Aufgaben:Aufgabe 2.15: RS-Blockfehlerwahrscheinlichkeit bei AWGN - Versionsgeschichte

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	[[Category:Aufgaben zu Kanalcodierung\|^2.6 RSC–Fehlerwahrscheinlichkeit^]]		[[Category:Aufgaben zu Kanalcodierung\|^2.6 RSC–Fehlerwahrscheinlichkeit^]]
			[[en:Aufgaben:Exercise_2.15:_Block_Error_Probability_with_AWGN]]

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	soll die Berechnung der Blockfehlerwahrscheinlichkeit beim  [[Kanalcodierung/Fehlerwahrscheinlichkeit_und_Anwendungsgebiete#Blockfehlerwahrscheinlichkeit_f.C3.BCr_RSC_und_BDD\|"Bounded Distance Decoding"]]  $\rm (BDD)$  gezeigt werden.  Die entsprechende Gleichung lautet:		soll die Berechnung der Blockfehlerwahrscheinlichkeit beim  [[Kanalcodierung/Fehlerwahrscheinlichkeit_und_Anwendungsgebiete#Blockfehlerwahrscheinlichkeit_f.C3.BCr_RSC_und_BDD\|"Bounded Distance Decoding"]]  $\rm (BDD)$  gezeigt werden.  Die entsprechende Gleichung lautet:
	:$${\rm Pr(Blockfehler)} = {\rm Pr}(\underline{v} \ne \underline{u}) =		:$${\rm Pr(Blockfehler)} = {\rm Pr}(\underline{v} \ne \underline{u}) =\sum_{f = t + 1}^{n} {n \choose f} \cdot {\varepsilon_{\rm S}}^f \cdot (1 - \varepsilon_{\rm S})^{n-f} \hspace{0.05cm}.$$
	\sum_{f = t + 1}^{n} {n \choose f} \cdot {\varepsilon_{\rm S}}^f \cdot (1 - \varepsilon_{\rm S})^{n-f} \hspace{0.05cm}.$$

	⇒   Die Berechnung erfolgt für den  [[Kanalcodierung/Klassifizierung_von_Signalen#AWGN.E2.80.93Kanal_bei_bin.C3.A4rem_Eingang\|"AWGN–Kanal"]],  der durch den Parameter  $E_{\rm B}/N_0$  gekennzeichnet ist.		⇒   Die Berechnung erfolgt für den  [[Kanalcodierung/Klassifizierung_von_Signalen#AWGN.E2.80.93Kanal_bei_bin.C3.A4rem_Eingang\|"AWGN–Kanal"]],  der durch den Parameter  $E_{\rm B}/N_0$  gekennzeichnet ist.
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	*Für die Verfälschungwahrscheinlichkeit des  [[Kanalcodierung/Fehlerwahrscheinlichkeit_und_Anwendungsgebiete#Blockfehlerwahrscheinlichkeit_f.C3.BCr_RSC_und_BDD\|"''m''–BSC–Modells"]]  gilt,  wobei hier  $m = 3$  zu setzen ist (drei Bit pro Codesymbol):		*Für die Verfälschungwahrscheinlichkeit des  [[Kanalcodierung/Fehlerwahrscheinlichkeit_und_Anwendungsgebiete#Blockfehlerwahrscheinlichkeit_f.C3.BCr_RSC_und_BDD\|"''m''–BSC–Modells"]]  gilt,  wobei hier  $m = 3$  zu setzen ist (drei Bit pro Codesymbol):
	:$$\varepsilon_{\rm S} = 1 - (1 - \varepsilon)^m		:$$\varepsilon_{\rm S} = 1 - (1 - \varepsilon)^m \hspace{0.05cm}.$$
	\hspace{0.05cm}.$$

	⇒   Für einige  $E_{\rm B}/N_0$–Werte sind die Ergebnisse in obiger Tabelle eingetragen.  Die beiden gelb hinterlegten Zeilen werden hier kurz erläutert:		⇒   Für einige  $E_{\rm B}/N_0$–Werte sind die Ergebnisse in obiger Tabelle eingetragen.  Die beiden gelb hinterlegten Zeilen werden hier kurz erläutert:
	* Für  $10 \cdot \lg {E_{\rm B}/N_0} = 4 \ \rm dB$  ergibt sich  $\varepsilon \approx {\rm Q}(1.47) \approx 0.071$  und  $\varepsilon_{\rm S} \approx 0.2$.  Die Blockfehlerwahrscheinlichkeit kann hier am einfachsten über das Komplement berechnet werden:		* Für  $10 \cdot \lg {E_{\rm B}/N_0} = 4 \ \rm dB$  ergibt sich  $\varepsilon \approx {\rm Q}(1.47) \approx 0.071$  und  $\varepsilon_{\rm S} \approx 0.2$.  Die Blockfehlerwahrscheinlichkeit kann hier am einfachsten über das Komplement berechnet werden:
	:$${\rm Pr(Blockfehler)} = 1 - \left [ {7 \choose 0} \cdot 0.8^7 + {7 \choose 1} \cdot 0.2 \cdot 0.8^6 + {7 \choose 2} \cdot 0.2^2 \cdot 0.8^5\right ]		:$${\rm Pr(Blockfehler)} = 1 - \left [ {7 \choose 0} \cdot 0.8^7 + {7 \choose 1} \cdot 0.2 \cdot 0.8^6 + {7 \choose 2} \cdot 0.2^2 \cdot 0.8^5\right ] \approx 0.148 \hspace{0.05cm}.$$
	\approx 0.148 \hspace{0.05cm}.$$

	* Für  $10 \cdot \lg {E_{\rm B}/N_0} = 12 \ \rm dB$  erhält man  $\varepsilon \approx 1.2 \cdot 10^{-4}$  und  $\varepsilon_{\rm S} \approx 3.5 \cdot 10^{-4}$.  Mit dieser sehr kleinen Verfälschungswahrscheinlichkeit dominiert der  $f = 3$–Term, und man erhält:		* Für  $10 \cdot \lg {E_{\rm B}/N_0} = 12 \ \rm dB$  erhält man  $\varepsilon \approx 1.2 \cdot 10^{-4}$  und  $\varepsilon_{\rm S} \approx 3.5 \cdot 10^{-4}$.  Mit dieser sehr kleinen Verfälschungswahrscheinlichkeit dominiert der  $f = 3$–Term, und man erhält:
	:$${\rm Pr(Blockfehler)} \approx {7 \choose 3} \cdot (3.5 \cdot 10^{-4})^3 \cdot (1- 3.5 \cdot 10^{-4})^4		:$${\rm Pr(Blockfehler)} \approx {7 \choose 3} \cdot (3.5 \cdot 10^{-4})^3 \cdot (1- 3.5 \cdot 10^{-4})^4 \approx 1.63 \cdot 10^{-9} \hspace{0.05cm}.$$
	\approx 1.63 \cdot 10^{-9} \hspace{0.05cm}.$$

	⇒   Sie sollen für die rot hinterlegten Zeilen   $(10 \cdot \lg {E_{\rm B}/N_0} = 5 \ \rm dB, \ 8 \ dB$,  $10 \ \rm dB)$   die Blockfehlerwahrscheinlichkeiten berechnen.		⇒   Sie sollen für die rot hinterlegten Zeilen   $(10 \cdot \lg {E_{\rm B}/N_0} = 5 \ \rm dB, \ 8 \ dB$,  $10 \ \rm dB)$   die Blockfehlerwahrscheinlichkeiten berechnen.
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	'''(1)'''  Aus der Tabelle auf der Angabenseite kann der BSC–Parameter  $\varepsilon = 0.0505$  abgelesen werden.		'''(1)'''  Aus der Tabelle auf der Angabenseite kann der BSC–Parameter  $\varepsilon = 0.0505$  abgelesen werden.
	*Damit erhält man für die Symbolverfälschungswahrscheinlichkeit  $\varepsilon_{\rm S}$  mit  $m = 3$:		*Damit erhält man für die Symbolverfälschungswahrscheinlichkeit  $\varepsilon_{\rm S}$  mit  $m = 3$:
	:$$1 - \varepsilon_{\rm S} = (1 - 0.0505)^3 \approx 0.856		:$$1 - \varepsilon_{\rm S} = (1 - 0.0505)^3 \approx 0.856 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}\varepsilon_{\rm S} \approx 0.144\hspace{0.05cm}.$$
	\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}
	\varepsilon_{\rm S} \approx 0.144
	\hspace{0.05cm}.$$

	*Der schnellste Weg zur Berechnung der Blockfehlerwahrscheinlichkeit führt hier über die Formel		*Der schnellste Weg zur Berechnung der Blockfehlerwahrscheinlichkeit führt hier über die Formel
	:$${\rm Pr(Blockfehler)} \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} 1 - {\rm Pr}(f=0) - {\rm Pr}(f=1) - {\rm Pr}(f=2) = 1 - 1 \cdot 0.856^7 -		:$${\rm Pr(Blockfehler)} \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} 1 - {\rm Pr}(f=0) - {\rm Pr}(f=1) - {\rm Pr}(f=2) = 1 - 1 \cdot 0.856^7 - 7 \cdot 0.144^1 \cdot 0.856^6 - 21 \cdot 0.144^2 \cdot 0.856^5$$
	7 \cdot 0.144^1 \cdot 0.856^6 - 21 \cdot 0.144^2 \cdot 0.856^5$$		:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} {\rm Pr(Blockfehler)} \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} {\rm Pr}(\underline{v} \ne \underline{u}) =1 - 0.3368 - 0.3965 - 0.2001 \hspace{0.15cm} \underline{=0.0666} \hspace{0.05cm}.$$
	:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} {\rm Pr(Blockfehler)} \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} {\rm Pr}(\underline{v} \ne \underline{u}) =1 - 0.3368 - 0.3965 - 0.2001 \hspace{0.15cm} \underline{=0.0666}
	\hspace{0.05cm}.$$


