Aufgaben:Aufgabe 2.2: Eigenschaften von Galoisfeldern - Versionsgeschichte

Guenter am 28. August 2022 um 13:39 Uhr

2022-08-28T13:39:48Z

Guenter am 28. August 2022 um 13:25 Uhr

2022-08-28T13:25:30Z

Guenter am 16. Mai 2019 um 15:03 Uhr

2019-05-16T15:03:03Z

Guenter am 16. Mai 2019 um 14:52 Uhr

2019-05-16T14:52:57Z

Tasnad: Textersetzung - „* Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein. “ durch „“

2018-05-29T11:27:23Z

Textersetzung - „* Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein. “ durch „“

Guenter am 7. Januar 2018 um 16:33 Uhr

2018-01-07T16:33:07Z

Guenter am 7. Januar 2018 um 16:19 Uhr

2018-01-07T16:19:46Z

Guenter am 7. Januar 2018 um 16:13 Uhr

2018-01-07T16:13:11Z

Guenter: Guenter verschob die Seite Aufgaben:2.2 Eigenschaften von Galoisfeldern nach Aufgaben:Aufgabe 2.2: Eigenschaften von Galoisfeldern

2018-01-03T09:18:37Z

Guenter verschob die Seite 2.2 Eigenschaften von Galoisfeldern nach Aufgabe 2.2: Eigenschaften von Galoisfeldern

