a}, { b},{c},{d},{e}\}\hspace{0.05cm}.$$

	Über die Elemente werden weiter keine Aussagen getroffen. Es können sowohl ganze Zahlen sein oder irgendwelche mathematische Ausdrücke. Das Galoisfeld wird ausschließlich bestimmt durch		Über die Elemente werden weiter keine Aussagen getroffen. Es können sowohl ganze Zahlen sein oder irgendwelche mathematische Ausdrücke.

			Das Galoisfeld wird ausschließlich bestimmt durch
	* eine Additionstabelle modulo 5,		* eine Additionstabelle modulo 5,
	* eine Multiplikationstabelle modulo 5,		* eine Multiplikationstabelle modulo 5,


	Die wichtigsten Eigenschaften eines Galoisfeldes sind auf [[Kanalcodierung/Einige_Grundlagen_der_Algebra#Definition_eines_Galoisfeldes\|Theorieseite 1]] zusammengestellt. In dieser Aufgabe wird Bezug genommen auf		Die wichtigsten Eigenschaften eines Galoisfeldes sind auf der [[Kanalcodierung/Einige_Grundlagen_der_Algebra#Definition_eines_Galoisfeldes\|ersten Theorieseite]] zusammengestellt. In dieser Aufgabe wird Bezug genommen auf
	* das Kommutativ– und das Distributivgesetz,		* das Kommutativ– und das Distributivgesetz,
	* die neutralen Elemente von Addition und Multiplikation,		* die neutralen Elemente von Addition und Multiplikation,
Zeile 18:		Zeile 20:

	Im vorliegenden Beispiel wäre $\beta$ ein primitives Element, wenn $\beta^2, \ \beta^3$ und $\beta^4$ (allgemein: $\beta^{q-1})$ die übrigen Elemente des Galoisfeldes $\rm GF(5)$ mit Ausnahme des Nullelementes ergeben.		Im vorliegenden Beispiel wäre $\beta$ ein primitives Element, wenn $\beta^2, \ \beta^3$ und $\beta^4$ (allgemein: $\beta^{q-1})$ die übrigen Elemente des Galoisfeldes $\rm GF(5)$ mit Ausnahme des Nullelementes ergeben.




	''Hinweise:''		''Hinweise:''
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	{Ist das Kommutativgesetz erfüllt,		{Ist das Kommutativgesetz erfüllt,
	\|type="[]"}		\|type="[]"}
	+ hinsichtlich Addition, ~~z.B.~~ $a + b = b + a, \ ... \ , \ d + e = e + d$,		+ hinsichtlich Addition, zum Beispiel $a + b = b + a, \hspace{0.05cm}\text{ ...} \hspace{0.1cm}, d + e = e + d$,
	+ hinstichtlich Multiplikation, ~~z.B.~~ $a \cdot b = b \cdot a, \ ... \ , \ d \cdot e = e \cdot d$.		+ hinstichtlich Multiplikation, zum Beispiel $a \cdot b = b \cdot a, \hspace{0.05cm}\text{ ...} \hspace{0.1cm}, d \cdot e = e \cdot d$.

	{Für welche Ausdrücke ist das Distributivgesetz erfüllt?		{Für welche Ausdrücke ist das Distributivgesetz erfüllt?
Zeile 56:		Zeile 61:
	{Ersetzen Sie $a, \ b, \ c, \ d, \ e$ durch Elemente der Zahlenmenge $\{0, \, 1, \, 2, \, 3, \, 4\}$, so dass sich gleiche Operationstabellen ergeben.		{Ersetzen Sie $a, \ b, \ c, \ d, \ e$ durch Elemente der Zahlenmenge $\{0, \, 1, \, 2, \, 3, \, 4\}$, so dass sich gleiche Operationstabellen ergeben.
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$a \ = \ ${ 3 3% }		$a \hspace{0.2cm} = \ ${ 3 }
	$b \ = \ ${ 2 3% }		$b \hspace{0.25cm} = \ ${ 2 }
	$c \ = \ ${ 1 3% }		$c \hspace{0.25cm} = \ ${ 1 }
	$d \ = \ ${ 0 3% }		$d \hspace{0.2cm} = \ ${ 0. }
	$e \ = \ ${ 4 3% }		$e \hspace{0.2cm} = \ ${ 4 }

