Aufgaben:Aufgabe 2.2: Verzerrungsleistung - Versionsgeschichte

Guenter am 28. Oktober 2019 um 08:20 Uhr

2019-10-28T08:20:28Z

Guenter am 28. Oktober 2019 um 08:13 Uhr

2019-10-28T08:13:19Z

Guenter am 6. November 2018 um 15:51 Uhr

2018-11-06T15:51:37Z

Guenter am 6. November 2018 um 15:39 Uhr

2018-11-06T15:39:18Z

Mwiki-lnt: Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

2018-05-29T12:02:42Z

Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

Guenter am 7. März 2018 um 15:16 Uhr

2018-03-07T15:16:43Z

Guenter am 7. März 2018 um 15:10 Uhr

2018-03-07T15:10:23Z

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2018-01-03T13:15:06Z

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Guenter am 1. Februar 2017 um 14:02 Uhr

2017-02-01T14:02:53Z

Guenter am 1. Februar 2017 um 14:02 Uhr

2017-02-01T14:02:00Z

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 {{ML-Kopf}}
 [[Datei:P_ID915__LZI_A_2_2_a.png|right|frame|Resultierende Fehlersignale]]
-'''(1)'''&nbsp; Mit den gegebenen Parametern &nbsp;$\alpha = 1$&nbsp; und &nbsp;$\tau= 0$&nbsp; erhält man das in der Grafik dargestellte Fehlersignal $\varepsilon_1(t)$. Die Verzerrungsleistung ist somit gleich:
+'''(1)'''&nbsp; Mit den gegebenen Parametern &nbsp;$\alpha = 1$&nbsp; und &nbsp;$\tau= 0$&nbsp; erhält man das in der Grafik dargestellte Fehlersignal&nbsp; $\varepsilon_1(t)$. Die Verzerrungsleistung ist somit gleich:
 :$$P_{\rm V1}  =  \frac{ {1 \, \rm ms}}{4 \, \rm ms} \cdot \big[ ({0.1 \, \rm V})^2  +
    ({-0.1 \, \rm V})^2\big]\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}P_{\rm V1} \hspace{0.15cm}\underline{ =  5 \cdot 10^{-3} \, \rm   V^2}. $$
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 :$$P_{x}  =  \frac{1}{4 \, \rm ms} \cdot ({1 \, \rm V})^2 \cdot {4 \, \rm ms}\hspace{0.15cm}{ = {1 \, \rm   V^2}}.$$
-Mit dem Ergebnis aus '''(1)''' erhält man somit für das Signal&ndash;zu&ndash;Verzerrungs&ndash;Leistungsverhältnis:
+*Mit dem Ergebnis aus&nbsp; '''(1)'''&nbsp; erhält man somit für das Signal&ndash;zu&ndash;Verzerrungs&ndash;Leistungsverhältnis:
 $$\rho_{\rm V1} = \frac{  P_{x}}{P_{\rm V1}}= \frac{  {1 \, \rm
    V^2}}{0.005 \,   \rm V^2}\hspace{0.05cm}\rm = 200\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}
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-Wenn jemand diese Werte nicht sofort aus der Grafik erkennt, so müsste er für sehr (unendlich) viele &nbsp;$\alpha$&ndash;&nbsp; und &nbsp;$\tau$&ndash;Werte zunächst das Fehlersignal
+'''(3)'''&nbsp; Die Skizze auf dem Angabenblatt macht deutlich, dass sich auch ohne die auftretenden Verzerrungen &ndash; sondern allein durch Dämpfung und Laufzeit das Signal &nbsp;$y(t)$&nbsp; von &nbsp;$x(t)$&nbsp; &ndash; deutlich unterscheiden würde.
 :$$\varepsilon_2(t) = y_2(t) - \alpha \cdot x(t - \tau)$$
-und anschließend den mittleren quadratischen Fehler ermitteln, wobei das Integrationsintervall jeweils an &nbsp;$\tau$&nbsp; anzupassen ist. Auch dann würde man das kleinstmögliche Ergebnis für &nbsp;$\alpha \; \underline{= 0.5}$&nbsp; und &nbsp;$\tau \; \underline{= 1 \ \rm ms}$&nbsp; erhalten. Für diese Optimierung von &nbsp;$\alpha$&nbsp; und &nbsp;$\tau$&nbsp; sollte man sich allerdings schon ein Computerprogramm gönnen.
+:und anschließend den mittleren quadratischen Fehler ermitteln, wobei das Integrationsintervall jeweils an &nbsp;$\tau$&nbsp; anzupassen ist.
 '''(4)'''&nbsp; Die obige Skizze zeigt, dass &nbsp;$\varepsilon_2(t)$&nbsp;  bis auf eine Verschiebung um &nbsp;$1 \ \rm ms$&nbsp; gleich dem Fehlersignal &nbsp;$\varepsilon_1(t)$&nbsp; ist. Mit dem Integrationsintervall &nbsp;$1 \ {\rm ms}$ ... $5 \ {\rm ms}$&nbsp; ergibt sich somit auch die gleiche Verzerrungsleistung:
 :$$P_{\rm V2}  =  P_{\rm V1} \hspace{0.15cm}\underline{ =  5 \cdot 10^{-3} \, \rm   V^2}.$$
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 *Das Signal &nbsp;$y_2(t)$&nbsp; ist also hinsichtlich des SNR  deutlich ungünstiger als &nbsp;$y_1(t)$.
 * Es ist berücksichtigt, dass nun wegen &nbsp;$\alpha = 0.5$&nbsp; die Leistung des Ausgangssignals nur noch ein Viertel der Eingangsleistung beträgt.
+*Das Signal-zu-Verzerrungs-Leistungsverhältnis $\rho_{\rm V2}$ bliebe jedoch erhalten, weil auch das &bdquo;Nutzsignal&rdquo; um den gleichen Betrag angehoben wird.
 {{ML-Fuß}}

