Aufgaben:Aufgabe 2.16: Entscheidungskriterien bei BDD - Versionsgeschichte

Guenter am 2. November 2022 um 16:27 Uhr

2022-11-02T16:27:49Z

Guenter am 2. November 2022 um 14:55 Uhr

2022-11-02T14:55:13Z

Guenter am 31. Mai 2019 um 11:32 Uhr

2019-05-31T11:32:48Z

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2019-05-30T16:19:36Z

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2018-01-16T06:57:24Z

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2018-01-16T06:20:42Z

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Guenter am 3. Januar 2018 um 09:55 Uhr

2018-01-03T09:55:46Z

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 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 1</u>, da das Codierraumschema &nbsp;$\rm A$&nbsp; einen perfekten Code  beschreibt und jeder Hamming&ndash;Code $(n, \, k, \, 3)$ ein perfekter Code ist:
+'''(1)'''&nbsp; Richtig ist der&nbsp; <u>Lösungsvorschlag 1</u>,&nbsp; da das Codierraumschema &nbsp;$\rm A$&nbsp; einen perfekten Code  beschreibt und jeder Hamming&ndash;Code $(n, \, k, \, 3)$&nbsp; ein perfekter Code ist:
-*Bei einem jeden Hamming&ndash;Code $(n, \, k, \, 3)$ gibt es insgesamt $2^n$ mögliche Empfangsworte $\underline{y}_i$, die bei der Syndromdecodierung einem von $2^k$ möglichen Codeworten $\underline{c}_j$ zugeordnet werden.
+*Bei einem jeden Hamming&ndash;Code $(n, \, k, \, 3)$&nbsp; gibt es insgesamt&nbsp; $2^n$&nbsp; mögliche Empfangsworte&nbsp; $\underline{y}_i$,&nbsp; die bei der Syndromdecodierung einem von&nbsp; $2^k$&nbsp; möglichen Codeworten&nbsp; $\underline{c}_j$&nbsp; zugeordnet werden.
 *Aufgrund der HC&ndash;Eigenschaft $d_{\rm min} = 3$ haben alle Kugeln im $n$&ndash;dimensionalen Raum den Radius $t = 1$. In allen Kugeln gibt es somit $2^{n-k}$ Punkte, zum Beispiel
 :* $\text{HC (7, 4, 3)}$: &nbsp; einen Punkt für die fehlerfreie Übertragung und sieben Punkte für einen Bitfehler &nbsp; &#8658; &nbsp; $1 + 7 = 8 = 2^3 = 2^{7-4}$.
-:* $\text{HC (15, 11, 3)}$: &nbsp; einen Punkt für die fehlerfreie Übertragung und nun 15 Punkte für einen Bitfehler &nbsp; &#8658; &nbsp; $1 + 15 = 16 = 2^4 = 2^{15-11}$.
+:* $\text{HC (15, 11, 3)}$: &nbsp; einen Punkt für die fehlerfreie Übertragung und nun fünfzehn Punkte für einen Bitfehler &nbsp; &#8658; &nbsp; $1 + 15 = 16 = 2^4 = 2^{15-11}$.
-''Hinweis:'' &nbsp;Da der Hamming&ndash;Code ein Binärcode ist, hat hier der Coderaum die Dimension&nbsp; $n$.
+<u>Hinweis:</u> &nbsp;Da der Hamming&ndash;Code ein Binärcode ist,&nbsp; hat hier der Coderaum die Dimension&nbsp; $n$.
-'''(2)'''&nbsp; Richtig ist die <u>Antwort 1</u>:
+'''(2)'''&nbsp; Richtig ist die&nbsp; <u>Antwort 1</u>:
 *Im grauen Bereich außerhalb von &bdquo;Kugeln&rdquo; gibt es bei einem perfekten Code keinen einzigen Punkt.
