Aufgaben:Aufgabe 2.2: Binäre bipolare Rechtecke - Versionsgeschichte

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2026-03-16T12:35:27Z

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	[[Category:Aufgaben zu Digitalsignalübertragung\|^2.1 Codierte Übertragung - Grundlagen^]]		[[Category:Aufgaben zu Digitalsignalübertragung\|^2.1 Codierte Übertragung - Grundlagen^]]
			[[en:Aufgaben:Exercise_2.2:_Binary_Bipolar_Rectangles]]

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2026-02-24T13:38:44Z

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Zeile 99:		Zeile 99:
	:$$H_{\rm max} = {1}/{2}\cdot {\rm log}_2 (2)+{1}/{2}\cdot {\rm log}_2 (2) = 1 \,\,{\rm bit/Bin\ddot{a}rsymbol} \hspace{0.05cm}.$$		:$$H_{\rm max} = {1}/{2}\cdot {\rm log}_2 (2)+{1}/{2}\cdot {\rm log}_2 (2) = 1 \,\,{\rm bit/Bin\ddot{a}rsymbol} \hspace{0.05cm}.$$
	*Dagegen gilt für die Entropien der beiden anderen Binärsignale:		*Dagegen gilt für die Entropien der beiden anderen Binärsignale:
	:$$H = \ \frac{3}{4}\cdot {\rm log}_2 (\frac{4}{3})+ \frac{1}{4}\cdot {\rm log}_2 (4)		:$$H = \ \frac{3}{4}\cdot {\rm log}_2 (\frac{4}{3})+ \frac{1}{4}\cdot {\rm log}_2 (4)= \left( \frac{3}{4} + \frac{1}{4}\right)\cdot {\rm log}_2 (4) -\frac{3}{4}\cdot{\rm log}_2 (3) =$$
	= \left( \frac{3}{4} + \frac{1}{4}\right)\cdot {\rm log}_2 (4) -		:$$ \hspace{0.5cm} = \ 2 - \frac{3}{4}\cdot{\rm log}_2 (3) =0.811 \,\,{\rm bit/Bin\ddot{a}rsymbol} \hspace{0.05cm}.$$
	\frac{3}{4}\cdot{\rm log}_2 (3) =$$
	:$$ \hspace{0.5cm} = \ 2 - \frac{3}{4}\cdot{\rm log}_2 (3) =
	0.811 \,\,{\rm bit/Bin\ddot{a}rsymbol} \hspace{0.05cm}.$$
	*Daraus ergibt sich für die relative Redundanz dieser Signale:		*Daraus ergibt sich für die relative Redundanz dieser Signale:
	:$$r = \frac{H_{\rm max} - H}{H_{\rm max}}\hspace{0.15cm} \approx 18.9\%\hspace{0.05cm}.$$		:$$r = \frac{H_{\rm max} - H}{H_{\rm max}}\hspace{0.15cm} \approx 18.9\%\hspace{0.05cm}.$$

Guenter am 14. Mai 2022 um 12:27 Uhr

2022-05-14T12:27:02Z

← Nächstältere Version		Version vom 14. Mai 2022, 14:27 Uhr
Zeile 90:		Zeile 90:
	===Musterlösung===		===Musterlösung===
	{{ML-Kopf}}		{{ML-Kopf}}
	'''(1)'''  Man spricht von einem redundanzfreien Digitalsignal, wenn		'''(1)'''  Man spricht von einem redundanzfreien Digitalsignal,  wenn
	*die Amplitudenkoeffizienten nicht voneinander abhängen (dies wurde hier vorausgesetzt),		*die Amplitudenkoeffizienten nicht voneinander abhängen  (dies wurde hier vorausgesetzt),
	*alle möglichen Amplitudenkoeffizienten gleichwahrscheinlich sind.		*alle möglichen Amplitudenkoeffizienten gleichwahrscheinlich sind.


	In diesem Sinne ist $s_{0.5}(t)$ ein redundanzfreies Signal   ⇒   <u>Lösungsvorschlag 2</u>.		In diesem Sinne ist  $s_{0.5}(t)$  ein  redundanzfreies Signal   ⇒   <u>Lösungsvorschlag 2</u>.
	*Somit ist hier die Entropie (der mittlere Informationsgehalt pro übertragenem Binärsymbol) maximal gleich dem Entscheidungsgehalt:		*Somit ist hier die Entropie  (der mittlere Informationsgehalt pro übertragenem Binärsymbol)  maximal gleich dem Entscheidungsgehalt:
	:$$H_{\rm max} = {1}/{2}\cdot {\rm log}_2 (2)+{1}/{2}\cdot {\rm log}_2 (2) = 1 \,\,{\rm bit/Bin\ddot{a}rsymbol} \hspace{0.05cm}.$$		:$$H_{\rm max} = {1}/{2}\cdot {\rm log}_2 (2)+{1}/{2}\cdot {\rm log}_2 (2) = 1 \,\,{\rm bit/Bin\ddot{a}rsymbol} \hspace{0.05cm}.$$
	*Dagegen gilt für die Entropien der beiden anderen Binärsignale:		*Dagegen gilt für die Entropien der beiden anderen Binärsignale:
Zeile 108:		Zeile 108:


	'''(2)'''  ~~Der quadratische Mittelwert~~ ist unabhängig von $p$ gleich $m_{2a} = 1$:		'''(2)'''  Das zweite Moment ist unabhängig von  $p$  gleich  $m_{2a} = 1$:
	:$$m_{2a}={\rm E}[a_\nu^2] = p \cdot (+1)^2 + (1-p)\cdot (-1)^2 \hspace{0.15cm}\underline { = 1 \hspace{0.05cm}}.$$		:$$m_{2a}={\rm E}[a_\nu^2] = p \cdot (+1)^2 + (1-p)\cdot (-1)^2 \hspace{0.15cm}\underline { = 1 \hspace{0.05cm}}.$$

Zeile 117:		Zeile 117:


	'''(4)'''  Mit den Ergebnissen aus '''(2)''' und '''(4)''' erhält man:		'''(4)'''  Mit den Ergebnissen aus  '''(2)'''  und  '''(4)'''  erhält man:
	:$$p = 0.75\text{:} \hspace{0.4cm} \sigma_{a}^2 \hspace{0.15cm}\underline {=0.75},$$		:$$p = 0.75\text{:} \hspace{0.4cm} \sigma_{a}^2 \hspace{0.15cm}\underline {=0.75},$$
	:$$ p = 0.50\text{:} \hspace{0.4cm} \sigma_{a}^2\hspace{0.15cm} \underline { =1.00 \hspace{0.05cm}},$$		:$$ p = 0.50\text{:} \hspace{0.4cm} \sigma_{a}^2\hspace{0.15cm} \underline { =1.00 \hspace{0.05cm}},$$
Zeile 123:		Zeile 123:


