Aufgaben:Aufgabe 2.2Z: Galoisfeld GF(5) - Versionsgeschichte

Guenter am 28. August 2022 um 15:22 Uhr

2022-08-28T15:22:09Z

Guenter am 28. August 2022 um 15:04 Uhr

2022-08-28T15:04:28Z

Guenter am 16. Mai 2019 um 15:34 Uhr

2019-05-16T15:34:55Z

Guenter am 16. Mai 2019 um 15:23 Uhr

2019-05-16T15:23:49Z

Tasnad: Textersetzung - „* Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein. “ durch „“

2018-05-29T11:32:15Z

Textersetzung - „* Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein. “ durch „“

Guenter am 7. Januar 2018 um 17:16 Uhr

2018-01-07T17:16:26Z

Guenter am 7. Januar 2018 um 17:13 Uhr

2018-01-07T17:13:49Z

Guenter am 7. Januar 2018 um 16:54 Uhr

2018-01-07T16:54:25Z

Guenter: Guenter verschob die Seite Aufgaben:2.2Z Galoisfeld GF(5) nach Aufgaben:Aufgabe 2.2Z: Galoisfeld GF(5)

2018-01-03T09:19:08Z

Guenter verschob die Seite 2.2Z Galoisfeld GF(5) nach Aufgabe 2.2Z: Galoisfeld GF(5)