	{Welche Aussagen gelten ~~hnsichtlich~~ der inversen Elemente?		{Welche Aussagen gelten hinsichtlich der inversen Elemente?
	\|type="[]"}		\|type="[]"}
	+ Für alle $z_i ∈ \{0, \, 1, \, 2, \, 3, \, 4\}$ gibt es eine additive Inverse.		+ Für alle $z_i ∈ \{0, \, 1, \, 2, \, 3, \, 4\}$ gibt es eine additive Inverse.

← Nächstältere Version		Version vom 16. Mai 2019, 17:34 Uhr
Zeile 89:		Zeile 89:

	Aus der Additionstabelle folgt $N_{\rm A} \ \underline{= d}$.		Aus der Additionstabelle folgt $N_{\rm A} \ \underline{= d}$.



Zeile 95:		Zeile 96:

	Aus der Multiplikationstabelle erkennt man $N_{\rm M} \ \underline{= c}$.		Aus der Multiplikationstabelle erkennt man $N_{\rm M} \ \underline{= c}$.



	'''(3)'''  Das Kommutativgesetz ist bei diesem Galoisfeld in <u>beiden Fällen</u> (Addition und Multiplikation) erfüllt, da Additionstabelle und Multiplikationstabelle jeweils symmetrisch zur Tabellendiagonalen sind.		'''(3)'''  Das Kommutativgesetz ist bei diesem Galoisfeld in <u>beiden Fällen</u> (Addition und Multiplikation) erfüllt, da Additionstabelle und Multiplikationstabelle jeweils symmetrisch zur Tabellendiagonalen sind.



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	~~'''(5)''' ~~ [[Datei:P_ID2495__KC_Z_2_2e.png\|right\|frame\|Umgewandelte ~~Additions– und Multiplikationstabellen~~]] Das Nullelement $N_{\rm A} = d$ wird zu $N_{\rm A} = 0 \Rightarrow d = 0$, das Einselelement $N_{\rm M} = c$ zu $N_{\rm M} = 1 \Rightarrow c = 1$. Die weiteren Elemente $a, \ b$ und $e$ können modulo $5$ aus der Additionstabelle oder der Multiplikationstabelle bestimmt werden. Zum Beispiel folgt aus der ersten Zeile der Additionstabelle
			[[Datei:P_ID2495__KC_Z_2_2e.png\|right\|frame\|Umgewandelte Operationstabellen]]
			'''(5)'''
			Das Nullelement  $N_{\rm A} = d$  wird zu  $N_{\rm A} = 0 \Rightarrow d = 0$, das Einselelement  $N_{\rm M} = c$  zu $N_{\rm M} = 1 \Rightarrow c = 1$. Die weiteren Elemente  $a, \ b$  und  $e$  können modulo  $5$  aus der Additionstabelle oder der Multiplikationstabelle bestimmt werden. Zum Beispiel folgt aus der ersten Zeile der Additionstabelle
	:$$(a + b) \hspace{0.1cm}{\rm mod} \hspace{0.1cm} 5 = d = 0 \hspace{0.05cm}.$$		:$$(a + b) \hspace{0.1cm}{\rm mod} \hspace{0.1cm} 5 = d = 0 \hspace{0.05cm}.$$