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 [[Datei:P_ID883__LZI_A_2_2.png|right|frame|Eingangssignal und Ausgangssignale]]
-Am Eingang eines Nachrichtensystems $S_1$ wird ein Rechteckimpuls &nbsp;$x(t)$&nbsp; mit der Amplitude &nbsp;$1 \hspace{0.08cm} \rm  V$&nbsp; und der Dauer &nbsp;$4 \hspace{0.08cm} \rm  ms$&nbsp;  angelegt. Am Systemausgang wird dann der Impuls &nbsp;$y_1(t)$&nbsp; gemessen, dessen Signalparameter der mittleren Skizze entnommen werden können.
+Am Eingang eines Nachrichtensystems&nbsp; $S_1$&nbsp; wird ein Rechteckimpuls &nbsp;$x(t)$&nbsp; mit der Amplitude &nbsp;$1 \hspace{0.08cm} \rm  V$&nbsp; und der Dauer &nbsp;$4 \hspace{0.08cm} \rm  ms$&nbsp;  angelegt. Am Systemausgang wird dann der Impuls &nbsp;$y_1(t)$&nbsp; gemessen, dessen Signalparameter der mittleren Skizze entnommen werden können.
-Am Ausgang eines anderen Systems $S_2$ stellt sich bei gleichem Eingangssignal &nbsp;$x(t)$&nbsp; das in dem unteren Bild dargestellte Signal  &nbsp;$y_2(t)$&nbsp; ein.
+Am Ausgang eines anderen Systems&nbsp; $S_2$&nbsp; stellt sich bei gleichem Eingangssignal &nbsp;$x(t)$&nbsp; das in dem unteren Bild dargestellte Signal  &nbsp;$y_2(t)$&nbsp; ein.
 Für das in dieser Aufgabe verwendete Fehlersignal gelte folgende Definition:
@@ Zeile 17: / Zeile 17: @@
 Das Integrationsintervall ist jeweils geeignet zu wählen:
-*Benutzen Sie für &nbsp;$y_1(t)$&nbsp; den Bereich von $0$ ... $4 \hspace{0.08cm} \rm ms$ und für &nbsp;$y_2(t)$&nbsp; das Intervall $1 \hspace{0.08cm} {\rm ms}$ ... $5 \hspace{0.08cm} \rm ms$.
+*Benutzen Sie für &nbsp;$y_1(t)$&nbsp; den Bereich von&nbsp; $0$ ... $4 \hspace{0.08cm} \rm ms$&nbsp; und für&nbsp; &nbsp;$y_2(t)$&nbsp; das Intervall&nbsp; $1 \hspace{0.08cm} {\rm ms}$ ... $5 \hspace{0.08cm} \rm ms$.
 *Damit  beträgt in beiden Fällen die Messdauer &nbsp;$T_{\rm M} = 4 \hspace{0.08cm} \rm ms$.
 *Es ist offensichtlich, dass bezüglich &nbsp;$y_1(t)$&nbsp;  die Parameter &nbsp;$\alpha = 1$&nbsp; und &nbsp;$\tau = 0$&nbsp; jeweils zur minimalen Verzerrungsleistung führen.
@@ Zeile 26: / Zeile 26: @@
 Hierbei bezeichnet
-*$P_x$ die Leistung des Signals &nbsp;$x(t)$, und
+*$P_x$&nbsp; die Leistung des Signals &nbsp;$x(t)$, und
-*$\alpha^2 \cdot P_x$ die Leistung von &nbsp;$y(t) = \alpha \cdot x(t - \tau)$, die sich bei Abwesenheit von Verzerrungen ergeben würde.
+*$\alpha^2 \cdot P_x$&nbsp; die Leistung von &nbsp;$y(t) = \alpha \cdot x(t - \tau)$, die sich bei Abwesenheit von Verzerrungen ergeben würde.
-Meist &ndash; so auch in dieser Aufgabe &ndash; wird dieses S/N-Verhältnis $\rho_{\rm V}$ logarithmisch in $\rm dB$ angegeben.
+Meist &ndash; so auch in dieser Aufgabe &ndash; wird dieses S/N-Verhältnis&nbsp; $\rho_{\rm V}$&nbsp; logarithmisch in&nbsp; $\rm dB$&nbsp; angegeben.
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 <quiz display=simple>
-{Ermitteln Sie die Verzerrungsleistung des Systems $S_1$.
+{Ermitteln Sie die Verzerrungsleistung des Systems&nbsp; $S_1$.
 |type="{}"}
 $P_{\rm V1} \ = \ $  { 5 3% } $\ \cdot 10^{-3} \ {\rm V}^2$
-{Berechnen Sie das Signal&ndash;zu&ndash;Verzerrungs&ndash;Leistungsverhältnis für System $S_1$.
+{Berechnen Sie das Signal&ndash;zu&ndash;Verzerrungs&ndash;Leistungsverhältnis für System&nbsp; $S_1$.
 |type="{}"}
 $10 \cdot {\rm lg} \ \rho_\text{V1} \ = \ $  { 23.01 3% } $\ \rm dB$
-{Welche Parameter $\alpha$ und $\tau$ sollten zur Berechnung der Verzerrungsleistung des Systems $S_2$ herangezogen werden? <br>Begründen Sie Ihr Ergebnis.
+{Welche Parameter&nbsp; $\alpha$&nbsp; und&nbsp; $\tau$&nbsp; sollten zur Berechnung der Verzerrungsleistung des Systems&nbsp; $S_2$&nbsp; herangezogen werden? <br>Begründen Sie Ihr Ergebnis.
 |type="{}"}
 $\alpha \ = \ $  { 0.5 3% }
@@ Zeile 64: / Zeile 64: @@
-{Ermitteln Sie die Verzerrungsleistung des Systems $S_2$.
+{Ermitteln Sie die Verzerrungsleistung des Systems&nbsp; $S_2$.
 |type="{}"}
 $P_{\rm V2} \ = \ $  { 5 3% } $\ \cdot 10^{-3} \ {\rm V}^2$
-{Berechnen Sie das Signal&ndash;zu&ndash;Verzerrungs&ndash;Leistungsverhältnis für das System $S_2$. <br>Interpretieren Sie die unterschiedlichen Ergebnisse.
+{Berechnen Sie das Signal&ndash;zu&ndash;Verzerrungs&ndash;Leistungsverhältnis für das System&nbsp; $S_2$. <br>Interpretieren Sie die unterschiedlichen Ergebnisse.
 |type="{}"}
 $10 \cdot {\rm lg} \ \rho_\text{V2} \ = \ $ { 16.99 3% } $\ \rm dB$