Hussain am 15. Dezember 2017 um 09:24 Uhr

2017-12-15T09:24:19Z

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 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; Das neutrale Element hinsichtlich Addition (genannt $N_{\rm A}$) muss für alle Elemente $z_i (i = 0, \hspace{0.05cm}\text{ ...} \hspace{0.1cm} , \ q-1)$ die folgende Gleichung erfüllen:
+'''(1)'''&nbsp; Das neutrale Element hinsichtlich Addition&nbsp; $($genannt&nbsp; $N_{\rm A})$&nbsp; muss für alle Elemente&nbsp; $z_i (i = 0, \hspace{0.05cm}\text{ ...} \hspace{0.1cm} , \ q-1)$&nbsp; die folgende Gleichung erfüllen:
 :$$z_i + N_{\rm A} = N_{\rm A} + z_i = z_i\hspace{0.05cm}.$$
-Aus der Additionstabelle folgt $N_{\rm A} \ \underline{= d}$.
+*Aus der Additionstabelle folgt&nbsp; $N_{\rm A} \ \underline{= \rm d}$.
-'''(2)'''&nbsp; Dagegen erfüllt das neutrale Element der Multiplikation $(N_{\rm M})$ für alle Elemente $z_i (i = 1,\hspace{0.05cm}\text{ ...} \hspace{0.1cm}  , \ q-1)$ die folgende Bedingung:
+'''(2)'''&nbsp; Dagegen erfüllt das neutrale Element der Multiplikation&nbsp; $(N_{\rm M})$&nbsp; für alle Elemente&nbsp; $z_i (i = 1,\hspace{0.05cm}\text{ ...} \hspace{0.1cm}  , \ q-1)$&nbsp; die folgende Bedingung:
 :$$z_i \cdot N_{\rm M} = N_{\rm M}\cdot z_i = z_i\hspace{0.05cm}.$$
-Aus der Multiplikationstabelle erkennt man $N_{\rm M} \ \underline{= c}$.
+*Aus der Multiplikationstabelle erkennt man&nbsp; $N_{\rm M} \ \underline{= \rm c}$.
-'''(3)'''&nbsp; Das Kommutativgesetz ist bei diesem Galoisfeld in <u>beiden Fällen</u> (Addition und Multiplikation) erfüllt, da Additionstabelle und Multiplikationstabelle jeweils symmetrisch zur Tabellendiagonalen sind.
+'''(3)'''&nbsp; Das Kommutativgesetz ist bei diesem Galoisfeld in&nbsp; <u>beiden Fällen</u>&nbsp; (Addition und Multiplikation)&nbsp; erfüllt, <br> &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; da Additionstabelle und Multiplikationstabelle jeweils symmetrisch zur Tabellendiagonalen sind.
-'''(4)'''&nbsp; Betrachten wir zunächst den ersten Ausdruck. Bei Gültigkeit des Distributivgesetzes muss gelten:
+'''(4)'''&nbsp; Betrachten wir zunächst den ersten Ausdruck.&nbsp;
-:$$a \cdot (b+c) = a \cdot b+ a \cdot c \hspace{0.05cm}.$$
+*Bei Gültigkeit des Distributivgesetzes muss gelten:
-Für die linke Seite erhält man:
+*Für die linke Seite erhält man:
-:$$a \cdot (b+c) = a \cdot a =e \hspace{0.05cm},$$
+:$$\rm a \cdot (b+c) = a \cdot a =e \hspace{0.05cm},$$
-und für die rechte Seite:
+:und für die rechte Seite:
-:$$a \cdot b+ a \cdot c =  c + a = e\hspace{0.05cm}.$$
+:$$\rm a \cdot b+ a \cdot c =  c + a = e\hspace{0.05cm}.$$
-Das Distributivgesetz ist hier ebenso erfüllt wie auch bei den beiden anderen vorgegebenen Ausdrücken:
+*Das Distributivgesetz ist hier ebenso erfüllt wie auch bei den beiden anderen vorgegebenen Ausdrücken:
-:$$d \cdot (b+c) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} d \cdot a =d \hspace{0.05cm}, \hspace{0.5cm}d \cdot b+ d \cdot c =  d + d = d\hspace{0.05cm},$$
+:$$\rm d \cdot (b+c) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} d \cdot a =d \hspace{0.05cm}, \hspace{0.5cm}d \cdot b+ d \cdot c =  d + d = d\hspace{0.05cm},$$
-:$$e \cdot (a+c) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} e \cdot e =c \hspace{0.05cm}, \hspace{0.5cm}e \cdot a+ e \cdot c =  b + e = c\hspace{0.05cm}.$$