Hussain am 15. Dezember 2017 um 08:35 Uhr

2017-12-15T08:35:25Z

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 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; Allgemein gilt für $0 &#8804; \mu &#8804; 4 \text{:} \hspace{0.2cm} A_{\mu 4} = (\mu + 4) \, {\rm mod} \, 5$. Daraus folgt:
+'''(1)'''&nbsp; Allgemein gilt für&nbsp; $0 &#8804; \mu &#8804; 4 \text{:} \hspace{0.2cm} A_{\mu 4} = (\mu + 4) \, {\rm mod} \, 5$.&nbsp; Daraus folgt:
 :$$A_{04} \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} (0+4) \hspace{0.1cm}{\rm mod} \hspace{0.1cm} 5 \hspace{0.15cm}\underline{= 4}\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}A_{14}=(1+4) \hspace{0.1cm}{\rm mod} \hspace{0.1cm} 5 \hspace{0.15cm}\underline{= 0}\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}A_{24}=(2+4) \hspace{0.1cm}{\rm mod} \hspace{0.1cm} 5 = 1\hspace{0.05cm},$$
 :$$A_{34} \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} (3+4)\hspace{0.1cm}{\rm mod} \hspace{0.1cm} 5= 2\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}A_{44}=(4+4) \hspace{0.1cm}{\rm mod} \hspace{0.1cm} 5 \hspace{0.15cm}\underline{= 3}\hspace{0.05cm}.$$
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-'''(2)'''&nbsp; Nun gilt $M_{\mu 4} = (\mu \cdot 4) \, {\rm mod} \, 5$ und man erhält:
+'''(2)'''&nbsp; Nun gilt&nbsp; $M_{\mu 4} = (\mu \cdot 4) \, {\rm mod} \, 5$&nbsp; und man erhält:
 :$$M_{04} \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} (0\cdot4) \hspace{0.1cm}{\rm mod} \hspace{0.1cm} 5 \hspace{0.15cm}\underline{= 0}\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}M_{14}=(1\cdot4) \hspace{0.1cm}{\rm mod} \hspace{0.1cm} 5 \hspace{0.15cm}\underline{= 4}\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}M_{24}=(2\cdot4) \hspace{0.1cm}{\rm mod} \hspace{0.1cm} 5 = 3\hspace{0.05cm},$$
 :$$M_{34} \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} (3\cdot4)\hspace{0.1cm}{\rm mod} \hspace{0.1cm} 5 = 2\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}M_{44}=(4\cdot 4) \hspace{0.1cm}{\rm mod} \hspace{0.1cm} 5 \hspace{0.15cm}\underline{= 1}\hspace{0.05cm}.$$
-Da die Multiplikation ebenfalls kommutativ ist, stimmt auch in der Multiplikationstabelle die letzte Spalte wieder mit der letzten Zeile überein.
+Da die Multiplikation ebenfalls kommutativ ist,&nbsp; stimmt auch in der Multiplikationstabelle die letzte Spalte wieder mit der letzten Zeile überein.
-[[Datei:P_ID2493__KC_A_2_2c.png|right|frame|Tabellen zur Addition und Multiplikation für $q = 5$]]
+[[Datei:P_ID2493__KC_A_2_2c.png|right|frame|Tabellen für&nbsp; $q = 5$]]
-'''(3)'''&nbsp; Die Grafik zeigt die vollständigen Additions&ndash; und Multiplikationstabellen für $q = 5$. Man erkennt:
+'''(3)'''&nbsp; Die Grafik zeigt die vollständigen Additions&ndash; und Multiplikationstabellen für&nbsp; $q = 5$.&nbsp; Man erkennt:
-* In der Additionstabelle gibt es in jeder Zeile (und auch in jeder Spalte) genau eine Null. Zu jedem $z_i &#8712; Z_5$ gibt es also ein ${\rm Inv}_{\rm A} (z_i)$, das die Bedingung $[z_i + {\rm Inv}_{\rm A}(z_i)] \, {\rm mod} \, 5 = 0$ erfüllt:
+* In der Additionstabelle gibt es in jeder Zeile&nbsp; (und auch in jeder Spalte)&nbsp; genau eine Null.
 :$$z_i \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} 0\hspace{0.25cm} \Rightarrow \hspace{0.25cm}{\rm Inv_A}(z_i) = 0  \hspace{0.05cm},$$
 :$$z_i \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} 1\hspace{0.25cm} \Rightarrow \hspace{0.25cm}{\rm Inv_A}(z_i) = (-1) \hspace{0.1cm}{\rm mod} \hspace{0.1cm} 5 = 4 \hspace{0.05cm},$$
@@ Zeile 101: / Zeile 103: @@
 :$$z_i \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} 4\hspace{0.25cm} \Rightarrow \hspace{0.25cm}{\rm Inv_A}(z_i) = (-4) \hspace{0.1cm}{\rm mod} \hspace{0.1cm} 5 = 1 \hspace{0.05cm}.$$
-* In der Multiplikationstabelle lassen wir das Nullelement (erste Zeile und erste Spalte) außer Betracht. In allen anderen Zeilen und Spalten der unteren Tabelle gibt es tatsächlich jeweils genau eine Eins. Aus der Bedingung $[z_i \cdot {\rm Inv}_{\rm M}(z_i)] \, {\rm mod} \, 5 = 1$ erhält man:
+* In der Multiplikationstabelle lassen wir das Nullelement&nbsp; (erste Zeile und erste Spalte)&nbsp; außer Betracht.
 :$$z_i \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} 1  \hspace{0.25cm} \Rightarrow \hspace{0.25cm} {\rm Inv_M}(z_i) = 1 \hspace{0.25cm} \Rightarrow \hspace{0.25cm}  z_i \cdot {\rm Inv_M}(z_i) =  1\hspace{0.05cm},$$
 :$$z_i \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} 2  \hspace{0.25cm} \Rightarrow \hspace{0.25cm} {\rm Inv_M}(z_i) = 3 \hspace{0.25cm} \Rightarrow \hspace{0.25cm}  z_i \cdot {\rm Inv_M}(z_i) =  6 \hspace{0.1cm}{\rm mod} \hspace{0.1cm} 5 = 1 \hspace{0.05cm},$$
@@ Zeile 107: / Zeile 113: @@
 :$$z_i \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} 4  \hspace{0.25cm} \Rightarrow \hspace{0.25cm} {\rm Inv_M}(z_i) = 4 \hspace{0.25cm} \Rightarrow \hspace{0.25cm}  z_i \cdot {\rm Inv_M}(z_i) =  16 \hspace{0.1cm}{\rm mod} \hspace{0.1cm} 5 = 1 \hspace{0.05cm}.$$
-Da sowohl die erforderlichen additiven als auch die multiplikativen Inversen existieren beschreibt $Z_5$ ein Galoisfeld $\rm GF(5)$ &nbsp;
+*Da sowohl die erforderlichen additiven als auch die multiplikativen Inversen existieren beschreibt&nbsp; $Z_5$&nbsp; ein Galoisfeld&nbsp; $\rm GF(5)$ &nbsp; &#8658;&nbsp; Richtig ist der&nbsp; <u>Lösungsvorschlag 1</u>.
-'''(4)'''&nbsp; Aus der blauen Additionstabelle auf der Angabenseite erkennt man, dass alle Zahlen $0, \, 1, \, 2, \, 3, \, 4, \, 5$ der Menge $Z_6$ eine additive Inverse besitzen &nbsp;&#8658;&nbsp; in jeder Zeile (und Spalte) gibt es genau eine Null.
+'''(4)'''&nbsp; Aus der blauen Additionstabelle auf der Angabenseite erkennt man,&nbsp; dass alle Zahlen&nbsp; $0, \, 1, \, 2, \, 3, \, 4, \, 5$&nbsp; der Menge&nbsp; $Z_6$&nbsp; eine additive Inverse besitzen &nbsp;&#8658;&nbsp; in jeder Zeile (und Spalte) gibt es genau eine Null.
-Eine multiplikative Inverse ${\rm Inv}_{\rm M}(z_i)$ gibt es dagegen nur für $z_i = 1$ und $z_i = 5$, nämlich
+*Eine multiplikative Inverse&nbsp; ${\rm Inv}_{\rm M}(z_i)$&nbsp; gibt es dagegen nur für&nbsp; $z_i = 1$&nbsp; und&nbsp; $z_i = 5$,&nbsp; nämlich
 :$$z_i \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} 1  \hspace{0.25cm} \Rightarrow \hspace{0.25cm} {\rm Inv_M}(z_i) = 1 \hspace{0.25cm} \Rightarrow \hspace{0.25cm}  z_i \cdot {\rm Inv_M}(z_i) =  1\hspace{0.05cm},$$
 :$$z_i \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} 5  \hspace{0.25cm} \Rightarrow \hspace{0.25cm} {\rm Inv_M}(z_i) = 5 \hspace{0.25cm} \Rightarrow \hspace{0.25cm}  z_i \cdot {\rm Inv_M}(z_i) =  25 \hspace{0.1cm}{\rm mod} \hspace{0.1cm} 6 = 1 \hspace{0.05cm}.$$
-Für $z_i = 2, \ z_i = 3$ und $z_i = 4$ findet man dagegen kein Element $z_j$, so dass $(z_i \cdot z_j) \, {\rm mod} \, 6 = 1$ ergibt.
+*Für $z_i = 2, \ z_i = 3$ und $z_i = 4$ findet man dagegen kein Element $z_j$, so dass $(z_i \cdot z_j) \, {\rm mod} \, 6 = 1$ ergibt.
-Richtig ist also der <u>Lösungsvorschlag 3</u> &nbsp; &rArr; &nbsp; Die blauen Tabellen für $q = 6$ ergeben kein Galoisfeld $\rm GF(6)$.
+*Richtig ist also der&nbsp; <u>Lösungsvorschlag 3</u> &nbsp; &rArr; &nbsp; die blauen Tabellen für&nbsp; $q = 6$&nbsp; ergeben&nbsp; <u>kein</u> Galoisfeld&nbsp; $\rm GF(6)$.
-'''(5)'''&nbsp; Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 2</u>:
+'''(5)'''&nbsp; Richtig ist der&nbsp; <u>Lösungsvorschlag 2</u>:
-*Eine endliche Zahlenmenge $Z_q = \{0, \, 1, \hspace{0.05cm} \text{...} \hspace{0.1cm} , \, q-1\}$ natürlicher Zahlen führt nur dann zu einem &bdquo;endlichen Zahlenkörper&rdquo; (dies ist die deutsche Bezeichnung für ein Galoisfeld), wenn $q$ eine Primzahl ist.
+*Eine endliche Zahlenmenge&nbsp; $Z_q = \{0, \, 1, \hspace{0.05cm} \text{...} \hspace{0.1cm} , \, q-1\}$&nbsp; natürlicher Zahlen führt nur dann zu einem &bdquo;endlichen Zahlenkörper&rdquo;&nbsp; (dies ist die deutsche Bezeichnung für ein Galoisfeld),&nbsp; wenn&nbsp; $q$&nbsp; eine Primzahl ist.
-*Von den oben genannten Zahlenmengen trifft dies nur auf $Z_{11}$ zu.
 {{ML-Fuß}}
 [[Category:Aufgaben zu  Kanalcodierung|^2.1 Einige Grundlagen der Algebra^]]

