Aufgaben:Aufgabe 2.1Z: Signalverläufe - Versionsgeschichte

Guenter am 3. Dezember 2021 um 13:13 Uhr

2021-12-03T13:13:30Z

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2021-12-03T13:09:13Z

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Guenter am 2. August 2018 um 15:28 Uhr

2018-08-02T15:28:35Z

Guenter am 2. August 2018 um 15:09 Uhr

2018-08-02T15:09:57Z

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2018-08-02T15:08:21Z

Mwiki-lnt: Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

2018-05-29T12:02:41Z

Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

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2018-01-03T13:29:23Z

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 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 3, 4 und 5</u>:
+'''(1)'''&nbsp; Richtig sind die&nbsp; <u>Lösungsvorschläge 3, 4 und 5</u>:
 *Die Zufallsgrößen&nbsp; $\rm (C)$&nbsp; und&nbsp; $\rm (D)$&nbsp; sind binär&nbsp; $(M= 2)$,
 *w&auml;hrend die Zufallsgr&ouml;&szlig;e&nbsp; $\rm (E)$&nbsp; dreiwertig ist &nbsp; $(M= 3)$.
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-'''(2)'''&nbsp; Richtig ist allein der <u>Lösungsvorschlag 1</u>:
+'''(2)'''&nbsp; Richtig ist allein der&nbsp; <u>Lösungsvorschlag 1</u>:
 *Die Zufallsgr&ouml;&szlig;e&nbsp; $\rm (A)$&nbsp; ist wertkontinuierlich und kann alle Werte zwischen&nbsp; $\pm 2 \hspace{0.03cm} \rm V$&nbsp; mit gleicher Wahrscheinlichkeit annehmen.
 *Alle anderen Zufallsgrößen sind wertdiskret.
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-'''(3)'''&nbsp; Richtig ist allein der <u>Lösungsvorschlag 2</u>:
+'''(3)'''&nbsp; Richtig ist allein der&nbsp; <u>Lösungsvorschlag 2</u>:
-*Nur die Zufallsgr&ouml;&szlig;e&nbsp; $\rm (B)$&nbsp; hat einen diskreten Anteil bei&nbsp; $0\hspace{0.03cm}\rm V$ und
+*Nur die Zufallsgr&ouml;&szlig;e&nbsp; $\rm (B)$&nbsp; hat einen diskreten Anteil bei&nbsp; $0\hspace{0.03cm}\rm V$&nbsp; und
 *au&szlig;erdem noch eine kontinuierliche Komponente&nbsp; (zwischen&nbsp; $0\hspace{0.03cm} \rm V$&nbsp; und&nbsp; $+2\hspace{0.03cm}\rm V)$.
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 :$$\rm Pr\left(|\it h_{\rm 0} - \it p_{\rm 0}|\ge\it\varepsilon\right)\le\frac{\rm 1}{\rm 4\cdot \it N\cdot\it\varepsilon^{\rm 2}} = {\it p}_{\rm \hspace{0.01cm}Bernouilli}.$$
-*Damit ist die Wahrscheinlichkeit, dass die relative H&auml;ufigkeit $h_0$ von der Wahrscheinlichkeit $p_0 = 0.5$ betragsm&auml;&szlig;ig um mehr als $0.01$ abweicht, mit $\varepsilon = 0.01$ berechenbar:
+*Damit ist die Wahrscheinlichkeit,&nbsp; dass die relative H&auml;ufigkeit&nbsp; $h_0$&nbsp; von der Wahrscheinlichkeit&nbsp; $p_0 = 0.5$&nbsp; betragsm&auml;&szlig;ig um mehr als&nbsp; $0.01$&nbsp; abweicht,&nbsp; mit $\varepsilon = 0.01$ berechenbar:
 :$${\it p}_{\rm \hspace{0.01cm}Bernoulli} = \rm\frac{1}{4\cdot 100000\cdot 0.01^2}=\rm 2.5\% \hspace{0.5cm}\Rightarrow \hspace{0.5cm}
-{\rm Min}\big[({\rm Pr}(0.49 \le h_0 \le 0.51)\big] \hspace{0.15cm}\underline{= 0.975}.$$
+{\rm Min}\big[({\rm Pr}(0.49 \le h_0 \le 0.51)\big] \hspace{0.15cm}\underline{= 97.5\%}.$$

