Aufgaben:Aufgabe 2.2: Mehrstufensignale - Versionsgeschichte

Guenter am 13. November 2019 um 10:44 Uhr

2019-11-13T10:44:30Z

Guenter am 13. November 2019 um 10:38 Uhr

2019-11-13T10:38:32Z

Guenter am 2. August 2018 um 16:10 Uhr

2018-08-02T16:10:17Z

Guenter am 2. August 2018 um 16:03 Uhr

2018-08-02T16:03:44Z

Guenter am 2. August 2018 um 16:02 Uhr

2018-08-02T16:02:03Z

Mwiki-lnt: Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

2018-05-29T12:02:42Z

Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

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2018-01-03T13:29:49Z

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Guenter am 5. März 2017 um 15:26 Uhr

2017-03-05T15:26:33Z

Guenter am 2. März 2017 um 13:41 Uhr

2017-03-02T13:41:27Z

Guenter am 2. März 2017 um 13:22 Uhr

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 :$$m_{\it x}=\rm \sum_{\mu=0}^{\it M-{\rm 1}} \it p_\mu\cdot x_{\mu}=\frac{\rm 1}{\it M} \cdot \sum_{\mu=\rm 0}^{\it M-\rm 1}\mu=\frac{\rm 1}{\it M}\cdot\frac{(\it M-\rm 1)\cdot \it M}{\rm 2}=\frac{\it M-\rm 1}{\rm 2}.$$
-Im Sonderfall $M= 5$ ergibt sich der lineare Mittelwert zu&nbsp; $m_x \;\underline{= 2}$.
+*Im Sonderfall&nbsp; $M= 5$&nbsp; ergibt sich der lineare Mittelwert zu&nbsp; $m_x \;\underline{= 2}$.
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 :$$m_{\rm 2\it x}= \rm \sum_{\mu=0}^{\it M -\rm 1}\it p_\mu\cdot x_{\mu}^{\rm 2}=\frac{\rm 1}{\it M}\cdot \sum_{\mu=\rm 0}^{\rm M-1}\mu^{\rm 2} =  \frac{\rm 1}{\it M}\cdot\frac{(\it M-\rm 1)\cdot \it M\cdot(\rm 2\it M-\rm 1)}{\rm 6} = \frac{(\it M-\rm 1)\cdot(\rm 2\it M-\rm 1)}{\rm 6}.$$
-Im Sonderfall $M= 5$ ergibt sich der quadratische Mittelwert zu $m_{2x} {=6}$. Daraus kann die Varianz mit dem Satz von Steiner berechnet werden:
+*Im Sonderfall $M= 5$&nbsp; ergibt sich der quadratische Mittelwert zu&nbsp; $m_{2x} {=6}$.
 :$$\sigma_x^{\rm 2}=m_{\rm 2\it x}-m_x^{\rm 2}=\frac{(\it M-\rm 1)\cdot(\rm 2\it M-\rm 1)}{\rm 6}-\frac{(\it M-\rm 1)^{\rm 2}}{\rm 4}=\frac{\it M^{\rm 2}-\rm 1}{\rm 12}.$$
-Im Sonderfall $M= 5$ ergibt sich für die Varianz&nbsp; $\sigma_x^2 \;\underline{= 2}$.
+*Im Sonderfall&nbsp; $M= 5$&nbsp; ergibt sich für die Varianz&nbsp; $\sigma_x^2 \;\underline{= 2}$.
 '''(3)'''&nbsp; Aufgrund der Symmetrie von $y$ gilt unabh&auml;ngig von $M$:
 :$$m_x \;\underline{= 2}.$$
 '''(4)'''&nbsp; Zwischen $x(t)$  und $y(t)$ gilt folgender Zusammenhang:
 :$$y(t)=\frac{2\cdot  y_{\rm 0}}{M-\rm 1}\cdot \big[x(t)-m_x\big].$$
-Daraus folgt f&uuml;r die Varianzen:
+*Daraus folgt f&uuml;r die Varianzen:
 :$$\sigma_y^{\rm 2}=\frac{4\cdot y_{\rm 0}^{\rm 2}}{( M - 1)^{\rm 2}}\cdot \sigma_x^{\rm 2}=\frac{y_{\rm 0}^{\rm 2}\cdot (M^{\rm 2}-1)}{3\cdot (M- 1)^{\rm 2}}=\frac{y_{\rm 0}^{\rm 2}\cdot ( M+ 1)}{ 3\cdot ( M- 1)}.$$
-Im Sonderfall $M= 5$ ergibt sich hierfür:
+*Im Sonderfall&nbsp; $M= 5$&nbsp; ergibt sich hierfür:
 :$$\it \sigma_y^{\rm 2}= \frac {\it y_{\rm 0}^{\rm 2} \cdot {\rm 6}}{\rm 3 \cdot 4}\hspace{0.15cm} \underline{=\rm2\,V^{2}}.$$