+:$$\rm  e \cdot (a+c) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} e \cdot e =c \hspace{0.05cm}, \hspace{0.5cm}e \cdot a+ e \cdot c =  b + e = c\hspace{0.05cm}.$$
-<u>Alle Lösungsvorschläge</u> treffen zu.
+<u>Alle Lösungsvorschläge</u>&nbsp; treffen zu.
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 [[Datei:P_ID2495__KC_Z_2_2e.png|right|frame|Umgewandelte Operationstabellen]]
 '''(5)'''&nbsp;
-Das Nullelement&nbsp; $N_{\rm A} = d$&nbsp; wird zu&nbsp; $N_{\rm A} = 0 \Rightarrow d = 0$, das Einselelement&nbsp; $N_{\rm M} = c$&nbsp; zu $N_{\rm M} = 1 \Rightarrow c = 1$. Die weiteren Elemente&nbsp; $a, \ b$&nbsp; und&nbsp; $e$&nbsp; können modulo&nbsp; $5$&nbsp; aus der Additionstabelle oder der Multiplikationstabelle bestimmt werden. Zum Beispiel folgt aus der ersten Zeile der Additionstabelle
+Das Nullelement &nbsp; $N_{\rm A} = \rm d$ &nbsp; wird zu &nbsp; $N_{\rm A} = 0 \ \Rightarrow \ d = 0$,&nbsp;  das Einselelement &nbsp; $N_{\rm M} = c$ &nbsp; zu&nbsp; $N_{\rm M} = 1 \ \Rightarrow \ \rm  c = 1$.
-:$$(a + b) \hspace{0.1cm}{\rm mod} \hspace{0.1cm} 5 = d = 0 \hspace{0.05cm}.$$
-Da sowohl&nbsp; $a$&nbsp; als auch&nbsp; $b$&nbsp; nicht&nbsp; $0$&nbsp; oder&nbsp; $1$&nbsp; sein können (da diese bereits für&nbsp; $c$&nbsp; und&nbsp; $d$&nbsp; vergeben sind), ergibt sich als Folgerung:
+*Zum Beispiel folgt aus der ersten Zeile der Additionstabelle
-:$$a = 2, \hspace{0.1cm} b = 3 \hspace{0.5cm}{\rm oder}\hspace{0.5cm} a = 3, \hspace{0.1cm} b = 2\hspace{0.05cm}.$$
+:$$\rm (a + b) \hspace{0.1cm}{\rm mod} \hspace{0.1cm} 5 = d = 0 \hspace{0.05cm}.$$
-Aus der zweiten Zeile der Additionstabelle folgt beispielsweise:
+*Da sowohl&nbsp; $\rm a$&nbsp; als auch&nbsp; $\rm b$&nbsp; nicht&nbsp; $0$&nbsp; oder&nbsp; $1$&nbsp; sein können&nbsp; (da diese bereits für&nbsp; $\rm c$&nbsp; und&nbsp; $\rm d$&nbsp; vergeben sind),&nbsp; ergibt sich als Folgerung:
-:$$(b + b) \hspace{0.1cm}{\rm mod} \hspace{0.1cm} 5 = e \hspace{0.05cm}.$$
+:$$\rm a = 2, \hspace{0.3cm} b = 3 \hspace{0.5cm}{\rm oder}\hspace{0.5cm} a = 3, \hspace{0.3cm} b = 2\hspace{0.05cm}.$$
-Aus&nbsp; $b = 3$&nbsp; ergäbe sich&nbsp; $e = 1$. Dies ist aber wiederum nicht möglich, da bereits&nbsp; $c = 1$&nbsp; festgelegt wurde.
+*Aus der zweiten Zeile der Additionstabelle folgt beispielsweise:
-Also erhält man als Endergebnis:
+*Aus&nbsp; $\rm b = 3$&nbsp; ergäbe sich&nbsp; $\rm e = 1$.&nbsp; Dies ist aber wiederum nicht möglich,&nbsp; da bereits&nbsp; $\rm c = 1$&nbsp; festgelegt wurde.
 :$$a \hspace{0.15cm}\underline{= 3}\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}b \hspace{0.15cm}\underline{= 2}\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}
 c \hspace{0.15cm}\underline{= 1}\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}d \hspace{0.15cm}\underline{= 0}\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}
 e \hspace{0.15cm}\underline{= 4}\hspace{0.05cm}.$$
-Die Grafik zeigt die Additions&ndash; und die Multiplikationstabelle für diese Zahlenmenge.
+*Die Grafik zeigt die Additions&ndash; und die Multiplikationstabelle für diese Zahlenmenge.
-'''(6)'''&nbsp; Zutreffend sind die <u>Aussagen 1 und 4</u>:
+*Für alle&nbsp; $z_i &#8712; \{0, \, 1, \, 2, \, 3, \, 4\}$&nbsp; existiert eine eindeutige additive Inverse.