	[[Datei:P_ID1311__Dig_A_2_2e.png\|right\|frame\|AKF bei gleichen Symbolwahrscheinlichkeiten]]		[[Datei:P_ID1311__Dig_A_2_2e.png\|right\|frame\|AKF bei NRZ- und RZ-Impulsen und gleichen Symbolwahrscheinlichkeiten]]
	'''(5)'''  Richtig sind nur die <u>beiden ersten Aussagen</u>:		'''(5)'''  Richtig sind nur die  <u>beiden ersten Aussagen</u>:
	*Für $p = 0.5$ gilt $\varphi_{a}(\lambda = 0) = 1$ und $\varphi_{a}(\lambda \neq 0) = 0$. Daraus folgt:		*Für  $p = 0.5$  gilt  $\varphi_{a}(\lambda = 0) = 1$  und  $\varphi_{a}(\lambda \neq 0) = 0$.  Daraus folgt:
	:$$\varphi_s(\tau) = \frac{1}{T} \cdot \varphi^{^{\bullet}}_{gs}(\tau )\hspace{0.05cm}.$$		$\varphi_s(\tau) = \frac{1}{T} \cdot \varphi^{^{\bullet}}_{gs}(\tau )\hspace{0.05cm}.$
	*Damit ergeben sich sowohl beim NRZ– als auch beim RZ–Grundimpuls eine dreieckförmige AKF und ein ${\rm si}^{2}$–förmiges LDS.		*Damit ergeben sich sowohl beim NRZ– als auch beim RZ–Grundimpuls eine dreieckförmige AKF und ein ${\rm si}^{2}$–förmiges LDS.
	*Die Fläche unter dem LDS ist beim RZ–Impuls um den Faktor $T_{\rm S}/T$ kleiner als beim NRZ–Impuls, da sich auch die AKF–Werte bei $\tau = 0$ um diesen Faktor unterscheiden.
	*Das LDS ist in beiden Fällen kontinuierlich, da die AKF keinen Gleichanteil und keine periodischen Anteile beinhaltet.

			*Die Fläche unter dem LDS ist beim RZ–Impuls um den Faktor  $T_{\rm S}/T$  kleiner als beim NRZ–Impuls,  da sich auch die AKF–Werte bei  $\tau = 0$  um diesen Faktor unterscheiden.
			*Das LDS ist in beiden Fällen kontinuierlich,  da die AKF keinen Gleichanteil und keine periodischen Anteile beinhaltet.

	[[Datei:P_ID1330__Dig_A_2_2f.png\|right\|frame\|AKF bei ungleichen Symbolwahrscheinlichkeiten]]
	'''(6)'''  Richtig sind <u>alle Aussagen mit Ausnahme der dritten</u>:		[[Datei:P_ID1330__Dig_A_2_2f.png\|right\|frame\|AKF bei NRZ-Impulsen und ungleichen Symbolwahrscheinlichkeiten]]
	*Für $p = 0.75$ setzt sich die AKF $\varphi_{s}(\tau)$ aus unendlich vielen Dreieckfunktionen zusammen, die mit Ausnahme des mittleren Dreiecks um $\tau = 0$ alle die gleiche Höhe $s_{0}^{2}/4$ aufweisen.		'''(6)'''  Richtig sind  <u>alle Aussagen mit Ausnahme der dritten</u>:
	*Entsprechend der Skizze kann man alle diese Dreieckfunktionen zu einem Gleichanteil der Höhe $m_{a}^{2} \cdot s_{0}^{2} = s_{0}^{2}/4$ und einem einzigen Dreieck um $\tau = 0$ mit der Höhe $\sigma_{a}^{2} \cdot s_{0}^{2} = 3/4 · s_{0}^{2}$ zusammenfassen.		*Für  $p = 0.75$  setzt sich die AKF  $\varphi_{s}(\tau)$  aus unendlich vielen Dreieckfunktionen zusammen,  die mit Ausnahme des mittleren Dreiecks um  $\tau = 0$  alle die gleiche Höhe  $s_{0}^{2}/4$  aufweisen.
	*Im LDS führt dies zu einem kontinuierlichen, ${\rm si}^{2}$–förmigem Anteil und zu einer Diracfunktion bei $f = 0$. Das Gewicht dieses Diracs ist $s_{0}^{2}/4$.
	*Für $p = 0.25$ ergibt sich die gleiche AKF wie mit $p = 0.75$, da sowohl ~~der quadratische Mittelwert~~ $m_{2a} = 1$ als auch $m_{a}^{2} = 0.25$ übereinstimmen. Somit stimmen natürlich auch die Leistungsdichtespektren überein.		*Entsprechend der Skizze kann man alle diese Dreieckfunktionen zu einem Gleichanteil der Höhe  $m_{a}^{2} \cdot s_{0}^{2} = s_{0}^{2}/4$  und einem einzigen Dreieck um  $\tau = 0$  mit der Höhe  $\sigma_{a}^{2} \cdot s_{0}^{2} = 3/4 · s_{0}^{2}$  zusammenfassen.

			*Im LDS führt dies zu einem kontinuierlichen  ${\rm si}^{2}$–förmigem Anteil und zu einer Diracfunktion bei  $f = 0$.  Das Gewicht dieses Diracs ist  $s_{0}^{2}/4$.
			*Für  $p = 0.25$  ergibt sich die gleiche AKF wie mit  $p = 0.75$,  da sowohl die  "Gesamtleistung"  $m_{2a} = 1$ als auch die  "Gleichleistung"  $m_{a}^{2} = 0.25$ übereinstimmen.  Somit stimmen natürlich auch die Leistungsdichtespektren überein.


	[[Datei:P_ID1331__Dig_A_2_2g.png\|right\|frame\|AKF bei RZ-Rechteckimpulsen]]		[[Datei:P_ID1331__Dig_A_2_2g.png\|right\|frame\|AKF bei RZ-Rechteckimpulsen]]
	'''(7)'''  <u>Beide Lösungsvorschläge sind richtig</u>:		'''(7)'''  <u>Beide Lösungsvorschläge sind richtig</u>:
	*Mit dem RZ–Tastverhältnis $T_{\rm S}/T = 0.5$ ergibt sich die skizzierte AKF, die auch durch eine periodische Dreieckfunktion der Höhe $s_{0}^{2}/8$ (mit roter Füllung) und einem einzigen Dreieckimpuls der Höhe $3/8 \cdot s_{0}^{2}$ (grün gefüllt) dargestellt werden kann.		*Mit dem RZ–Tastverhältnis  $T_{\rm S}/T = 0.5$  ergibt sich die skizzierte AKF,  die auch durch eine periodische Dreieckfunktion der Höhe  $s_{0}^{2}/8$  (mit roter Füllung) und einem einzigen Dreieckimpuls der Höhe  $3/8 \cdot s_{0}^{2}$  (grün gefüllt)  dargestellt werden kann.
	*Dieser nichtperiodische Anteil führt zu einem kontinuierlichen, ${\rm si}^{2}$–förmigen LDS mit Nullstellen bei Vielfachen von $2/T$.
	*Die periodische Dreieck–AKF bewirkt im LDS Diracfunktionen bei Vielfachen von $1/T$.		*Dieser nichtperiodische Anteil führt zu einem kontinuierlichen  ${\rm si}^{2}$–förmigen LDS mit Nullstellen bei Vielfachen von  $2/T$.
	*Aufgrund der Antimetrie des periodischen Anteils besitzen die Diracfunktionen bei Vielfachen von $2/T$ allerdings jeweils das Gewicht $0$.
	*Die Gewichte der Diracfunktionen im Abstand $1/T$ sind proportional zum kontinuierlichen LDS–Anteil.		*Die periodische Dreieck–AKF bewirkt im LDS Diracfunktionen bei Vielfachen von  $1/T$.

			*Aufgrund der Antimetrie des periodischen Anteils besitzen die Diracfunktionen bei Vielfachen von  $2/T$  allerdings jeweils das Gewicht  $0$.

			*Die Gewichte der Diracfunktionen im Abstand  $1/T$ sind  proportional zum kontinuierlichen LDS–Anteil.