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 {{ML-Kopf}}
 [[Datei:P_ID915__LZI_A_2_2_a.png|right|frame|Resultierende Fehlersignale]]
-'''(1)'''&nbsp; Mit den gegebenen Parametern $\alpha = 1$ und $\tau= 0$ erhält man das in der Grafik dargestellte Fehlersignal $\varepsilon(t)$. Die Verzerrungsleistung ist somit gleich:
+'''(1)'''&nbsp; Mit den gegebenen Parametern &nbsp;$\alpha = 1$&nbsp; und &nbsp;$\tau= 0$&nbsp; erhält man das in der Grafik dargestellte Fehlersignal $\varepsilon_1(t)$. Die Verzerrungsleistung ist somit gleich:
-:$$P_{\rm V1}  =  \frac{ {1 \, \rm ms}}{4 \, \rm ms} \cdot \left[ ({0.1 \, \rm V})^2  +
+:$$P_{\rm V1}  =  \frac{ {1 \, \rm ms}}{4 \, \rm ms} \cdot \big[ ({0.1 \, \rm V})^2  +
-   ({-0.1 \, \rm V})^2\right]\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}P_{\rm V1} \hspace{0.15cm}\underline{ =  5 \cdot 10^{-3} \, \rm   V^2}. $$
+   ({-0.1 \, \rm V})^2\big]\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}P_{\rm V1} \hspace{0.15cm}\underline{ =  5 \cdot 10^{-3} \, \rm   V^2}. $$
@@ Zeile 88: / Zeile 88: @@
 :$$P_{x}  =  \frac{1}{4 \, \rm ms} \cdot ({1 \, \rm V})^2 \cdot {4 \, \rm ms}\hspace{0.15cm}{ = {1 \, \rm   V^2}}.$$
-Mit dem Ergebnis aus (1) erhält man somit für das Signal&ndash;zu&ndash;Verzerrungs&ndash;Leistungsverhältnis:
+Mit dem Ergebnis aus '''(1)''' erhält man somit für das Signal&ndash;zu&ndash;Verzerrungs&ndash;Leistungsverhältnis:
 $$\rho_{\rm V1} = \frac{  P_{x}}{P_{\rm V1}}= \frac{  {1 \, \rm
    V^2}}{0.005 \,   \rm V^2}\hspace{0.05cm}\rm = 200\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}
@@ Zeile 94: / Zeile 94: @@
-'''(3)'''&nbsp; Die Skizze auf dem Angabenblatt macht deutlich, dass sich auch ohne die auftretenden Verzerrungen, sondern allein durch Dämpfung und Laufzeit das Signal $y(t)$ von $x(t)$ deutlich unterscheiden würde. Es würde sich $y(t) = 0.5 \cdot x(t-1\ {\rm ms}) $  ergeben.
+'''(3)'''&nbsp; Die Skizze auf dem Angabenblatt macht deutlich, dass sich auch ohne die auftretenden Verzerrungen &ndash; sondern allein durch Dämpfung und Laufzeit das Signal &nbsp;$y(t)$&nbsp; von &nbsp;$x(t)$&nbsp; &ndash; deutlich unterscheiden würde. Es würde sich &nbsp;$y(t) = 0.5 \cdot x(t-1\ {\rm ms}) $&nbsp;  ergeben.
-Wenn jemand diese Werte nicht sofort aus der Grafik erkennt, so müsste er für sehr (unendlich) viele $\alpha$&ndash; und $\tau$&ndash;Werte zunächst das Fehlersignal
+Wenn jemand diese Werte nicht sofort aus der Grafik erkennt, so müsste er für sehr (unendlich) viele &nbsp;$\alpha$&ndash;&nbsp; und &nbsp;$\tau$&ndash;Werte zunächst das Fehlersignal
 :$$\varepsilon_2(t) = y_2(t) - \alpha \cdot x(t - \tau)$$
