Aufgaben:Aufgabe 2.2: Kraftsche Ungleichung - Versionsgeschichte

Guenter am 7. Juli 2021 um 14:18 Uhr

2021-07-07T14:18:20Z

Guenter am 7. Juli 2021 um 14:02 Uhr

2021-07-07T14:02:16Z

Guenter am 21. Januar 2020 um 17:16 Uhr

2020-01-21T17:16:05Z

Guenter am 21. Januar 2020 um 17:08 Uhr

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Guenter am 23. September 2018 um 13:36 Uhr

2018-09-23T13:36:52Z

Guenter am 23. September 2018 um 13:21 Uhr

2018-09-23T13:21:40Z

Mwiki-lnt: Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

2018-05-29T12:02:42Z

Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

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2018-01-03T13:57:00Z

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Guenter am 16. Mai 2017 um 12:38 Uhr

2017-05-16T12:38:22Z

Guenter am 16. Mai 2017 um 12:00 Uhr

2017-05-16T12:00:06Z

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 Diese Eigenschaft weist zum Beispiel der Binärcode&nbsp;  $\rm B2$&nbsp; auf: &nbsp;
-*Je ein Codewort hat hier die Länge&nbsp; $1$,&nbsp; $2$&nbsp; bzw.&nbsp; $3$&nbsp; $(N_1 = N_2 = N_3 = 1)$.
+*Je ein Codewort hat hier die Länge&nbsp; $1$,&nbsp; $2$&nbsp; bzw.&nbsp; $3$&nbsp; $(N_1 = 1,\ N_2 = 2,\ N_3 = 3)$.
-*Zwei Codeworte haben die Länge&nbsp; $L_\mu = 4$&nbsp; $(N_4 = N_5 = 2)$.
+*Zwei Codeworte haben die Länge&nbsp; $L_\mu = 4$&nbsp; $(N_4 = N_5 = 4)$.

@@ Zeile 27: / Zeile 27: @@
 Hierbei bezeichnen
-* $M$&nbsp; die Anzahl der möglichen Quellensymbole&nbsp; $q_\mu$,
+* $M$&nbsp; die Anzahl der möglichen Quellensymbole&nbsp; $q_\mu$ &nbsp; &rArr; &nbsp; &bdquo;Symbolumfang&rdquo;,
 * $L_\mu$&nbsp; die Länge des zum Quellensymbol&nbsp; $q_\mu$&nbsp; gehörigen Codewortes&nbsp;  $c_\mu$,
 * $D = 2$&nbsp; kennzeichnet einen Binärcode&nbsp; $(\rm 0$  oder&nbsp; $\rm 1)$&nbsp; und&nbsp; $D = 3$&nbsp; einen Ternärcode&nbsp; $(\rm 0$,&nbsp; $\rm 1$,&nbsp; $\rm 2)$.
-Ein Code kann nur dann präfixfrei sein, wenn die Kraftsche Ungleichung erfüllt ist.&nbsp; Die Umkehrung gilt nicht: &nbsp; Wird die Kraftsche Ungleichung erfüllt, so bedeutet das noch lange nicht, dass dieser Code tatsächlich präfixfrei ist.
+Ein Code kann nur dann präfixfrei sein, wenn die Kraftsche Ungleichung erfüllt ist.&nbsp; <br>Die Umkehrung gilt nicht: &nbsp; Wird die Kraftsche Ungleichung erfüllt, so bedeutet das noch lange nicht, dass dieser Code tatsächlich präfixfrei ist.