Guenter am 14. Mai 2022 um 12:07 Uhr

2022-05-14T12:07:28Z

← Nächstältere Version		Version vom 14. Mai 2022, 14:07 Uhr
Zeile 5:		Zeile 5:
	Wir gehen von folgendem Signal aus:		Wir gehen von folgendem Signal aus:
	:$$s(t) = \sum_{\nu = -\infty}^{+\infty} a_\nu \cdot g_s ( t - \nu \cdot T) \hspace{0.05cm}.$$		:$$s(t) = \sum_{\nu = -\infty}^{+\infty} a_\nu \cdot g_s ( t - \nu \cdot T) \hspace{0.05cm}.$$
	Der Sendegrundimpuls  $g_{s}(t)$  wird in dieser Aufgabe stets als rechteckförmig angenommen, wobei das NRZ–Format (blaue Signalverläufe in der Grafik) als auch das RZ–Format mit dem Tastverhältnis  $T_{\rm S}/T = 0.5$  (rote Signalverläufe) zu untersuchen ist.		Der Sendegrundimpuls  $g_{s}(t)$  wird in dieser Aufgabe stets als rechteckförmig angenommen,  wobei das NRZ–Format  (blaue Signalverläufe in der Grafik)  als auch das RZ–Format mit dem Tastverhältnis  $T_{\rm S}/T = 0.5$  (rote Signalverläufe)  zu untersuchen ist.

	Die Amplitudenkoeffizienten besitzen die folgenden Eigenschaften:		Die Amplitudenkoeffizienten besitzen die folgenden Eigenschaften:
Zeile 17:		Zeile 17:

	Im Laufe dieser Aufgabe wird auf folgende Beschreibungsgrößen Bezug genommen:		Im Laufe dieser Aufgabe wird auf folgende Beschreibungsgrößen Bezug genommen:
	*$m_{a} = \E\big[a_{\nu}\big]$  gibt den linearen Mittelwert der Amplitudenkoeffizienten an.		*$m_{a} = \E\big[a_{\nu}\big]$  gibt den linearen Mittelwert der Amplitudenkoeffizienten an.
	*$m_{2a} = \E\big[a_{\nu}^{2}\big]$  ist ~~der quadratische Mittelwert~~.
	*Damit kann auch die Varianz  $\sigma_{a}^{2} = m_{2a} – m_{a}^{2}$  berechnet werden.		*$m_{2a} = \E\big[a_{\nu}^{2}\big]$  ist das Moment zweiter Ordnung  ("Leistung").

			*Damit kann auch die Varianz  $\sigma_{a}^{2} = m_{2a} - m_{a}^{2}$  berechnet werden.

	*Die diskrete AKF der Amplitudenkoeffizienten ist  $\varphi_{a}(\lambda) = \E\big[a_{\nu} \cdot a_{\nu} + \lambda \big]$. Es gilt hier:		*Die diskrete AKF der Amplitudenkoeffizienten ist  $\varphi_{a}(\lambda) = \E\big[a_{\nu} \cdot a_{\nu} + \lambda \big]$. Es gilt hier:
	:$$\varphi_a(\lambda) = \left\{ \begin{array}{c} m_2 \\ m_1^2 \\ \end{array} \right.\quad \begin{array}{{1}c} {\rm{f\ddot{u}r}}\\ {\rm{f\ddot{u}r}} \\ \end{array} \begin{array}{{20}c}\lambda = 0, \\ \lambda \ne 0 \hspace{0.05cm}.\\ \end{array}$$		:$$\varphi_a(\lambda) = \left\{ \begin{array}{c} m_2 \\ m_1^2 \\ \end{array} \right.\quad \begin{array}{{1}c} {\rm{f\ddot{u}r}}\\ {\rm{f\ddot{u}r}} \\ \end{array} \begin{array}{{20}c}\lambda = 0, \\ \lambda \ne 0 \hspace{0.05cm}.\\ \end{array}$$
Zeile 30:		Zeile 33:


			Hinweis:   Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Digitalsignalübertragung/Grundlagen_der_codierten_Übertragung\|"Grundlagen der codierten Übertragung"]].


	''Hinweis:''
	*Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Digitalsignalübertragung/Grundlagen_der_codierten_Übertragung\|Grundlagen der codierten Übertragung]].


Zeile 50:		Zeile 49:


	{Wie groß ist ~~der quadratische Mittelwert~~  $m_{2a}$  der Amplitudenkoeffizienten in Abhängigkeit von  $p$?		{Wie groß ist das zweite Moment  $(m_{2a})$  der Amplitudenkoeffizienten in Abhängigkeit von  $p$?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$p = 0.75\text{:} \hspace{0.4cm} m_{2a} \ = \ $ { 1 3% }		$p = 0.75\text{:} \hspace{0.4cm} m_{2a} \ = \ $ { 1 3% }
Zeile 68:		Zeile 67:
	$p = 0.25\text{:} \hspace{0.4cm} \sigma_{a}^{2} \ = \ $ { 0.75 3% }		$p = 0.25\text{:} \hspace{0.4cm} \sigma_{a}^{2} \ = \ $ { 0.75 3% }

	{Es gelte zunächst  $p = 0.5$. Skizzieren Sie die AKF  $\varphi_{s}(\tau)$  für den NRZ– und den RZ–Grundimpuls und bewerten Sie folgende Aussagen:		{Es gelte zunächst  $p = 0.5$.  Skizzieren Sie die AKF  $\varphi_{s}(\tau)$  für den NRZ– und den RZ–Grundimpuls und bewerten Sie folgende Aussagen:
	\|type="[]"}		\|type="[]"}
	+ Die AKF ist in beiden Fällen dreieckförmig.		+ Die AKF ist in beiden Fällen dreieckförmig.
Zeile 75:		Zeile 74:
	-Bei RZ–Impulsen beinhaltet  ${\it \Phi}_{s}(f)$  zusätzliche Diracfunktionen.		-Bei RZ–Impulsen beinhaltet  ${\it \Phi}_{s}(f)$  zusätzliche Diracfunktionen.

	{Es gelte nun $p = 0.75$. Skizzieren Sie die AKF für den NRZ–Grundimpuls und bewerten Sie folgende Aussagen:		{Es gelte nun  $p = 0.75$.  Skizzieren Sie die AKF für den NRZ–Grundimpuls und bewerten Sie folgende Aussagen:
	\|type="[]"}		\|type="[]"}
	+ Die AKF besteht aus einem Dreieck und einem Gleichanteil.		+ Die AKF besteht aus einem Dreieck und einem Gleichanteil.
	+ Das LDS besteht aus einem  ${\rm si}^{2}$–Anteil und einem Dirac.		+ Das LDS besteht aus einem  ${\rm si}^{2}$–Anteil und einem Dirac.
	-Die Diracfunktion hat das Gewicht  $s_{0}^{2}$.		-Die Diracfunktion hat das Gewicht  $s_{0}^{2}$.
	+Mit $p = 0.25$ ergibt sich das gleiche Leistungsdichtespektrum.		+Mit  $p = 0.25$  ergibt sich das gleiche Leistungsdichtespektrum.

	{Es gelte weiter  $p = 0.75$. Skizzieren Sie die AKF für den RZ–Grundimpuls und bewerten Sie folgende Aussagen:		{Es gelte weiter  $p = 0.75$.  Skizzieren Sie die AKF für den RZ–Grundimpuls und bewerten Sie folgende Aussagen:
	\|type="[]"}		\|type="[]"}
	+ Auch hier beinhaltet das LDS einen  ${\rm si}^{2}$–förmigen Anteil.		+ Auch hier beinhaltet das LDS einen  ${\rm si}^{2}$–förmigen Anteil.