	Da sowohl $a$ als auch $b$ nicht $0$ oder $1$ sein können (da diese bereits für $c$ und $d$ vergeben sind), ergibt sich als Folgerung:		Da sowohl  $a$  als auch  $b$  nicht  $0$  oder  $1$  sein können (da diese bereits für  $c$  und  $d$  vergeben sind), ergibt sich als Folgerung:
	:$$a = 2, \hspace{0.1cm} b = 3 \hspace{0.5cm}{\rm oder}\hspace{0.5cm} a = 3, \hspace{0.1cm} b = 2\hspace{0.05cm}.$$		:$$a = 2, \hspace{0.1cm} b = 3 \hspace{0.5cm}{\rm oder}\hspace{0.5cm} a = 3, \hspace{0.1cm} b = 2\hspace{0.05cm}.$$

Zeile 125:		Zeile 131:
	:$$(b + b) \hspace{0.1cm}{\rm mod} \hspace{0.1cm} 5 = e \hspace{0.05cm}.$$		:$$(b + b) \hspace{0.1cm}{\rm mod} \hspace{0.1cm} 5 = e \hspace{0.05cm}.$$

	Aus $b = 3$ ergäbe sich $e = 1$. Dies ist aber wiederum nicht möglich, da bereits $c = 1$ festgelegt wurde. Also erhält man als Endergebnis:		Aus  $b = 3$  ergäbe sich  $e = 1$. Dies ist aber wiederum nicht möglich, da bereits  $c = 1$  festgelegt wurde.

			Also erhält man als Endergebnis:
	:$$a \hspace{0.15cm}\underline{= 3}\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}b \hspace{0.15cm}\underline{= 2}\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}		:$$a \hspace{0.15cm}\underline{= 3}\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}b \hspace{0.15cm}\underline{= 2}\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}
	c \hspace{0.15cm}\underline{= 1}\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}d \hspace{0.15cm}\underline{= 0}\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}		c \hspace{0.15cm}\underline{= 1}\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}d \hspace{0.15cm}\underline{= 0}\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}
	e \hspace{0.15cm}\underline{= 4}\hspace{0.05cm}.$$		e \hspace{0.15cm}\underline{= 4}\hspace{0.05cm}.$$

	Die Grafik zeigt die Additions– und die Multiplikationstabelle für diese Zahlenmenge:		Die Grafik zeigt die Additions– und die Multiplikationstabelle für diese Zahlenmenge.



	'''(6)'''  Zutreffend sind die <u>Aussagen 1 und 4</u>:		'''(6)'''  Zutreffend sind die <u>Aussagen 1 und 4</u>:
	*Man erkennt in der Additionstabelle in jeder Zeile und Spalte genau ein $d = 0$. Das heißt: Für alle $z_i ∈ \{0, \, 1, \, 2, \, 3, \, 4\}$ existiert eine eindeutige additive Inverse.		*Man erkennt in der Additionstabelle in jeder Zeile und Spalte genau ein  $d = 0$. Das heißt:   Für alle  $z_i ∈ \{0, \, 1, \, 2, \, 3, \, 4\}$  existiert eine eindeutige additive Inverse.

	Die multiplikative Inverse erkennt man in der Multiplikationstabelle durch den Eintrag $c = 1$. Die multiplikativen Inversen lauten wie folgt:		Die multiplikative Inverse erkennt man in der Multiplikationstabelle durch den Eintrag  $c = 1$. Die multiplikativen Inversen lauten wie folgt:
	:$${\rm Zeile \hspace{0.15cm}1\text{:}}\hspace{0.25cm} {\rm Inv_M}(a=3) \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} b = 2 \hspace{0.05cm},$$		:$${\rm Zeile \hspace{0.15cm}1\text{:}}\hspace{0.25cm} {\rm Inv_M}(a=3) \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} b = 2 \hspace{0.05cm},$$
	:$${\rm Zeile\hspace{0.15cm} 2\text{:}}\hspace{0.25cm} {\rm Inv_M}(b=2) \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} a=3 \hspace{0.05cm},$$		:$${\rm Zeile\hspace{0.15cm} 2\text{:}}\hspace{0.25cm} {\rm Inv_M}(b=2) \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} a=3 \hspace{0.05cm},$$
Zeile 142:		Zeile 151:
	:$${\rm Zeile\hspace{0.15cm} 5\text{:}}\hspace{0.25cm} {\rm Inv_M}(e=4) \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} e=4 \hspace{0.05cm}.$$		:$${\rm Zeile\hspace{0.15cm} 5\text{:}}\hspace{0.25cm} {\rm Inv_M}(e=4) \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} e=4 \hspace{0.05cm}.$$