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 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 1, 2 und 3.</u> Für die angegebenen Binärcodes gilt:
+'''(1)'''&nbsp; Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 1, 2 und 3.</u>&nbsp; Für die angegebenen Binärcodes gilt:
 * $\rm B1$:&nbsp;&nbsp;&nbsp; $8 \cdot 2^{-3} = 1$ &nbsp;&nbsp;&#8658;&nbsp;&nbsp; Bedingung erfüllt,
 * $\rm B2$:&nbsp;&nbsp;&nbsp; $1 \cdot 2^{-1} + 1 \cdot 2^{-2} + 1 \cdot 2^{-3}  + 2 \cdot 2^{-4}= 1$ &nbsp;&nbsp;&#8658;&nbsp;&nbsp; Bedingung erfüllt,
 * $\rm B3$:&nbsp;&nbsp;&nbsp; $1 \cdot 2^{-1} + 1 \cdot 2^{-2} + 1 \cdot 2^{-3}  + 2 \cdot 2^{-4}= 1$ &nbsp;&nbsp;&#8658;&nbsp;&nbsp; Bedingung erfüllt,
 * $\rm B4$:&nbsp;&nbsp;&nbsp; $1 \cdot 2^{-1} + 1 \cdot 2^{-2} + 2 \cdot 2^{-3}  + 1 \cdot 2^{-4}= 17/16$ &nbsp;&nbsp;&#8658;&nbsp;&nbsp; Bedingung <u>nicht</u> erfüllt.
 '''(2)'''&nbsp; Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 1 und 2:</u>
-*Der Code $\rm B4$, der die Kraftsche Ungleichung nicht erfüllt, ist mit Sicherheit auch nicht präfixfrei.
+*Der Code&nbsp; $\rm B4$, der die Kraftsche Ungleichung nicht erfüllt, ist mit Sicherheit auch nicht präfixfrei.
 *Aber bei Erfüllung der Kraftschen Ungleichung ist noch nicht sicher, dass dieser Code auch präfixfrei ist.
-*Beim Code $\rm B3$ ist &bdquo;10&rdquo; der Beginn des Codewortes &bdquo;1011&rdquo;.
+*Beim Code&nbsp; $\rm B3$&nbsp; ist &bdquo;10&rdquo; der Beginn des Codewortes &bdquo;1011&rdquo;.
-*Dagegen sind die Codes $\rm B1$ und $\rm B2$ tatsächlich präfixfrei.
+*Dagegen sind die Codes&nbsp; $\rm B1$&nbsp; und&nbsp; $\rm B2$&nbsp; tatsächlich präfixfrei.
 '''(3)'''&nbsp; Richtig sind die <u>Antworten 1 und 3</u>:
 *Die Kraftsche Ungleichung wird von allen drei Codes erfüllt.
-*Wie aus der Tabelle hervorgeht, sind die Codes $\rm T1$ und $\rm T3$ tatsächlich präfixfrei.
+*Wie aus der Tabelle hervorgeht, sind die Codes&nbsp; $\rm T1$&nbsp; und&nbsp; $\rm T3$&nbsp; tatsächlich präfixfrei.
-*Der Code $\rm T2$ ist dagegen nicht präfixfrei, da &bdquo;1&rdquo; der Beginn des Codewortes &bdquo;10&rdquo; ist.
+*Der Code&nbsp; $\rm T2$&nbsp; ist dagegen nicht präfixfrei, da &bdquo;1&rdquo; der Beginn des Codewortes &bdquo;10&rdquo; ist.
 '''(4)'''&nbsp; $N_i$ gibt an, wieviele Codeworte  mit $i$ Symbolen  es im Code gibt. Für den Code $\rm T1$ gilt:
 :$$N_1 \hspace{0.15cm}\underline{= 1}\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}N_2 \hspace{0.15cm}\underline{= 2}\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}N_3 \hspace{0.15cm}\underline{= 6}\hspace{0.05cm}.$$
 '''(5)'''&nbsp; Nach der Kraftschen Ungleichung muss gelten
 :$$N_1 \cdot 3^{-1} + N_2 \cdot 3^{-2} + N_3 \cdot 3^{-3 } \le 1\hspace{0.05cm}.$$
-Bei gegebenem $N_1 = 1$ und  $N_2 = 2$ wird dies erfüllt, solange gilt:
+Bei gegebenem&nbsp; $N_1 = 1$&nbsp; und&nbsp;  $N_2 = 2$&nbsp; wird dies erfüllt, solange gilt:
 :$$N_3 \cdot 3^{-3 } \le 1 - 1/3 - 2/9 = 4/9 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}N_3  \le 12 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} {\rm \Delta}\,N_3
 \hspace{0.15cm}\underline{= 6}\hspace{0.05cm}.$$
-Die zusätzlichen Codeworte sind $\rm 210, \,211, \,212, \,220, \,221, \,222$.
+Die zusätzlichen Codeworte sind&nbsp; $\rm 210, \,211, \,212, \,220, \,221, \,222$.
-'''(6)'''&nbsp; Für den Code $\rm T3$ gilt:
+'''(6)'''&nbsp; Für den Code&nbsp; $\rm T3$&nbsp; gilt:
-*$S({\rm T3})= 2 \cdot 3^{-1} + 2 \cdot 3^{-2} + 1 \cdot 3^{-3 } = {25}/{27}\hspace{0.05cm}.$
+*$S({\rm T3})= 2 \cdot 3^{-1} + &nbsp;2 \cdot 3^{-2} + 1 \cdot 3^{-3 } = {25}/{27}\hspace{0.05cm}.$
-*Wegen $S({\rm T3}) \le 1$ erfüllt der Ternärcode $\rm T3$ die Kraftsche Ungleichung und er ist zudem auch präfixfrei.
+*Wegen&nbsp; $S({\rm T3}) \le 1$&nbsp; erfüllt der Ternärcode&nbsp; $\rm T3$&nbsp; die Kraftsche Ungleichung und er ist zudem auch präfixfrei.
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 Richtig sind also die <u>zwei letzten</u> Lösungsvorschläge.
-Beispielsweise lauten die insgesamt $N = 9$ Codeworte des präfixfreien Codes $\rm T6$:
+Beispielsweise lauten die insgesamt&nbsp; $N = 9$&nbsp; Codeworte des präfixfreien Codes&nbsp; $\rm T6$:
 :$$\rm 0, \, 1, \, 20, \,21, \,220, \,221, \,2220, \, 2221 , \,2222.$$
 {{ML-Fuß}}