 *Dies wurde auch in der Rechnung zur Teilaufgabe (1) gezeigt.
 '''(3)'''&nbsp; Die Reed&ndash;Solomon&ndash;Codes werden durch das Codierraumschema &nbsp;$\rm B$&nbsp; beschrieben &nbsp;&#8658;&nbsp; <u>Antwort 2</u>.
-*Hier gibt es zahlreiche gelbe Punkte im grauen Bereich, also Punkte die bei <i>Bounded Distance Decoding</i> (BDD) keiner Kugel zugeordnet werden können.
+*Hier gibt es zahlreiche gelbe Punkte im grauen Bereich,&nbsp; also Punkte die bei&nbsp; "Bounded Distance Decoding"&nbsp; keiner Kugel zugeordnet werden können.
 *Betrachten wir beispielweise den $\rm RSC \, (7, \, 3, \, 5)_8$ mit den Codeparametern $n = 7, \, k = 3$ und $t = 2$, so gibt es hier insgesamt $8^7 = 2097152$ Punkte und $8^3 = 512$ Hyperkugeln.
-*Wäre dieser Code perfekt, so müsste es also innerhalb jeder Kugel $8^4 = 4096$ Punkte geben. Es gilt aber:
+*Betrachten wir beispielweise den&nbsp; $\rm RSC \, (7, \, 3, \, 5)_8$&nbsp; mit den Codeparametern&nbsp; $n = 7, \, k = 3$ und $t = 2$,&nbsp; so gibt es hier insgesamt&nbsp; $8^7 = 2097152$&nbsp; Punkte und&nbsp; $8^3 = 512$&nbsp; Hyperkugeln.
 :$${\rm Pr}(\underline{\it y}_{\it i} {\rm \hspace{0.1cm}liegt\hspace{0.1cm} innerhalb\hspace{0.1cm} der\hspace{0.1cm} roten\hspace{0.1cm} Kugel)}
 = {\rm Pr}(f \le t) = {\rm Pr}(f = 0)+ {\rm Pr}(f = 1)+{\rm Pr}(f = 2) =1 + {7 \choose 1} \cdot 7 + {7 \choose 2} \cdot 7^2 = 1079
 \hspace{0.05cm}.$$
-*Für ${\rm Pr}(f = 1)$ ist berücksichtigt, dass es &bdquo;$7 \rm \ über \ 1$&rdquo; $= 7$ Fehlerpositionen geben kann, und für jede Fehlerposition auch sieben unterschiedliche Fehlerwerte. Entsprechendes ist auch für ${\rm Pr}(f = 2)$ berücksichtigt.
+*Für&nbsp; ${\rm Pr}(f = 1)$&nbsp; ist berücksichtigt,&nbsp; dass es&nbsp; "$7 \rm \ über \ 1$"&nbsp; $= 7$&nbsp; Fehlerpositionen geben kann,&nbsp; und für jede Fehlerposition auch sieben unterschiedliche Fehlerwerte.&nbsp; Entsprechendes ist auch für&nbsp; ${\rm Pr}(f = 2)$&nbsp; berücksichtigt.
-'''(4)'''&nbsp; Richtig ist die <u>Antwort 3</u>:
+'''(4)'''&nbsp; Richtig ist die&nbsp; <u>Antwort 3</u>:
 *Ein Punkt im grauen Niemandsland wird mit weniger Symbolfehlern erreicht als ein Punkt in einer anderen Hyperkugel.
 *Für lange Codes wird in der Literatur eine obere Schranke für die Verfälschungswahrscheinlichkeit angegeben:
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 = {\rm Pr}(\underline{z} \ne \underline{c}) \le \frac{1}{t\hspace{0.05cm}!}
 \hspace{0.05cm}.$$
-*Für den ${\rm RSC} \, (225, \, 223, \, 33)_{256} \ \Rightarrow \ t = 16$ liefert diese obere Schranke den Wert $1/(16!) < 10^{-14}$.
+*Für den&nbsp; ${\rm RSC} \, (225, \, 223, \, 33)_{256} \ \Rightarrow \ t = 16$&nbsp; liefert diese obere Schranke den Wert&nbsp; $1/(16!) < 10^{-14}$.
 {{ML-Fuß}}