-und anschließend den mittleren quadratischen Fehler ermitteln, wobei das Integrationsintervall jeweils an $\tau$ anzupassen ist. Auch dann würde man das kleinstmögliche Ergebnis für $\alpha \; \underline{= 0.5}$ und $\tau \; \underline{= 1 \ \rm ms}$ erhalten. Für diese Optimierung von $\alpha$ und $\tau$ sollte man sich allerdings schon ein Computerprogramm gönnen.
+und anschließend den mittleren quadratischen Fehler ermitteln, wobei das Integrationsintervall jeweils an &nbsp;$\tau$&nbsp; anzupassen ist. Auch dann würde man das kleinstmögliche Ergebnis für &nbsp;$\alpha \; \underline{= 0.5}$&nbsp; und &nbsp;$\tau \; \underline{= 1 \ \rm ms}$&nbsp; erhalten. Für diese Optimierung von &nbsp;$\alpha$&nbsp; und &nbsp;$\tau$&nbsp; sollte man sich allerdings schon ein Computerprogramm gönnen.
-'''(4)'''&nbsp; Die obige Skizze zeigt, dass $\varepsilon_2(t)$  bis auf eine Verschiebung um $1 \ \rm ms$ gleich dem Fehlersignal $\varepsilon_1(t)$ ist. Mit dem Integrationsintervall $1 \ {\rm ms}$ ... $5 \ {\rm ms}$ ergibt sich somit auch die gleiche Verzerrungsleistung:
+'''(4)'''&nbsp; Die obige Skizze zeigt, dass &nbsp;$\varepsilon_2(t)$&nbsp;  bis auf eine Verschiebung um &nbsp;$1 \ \rm ms$&nbsp; gleich dem Fehlersignal &nbsp;$\varepsilon_1(t)$&nbsp; ist. Mit dem Integrationsintervall &nbsp;$1 \ {\rm ms}$ ... $5 \ {\rm ms}$&nbsp; ergibt sich somit auch die gleiche Verzerrungsleistung:
 :$$P_{\rm V2}  =  P_{\rm V1} \hspace{0.15cm}\underline{ =  5 \cdot 10^{-3} \, \rm   V^2}.$$
@@ Zeile 111: / Zeile 111: @@
 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm}\rho_{\rm V2} \hspace{0.15cm}\underline{= {16.99 \, \rm dB}}.$$
-Trotz gleicher Verzerrungsleistung ist $10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm}\rho_{\rm V2}$ gegenüber $10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm}\rho_{\rm V1}$ um etwa $6 \ \rm dB$ geringer. Das Signal $y_2(t)$ ist also hinsichtlich des SNR  deutlich ungünstiger als $y_1(t)$. Hierbei ist berücksichtigt, dass nun wegen $\alpha = 0.5$ die Leistung des Ausgangssignals nur noch ein Viertel der Eingangsleistung beträgt.
+*Trotz gleicher Verzerrungsleistung ist &nbsp;$10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm}\rho_{\rm V2}$&nbsp; gegenüber &nbsp;$10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm}\rho_{\rm V1}$&nbsp; um etwa &nbsp;$6 \ \rm dB$&nbsp; geringer.
-Würde man diese Dämpfung am Ausgang durch eine Verstärkung um $1/\alpha$ kompensieren, so würde zwar die Verzerrungsleistung um $\alpha^2$ größer. Das Signal-zu-Verzerrungs-Leistungsverhältnis <i>&rho;</i><sub>V2</sub> bliebe jedoch erhalten, weil auch das &bdquo;Nutzsignal&rdquo; um den gleichen Betrag angehoben wird.
 {{ML-Fuß}}