-Die multiplikative Inverse erkennt man in der Multiplikationstabelle durch den Eintrag&nbsp; $c = 1$. Die multiplikativen Inversen lauten wie folgt:
+*Die multiplikative Inverse erkennt man in der Multiplikationstabelle durch den Eintrag&nbsp; $\rm c = 1$.&nbsp; Die multiplikativen Inversen lauten wie folgt:
-:$${\rm Zeile \hspace{0.15cm}1\text{:}}\hspace{0.25cm} {\rm Inv_M}(a=3) \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} b = 2 \hspace{0.05cm},$$
+:$${\rm Zeile \hspace{0.15cm}1\text{:}}\hspace{0.25cm} {\rm Inv_M}(a=3) \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} \rm b = 2 \hspace{0.05cm},$$
-:$${\rm Zeile\hspace{0.15cm} 2\text{:}}\hspace{0.25cm} {\rm Inv_M}(b=2) \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} a=3 \hspace{0.05cm},$$
+:$${\rm Zeile\hspace{0.15cm} 2\text{:}}\hspace{0.25cm} {\rm Inv_M}(b=2) \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} \rm a=3 \hspace{0.05cm},$$
-:$${\rm Zeile\hspace{0.15cm} 3\text{:}}\hspace{0.25cm} {\rm Inv_M}(c=1) \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} c=1 \hspace{0.05cm},$$
+:$${\rm Zeile\hspace{0.15cm} 3\text{:}}\hspace{0.25cm} {\rm Inv_M}(c=1) \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} \rm c=1 \hspace{0.05cm},$$
-:$${\rm Zeile\hspace{0.15cm} 5\text{:}}\hspace{0.25cm} {\rm Inv_M}(e=4) \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} e=4 \hspace{0.05cm}.$$
+:$${\rm Zeile\hspace{0.15cm} 5\text{:}}\hspace{0.25cm} {\rm Inv_M}(e=4) \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} \rm e=4 \hspace{0.05cm}.$$
-Für das Nullelement&nbsp; $d = 0$&nbsp; existiert dagegen keine multiplikative Inverse.
+*Für das Nullelement&nbsp; $\rm d = 0$&nbsp; existiert dagegen keine multiplikative Inverse.
 '''(7)'''&nbsp; Bezüglich der primitiven Elemente erhält man
-:$$a \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} 3  \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} a^2 = 9 \hspace{0.1cm}{\rm mod} \hspace{0.1cm} 5 = 4
+:$$\rm a \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} 3  \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} a^2 = 9 \hspace{0.1cm}{\rm mod} \hspace{0.1cm} 5 = 4
 \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} a^3 = 27 \hspace{0.1cm}{\rm mod} \hspace{0.1cm} 5 = 2\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} a^4 = 81 \hspace{0.1cm}{\rm mod} \hspace{0.1cm} 5 = 1\hspace{0.13cm} \Rightarrow \hspace{0.13cm}{\rm primitiv}\hspace{0.05cm},$$
 :$$b \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} 2  \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} b^2 = 4
@@ Zeile 163: / Zeile 170: @@
 \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} e^3 = \hspace{0.05cm} ...\hspace{0.05cm}= 4\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} e^4 =\hspace{0.05cm} ...\hspace{0.05cm} = 1\hspace{0.13cm} \Rightarrow \hspace{0.13cm}{\rm nicht\hspace{0.15cm} primitiv}\hspace{0.05cm}.$$
-Von der Menge $Z_5 = \{0, \, 1, \, 2, \, 3, \, 4\}$ sind &bdquo;$2$&rdquo; und &bdquo;$3$&rdquo; primitive Elemente &nbsp;&#8658;&nbsp; <u>Lösungsvorschläge 1 und 2</u>.
+*Von der Menge&nbsp; $Z_5 = \{0, \, 1, \, 2, \, 3, \, 4\}$&nbsp; sind&nbsp; &bdquo;$2$&rdquo;&nbsp; und&nbsp; &bdquo;$3$&rdquo;&nbsp; primitive Elemente &nbsp; &#8658; &nbsp; <u>Lösungsvorschläge 1 und 2</u>.
 {{ML-Fuß}}