	'''(2)'''  Nach gleichem Rechengang wie in Teilaufgabe  '''(1)'''  ergibt sich mit  $\varepsilon_{\rm S} \approx 0.03 \ \Rightarrow \ 1 - \varepsilon_{\rm S} = 0.97$:		'''(2)'''  Nach gleichem Rechengang wie in Teilaufgabe  '''(1)'''  ergibt sich mit  $\varepsilon_{\rm S} \approx 0.03 \ \Rightarrow \ 1 - \varepsilon_{\rm S} = 0.97$:
	:$${\rm Pr(Blockfehler)}		:$${\rm Pr(Blockfehler)} \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} 1 \hspace{-0.05cm}-\hspace{-0.05cm} 1 \cdot 0.97^7 \hspace{-0.05cm}-\hspace{-0.05cm} 7 \cdot 0.03^1 \cdot 0.97^6 \hspace{-0.05cm}-\hspace{-0.05cm} 21 \cdot 0.03^2 \cdot 0.97^5 =1 \hspace{-0.05cm}-\hspace{-0.05cm} 0.8080 \hspace{-0.05cm}-\hspace{-0.05cm} 0.1749\hspace{-0.05cm}-\hspace{-0.05cm} 0.0162= 1 \hspace{-0.05cm}-\hspace{-0.05cm} 0.9991 = 9 \cdot 10^{-4} \hspace{0.05cm}.$$
	\hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} 1 \hspace{-0.05cm}-\hspace{-0.05cm} 1 \cdot 0.97^7 \hspace{-0.05cm}-\hspace{-0.05cm}
	7 \cdot 0.03^1 \cdot 0.97^6 \hspace{-0.05cm}-\hspace{-0.05cm} 21 \cdot 0.03^2 \cdot 0.97^5 =1 \hspace{-0.05cm}-\hspace{-0.05cm} 0.8080 \hspace{-0.05cm}-\hspace{-0.05cm} 0.1749\hspace{-0.05cm}-\hspace{-0.05cm} 0.0162= 1 \hspace{-0.05cm}-\hspace{-0.05cm} 0.9991 = 9 \cdot 10^{-4}
	\hspace{0.05cm}.$$

	*Man sieht,  dass hier die Differenz zwischen zwei fast gleich großen Zahlen gebildet werden muss,  so dass das Ergebnis mit einem Fehler behaftet sein könnte.		*Man sieht,  dass hier die Differenz zwischen zwei fast gleich großen Zahlen gebildet werden muss,  so dass das Ergebnis mit einem Fehler behaftet sein könnte.

	*Deshalb berechnen wir noch folgende Größen:		*Deshalb berechnen wir noch folgende Größen:
	:$${\rm Pr}(f=3) \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm}		:$${\rm Pr}(f=3) \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} {7 \choose 3} \cdot \varepsilon_{\rm S}^3 \cdot (1 - \varepsilon_{\rm S})^4 = 35 \cdot 0.03^3 \cdot 0.97^4 = 8.366 \cdot 10^{-4}\hspace{0.05cm},$$
	{7 \choose 3} \cdot \varepsilon_{\rm S}^3 \cdot (1 - \varepsilon_{\rm S})^4 = 35 \cdot 0.03^3 \cdot 0.97^4 = 8.366 \cdot 10^{-4}\hspace{0.05cm},$$		:$${\rm Pr}(f=4) \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} {7 \choose 4} \cdot \varepsilon_{\rm S}^4 \cdot (1 - \varepsilon_{\rm S})^3 = 35 \cdot 0.03^4 \cdot 0.97^3 = 0.259 \cdot 10^{-4}\hspace{0.05cm},$$
	:$${\rm Pr}(f=4) \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm}		:$${\rm Pr}(f=5) \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} {7 \choose 5} \cdot \varepsilon_{\rm S}^5 \cdot (1 - \varepsilon_{\rm S})^2 = 21 \cdot 0.03^5 \cdot 0.97^2 = 0.005 \cdot 10^{-4}$$
	{7 \choose 4} \cdot \varepsilon_{\rm S}^4 \cdot (1 - \varepsilon_{\rm S})^3 = 35 \cdot 0.03^4 \cdot 0.97^3 = 0.259 \cdot 10^{-4}\hspace{0.05cm},$$
	:$${\rm Pr}(f=5) \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm}
	{7 \choose 5} \cdot \varepsilon_{\rm S}^5 \cdot (1 - \varepsilon_{\rm S})^2 = 21 \cdot 0.03^5 \cdot 0.97^2 = 0.005 \cdot 10^{-4}$$
	:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} {\rm Pr(Blockfehler)} = {\rm Pr}(\underline{v} \ne \underline{u}) \approx {\rm Pr}(f=3) + {\rm Pr}(f=4) + {\rm Pr}(f=5) \hspace{0.15cm} \underline{=8.63 \cdot 10^{-4}} \hspace{0.05cm}.$$		:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} {\rm Pr(Blockfehler)} = {\rm Pr}(\underline{v} \ne \underline{u}) \approx {\rm Pr}(f=3) + {\rm Pr}(f=4) + {\rm Pr}(f=5) \hspace{0.15cm} \underline{=8.63 \cdot 10^{-4}} \hspace{0.05cm}.$$

Zeile 119:		Zeile 104:
	'''(3)'''  Hier ist bereits  $\varepsilon_{\rm S} = 0.005 \ \Rightarrow \ 1 - \varepsilon_{\rm S} = 0.995$  in der Tabelle vorgegeben.		'''(3)'''  Hier ist bereits  $\varepsilon_{\rm S} = 0.005 \ \Rightarrow \ 1 - \varepsilon_{\rm S} = 0.995$  in der Tabelle vorgegeben.
	*Der  (weitaus)  dominierende Term bei der Berechnung der Blockfehlerwahrscheinlichkeit ist  ${\rm Pr}(f = 3)$:		*Der  (weitaus)  dominierende Term bei der Berechnung der Blockfehlerwahrscheinlichkeit ist  ${\rm Pr}(f = 3)$:
	:$${\rm Pr(Blockfehler)} = {\rm Pr}(\underline{v} \ne \underline{u}) \approx {\rm Pr}(f=3) = {7 \choose 3} \cdot 0.005^3 \cdot 0.995^4		:$${\rm Pr(Blockfehler)} = {\rm Pr}(\underline{v} \ne \underline{u}) \approx {\rm Pr}(f=3) = {7 \choose 3} \cdot 0.005^3 \cdot 0.995^4 \hspace{0.15cm} \underline{\approx 4.3 \cdot 10^{-6}} \hspace{0.05cm}.$$
	\hspace{0.15cm} \underline{\approx 4.3 \cdot 10^{-6}} \hspace{0.05cm}.$$


	'''(4)'''  Für den BSC–Parameter  $\varepsilon$  gilt mit  $\varepsilon_{\rm S} = 0.1$:		'''(4)'''  Für den BSC–Parameter  $\varepsilon$  gilt mit  $\varepsilon_{\rm S} = 0.1$:
	:$$\varepsilon = 1 -(1 - \varepsilon_{\rm S})^{1/3} = 1 - 0.9^{1/3} \approx 0.0345		:$$\varepsilon = 1 -(1 - \varepsilon_{\rm S})^{1/3} = 1 - 0.9^{1/3} \approx 0.0345 \hspace{0.05cm}.$$
	\hspace{0.05cm}.$$

	*Der Zusammenhang zwischen  $\varepsilon$  und  $E_{\rm B}/N_0$  lautet:		*Der Zusammenhang zwischen  $\varepsilon$  und  $E_{\rm B}/N_0$  lautet:
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	*Die Inverse  $x = {\rm Q}^{-1}(0.0345)$  ergibt sich mit dem Applet  [[Applets:QFunction\|Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktionen]]  zu  $x = 1.82$.  Damit erhält man weiter:		*Die Inverse  $x = {\rm Q}^{-1}(0.0345)$  ergibt sich mit dem Applet  [[Applets:QFunction\|Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktionen]]  zu  $x = 1.82$.  Damit erhält man weiter:
	:$$E_{\rm B}/N_0 = \frac{x^2}{2R} = \frac{1.82^2}{2R \cdot 3/7} \approx 3.864		:$$E_{\rm B}/N_0 = \frac{x^2}{2R} = \frac{1.82^2}{2R \cdot 3/7} \approx 3.864 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.15cm}(E_{\rm B}/N_0)\hspace{0.15cm} \underline{\approx 5.87 \,\, {\rm dB}} \hspace{0.05cm}. $$
	\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}
	10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.15cm}(E_{\rm B}/N_0)
	\hspace{0.15cm} \underline{\approx 5.87 \,\, {\rm dB}} \hspace{0.05cm}. $$