@@ Zeile 4: / Zeile 4: @@
 [[Datei:P_ID883__LZI_A_2_2.png|right|frame|Eingangssignal und Ausgangssignale]]
-Am Eingang eines Nachrichtensystems $S_1$ wird ein Rechteckimpuls $x(t)$ mit der Amplitude $1 \ \rm  V$ und der Dauer $4 \ \rm  ms$  angelegt. Am Systemausgang wird dann der Impuls $y_1(t)$ gemessen, dessen Signalparameter der mittleren Skizze entnommen werden können.
+Am Eingang eines Nachrichtensystems $S_1$ wird ein Rechteckimpuls &nbsp;$x(t)$&nbsp; mit der Amplitude &nbsp;$1 \hspace{0.08cm} \rm  V$&nbsp; und der Dauer &nbsp;$4 \hspace{0.08cm} \rm  ms$&nbsp;  angelegt. Am Systemausgang wird dann der Impuls &nbsp;$y_1(t)$&nbsp; gemessen, dessen Signalparameter der mittleren Skizze entnommen werden können.
-Am Ausgang eines anderen Systems $S_2$ stellt sich bei gleichem Eingangssignal $x(t)$ das in dem unteren Bild dargestellte Signal  $y_2(t)$ ein.
+Am Ausgang eines anderen Systems $S_2$ stellt sich bei gleichem Eingangssignal &nbsp;$x(t)$&nbsp; das in dem unteren Bild dargestellte Signal  &nbsp;$y_2(t)$&nbsp; ein.
 Für das in dieser Aufgabe verwendete Fehlersignal gelte folgende Definition:
 :$$\varepsilon(t) = y(t) - \alpha \cdot x(t - \tau) .$$
-Die Parameter $\alpha$ und $\tau$ sind so zu bestimmen, dass die Verzerrungsleistung (der mittlere quadratische Fehler) minimal ist. Für diese gilt:
+Die Parameter &nbsp;$\alpha$&nbsp; und &nbsp;$\tau$&nbsp; sind so zu bestimmen, dass die Verzerrungsleistung (der mittlere quadratische Fehler) minimal ist. Für diese gilt:
 :$$P_{\rm V}  = \overline{\varepsilon^2(t)} = \frac{1}{T_{\rm M}} \cdot \int\limits_{ ( T_{\rm M})}
   {\varepsilon^2(t) }\hspace{0.1cm}{\rm d}t$$
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 Bei diesen Definitionen ist bereits berücksichtigt, dass eine frequenzunabhängige Dämpfung ebenso wie eine für alle Frequenzen konstante Laufzeit nicht zur Verzerrung beiträgt.
-Das Integrationsintervall ist jeweils geeignet zu wählen. Benutzen Sie für $y_1(t)$ den Bereich von $0$ ... $4 \ \rm ms$ und für $y_2(t)$ das Intervall $1 \ {\rm ms}$ ... $5 \ \rm ms$ Damit  beträgt in beiden Fällen die Messdauer $T_{\rm M} = 4 \ \rm ms$. Es ist offensichtlich, dass bezüglich $y_1(t)$  die Parameter $\alpha = 1$ und $\tau = 0$ jeweils zur minimalen Verzerrungsleistung führen.
+Das Integrationsintervall ist jeweils geeignet zu wählen:
 Das so genannte Signal&ndash;zu&ndash;Verzerrungs&ndash;Leistungsverhältnis berechnet sich im allgemeinen Fall zu
@@ Zeile 22: / Zeile 26: @@
 Hierbei bezeichnet
-*$P_x$ die Leistung des Signals $x(t)$, und
+*$P_x$ die Leistung des Signals &nbsp;$x(t)$, und
-*$\alpha^2 \cdot P_x$ die Leistung von $y(t) = \alpha \cdot x(t - \tau)$, die sich bei Abwesenheit von Verzerrungen ergeben würde.
+*$\alpha^2 \cdot P_x$ die Leistung von &nbsp;$y(t) = \alpha \cdot x(t - \tau)$, die sich bei Abwesenheit von Verzerrungen ergeben würde.
@@ Zeile 34: / Zeile 38: @@
 ''Hinweise:''
-*Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Klassifizierung_der_Verzerrungen|Klassifizierung der Verzerrungen]].
+*Die Aufgabe gehört zum Kapitel&nbsp;  [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Klassifizierung_der_Verzerrungen|Klassifizierung der Verzerrungen]].
-*Berücksichtigen Sie insbesondere die Seiten [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Klassifizierung_der_Verzerrungen#Quantitatives_Ma.C3.9F_f.C3.BCr_die_Signalverzerrungen| Quantitatives Maß für die Signalverzerrungen]] &nbsp;sowie &nbsp; [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Klassifizierung_der_Verzerrungen#Ber.C3.BCcksichtigung_von_D.C3.A4mpfung_und_Laufzeit|Berücksichtigung von Dämpfung und Laufzeit]].
+*Berücksichtigen Sie insbesondere die Seiten&nbsp;
@@ Zeile 52: / Zeile 58: @@
-{Welche Parameter $\alpha$ und $\tau$ sollten zur Berechnung der Verzerrungsleistung des Systems $S_2$ herangezogen werden? Begründen Sie Ihr Ergebnis.
+{Welche Parameter $\alpha$ und $\tau$ sollten zur Berechnung der Verzerrungsleistung des Systems $S_2$ herangezogen werden? <br>Begründen Sie Ihr Ergebnis.
 |type="{}"}
 $\alpha \ = \ $  { 0.5 3% }
@@ Zeile 63: / Zeile 69: @@
-{Berechnen Sie das Signal&ndash;zu&ndash;Verzerrungs&ndash;Leistungsverhältnis für das System $S_2$. Interpretieren Sie die unterschiedlichen Ergebnisse.
+{Berechnen Sie das Signal&ndash;zu&ndash;Verzerrungs&ndash;Leistungsverhältnis für das System $S_2$. <br>Interpretieren Sie die unterschiedlichen Ergebnisse.
 |type="{}"}
 $10 \cdot {\rm lg} \ \rho_\text{V2} \ = \ $ { 16.99 3% } $\ \rm dB$