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 {{quiz-Header|Buchseite=Kanalcodierung/Einige Grundlagen der Algebra}}
-[[Datei:P_ID2494__KC_Z_2_2.png|right|frame|Addition/Multiplikation für&nbsp; $\{a, \, b, \, c, \, d, \, e\}$]]
+[[Datei:P_ID2494__KC_Z_2_2.png|right|frame|Addition/Multiplikation für&nbsp; $\{\rm a, \, b, \, c, \, d, \, e\}$]]
-Wie in der&nbsp; [[Aufgaben:2.2_Eigenschaften_von_Galoisfeldern|Aufgabe 2.2]]&nbsp; betrachten wir einen endlichen Körper der Ordnung&nbsp; $q = 5$&nbsp; und damit das Galoisfeld
+Wie in der&nbsp; [[Aufgaben:2.2_Eigenschaften_von_Galoisfeldern|"Aufgabe 2.2"]]&nbsp; betrachten wir einen endlichen Körper der Ordnung&nbsp; $q = 5$&nbsp; und damit das Galoisfeld
-:$${\rm GF}(5) = \{{a}, { b},{c},{d},{e}\}\hspace{0.05cm}.$$
+:$$\rm GF(5) = \{{a}, { b},{c},{d},{e}\}\hspace{0.05cm}.$$
-Über die Elemente werden weiter keine Aussagen getroffen. Es können sowohl ganze Zahlen sein oder irgendwelche mathematische Ausdrücke.
+Über die Elemente werden weiter keine Aussagen getroffen.&nbsp; Es können sowohl ganze Zahlen sein oder irgendwelche mathematischen Ausdrücke.
 Das Galoisfeld wird ausschließlich bestimmt durch
 * eine Additionstabelle modulo 5,
-* eine Multiplikationstabelle modulo 5,
 Die wichtigsten Eigenschaften eines Galoisfeldes sind auf der&nbsp; [[Kanalcodierung/Einige_Grundlagen_der_Algebra#Definition_eines_Galoisfeldes|ersten Theorieseite]]&nbsp; zusammengestellt. Hier wird Bezug genommen auf
 * das Kommutativ&ndash; und das Distributivgesetz,
 * die neutralen Elemente von Addition und Multiplikation,
 * die inversen Elemente von Addition und Multiplikation, sowie
 * die Bestimmung primitiver Elemente.
-Im vorliegenden Beispiel wäre&nbsp; $\beta$&nbsp; ein primitives Element, wenn&nbsp; $\beta^2, \ \beta^3$&nbsp; und&nbsp; $\beta^4$&nbsp; (allgemein: &nbsp;$\beta^{q-1})$&nbsp; die übrigen Elemente des Galoisfeldes&nbsp; $\rm GF(5)$&nbsp; mit Ausnahme des Nullelementes ergeben.
+Im vorliegenden Beispiel wäre&nbsp; $\beta$&nbsp; ein primitives Element,&nbsp; wenn&nbsp; $\beta^2, \ \beta^3$&nbsp; und&nbsp; $\beta^4$&nbsp; $($allgemein: &nbsp;$\beta^{q-1})$&nbsp; die übrigen Elemente des Galoisfeldes&nbsp; $\rm GF(5)$&nbsp; mit Ausnahme des Nullelementes ergeben.
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 {Bestimmen Sie das neutrale Element der Addition.
 |type="()"}
-- $N_{\rm A} = a$,
+- $N_{\rm A} = \rm a$,
-- $N_{\rm A} = b$,
+- $N_{\rm A} = \rm b$,
-- $N_{\rm A} = c$,
+- $N_{\rm A} = \rm c$,
-+ $N_{\rm A} = d$,
++ $N_{\rm A} = \rm d$,
-- $N_{\rm A} = e$.
+- $N_{\rm A} = \rm e$.
 {Bestimmen Sie das neutrale Element der Multiplikation.
 |type="()"}
-- $N_{\rm M} = a$,
+- $N_{\rm M} = \rm a$,
-- $N_{\rm M} = b$,
+- $N_{\rm M} = \rm b$,
-+ $N_{\rm M} = c$,
++ $N_{\rm M} = \rm c$,
-- $N_{\rm M} = d$,
+- $N_{\rm M} = \rm d$,
-- $N_{\rm M} = e$.
+- $N_{\rm M} = \rm e$.
 {Ist das Kommutativgesetz erfüllt,
 |type="[]"}
-+ hinsichtlich Addition, zum Beispiel&nbsp; $a + b = b + a, \hspace{0.05cm}\text{ ...} \hspace{0.1cm}, \ d + e = e + d$,
++ hinsichtlich Addition,&nbsp;  zum Beispiel&nbsp; $\rm a + b = b + a, \hspace{0.05cm}\text{ ...} \hspace{0.1cm}, \ d + e = e + d$,
-+ hinsichtlich Multiplikation, zum Beispiel&nbsp; $a \cdot b = b \cdot a, \hspace{0.05cm}\text{ ...} \hspace{0.1cm}, \ d \cdot e = e \cdot d$.
++ hinsichtlich Multiplikation,&nbsp; zum Beispiel&nbsp; $\rm a \cdot b = b \cdot a, \hspace{0.05cm}\text{ ...} \hspace{0.1cm}, \ d \cdot e = e \cdot d$.
 {Für welche Ausdrücke ist das Distributivgesetz erfüllt?
 |type="[]"}
-+ $a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$,
++ $\rm a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$,
-+ $d \cdot (b + c) = d \cdot b + d \cdot c$,
++ $\rm d \cdot (b + c) = d \cdot b + d \cdot c$,
-+ $e \cdot (a + b) = e \cdot a + e \cdot b$.
++ $\rm e \cdot (a + b) = e \cdot a + e \cdot b$.
-{Ersetzen Sie&nbsp; $a, \ b, \ c, \ d, \ e$&nbsp; durch Elemente der Zahlenmenge&nbsp; $\{0, \, 1, \, 2, \, 3, \, 4\}$, so dass sich gleiche Operationstabellen ergeben.
+{Ersetzen Sie&nbsp; $\rm a, \ b, \ c, \ d, \ e$&nbsp; durch Elemente der Zahlenmenge&nbsp; $\{0, \, 1, \, 2, \, 3, \, 4\}$,&nbsp; so dass sich gleiche Operationstabellen ergeben.
 |type="{}"}
-$a \hspace{0.2cm} = \ ${ 3 }
+$\rm a \hspace{0.15cm} = \ ${ 3 }
-$b \hspace{0.25cm}  = \ ${ 2 }
+$\rm b \hspace{0.15cm}  = \ ${ 2 }
-$c \hspace{0.25cm}  = \ ${ 1 }
+$\rm c \hspace{0.15cm}  = \ ${ 1 }
-$d \hspace{0.2cm}  = \ ${ 0. }
+$d \hspace{0.15cm}  = \ ${ 0. }
-$e \hspace{0.2cm}  = \ ${ 4 }
+$e \hspace{0.15cm}  = \ ${ 4 }
 {Welche Aussagen gelten hinsichtlich der inversen Elemente?
@@ Zeile 78: / Zeile 78: @@
 {Welche der Elemente sind primitiv?
 |type="[]"}
-+ $a = 3$.
++ $\rm a = 3$.
-+ $b = 2$,
++ $\rm b = 2$,
-- $e = 4$.
+- $\rm e = 4$.
 </quiz>