Guenter am 11. Februar 2019 um 11:07 Uhr

2019-02-11T11:07:07Z

Guenter am 11. Februar 2019 um 10:57 Uhr

2019-02-11T10:57:02Z

← Nächstältere Version		Version vom 11. Februar 2019, 12:57 Uhr
Zeile 5:		Zeile 5:
	Wir gehen von folgendem Signal aus:		Wir gehen von folgendem Signal aus:
	:$$s(t) = \sum_{\nu = -\infty}^{+\infty} a_\nu \cdot g_s ( t - \nu \cdot T) \hspace{0.05cm}.$$		:$$s(t) = \sum_{\nu = -\infty}^{+\infty} a_\nu \cdot g_s ( t - \nu \cdot T) \hspace{0.05cm}.$$
	Der Sendegrundimpuls $g_{s}(t)$ wird in dieser Aufgabe stets als rechteckförmig angenommen, wobei das NRZ–Format (blaue Signalverläufe in der Grafik) als auch das RZ–Format mit dem Tastverhältnis $T_{\rm S}/T = 0.5$ (rote Signalverläufe) zu untersuchen ist.		Der Sendegrundimpuls  $g_{s}(t)$  wird in dieser Aufgabe stets als rechteckförmig angenommen, wobei das NRZ–Format (blaue Signalverläufe in der Grafik) als auch das RZ–Format mit dem Tastverhältnis  $T_{\rm S}/T = 0.5$  (rote Signalverläufe) zu untersuchen ist.

	Die Amplitudenkoeffizienten besitzen die folgenden Eigenschaften:		Die Amplitudenkoeffizienten besitzen die folgenden Eigenschaften:
	*Sie sind binär und bipolar: $a_{\nu} \in \{–1, +1\}$.		*Sie sind binär und bipolar:   $a_{\nu} \in \{–1, +1\}$.
	*Die Symbole innerhalb der Folge $\langle a_{\nu }\rangle$ weisen keine statistischen Bindungen auf.		*Die Symbole innerhalb der Folge  $\langle a_{\nu }\rangle$  weisen keine statistischen Bindungen auf.
	*Die Wahrscheinlichkeiten für die beiden möglichen Werte $±1$ lauten mit $0 < p < 1$:		*Die Wahrscheinlichkeiten für die beiden möglichen Werte  $±1$  lauten mit  $0 < p < 1$:
	:$${\rm Pr}(a_\nu = +1) \ = \ p,$$		:$${\rm Pr}(a_\nu = +1) \ = \ p,$$
	:$${\rm Pr}(a_\nu = -1) \ = \ 1 - p \hspace{0.05cm}.$$		:$${\rm Pr}(a_\nu = -1) \ = \ 1 - p \hspace{0.05cm}.$$
	Die drei in der Grafik dargestellten Signalausschnitte gelten für $p = 0.75$, $p = 0.50$ und $p = 0.25$.		Die drei in der Grafik dargestellten Signalausschnitte gelten für  $p = 0.75$,  $p = 0.50$  und  $p = 0.25$.


	Im Laufe dieser Aufgabe wird auf folgende Beschreibungsgrößen Bezug genommen:		Im Laufe dieser Aufgabe wird auf folgende Beschreibungsgrößen Bezug genommen:
	*$m_{a} = \E[a_{\nu}]$ gibt den linearen Mittelwert der Amplitudenkoeffizienten an.		*$m_{a} = \E\big[a_{\nu}\big]$  gibt den linearen Mittelwert der Amplitudenkoeffizienten an.
	*$m_{2a} = \E[a_{\nu}^{2}]$ ist der quadratische Mittelwert.		*$m_{2a} = \E\big[a_{\nu}^{2}\big]$  ist der quadratische Mittelwert.
	*Damit kann auch die Varianz $\sigma_{a}^{2} = m_{2a} – m_{a}^{2}$ berechnet werden.		*Damit kann auch die Varianz  $\sigma_{a}^{2} = m_{2a} – m_{a}^{2}$  berechnet werden.
	*Die diskrete AKF der Amplitudenkoeffizienten ist $\varphi_{a}(\lambda) = \E[a_{\nu} \cdot a_{\nu} + \lambda]$. Es gilt hier:		*Die diskrete AKF der Amplitudenkoeffizienten ist  $\varphi_{a}(\lambda) = \E\big[a_{\nu} \cdot a_{\nu} + \lambda \big]$. Es gilt hier:
	:$$\varphi_a(\lambda) = \left\{ \begin{array}{c} m_2 \\ m_1^2 \\ \end{array} \right.\quad \begin{array}{{1}c} {\rm{f\ddot{u}r}}\\ {\rm{f\ddot{u}r}} \\ \end{array} \begin{array}{{20}c}\lambda = 0, \\ \lambda \ne 0 \hspace{0.05cm}.\\ \end{array}$$		:$$\varphi_a(\lambda) = \left\{ \begin{array}{c} m_2 \\ m_1^2 \\ \end{array} \right.\quad \begin{array}{{1}c} {\rm{f\ddot{u}r}}\\ {\rm{f\ddot{u}r}} \\ \end{array} \begin{array}{{20}c}\lambda = 0, \\ \lambda \ne 0 \hspace{0.05cm}.\\ \end{array}$$
	*Die Energie–AKF des Sendegrundimpulses beträgt:		*Die Energie–AKF des Sendegrundimpulses beträgt:
Zeile 25:		Zeile 26:
	*Damit erhält man für die gesamte AKF des Sendesignals:		*Damit erhält man für die gesamte AKF des Sendesignals:
	:$$\varphi_s(\tau) = \sum_{\lambda = -\infty}^{+\infty}{1}/{T} \cdot \varphi_a(\lambda)\cdot \varphi^{^{\bullet}}_{g_s}(\tau - \lambda \cdot T)\hspace{0.05cm}.$$		:$$\varphi_s(\tau) = \sum_{\lambda = -\infty}^{+\infty}{1}/{T} \cdot \varphi_a(\lambda)\cdot \varphi^{^{\bullet}}_{g_s}(\tau - \lambda \cdot T)\hspace{0.05cm}.$$
	*Das Leistungsdichtespektrum ${\it \Phi}_{s}(f)$ ist die Fouriertransformierte der AKF $\varphi_{s}(\tau)$.		*Das Leistungsdichtespektrum  ${\it \Phi}_{s}(f)$  ist die Fouriertransformierte der AKF  $\varphi_{s}(\tau)$.






	''~~Hinweise~~:''		''Hinweis:''
	*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Digitalsignalübertragung/Grundlagen_der_codierten_Übertragung\|Grundlagen der codierten Übertragung]].		*Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Digitalsignalübertragung/Grundlagen_der_codierten_Übertragung\|Grundlagen der codierten Übertragung]].