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 }}
-[[Datei:P_ID2416__Inf_A_2_2.png|right|frame|Beispielhafte Binär– und Ternärcodes]]
+[[Datei:P_ID2416__Inf_A_2_2.png|right|frame|Vier Beispiele für Binärcodes und dazu drei Ternärcodes]]
 In der Abbildung sind einige beispielhafte Binär&ndash; und Ternärcodes angegeben.
-Beim Binärcode $\rm B1$ werden alle möglichen Quellensymbole $q_\mu$ (mit Laufindex $\mu = 1$, ... , $8$) durch jeweils eine Codesymbolfolge $\langle c_\mu \rangle $ einheitlicher Länge $L_\mu = 3$ dargestellt. Dieser Code ist aus diesem Grund zur Datenkomprimierung ungeeignet.
+*Beim Binärcode&nbsp; $\rm B1$&nbsp; werden alle möglichen Quellensymbole&nbsp; $q_\mu$&nbsp; $($mit Laufindex&nbsp; $\mu = 1$, ... , $8)$&nbsp; durch jeweils eine Codesymbolfolge&nbsp; $\langle c_\mu \rangle $&nbsp; einheitlicher Länge&nbsp; $L_\mu = 3$&nbsp; dargestellt.
 Die Möglichkeit zur Datenkomprimierung ergibt sich erst dann, wenn
-* die $M$ Quellensymbole nicht gleichwahrscheinlich sind, und
+* die&nbsp; $M$&nbsp; Quellensymbole nicht gleichwahrscheinlich, und
-*die Länge $L_\mu$ der Codeworte unterschiedlich sind.
+*die Länge&nbsp; $L_\mu$&nbsp; der Codeworte unterschiedlich sind.
-Diese Eigenschaft weist zum Beispiel der Binärcode  $\rm B2$ auf: &nbsp;
+Diese Eigenschaft weist zum Beispiel der Binärcode&nbsp;  $\rm B2$&nbsp; auf: &nbsp;
-*Je ein Codewort hat hier die Länge $1$, $2$ bzw. $3$ ($N_1 = N_2 = N_3 = 1$).
+*Je ein Codewort hat hier die Länge&nbsp; $1$,&nbsp; $2$&nbsp; bzw.&nbsp; $3$&nbsp; $(N_1 = N_2 = N_3 = 1)$.
-*Zwei Codeworte haben die Länge $L_\mu = 4$ ($N_4 = N_5 = 2$).
+*Zwei Codeworte haben die Länge&nbsp; $L_\mu = 4$&nbsp; $(N_4 = N_5 = 2)$.
-Voraussetzung für die Decodierbarkeit eines solchen Codes ist, dass der Code '''präfixfrei''' ist.  Das heißt, dass kein Codewort der Präfix (also der Beginn) eines längeren Codewortes sein darf.
+Voraussetzung für die Decodierbarkeit eines solchen Codes ist, dass der Code&nbsp; '''präfixfrei'''&nbsp; ist.&nbsp;
-Eine notwendige Bedingung dafür, dass ein Code zur Datenkomprimierung  präfixfrei sein kann, wurde 1949 von Leon Kraft angegeben, die so genannte  '''Kraftsche Ungleichung''':
+*Eine notwendige Bedingung dafür, dass ein Code zur Datenkomprimierung  präfixfrei sein kann, wurde 1949 von Leon Kraft angegeben, die so genannte&nbsp;  '''Kraftsche Ungleichung''':