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 [[Datei: P_ID2583__KC_A_2_16neu.png|right|frame|Betrachtete Codierraumschemata]]
-Wir gehen von einem Blockcode der Länge&nbsp; $n$&nbsp; mit Symbolen&nbsp; $c_i &#8712; {\rm GF}(2^m)$&nbsp; aus, der bis zu &nbsp;$t$&nbsp; Symbole korrigieren kann. Jedes mögliche Empfangswort&nbsp; $\underline{y}_i$&nbsp; kann dann als ein Punkt in einem hochdimensionalen Raum angesehen werden. Geht man von der Basis&nbsp; ${\rm GF}(2) = \{0, \, 1\}$&nbsp; aus, so beträgt die Dimension&nbsp; $n \cdot m$.
+Wir gehen von einem Blockcode der Länge&nbsp; $n$&nbsp; mit Symbolen&nbsp; $c_i &#8712; {\rm GF}(2^m)$&nbsp; aus,&nbsp; der bis zu &nbsp;$t$&nbsp; Symbole korrigieren kann.
-Die Grafik zeigt einen solchen Raum in vereinfachender, schematischer 2D&ndash;Darstellung.
+*Geht man von der Basis&nbsp; ${\rm GF}(2) = \{0, \, 1\}$&nbsp; aus,&nbsp; so beträgt die Dimension&nbsp; $n \cdot m$.
-* Bei sehr vielen Symbolfehlern kann&nbsp; $\underline{c}_j$&nbsp; in einen blauen (oder weißblauen) Punkt&nbsp; $\underline{y}_j$&nbsp; verfälscht werden, der zur Hyperkugel eines anderen Codewortes&nbsp; $\underline{c}_{k &ne; j}$&nbsp; gehört. In diesem Fall trifft der Decoder eine falsche Entscheidung &nbsp; <br>&#8658; &nbsp; &bdquo;Das Empfangswort&nbsp; $\underline{y}_j$&nbsp; wird falsch decodiert&rdquo;.
+Die Grafik zeigt einen solchen Raum in vereinfachender, schematischer zweidimensionaler Darstellung.&nbsp; Die Abbildung ist wie folgt zu interpretieren:
-In dieser Aufgabe sollen Sie entscheiden, welches der beiden Coderaumschemata geeignet ist zur Beschreibung von
+* [[Kanalcodierung/Fehlerwahrscheinlichkeit_und_Anwendungsgebiete#Blockfehlerwahrscheinlichkeit_f.C3.BCr_RSC_und_BDD|Bounded Distance Decoding  von Reed&ndash;Solomon&ndash;Codes]].
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 * Sie soll signifikante Unterschiede bei der Decodierung von Reed&ndash;Solomon&ndash;Codes und Hamming&ndash;Codes verdeutlichen.
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 - Codierraumschema &nbsp;$\rm B$.
-{Welche Aussage gilt für die Wahrscheinlichkeit, dass bei Hamming&ndash;Codierung ein Empfangswort&nbsp; $\underline{y}$&nbsp; nicht decodiert werden kann?