Zeile 46:		Zeile 50:


	{Wie groß ist der quadratische Mittelwert $m_{2a}$ der Amplitudenkoeffizienten in Abhängigkeit von $p$?		{Wie groß ist der quadratische Mittelwert  $m_{2a}$  der Amplitudenkoeffizienten in Abhängigkeit von  $p$?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$p = 0.75\text{:} \hspace{0.4cm} m_{2a} \ = \ $ { 1 3% }		$p = 0.75\text{:} \hspace{0.4cm} m_{2a} \ = \ $ { 1 3% }
Zeile 52:		Zeile 56:
	$p = 0.25\text{:} \hspace{0.4cm} m_{2a} \ = \ $ { 1 3% }		$p = 0.25\text{:} \hspace{0.4cm} m_{2a} \ = \ $ { 1 3% }

	{Berechnen Sie den linearen Mittelwert $m_{a}$ in Abhängigkeit von $p$.		{Berechnen Sie den linearen Mittelwert  $m_{a}$  in Abhängigkeit von  $p$.
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$p = 0.75\text{:} \hspace{0.4cm} m_{a} \ = \ $ { 0.5 3% }		$p = 0.75\text{:} \hspace{0.4cm} m_{a} \ = \ $ { 0.5 3% }
Zeile 58:		Zeile 62:
	$p = 0.25\text{:} \hspace{0.4cm} m_{a} \ = \ $ { -0.515--0.485 }		$p = 0.25\text{:} \hspace{0.4cm} m_{a} \ = \ $ { -0.515--0.485 }

	{Wie groß ist die Varianz $\sigma_{a}^{2}$ der Amplitudenkoeffizienten?		{Wie groß ist die Varianz  $\sigma_{a}^{2}$  der Amplitudenkoeffizienten?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$p = 0.75\text{:} \hspace{0.4cm} \sigma_{a}^{2} \ = \ $ { 0.75 3% }		$p = 0.75\text{:} \hspace{0.4cm} \sigma_{a}^{2} \ = \ $ { 0.75 3% }
Zeile 64:		Zeile 68:
	$p = 0.25\text{:} \hspace{0.4cm} \sigma_{a}^{2} \ = \ $ { 0.75 3% }		$p = 0.25\text{:} \hspace{0.4cm} \sigma_{a}^{2} \ = \ $ { 0.75 3% }

	{Es gelte zunächst $p = 0.5$. Skizzieren Sie die AKF $\varphi_{s}(\tau)$ für den NRZ– und den RZ–Grundimpuls und bewerten Sie folgende Aussagen:		{Es gelte zunächst  $p = 0.5$. Skizzieren Sie die AKF  $\varphi_{s}(\tau)$  für den NRZ– und den RZ–Grundimpuls und bewerten Sie folgende Aussagen:
	\|type="[]"}		\|type="[]"}
	+ Die AKF ist in beiden Fällen dreieckförmig.		+ Die AKF ist in beiden Fällen dreieckförmig.
	+ Das LDS verläuft in beiden Fällen ${\rm si}^{2}$–förmig.		+ Das LDS verläuft in beiden Fällen  ${\rm si}^{2}$–förmig.
	-Die LDS–Fläche ist in beiden Fällen gleich.		-Die LDS–Fläche ist in beiden Fällen gleich.
	-Bei RZ–Impulsen beinhaltet ${\it \Phi}_{s}(f)$ zusätzliche Diracfunktionen.		-Bei RZ–Impulsen beinhaltet  ${\it \Phi}_{s}(f)$  zusätzliche Diracfunktionen.

	{Es gelte nun $p = 0.75$. Skizzieren Sie die AKF für den NRZ–Grundimpuls und bewerten Sie folgende Aussagen:		{Es gelte nun $p = 0.75$. Skizzieren Sie die AKF für den NRZ–Grundimpuls und bewerten Sie folgende Aussagen:
	\|type="[]"}		\|type="[]"}
	+ Die AKF besteht aus einem Dreieck und einem Gleichanteil.		+ Die AKF besteht aus einem Dreieck und einem Gleichanteil.
	+ Das LDS besteht aus einem ${\rm si}^{2}$–Anteil und einem Dirac.		+ Das LDS besteht aus einem  ${\rm si}^{2}$–Anteil und einem Dirac.
	-Die Diracfunktion hat das Gewicht $s_{0}^{2}$.		-Die Diracfunktion hat das Gewicht  $s_{0}^{2}$.
	+Mit $p = 0.25$ ergibt sich das gleiche Leistungsdichtespektrum.		+Mit $p = 0.25$ ergibt sich das gleiche Leistungsdichtespektrum.

	{Es gelte weiter $p = 0.75$. Skizzieren Sie die AKF für den RZ–Grundimpuls und bewerten Sie folgende		{Es gelte weiter  $p = 0.75$. Skizzieren Sie die AKF für den RZ–Grundimpuls und bewerten Sie folgende Aussagen:
	\|type="[]"}		\|type="[]"}
	+ Auch hier beinhaltet das LDS einen ${\rm si}^{2}$–förmigen Anteil.		+ Auch hier beinhaltet das LDS einen  ${\rm si}^{2}$–förmigen Anteil.
	+ Gleichzeitig gibt es im LDS noch unendlich viele Diraclinien.		+ Gleichzeitig gibt es im LDS noch unendlich viele Diraclinien.

Mwiki-lnt: Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

2018-05-29T12:02:42Z

Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

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Zeile 31:		Zeile 31:
	''Hinweise:''		''Hinweise:''
	*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Digitalsignalübertragung/Grundlagen_der_codierten_Übertragung\|Grundlagen der codierten Übertragung]].		*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Digitalsignalübertragung/Grundlagen_der_codierten_Übertragung\|Grundlagen der codierten Übertragung]].
	*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes &bdquo;0” erforderlich sein, so geben Sie bitte &bdquo;0.” ein.

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2018-01-04T06:23:06Z

Guenter verschob die Seite Aufgaben:2.2 Binäre bipolare Rechtecke nach Aufgaben:Aufgabe 2.2: Binäre bipolare Rechtecke

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(kein Unterschied)

Guenter am 16. November 2017 um 15:33 Uhr

2017-11-16T15:33:05Z

← Nächstältere Version		Version vom 16. November 2017, 17:33 Uhr
Zeile 92:		Zeile 92:


	In diesem Sinne ist $s_{0.5}(t)$ ein redundanzfreies Signal ~~$\Rightarrow$~~ <u>Lösungsvorschlag 2</u>. Somit ist hier die Entropie (der mittlere Informationsgehalt pro übertragenem Binärsymbol) maximal gleich dem Entscheidungsgehalt:		In diesem Sinne ist $s_{0.5}(t)$ ein redundanzfreies Signal   ⇒   <u>Lösungsvorschlag 2</u>. Somit ist hier die Entropie (der mittlere Informationsgehalt pro übertragenem Binärsymbol) maximal gleich dem Entscheidungsgehalt:
	:$$H_{\rm max} = {1}/{2}\cdot {\rm log}_2 (2)+{1}/{2}\cdot {\rm log}_2 (2) = 1 \,\,{\rm bit/Bin\ddot{a}rsymbol} \hspace{0.05cm}.$$		:$$H_{\rm max} = {1}/{2}\cdot {\rm log}_2 (2)+{1}/{2}\cdot {\rm log}_2 (2) = 1 \,\,{\rm bit/Bin\ddot{a}rsymbol} \hspace{0.05cm}.$$
	Dagegen gilt für die Entropien der beiden anderen Binärsignale:		Dagegen gilt für die Entropien der beiden anderen Binärsignale:
Zeile 102:		Zeile 102:
	Daraus ergibt sich für die relative Redundanz dieser Signale:		Daraus ergibt sich für die relative Redundanz dieser Signale:
	:$$r = \frac{H_{\rm max} - H}{H_{\rm max}}\hspace{0.15cm} \approx 18.9\%\hspace{0.05cm}.$$		:$$r = \frac{H_{\rm max} - H}{H_{\rm max}}\hspace{0.15cm} \approx 18.9\%\hspace{0.05cm}.$$