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 [[Datei:P_ID85__Sto_A_2_2.png|right|frame|Zwei ähnliche Mehrstufensignale]]
-Das Rechtecksignal $x(t)$ sei dimensionslos und kann nur die Momentanwerte $0, 1, 2, \ \text{...} \ , M-2, M-1$ mit gleicher Wahrscheinlichkeit annehmen. Die obere Grafik zeigt dieses Signal f&uuml;r den Sonderfall $M = 5$.
+Das Rechtecksignal&nbsp; $x(t)$&nbsp; sei dimensionslos und kann nur die Momentanwerte&nbsp; $0, \ 1,  \ 2, \ \text{...} \ , \ M-2, \ M-1$&nbsp; mit gleicher Wahrscheinlichkeit annehmen. Die obere Grafik zeigt dieses Signal f&uuml;r den Sonderfall&nbsp; $M = 5$.
-Auch das Rechtecksignal $y(t)$ ist $M$&ndash;stufig, aber mittelwertfrei und auf den Bereich von $y > -y_0$ bis $y < +y_0$ beschr&auml;nkt.
+Auch das Rechtecksignal&nbsp; $y(t)$&nbsp; ist&nbsp; $M$&ndash;stufig, aber mittelwertfrei und auf den Bereich von&nbsp; $y > -y_0$&nbsp; bis&nbsp; $y < +y_0$&nbsp; beschr&auml;nkt.
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 ''Hinweise:''
 *Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Momente_einer_diskreten_Zufallsgröße|Momente einer diskreten Zufallsgröße]].
-*Eine Zusammenfassung der Theamatik bietet das Lernvideo [[Momentenberechnung_bei_diskreten_Zufallsgrößen_(Lernvideo)|Momentenberechnung bei diskreten Zufallsgrößen]].
+*Eine Zusammenfassung der Theamatik bietet das Lernvideo&nbsp;<br> [[Momentenberechnung_bei_diskreten_Zufallsgrößen_(Lernvideo)|Momentenberechnung bei diskreten Zufallsgrößen]].
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 <quiz display=simple>
-{Wie gro&szlig; ist der lineare Mittelwert der Zufallsgr&ouml;&szlig;e $x$ für $M= 5$?
+{Wie gro&szlig; ist der lineare Mittelwert&nbsp; $m_x$&nbsp; der Zufallsgr&ouml;&szlig;e&nbsp; $x$&nbsp; für&nbsp; $M= 5$?
 |type="{}"}
 $m_x \ = \ $  { 2 3% }
-{Wie gro&szlig; ist die Varianz der Zufallsgr&ouml;&szlig;e $x$ allgemein und f&uuml;r $M= 5$?
+{Wie gro&szlig; ist die Varianz&nbsp; $\sigma_x^2$&nbsp; der Zufallsgr&ouml;&szlig;e&nbsp; $x$&nbsp; allgemein und f&uuml;r&nbsp; $M= 5$?
 |type="{}"}
 $\sigma_x^2\ = \ $ { 2 3% }
-{Berechnen Sie den Mittelwert $m_y$ der Zufallsgr&ouml;&szlig;e $y$ f&uuml;r $M= 5$.
+{Berechnen Sie den Mittelwert&nbsp; $m_y$&nbsp; der Zufallsgr&ouml;&szlig;e&nbsp; $y$&nbsp; f&uuml;r&nbsp; $M= 5$.
 |type="{}"}
 $m_y \ = \ $ { 0. } $\ \rm V$
-{Wie gro&szlig; ist die Varianz  der Zufallsgr&ouml;&szlig;e $y$? Ber&uuml;cksichtigen Sie dabei das Ergebnis aus '''(2)'''. <br>Welcher Wert ergibt sich wiederum f&uuml;r $M= 5$?
+{Wie gro&szlig; ist die Varianz&nbsp; $\sigma_y^2$&nbsp; der Zufallsgr&ouml;&szlig;e&nbsp; $y$?&nbsp; Ber&uuml;cksichtigen Sie dabei das Ergebnis aus&nbsp; '''(2)'''.&nbsp; Welcher Wert ergibt sich wiederum f&uuml;r&nbsp; $M= 5$?
 |type="{}"}
 $\sigma_y^2\ = \ $ { 2 3% } $\ \rm V^2$