+{Welche Aussage gilt für die Wahrscheinlichkeit,&nbsp; dass bei Hamming&ndash;Codierung ein Empfangswort&nbsp; $\underline{y}$&nbsp; nicht decodiert werden kann?
 |type="[]"}
-+ Die Wahrscheinlichkeit&nbsp; ${\rm Pr}(\underline{y} \rm \ ist \ nicht \ decodierbar)$&nbsp; ist exakt Null.
++ Die Wahrscheinlichkeit&nbsp; ${\rm Pr}(\underline{y} \rm \hspace{0.15cm}ist \hspace{0.15cm} nicht \hspace{0.15cm} decodierbar)$&nbsp; ist exakt Null.
-- ${\rm Pr}(\underline{y} \rm \ ist \ nicht \ decodierbar)$&nbsp; ist ungleich Null, aber vernachlässigbar.
+- ${\rm Pr}(\underline{y} \rm \hspace{0.15cm} ist \hspace{0.15cm} nicht \hspace{0.15cm} decodierbar)$&nbsp; ist ungleich Null, aber vernachlässigbar.
-- Es gilt&nbsp; ${\rm Pr}(\underline{y} {\rm \ ist \ nicht \ decodierbar}) > {\rm Pr}(\underline{y} \rm \ wird \ falsch \ decodiert)$.
+- Es gilt&nbsp; ${\rm Pr}(\underline{y} {\rm \hspace{0.15cm} ist \hspace{0.15cm} nicht \hspace{0.15cm} decodierbar}) > {\rm Pr}(\underline{y} \rm \hspace{0.15cm} wird \hspace{0.15cm} falsch \hspace{0.15cm} decodiert)$.
 {Welches Codierraumschema trifft für die Reed&ndash;Solomon&ndash;Codes zu?
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 {Welche Aussage gilt für die Wahrscheinlichkeit, dass ein Empfangswort&nbsp; $\underline{y}$&nbsp; nach Reed&ndash;Solomon&ndash;Codierung nicht decodiert werden kann?
 |type="[]"}
-- Die Wahrscheinlichkeit&nbsp; ${\rm Pr}(\underline{y} \rm \ ist \ nicht \ decodierbar)$&nbsp; ist exakt Null.
+- Die Wahrscheinlichkeit&nbsp; ${\rm Pr}(\underline{y} \rm \hspace{0.15cm}ist \hspace{0.15cm} nicht \hspace{0.15cm} decodierbar)$&nbsp; ist exakt Null.
-- ${\rm Pr}(\underline{y} \rm \ ist \ nicht \ decodierbar)$&nbsp; ist ungleich Null, aber vernachlässigbar.
+- ${\rm Pr}(\underline{y} \rm \hspace{0.15cm} ist \hspace{0.15cm} nicht \hspace{0.15cm} decodierbar)$&nbsp; ist ungleich Null, aber vernachlässigbar.
-+ Es gilt&nbsp; ${\rm Pr}(\underline{y} {\rm \ ist \ nicht \ decodierbar}) > {\rm Pr}(\underline{y} \rm \ wird \ falsch \ decodiert)$.
++ Es gilt&nbsp; ${\rm Pr}(\underline{y} {\rm \hspace{0.15cm} ist \hspace{0.15cm} nicht \hspace{0.15cm} decodierbar}) > {\rm Pr}(\underline{y} \rm \hspace{0.15cm} wird \hspace{0.15cm} falsch \hspace{0.15cm} decodiert)$.
 </quiz>