@@ Zeile 36: / Zeile 36: @@
 *Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Klassifizierung_der_Verzerrungen|Klassifizierung der Verzerrungen]].
 *Berücksichtigen Sie insbesondere die Seiten [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Klassifizierung_der_Verzerrungen#Quantitatives_Ma.C3.9F_f.C3.BCr_die_Signalverzerrungen| Quantitatives Maß für die Signalverzerrungen]] &nbsp;sowie &nbsp; [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Klassifizierung_der_Verzerrungen#Ber.C3.BCcksichtigung_von_D.C3.A4mpfung_und_Laufzeit|Berücksichtigung von Dämpfung und Laufzeit]].
-*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes &bdquo;0&rdquo; erforderlich sein, so geben Sie bitte &bdquo;0.&rdquo; ein.

← Nächstältere Version	Version vom 3. Januar 2018, 13:15 Uhr
(kein Unterschied)

@@ Zeile 88: / Zeile 88: @@
 und anschließend den mitteleren quadratischen Fehler ermitteln, wobei das Integrationsintervall jeweils an $\tau$ anzupassen ist. Auch dann würde man das kleinstmögliche Ergebnis für $\alpha \; \underline{= 0.5}$ und $\tau \; \underline{= 1 \ \rm ms}$ erhalten. Für diese Optimierung von $\alpha$ und $\tau$ sollte man sich allerdings schon ein Computerprogramm gönnen.
-'''(4)'''&nbsp; Die obige Skizze zeigt, dass $\varepsilon_2(t)$  bis auf eine Verschiebung um $1 \ \rm ms$ gleich dem Fehlersignal $\varepsilon_1(t)$ ist. Mit dem Integrationsintervall $1 \ {\rm ms} ... 5 \ {\rm ms}$ 1 ms ... 5 ms ergibt sich somit auch die gleiche Verzerrungsleistung:
+'''(4)'''&nbsp; Die obige Skizze zeigt, dass $\varepsilon_2(t)$  bis auf eine Verschiebung um $1 \ \rm ms$ gleich dem Fehlersignal $\varepsilon_1(t)$ ist. Mit dem Integrationsintervall $1 \ {\rm ms} ... 5 \ {\rm ms}$ ergibt sich somit auch die gleiche Verzerrungsleistung:
 :$$P_{\rm V2}  =  P_{\rm V1} \hspace{0.15cm}\underline{ =  5 \cdot 10^{-3} \, \rm   V^2}.$$