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 Wir betrachten hier die Zahlenmengen
 * $Z_5 = \{0, \, 1, \, 2, \, 3, \, 4\} \ \Rightarrow \ q = 5$,
 * $Z_6 = \{0, \, 1, \, 2, \, 3, \, 4,\, 5\} \ \Rightarrow \ q = 6$.
-In nebenstehender Grafik sind die (teilweise unvollständigen) Additions&ndash; und Multiplikationstabellen für&nbsp; $q = 5$&nbsp; und&nbsp; $q = 6$&nbsp; angegeben, wobei sowohl die Addition&nbsp; (&bdquo;$+$&rdquo;)&nbsp; als auch die Multiplikation&nbsp; (&bdquo;$\hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm}$&rdquo;)&nbsp; modulo&nbsp; $q$&nbsp; zu verstehen sind.
+In nebenstehender Grafik sind die&nbsp; (teilweise unvollständigen)&nbsp; Additions&ndash; und Multiplikationstabellen für&nbsp; $q = 5$&nbsp; und&nbsp; $q = 6$&nbsp; angegeben,&nbsp; wobei sowohl die Addition&nbsp; (&bdquo;$+$&rdquo;)&nbsp; als auch die Multiplikation&nbsp; (&bdquo;$\hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm}$&rdquo;)&nbsp; modulo&nbsp; $q$&nbsp; zu verstehen sind.
-Zu überprüfen ist, ob die Zahlenmengen&nbsp; $Z_5$&nbsp; und&nbsp; $Z_6$&nbsp; alle Bedingungen eines Galoisfeldes&nbsp; $\rm GF(5)$&nbsp; bzw.&nbsp; $\rm GF(6)$&nbsp; erfüllen.
+Zu überprüfen ist,&nbsp; ob die Zahlenmengen&nbsp; $Z_5$&nbsp; und&nbsp; $Z_6$&nbsp; alle Bedingungen eines Galoisfeldes&nbsp; $\rm GF(5)$&nbsp; bzw.&nbsp; $\rm GF(6)$&nbsp; erfüllen.
-Im&nbsp; [[Kanalcodierung/Einige_Grundlagen_der_Algebra#Definition_eines_Galoisfeldes|Theorieteil]]&nbsp; werden insgesamt acht Bedingungen genannt, die alle erfüllt sein müssen. Sie sollen nur zwei dieser Bedingungen überprüfen:
+Im&nbsp; [[Kanalcodierung/Einige_Grundlagen_der_Algebra#Definition_eines_Galoisfeldes|"Theorieteil"]]&nbsp; werden acht Bedingungen genannt,&nbsp; die alle erfüllt sein müssen.&nbsp; Sie sollen nur zwei dieser Bedingungen überprüfen:
-$\rm(D)$&nbsp;  Für alle Elemente gibt es eine&nbsp; <b>additive Inverse</b>&nbsp; (<i>Inverse&nbsp; for&nbsp; &bdquo;$+$&rdquo;</i>):
+$\rm(D)$&nbsp;  Für alle Elemente gibt es eine&nbsp; <b>additive Inverse</b>&nbsp; (Inverse&nbsp; for&nbsp; &bdquo;$+$&rdquo;):
 :$$\forall \hspace{0.15cm}  z_i \in {\rm GF}(q),\hspace{0.15cm} \exists \hspace{0.15cm} {\rm Inv_A}(z_i) \in {\rm GF}(q)\text{:}\hspace{0.5cm}z_i + {\rm Inv_A}(z_i) = 0  \hspace{0.25cm} \Rightarrow \hspace{0.25cm}
 {\rm Inv_A}(z_i) = -z_i \hspace{0.05cm}.$$
-$\rm(E)$&nbsp;  Alle Elemente haben eine&nbsp; <b>multiplikative Inverse</b>&nbsp; (<i>Inverse&nbsp; for&nbsp; &bdquo;$\hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm}$&rdquo;</i>):
+$\rm(E)$&nbsp;  Alle Elemente haben eine&nbsp; <b>multiplikative Inverse</b>&nbsp; (Inverse&nbsp; for&nbsp; &bdquo;$\hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm}$&rdquo;):
 :$$\forall \hspace{0.15cm}  z_i \in {\rm GF}(q),\hspace{0.15cm} z_i \ne 0, \hspace{0.15cm} \exists \hspace{0.15cm} {\rm Inv_M}(z_i) \in {\rm GF}(q)\text{:}\hspace{0.5cm}z_i \cdot {\rm Inv_M}(z_i) = 1 \hspace{0.25cm} \Rightarrow \hspace{0.25cm}
 {\rm Inv_M}(z_i) = z_i^{-1}\hspace{0.05cm}.$$
-Die weiteren Bedingungen für ein Galoisfeld, nämlich
+Die weiteren Bedingungen für ein Galoisfeld,&nbsp; nämlich
 * Closure,