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 [[Datei:P_ID85__Sto_A_2_2.png|right|frame|Zwei ähnliche Mehrstufensignale]]
 Das Rechtecksignal $x(t)$ sei dimensionslos und kann nur die Momentanwerte $0, 1, 2, \ \text{...} \ , M-2, M-1$ mit gleicher Wahrscheinlichkeit annehmen. Die obere Grafik zeigt dieses Signal f&uuml;r den Sonderfall $M = 5$.
 Auch das Rechtecksignal $y(t)$ ist $M$&ndash;stufig, aber mittelwertfrei und auf den Bereich von $y > -y_0$ bis $y < +y_0$ beschr&auml;nkt.
 In der unteren Grafik sehen Sie das Signal $y(t)$, wiederum f&uuml;r die Stufenzahl $M = 5$.
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 ''Hinweise:''
 *Setzen Sie f&uuml;r numerische Berechnungen $y_0 = 2\hspace{0.05cm}V$.
-*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Momente_einer_diskreten_Zufallsgröße|Momente einer diskreten Zufallsgröße]].
+*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Momente_einer_diskreten_Zufallsgröße|Momente einer diskreten Zufallsgröße]].
 *Eine Zusammenfassung der Theamatik bietet das Lernvideo [[Momentenberechnung_bei_diskreten_Zufallsgrößen_(Lernvideo)|Momentenberechnung bei diskreten Zufallsgrößen]].
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-{Wie gro&szlig; ist die Varianz  der Zufallsgr&ouml;&szlig;e $y$? Ber&uuml;cksichtigen Sie dabei das Ergebnis aus (2). Welcher Wert ergibt sich wiederum f&uuml;r $M= 5$?
+{Wie gro&szlig; ist die Varianz  der Zufallsgr&ouml;&szlig;e $y$? Ber&uuml;cksichtigen Sie dabei das Ergebnis aus '''(2)'''. <br>Welcher Wert ergibt sich wiederum f&uuml;r $M= 5$?
 |type="{}"}
 $\sigma_y^2\ = \ $ { 2 3% } $\ \rm V^2$
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 {{ML-Kopf}}
 '''(1)'''&nbsp; Man erh&auml;lt durch Mittelung über alle möglichen Signalwerte für den linearen Mittelwert:
-$$m_{\it x}=\rm \sum_{\mu=0}^{\it M-{\rm 1}} \it p_\mu\cdot x_{\mu}=\frac{\rm 1}{\it M} \cdot \sum_{\mu=\rm 0}^{\it M-\rm 1}\mu=\frac{\rm 1}{\it M}\cdot\frac{(\it M-\rm 1)\cdot \it M}{\rm 2}=\frac{\it M-\rm 1}{\rm 2}.$$
+:$$m_{\it x}=\rm \sum_{\mu=0}^{\it M-{\rm 1}} \it p_\mu\cdot x_{\mu}=\frac{\rm 1}{\it M} \cdot \sum_{\mu=\rm 0}^{\it M-\rm 1}\mu=\frac{\rm 1}{\it M}\cdot\frac{(\it M-\rm 1)\cdot \it M}{\rm 2}=\frac{\it M-\rm 1}{\rm 2}.$$
 '''(2)'''&nbsp; Analog gilt f&uuml;r den quadratischen Mittelwert:
-$$m_{\rm 2\it x}= \rm \sum_{\mu=0}^{\it M -\rm 1}\it p_\mu\cdot x_{\mu}^{\rm 2}=\frac{\rm 1}{\it M}\cdot \sum_{\mu=\rm 0}^{\rm M-1}\mu^{\rm 2} =  \frac{\rm 1}{\it M}\cdot\frac{(\it M-\rm 1)\cdot \it M\cdot(\rm 2\it M-\rm 1)}{\rm 6} = \frac{(\it M-\rm 1)\cdot(\rm 2\it M-\rm 1)}{\rm 6}.$$
+:$$m_{\rm 2\it x}= \rm \sum_{\mu=0}^{\it M -\rm 1}\it p_\mu\cdot x_{\mu}^{\rm 2}=\frac{\rm 1}{\it M}\cdot \sum_{\mu=\rm 0}^{\rm M-1}\mu^{\rm 2} =  \frac{\rm 1}{\it M}\cdot\frac{(\it M-\rm 1)\cdot \it M\cdot(\rm 2\it M-\rm 1)}{\rm 6} = \frac{(\it M-\rm 1)\cdot(\rm 2\it M-\rm 1)}{\rm 6}.$$
 Im Sonderfall $M= 5$ ergibt sich der quadratische Mittelwert zu $m_{2x} {=6}$. Daraus kann die Varianz mit dem Satz von Steiner berechnet werden:
-$$\sigma_x^{\rm 2}=m_{\rm 2\it x}-m_x^{\rm 2}=\frac{(\it M-\rm 1)\cdot(\rm 2\it M-\rm 1)}{\rm 6}-\frac{(\it M-\rm 1)^{\rm 2}}{\rm 4}=\frac{\it M^{\rm 2}-\rm 1}{\rm 12}.$$
+:$$\sigma_x^{\rm 2}=m_{\rm 2\it x}-m_x^{\rm 2}=\frac{(\it M-\rm 1)\cdot(\rm 2\it M-\rm 1)}{\rm 6}-\frac{(\it M-\rm 1)^{\rm 2}}{\rm 4}=\frac{\it M^{\rm 2}-\rm 1}{\rm 12}.$$
-'''(3)'''&nbsp; Aufgrund der Symmetrie von $y$ gilt unabh&auml;ngig von $M$: &nbsp; $m_x \;\underline{= 2}$.
+'''(3)'''&nbsp; Aufgrund der Symmetrie von $y$ gilt unabh&auml;ngig von $M$:
 '''(4)'''&nbsp; Zwischen $x(t)$  und $y(t)$ gilt folgender Zusammenhang:
-$$y(t)=\frac{2\cdot  y_{\rm 0}}{M-\rm 1}\cdot [x(t)-m_x].$$
+:$$y(t)=\frac{2\cdot  y_{\rm 0}}{M-\rm 1}\cdot \big[x(t)-m_x\big].$$
 Daraus folgt f&uuml;r die Varianzen:
-$$\sigma_y^{\rm 2}=\frac{4\cdot y_{\rm 0}^{\rm 2}}{( M - 1)^{\rm 2}}\cdot \sigma_x^{\rm 2}=\frac{y_{\rm 0}^{\rm 2}\cdot (M^{\rm 2}-1)}{3\cdot (M- 1)^{\rm 2}}=\frac{y_{\rm 0}^{\rm 2}\cdot ( M+ 1)}{ 3\cdot ( M- 1)}.$$
+:$$\sigma_y^{\rm 2}=\frac{4\cdot y_{\rm 0}^{\rm 2}}{( M - 1)^{\rm 2}}\cdot \sigma_x^{\rm 2}=\frac{y_{\rm 0}^{\rm 2}\cdot (M^{\rm 2}-1)}{3\cdot (M- 1)^{\rm 2}}=\frac{y_{\rm 0}^{\rm 2}\cdot ( M+ 1)}{ 3\cdot ( M- 1)}.$$
 Im Sonderfall $M= 5$ ergibt sich hierfür:
-$$\it \sigma_y^{\rm 2}= \frac {\it y_{\rm 0}^{\rm 2} \cdot {\rm 6}}{\rm 3 \cdot 4}\hspace{0.15cm} \underline{=\rm2\,V^{2}}.$$
+:$$\it \sigma_y^{\rm 2}= \frac {\it y_{\rm 0}^{\rm 2} \cdot {\rm 6}}{\rm 3 \cdot 4}\hspace{0.15cm} \underline{=\rm2\,V^{2}}.$$
 {{ML-Fuß}}