@@ Zeile 68: / Zeile 68: @@
 {{ML-Kopf}}
 [[Datei:P_ID915__LZI_A_2_2_a.png|right|Resultierende Fehlersignale]]
-:<b>1.</b>&nbsp;&nbsp;Mit den gegebenen Parametern <i>&alpha;</i> = 1 und <i>&tau;</i> = 0 erhält man das in der Grafik dargestellte Fehlersignal <i>&epsilon;</i><sub>1</sub>(<i>t</i>). Die Verzerrungsleistung ist somit gleich:
+'''(1)'''&nbsp; Mit den gegebenen Parametern $\alpha = 1$ und $\tau= 0$ erhält man das in der Grafik dargestellte Fehlersignal $\varepsilon(t)$. Die Verzerrungsleistung ist somit gleich:
-:$$P_{\rm V1}  =  \frac{ {1 \, \rm ms}}{4 \, \rm ms} \cdot \left[ ({0.1 \, \rm V})^2  +
+$$P_{\rm V1}  =  \frac{ {1 \, \rm ms}}{4 \, \rm ms} \cdot \left[ ({0.1 \, \rm V})^2  +
-   ({-0.1 \, \rm V})^2\right] $$
+   ({-0.1 \, \rm V})^2\right]\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}P_{\rm V1} \hspace{0.15cm}\underline{ =  5 \cdot 10^{-3} \, \rm   V^2}. $$
-:Mit dem Ergebnis aus 1) erhält man somit für das Signal&ndash;zu&ndash;Verzerrungs&ndash;Leistungsverhältnis:
+'''(2)'''&nbsp; Die Leistung des Eingangssignals beträgt:
-:$$\rho_{\rm V1} = \frac{  P_{x}}{P_{\rm V1}}= \frac{  {1 \, \rm
+$$P_{x}  =  \frac{1}{4 \, \rm ms} \cdot ({1 \, \rm V})^2 \cdot {4 \, \rm ms}\hspace{0.15cm}{ = {1 \, \rm   V^2}}.$$
    V^2}}{0.005 \,   \rm V^2}\hspace{0.05cm}\rm = 200\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}
 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm}\rho_{\rm V1}\hspace{0.15cm}\underline{ = {23.01 \, \rm dB}}.$$
-:<b>3.</b>&nbsp;&nbsp;Die Skizze auf dem Angabenblatt macht deutlich, dass sich auch ohne die auftretenden Verzerrungen, sondern allein durch Dämpfung und Laufzeit, das Signal <i>y</i>(<i>t</i>) von <i>x</i>(<i>t</i>) deutlich unterscheiden würde. Es würde sich <i>y</i>(<i>t</i>) = 0.5 &middot; <i>x</i>(<i>t</i> &ndash; 1 ms) ergeben.
+'''(3)'''&nbsp; Die Skizze auf dem Angabenblatt macht deutlich, dass sich auch ohne die auftretenden Verzerrungen, sondern allein durch Dämpfung und Laufzeit das Signal $y(t)$ von $x(t)$ deutlich unterscheiden würde. Es würde sich $y(t) = 0.5 \cdot x(t-1\ {\rm ms}) $  ergeben.
-:Wenn jemand diese Parameterwerte nicht sofort aus der Grafik erkennt, so müsste er für sehr (unendlich) viele <i>&alpha;</i>&ndash; und <i>&tau;</i>&ndash;Werte zunächst das Fehlersignal
+Wenn jemand diese Werte nicht sofort aus der Grafik erkennt, so müsste er für sehr (unendlich) viele $\alpha$&ndash; und $\tau$&ndash;Werte zunächst das Fehlersignal
-:$$\varepsilon_2(t) = y_2(t) - \alpha \cdot x(t - \tau)$$
+$$\varepsilon_2(t) = y_2(t) - \alpha \cdot x(t - \tau)$$
-:und anschließend den mitteleren quadratischen Fehler ermitteln, wobei das Integrationsintervall jeweils an <i>&tau;</i> anzupassen ist. Auch dann würde man das kleinstmögliche Ergebnis für <u><i>&alpha;</i> = 0.5 und <i>&tau;</i> = 1 ms</u> erhalten. Für diese Optimierung von <i>&alpha;</i> und <i>&tau;</i> sollte man sich allerdings schon ein Computerprogramm gönnen.