 :$$\sum_{\mu=1}^{M} \hspace{0.2cm} D^{-L_{\mu}} \le 1 \hspace{0.05cm}.$$
 Hierbei bezeichnen
-* $M$ die Anzahl der möglichen Quellensymbole $q_\mu$,
+* $M$&nbsp; die Anzahl der möglichen Quellensymbole&nbsp; $q_\mu$,
-* $L_\mu$ die Länge des zum Quellensymbol $q_\mu$ gehörigen Codewortes  $c_\mu$,
+* $L_\mu$&nbsp; die Länge des zum Quellensymbol&nbsp; $q_\mu$&nbsp; gehörigen Codewortes&nbsp;  $c_\mu$,
-* $D = 2$ kennzeichnet einen Binärcode ($\rm 0$  oder $\rm 10$) und $D = 32$ einen Ternärcode ($\rm 0$, $\rm 1$, $\rm 2$).
+* $D = 2$&nbsp; kennzeichnet einen Binärcode&nbsp; $(\rm 0$  oder&nbsp; $\rm 1)$&nbsp; und&nbsp; $D = 3$&nbsp; einen Ternärcode&nbsp; $(\rm 0$,&nbsp; $\rm 1$,&nbsp; $\rm 2)$.
 ''Hinweis:''
-*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Informationstheorie/Allgemeine_Beschreibung|Allgemeine Beschreibung der Quellencodierung]].
+*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Informationstheorie/Allgemeine_Beschreibung|Allgemeine Beschreibung der Quellencodierung]].
@@ Zeile 63: / Zeile 69: @@
-{Wie lauten die Kenngrößen des Ternärecodes $\rm T1$?
+{Wie lauten die Kenngrößen des Ternärecodes&nbsp; $\rm T1$?
 |type="{}"}
 $ N_1 \ = \ $ { 1 }
@@ Zeile 71: / Zeile 77: @@
-{Wieviel 3&ndash;wertige Codeworte $(L_\mu = 3)$ könnte man dem Code $\rm T1$ hinzufügen, ohne dass sich an der Präfixfreiheit etwas ändert?
+{Wieviel dreiwertige Codeworte&nbsp; $(L_\mu = 3)$&nbsp; könnte man dem Code&nbsp; $\rm T1$&nbsp; hinzufügen, ohne dass sich an der Präfixfreiheit etwas ändert?
 |type="{}"}
 $\Delta N_3 \ = \ $ { 6 }
-{Der Ternärcode $\rm T3$ soll auf insgesamt $N = 9$ Codeworte erweitert werden. <br>Wie erreicht man das ohne Verletzung der Präfixfreiheit?
+{Der Ternärcode&nbsp; $\rm T3$&nbsp; soll auf insgesamt&nbsp; $N = 9$&nbsp; Codeworte erweitert werden.&nbsp; Wie erreicht man das ohne Verletzung der Präfixfreiheit?
 |type="[]"}
-- Ergänzung um vier 3&ndash;wertige Codeworte.
+- Ergänzung um vier dreiwertige Codeworte.
-+ Ergänzung um vier 4&ndash;wertige Codeworte.
++ Ergänzung um vier vierwertige Codeworte.
-+ Ergänzung um ein 3&ndash;wertiges und drei 4&ndash;wertige Codeworte.
++ Ergänzung um ein dreiwertiges und drei vierwertige Codeworte.