	'''(2)'''  Der quadratische Mittelwert ist unabhängig von $p$ gleich $m_{2a} = 1$:		'''(2)'''  Der quadratische Mittelwert ist unabhängig von $p$ gleich $m_{2a} = 1$:
Zeile 109:		Zeile 108:
	'''(3)'''  Für den linearen Mittelwert erhält man		'''(3)'''  Für den linearen Mittelwert erhält man
	:$$m_{a}={\rm E}[a_\nu] = p \cdot (+1) + (1-p)\cdot (-1) = 2 p -1 \hspace{0.05cm}.$$		:$$m_{a}={\rm E}[a_\nu] = p \cdot (+1) + (1-p)\cdot (-1) = 2 p -1 \hspace{0.05cm}.$$
	:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} p = 0.75: m_{a}\hspace{0.15cm}\underline {=0.50},\hspace{0.2cm} p = 0.50: m_{a}\hspace{0.15cm}\underline {=0},\hspace{0.2cm} p = 0.25: m_{a}\hspace{0.15cm}\underline { =-0.50 \hspace{0.05cm}}.$$		:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} p = 0.75\text{:} \hspace{0.4cm} m_{a}\hspace{0.15cm}\underline {=0.50},\hspace{0.2cm} p = 0.50\text{:} \hspace{0.4cm} m_{a}\hspace{0.15cm}\underline {=0},\hspace{0.2cm} p = 0.25\text{:} \hspace{0.4cm} m_{a}\hspace{0.15cm}\underline { =-0.50 \hspace{0.05cm}}.$$

	'''(4)'''  Mit den Ergebnissen aus (2) und (4) erhält man:		'''(4)'''  Mit den Ergebnissen aus (2) und (4) erhält man:
	:$$p ~~\hspace{-0.15cm} \~~ = ~~\ \hspace{-0.15cm}~~ 0.75 \~~hspace~~{~~-0.05cm~~}: \hspace{0.~~15cm~~} \sigma_{a}^2 \hspace{0.15cm}\underline {=0.75},$$		:$$p = 0.75\text{:} \hspace{0.4cm} \sigma_{a}^2 \hspace{0.15cm}\underline {=0.75},$$
	:$$ p ~~\hspace{-0.15cm} \~~ = ~~\ \hspace{-0.15cm}~~ 0.50 \~~hspace~~{~~-0.05cm~~}:\hspace{0.~~15cm~~} \sigma_{a}^2\hspace{0.15cm} \underline { =1.00 \hspace{0.05cm}},$$		:$$ p = 0.50\text{:} \hspace{0.4cm} \sigma_{a}^2\hspace{0.15cm} \underline { =1.00 \hspace{0.05cm}},$$
	:$$ p ~~\hspace{-0.15cm} \~~ = ~~\ \hspace{-0.15cm}~~ 0.25 \~~hspace~~{~~-0.05cm~~}: \hspace{0.~~15cm~~} \sigma_{a}^2 \hspace{0.15cm}\underline {=0.75}.$$		:$$ p = 0.25\text{:} \hspace{0.4cm} \sigma_{a}^2 \hspace{0.15cm}\underline {=0.75}.$$


	'''(5)'''  Für $p = 0.5$ gilt $\varphi_{a}(\lambda = 0) = 1$ und $\varphi_{a}(\lambda \neq 0) = 0$. Daraus folgt:		[[Datei:P_ID1311__Dig_A_2_2e.png\|right\|frame\|AKF bei gleichwahrscheinlichen Symbolen]]
			'''(5)'''  Richtig sind nur die <u>beiden ersten Aussagen</u>:
			*Für $p = 0.5$ gilt $\varphi_{a}(\lambda = 0) = 1$ und $\varphi_{a}(\lambda \neq 0) = 0$. Daraus folgt:
	:$$\varphi_s(\tau) = \frac{1}{T} \cdot \varphi^{^{\bullet}}_{gs}(\tau )\hspace{0.05cm}.$$		:$$\varphi_s(\tau) = \frac{1}{T} \cdot \varphi^{^{\bullet}}_{gs}(\tau )\hspace{0.05cm}.$$
	~~[[Datei:P_ID1311__Dig_A_2_2e.png\|right\|frame\|AKF bei gleichwahrscheinlichen Symbolen]]~~		*Damit ergeben sich sowohl beim NRZ– als auch beim RZ–Grundimpuls eine dreieckförmige AKF und ein ${\rm si}^{2}$–förmiges LDS.
	Damit ergeben sich sowohl beim NRZ– als auch beim RZ–Grundimpuls eine dreieckförmige AKF und ein ${\rm si}^{2}$–förmiges LDS. Die Fläche unter dem LDS ist beim RZ–Impuls um den Faktor $T_{\rm S}/T$ kleiner als beim NRZ–Impuls, da sich auch die AKF–Werte bei $\tau = 0$ um diesen Faktor unterscheiden. Das LDS ist in beiden Fällen kontinuierlich, da die AKF keinen Gleichanteil und keine periodischen Anteile beinhaltet.		*Die Fläche unter dem LDS ist beim RZ–Impuls um den Faktor $T_{\rm S}/T$ kleiner als beim NRZ–Impuls, da sich auch die AKF–Werte bei $\tau = 0$ um diesen Faktor unterscheiden.
			*Das LDS ist in beiden Fällen kontinuierlich, da die AKF keinen Gleichanteil und keine periodischen Anteile beinhaltet.

	~~Richtig sind also nur die <u>beiden ersten Aussagen</u>.~~

	[[Datei:P_ID1330__Dig_A_2_2f.png\|right\|frame\|AKF bei ungleichen Symbolwahrscheinlichkeiten]]		[[Datei:P_ID1330__Dig_A_2_2f.png\|right\|frame\|AKF bei ungleichen Symbolwahrscheinlichkeiten]]
	'''(6)'''  Für $p = 0.75$ setzt sich die AKF $\varphi_{s}(\tau)$ aus unendlich vielen Dreieckfunktionen zusammen, die mit Ausnahme des mittleren Dreiecks um $\tau = 0$ alle die gleiche Höhe $s_{0}^{2}/4$ aufweisen. Entsprechend der Skizze kann man alle diese Dreieckfunktionen zu einem Gleichanteil der Höhe $m_{a}^{2} \cdot s_{0}^{2} = s_{0}^{2}/4$ und einem einzigen Dreieck um $\tau = 0$ mit der Höhe $\sigma_{a}^{2} \cdot s_{0}^{2} = 3/4 · s_{0}^{2}$ zusammenfassen.		'''(6)'''  Richtig sind <u>alle Aussagen mit Ausnahme der dritten</u>:
			*Für $p = 0.75$ setzt sich die AKF $\varphi_{s}(\tau)$ aus unendlich vielen Dreieckfunktionen zusammen, die mit Ausnahme des mittleren Dreiecks um $\tau = 0$ alle die gleiche Höhe $s_{0}^{2}/4$ aufweisen.
			*Entsprechend der Skizze kann man alle diese Dreieckfunktionen zu einem Gleichanteil der Höhe $m_{a}^{2} \cdot s_{0}^{2} = s_{0}^{2}/4$ und einem einzigen Dreieck um $\tau = 0$ mit der Höhe $\sigma_{a}^{2} \cdot s_{0}^{2} = 3/4 · s_{0}^{2}$ zusammenfassen.
	Im LDS führt dies zu einem kontinuierlichen, ${\rm si}^{2}$–förmigem Anteil und zu einer Diracfunktion bei $f = 0$. Das Gewicht dieses Diracs ist $s_{0}^{2}/4$. Für $p = 0.25$ ergibt sich die gleiche AKF wie mit $p = 0.75$, da sowohl der quadratische Mittelwert $m_{2a} = 1$ als auch $m_{a}^{2} = 0.25$ übereinstimmen. Somit stimmen natürlich auch die Leistungsdichtespektren überein.		*Im LDS führt dies zu einem kontinuierlichen, ${\rm si}^{2}$–förmigem Anteil und zu einer Diracfunktion bei $f = 0$. Das Gewicht dieses Diracs ist $s_{0}^{2}/4$.
			*Für $p = 0.25$ ergibt sich die gleiche AKF wie mit $p = 0.75$, da sowohl der quadratische Mittelwert $m_{2a} = 1$ als auch $m_{a}^{2} = 0.25$ übereinstimmen. Somit stimmen natürlich auch die Leistungsdichtespektren überein.