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 {F&uuml;r das Signal&nbsp; $\rm (D)$&nbsp; wird die relative H&auml;ufigkeit&nbsp; $h_0$&nbsp; empirisch &uuml;ber&nbsp; $100\hspace{0.03cm}000$&nbsp; Binärsymbole ermittelt. <br>Benennen Sie eine untere Schranke f&uuml;r die Wahrscheinlichkeit,&nbsp; dass der ermittelte Wert zwischen&nbsp; $0.49$&nbsp; und&nbsp; $0.51$&nbsp; liegt?
 |type="{}"}
-${\rm Min\big[\ Pr(0.49}≤h_0≤0.51)\ \big] \ = \ $ { 0.975 3% }
+${\rm Min\big[\ Pr(0.49}≤h_0≤0.51)\ \big] \ = \ $ { 97.5 3% } &nbsp;$\%$

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 [[Datei:P_ID59__Sto_Z_2_1.png|right|frame|Wertdiskret oder wertkontinuierlich?]]
-Rechts sind f&uuml;nf Signalverl&auml;ufe dargestellt.&nbsp; Die ersten drei Signale&nbsp; $\rm (A)$,&nbsp; $\rm (B)$&nbsp; und&nbsp; $\rm (C)$&nbsp; sind periodisch und damit auch deterministisch, die beiden unteren Signale haben stochastischen Charakter. Der Momentanwert dieser Signale&nbsp; $x(t)$&nbsp; wird jeweils als eine Zufallsgr&ouml;&szlig;e aufgefasst.
+Rechts sind f&uuml;nf Signalverl&auml;ufe dargestellt.&nbsp; Die ersten drei Signale&nbsp; $\rm (A)$,&nbsp; $\rm (B)$&nbsp; und&nbsp; $\rm (C)$&nbsp; sind periodisch und damit auch deterministisch, die beiden unteren Signale haben stochastischen Charakter.
-Im Einzelnen sind dargestellt:
+Der Momentanwert dieser Signale&nbsp; $x(t)$&nbsp; wird jeweils als eine Zufallsgr&ouml;&szlig;e aufgefasst.&nbsp; Im Einzelnen sind dargestellt:
 $\rm (A)$: &nbsp;&nbsp;ein dreieckf&ouml;rmiges periodisches Signal,
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 $\rm (D)$: &nbsp;&nbsp;ein rechteckf&ouml;rmiges Zufallssignal,
-$\rm (E)$: &nbsp;&nbsp;das Zufallssignal&nbsp; $\rm (D)$&nbsp; nach &nbsp;AMI-Codierung; &nbsp; <br>&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; hierbei bleibt die &bdquo;Null&rdquo; erhalten, w&auml;hrend eine jede &bdquo;Eins&rdquo; alternierend mit &bdquo;$+2\hspace{0.03cm}\rm V$&rdquo; und &bdquo;$-2\hspace{0.03cm} \rm V$&rdquo; codiert wird.
+$\rm (E)$: &nbsp;&nbsp;das Zufallssignal&nbsp; $\rm (D)$&nbsp; nach &nbsp;AMI-Codierung; &nbsp; <br>&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; hierbei bleibt die &bdquo;Null&rdquo; erhalten, w&auml;hrend eine jede &bdquo;Eins&rdquo; alternierend mit &nbsp; $+2\hspace{0.03cm}\rm V$&nbsp; und &nbsp; $-2\hspace{0.03cm} \rm V$ &nbsp; codiert wird.
 Hinweis:
 *Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Vom_Zufallsexperiment_zur_Zufallsgröße|Vom Zufallsexperiment zur Zufallsgröße]].
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-{Bei welchen Signalen ist der Momentanwert eine (ausschlie&szlig;lich) kontinuierliche Zufallsgr&ouml;&szlig;e?
+{Bei welchen Signalen ist der Momentanwert eine&nbsp; (ausschlie&szlig;lich)&nbsp; kontinuierliche Zufallsgr&ouml;&szlig;e?
 |type="[]"}
 + Signal $\rm (A)$,
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-{F&uuml;r das Signal&nbsp; $\rm (D)$&nbsp; wird die relative H&auml;ufigkeit&nbsp; $h_0$&nbsp; empirisch &uuml;ber $100\hspace{0.03cm}000$ Binärsymbole ermittelt. <br>Benennen Sie eine untere Schranke f&uuml;r die Wahrscheinlichkeit, dass der ermittelte Wert zwischen&nbsp; $0.49$&nbsp; und&nbsp; $0.51$&nbsp; liegt?
+{F&uuml;r das Signal&nbsp; $\rm (D)$&nbsp; wird die relative H&auml;ufigkeit&nbsp; $h_0$&nbsp; empirisch &uuml;ber&nbsp; $100\hspace{0.03cm}000$&nbsp; Binärsymbole ermittelt. <br>Benennen Sie eine untere Schranke f&uuml;r die Wahrscheinlichkeit,&nbsp; dass der ermittelte Wert zwischen&nbsp; $0.49$&nbsp; und&nbsp; $0.51$&nbsp; liegt?
 |type="{}"}
 ${\rm Min\big[\ Pr(0.49}≤h_0≤0.51)\ \big] \ = \ $ { 0.975 3% }
-{Wieviele Symbole&nbsp; $(N_\min)$&nbsp; m&uuml;sste man f&uuml;r diese Untersuchung heranziehen, damit sichergestellt wird, <br>dass die Wahrscheinlichkeit f&uuml;r das Ereignis &bdquo;Die so ermittelte H&auml;ufigkeit liegt zwischen&nbsp; $0.499$&nbsp; und&nbsp; $0.501$&rdquo; größer als&nbsp; $99\%$&nbsp; ist?
+{Wieviele Symbole&nbsp; $(N_\min)$&nbsp; m&uuml;sste man f&uuml;r diese Untersuchung heranziehen,&nbsp; damit sichergestellt wird, <br>dass die Wahrscheinlichkeit f&uuml;r das Ereignis&nbsp; &bdquo;Die so ermittelte H&auml;ufigkeit liegt zwischen&nbsp; $0.499$&nbsp; und&nbsp; $0.501$&rdquo;&nbsp; größer als&nbsp; $99\%$&nbsp; ist?
 |type="{}"}
 $N_\min \ =  \ $  { 2.5 3% } $\ \cdot 10^9$