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 Auch das Rechtecksignal $y(t)$ ist $M$&ndash;stufig, aber mittelwertfrei und auf den Bereich von $y > -y_0$ bis $y < +y_0$ beschr&auml;nkt.
-In der unteren Grafik sehen Sie das Signal $y(t)$, wiederum f&uuml;r die Stufenzahl $M = 5$. Setzen Sie f&uuml;r numerische Berechnungen $y_0 = 2\hspace{0.05cm}V$.
+In der unteren Grafik sehen Sie das Signal $y(t)$, wiederum f&uuml;r die Stufenzahl $M = 5$.
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 ''Hinweise:''
 *Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Momente_einer_diskreten_Zufallsgröße|Momente einer diskreten Zufallsgröße]].
 *Eine Zusammenfassung der Theamatik bietet das Lernvideo [[Momentenberechnung_bei_diskreten_Zufallsgrößen_(Lernvideo)|Momentenberechnung bei diskreten Zufallsgrößen]].
 ===Fragebogen===
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 {Wie gro&szlig; ist der lineare Mittelwert der Zufallsgr&ouml;&szlig;e $x$ für $M= 5$?
 |type="{}"}
-$M=5\hspace{-0.1cm}: \hspace{0.3cm}m_x \ = \ $  { 2 3% }
+$m_x \ = \ $  { 2 3% }
 {Wie gro&szlig; ist die Varianz der Zufallsgr&ouml;&szlig;e $x$ allgemein und f&uuml;r $M= 5$?
 |type="{}"}
-$M=5\hspace{-0.1cm}: \hspace{0.3cm}\sigma_x^2\ = \ $ { 2 3% }
+$\sigma_x^2\ = \ $ { 2 3% }
 {Berechnen Sie den Mittelwert $m_y$ der Zufallsgr&ouml;&szlig;e $y$ f&uuml;r $M= 5$.
 |type="{}"}
-$M=5\hspace{-0.1cm}: \hspace{0.3cm}m_y \ = \ $ { 0. } $\ \rm V$
+$m_y \ = \ $ { 0. } $\ \rm V$
 {Wie gro&szlig; ist die Varianz  der Zufallsgr&ouml;&szlig;e $y$? Ber&uuml;cksichtigen Sie dabei das Ergebnis aus (2). Welcher Wert ergibt sich wiederum f&uuml;r $M= 5$?
 |type="{}"}
-$M=5\hspace{-0.1cm}: \hspace{0.3cm}\sigma_y^2\ = \ $ { 2 3% } $\ \rm V^2$
+$\sigma_y^2\ = \ $ { 2 3% } $\ \rm V^2$