	~~Richtig sind somit <u>alle Aussagen mit Ausnahme der dritten</u>.~~

	[[Datei:P_ID1331__Dig_A_2_2g.png\|right\|frame\|AKF bei RZ-Rechteckimpulsen]]		[[Datei:P_ID1331__Dig_A_2_2g.png\|right\|frame\|AKF bei RZ-Rechteckimpulsen]]
	'''(7)'''  Mit dem RZ–Tastverhältnis $T_{\rm S}/T = 0.5$ ergibt sich die skizzierte AKF, die auch durch eine periodische Dreieckfunktion der Höhe $s_{0}^{2}/8$ (mit roter Füllung) und einem einzigen Dreieckimpuls der Höhe $3/8 \cdot s_{0}^{2}$ (grün gefüllt) dargestellt werden kann. Dieser nichtperiodische Anteil führt zu einem kontinuierlichen, ${\rm si}^{2}$–förmigen LDS mit Nullstellen bei Vielfachen von $2/T$.		'''(7)'''  <u>Beide Lösungsvorschläge sind richtig</u>:
			*Mit dem RZ–Tastverhältnis $T_{\rm S}/T = 0.5$ ergibt sich die skizzierte AKF, die auch durch eine periodische Dreieckfunktion der Höhe $s_{0}^{2}/8$ (mit roter Füllung) und einem einzigen Dreieckimpuls der Höhe $3/8 \cdot s_{0}^{2}$ (grün gefüllt) dargestellt werden kann.
			*Dieser nichtperiodische Anteil führt zu einem kontinuierlichen, ${\rm si}^{2}$–förmigen LDS mit Nullstellen bei Vielfachen von $2/T$.
			*Das periodische Dreiecksignal bewirkt Diracfunktionen bei Vielfachen von $1/T$.
			*Aufgrund der Antimetrie des periodischen Anteils besitzen die Diracfunktionen bei Vielfachen von $2/T$ jeweils das Gewicht $0$.
			*Die Gewichte der Diracfunktionen im Abstand $1/T$ sind proportional zum kontinuierlichen LDS–Anteil.

	Das periodische Dreiecksignal bewirkt Diracfunktionen bei Vielfachen von $1/T$. Aufgrund der Antimetrie des periodischen Anteils besitzen die Diracfunktionen bei Vielfachen von $2/T$ jeweils das Gewicht $0$. Die Gewichte der Diracfunktionen im Abstand $1/T$ sind proportional zum kontinuierlichen LDS–Anteil.

	~~<u>Beide Lösungsvorschläge sind somit richtig</u>.~~

	{{ML-Fuß}}		{{ML-Fuß}}

Guenter am 16. November 2017 um 15:18 Uhr

2017-11-16T15:18:39Z

← Nächstältere Version		Version vom 16. November 2017, 17:18 Uhr
Zeile 48:		Zeile 48:
	{Wie groß ist der quadratische Mittelwert $m_{2a}$ der Amplitudenkoeffizienten in Abhängigkeit von $p$?		{Wie groß ist der quadratische Mittelwert $m_{2a}$ der Amplitudenkoeffizienten in Abhängigkeit von $p$?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$p = 0.75\text{:} \ m_{2a} \ = \ $ { 1 3% }		$p = 0.75\text{:} \hspace{0.4cm} m_{2a} \ = \ $ { 1 3% }
	$p = 0.50\text{:} \ m_{2a} \ = \ $ { 1 3% }		$p = 0.50\text{:} \hspace{0.4cm} m_{2a} \ = \ $ { 1 3% }
	$p = 0.25\text{:} \ m_{2a} \ = \ $ { 1 3% }		$p = 0.25\text{:} \hspace{0.4cm} m_{2a} \ = \ $ { 1 3% }

	{Berechnen Sie den linearen Mittelwert $m_{a}$ in Abhängigkeit von $p$.		{Berechnen Sie den linearen Mittelwert $m_{a}$ in Abhängigkeit von $p$.
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$p = 0.75\text{:} \ m_{a} \ = \ $ { 0.5 3% }		$p = 0.75\text{:} \hspace{0.4cm} m_{a} \ = \ $ { 0.5 3% }
	$p = 0.50\text{:} \ m_{a} \ = \ $ { 0 3% }		$p = 0.50\text{:} \hspace{0.4cm} m_{a} \ = \ $ { 0 3% }
	$p = 0.25\text{:} \ m_{a} \ = \ $ { -0.515--0.485 }		$p = 0.25\text{:} \hspace{0.4cm} m_{a} \ = \ $ { -0.515--0.485 }

	{Wie groß ist die Varianz $\sigma_{a}^{2}$ der Amplitudenkoeffizienten?		{Wie groß ist die Varianz $\sigma_{a}^{2}$ der Amplitudenkoeffizienten?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$p = 0.75\text{:} \ \sigma_{a}^{2} \ = \ $ { 0.75 3% }		$p = 0.75\text{:} \hspace{0.4cm} \sigma_{a}^{2} \ = \ $ { 0.75 3% }
	$p = 0.50\text{:} \ \sigma_{a}^{2} \ = \ $ { ~~0.75~~ 3% }		$p = 0.50\text{:} \hspace{0.4cm} \sigma_{a}^{2} \ = \ $ { 1 3% }
	$p = 0.25\text{:} \ \sigma_{a}^{2} \ = \ $ { 0.75 3% }		$p = 0.25\text{:} \hspace{0.4cm} \sigma_{a}^{2} \ = \ $ { 0.75 3% }

	{Es gelte zunächst $p = 0.5$. Skizzieren Sie die AKF $\varphi_{s}(\tau)$ für den NRZ– und den RZ–Grundimpuls und bewerten Sie folgende Aussagen:		{Es gelte zunächst $p = 0.5$. Skizzieren Sie die AKF $\varphi_{s}(\tau)$ für den NRZ– und den RZ–Grundimpuls und bewerten Sie folgende Aussagen:

← Nächstältere Version		Version vom 11. Februar 2019, 13:07 Uhr
Zeile 96:		Zeile 96:


	In diesem Sinne ist $s_{0.5}(t)$ ein redundanzfreies Signal   ⇒   <u>Lösungsvorschlag 2</u>. Somit ist hier die Entropie (der mittlere Informationsgehalt pro übertragenem Binärsymbol) maximal gleich dem Entscheidungsgehalt:		In diesem Sinne ist $s_{0.5}(t)$ ein redundanzfreies Signal   ⇒   <u>Lösungsvorschlag 2</u>.
			*Somit ist hier die Entropie (der mittlere Informationsgehalt pro übertragenem Binärsymbol) maximal gleich dem Entscheidungsgehalt:
	:$$H_{\rm max} = {1}/{2}\cdot {\rm log}_2 (2)+{1}/{2}\cdot {\rm log}_2 (2) = 1 \,\,{\rm bit/Bin\ddot{a}rsymbol} \hspace{0.05cm}.$$		:$$H_{\rm max} = {1}/{2}\cdot {\rm log}_2 (2)+{1}/{2}\cdot {\rm log}_2 (2) = 1 \,\,{\rm bit/Bin\ddot{a}rsymbol} \hspace{0.05cm}.$$
	Dagegen gilt für die Entropien der beiden anderen Binärsignale:		*Dagegen gilt für die Entropien der beiden anderen Binärsignale:
	:$$H = \ \frac{3}{4}\cdot {\rm log}_2 (\frac{4}{3})+ \frac{1}{4}\cdot {\rm log}_2 (4)		:$$H = \ \frac{3}{4}\cdot {\rm log}_2 (\frac{4}{3})+ \frac{1}{4}\cdot {\rm log}_2 (4)
	= \left( \frac{3}{4} + \frac{1}{4}\right)\cdot {\rm log}_2 (4) -		= \left( \frac{3}{4} + \frac{1}{4}\right)\cdot {\rm log}_2 (4) -
Zeile 104:		Zeile 105:
	:$$ \hspace{0.5cm} = \ 2 - \frac{3}{4}\cdot{\rm log}_2 (3) =		:$$ \hspace{0.5cm} = \ 2 - \frac{3}{4}\cdot{\rm log}_2 (3) =
	0.811 \,\,{\rm bit/Bin\ddot{a}rsymbol} \hspace{0.05cm}.$$		0.811 \,\,{\rm bit/Bin\ddot{a}rsymbol} \hspace{0.05cm}.$$
	Daraus ergibt sich für die relative Redundanz dieser Signale:		*Daraus ergibt sich für die relative Redundanz dieser Signale:
	:$$r = \frac{H_{\rm max} - H}{H_{\rm max}}\hspace{0.15cm} \approx 18.9\%\hspace{0.05cm}.$$		:$$r = \frac{H_{\rm max} - H}{H_{\rm max}}\hspace{0.15cm} \approx 18.9\%\hspace{0.05cm}.$$


	'''(2)'''  Der quadratische Mittelwert ist unabhängig von $p$ gleich $m_{2a} = 1$:		'''(2)'''  Der quadratische Mittelwert ist unabhängig von $p$ gleich $m_{2a} = 1$:
	:$$m_{2a}={\rm E}[a_\nu^2] = p \cdot (+1)^2 + (1-p)\cdot (-1)^2 \hspace{0.15cm}\underline { = 1 \hspace{0.05cm}}.$$		:$$m_{2a}={\rm E}[a_\nu^2] = p \cdot (+1)^2 + (1-p)\cdot (-1)^2 \hspace{0.15cm}\underline { = 1 \hspace{0.05cm}}.$$


	'''(3)'''  Für den linearen Mittelwert erhält man		'''(3)'''  Für den linearen Mittelwert erhält man
Zeile 114:		Zeile 117:
	:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} p = 0.75\text{:} \hspace{0.4cm} m_{a}\hspace{0.15cm}\underline {=0.50},\hspace{0.2cm} p = 0.50\text{:} \hspace{0.4cm} m_{a}\hspace{0.15cm}\underline {=0},\hspace{0.2cm} p = 0.25\text{:} \hspace{0.4cm} m_{a}\hspace{0.15cm}\underline { =-0.50 \hspace{0.05cm}}.$$		:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} p = 0.75\text{:} \hspace{0.4cm} m_{a}\hspace{0.15cm}\underline {=0.50},\hspace{0.2cm} p = 0.50\text{:} \hspace{0.4cm} m_{a}\hspace{0.15cm}\underline {=0},\hspace{0.2cm} p = 0.25\text{:} \hspace{0.4cm} m_{a}\hspace{0.15cm}\underline { =-0.50 \hspace{0.05cm}}.$$

	'''(4)'''  Mit den Ergebnissen aus (2) und (4) erhält man:
			'''(4)'''  Mit den Ergebnissen aus '''(2)''' und '''(4)''' erhält man:
	:$$p = 0.75\text{:} \hspace{0.4cm} \sigma_{a}^2 \hspace{0.15cm}\underline {=0.75},$$		:$$p = 0.75\text{:} \hspace{0.4cm} \sigma_{a}^2 \hspace{0.15cm}\underline {=0.75},$$
	:$$ p = 0.50\text{:} \hspace{0.4cm} \sigma_{a}^2\hspace{0.15cm} \underline { =1.00 \hspace{0.05cm}},$$		:$$ p = 0.50\text{:} \hspace{0.4cm} \sigma_{a}^2\hspace{0.15cm} \underline { =1.00 \hspace{0.05cm}},$$
Zeile 120:		Zeile 124:


	[[Datei:P_ID1311__Dig_A_2_2e.png\|right\|frame\|AKF bei ~~gleichwahrscheinlichen Symbolen~~]]		[[Datei:P_ID1311__Dig_A_2_2e.png\|right\|frame\|AKF bei gleichen Symbolwahrscheinlichkeiten]]
	'''(5)'''  Richtig sind nur die <u>beiden ersten Aussagen</u>:		'''(5)'''  Richtig sind nur die <u>beiden ersten Aussagen</u>:
	*Für $p = 0.5$ gilt $\varphi_{a}(\lambda = 0) = 1$ und $\varphi_{a}(\lambda \neq 0) = 0$. Daraus folgt:		*Für $p = 0.5$ gilt $\varphi_{a}(\lambda = 0) = 1$ und $\varphi_{a}(\lambda \neq 0) = 0$. Daraus folgt:
Zeile 141:		Zeile 145:
	*Mit dem RZ–Tastverhältnis $T_{\rm S}/T = 0.5$ ergibt sich die skizzierte AKF, die auch durch eine periodische Dreieckfunktion der Höhe $s_{0}^{2}/8$ (mit roter Füllung) und einem einzigen Dreieckimpuls der Höhe $3/8 \cdot s_{0}^{2}$ (grün gefüllt) dargestellt werden kann.		*Mit dem RZ–Tastverhältnis $T_{\rm S}/T = 0.5$ ergibt sich die skizzierte AKF, die auch durch eine periodische Dreieckfunktion der Höhe $s_{0}^{2}/8$ (mit roter Füllung) und einem einzigen Dreieckimpuls der Höhe $3/8 \cdot s_{0}^{2}$ (grün gefüllt) dargestellt werden kann.
	*Dieser nichtperiodische Anteil führt zu einem kontinuierlichen, ${\rm si}^{2}$–förmigen LDS mit Nullstellen bei Vielfachen von $2/T$.		*Dieser nichtperiodische Anteil führt zu einem kontinuierlichen, ${\rm si}^{2}$–förmigen LDS mit Nullstellen bei Vielfachen von $2/T$.
	*~~Das~~ periodische ~~Dreiecksignal~~ bewirkt Diracfunktionen bei Vielfachen von $1/T$.		*Die periodische Dreieck–AKF bewirkt im LDS Diracfunktionen bei Vielfachen von $1/T$.
	*Aufgrund der Antimetrie des periodischen Anteils besitzen die Diracfunktionen bei Vielfachen von $2/T$ jeweils das Gewicht $0$.		*Aufgrund der Antimetrie des periodischen Anteils besitzen die Diracfunktionen bei Vielfachen von $2/T$ allerdings jeweils das Gewicht $0$.
	*Die Gewichte der Diracfunktionen im Abstand $1/T$ sind proportional zum kontinuierlichen LDS–Anteil.		*Die Gewichte der Diracfunktionen im Abstand $1/T$ sind proportional zum kontinuierlichen LDS–Anteil.