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 {{ML-Kopf}}
 '''(1)'''&nbsp; Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 1, 2 und 3.</u> Für die angegebenen Binärcodes gilt:
-* B1:&nbsp;&nbsp;&nbsp; $8 \cdot 2^{-3} = 1$ &nbsp;&nbsp;&#8658;&nbsp;&nbsp; Bedingung erfüllt,
+* $\rm B1$:&nbsp;&nbsp;&nbsp; $8 \cdot 2^{-3} = 1$ &nbsp;&nbsp;&#8658;&nbsp;&nbsp; Bedingung erfüllt,
-* B2:&nbsp;&nbsp;&nbsp; $1 \cdot 2^{-1} + 1 \cdot 2^{-2} + 1 \cdot 2^{-3}  + 2 \cdot 2^{-4}= 1$ &nbsp;&nbsp;&#8658;&nbsp;&nbsp; Bedingung erfüllt,
+* $\rm B2$:&nbsp;&nbsp;&nbsp; $1 \cdot 2^{-1} + 1 \cdot 2^{-2} + 1 \cdot 2^{-3}  + 2 \cdot 2^{-4}= 1$ &nbsp;&nbsp;&#8658;&nbsp;&nbsp; Bedingung erfüllt,
-* B3:&nbsp;&nbsp;&nbsp; $1 \cdot 2^{-1} + 1 \cdot 2^{-2} + 1 \cdot 2^{-3}  + 2 \cdot 2^{-4}= 1$ &nbsp;&nbsp;&#8658;&nbsp;&nbsp; Bedingung erfüllt,
+* $\rm B3$:&nbsp;&nbsp;&nbsp; $1 \cdot 2^{-1} + 1 \cdot 2^{-2} + 1 \cdot 2^{-3}  + 2 \cdot 2^{-4}= 1$ &nbsp;&nbsp;&#8658;&nbsp;&nbsp; Bedingung erfüllt,
-* B4:&nbsp;&nbsp;&nbsp; $1 \cdot 2^{-1} + 1 \cdot 2^{-2} + 2 \cdot 2^{-3}  + 1 \cdot 2^{-4}= 17/16$ &nbsp;&nbsp;&#8658;&nbsp;&nbsp; Bedingung <u>nicht</u> erfüllt.
+* $\rm B4$:&nbsp;&nbsp;&nbsp; $1 \cdot 2^{-1} + 1 \cdot 2^{-2} + 2 \cdot 2^{-3}  + 1 \cdot 2^{-4}= 17/16$ &nbsp;&nbsp;&#8658;&nbsp;&nbsp; Bedingung <u>nicht</u> erfüllt.
 '''(2)'''&nbsp; Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 1 und 2:</u>
-*Der Code B4, der die Kraftsche Ungleichung nicht erfüllt, ist mit Sicherheit auch nicht präfixfrei.
+*Der Code $\rm B4$, der die Kraftsche Ungleichung nicht erfüllt, ist mit Sicherheit auch nicht präfixfrei.
 *Aber bei Erfüllung der Kraftschen Ungleichung ist noch nicht sicher, dass dieser Code auch präfixfrei ist.
-*Beim Code B3 ist &bdquo;10&rdquo; der Beginn des Codewortes &bdquo;1011&rdquo;.
+*Beim Code $\rm B3$ ist &bdquo;10&rdquo; der Beginn des Codewortes &bdquo;1011&rdquo;.
-*Dagegen sind die Codes B1 und B2 tatsächlich präfixfrei.
+*Dagegen sind die Codes $\rm B1$ und $\rm B2$ tatsächlich präfixfrei.
 '''(3)'''&nbsp; Richtig sind die <u>Antworten 1 und 3</u>:
 *Die Kraftsche Ungleichung wird von allen drei Codes erfüllt.
-*Wie aus der Tabelle hervorgeht, sind die Codes T1 und T3 tatsächlich präfixfrei.
+*Wie aus der Tabelle hervorgeht, sind die Codes $\rm T1$ und $\rm T3$ tatsächlich präfixfrei.
-*Der Code T2 ist dagegen nicht präfixfrei, da &bdquo;1&rdquo; der Beginn des Codewortes &bdquo;10&rdquo; ist.