	Für das Nullelement $d = 0$ existiert dagegen keine multiplikative Inverse.		Für das Nullelement  $d = 0$  existiert dagegen keine multiplikative Inverse.

← Nächstältere Version		Version vom 7. Januar 2018, 19:13 Uhr
Zeile 50:		Zeile 50:
	{Ist das Kommutativgesetz erfüllt,		{Ist das Kommutativgesetz erfüllt,
	\|type="[]"}		\|type="[]"}
	+ hinsichtlich Addition, zum Beispiel $a + b = b + a, \hspace{0.05cm}\text{ ...} \hspace{0.1cm}, d + e = e + d$,		+ hinsichtlich Addition, zum Beispiel $a + b = b + a, \hspace{0.05cm}\text{ ...} \hspace{0.1cm}, \ d + e = e + d$,
	+ hinstichtlich Multiplikation, zum Beispiel $a \cdot b = b \cdot a, \hspace{0.05cm}\text{ ...} \hspace{0.1cm}, d \cdot e = e \cdot d$.		+ hinstichtlich Multiplikation, zum Beispiel $a \cdot b = b \cdot a, \hspace{0.05cm}\text{ ...} \hspace{0.1cm}, \ d \cdot e = e \cdot d$.

	{Für welche Ausdrücke ist das Distributivgesetz erfüllt?		{Für welche Ausdrücke ist das Distributivgesetz erfüllt?
Zeile 83:		Zeile 83:
	===Musterlösung===		===Musterlösung===
	{{ML-Kopf}}		{{ML-Kopf}}
	'''(1)'''  Das neutrale Element hinsichtlich Addition (genannt $N_{\rm A}$) muss für alle Elemente $z_i (i = 0, \ ... \ , \ q-1)$ die folgende Gleichung erfüllen:		'''(1)'''  Das neutrale Element hinsichtlich Addition (genannt $N_{\rm A}$) muss für alle Elemente $z_i (i = 0, \hspace{0.05cm}\text{ ...} \hspace{0.1cm} , \ q-1)$ die folgende Gleichung erfüllen:
	:$$z_i + N_{\rm A} = N_{\rm A} + z_i = z_i\hspace{0.05cm}.$$		:$$z_i + N_{\rm A} = N_{\rm A} + z_i = z_i\hspace{0.05cm}.$$

Zeile 89:		Zeile 89:


	'''(2)'''  Dagegen erfüllt das neutrale Element der Multiplikation $(N_{\rm M})$ für alle Elemente $z_i (i = 1, \ ... \ , \ q-1)$ die folgende Bedingung:		'''(2)'''  Dagegen erfüllt das neutrale Element der Multiplikation $(N_{\rm M})$ für alle Elemente $z_i (i = 1,\hspace{0.05cm}\text{ ...} \hspace{0.1cm} , \ q-1)$ die folgende Bedingung:
	:$$z_i \cdot N_{\rm M} = N_{\rm M}\cdot z_i = z_i\hspace{0.05cm}.$$		:$$z_i \cdot N_{\rm M} = N_{\rm M}\cdot z_i = z_i\hspace{0.05cm}.$$

Zeile 131:		Zeile 131:


	'''(6)'''  Zutreffend sind die <u>Aussagen 1 und 4</u>. Man erkennt in der Additionstabelle in jeder Zeile und Spalte genau ein $d = 0$. Das heißt: Für alle $z_i ∈ \{0, \, 1, \, 2, \, 3, \, 4\}$ existiert eine eindeutige additive Inverse.		'''(6)'''  Zutreffend sind die <u>Aussagen 1 und 4</u>:
			*Man erkennt in der Additionstabelle in jeder Zeile und Spalte genau ein $d = 0$. Das heißt: Für alle $z_i ∈ \{0, \, 1, \, 2, \, 3, \, 4\}$ existiert eine eindeutige additive Inverse.