	'''(5)'''  Nach gleicher Rechnung erhält man		'''(5)'''  Nach gleicher Rechnung erhält man
	* für $\varepsilon_{\rm S} = 10^{-2} \ \Rightarrow \ \varepsilon \approx 0.33 \cdot 10^{-2} \ \Rightarrow \ x = {\rm Q}^{-1}(\varepsilon) = 2.71$		* für $\varepsilon_{\rm S} = 10^{-2} \ \Rightarrow \ \varepsilon \approx 0.33 \cdot 10^{-2} \ \Rightarrow \ x = {\rm Q}^{-1}(\varepsilon) = 2.71$
	:$$E_{\rm B}/N_0 = \frac{x^2}{2R} = \frac{2.71^2}{2R \cdot 3/7} \approx 8.568		:$$E_{\rm B}/N_0 = \frac{x^2}{2R} = \frac{2.71^2}{2R \cdot 3/7} \approx 8.568 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.15cm}(E_{\rm B}/N_0)\hspace{0.15cm} \underline{\approx 9.32 \,\, {\rm dB}} \hspace{0.05cm}, $$
	\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}
	10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.15cm}(E_{\rm B}/N_0)
	\hspace{0.15cm} \underline{\approx 9.32 \,\, {\rm dB}} \hspace{0.05cm}, $$

	* für $\varepsilon_{\rm S} = 10^{-3} \ \Rightarrow \ \varepsilon \approx 0.33 \cdot 10^{-3} \ \Rightarrow \ x = {\rm Q}^{-1}(\varepsilon) = 3.4$:		* für $\varepsilon_{\rm S} = 10^{-3} \ \Rightarrow \ \varepsilon \approx 0.33 \cdot 10^{-3} \ \Rightarrow \ x = {\rm Q}^{-1}(\varepsilon) = 3.4$:
	:$$E_{\rm B}/N_0 = \frac{x^2}{2R} = \frac{3.4^2}{2R \cdot 3/7} \approx 13.487		:$$E_{\rm B}/N_0 = \frac{x^2}{2R} = \frac{3.4^2}{2R \cdot 3/7} \approx 13.487 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.15cm}(E_{\rm B}/N_0)\hspace{0.15cm} \underline{\approx 11.3 \,\, {\rm dB}} \hspace{0.05cm}. $$
	\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}
	10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.15cm}(E_{\rm B}/N_0)
	\hspace{0.15cm} \underline{\approx 11.3 \,\, {\rm dB}} \hspace{0.05cm}. $$

	[[Datei:P_ID2572__KC_A_2_15e_neu.png\|right\|frame\|Ergebnisse zur $\rm RSC \, (7, \, 3, \, 5)_8$–Decodierung]]		[[Datei:P_ID2572__KC_A_2_15e_neu.png\|right\|frame\|Ergebnisse zur $\rm RSC \, (7, \, 3, \, 5)_8$–Decodierung]]

Guenter am 1. November 2022 um 16:15 Uhr

2022-11-01T16:15:56Z

← Nächstältere Version		Version vom 1. November 2022, 18:15 Uhr
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	===Musterlösung===		===Musterlösung===
	{{ML-Kopf}}		{{ML-Kopf}}
	'''(1)'''  Aus der Tabelle auf der Angabenseite kann der BSC–Parameter $\varepsilon = 0.0505$ abgelesen werden.		'''(1)'''  Aus der Tabelle auf der Angabenseite kann der BSC–Parameter  $\varepsilon = 0.0505$  abgelesen werden.
	*Damit erhält man für die Symbolverfälschungswahrscheinlichkeit $\varepsilon_{\rm S}$ mit $m = 3$:		*Damit erhält man für die Symbolverfälschungswahrscheinlichkeit  $\varepsilon_{\rm S}$  mit  $m = 3$:
	:$$1 - \varepsilon_{\rm S} = (1 - 0.0505)^3 \approx 0.856		:$$1 - \varepsilon_{\rm S} = (1 - 0.0505)^3 \approx 0.856
	\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}		\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}
Zeile 95:		Zeile 95:


	'''(2)'''  Nach gleichem Rechengang wie in Teilaufgabe '''(1)''' ergibt sich mit $\varepsilon_{\rm S} \approx 0.03 \ \Rightarrow \ 1 - \varepsilon_{\rm S} = 0.97$:		'''(2)'''  Nach gleichem Rechengang wie in Teilaufgabe  '''(1)'''  ergibt sich mit  $\varepsilon_{\rm S} \approx 0.03 \ \Rightarrow \ 1 - \varepsilon_{\rm S} = 0.97$:
	:$${\rm Pr(Blockfehler)}		:$${\rm Pr(Blockfehler)}
	\hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} 1 \hspace{-0.05cm}-\hspace{-0.05cm} 1 \cdot 0.97^7 \hspace{-0.05cm}-\hspace{-0.05cm}		\hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} 1 \hspace{-0.05cm}-\hspace{-0.05cm} 1 \cdot 0.97^7 \hspace{-0.05cm}-\hspace{-0.05cm}
Zeile 101:		Zeile 101:
	\hspace{0.05cm}.$$		\hspace{0.05cm}.$$

	*Man sieht, dass hier die Differenz zwischen zwei fast gleich großen Zahlen gebildet werden muss, so dass das Ergebnis mit einem Fehler behaftet sein könnte.		*Man sieht,  dass hier die Differenz zwischen zwei fast gleich großen Zahlen gebildet werden muss,  so dass das Ergebnis mit einem Fehler behaftet sein könnte.

	*Deshalb berechnen wir noch folgende Größen:		*Deshalb berechnen wir noch folgende Größen:
	:$${\rm Pr}(f=3) \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm}		:$${\rm Pr}(f=3) \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm}
Zeile 111:		Zeile 112:
	:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} {\rm Pr(Blockfehler)} = {\rm Pr}(\underline{v} \ne \underline{u}) \approx {\rm Pr}(f=3) + {\rm Pr}(f=4) + {\rm Pr}(f=5) \hspace{0.15cm} \underline{=8.63 \cdot 10^{-4}} \hspace{0.05cm}.$$		:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} {\rm Pr(Blockfehler)} = {\rm Pr}(\underline{v} \ne \underline{u}) \approx {\rm Pr}(f=3) + {\rm Pr}(f=4) + {\rm Pr}(f=5) \hspace{0.15cm} \underline{=8.63 \cdot 10^{-4}} \hspace{0.05cm}.$$

	*Auf die Terme für $f = 6$ und $f = 7$ kann hier verzichtet werden. Sie liefern keinen relevanten Beitrag.		*Auf die Terme für  $f = 6$  und  $f = 7$  kann hier verzichtet werden.  Sie liefern keinen relevanten Beitrag.




	'''(3)'''  Hier ist bereits $\varepsilon_{\rm S} = 0.005 \ \Rightarrow \ 1 - \varepsilon_{\rm S} = 0.995$ in der Tabelle vorgegeben.		'''(3)'''  Hier ist bereits  $\varepsilon_{\rm S} = 0.005 \ \Rightarrow \ 1 - \varepsilon_{\rm S} = 0.995$  in der Tabelle vorgegeben.
	*Der (weitaus) dominierende Term bei der Berechnung der Blockfehlerwahrscheinlichkeit ist ${\rm Pr}(f = 3)$:		*Der  (weitaus)  dominierende Term bei der Berechnung der Blockfehlerwahrscheinlichkeit ist  ${\rm Pr}(f = 3)$:
	:$${\rm Pr(Blockfehler)} = {\rm Pr}(\underline{v} \ne \underline{u}) \approx {\rm Pr}(f=3) = {7 \choose 3} \cdot 0.005^3 \cdot 0.995^4		:$${\rm Pr(Blockfehler)} = {\rm Pr}(\underline{v} \ne \underline{u}) \approx {\rm Pr}(f=3) = {7 \choose 3} \cdot 0.005^3 \cdot 0.995^4
	\hspace{0.15cm} \underline{\approx 4.3 \cdot 10^{-6}} \hspace{0.05cm}.$$		\hspace{0.15cm} \underline{\approx 4.3 \cdot 10^{-6}} \hspace{0.05cm}.$$


	'''(4)'''  Für den BSC–Parameter $\varepsilon$ gilt mit $\varepsilon_{\rm S} = 0.1$:		'''(4)'''  Für den BSC–Parameter  $\varepsilon$  gilt mit  $\varepsilon_{\rm S} = 0.1$:
	:$$\varepsilon = 1 -(1 - \varepsilon_{\rm S})^{1/3} = 1 - 0.9^{1/3} \approx 0.0345		:$$\varepsilon = 1 -(1 - \varepsilon_{\rm S})^{1/3} = 1 - 0.9^{1/3} \approx 0.0345
	\hspace{0.05cm}.$$		\hspace{0.05cm}.$$

	*Der Zusammenhang zwischen $\varepsilon$ und $E_{\rm B}/N_0$ lautet:		*Der Zusammenhang zwischen  $\varepsilon$  und  $E_{\rm B}/N_0$  lautet:
	:$$\varepsilon = {\rm Q}(x)\hspace{0.05cm}, \hspace{0.5cm} x = \sqrt{2 \cdot R \cdot E_{\rm B}/N_0}\hspace{0.05cm}.$$		:$$\varepsilon = {\rm Q}(x)\hspace{0.05cm}, \hspace{0.5cm} x = \sqrt{2 \cdot R \cdot E_{\rm B}/N_0}\hspace{0.05cm}.$$

	*Die Inverse $x = {\rm Q}^{-1}(0.0345)$ ergibt sich mit dem Applet [[Applets:QFunction\|Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktionen]] zu $x = 1.82$.		*Die Inverse  $x = {\rm Q}^{-1}(0.0345)$  ergibt sich mit dem Applet  [[Applets:QFunction\|Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktionen]]  zu  $x = 1.82$.  Damit erhält man weiter:
	*Damit erhält man weiter:
	:$$E_{\rm B}/N_0 = \frac{x^2}{2R} = \frac{1.82^2}{2R \cdot 3/7} \approx 3.864		:$$E_{\rm B}/N_0 = \frac{x^2}{2R} = \frac{1.82^2}{2R \cdot 3/7} \approx 3.864
	\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}		\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}
Zeile 151:		Zeile 151:

	[[Datei:P_ID2572__KC_A_2_15e_neu.png\|right\|frame\|Ergebnisse zur $\rm RSC \, (7, \, 3, \, 5)_8$–Decodierung]]		[[Datei:P_ID2572__KC_A_2_15e_neu.png\|right\|frame\|Ergebnisse zur $\rm RSC \, (7, \, 3, \, 5)_8$–Decodierung]]
	~~<br><br><br><br><br><br><br><br><br><br>~~
	~~Die Grafik zeigt den Verlauf der Blockfehlerwahrscheinlichkeit in Abhängigkeit von $10 \cdot \lg {E_{\rm B}/N_0}$ sowie die vollständig ausgefüllte Ergebnistabelle.~~

	~~Man erkennt das deutlich ungünstigere (asymptotische) Verhalten dieses kurzen (grünen) Codes~~ $\~~rm RSC \, (7, \, 5,~~ \~~, 3)_8$ gegenüber dem (roten) Vergleichscode $~~\rm ~~RSC \, (255, \, 223, \, 33)_8~~$:		Die Grafik zeigt
			*den Verlauf der Blockfehlerwahrscheinlichkeit in Abhängigkeit von  $10 \cdot \lg {E_{\rm B}/N_0}$

			*sowie die vollständig ausgefüllte Ergebnistabelle.

	*Für Abszissenwerte kleiner als $10 \ \rm dB$ ergibt sich sogar ein schlechteres Ergebnis als ohne Codierung.
	*Deshalb soll hier nochmals darauf hingewiesen werden, dass dieser $\rm RSC \, (7, \, 3, \, 5)_8$ wenig praktische Bedeutung hat.		Man erkennt das deutlich ungünstigere  (asymptotische)  Verhalten dieses  (grünen)  Codes  $\rm RSC \, (7, \, 5, \, 3)_8$  gegenüber dem  (roten)  Vergleichscode  $\rm RSC \, (255, \, 223, \, 33)_8$:
	*Er wurde für diese Aufgabe nur deshalb ausgewählt, um mit vertretbarem Aufwand die Berechnung der Blockfehlerwahrscheinlichkeit bei ''Bounded Distance Decoding'' (BDD) demonstrieren zu können.
			# Für Abszissenwerte kleiner als  $10 \ \rm dB$  ergibt sich sogar ein schlechteres Ergebnis als ohne Codierung.
			# Deshalb soll hier nochmals darauf hingewiesen werden,  dass dieser $\rm RSC \, (7, \, 3, \, 5)_8$  wenig praktische Bedeutung hat.
			# Er wurde für diese Aufgabe nur deshalb ausgewählt,  um mit vertretbarem Aufwand die Berechnung der Blockfehlerwahrscheinlichkeit bei  "Bounded Distance Decoding"  $\rm (BDD)$  demonstrieren zu können.
	{{ML-Fuß}}		{{ML-Fuß}}

	[[Category:Aufgaben zu Kanalcodierung\|^2.6 RSC–Fehlerwahrscheinlichkeit^]]		[[Category:Aufgaben zu Kanalcodierung\|^2.6 RSC–Fehlerwahrscheinlichkeit^]]

Guenter am 1. November 2022 um 16:04 Uhr

2022-11-01T16:04:25Z

← Nächstältere Version		Version vom 1. November 2022, 18:04 Uhr
Zeile 3:		Zeile 3:
	[[Datei:P_ID2571__KC_A_2_15neu.png\|right\|frame\|Unvollständige Ergebnistabelle]]		[[Datei:P_ID2571__KC_A_2_15neu.png\|right\|frame\|Unvollständige Ergebnistabelle]]
	Am Beispiel des  $\rm RSC \, (7, \, 3, \, 5)_8$  mit den Parametern		Am Beispiel des  $\rm RSC \, (7, \, 3, \, 5)_8$  mit den Parametern
	* $n = 7$  (Anzahl der Codesymbole),		* $n = 7$  $($Anzahl der Codesymbole$)$,
	* $~~k =3$  (Anzahl der Informationssymbole)~~,
	* $t = 2$  (Korrekturfähigkeit)

			* $k =3$  $($Anzahl der Informationssymbole$)$,

	soll die Berechnung der Blockfehlerwahrscheinlichkeit beim  [[Kanalcodierung/Fehlerwahrscheinlichkeit_und_Anwendungsgebiete#Blockfehlerwahrscheinlichkeit_f.C3.BCr_RSC_und_BDD\|Bounded Distance Decoding]]  (BDD) gezeigt werden. Die entsprechende Gleichung lautet:		* $t = 2$  $($Korrekturfähigkeit$)$


			soll die Berechnung der Blockfehlerwahrscheinlichkeit beim  [[Kanalcodierung/Fehlerwahrscheinlichkeit_und_Anwendungsgebiete#Blockfehlerwahrscheinlichkeit_f.C3.BCr_RSC_und_BDD\|"Bounded Distance Decoding"]]  $\rm (BDD)$  gezeigt werden.  Die entsprechende Gleichung lautet:
	:$${\rm Pr(Blockfehler)} = {\rm Pr}(\underline{v} \ne \underline{u}) =		:$${\rm Pr(Blockfehler)} = {\rm Pr}(\underline{v} \ne \underline{u}) =
	\sum_{f = t + 1}^{n} {n \choose f} \cdot {\varepsilon_{\rm S}}^f \cdot (1 - \varepsilon_{\rm S})^{n-f} \hspace{0.05cm}.$$		\sum_{f = t + 1}^{n} {n \choose f} \cdot {\varepsilon_{\rm S}}^f \cdot (1 - \varepsilon_{\rm S})^{n-f} \hspace{0.05cm}.$$

	Die Berechnung erfolgt für den  [[Kanalcodierung/Klassifizierung_von_Signalen#AWGN.E2.80.93Kanal_bei_bin.C3.A4rem_Eingang\|AWGN–Kanal]], der durch den Parameter  $E_{\rm B}/N_0$  gekennzeichnet ist.		⇒   Die Berechnung erfolgt für den  [[Kanalcodierung/Klassifizierung_von_Signalen#AWGN.E2.80.93Kanal_bei_bin.C3.A4rem_Eingang\|"AWGN–Kanal"]],  der durch den Parameter  $E_{\rm B}/N_0$  gekennzeichnet ist.

	*Der Quotient  $E_{\rm B}/{N_0}$  lässt sich über die Beziehung		*Der Quotient  $E_{\rm B}/{N_0}$  lässt sich über die Beziehung
	:$$\varepsilon = {\rm Q} \big (\sqrt{{2 \cdot R \cdot E_{\rm B}}/{N_0}} \big ) $$		:$$\varepsilon = {\rm Q} \big (\sqrt{{2 \cdot R \cdot E_{\rm B}}/{N_0}} \big ) $$
	in das  [[Kanalcodierung/Klassifizierung_von_Signalen#Binary_Symmetric_Channel_.E2.80.93_BSC\|BSC–Modell]]  überführen, wobei  $R$  die Coderate bezeichnet  $($hier:  $R = 3/7)$  und  ${\rm Q}(x)$  das  [[Stochastische_Signaltheorie/Gaußverteilte_Zufallsgrößen#.C3.9Cberschreitungswahrscheinlichkeit\|komplementäre Gaußsche Fehlerintegral]]  angibt.		:in das  [[Kanalcodierung/Klassifizierung_von_Signalen#Binary_Symmetric_Channel_.E2.80.93_BSC\|"BSC–Modell"]]  überführen,  wobei  $R$  die Coderate bezeichnet  $($hier:  $R = 3/7)$  und  ${\rm Q}(x)$  das  [[Stochastische_Signaltheorie/Gaußverteilte_Zufallsgrößen#.C3.9Cberschreitungswahrscheinlichkeit\|"komplementäre Gaußsche Fehlerintegral"]]  angibt.
	*Da aber beim betrachteten Code die Symbole aus  $\rm GF(2^3)$  entstammen, muss das BSC–Modell mit Parameter  $\varepsilon$  ebenfalls noch an die Aufgabenstellung adaptiert werden.
	*Für die Verfälschungwahrscheinlichkeit des  [[Kanalcodierung/Fehlerwahrscheinlichkeit_und_Anwendungsgebiete#Blockfehlerwahrscheinlichkeit_f.C3.BCr_RSC_und_BDD\|$m$–BSC–Modells]]  gilt, wobei hier  $m = 3$  zu setzen ist (drei Bit pro Codesymbol):		*Da aber beim betrachteten Code die Symbole aus  $\rm GF(2^3)$  entstammen,  muss das BSC–Modell mit Parameter  $\varepsilon$  ebenfalls noch an die Aufgabenstellung adaptiert werden.