 * Existenz von Null&ndash; und Einselelement,
-* Gültigkeit von Kommutativ&ndash;, Assoziativ&ndash; und Distributivgesetz
+* Gültigkeit von Kommutativ&ndash;,&nbsp; Assoziativ&ndash;&nbsp; und Distributivgesetz
-''Hinweis:''
+Hinweis:&nbsp; Die Aufgabe bezieht sich auf das Kapitel&nbsp; [[Kanalcodierung/Einige_Grundlagen_der_Algebra| "Einige Grundlagen der Algebra"]].
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 ===Fragebogen===
 <quiz display=simple>
-{Ergänzen Sie die Additionstabelle für&nbsp; $q = 5$. Geben Sie folgende Werte ein:
+{Ergänzen Sie die Additionstabelle für&nbsp; $q = 5$.&nbsp; Geben Sie folgende Werte ein:
 |type="{}"}
 $A_{04} \ = \ ${ 4 }
@@ Zeile 49: / Zeile 46: @@
 $A_{44} \ = \ ${ 3 }
-{Ergänzen Sie die Multiplikationstabelle für&nbsp; $q = 5$. Geben Sie folgende Werte ein:
+{Ergänzen Sie die Multiplikationstabelle für&nbsp; $q = 5$.&nbsp; Geben Sie folgende Werte ein:
 |type="{}"}
 $M_{04} \ = \ ${ 0. }
@@ Zeile 58: / Zeile 55: @@
 |type="[]"}
 + Ja.
-- Nein, es gibt nicht für alle Elemente&nbsp; $(0, \hspace{0.05cm}\text{...} \hspace{0.1cm}, 4)$&nbsp; eine additive Inverse.
+- Nein,&nbsp; es gibt nicht für alle Elemente&nbsp; $(0, \hspace{0.05cm}\text{...} \hspace{0.1cm}, 4)$&nbsp; eine additive Inverse.
-- Nein, die Elemente&nbsp; $1, \hspace{0.05cm}\text{...} \hspace{0.1cm}, 4$&nbsp; haben nicht alle eine multiplikative Inverse.
+- Nein,&nbsp; die Elemente&nbsp; $1, \hspace{0.05cm}\text{...} \hspace{0.1cm}, 4$ &nbsp; haben nicht alle eine multiplikative Inverse.
 {Erfüllt die Menge&nbsp; $Z_6$&nbsp; die Bedingungen eines Galoisfeldes?
 |type="[]"}
 - Ja.
-- Nein, es gibt nicht für alle Elemente&nbsp; $(0, \hspace{0.05cm}\text{...} \hspace{0.1cm}, 5)$&nbsp; eine additive Inverse.
+- Nein,&nbsp; es gibt nicht für alle Elemente&nbsp; $(0, \hspace{0.05cm}\text{...} \hspace{0.1cm}, 5)$&nbsp; eine additive Inverse.
-+ Nein, die Elemente&nbsp; $1, \hspace{0.05cm}\text{...} \hspace{0.1cm}, 5$&nbsp; haben nicht alle eine multiplikative Inverse.
++ Nein,&nbsp; die Elemente&nbsp; $1, \hspace{0.05cm}\text{...} \hspace{0.1cm}, 5$ &nbsp; haben nicht alle eine multiplikative Inverse.
-{Die Zahlenmengen&nbsp; $Z_2, \ Z_3, \ Z_5$&nbsp; und $Z_7$&nbsp; ergeben ein Galoisfeld, die Mengen&nbsp; $Z_4, \ Z_6, \ Z_8, \ Z_9$&nbsp; dagegen nicht. Was folgern Sie daraus?
+{Die Zahlenmengen&nbsp; $Z_2, \ Z_3, \ Z_5$&nbsp; und $Z_7$&nbsp; ergeben ein Galoisfeld,&nbsp; die Mengen&nbsp; $Z_4, \ Z_6, \ Z_8, \ Z_9$&nbsp; dagegen nicht.&nbsp; Was folgern Sie daraus?
 |type="[]"}
-- $Z_{10} = \{0, \, 1, \, 2, \, 3, \, 4, \, 5, \, 6, \, 7, \, 8, \, 9\}$ ist ein Galoisfeld?
+- $Z_{10} = \{0, \, 1, \, 2, \, 3, \, 4, \, 5, \, 6, \, 7, \, 8, \, 9\}$&nbsp; ist ein Galoisfeld?
-+ $Z_{11} = \{0, \, 1, \, 2, \, 3, \, 4, \,5, \, 6, \, 7, \, 8, \, 9, \, 10\}$ ist ein Galoisfeld?
++ $Z_{11} = \{0, \, 1, \, 2, \, 3, \, 4, \,5, \, 6, \, 7, \, 8, \, 9, \, 10\}$&nbsp; ist ein Galoisfeld?
-- $Z_{12} = \{0, \, 1, \, 2, \, 3, \, 4, \, 5, \, 6, \, 7, \, 8, \, 9, \, 10, \, 11\}$ ist ein Galoisfeld?
+- $Z_{12} = \{0, \, 1, \, 2, \, 3, \, 4, \, 5, \, 6, \, 7, \, 8, \, 9, \, 10, \, 11\}$&nbsp; ist ein Galoisfeld?
 </quiz>