	Die multiplikative Inverse erkennt man in der Multiplikationstabelle durch den Eintrag $c = 1$. Die multiplikativen Inversen lauten wie folgt:		*Die multiplikative Inverse erkennt man in der Multiplikationstabelle durch den Eintrag $c = 1$. Die multiplikativen Inversen lauten wie folgt:
	:$${\rm Zeile \hspace{0.15cm}1:}\hspace{0.25cm} {\rm Inv_M}(a=3) \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} b = 2 \hspace{0.05cm},$$		:$${\rm Zeile \hspace{0.15cm}1\text{:}}\hspace{0.25cm} {\rm Inv_M}(a=3) \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} b = 2 \hspace{0.05cm},$$
	:$${\rm Zeile\hspace{0.15cm} 2:}\hspace{0.25cm} {\rm Inv_M}(b=2) \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} a=3 \hspace{0.05cm},$$		:$${\rm Zeile\hspace{0.15cm} 2\text{:}}\hspace{0.25cm} {\rm Inv_M}(b=2) \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} a=3 \hspace{0.05cm},$$
	:$${\rm Zeile\hspace{0.15cm} 3:}\hspace{0.25cm} {\rm Inv_M}(c=1) \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} c=1 \hspace{0.05cm},$$		:$${\rm Zeile\hspace{0.15cm} 3\text{:}}\hspace{0.25cm} {\rm Inv_M}(c=1) \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} c=1 \hspace{0.05cm},$$
	:$${\rm Zeile\hspace{0.15cm} 5:}\hspace{0.25cm} {\rm Inv_M}(e=4) \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} e=4 \hspace{0.05cm}.$$		:$${\rm Zeile\hspace{0.15cm} 5\text{:}}\hspace{0.25cm} {\rm Inv_M}(e=4) \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} e=4 \hspace{0.05cm}.$$

	Für das Nullelement $d = 0$ existiert dagegen keine multiplikative Inverse.		Für das Nullelement $d = 0$ existiert dagegen keine multiplikative Inverse.
Zeile 150:		Zeile 151:
	\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} e^3 = \hspace{0.05cm} ...\hspace{0.05cm}= 4\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} e^4 =\hspace{0.05cm} ...\hspace{0.05cm} = 1\hspace{0.13cm} \Rightarrow \hspace{0.13cm}{\rm nicht\hspace{0.15cm} primitiv}\hspace{0.05cm}.$$		\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} e^3 = \hspace{0.05cm} ...\hspace{0.05cm}= 4\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} e^4 =\hspace{0.05cm} ...\hspace{0.05cm} = 1\hspace{0.13cm} \Rightarrow \hspace{0.13cm}{\rm nicht\hspace{0.15cm} primitiv}\hspace{0.05cm}.$$

	Von der Menge $Z_5 = \{0, \, 1, \, 2, \, 3, \, 4\}$ sind &bdquo;$2$” und &bdquo;$3$” primitive Elemente  ⇒  <u>~~Lösungsvorschlag~~ 1 und 2</u>.		Von der Menge $Z_5 = \{0, \, 1, \, 2, \, 3, \, 4\}$ sind &bdquo;$2$” und &bdquo;$3$” primitive Elemente  ⇒  <u>Lösungsvorschläge 1 und 2</u>.
	{{ML-Fuß}}		{{ML-Fuß}}