+*Der Code $\rm T2$ ist dagegen nicht präfixfrei, da &bdquo;1&rdquo; der Beginn des Codewortes &bdquo;10&rdquo; ist.
-'''(4)'''&nbsp; $N_i$ gibt an, wieviele Codeworte  mit $i$ Symbolen  es im Code gibt. Für den Code T1 gilt:
+'''(4)'''&nbsp; $N_i$ gibt an, wieviele Codeworte  mit $i$ Symbolen  es im Code gibt. Für den Code $\rm T1$ gilt:
 :$$N_1 \hspace{0.15cm}\underline{= 1}\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}N_2 \hspace{0.15cm}\underline{= 2}\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}N_3 \hspace{0.15cm}\underline{= 6}\hspace{0.05cm}.$$
@@ Zeile 120: / Zeile 120: @@
-'''(6)'''&nbsp; Für den Code T3 gilt: $S({\rm T3})= 2 \cdot 3^{-1} + 2 \cdot 3^{-2} + 1 \cdot 3^{-3 } = {25}/{27}\hspace{0.05cm}.$
+'''(6)'''&nbsp; Für den Code $\rm T3$ gilt:
-Wegen $S(T3) \le 1$ erfüllt der Ternärcode T3 die Kraftsche Ungleichung und er ist zudem auch präfixfrei. Betrachten wir nun die vorgeschlagenen neuen Codes.
+*$S({\rm T3})= 2 \cdot 3^{-1} + 2 \cdot 3^{-2} + 1 \cdot 3^{-3 } = {25}/{27}\hspace{0.05cm}.$
-* Code T4 ($N_1 = 2, N_2 = 2, N_3 = 5$:
+*Wegen $S({\rm T3}) \le 1$ erfüllt der Ternärcode $\rm T3$ die Kraftsche Ungleichung und er ist zudem auch präfixfrei.
 :$$S({\rm T4})= S({\rm T3}) + 4 \cdot 3^{-3 } = {29}/{27}\hspace{0.1cm} > \hspace{0.1cm}1\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} {\rm T4 \hspace{0.15cm}ist\hspace{0.15cm} ungeeignet}\hspace{0.05cm},$$
-* Code T5 ($N_1 = 2, N_2 = 2, N_3 = 1, N_4 = 4$):
+* Code $\rm T5$ $(N_1 = 2, \ N_2 = 2, \ N_3 = 1, \ N_4 = 4)$:
 :$$S({\rm T5})= S({\rm T3}) + 4 \cdot 3^{-4 } = {79}/{81}\hspace{0.1cm} < \hspace{0.1cm}1\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} {\rm T5 \hspace{0.15cm}ist\hspace{0.15cm} geeignet}\hspace{0.05cm},$$
-* Code T6 ($N_1 = 2, N_2 = 2, N_3 = 2, N_4 = 3$):
+* Code $\rm T6$ $(N_1 = 2, \ N_2 = 2, \ N_3 = 2, \ N_4 = 3)$:
 :$$S({\rm T6})= S({\rm T3}) + 1 \cdot 3^{-3 } + 3 \cdot 3^{-4 } = \frac{75 + 3 + 3}{81}\hspace{0.1cm} = \hspace{0.1cm}1\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} {\rm T6 \hspace{0.15cm}ist\hspace{0.15cm} geeignet}\hspace{0.05cm}.$$
 Richtig sind also die <u>zwei letzten</u> Lösungsvorschläge.
-Beispielsweise lauten die insgesamt $N = 9$ Codeworte des präfixfreien Codes T6:
+Beispielsweise lauten die insgesamt $N = 9$ Codeworte des präfixfreien Codes $\rm T6$:
 :$$\rm 0, \, 1, \, 20, \,21, \,220, \,221, \,2220, \, 2221 , \,2222.$$
 {{ML-Fuß}}