@@ Zeile 84: / Zeile 84: @@
 ist natürlich die letzte Spalte der Additionstabelle identisch mit der letzten Zeile der gleichen Tabelle.
@@ Zeile 91: / Zeile 92: @@
 Da die Multiplikation ebenfalls kommutativ ist, stimmt auch in der Multiplikationstabelle die letzte Spalte wieder mit der letzten Zeile überein.
@@ Zeile 96: / Zeile 98: @@
 '''(3)'''&nbsp; Die Grafik zeigt die vollständigen Additions&ndash; und Multiplikationstabellen für $q = 5$. Man erkennt:
 * In der Additionstabelle gibt es in jeder Zeile (und auch in jeder Spalte) genau eine Null. Zu jedem $z_i &#8712; Z_5$ gibt es also ein ${\rm Inv}_{\rm A} (z_i)$, das die Bedingung $[z_i + {\rm Inv}_{\rm A}(z_i)] \, {\rm mod} \, 5 = 0$ erfüllt:
-:$$z_i \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} 0\text{:} \hspace{0.1cm}{\rm Inv_A}(z_i) = 0  \hspace{0.05cm},$$
+:$$z_i \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} 0\hspace{0.25cm} \Rightarrow \hspace{0.25cm}{\rm Inv_A}(z_i) = 0  \hspace{0.05cm},$$
-:$$z_i \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} 1\text{:}\hspace{0.1cm}{\rm Inv_A}(z_i) = (-1) \hspace{0.1cm}{\rm mod} \hspace{0.1cm} 5 = 4 \hspace{0.05cm},$$
+:$$z_i \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} 1\hspace{0.25cm} \Rightarrow \hspace{0.25cm}{\rm Inv_A}(z_i) = (-1) \hspace{0.1cm}{\rm mod} \hspace{0.1cm} 5 = 4 \hspace{0.05cm},$$
-:$$z_i \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} 2\text{:} \hspace{0.1cm}{\rm Inv_A}(z_i) = (-2) \hspace{0.1cm}{\rm mod} \hspace{0.1cm} 5 = 3 \hspace{0.05cm},$$
+:$$z_i \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} 2\hspace{0.25cm} \Rightarrow \hspace{0.25cm}{\rm Inv_A}(z_i) = (-2) \hspace{0.1cm}{\rm mod} \hspace{0.1cm} 5 = 3 \hspace{0.05cm},$$
-:$$z_i \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} 3\text{:} \hspace{0.1cm}{\rm Inv_A}(z_i) = (-3) \hspace{0.1cm}{\rm mod} \hspace{0.1cm} 5 = 2 \hspace{0.05cm},$$
+:$$z_i \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} 3\hspace{0.25cm} \Rightarrow \hspace{0.25cm}{\rm Inv_A}(z_i) = (-3) \hspace{0.1cm}{\rm mod} \hspace{0.1cm} 5 = 2 \hspace{0.05cm},$$
-:$$z_i \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} 4\text{:} \hspace{0.1cm}{\rm Inv_A}(z_i) = (-4) \hspace{0.1cm}{\rm mod} \hspace{0.1cm} 5 = 1 \hspace{0.05cm}.$$
+:$$z_i \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} 4\hspace{0.25cm} \Rightarrow \hspace{0.25cm}{\rm Inv_A}(z_i) = (-4) \hspace{0.1cm}{\rm mod} \hspace{0.1cm} 5 = 1 \hspace{0.05cm}.$$
 * In der Multiplikationstabelle lassen wir das Nullelement (erste Zeile und erste Spalte) außer Betracht. In allen anderen Zeilen und Spalten der unteren Tabelle gibt es tatsächlich jeweils genau eine Eins. Aus der Bedingung $[z_i \cdot {\rm Inv}_{\rm M}(z_i)] \, {\rm mod} \, 5 = 1$ erhält man:
@@ Zeile 108: / Zeile 110: @@
 :$$z_i \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} 4  \hspace{0.25cm} \Rightarrow \hspace{0.25cm} {\rm Inv_M}(z_i) = 4 \hspace{0.25cm} \Rightarrow \hspace{0.25cm}  z_i \cdot {\rm Inv_M}(z_i) =  16 \hspace{0.1cm}{\rm mod} \hspace{0.1cm} 5 = 1 \hspace{0.05cm}.$$
-Da sowohl die erforderlichen additiven als auch die multiplikativen Inversen existieren beschreibt $Z_5$ ein Galoisfeld $\rm GF(5)$ &nbsp;&#8658;&nbsp; Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 1</u>.
+Da sowohl die erforderlichen additiven als auch die multiplikativen Inversen existieren beschreibt $Z_5$ ein Galoisfeld $\rm GF(5)$ &nbsp;
@@ Zeile 117: / Zeile 122: @@
 :$$z_i \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} 5  \hspace{0.25cm} \Rightarrow \hspace{0.25cm} {\rm Inv_M}(z_i) = 5 \hspace{0.25cm} \Rightarrow \hspace{0.25cm}  z_i \cdot {\rm Inv_M}(z_i) =  25 \hspace{0.1cm}{\rm mod} \hspace{0.1cm} 6 = 1 \hspace{0.05cm}.$$
-Für $z_i = 2, \ z_i = 3$ und $z_i = 4$ findet man dagegen kein Element $z_j$, so dass $(z_i \cdot z_j) \, {\rm mod} \, 6 = 1$ ergibt. Richtig ist also der <u>Lösungsvorschlag 3</u> &nbsp; &rArr; &nbsp; Die blauen Tabellen für $q = 6$ ergeben kein Galoisfeld $\rm GF(6)$.
+Für $z_i = 2, \ z_i = 3$ und $z_i = 4$ findet man dagegen kein Element $z_j$, so dass $(z_i \cdot z_j) \, {\rm mod} \, 6 = 1$ ergibt.