			*Für die Verfälschungwahrscheinlichkeit des  [[Kanalcodierung/Fehlerwahrscheinlichkeit_und_Anwendungsgebiete#Blockfehlerwahrscheinlichkeit_f.C3.BCr_RSC_und_BDD\|"''m''–BSC–Modells"]]  gilt,  wobei hier  $m = 3$  zu setzen ist (drei Bit pro Codesymbol):
	:$$\varepsilon_{\rm S} = 1 - (1 - \varepsilon)^m		:$$\varepsilon_{\rm S} = 1 - (1 - \varepsilon)^m
	\hspace{0.05cm}.$$		\hspace{0.05cm}.$$

			⇒   Für einige  $E_{\rm B}/N_0$–Werte sind die Ergebnisse in obiger Tabelle eingetragen.  Die beiden gelb hinterlegten Zeilen werden hier kurz erläutert:
	Für einige  $E_{\rm B}/N_0$–Werte sind die Ergebnisse in obiger Tabelle eingetragen. Die beiden gelb hinterlegten Zeilen werden hier kurz erläutert:		* Für  $10 \cdot \lg {E_{\rm B}/N_0} = 4 \ \rm dB$  ergibt sich  $\varepsilon \approx {\rm Q}(1.47) \approx 0.071$  und  $\varepsilon_{\rm S} \approx 0.2$.  Die Blockfehlerwahrscheinlichkeit kann hier am einfachsten über das Komplement berechnet werden:
	* Für  $10 \cdot \lg {E_{\rm B}/N_0} = 4 \ \rm dB$  ergibt sich  $\varepsilon \approx {\rm Q}(1.47) \approx 0.071$  und  $\varepsilon_{\rm S} \approx 0.2$. Die Blockfehlerwahrscheinlichkeit kann hier am einfachsten über das Komplement berechnet werden:
	:$${\rm Pr(Blockfehler)} = 1 - \left [ {7 \choose 0} \cdot 0.8^7 + {7 \choose 1} \cdot 0.2 \cdot 0.8^6 + {7 \choose 2} \cdot 0.2^2 \cdot 0.8^5\right ]		:$${\rm Pr(Blockfehler)} = 1 - \left [ {7 \choose 0} \cdot 0.8^7 + {7 \choose 1} \cdot 0.2 \cdot 0.8^6 + {7 \choose 2} \cdot 0.2^2 \cdot 0.8^5\right ]
	\approx 0.148 \hspace{0.05cm}.$$		\approx 0.148 \hspace{0.05cm}.$$
	* Für  $10 \cdot \lg {E_{\rm B}/N_0} = 12 \ \rm dB$  erhält man  $\varepsilon \approx 1.2 \cdot 10^{-4}$  und  $\varepsilon_{\rm S} \approx 3.5 \cdot 10^{-4}$. Mit dieser sehr kleinen Verfälschungswahrscheinlichkeit dominiert der  $f = 3$–Term, und man erhält:
			* Für  $10 \cdot \lg {E_{\rm B}/N_0} = 12 \ \rm dB$  erhält man  $\varepsilon \approx 1.2 \cdot 10^{-4}$  und  $\varepsilon_{\rm S} \approx 3.5 \cdot 10^{-4}$.  Mit dieser sehr kleinen Verfälschungswahrscheinlichkeit dominiert der  $f = 3$–Term, und man erhält:
	:$${\rm Pr(Blockfehler)} \approx {7 \choose 3} \cdot (3.5 \cdot 10^{-4})^3 \cdot (1- 3.5 \cdot 10^{-4})^4		:$${\rm Pr(Blockfehler)} \approx {7 \choose 3} \cdot (3.5 \cdot 10^{-4})^3 \cdot (1- 3.5 \cdot 10^{-4})^4
	\approx 1.63 \cdot 10^{-9} \hspace{0.05cm}.$$		\approx 1.63 \cdot 10^{-9} \hspace{0.05cm}.$$

	*Sie sollen für die rot hinterlegten Zeilen  $(10 \cdot \lg {E_{\rm B}/N_0} = 5 \ \rm dB, \ 8 \ dB$,  $10 \ \rm dB)$  die Blockfehlerwahrscheinlichkeiten berechnen.		⇒   Sie sollen für die rot hinterlegten Zeilen   $(10 \cdot \lg {E_{\rm B}/N_0} = 5 \ \rm dB, \ 8 \ dB$,  $10 \ \rm dB)$   die Blockfehlerwahrscheinlichkeiten berechnen.
	*Die blau hinterlegten Zeilen zeigen einige Ergebnisse der  [[Aufgaben:Aufgabe_2.15Z:_Nochmals_RS-Blockfehlerwahrscheinlichkeit\|Aufgabe 2.15Z]]. Dort wird  ${\rm Pr}(\underline{v} ≠ \underline{u})$  für  $\varepsilon_{\rm S} = 10\%,  \ 1\%$  $0.1\%$ berechnet.		:*Die blau hinterlegten Zeilen zeigen einige Ergebnisse der  [[Aufgaben:Aufgabe_2.15Z:_Nochmals_RS-Blockfehlerwahrscheinlichkeit\|"Aufgabe 2.15Z"]].  Dort wird  ${\rm Pr}(\underline{v} ≠ \underline{u})$  für  $\varepsilon_{\rm S} = 10\%,  \ 1\%$  $0.1\%$  berechnet.
	*In den Teilaufgaben '''(4)''' und '''(5)''' sollen Sie den Zusammenhang zwischen ~~der Größe~~  $\varepsilon_{\rm S}$  und ~~dem AWGN–Parameter~~  $E_{\rm B}/N_0$  herstellen und somit die obige Tabelle vervollständigen.
			:*In den Teilaufgaben  '''(4)'''  und  '''(5)'''  sollen Sie den Zusammenhang zwischen den Größen   $\varepsilon_{\rm S}$   und  $E_{\rm B}/N_0$  herstellen und somit die obige Tabelle vervollständigen.



Zeile 41:		Zeile 44:


			<u>Hinweise:</u>
			* Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Kanalcodierung/Fehlerwahrscheinlichkeit_und_Anwendungsgebiete\| "Fehlerwahrscheinlichkeit und Anwendungsgebiete"]].

	~~''Hinweise:''~~		* Wir verweisen Sie hier auf die beiden interaktiven HTML5/JavaScript– Applets
	* Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Kanalcodierung/Fehlerwahrscheinlichkeit_und_Anwendungsgebiete\| Fehlerwahrscheinlichkeit und Anwendungsgebiete]].		:*[[Applets:Komplementäre_Gaußsche_Fehlerfunktionen\|"Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktionen"]]  und
	* Wir verweisen Sie hier auf die beiden ~~interaktive~~ Applets		:*[[Applets:Binomial-_und_Poissonverteilung_(Applet)\|"Binomial- und Poissonverteilung"]].
	::[[Applets:Komplementäre_Gaußsche_Fehlerfunktionen\|Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktionen]]  und
	::[[Applets:Binomial-_und_Poissonverteilung_(Applet)\|Binomial- und Poissonverteilung]].


Zeile 66:		Zeile 69:
	${\rm Pr(Blockfehler)} \ = \ ${ 4.3 3% } $\ \cdot 10^{-6}$		${\rm Pr(Blockfehler)} \ = \ ${ 4.3 3% } $\ \cdot 10^{-6}$

	{Wie ~~hängt~~  $\varepsilon_{\rm S} = 0.1$  mit  $10 \cdot \lg {E_{\rm B}/N_0}$  zusammen?   ''Hinweis:''  Verwenden Sie das angegebene Applet zur Berechnung von  ${\rm Q}(x)$.		{Wie hängen  $\varepsilon_{\rm S} = 0.1$  mit  $10 \cdot \lg {E_{\rm B}/N_0}$  zusammen?   <u>Hinweis:</u>  Verwenden Sie das angegebene Applet zur Berechnung von  ${\rm Q}(x)$.
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$\varepsilon_{\rm S} = 10^{-1} \text{:} \hspace{0.4cm} 10 \cdot \lg {E_{\rm B}/N_0} \ = \ ${ 5.87 3% } $\ \rm dB$		$\varepsilon_{\rm S} = 10^{-1} \text{:} \hspace{0.4cm} 10 \cdot \lg {E_{\rm B}/N_0} \ = \ ${ 5.87 3% } $\ \rm dB$

Tasnad: Textersetzung - „Komplementäre_Gaußsche_Fehlerfunktionen_(neues_Applet)“ durch „Komplementäre_Gaußsche_Fehlerfunktionen“

2020-06-10T15:50:23Z

Textersetzung - „Komplementäre_Gaußsche_Fehlerfunktionen_(neues_Applet)“ durch „Komplementäre_Gaußsche_Fehlerfunktionen“

← Nächstältere Version		Version vom 10. Juni 2020, 17:50 Uhr
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	* Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Kanalcodierung/Fehlerwahrscheinlichkeit_und_Anwendungsgebiete\| Fehlerwahrscheinlichkeit und Anwendungsgebiete]].		* Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Kanalcodierung/Fehlerwahrscheinlichkeit_und_Anwendungsgebiete\| Fehlerwahrscheinlichkeit und Anwendungsgebiete]].
	* Wir verweisen Sie hier auf die beiden interaktive Applets		* Wir verweisen Sie hier auf die beiden interaktive Applets
	::[[Applets:~~Komplementäre_Gaußsche_Fehlerfunktionen_(neues_Applet)~~\|Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktionen]]  und		::[[Applets:Komplementäre_Gaußsche_Fehlerfunktionen\|Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktionen]]  und
	::[[Applets:Binomial-_und_Poissonverteilung_(Applet)\|Binomial- und Poissonverteilung]].		::[[Applets:Binomial-_und_Poissonverteilung_(Applet)\|Binomial- und Poissonverteilung]].