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 }}
-[[Datei:P_ID85__Sto_A_2_2.png|right|Mehrstufensignale]]
+[[Datei:P_ID85__Sto_A_2_2.png|right|frame|Zwei ähnliche Mehrstufensignale]]
-Das Rechtecksignal $x(t)$ sei dimensionslos und kann nur die Momentanwerte $0, 1, 2, ... , M-2, M-1$ mit gleicher Wahrscheinlichkeit annehmen. Die obere Grafik zeigt dieses Signal f&uuml;r den Sonderfall $M = 5$.
+Das Rechtecksignal $x(t)$ sei dimensionslos und kann nur die Momentanwerte $0, 1, 2, \ \text{...} \ , M-2, M-1$ mit gleicher Wahrscheinlichkeit annehmen. Die obere Grafik zeigt dieses Signal f&uuml;r den Sonderfall $M = 5$.
@@ Zeile 12: / Zeile 17: @@
 *Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Momente_einer_diskreten_Zufallsgröße|Momente einer diskreten Zufallsgröße]].
-*Eine Zusammenfassung der Theamatik bietet das folgende Lernvideo:
+*Eine Zusammenfassung der Theamatik bietet das Lernvideo [[Momentenberechnung_bei_diskreten_Zufallsgrößen_(Lernvideo)|Momentenberechnung bei diskreten Zufallsgrößen]].
 ===Fragebogen===
@@ Zeile 20: / Zeile 24: @@
 {Wie gro&szlig; ist der lineare Mittelwert der Zufallsgr&ouml;&szlig;e $x$ für $M= 5$?
 |type="{}"}
-$M=5\hspace{-0.1cm}: \hspace{0.3cm}m_x \ =$  { 2 3% }
+$M=5\hspace{-0.1cm}: \hspace{0.3cm}m_x \ = \ $  { 2 3% }
 {Wie gro&szlig; ist die Varianz der Zufallsgr&ouml;&szlig;e $x$ allgemein und f&uuml;r $M= 5$?
 |type="{}"}
-$M=5\hspace{-0.1cm}: \hspace{0.3cm}\sigma_x^2\ =$ { 2 3% }
+$M=5\hspace{-0.1cm}: \hspace{0.3cm}\sigma_x^2\ = \ $ { 2 3% }
 {Berechnen Sie den Mittelwert $m_y$ der Zufallsgr&ouml;&szlig;e $y$ f&uuml;r $M= 5$.
 |type="{}"}
-$M=5\hspace{-0.1cm}: \hspace{0.3cm}m_y \ =$ { 0. } $\ \rm V$
+$M=5\hspace{-0.1cm}: \hspace{0.3cm}m_y \ = \ $ { 0. } $\ \rm V$
 {Wie gro&szlig; ist die Varianz  der Zufallsgr&ouml;&szlig;e $y$? Ber&uuml;cksichtigen Sie dabei das Ergebnis aus (2). Welcher Wert ergibt sich wiederum f&uuml;r $M= 5$?
 |type="{}"}
-$M=5\hspace{-0.1cm}: \hspace{0.3cm}\sigma_y^2\ =$ { 2 3% } $\ \rm V^2$
+$M=5\hspace{-0.1cm}: \hspace{0.3cm}\sigma_y^2\ = \ $ { 2 3% } $\ \rm V^2$