@@ Zeile 89: / Zeile 89: @@
 Aus der Additionstabelle folgt $N_{\rm A} \ \underline{= d}$.
@@ Zeile 95: / Zeile 96: @@
 Aus der Multiplikationstabelle erkennt man $N_{\rm M} \ \underline{= c}$.
 '''(3)'''&nbsp; Das Kommutativgesetz ist bei diesem Galoisfeld in <u>beiden Fällen</u> (Addition und Multiplikation) erfüllt, da Additionstabelle und Multiplikationstabelle jeweils symmetrisch zur Tabellendiagonalen sind.
@@ Zeile 116: / Zeile 119: @@
-'''(5)'''&nbsp; [[Datei:P_ID2495__KC_Z_2_2e.png|right|frame|Umgewandelte Additions– und Multiplikationstabellen]] Das Nullelement $N_{\rm A} = d$ wird zu $N_{\rm A} = 0 \Rightarrow d = 0$, das Einselelement $N_{\rm M} = c$ zu $N_{\rm M} = 1 \Rightarrow c = 1$. Die weiteren Elemente $a, \ b$ und $e$ können modulo $5$ aus der Additionstabelle oder der Multiplikationstabelle bestimmt werden. Zum Beispiel folgt aus der ersten Zeile der Additionstabelle
 :$$(a + b) \hspace{0.1cm}{\rm mod} \hspace{0.1cm} 5 = d = 0 \hspace{0.05cm}.$$
-Da sowohl $a$ als auch $b$ nicht $0$ oder $1$ sein können (da diese bereits für $c$ und $d$ vergeben sind), ergibt sich als Folgerung:
+Da sowohl&nbsp; $a$&nbsp; als auch&nbsp; $b$&nbsp; nicht&nbsp; $0$&nbsp; oder&nbsp; $1$&nbsp; sein können (da diese bereits für&nbsp; $c$&nbsp; und&nbsp; $d$&nbsp; vergeben sind), ergibt sich als Folgerung:
 :$$a = 2, \hspace{0.1cm} b = 3 \hspace{0.5cm}{\rm oder}\hspace{0.5cm} a = 3, \hspace{0.1cm} b = 2\hspace{0.05cm}.$$
@@ Zeile 125: / Zeile 131: @@
 :$$(b + b) \hspace{0.1cm}{\rm mod} \hspace{0.1cm} 5 = e \hspace{0.05cm}.$$
-Aus $b = 3$ ergäbe sich $e = 1$. Dies ist aber wiederum nicht möglich, da bereits $c = 1$ festgelegt wurde. Also erhält man als Endergebnis:
+Aus&nbsp; $b = 3$&nbsp; ergäbe sich&nbsp; $e = 1$. Dies ist aber wiederum nicht möglich, da bereits&nbsp; $c = 1$&nbsp; festgelegt wurde.
 :$$a \hspace{0.15cm}\underline{= 3}\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}b \hspace{0.15cm}\underline{= 2}\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}
 c \hspace{0.15cm}\underline{= 1}\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}d \hspace{0.15cm}\underline{= 0}\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}
 e \hspace{0.15cm}\underline{= 4}\hspace{0.05cm}.$$
-Die Grafik zeigt die Additions&ndash; und die Multiplikationstabelle für diese Zahlenmenge:
+Die Grafik zeigt die Additions&ndash; und die Multiplikationstabelle für diese Zahlenmenge.
 '''(6)'''&nbsp; Zutreffend sind die <u>Aussagen 1 und 4</u>:
-*Man erkennt in der Additionstabelle in jeder Zeile und Spalte genau ein $d = 0$. Das heißt: Für alle $z_i &#8712; \{0, \, 1, \, 2, \, 3, \, 4\}$ existiert eine eindeutige additive Inverse.
+*Man erkennt in der Additionstabelle in jeder Zeile und Spalte genau ein&nbsp;  $d = 0$. Das heißt: &nbsp; Für alle&nbsp; $z_i &#8712; \{0, \, 1, \, 2, \, 3, \, 4\}$&nbsp; existiert eine eindeutige additive Inverse.
-Die multiplikative Inverse erkennt man in der Multiplikationstabelle durch den Eintrag $c = 1$. Die multiplikativen Inversen lauten wie folgt:
+Die multiplikative Inverse erkennt man in der Multiplikationstabelle durch den Eintrag&nbsp; $c = 1$. Die multiplikativen Inversen lauten wie folgt:
 :$${\rm Zeile \hspace{0.15cm}1\text{:}}\hspace{0.25cm} {\rm Inv_M}(a=3) \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} b = 2 \hspace{0.05cm},$$
 :$${\rm Zeile\hspace{0.15cm} 2\text{:}}\hspace{0.25cm} {\rm Inv_M}(b=2) \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} a=3 \hspace{0.05cm},$$
@@ Zeile 142: / Zeile 151: @@
 :$${\rm Zeile\hspace{0.15cm} 5\text{:}}\hspace{0.25cm} {\rm Inv_M}(e=4) \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} e=4 \hspace{0.05cm}.$$
-Für das Nullelement $d = 0$ existiert dagegen keine multiplikative Inverse.
+Für das Nullelement&nbsp; $d = 0$&nbsp; existiert dagegen keine multiplikative Inverse.