+und anschließend den mitteleren quadratischen Fehler ermitteln, wobei das Integrationsintervall jeweils an $\tau$ anzupassen ist. Auch dann würde man das kleinstmögliche Ergebnis für $\alpha \; \underline{= 0.5}$ und $\tau \; \underline{= 1 \ \rm ms}$ erhalten. Für diese Optimierung von $\alpha$ und $\tau$ sollte man sich allerdings schon ein Computerprogramm gönnen.
-:<b>4.</b>&nbsp;&nbsp;Die obige Skizze zeigt, dass <i>&epsilon;</i><sub>2</sub>(<i>t</i>) bis auf eine Verschiebung um 1 ms gleich dem Fehlersignal <i>&epsilon;</i><sub>1</sub>(<i>t</i>) ist. Mit dem Integrationsintervall 1 ms ... 5 ms ergibt sich somit auch die gleiche Verzerrungsleistung:
+'''(4)'''&nbsp; Die obige Skizze zeigt, dass $\varepsilon_2(t)$  bis auf eine Verschiebung um $1 \ \rm ms$ gleich dem Fehlersignal $\varepsilon_1(t)$ ist. Mit dem Integrationsintervall $1 \ {\rm ms} ... 5 \ {\rm ms}$ 1 ms ... 5 ms ergibt sich somit auch die gleiche Verzerrungsleistung:
-:$$P_{\rm V2}  =  P_{\rm V1} \hspace{0.15cm}\underline{=  {0.005 \, \rm  V^2}}.$$
+:$$P_{\rm V2}  =  P_{\rm V1} \hspace{0.15cm}\underline{ =  5 \cdot 10^{-3} \, \rm   V^2}.$$
-:<b>5.</b>&nbsp;&nbsp; Entsprechend dem Angabenblatt gilt:
+'''(5)'''&nbsp; Entsprechend dem Angabenblatt gilt:
-:$$\rho_{\rm V2} = \frac{ \alpha^2 \cdot P_{x}}{P_{\rm V2}}= \frac{ 0.5^2 \cdot {1 \, \rm
+$$\rho_{\rm V2} = \frac{ \alpha^2 \cdot P_{x}}{P_{\rm V2}}= \frac{ 0.5^2 \cdot {1 \, \rm
    V^2}}{0.005 \,   \rm V^2}\hspace{0.05cm}\rm = 50\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}
 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm}\rho_{\rm V2} \hspace{0.15cm}\underline{= {16.99 \, \rm dB}}.$$
-:Trotz gleicher Verzerrungsleistung ist 10 &middot; lg <i>&rho;</i><sub>V2</sub> gegenüber 10 &middot; lg <i>&rho;</i><sub>V1</sub> um etwa 6 dB geringer. Das Signal <i>y</i><sub>2</sub>(<i>t</i>) ist also hinsichtlich des SNR  deutlich ungünstiger als <i>y</i><sub>1</sub>(<i>t</i>). Hierbei ist berücksichtigt, dass nun wegen <i>&alpha;</i> = 0.5 die Leistung des Ausgangssignals nur noch ein Viertel der Eingangsleistung beträgt.
+Trotz gleicher Verzerrungsleistung ist $10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm}\rho_{\rm V2}$ gegenüber $10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm}\rho_{\rm V1}$ um etwa $6 \ \rm dB$ geringer. Das Signal $y_2(t)$ ist also hinsichtlich des SNR  deutlich ungünstiger als $y_1(t)$. Hierbei ist berücksichtigt, dass nun wegen $\alpha {= 0.5}$ die Leistung des Ausgangssignals nur noch ein Viertel der Eingangsleistung beträgt.
-:Würde man diese Dämpfung am Ausgang durch eine Verstärkung um 1/<i>&alpha;</i> kompensieren, so würde zwar die Verzerrungsleistung um <i>&alpha;</i>&sup2; größer. Das Signal-zu-Verzerrungs-Leistungsverhältnis <i>&rho;</i><sub>V2</sub> bliebe jedoch erhalten, weil auch das &bdquo;Nutzsignal&rdquo; um den gleichen Betrag angehoben wird.
+Würde man diese Dämpfung am Ausgang durch eine Verstärkung um $1/\alpha$ kompensieren, so würde zwar die Verzerrungsleistung um $\alpha^2$ größer. Das Signal-zu-Verzerrungs-Leistungsverhältnis <i>&rho;</i><sub>V2</sub> bliebe jedoch erhalten, weil auch das &bdquo;Nutzsignal&rdquo; um den gleichen Betrag angehoben wird.
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