Guenter am 30. Mai 2019 um 15:49 Uhr

2019-05-30T15:49:01Z

← Nächstältere Version		Version vom 30. Mai 2019, 17:49 Uhr
Zeile 78:		Zeile 78:
	===Musterlösung===		===Musterlösung===
	{{ML-Kopf}}		{{ML-Kopf}}
	'''(1)'''  Aus der Tabelle auf der Angabenseite kann der BSC–Parameter $\varepsilon = 0.0505$ abgelesen werden. Damit erhält man für die Symbolverfälschungswahrscheinlichkeit $\varepsilon_{\rm S}$ mit $m = 3$:		'''(1)'''  Aus der Tabelle auf der Angabenseite kann der BSC–Parameter $\varepsilon = 0.0505$ abgelesen werden.
			*Damit erhält man für die Symbolverfälschungswahrscheinlichkeit $\varepsilon_{\rm S}$ mit $m = 3$:
	:$$1 - \varepsilon_{\rm S} = (1 - 0.0505)^3 \approx 0.856		:$$1 - \varepsilon_{\rm S} = (1 - 0.0505)^3 \approx 0.856
	\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}		\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}
Zeile 84:		Zeile 85:
	\hspace{0.05cm}.$$		\hspace{0.05cm}.$$

	Der schnellste Weg zur Berechnung der Blockfehlerwahrscheinlichkeit führt hier über die Formel		*Der schnellste Weg zur Berechnung der Blockfehlerwahrscheinlichkeit führt hier über die Formel
	:$${\rm Pr(Blockfehler)} \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} 1 - {\rm Pr}(f=0) - {\rm Pr}(f=1) - {\rm Pr}(f=2) = 1 - 1 \cdot 0.856^7 -		:$${\rm Pr(Blockfehler)} \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} 1 - {\rm Pr}(f=0) - {\rm Pr}(f=1) - {\rm Pr}(f=2) = 1 - 1 \cdot 0.856^7 -
	7 \cdot 0.144^1 \cdot 0.856^6 - 21 \cdot 0.144^2 \cdot 0.856^5$$		7 \cdot 0.144^1 \cdot 0.856^6 - 21 \cdot 0.144^2 \cdot 0.856^5$$
Zeile 91:		Zeile 92:


	'''(2)'''  Nach gleichem Rechengang wie in Teilaufgabe (1) ergibt sich mit $\varepsilon_{\rm S} \approx 0.03 \ \Rightarrow \ 1 - \varepsilon_{\rm S} = 0.97$:		'''(2)'''  Nach gleichem Rechengang wie in Teilaufgabe '''(1)''' ergibt sich mit $\varepsilon_{\rm S} \approx 0.03 \ \Rightarrow \ 1 - \varepsilon_{\rm S} = 0.97$:
	:$${\rm Pr(Blockfehler)}		:$${\rm Pr(Blockfehler)}
	\hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} 1 \hspace{-0.05cm}-\hspace{-0.05cm} 1 \cdot 0.97^7 \hspace{-0.05cm}-\hspace{-0.05cm}		\hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} 1 \hspace{-0.05cm}-\hspace{-0.05cm} 1 \cdot 0.97^7 \hspace{-0.05cm}-\hspace{-0.05cm}
Zeile 97:		Zeile 98:
	\hspace{0.05cm}.$$		\hspace{0.05cm}.$$

	Man sieht, dass hier die Differenz zwischen zwei fast gleich großen Zahlen gebildet werden muss, so dass das Ergebnis mit einem Fehler behaftet sein könnte. Deshalb berechnen wir noch folgende Größen:		*Man sieht, dass hier die Differenz zwischen zwei fast gleich großen Zahlen gebildet werden muss, so dass das Ergebnis mit einem Fehler behaftet sein könnte.
			*Deshalb berechnen wir noch folgende Größen:
	:$${\rm Pr}(f=3) \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm}		:$${\rm Pr}(f=3) \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm}
	{7 \choose 3} \cdot \varepsilon_{\rm S}^3 \cdot (1 - \varepsilon_{\rm S})^4 = 35 \cdot 0.03^3 \cdot 0.97^4 = 8.366 \cdot 10^{-4}\hspace{0.05cm},$$		{7 \choose 3} \cdot \varepsilon_{\rm S}^3 \cdot (1 - \varepsilon_{\rm S})^4 = 35 \cdot 0.03^3 \cdot 0.97^4 = 8.366 \cdot 10^{-4}\hspace{0.05cm},$$
Zeile 106:		Zeile 108:
	:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} {\rm Pr(Blockfehler)} = {\rm Pr}(\underline{v} \ne \underline{u}) \approx {\rm Pr}(f=3) + {\rm Pr}(f=4) + {\rm Pr}(f=5) \hspace{0.15cm} \underline{=8.63 \cdot 10^{-4}} \hspace{0.05cm}.$$		:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} {\rm Pr(Blockfehler)} = {\rm Pr}(\underline{v} \ne \underline{u}) \approx {\rm Pr}(f=3) + {\rm Pr}(f=4) + {\rm Pr}(f=5) \hspace{0.15cm} \underline{=8.63 \cdot 10^{-4}} \hspace{0.05cm}.$$

	Auf die Terme für $f = 6$ und $f = 7$ kann hier verzichtet werden. Sie liefern keinen relevanten Beitrag.		*Auf die Terme für $f = 6$ und $f = 7$ kann hier verzichtet werden. Sie liefern keinen relevanten Beitrag.


	'''(3)'''  Hier ist bereits $\varepsilon_{\rm S} = 0.005 \ \Rightarrow \ 1 - \varepsilon_{\rm S} = 0.995$ in der Tabelle vorgegeben. Der (weitaus) dominierende Term bei der Berechnung der Blockfehlerwahrscheinlichkeit ist ${\rm Pr}(f = 3)$:

			'''(3)'''  Hier ist bereits $\varepsilon_{\rm S} = 0.005 \ \Rightarrow \ 1 - \varepsilon_{\rm S} = 0.995$ in der Tabelle vorgegeben.
			*Der (weitaus) dominierende Term bei der Berechnung der Blockfehlerwahrscheinlichkeit ist ${\rm Pr}(f = 3)$:
	:$${\rm Pr(Blockfehler)} = {\rm Pr}(\underline{v} \ne \underline{u}) \approx {\rm Pr}(f=3) = {7 \choose 3} \cdot 0.005^3 \cdot 0.995^4		:$${\rm Pr(Blockfehler)} = {\rm Pr}(\underline{v} \ne \underline{u}) \approx {\rm Pr}(f=3) = {7 \choose 3} \cdot 0.005^3 \cdot 0.995^4
	\hspace{0.15cm} \underline{\approx 4.3 \cdot 10^{-6}} \hspace{0.05cm}.$$		\hspace{0.15cm} \underline{\approx 4.3 \cdot 10^{-6}} \hspace{0.05cm}.$$
Zeile 118:		Zeile 123:
	\hspace{0.05cm}.$$		\hspace{0.05cm}.$$

	Der Zusammenhang zwischen $\varepsilon$ und $E_{\rm B}/N_0$ lautet:		*Der Zusammenhang zwischen $\varepsilon$ und $E_{\rm B}/N_0$ lautet:
	:$$\varepsilon = {\rm Q}(x)\hspace{0.05cm}, \hspace{0.5cm} x = \sqrt{2 \cdot R \cdot E_{\rm B}/N_0}\hspace{0.05cm}.$$		:$$\varepsilon = {\rm Q}(x)\hspace{0.05cm}, \hspace{0.5cm} x = \sqrt{2 \cdot R \cdot E_{\rm B}/N_0}\hspace{0.05cm}.$$

	Die Inverse $x = {\rm Q}^{-1}(0.0345)$ ergibt sich mit dem Applet [[Applets:QFunction\|Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktionen]] zu $x = 1.82$. Damit erhält man weiter:		*Die Inverse $x = {\rm Q}^{-1}(0.0345)$ ergibt sich mit dem Applet [[Applets:QFunction\|Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktionen]] zu $x = 1.82$.
			*Damit erhält man weiter:
	:$$E_{\rm B}/N_0 = \frac{x^2}{2R} = \frac{1.82^2}{2R \cdot 3/7} \approx 3.864		:$$E_{\rm B}/N_0 = \frac{x^2}{2R} = \frac{1.82^2}{2R \cdot 3/7} \approx 3.864
	\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}		\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}
Zeile 141:		Zeile 147:
	\hspace{0.15cm} \underline{\approx 11.3 \,\, {\rm dB}} \hspace{0.05cm}. $$		\hspace{0.15cm} \underline{\approx 11.3 \,\, {\rm dB}} \hspace{0.05cm}. $$

	[[Datei:P_ID2572__KC_A_2_15e_neu.png\|~~center~~\|frame\|Ergebnisse zur $\rm RSC \, (7, \, 3, \, 5)_8$–Decodierung]]		[[Datei:P_ID2572__KC_A_2_15e_neu.png\|right\|frame\|Ergebnisse zur $\rm RSC \, (7, \, 3, \, 5)_8$–Decodierung]]
			<br><br><br><br><br><br><br><br><br><br>
			Die Grafik zeigt den Verlauf der Blockfehlerwahrscheinlichkeit in Abhängigkeit von $10 \cdot \lg {E_{\rm B}/N_0}$ sowie die vollständig ausgefüllte Ergebnistabelle.

			Man erkennt das deutlich ungünstigere (asymptotische) Verhalten dieses kurzen (grünen) Codes $\rm RSC \, (7, \, 5, \, 3)_8$ gegenüber dem (roten) Vergleichscode $\rm RSC \, (255, \, 223, \, 33)_8$:

	Die Grafik zeigt den Verlauf der Blockfehlerwahrscheinlichkeit in Abhängigkeit von $10 \cdot \lg {E_{\rm B}/N_0}$ sowie die vollständig ausgefüllte Ergebnistabelle. Man erkennt das deutlich ungünstigere (asymptotische) Verhalten dieses kurzen (grünen) Codes $\rm RSC \, (7, \, 5, \, 3)_8$ gegenüber dem (roten) Vergleichscode $\rm RSC \, (255, \, 223, \, 33)_8$:

	*Für Abszissenwerte kleiner als $10 \ \rm dB$ ergibt sich sogar ein schlechteres Ergebnis als ohne Codierung.		*Für Abszissenwerte kleiner als $10 \ \rm dB$ ergibt sich sogar ein schlechteres Ergebnis als ohne Codierung.