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 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-:<b>1.</b>&nbsp;&nbsp;Man erh&auml;lt durch Mittelung über alle möglichen Signalwerte für den linearen Mittelwert:
+'''(1)'''&nbsp; Man erh&auml;lt durch Mittelung über alle möglichen Signalwerte für den linearen Mittelwert:
-:$$m_{\it x}=\rm \sum_{\mu=0}^{\it M-{\rm 1}} \it p_\mu\cdot x_{\mu}=\frac{\rm 1}{\it M}\sum_{\mu=\rm 0}^{\it M-\rm 1}\mu=\frac{\rm 1}{\it M}\cdot\frac{(\it M-\rm 1)\cdot \it M}{\rm 2}=\frac{\it M-\rm 1}{\rm 2}.$$
+$$m_{\it x}=\rm \sum_{\mu=0}^{\it M-{\rm 1}} \it p_\mu\cdot x_{\mu}=\frac{\rm 1}{\it M} \cdot \sum_{\mu=\rm 0}^{\it M-\rm 1}\mu=\frac{\rm 1}{\it M}\cdot\frac{(\it M-\rm 1)\cdot \it M}{\rm 2}=\frac{\it M-\rm 1}{\rm 2}.$$
-:Im Sonderfall <i>M</i> = 5 ergibt sich der <u>lineare Mittelwert <i>m<sub>x</sub></i> =  2</u>.
+Im Sonderfall $M= 5$ ergibt sich der lineare Mittelwert zu $m_x \;\underline{= 2}$.
-:<b>2.</b>&nbsp;&nbsp;Analog gilt f&uuml;r den quadratischen Mittelwert:
+'''(2)'''&nbsp; Analog gilt f&uuml;r den quadratischen Mittelwert:
-:$$m_{\rm 2\it x}= \rm \sum_{\mu=0}^{\it M -\rm 1}\it p_\mu\cdot x_{\mu}^{\rm 2}=\frac{\rm 1}{\it M}\sum_{\mu=\rm 0}^{\rm M-1}\mu^{\rm 2} =  \frac{\rm 1}{\it M}\cdot\frac{(\it M-\rm 1)\cdot \it M\cdot(\rm 2\it M-\rm 1)}{\rm 6}\\ = \frac{(\it M-\rm 1)\cdot(\rm 2\it M-\rm 1)}{\rm 6}.$$
+$$m_{\rm 2\it x}= \rm \sum_{\mu=0}^{\it M -\rm 1}\it p_\mu\cdot x_{\mu}^{\rm 2}=\frac{\rm 1}{\it M}\cdot \sum_{\mu=\rm 0}^{\rm M-1}\mu^{\rm 2} =  \frac{\rm 1}{\it M}\cdot\frac{(\it M-\rm 1)\cdot \it M\cdot(\rm 2\it M-\rm 1)}{\rm 6} = \frac{(\it M-\rm 1)\cdot(\rm 2\it M-\rm 1)}{\rm 6}.$$
-:Im Sonderfall <i>M</i> = 5 ergibt sich der <u>quadratische Mittelwert <i>m</i><sub>2<i>x</i></sub> = 6</u>.
+Im Sonderfall $M= 5$ ergibt sich der quadratische Mittelwert zu $m_{2x} {=6}$. Daraus kann die Varianz mit dem Satz von Steiner berechnet werden:
-:Daraus kann die Varianz mit dem Satz von Steiner berechnet werden:
+Im Sonderfall $M= 5$ ergibt sich für die Varianz $\sigma_x^2 \;\underline{= 2}$.
-:Im Sonderfall <i>M</i> = 5 ergibt sich die <u>Varianz <i>&sigma;</i><sub><i>x</i></sub><sup>2</sup> = 2</u>.
+'''(3)'''&nbsp; Aufgrund der Symmetrie von $y$ gilt unabh&auml;ngig von $M$: &nbsp; $m_x \;\underline{= 2}$.
-:<b>4.</b>&nbsp;&nbsp;Zwischen <i>x</i>(<i>t</i>) und <i>y</i>(<i>t</i>) gilt folgender Zusammenhang:
+'''(4)'''&nbsp; Zwischen $x(t)$  und $y(t)$ gilt folgender Zusammenhang:
-:$$y(t)=\frac{\rm 2\cdot \it y_{\rm 0}}{\it M-\rm 1}\cdot [\it x(t)-m_x].$$
+$$y(t)=\frac{2\cdot  y_{\rm 0}}{M-\rm 1}\cdot [x(t)-m_x].$$
-:Daraus folgt f&uuml;r die Varianzen:
+Daraus folgt f&uuml;r die Varianzen:
-:$$\it \sigma_y^{\rm 2}=\frac{\rm 4\cdot\it y_{\rm 0}^{\rm 2}}{(\it M - \rm 1)^{\rm 2}}\cdot\it \sigma_x^{\rm 2}=\frac{y_{\rm 0}^{\rm 2}\cdot (\it M^{\rm 2}-\rm 1)}{\rm 3\cdot (\it M-\rm 1)^{\rm 2}}=\frac{y_{\rm 0}^{\rm 2}\cdot (\it M+\rm 1)}{\rm 3\cdot (\it M-\rm 1)}.$$
+$$\sigma_y^{\rm 2}=\frac{4\cdot y_{\rm 0}^{\rm 2}}{( M - 1)^{\rm 2}}\cdot \sigma_x^{\rm 2}=\frac{y_{\rm 0}^{\rm 2}\cdot (M^{\rm 2}-1)}{3\cdot (M- 1)^{\rm 2}}=\frac{y_{\rm 0}^{\rm 2}\cdot ( M+ 1)}{ 3\cdot ( M- 1)}.$$
-:Im Sonderfall <i>M</i> = 5 ergibt sich für diese Varianz:
+Im Sonderfall $M= 5$ ergibt sich hierfür:
-:$$\it \sigma_y^{\rm 2}= \frac {\it y_{\rm 0}^{\rm 2} \cdot {\rm 6}}{\rm 3 \cdot 4}\hspace{0.15cm} \underline{=\rm2\,V^{2}}.$$
+$$\it \sigma_y^{\rm 2}= \frac {\it y_{\rm 0}^{\rm 2} \cdot {\rm 6}}{\rm 3 \cdot 4}\hspace{0.15cm} \underline{=\rm2\,V^{2}}.$$
 {{ML-Fuß}}