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 }}
-[[Datei:P_ID2416__Inf_A_2_2.png|right|Beispielhafte Binär– und Ternärcodes]]
+[[Datei:P_ID2416__Inf_A_2_2.png|right|frame|Beispielhafte Binär– und Ternärcodes]]
-In der rechten Abbildung sind einige beispielhafte Binär&ndash; und Ternärcodes angegeben.
+In der Abbildung sind einige beispielhafte Binär&ndash; und Ternärcodes angegeben.
-Beim Binärcode '''B1''' werden alle möglichen Quellensymbole $q_\mu$ (mit Laufindex $\mu = 1$, ... , $8$) durch jeweils eine Codesymbolfolge $\langle q_\mu \rangle $ einheitlicher Länge $L_\mu = 3$ dargestellt. Dieser Code ist aus diesem Grund zur Datenkomprimierung ungeeignet.
+Beim Binärcode $\rm B1$ werden alle möglichen Quellensymbole $q_\mu$ (mit Laufindex $\mu = 1$, ... , $8$) durch jeweils eine Codesymbolfolge $\langle c_\mu \rangle $ einheitlicher Länge $L_\mu = 3$ dargestellt. Dieser Code ist aus diesem Grund zur Datenkomprimierung ungeeignet.
 Die Möglichkeit zur Datenkomprimierung ergibt sich erst dann, wenn
@@ Zeile 13: / Zeile 13: @@
-Diese Eigenschaft weist zum Beispiel der Binärcode  '''B2''' auf: Je ein Codewort hat hier die Länge $1$, $2$ bzw. $3$ ($N_1 = N_2 = N_3 = 1$) und zwei Codeworte haben die Länge $L_\mu = 4$ ($N_4 = N_5 = 2$).
+Diese Eigenschaft weist zum Beispiel der Binärcode  $\rm B2$ auf: &nbsp;
-Eine notwendige Bedingung dafür, dass ein Code zur Datenkomprimierung  präfixfrei sein kann, wurde 1949 von Leon Kraft angegeben, die so genannte  Kraftsche Ungleichung:
+Voraussetzung für die Decodierbarkeit eines solchen Codes ist, dass der Code '''präfixfrei''' ist.  Das heißt, dass kein Codewort der Präfix (also der Beginn) eines längeren Codewortes sein darf.
 :$$\sum_{\mu=1}^{M} \hspace{0.2cm} D^{-L_{\mu}} \le 1 \hspace{0.05cm}.$$
 Hierbei bezeichnen
 * $M$ die Anzahl der möglichen Quellensymbole $q_\mu$,
-* $L_\mu$ die Länge des zum Quellensymbol $L_\mu$ gehörigen Codewortes  $c_\mu$,
+* $L_\mu$ die Länge des zum Quellensymbol $q_\mu$ gehörigen Codewortes  $c_\mu$,
-* $D = 2$ einen Binärcode ($\rm 0$  oder $\rm 10$) und $D = 32$ einen Ternärcode ($\rm 0$, $\rm 1$, $\rm 2$).
+* $D = 2$ kennzeichnet einen Binärcode ($\rm 0$  oder $\rm 10$) und $D = 32$ einen Ternärcode ($\rm 0$, $\rm 1$, $\rm 2$).
-Ein Code kann nur dann präfixfrei sein, wenn die Kraftsche Ungleichung erfüllt ist. Die Umkehrung gilt nicht: Wird die Kraftsche Ungleichung erfüllt, so bedeutet das noch lange nicht, dass dieser Code tatsächlich präfixfrei ist.
+Ein Code kann nur dann präfixfrei sein, wenn die Kraftsche Ungleichung erfüllt ist. Die Umkehrung gilt nicht: &nbsp; Wird die Kraftsche Ungleichung erfüllt, so bedeutet das noch lange nicht, dass dieser Code tatsächlich präfixfrei ist.
-''Hinweise:''
+''Hinweis:''
 *Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Informationstheorie/Allgemeine_Beschreibung|Allgemeine Beschreibung der Quellencodierung]].
@@ Zeile 39: / Zeile 42: @@
 {Welche der Binärcodes erfüllen die Kraftsche Ungleichung?
 |type="[]"}
-+ B1,
++ $\rm B1$,
-+ B2,
++ $\rm B2$,
-+ B3,
++ $\rm B3$,
-- B4.
+- $\rm B4$.
 {Welche der vorgegebenen Binärcodes sind präfixfrei?
 |type="[]"}
-+ B1,
++ $\rm B1$,
-+ B2,
++ $\rm B2$,
-- B3,
+- $\rm B3$,
-- B4.
+- $\rm B4$.
 {Welche der vorgegebenen Ternärcodes sind präfixfrei?
 |type="[]"}
-+ T1,
++ $\rm T1$,
-- T2,
+- $\rm T2$,
-+ T3.
++ $\rm T3$.
-{Wie lauten die Kenngrößen des Ternärecodes '''T1'''?
+{Wie lauten die Kenngrößen des Ternärecodes $\rm T1$?
 |type="{}"}
-$ N_1 \ = $ { 1 }
+$ N_1 \ = \ $ { 1 }
-$ N_2 \ = $ { 2 }
+$ N_2 \ = \ $ { 2 }
-$ N_3 \ = $ { 6 }
+$ N_3 \ = \ $ { 6 }
-{Wieviel 3&ndash;wertige Codeworte ($L_\mu = 3$) könnte man dem Code '''T1''' hinzufügen, ohne dass sich an der Präfixfreiheit etwas ändert?
+{Wieviel 3&ndash;wertige Codeworte $(L_\mu = 3)$ könnte man dem Code $\rm T1$ hinzufügen, ohne dass sich an der Präfixfreiheit etwas ändert?
 |type="{}"}
-$\Delta N_3 \ = $ { 6 }
+$\Delta N_3 \ = \ $ { 6 }
-{Der Ternärcode '''T3''' soll auf insgesamt $N = 9$ Codeworte erweitert werden. Wie erreicht man das ohne Verletzung der Präfixfreiheit?
+{Der Ternärcode $\rm T3$ soll auf insgesamt $N = 9$ Codeworte erweitert werden. <br>Wie erreicht man das ohne Verletzung der Präfixfreiheit?
 |type="[]"}
 - Ergänzung um vier 3&ndash;wertige Codeworte.