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 {{ML-Kopf}}
 '''(1)'''&nbsp; Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 3, 4 und 5</u>:
-*Die Zufallsgrößen $\rm (C)$ und $\rm (D)$ sind binär $(M= 2)$,
+*Die Zufallsgrößen&nbsp; $\rm (C)$&nbsp; und&nbsp; $\rm (D)$&nbsp; sind binär&nbsp; $(M= 2)$,
-*w&auml;hrend die Zufallsgr&ouml;&szlig;e $\rm (E)$ dreiwertig ist.
+*w&auml;hrend die Zufallsgr&ouml;&szlig;e&nbsp; $\rm (E)$&nbsp; dreiwertig ist &nbsp; $(M= 3)$.
 '''(2)'''&nbsp; Richtig ist allein der <u>Lösungsvorschlag 1</u>:
-*Die Zufallsgr&ouml;&szlig;e $\rm (A)$ ist kontinuierlich und kann alle Werte zwischen $\pm 2 \hspace{0.03cm} \rm V$ mit gleicher Wahrscheinlichkeit annehmen.
+*Die Zufallsgr&ouml;&szlig;e&nbsp; $\rm (A)$&nbsp; ist wertkontinuierlich und kann alle Werte zwischen&nbsp; $\pm 2 \hspace{0.03cm} \rm V$&nbsp; mit gleicher Wahrscheinlichkeit annehmen.
-*Alle anderen Zufallsgrößen sind diskret.
+*Alle anderen Zufallsgrößen sind wertdiskret.
 '''(3)'''&nbsp; Richtig ist allein der <u>Lösungsvorschlag 2</u>:
-*Nur die Zufallsgr&ouml;&szlig;e $\rm (B)$ hat einen diskreten Anteil bei $0\hspace{0.03cm}\rm V$ und
+*Nur die Zufallsgr&ouml;&szlig;e&nbsp; $\rm (B)$&nbsp; hat einen diskreten Anteil bei&nbsp; $0\hspace{0.03cm}\rm V$ und
-*au&szlig;erdem noch eine kontinuierliche Komponente (zwischen $0\hspace{0.03cm} \rm V$ und $+2\hspace{0.03cm}\rm V$).
+*au&szlig;erdem noch eine kontinuierliche Komponente&nbsp; (zwischen&nbsp; $0\hspace{0.03cm} \rm V$&nbsp; und&nbsp; $+2\hspace{0.03cm}\rm V)$.
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 :$$\rm Pr\left(|\it h_{\rm 0} - \it p_{\rm 0}|\ge\it\varepsilon\right)\le\frac{\rm 1}{\rm 4\cdot \it N\cdot\it\varepsilon^{\rm 2}} = {\it p}_{\rm \hspace{0.01cm}Bernouilli}.$$
-Damit ist die Wahrscheinlichkeit, dass die relative H&auml;ufigkeit $h_0$ von der Wahrscheinlichkeit $p_0 = 0.5$ betragsm&auml;&szlig;ig um mehr als $0.01$ abweicht, mit $\varepsilon = 0.01$ berechenbar:
+*Damit ist die Wahrscheinlichkeit, dass die relative H&auml;ufigkeit $h_0$ von der Wahrscheinlichkeit $p_0 = 0.5$ betragsm&auml;&szlig;ig um mehr als $0.01$ abweicht, mit $\varepsilon = 0.01$ berechenbar:
 :$${\it p}_{\rm \hspace{0.01cm}Bernoulli} = \rm\frac{1}{4\cdot 100000\cdot 0.01^2}=\rm 2.5\% \hspace{0.5cm}\Rightarrow \hspace{0.5cm}
 {\rm Min}\big[({\rm Pr}(0.49 \le h_0 \le 0.51)\big] \hspace{0.15cm}\underline{= 0.975}.$$
 '''(5)'''&nbsp; Mit $p_{\rm Bernoulli} = 1 - 0.99 = 0.01$ und $\varepsilon = 0.001$ gilt wiederum nach dem Gesetz der gro&szlig;en Zahlen:
 :$${\it p}_{\rm \hspace{0.01cm}Bernoulli}\le\frac{\rm 1}{\rm 4\cdot  \it N\cdot\it \varepsilon^{\rm 2}}.$$
-Aufgel&ouml;st nach $N$ erh&auml;lt man:
+*Aufgel&ouml;st nach&nbsp; $N$&nbsp; erh&auml;lt man:
 :$$N\ge\frac{\rm 1}{\rm 4\cdot\it p_{\rm \hspace{0.01cm}Bernoulli}\cdot\it\varepsilon^{\rm 2}}=\rm \frac{1}{4\cdot 0.01\cdot 0.001^{2}}=\rm 0.25\cdot 10^8
 \hspace{0.5cm}\Rightarrow \hspace{0.5cm}