@@ Zeile 1: / Zeile 1: @@
 {{quiz-Header|Buchseite=Kanalcodierung/Einige Grundlagen der Algebra}}
-[[Datei:P_ID2494__KC_Z_2_2.png|right|frame|Tabelle zur Addition und Multiplikation für $\{a, \, b, \, c, \, d, \, e\}$]]
+[[Datei:P_ID2494__KC_Z_2_2.png|right|frame|Addition/Multiplikation für&nbsp; $\{a, \, b, \, c, \, d, \, e\}$]]
-Wie in der [[Aufgaben:2.2_Eigenschaften_von_Galoisfeldern|Aufgabe 2.2]] betrachten wir einen endlichen Körper der Ordnung $q = 5$ und damit das Galoisfeld
+Wie in der&nbsp; [[Aufgaben:2.2_Eigenschaften_von_Galoisfeldern|Aufgabe 2.2]]&nbsp; betrachten wir einen endlichen Körper der Ordnung&nbsp; $q = 5$&nbsp; und damit das Galoisfeld
 :$${\rm GF}(5) = \{{a}, { b},{c},{d},{e}\}\hspace{0.05cm}.$$
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-Die wichtigsten Eigenschaften eines Galoisfeldes sind auf der [[Kanalcodierung/Einige_Grundlagen_der_Algebra#Definition_eines_Galoisfeldes|ersten Theorieseite]] zusammengestellt. In dieser Aufgabe wird Bezug genommen auf
+Die wichtigsten Eigenschaften eines Galoisfeldes sind auf der&nbsp; [[Kanalcodierung/Einige_Grundlagen_der_Algebra#Definition_eines_Galoisfeldes|ersten Theorieseite]]&nbsp; zusammengestellt. Hier wird Bezug genommen auf
 * das Kommutativ&ndash; und das Distributivgesetz,
 * die neutralen Elemente von Addition und Multiplikation,
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-Im vorliegenden Beispiel wäre $\beta$ ein primitives Element, wenn $\beta^2, \ \beta^3$ und $\beta^4$ (allgemein: $\beta^{q-1})$ die übrigen Elemente des Galoisfeldes $\rm GF(5)$ mit Ausnahme des Nullelementes ergeben.
+Im vorliegenden Beispiel wäre&nbsp; $\beta$&nbsp; ein primitives Element, wenn&nbsp; $\beta^2, \ \beta^3$&nbsp; und&nbsp; $\beta^4$&nbsp; (allgemein: &nbsp;$\beta^{q-1})$&nbsp; die übrigen Elemente des Galoisfeldes&nbsp; $\rm GF(5)$&nbsp; mit Ausnahme des Nullelementes ergeben.
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 ''Hinweise:''
-* Die Aufgabe bezieht ich auf das Themengebiet des Kapitels [[Kanalcodierung/Einige_Grundlagen_der_Algebra| Einige Grundlagen der Algebra]].
+* Die Aufgabe bezieht ich auf das Themengebiet des Kapitels&nbsp; [[Kanalcodierung/Einige_Grundlagen_der_Algebra| Einige Grundlagen der Algebra]].
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 <quiz display=simple>
 {Bestimmen Sie das neutrale Element der Addition.
-|type="[]"}
+|type="()"}
 - $N_{\rm A} = a$,
 - $N_{\rm A} = b$,
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 - $N_{\rm A} = e$.
-{Bestimmen Sie das neutrale Element der Multiplikations
+{Bestimmen Sie das neutrale Element der Multiplikation.
-|type="[]"}
+|type="()"}
 - $N_{\rm M} = a$,
 - $N_{\rm M} = b$,
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 {Ist das Kommutativgesetz erfüllt,
 |type="[]"}
-+ hinsichtlich Addition, zum Beispiel $a + b = b + a, \hspace{0.05cm}\text{ ...} \hspace{0.1cm}, \ d + e = e + d$,
++ hinsichtlich Addition, zum Beispiel&nbsp; $a + b = b + a, \hspace{0.05cm}\text{ ...} \hspace{0.1cm}, \ d + e = e + d$,
-+ hinstichtlich Multiplikation, zum Beispiel $a \cdot b = b \cdot a, \hspace{0.05cm}\text{ ...} \hspace{0.1cm}, \ d \cdot e = e \cdot d$.
++ hinsichtlich Multiplikation, zum Beispiel&nbsp; $a \cdot b = b \cdot a, \hspace{0.05cm}\text{ ...} \hspace{0.1cm}, \ d \cdot e = e \cdot d$.
 {Für welche Ausdrücke ist das Distributivgesetz erfüllt?
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 + $e \cdot (a + b) = e \cdot a + e \cdot b$.
-{Ersetzen Sie $a, \ b, \ c, \ d, \ e$ durch Elemente der Zahlenmenge $\{0, \, 1, \, 2, \, 3, \, 4\}$, so dass sich gleiche Operationstabellen ergeben.
+{Ersetzen Sie&nbsp; $a, \ b, \ c, \ d, \ e$&nbsp; durch Elemente der Zahlenmenge&nbsp; $\{0, \, 1, \, 2, \, 3, \, 4\}$, so dass sich gleiche Operationstabellen ergeben.
 |type="{}"}
 $a \hspace{0.2cm} = \ ${ 3 }
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 {Welche Aussagen gelten hinsichtlich der inversen Elemente?
 |type="[]"}
-+ Für alle $z_i &#8712; \{0, \, 1, \, 2, \, 3, \, 4\}$ gibt es eine additive Inverse.
++ Für alle&nbsp; $z_i &#8712; \{0, \, 1, \, 2, \, 3, \, 4\}$&nbsp; gibt es eine additive Inverse.
-- Nur für $z_i &#8712; \{1, \, 2, \, 3, \, 4\}$ gibt es eine additive Inverse.
+- Nur für&nbsp; $z_i &#8712; \{1, \, 2, \, 3, \, 4\}$&nbsp; gibt es eine additive Inverse.
-- Für alle $z_i &#8712; \{0, \, 1, \, 2, \, 3, \, 4\}$ gibt es eine multiplikative Inverse.
+- Für alle&nbsp; $z_i &#8712; \{0, \, 1, \, 2, \, 3, \, 4\}$&nbsp; gibt es eine multiplikative Inverse.
-+ Nur für $z_i &#8712; \{1, \, 2, \, 3, \, 4\}$ gibt es eine multiplikative Inverse.
++ Nur für&nbsp; $z_i &#8712; \{1, \, 2, \, 3, \, 4\}$&nbsp; gibt es eine multiplikative Inverse.
 {Welche der Elemente sind primitiv?