Guenter am 30. Mai 2019 um 15:37 Uhr

2019-05-30T15:37:09Z

← Nächstältere Version		Version vom 30. Mai 2019, 17:37 Uhr
Zeile 1:		Zeile 1:
	{{quiz-Header\|Buchseite=Kanalcodierung/Fehlerwahrscheinlichkeit und Anwendungsgebiete}}		{{quiz-Header\|Buchseite=Kanalcodierung/Fehlerwahrscheinlichkeit und Anwendungsgebiete}}

	[[Datei:P_ID2571__KC_A_2_15neu.png\|right\|frame\|Unvollständige Ergebnistabelle ~~zur Aufgabe 2.15~~]]		[[Datei:P_ID2571__KC_A_2_15neu.png\|right\|frame\|Unvollständige Ergebnistabelle]]
	Am Beispiel des $\rm RSC \, (7, \, 3, \, 5)_8$ mit den Parametern		Am Beispiel des  $\rm RSC \, (7, \, 3, \, 5)_8$  mit den Parametern
	* $n = 7$ (Anzahl der Codesymbole),		* $n = 7$  (Anzahl der Codesymbole),
	* $k =3$ (Anzahl der Informationssymbole),		* $k =3$  (Anzahl der Informationssymbole),
	* $t = 2$ (Korrekturfähigkeit)		* $t = 2$  (Korrekturfähigkeit)


	soll die Berechnung der Blockfehlerwahrscheinlichkeit beim [[Kanalcodierung/Fehlerwahrscheinlichkeit_und_Anwendungsgebiete#Blockfehlerwahrscheinlichkeit_f.C3.BCr_RSC_und_BDD\|Bounded Distance Decoding]] (BDD) gezeigt werden. Die entsprechende Gleichung lautet:		soll die Berechnung der Blockfehlerwahrscheinlichkeit beim  [[Kanalcodierung/Fehlerwahrscheinlichkeit_und_Anwendungsgebiete#Blockfehlerwahrscheinlichkeit_f.C3.BCr_RSC_und_BDD\|Bounded Distance Decoding]]  (BDD) gezeigt werden. Die entsprechende Gleichung lautet:
	:$${\rm Pr(Blockfehler)} = {\rm Pr}(\underline{v} \ne \underline{u}) =		:$${\rm Pr(Blockfehler)} = {\rm Pr}(\underline{v} \ne \underline{u}) =
	\sum_{f = t + 1}^{n} {n \choose f} \cdot {\varepsilon_{\rm S}}^f \cdot (1 - \varepsilon_{\rm S})^{n-f} \hspace{0.05cm}.$$		\sum_{f = t + 1}^{n} {n \choose f} \cdot {\varepsilon_{\rm S}}^f \cdot (1 - \varepsilon_{\rm S})^{n-f} \hspace{0.05cm}.$$

	Die Berechnung erfolgt für den [[Kanalcodierung/Klassifizierung_von_Signalen#AWGN.E2.80.93Kanal_bei_bin.C3.A4rem_Eingang\|AWGN–Kanal]], der durch den Parameter $E_{\rm B}/N_0$ gekennzeichnet ist.		Die Berechnung erfolgt für den  [[Kanalcodierung/Klassifizierung_von_Signalen#AWGN.E2.80.93Kanal_bei_bin.C3.A4rem_Eingang\|AWGN–Kanal]], der durch den Parameter  $E_{\rm B}/N_0$  gekennzeichnet ist.

	*Der Quotient $E_{\rm B}/{N_0}$ lässt sich über die Beziehung		*Der Quotient  $E_{\rm B}/{N_0}$  lässt sich über die Beziehung
	:$$\varepsilon = {\rm Q} \big (\sqrt{{2 \cdot R \cdot E_{\rm B}}/{N_0}} \big ) $$		:$$\varepsilon = {\rm Q} \big (\sqrt{{2 \cdot R \cdot E_{\rm B}}/{N_0}} \big ) $$
	in das [[Kanalcodierung/Klassifizierung_von_Signalen#Binary_Symmetric_Channel_.E2.80.93_BSC\|BSC–Modell]] überführen, wobei $R$ die Coderate bezeichnet (hier: $R = 3/7$) und ${\rm Q}(x)$ das [[Stochastische_Signaltheorie/Gaußverteilte_Zufallsgrößen#.C3.9Cberschreitungswahrscheinlichkeit\|komplementäre Gaußsche Fehlerintegral]] angibt.		in das  [[Kanalcodierung/Klassifizierung_von_Signalen#Binary_Symmetric_Channel_.E2.80.93_BSC\|BSC–Modell]]  überführen, wobei  $R$  die Coderate bezeichnet  $($hier:  $R = 3/7)$  und  ${\rm Q}(x)$  das  [[Stochastische_Signaltheorie/Gaußverteilte_Zufallsgrößen#.C3.9Cberschreitungswahrscheinlichkeit\|komplementäre Gaußsche Fehlerintegral]]  angibt.
	*Da aber beim betrachteten Code die Symbole aus $\rm GF(2^3)$ entstammen, muss das BSC–Modell mit Parameter $\~~epsilon~~$ ebenfalls noch an die Aufgabenstellung adaptiert werden. Für die Verfälschungwahrscheinlichkeit des [[Kanalcodierung/Fehlerwahrscheinlichkeit_und_Anwendungsgebiete#Blockfehlerwahrscheinlichkeit_f.C3.BCr_RSC_und_BDD\|''m''–BSC–Modells]] gilt, wobei hier $m = 3$ zu setzen ist (3 Bit pro Codesymbol):		*Da aber beim betrachteten Code die Symbole aus  $\rm GF(2^3)$  entstammen, muss das BSC–Modell mit Parameter  $\varepsilon$  ebenfalls noch an die Aufgabenstellung adaptiert werden.
			*Für die Verfälschungwahrscheinlichkeit des  [[Kanalcodierung/Fehlerwahrscheinlichkeit_und_Anwendungsgebiete#Blockfehlerwahrscheinlichkeit_f.C3.BCr_RSC_und_BDD\|$m$–BSC–Modells]]  gilt, wobei hier  $m = 3$  zu setzen ist (drei Bit pro Codesymbol):
	:$$\varepsilon_{\rm S} = 1 - (1 - \varepsilon)^m		:$$\varepsilon_{\rm S} = 1 - (1 - \varepsilon)^m
	\hspace{0.05cm},$$		\hspace{0.05cm}.$$


	Für einige $E_{\rm B}/N_0$–Werte sind die Ergebnisse ~~bereits~~ in obiger Tabelle eingetragen. Die beiden gelb hinterlegten Zeilen werden hier kurz erläutert.		Für einige  $E_{\rm B}/N_0$–Werte sind die Ergebnisse in obiger Tabelle eingetragen. Die beiden gelb hinterlegten Zeilen werden hier kurz erläutert:
	* Für $10 \cdot \lg {E_{\rm B}/N_0} = 4 \ \rm dB$ ergibt sich $\varepsilon \approx {\rm Q}(1.47) \approx 0.071$ und $\varepsilon_{\rm S} \approx 0.2$. ~~Am einfachsten~~ kann hier ~~die Blockfehlerwahrscheinlichkeit~~ über das Komplement berechnet werden:		* Für  $10 \cdot \lg {E_{\rm B}/N_0} = 4 \ \rm dB$  ergibt sich  $\varepsilon \approx {\rm Q}(1.47) \approx 0.071$  und  $\varepsilon_{\rm S} \approx 0.2$. Die Blockfehlerwahrscheinlichkeit kann hier am einfachsten über das Komplement berechnet werden:
	:$${\rm Pr(Blockfehler)} = 1 - \~~big~~ [ {7 \choose 0} \cdot 0.8^7 + {7 \choose 1} \cdot 0.2 \cdot 0.8^6 + {7 \choose 2} \cdot 0.2^2 \cdot 0.8^5\~~big~~ ]		:$${\rm Pr(Blockfehler)} = 1 - \left [ {7 \choose 0} \cdot 0.8^7 + {7 \choose 1} \cdot 0.2 \cdot 0.8^6 + {7 \choose 2} \cdot 0.2^2 \cdot 0.8^5\right ]
	\approx 0.148 \hspace{0.05cm}.$$		\approx 0.148 \hspace{0.05cm}.$$
	* Für $10 \cdot \lg {E_{\rm B}/N_0} = 12 \ \rm dB$ erhält man $\varepsilon \approx 1.2 \cdot 10^{-4}$ und $\varepsilon_{\rm S} \approx 3.5 \cdot 10^{-4}$. Mit dieser sehr kleinen Verfälschungswahrscheinlichkeit dominiert der $f = 3$–Term und man erhält:		* Für  $10 \cdot \lg {E_{\rm B}/N_0} = 12 \ \rm dB$  erhält man  $\varepsilon \approx 1.2 \cdot 10^{-4}$  und  $\varepsilon_{\rm S} \approx 3.5 \cdot 10^{-4}$. Mit dieser sehr kleinen Verfälschungswahrscheinlichkeit dominiert der  $f = 3$–Term, und man erhält:
	:$${\rm Pr(Blockfehler)} \approx {7 \choose 3} \cdot (3.5 \cdot 10^{-4})^3 \cdot (1- 3.5 \cdot 10^{-4})^4		:$${\rm Pr(Blockfehler)} \approx {7 \choose 3} \cdot (3.5 \cdot 10^{-4})^3 \cdot (1- 3.5 \cdot 10^{-4})^4
	\approx 1.63 \cdot 10^{-9} \hspace{0.05cm}.$$		\approx 1.63 \cdot 10^{-9} \hspace{0.05cm}.$$