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 [[Datei:P_ID59__Sto_Z_2_1.png|right|frame|Wertdiskret oder wertkontinuierlich?]]
-Rechts sind f&uuml;nf Signalverl&auml;ufe dargestellt. Die ersten drei Signale $\rm (A)$, $\rm (B)$ und $\rm (C)$ sind periodisch und damit auch deterministisch, die beiden unteren Signale haben stochastischen Charakter. Der Momentanwert dieser Signale $x(t)$ wird jeweils als eine Zufallsgr&ouml;&szlig;e aufgefasst.
+Rechts sind f&uuml;nf Signalverl&auml;ufe dargestellt.&nbsp; Die ersten drei Signale&nbsp; $\rm (A)$,&nbsp; $\rm (B)$&nbsp; und&nbsp; $\rm (C)$&nbsp; sind periodisch und damit auch deterministisch, die beiden unteren Signale haben stochastischen Charakter. Der Momentanwert dieser Signale&nbsp; $x(t)$&nbsp; wird jeweils als eine Zufallsgr&ouml;&szlig;e aufgefasst.
 Im Einzelnen sind dargestellt:
@@ Zeile 10: / Zeile 10: @@
 $\rm (A)$: &nbsp;&nbsp;ein dreieckf&ouml;rmiges periodisches Signal,
-$\rm (B)$: &nbsp;&nbsp;das Signal $\rm (A)$ nach Einweggleichrichtung,
+$\rm (B)$: &nbsp;&nbsp;das Signal&nbsp; $\rm (A)$&nbsp; nach Einweggleichrichtung,
 $\rm (C)$: &nbsp;&nbsp;ein rechteckf&ouml;rmiges periodisches Signal,
@@ Zeile 16: / Zeile 16: @@
 $\rm (D)$: &nbsp;&nbsp;ein rechteckf&ouml;rmiges Zufallssignal,
-$\rm (E)$: &nbsp;&nbsp;das Zufallssignal $\rm (D)$ nach &nbsp;AMI-Codierung; &nbsp; hierbei bleibt die &bdquo;Null&rdquo; erhalten, w&auml;hrend eine jede &bdquo;Eins&rdquo; alternierend mit &bdquo;$+2\hspace{0.03cm}\rm V$&rdquo; und &bdquo;$-2\hspace{0.03cm} \rm V$&rdquo; codiert wird.
+$\rm (E)$: &nbsp;&nbsp;das Zufallssignal&nbsp; $\rm (D)$&nbsp; nach &nbsp;AMI-Codierung; &nbsp; <br>&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; hierbei bleibt die &bdquo;Null&rdquo; erhalten, w&auml;hrend eine jede &bdquo;Eins&rdquo; alternierend mit &bdquo;$+2\hspace{0.03cm}\rm V$&rdquo; und &bdquo;$-2\hspace{0.03cm} \rm V$&rdquo; codiert wird.
-''Hinweise:''
 *Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Vom_Zufallsexperiment_zur_Zufallsgröße|Vom Zufallsexperiment zur Zufallsgröße]].
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 <quiz display=simple>
-{Bei welchen Signalen beschreibt der Momentanwert eine diskrete Zufallsgr&ouml;&szlig;e? <br>&Uuml;berlegen Sie sich auch die jeweilige Stufenzahl $M$.
+{Bei welchen Signalen beschreibt der Momentanwert eine diskrete Zufallsgr&ouml;&szlig;e? <br>&Uuml;berlegen Sie sich auch die jeweilige Stufenzahl&nbsp; $M$.
 |type="[]"}
 - Signal $\rm (A)$,
@@ Zeile 58: / Zeile 61: @@
-{F&uuml;r das Signal $\rm (D)$ wird die relative H&auml;ufigkeit $h_0$ empirisch &uuml;ber $100\hspace{0.03cm}000$ Binärsymbole ermittelt. <br>Benennen Sie eine untere Schranke f&uuml;r die Wahrscheinlichkeit, dass der ermittelte Wert zwischen $0.49$ und $0.51$ liegt?
+{F&uuml;r das Signal&nbsp; $\rm (D)$&nbsp; wird die relative H&auml;ufigkeit&nbsp; $h_0$&nbsp; empirisch &uuml;ber $100\hspace{0.03cm}000$ Binärsymbole ermittelt. <br>Benennen Sie eine untere Schranke f&uuml;r die Wahrscheinlichkeit, dass der ermittelte Wert zwischen&nbsp; $0.49$&nbsp; und&nbsp; $0.51$&nbsp; liegt?
 |type="{}"}
 ${\rm Min\big[\ Pr(0.49}≤h_0≤0.51)\ \big] \ = \ $ { 0.975 3% }
-{Wieviele Symbole $(N_\min)$ m&uuml;sste man f&uuml;r diese Untersuchung heranziehen, damit sichergestellt wird, dass die Wahrscheinlichkeit f&uuml;r das Ereignis &bdquo;Die so ermittelte H&auml;ufigkeit liegt zwischen $0.499$ und $0.501$&rdquo; größer als $99\%$ ist?
+{Wieviele Symbole&nbsp; $(N_\min)$&nbsp; m&uuml;sste man f&uuml;r diese Untersuchung heranziehen, damit sichergestellt wird, <br>dass die Wahrscheinlichkeit f&uuml;r das Ereignis &bdquo;Die so ermittelte H&auml;ufigkeit liegt zwischen&nbsp; $0.499$&nbsp; und&nbsp; $0.501$&rdquo; größer als&nbsp; $99\%$&nbsp; ist?
 |type="{}"}
 $N_\min \ =  \ $  { 2.5 3% } $\ \cdot 10^9$