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	''Hinweise:''		''Hinweise:''
	* Die Aufgabe bezieht ich auf das Themengebiet des Kapitels [[Kanalcodierung/Einige_Grundlagen_der_Algebra\| Einige Grundlagen der Algebra]].		* Die Aufgabe bezieht ich auf das Themengebiet des Kapitels [[Kanalcodierung/Einige_Grundlagen_der_Algebra\| Einige Grundlagen der Algebra]].
−	* Sollte die Eingabe des Zahlenwertes &bdquo;0” erforderlich sein, so geben Sie bitte &bdquo;0.” ein.

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 '''(7)'''&nbsp; Bezüglich der primitiven Elemente erhält man
-:$$a \hspace{-0.15cm} & = & \hspace{-0.15cm} 3  \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} a^2 = 9 \hspace{0.1cm}{\rm mod} \hspace{0.1cm} 5 = 4
+:$$a \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} 3  \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} a^2 = 9 \hspace{0.1cm}{\rm mod} \hspace{0.1cm} 5 = 4
-\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} a^3 = 27 \hspace{0.1cm}{\rm mod} \hspace{0.1cm} 5 = 2\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} a^4 = 81 \hspace{0.1cm}{\rm mod} \hspace{0.1cm} 5 = 1\hspace{0.13cm} \Rightarrow \hspace{0.13cm}{\rm primitiv}\hspace{0.05cm},\\
+\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} a^3 = 27 \hspace{0.1cm}{\rm mod} \hspace{0.1cm} 5 = 2\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} a^4 = 81 \hspace{0.1cm}{\rm mod} \hspace{0.1cm} 5 = 1\hspace{0.13cm} \Rightarrow \hspace{0.13cm}{\rm primitiv}\hspace{0.05cm},$$
-b \hspace{-0.15cm} & = & \hspace{-0.15cm} 2  \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} b^2 = 4
+:$$b \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} 2  \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} b^2 = 4
-\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} b^3 = 8 \hspace{0.1cm}{\rm mod} \hspace{0.1cm} 5 = 3\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} b^4 = 16 \hspace{0.1cm}{\rm mod} \hspace{0.1cm} 5 = 1\hspace{0.13cm} \Rightarrow \hspace{0.13cm}{\rm primitiv}\hspace{0.05cm},\\
+\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} b^3 = 8 \hspace{0.1cm}{\rm mod} \hspace{0.1cm} 5 = 3\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} b^4 = 16 \hspace{0.1cm}{\rm mod} \hspace{0.1cm} 5 = 1\hspace{0.13cm} \Rightarrow \hspace{0.13cm}{\rm primitiv}\hspace{0.05cm},$$
-e \hspace{-0.15cm} & = & \hspace{-0.15cm} 4  \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} e^2 = 16 \hspace{0.1cm}{\rm mod} \hspace{0.1cm} 5 = 1
+:$$e \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} 4  \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} e^2 = 16 \hspace{0.1cm}{\rm mod} \hspace{0.1cm} 5 = 1
 \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} e^3 = \hspace{0.05cm} ...\hspace{0.05cm}= 4\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} e^4 =\hspace{0.05cm} ...\hspace{0.05cm} = 1\hspace{0.13cm} \Rightarrow \hspace{0.13cm}{\rm nicht\hspace{0.15cm} primitiv}\hspace{0.05cm}.$$