@@ Zeile 1: / Zeile 1: @@
 {{quiz-Header|Buchseite=Kanalcodierung/Einige Grundlagen der Algebra}}
-[[Datei:P_ID2492__KC_A_2_2.png|right|frame|Tabellen zur Addition und Multiplikation für $q = 5$ und $q = 6$]]
+[[Datei:P_ID2492__KC_A_2_2.png|right|frame|Addition / Multiplikation für&nbsp; $q = 5$&nbsp; und&nbsp; $q = 6$]]
 Wir betrachten hier die Zahlenmengen
 * $Z_5 = \{0, \, 1, \, 2, \, 3, \, 4\} \ \Rightarrow \ q = 5$,
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-In nebenstehender Grafik sind die (teilweise unvollständigen) Additions&ndash; und Multiplikationstabellen für $q = 5$ und $q = 6$ angegeben, wobei sowohl die Addition (&bdquo;$+$&rdquo;) als auch die Multiplikation (&bdquo;$\cdot$&rdquo;) modulo $q$ zu verstehen sind.
+In nebenstehender Grafik sind die (teilweise unvollständigen) Additions&ndash; und Multiplikationstabellen für&nbsp; $q = 5$&nbsp; und&nbsp; $q = 6$&nbsp; angegeben, wobei sowohl die Addition&nbsp; (&bdquo;$+$&rdquo;)&nbsp; als auch die Multiplikation&nbsp; (&bdquo;$\hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm}$&rdquo;)&nbsp; modulo&nbsp; $q$&nbsp; zu verstehen sind.
-Zu überprüfen ist, ob die Zahlenmengen $Z_5$ und $Z_6$ alle Bedingungen eines Galoisfeldes $\rm GF(5)$ bzw. $\rm GF(6)$ erfüllen. Im [[Kanalcodierung/Einige_Grundlagen_der_Algebra#Definition_eines_Galoisfeldes|Theorieteil]] werden insgesamt acht Bedingungen genannt, die alle erfüllt sein müssen. Sie sollen nur zwei dieser Bedingungen überprüfen:
+Zu überprüfen ist, ob die Zahlenmengen&nbsp; $Z_5$&nbsp; und&nbsp; $Z_6$&nbsp; alle Bedingungen eines Galoisfeldes&nbsp; $\rm GF(5)$&nbsp; bzw.&nbsp; $\rm GF(6)$&nbsp; erfüllen.
-'''(D)'''&nbsp;  Für alle Elemente gibt es eine <b>additive Inverse</b> (<i>Inverse for &bdquo;$+$&rdquo;</i>):
+Im&nbsp; [[Kanalcodierung/Einige_Grundlagen_der_Algebra#Definition_eines_Galoisfeldes|Theorieteil]]&nbsp; werden insgesamt acht Bedingungen genannt, die alle erfüllt sein müssen. Sie sollen nur zwei dieser Bedingungen überprüfen:
-:$$\forall \hspace{0.15cm}  z_i \in {\rm GF}(q),\hspace{0.15cm} \exists \hspace{0.15cm} {\rm Inv_A}(z_i) \in {\rm GF}(q)\text{:}$$
-::$$\hspace{0.25cm}z_i + {\rm Inv_A}(z_i) = 0  \hspace{0.25cm} \Rightarrow \hspace{0.25cm}
+$\rm(D)$&nbsp;  Für alle Elemente gibt es eine&nbsp; <b>additive Inverse</b>&nbsp; (<i>Inverse&nbsp; for&nbsp; &bdquo;$+$&rdquo;</i>):
 {\rm Inv_A}(z_i) = -z_i \hspace{0.05cm}.$$
-'''(E)'''&nbsp;  Alle Elemente haben eine <b>multiplikative Inverse</b> (<i>Inverse for &bdquo;$\cdot$&rdquo;</i>):
+$\rm(E)$&nbsp;  Alle Elemente haben eine&nbsp; <b>multiplikative Inverse</b>&nbsp; (<i>Inverse&nbsp; for&nbsp; &bdquo;$\hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm}$&rdquo;</i>):
-:$$\forall \hspace{0.15cm}  z_i \in {\rm GF}(q),\hspace{0.15cm} z_i \ne 0, \hspace{0.15cm} \exists \hspace{0.15cm} {\rm Inv_M}(z_i) \in {\rm GF}(q)\text{:}$$
+:$$\forall \hspace{0.15cm}  z_i \in {\rm GF}(q),\hspace{0.15cm} z_i \ne 0, \hspace{0.15cm} \exists \hspace{0.15cm} {\rm Inv_M}(z_i) \in {\rm GF}(q)\text{:}\hspace{0.5cm}z_i \cdot {\rm Inv_M}(z_i) = 1 \hspace{0.25cm} \Rightarrow \hspace{0.25cm}
 {\rm Inv_M}(z_i) = z_i^{-1}\hspace{0.05cm}.$$
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-''Hinweise:''
 * Die Aufgabe bezieht sich auf das Kapitel [[Kanalcodierung/Einige_Grundlagen_der_Algebra| Einige Grundlagen der Algebra]].
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 ===Fragebogen===
 <quiz display=simple>
-{Ergänzen Sie die Additionstabelle für $q = 5$. Geben Sie folgende Werte ein:
+{Ergänzen Sie die Additionstabelle für&nbsp; $q = 5$. Geben Sie folgende Werte ein:
 |type="{}"}
 $A_{04} \ = \ ${ 4 }
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 $A_{44} \ = \ ${ 3 }
-{Ergänzen Sie die Multiplikationstabelle für $q = 5$. Geben Sie folgende Werte ein:
+{Ergänzen Sie die Multiplikationstabelle für&nbsp; $q = 5$. Geben Sie folgende Werte ein:
 |type="{}"}
 $M_{04} \ = \ ${ 0. }
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 $M_{44} \ = \ ${ 1. }
-{Erfüllt die Menge $Z_5$ die Bedingungen eines Galoisfeldes?
+{Erfüllt die Menge&nbsp; $Z_5$&nbsp; die Bedingungen eines Galoisfeldes?
 |type="[]"}
 + Ja.
-- Nein, es gibt nicht für alle Elemente $(0, \hspace{0.05cm}\text{...} \hspace{0.1cm}, 4)$ eine additive Inverse.
+- Nein, es gibt nicht für alle Elemente&nbsp; $(0, \hspace{0.05cm}\text{...} \hspace{0.1cm}, 4)$&nbsp; eine additive Inverse.
-- Nein, die Elemente $1, \hspace{0.05cm}\text{...} \hspace{0.1cm}, 4$ haben nicht alle eine multiplikative Inverse.
+- Nein, die Elemente&nbsp; $1, \hspace{0.05cm}\text{...} \hspace{0.1cm}, 4$&nbsp; haben nicht alle eine multiplikative Inverse.
-{Erfüllt die Menge $Z_6$ die Bedingungen eines Galoisfeldes?
+{Erfüllt die Menge&nbsp; $Z_6$&nbsp; die Bedingungen eines Galoisfeldes?
 |type="[]"}
 - Ja.
-- Nein, es gibt nicht für alle Elemente $(0, \hspace{0.05cm}\text{...} \hspace{0.1cm}, 5)$ eine additive Inverse.
+- Nein, es gibt nicht für alle Elemente&nbsp; $(0, \hspace{0.05cm}\text{...} \hspace{0.1cm}, 5)$&nbsp; eine additive Inverse.
-+ Nein, die Elemente $1, \hspace{0.05cm}\text{...} \hspace{0.1cm}, 5$ haben nicht alle eine multiplikative Inverse.
++ Nein, die Elemente&nbsp; $1, \hspace{0.05cm}\text{...} \hspace{0.1cm}, 5$&nbsp; haben nicht alle eine multiplikative Inverse.
-{Die Zahlenmengen $Z_2, \ Z_3, \ Z_5$ und $Z_7$ ergeben ein Galoisfeld, die Mengen $Z_4, \ Z_6, \ Z_8, \ Z_9$ dagegen nicht. Was folgern Sie daraus?
+{Die Zahlenmengen&nbsp; $Z_2, \ Z_3, \ Z_5$&nbsp; und $Z_7$&nbsp; ergeben ein Galoisfeld, die Mengen&nbsp; $Z_4, \ Z_6, \ Z_8, \ Z_9$&nbsp; dagegen nicht. Was folgern Sie daraus?
 |type="[]"}
 - $Z_{10} = \{0, \, 1, \, 2, \, 3, \, 4, \, 5, \, 6, \, 7, \, 8, \, 9\}$ ist ein Galoisfeld?