@@ Zeile 51: / Zeile 51: @@
 {Welche Zufallsgr&ouml;&szlig;en besitzen einen diskreten und einen kontinuierlichen Anteil?
 |type="[]"}
-- Signal (A)
+- Signal $\rm (A)$,
-+ Signal (B)
++ Signal $\rm (B)$,
-- Signal (C)
+- Signal $\rm (C)$,
-- Signal (D)
+- Signal $\rm (D)$,
-- Signal (E)
+- Signal $\rm (E)$.
-{F&uuml;r das Signal (D) wird die relative H&auml;ufigkeit $h_0$ empirisch &uuml;ber $100\hspace{0.03cm}000$ Binärsymbole ermittelt. Benennen Sie eine untere Schranke f&uuml;r die Wahrscheinlichkeit, dass der ermittelte Wert zwischen $0.49$ und $0.51$ liegt?
+{F&uuml;r das Signal (D) wird die relative H&auml;ufigkeit $h_0$ empirisch &uuml;ber $100\hspace{0.03cm}000$ Binärsymbole ermittelt. <br>Benennen Sie eine untere Schranke f&uuml;r die Wahrscheinlichkeit, dass der ermittelte Wert zwischen $0.49$ und $0.51$ liegt?
 |type="{}"}
 ${\rm Min[\ Pr(0.49}≤h_0≤0.51)\ ] \ = \ $ { 0.975 3% }

@@ Zeile 21: / Zeile 21: @@
 ''Hinweise:''
 *Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Vom_Zufallsexperiment_zur_Zufallsgröße|Vom Zufallsexperiment zurZufallsgröße]].
-*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes &bdquo;0&rdquo; erforderlich sein, so geben Sie bitte &bdquo;0.&rdquo; ein.

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