@@ Zeile 86: / Zeile 86: @@
 {{ML-Kopf}}
 '''(1)'''&nbsp; Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 1, 2 und 3.</u> Für die angegebenen Binärcodes gilt:
-* B1:&nbsp;&nbsp;&nbsp; $8 \cdot; 2^3 = 1$ &nbsp;&nbsp;&#8658;&nbsp;&nbsp; Bedingung erfüllt,
+* B1:&nbsp;&nbsp;&nbsp; $8 \cdot 2^{-3} = 1$ &nbsp;&nbsp;&#8658;&nbsp;&nbsp; Bedingung erfüllt,
+* B2:&nbsp;&nbsp;&nbsp; $1 \cdot 2^{-1} + 2 \cdot 2^{-2} + 1 \cdot 2^{-3}  + 2 \cdot 2^{-4}= 1$ &nbsp;&nbsp;&#8658;&nbsp;&nbsp; Bedingung erfüllt,
 :* B3:&nbsp;&nbsp;&nbsp; 1 &middot; 2<sup>&ndash;1</sup> + 1 &middot; 2<sup>&ndash;2</sup> + 1 &middot; 2<sup>&ndash;3</sup> + 2 &middot; 2<sup>&ndash;4</sup> = 1 &nbsp;&nbsp;&#8658;&nbsp;&nbsp; Bedingung erfüllt,