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 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 1</u>, da das Codierraumschema <b>A</b> einen perfekten Code  beschreibt und jeder Hamming&ndash;Code $(n, \, k, \, 3)$ ein perfekter Code ist:
+'''(1)'''&nbsp; Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 1</u>, da das Codierraumschema &nbsp;$\rm A$&nbsp; einen perfekten Code  beschreibt und jeder Hamming&ndash;Code $(n, \, k, \, 3)$ ein perfekter Code ist:
 *Bei einem jeden Hamming&ndash;Code $(n, \, k, \, 3)$ gibt es insgesamt $2^n$ mögliche Empfangsworte $\underline{y}_i$, die bei der Syndromdecodierung einem von $2^k$ möglichen Codeworten $\underline{c}_j$ zugeordnet werden.
 *Aufgrund der HC&ndash;Eigenschaft $d_{\rm min} = 3$ haben alle Kugeln im $n$&ndash;dimensionalen Raum den Radius $t = 1$. In allen Kugeln gibt es somit $2^{n-k}$ Punkte, zum Beispiel
-:* <b>HC (7, 4, 3)</b>: einen Punkt für die fehlerfreie Übertragung und sieben Punkte für einen Bitfehler &nbsp; &#8658; &nbsp; $1 + 7 = 8 = 2^3 = 2^{7-4}$.
+:* $\text{HC (7, 4, 3)}$: &nbsp; einen Punkt für die fehlerfreie Übertragung und sieben Punkte für einen Bitfehler &nbsp; &#8658; &nbsp; $1 + 7 = 8 = 2^3 = 2^{7-4}$.
-:* <b>HC (15, 11, 3)</b>: einen Punkt für die fehlerfreie Übertragung und nun 15 Punkte für einen Bitfehler &nbsp; &#8658; &nbsp; $1 + 15 = 16 = 2^4 = 2^{15-11}$.
+:* $\text{HC (15, 11, 3)}$: &nbsp; einen Punkt für die fehlerfreie Übertragung und nun 15 Punkte für einen Bitfehler &nbsp; &#8658; &nbsp; $1 + 15 = 16 = 2^4 = 2^{15-11}$.
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-'''(3)'''&nbsp; Die Reed&ndash;Solomon&ndash;Codes werden durch das Codierraumschema <b>B</b> beschrieben &nbsp;&#8658;&nbsp; <u>Antwort 2</u>.
 *Hier gibt es zahlreiche gelbe Punkte im grauen Bereich, also Punkte die bei <i>Bounded Distance Decoding</i> (BDD) keiner Kugel zugeordnet werden können.
 *Betrachten wir beispielweise den $\rm RSC \, (7, \, 3, \, 5)_8$ mit den Codeparametern $n = 7, \, k = 3$ und $t = 2$, so gibt es hier insgesamt $8^7 = 2097152$ Punkte und $8^3 = 512$ Hyperkugeln.
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 \hspace{0.05cm}.$$
-*Für ${\rm Pr}(f = 1)$ ist berücksichtigt, dass es &bdquo;$7 \rm \ über \ 1$&rdquo; $= 7$ Fehlerpositionen geben kann, und für jede Fehlerposition auch 7 unterschiedliche Fehlerwerte. Entsprechendes ist auch für ${\rm Pr}(f = 2)$ berücksichtigt.
+*Für ${\rm Pr}(f = 1)$ ist berücksichtigt, dass es &bdquo;$7 \rm \ über \ 1$&rdquo; $= 7$ Fehlerpositionen geben kann, und für jede Fehlerposition auch sieben unterschiedliche Fehlerwerte. Entsprechendes ist auch für ${\rm Pr}(f = 2)$ berücksichtigt.