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	''Hinweise:''		''Hinweise:''
	* Die Aufgabe bezieht sich auf das Kapitel [[Kanalcodierung/Einige_Grundlagen_der_Algebra\| Einige Grundlagen der Algebra]].		* Die Aufgabe bezieht sich auf das Kapitel [[Kanalcodierung/Einige_Grundlagen_der_Algebra\| Einige Grundlagen der Algebra]].
−	* Sollte die Eingabe des Zahlenwertes &bdquo;0” erforderlich sein, so geben Sie bitte &bdquo;0.” ein.

← Nächstältere Version		Version vom 15. Dezember 2017, 08:35 Uhr
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	:$$z_i \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} 5 \hspace{0.25cm} \Rightarrow \hspace{0.25cm} {\rm Inv_M}(z_i) = 5 \hspace{0.25cm} \Rightarrow \hspace{0.25cm} z_i \cdot {\rm Inv_M}(z_i) = 25 \hspace{0.1cm}{\rm mod} \hspace{0.1cm} 6 = 1 \hspace{0.05cm}.$$		:$$z_i \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} 5 \hspace{0.25cm} \Rightarrow \hspace{0.25cm} {\rm Inv_M}(z_i) = 5 \hspace{0.25cm} \Rightarrow \hspace{0.25cm} z_i \cdot {\rm Inv_M}(z_i) = 25 \hspace{0.1cm}{\rm mod} \hspace{0.1cm} 6 = 1 \hspace{0.05cm}.$$

−	Für $z_i = 2, \ z_i = 3$ und $z_i = 4$ findet man dagegen kein Element $z_j$, so dass $(z_i \cdot z_j) \mod{6} = 1$ ergibt. Richtig ist somit der <u>Lösungsvorschlag 3</u>. Die blauen Tabellen für $q = 6$ ergeben kein Galoisfeld $\rm GF(6)$.	+	Für $z_i = 2, \ z_i = 3$ und $z_i = 4$ findet man dagegen kein Element $z_j$, so dass $(z_i \cdot z_j) \, {\rm mod} \, 6 = 1$ ergibt. Richtig ist somit der <u>Lösungsvorschlag 3</u>. Die blauen Tabellen für $q = 6$ ergeben kein Galoisfeld $\rm GF(6)$.