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 Wir gehen von einem Blockcode der Länge&nbsp; $n$&nbsp; mit Symbolen&nbsp; $c_i &#8712; {\rm GF}(2^m)$&nbsp; aus, der bis zu &nbsp;$t$&nbsp; Symbole korrigieren kann. Jedes mögliche Empfangswort&nbsp; $\underline{y}_i$&nbsp; kann dann als ein Punkt in einem hochdimensionalen Raum angesehen werden. Geht man von der Basis&nbsp; ${\rm GF}(2) = \{0, \, 1\}$&nbsp; aus, so beträgt die Dimension&nbsp; $n \cdot m$.
-Die Grafik zeigt einen solchen Raum in stark vereinfachender 2D&ndash;Darstellung. Die Abbildung ist wie folgt zu interpretieren:
+Die Grafik zeigt einen solchen Raum in vereinfachender, schematischer 2D&ndash;Darstellung.
 * Gesendet wurde der rote Punkt&nbsp; $\underline{c}_j$. Alle rot umrandeten Punkte&nbsp; $\underline{y}_i$&nbsp; in einer Hyperkugel um diesen Punkt&nbsp; $\underline{c}_j$&nbsp; mit dem Parameter&nbsp; $t$&nbsp; als Radius können korrigiert werden. Mit der Nomenklatur gemäß der&nbsp; [[Kanalcodierung/Fehlerwahrscheinlichkeit_und_Anwendungsgebiete#Blockfehlerwahrscheinlichkeit_f.C3.BCr_RSC_und_BDD|Grafik]]&nbsp; im Theorieteil gilt dann&nbsp; $\underline{z}_i = \underline{c}_j$ &nbsp; <br>&#8658; &nbsp; &bdquo;Die Fehlerkorrektur ist erfolgreich&rdquo;.
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 In dieser Aufgabe sollen Sie entscheiden, welches der beiden Coderaumschemata geeignet ist zur Beschreibung von
-* [[Kanalcodierung/Beispiele_bin%C3%A4rer_Blockcodes#Hamming.E2.80.93Codes|''Bounded Distance Decoding'' (BDD) von Hamming&ndash;Codes]] bzw.
+* [[Kanalcodierung/Beispiele_bin%C3%A4rer_Blockcodes#Hamming.E2.80.93Codes|Bounded Distance Decoding &nbsp;(BDD) von Hamming&ndash;Codes]] bzw.
-* [[Kanalcodierung/Fehlerwahrscheinlichkeit_und_Anwendungsgebiete#Blockfehlerwahrscheinlichkeit_f.C3.BCr_RSC_und_BDD|''Bounded Distance Decoding'' (BDD)  von Reed&ndash;Solomon&ndash;Codes]].
+* [[Kanalcodierung/Fehlerwahrscheinlichkeit_und_Anwendungsgebiete#Blockfehlerwahrscheinlichkeit_f.C3.BCr_RSC_und_BDD|Bounded Distance Decoding &nbsp;(BDD)  von Reed&ndash;Solomon&ndash;Codes]].
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 ''Hinweise:''
-* Die Aufgabe ergänzt die Thematik des Kapitels [[Kanalcodierung/Fehlerwahrscheinlichkeit_und_Anwendungsgebiete|Fehlerwahrscheinlichkeit und Anwendungsgebiete]].
+* Die Aufgabe ergänzt die Thematik des Kapitels&nbsp; [[Kanalcodierung/Fehlerwahrscheinlichkeit_und_Anwendungsgebiete|Fehlerwahrscheinlichkeit und Anwendungsgebiete]].
 * Sie soll signifikante Unterschiede bei der Decodierung von Reed&ndash;Solomon&ndash;Codes und Hamming&ndash;Codes verdeutlichen.
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 {Welches Codierraumschema trifft für die Hamming&ndash;Codes zu?
 |type="()"}
-+ Codierraumschema <b>A</b>,
++ Codierraumschema &nbsp;$\rm A$,
-- Codierraumschema <b>B</b>.
+- Codierraumschema &nbsp;$\rm B$.
-{Welche Aussage gilt für die Wahrscheinlichkeit, dass bei Hamming&ndash;Codierung ein Empfangswort $\underline{y}$ nicht decodiert werden kann?
+{Welche Aussage gilt für die Wahrscheinlichkeit, dass bei Hamming&ndash;Codierung ein Empfangswort&nbsp; $\underline{y}$&nbsp; nicht decodiert werden kann?
 |type="[]"}
-+ Die Wahrscheinlichkeit ${\rm Pr}(\underline{y} \rm \ ist \ nicht \ decodierbar)$ ist exakt $0$.
++ Die Wahrscheinlichkeit&nbsp; ${\rm Pr}(\underline{y} \rm \ ist \ nicht \ decodierbar)$&nbsp; ist exakt Null.
-- ${\rm Pr}(\underline{y} \rm \ ist \ nicht \ decodierbar)$ ist ungleich $0$, aber vernachlässigbar.
+- ${\rm Pr}(\underline{y} \rm \ ist \ nicht \ decodierbar)$&nbsp; ist ungleich Null, aber vernachlässigbar.
-- Es gilt ${\rm Pr}(\underline{y} {\rm \ ist \ nicht \ decodierbar}) > {\rm Pr}(\underline{y} \rm \ wird \ falsch \ decodiert)$.
+- Es gilt&nbsp; ${\rm Pr}(\underline{y} {\rm \ ist \ nicht \ decodierbar}) > {\rm Pr}(\underline{y} \rm \ wird \ falsch \ decodiert)$.
 {Welches Codierraumschema trifft für die Reed&ndash;Solomon&ndash;Codes zu?
 |type="()"}
-- Codierraumschema <b>A</b>,
+- Codierraumschema &nbsp;$\rm A$,
-+ Codierraumschema <b>B</b>.
++ Codierraumschema &nbsp;$\rm B$.
-{Welche Aussage gilt für die Wahrscheinlichkeit, dass ein Empfangswort $\underline{y}$ nach Reed&ndash;Solomon&ndash;Codierung nicht decodiert werden kann?
+{Welche Aussage gilt für die Wahrscheinlichkeit, dass ein Empfangswort&nbsp; $\underline{y}$&nbsp; nach Reed&ndash;Solomon&ndash;Codierung nicht decodiert werden kann?
 |type="[]"}
-- Die Wahrscheinlichkeit ${\rm Pr}(\underline{y} \rm \ ist \ nicht \ decodierbar)$ ist exakt $0$.
+- Die Wahrscheinlichkeit&nbsp; ${\rm Pr}(\underline{y} \rm \ ist \ nicht \ decodierbar)$&nbsp; ist exakt Null.
-- ${\rm Pr}(\underline{y} \rm \ ist \ nicht \ decodierbar)$ ist ungleich $0$, aber vernachlässigbar.
+- ${\rm Pr}(\underline{y} \rm \ ist \ nicht \ decodierbar)$&nbsp; ist ungleich Null, aber vernachlässigbar.
-+ Es gilt ${\rm Pr}(\underline{y} {\rm \ ist \ nicht \ decodierbar}) > {\rm Pr}(\underline{y} \rm \ wird \ falsch \ decodiert)$.
++ Es gilt&nbsp; ${\rm Pr}(\underline{y} {\rm \ ist \ nicht \ decodierbar}) > {\rm Pr}(\underline{y} \rm \ wird \ falsch \ decodiert)$.
 </quiz>

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 {{quiz-Header|Buchseite=Kanalcodierung/Fehlerwahrscheinlichkeit und Anwendungsgebiete}}
-[[Datei: P_ID2583__KC_A_2_16neu.png|right|frame|Zwei unterschiedliche Codierraumschemata]]
+[[Datei: P_ID2583__KC_A_2_16neu.png|right|frame|Betrachtete Codierraumschemata]]
-Wir gehen von einem Blockcode der Länge $n$ mit Symbolen $c_i &#8712; {\rm GF}(2^m)$ aus, der bis zu $t$ Symbole korrigieren kann. Jedes mögliche Empfangswort $\underline{y}_i$ kann dann als ein Punkt in einem hochdimensionalen Raum angesehen werden. Geht man von der Basis ${\rm GF}(2) = \{0, \, 1\}$ aus, so beträgt die Dimension $n \cdot m$.
+Wir gehen von einem Blockcode der Länge&nbsp; $n$&nbsp; mit Symbolen&nbsp; $c_i &#8712; {\rm GF}(2^m)$&nbsp; aus, der bis zu &nbsp;$t$&nbsp; Symbole korrigieren kann. Jedes mögliche Empfangswort&nbsp; $\underline{y}_i$&nbsp; kann dann als ein Punkt in einem hochdimensionalen Raum angesehen werden. Geht man von der Basis&nbsp; ${\rm GF}(2) = \{0, \, 1\}$&nbsp; aus, so beträgt die Dimension&nbsp; $n \cdot m$.
 Die Grafik zeigt einen solchen Raum in stark vereinfachender 2D&ndash;Darstellung. Die Abbildung ist wie folgt zu interpretieren:
-* Gesendet wurde der rote Punkt $\underline{c}_j$. Alle rot umrandeten Punkte $\underline{y}_i$ in einer Hyperkugel um diesen Punkt $\underline{c}_j$ mit dem Parameter $t$ als Radius können korrigiert werden. Mit der Nomenklatur gemäß der [[Kanalcodierung/Fehlerwahrscheinlichkeit_und_Anwendungsgebiete#Blockfehlerwahrscheinlichkeit_f.C3.BCr_RSC_und_BDD|Grafik]] im Theorieteil gilt dann $\underline{z}_i = \underline{c}_j$ &nbsp; &#8658; &nbsp; &bdquo;Die Fehlerkorrektur ist erfolgreich&rdquo;.
+* Gesendet wurde der rote Punkt&nbsp; $\underline{c}_j$. Alle rot umrandeten Punkte&nbsp; $\underline{y}_i$&nbsp; in einer Hyperkugel um diesen Punkt&nbsp; $\underline{c}_j$&nbsp; mit dem Parameter&nbsp; $t$&nbsp; als Radius können korrigiert werden. Mit der Nomenklatur gemäß der&nbsp; [[Kanalcodierung/Fehlerwahrscheinlichkeit_und_Anwendungsgebiete#Blockfehlerwahrscheinlichkeit_f.C3.BCr_RSC_und_BDD|Grafik]]&nbsp; im Theorieteil gilt dann&nbsp; $\underline{z}_i = \underline{c}_j$ &nbsp; <br>&#8658; &nbsp; &bdquo;Die Fehlerkorrektur ist erfolgreich&rdquo;.
-* Bei sehr vielen Symbolfehlern kann $\underline{c}_j$ in einen blauen (oder weißblauen) Punkt $\underline{y}_j$ verfälscht werden, der zur Hyperkugel eines anderen Codewortes $\underline{c}_{k &ne; j}$ gehört. In diesem Fall trifft der Decoder eine falsche Entscheidung &nbsp; &#8658; &nbsp; &bdquo;Das Empfangswort $\underline{y}_j$ wird falsch decodiert&rdquo;.
+* Bei sehr vielen Symbolfehlern kann&nbsp; $\underline{c}_j$&nbsp; in einen blauen (oder weißblauen) Punkt&nbsp; $\underline{y}_j$&nbsp; verfälscht werden, der zur Hyperkugel eines anderen Codewortes&nbsp; $\underline{c}_{k &ne; j}$&nbsp; gehört. In diesem Fall trifft der Decoder eine falsche Entscheidung &nbsp; <br>&#8658; &nbsp; &bdquo;Das Empfangswort&nbsp; $\underline{y}_j$&nbsp; wird falsch decodiert&rdquo;.
-* Schließlich kann es wie in der unteren Skizze auch noch gelbe Punkte geben, die zu keiner Hyperkugel gehören &nbsp; &#8658; &nbsp; &bdquo;Das Empfangswort $\underline{y}_j$ ist nicht decodierbar&rdquo;.
+* Schließlich kann es wie in der unteren Skizze auch noch gelbe Punkte geben, die zu keiner Hyperkugel gehören &nbsp; <br>&#8658; &nbsp; &bdquo;Das Empfangswort&nbsp; $\underline{y}_j$&nbsp; ist nicht decodierbar&rdquo;.
-In dieser Aufgabe sollen Sie entscheiden, welches der beiden Coderaumschemata geeignet ist zur Beschreibung der
+In dieser Aufgabe sollen Sie entscheiden, welches der beiden Coderaumschemata geeignet ist zur Beschreibung von
 * [[Kanalcodierung/Beispiele_bin%C3%A4rer_Blockcodes#Hamming.E2.80.93Codes|''Bounded Distance Decoding'' (BDD) von Hamming&ndash;Codes]] bzw.
 * [[Kanalcodierung/Fehlerwahrscheinlichkeit_und_Anwendungsgebiete#Blockfehlerwahrscheinlichkeit_f.C3.BCr_RSC_und_BDD|''Bounded Distance Decoding'' (BDD)  von Reed&ndash;Solomon&ndash;Codes]].

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