	*Sie sollen ~~nun~~ für die rot hinterlegten Zeilen $(10 \cdot \lg {E_{\rm B}/N_0} = 5 \ \rm dB, \ 8 \ dB$ ~~und~~ $10 \ \rm dB)$ die Blockfehlerwahrscheinlichkeiten berechnen.		*Sie sollen für die rot hinterlegten Zeilen  $(10 \cdot \lg {E_{\rm B}/N_0} = 5 \ \rm dB, \ 8 \ dB$,  $10 \ \rm dB)$  die Blockfehlerwahrscheinlichkeiten berechnen.
	*Die blau hinterlegten Zeilen zeigen einige Ergebnisse der [[Aufgaben:Aufgabe_2.15Z:_Nochmals_RS-Blockfehlerwahrscheinlichkeit\|Aufgabe 2.15Z]]. Dort wird ${\rm Pr}(\underline{v} ≠ \underline{u})$ für $\varepsilon_{\rm S} = 10\%, \ 1\%$ ~~und~~ $0.1\%$ berechnet.		*Die blau hinterlegten Zeilen zeigen einige Ergebnisse der  [[Aufgaben:Aufgabe_2.15Z:_Nochmals_RS-Blockfehlerwahrscheinlichkeit\|Aufgabe 2.15Z]]. Dort wird  ${\rm Pr}(\underline{v} ≠ \underline{u})$  für  $\varepsilon_{\rm S} = 10\%,  \ 1\%$  $0.1\%$ berechnet.
	*In den Teilaufgaben (4) und (5) sollen Sie den Zusammenhang zwischen ~~dieser~~ Größe $\varepsilon_{\rm S}$ und dem AWGN–Parameter $E_{\rm B}/N_0$ herstellen und somit die obige Tabelle vervollständigen.		*In den Teilaufgaben '''(4)''' und '''(5)''' sollen Sie den Zusammenhang zwischen der Größe  $\varepsilon_{\rm S}$  und dem AWGN–Parameter  $E_{\rm B}/N_0$  herstellen und somit die obige Tabelle vervollständigen.





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	''Hinweise:''		''Hinweise:''
	* Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Kanalcodierung/Fehlerwahrscheinlichkeit_und_Anwendungsgebiete\| Fehlerwahrscheinlichkeit und Anwendungsgebiete]].		* Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Kanalcodierung/Fehlerwahrscheinlichkeit_und_Anwendungsgebiete\| Fehlerwahrscheinlichkeit und Anwendungsgebiete]].
	* Wir verweisen Sie hier auf die beiden interaktive Applets [[Applets:~~QFunction~~\|Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktionen]] und [[Applets:~~Binomialverteilung_vs._Poissonverteilung~~]].		* Wir verweisen Sie hier auf die beiden interaktive Applets
			::[[Applets:Komplementäre_Gaußsche_Fehlerfunktionen_(neues_Applet)\|Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktionen]]  und
			::[[Applets:Binomial-_und_Poissonverteilung_(Applet)\|Binomial- und Poissonverteilung]].


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	===Fragebogen===		===Fragebogen===
	<quiz display=simple>		<quiz display=simple>
	{Wie groß ist die Blockfehlerwahrscheinlichkeit für $10 \cdot \lg {E_{\rm B}/N_0} \hspace{0.15cm}\underline{= 5 \ \rm dB}$?		{Wie groß ist die Blockfehlerwahrscheinlichkeit für  $10 \cdot \lg {E_{\rm B}/N_0} \hspace{0.15cm}\underline{= 5 \ \rm dB}$?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	${\rm Pr(Blockfehler)} \ = \ ${ 6.66 3% } $\ \cdot 10^{-2}$		${\rm Pr(Blockfehler)} \ = \ ${ 6.66 3% } $\ \cdot 10^{-2}$

	{Wie groß ist die Blockfehlerwahrscheinlichkeit für $10 \cdot \lg {E_{\rm B}/N_0} \hspace{0.15cm}\underline{= 8 \ \rm dB}$?		{Wie groß ist die Blockfehlerwahrscheinlichkeit für  $10 \cdot \lg {E_{\rm B}/N_0} \hspace{0.15cm}\underline{= 8 \ \rm dB}$?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	${\rm Pr(Blockfehler)} \ = \ ${ 8.63 3% } $\ \cdot 10^{-4}$		${\rm Pr(Blockfehler)} \ = \ ${ 8.63 3% } $\ \cdot 10^{-4}$

	{Wie groß ist die Blockfehlerwahrscheinlichkeit für $10 \cdot \lg {E_{\rm B}/N_0}\hspace{0.15cm}\underline{ = 10 \ \rm dB}$?		{Wie groß ist die Blockfehlerwahrscheinlichkeit für  $10 \cdot \lg {E_{\rm B}/N_0}\hspace{0.15cm}\underline{ = 10 \ \rm dB}$?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	${\rm Pr(Blockfehler)} \ = \ ${ 4.3 3% } $\ \cdot 10^{-6}$		${\rm Pr(Blockfehler)} \ = \ ${ 4.3 3% } $\ \cdot 10^{-6}$

	{Wie hängt $\varepsilon_{\rm S} = 0.1$ mit $10 \cdot \lg {E_{\rm B}/N_0}$ zusammen? ''Hinweis:''  Verwenden Sie das angegebene Applet zur Berechnung von ${\rm Q}(x)$.		{Wie hängt  $\varepsilon_{\rm S} = 0.1$  mit  $10 \cdot \lg {E_{\rm B}/N_0}$  zusammen?   ''Hinweis:''  Verwenden Sie das angegebene Applet zur Berechnung von  ${\rm Q}(x)$.
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$\varepsilon_{\rm S} = 10^{-1} \text{:} \hspace{0.4cm} 10 \cdot \lg {E_{\rm B}/N_0} \ = \ ${ 5.87 3% } $\ \rm dB$		$\varepsilon_{\rm S} = 10^{-1} \text{:} \hspace{0.4cm} 10 \cdot \lg {E_{\rm B}/N_0} \ = \ ${ 5.87 3% } $\ \rm dB$

	{Ermitteln Sie auch die $E_{\rm B}/N_0$–Werte (in $\rm dB$) für $\varepsilon_{\rm S} = 0.01$ und $\varepsilon_{\rm S} = 0.001$ ~~und vervollständigen~~ Sie die Tabelle.		{Ermitteln Sie auch die  $E_{\rm B}/N_0$–Werte  $($in  $\rm dB)$  für  $\varepsilon_{\rm S} = 0.01$  und  $\varepsilon_{\rm S} = 0.001$. Vervollständigen Sie die Tabelle.
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$\varepsilon_{\rm S} = 10^{-2} \text{:} \hspace{0.4cm} 10 \cdot \lg {E_{\rm B}/N_0} \ = \ $ { 9.32 3% } $\ \rm dB$		$\varepsilon_{\rm S} = 10^{-2} \text{:} \hspace{0.4cm} 10 \cdot \lg {E_{\rm B}/N_0} \ = \ $ { 9.32 3% } $\ \rm dB$

Tasnad: Textersetzung - „* Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein. “ durch „“

2018-05-29T11:29:25Z

Textersetzung - „* Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein. “ durch „“

← Nächstältere Version		Version vom 29. Mai 2018, 13:29 Uhr
Zeile 41:		Zeile 41:
	* Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Kanalcodierung/Fehlerwahrscheinlichkeit_und_Anwendungsgebiete\| Fehlerwahrscheinlichkeit und Anwendungsgebiete]].		* Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Kanalcodierung/Fehlerwahrscheinlichkeit_und_Anwendungsgebiete\| Fehlerwahrscheinlichkeit und Anwendungsgebiete]].
	* Wir verweisen Sie hier auf die beiden interaktive Applets [[Applets:QFunction\|Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktionen]] und [[Applets:Binomialverteilung_vs._Poissonverteilung]].		* Wir verweisen Sie hier auf die beiden interaktive Applets [[Applets:QFunction\|Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktionen]] und [[Applets:Binomialverteilung_vs._Poissonverteilung]].
	* Sollte die Eingabe des Zahlenwertes &bdquo;0” erforderlich sein, so geben Sie bitte &bdquo;0.” ein.

Guenter am 15. Januar 2018 um 17:17 Uhr

2018-01-15T17:17:55Z

← Nächstältere Version		Version vom 15. Januar 2018, 19:17 Uhr
Zeile 40:		Zeile 40:
	''Hinweise:''		''Hinweise:''
	* Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Kanalcodierung/Fehlerwahrscheinlichkeit_und_Anwendungsgebiete\| Fehlerwahrscheinlichkeit und Anwendungsgebiete]].		* Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Kanalcodierung/Fehlerwahrscheinlichkeit_und_Anwendungsgebiete\| Fehlerwahrscheinlichkeit und Anwendungsgebiete]].
	* Wir verweisen Sie hier auf die beiden ~~Interaktionsmodule~~ [[Applets:QFunction\|Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktionen]] und [[~~Wahrscheinlichkeiten der Binomialverteilung~~]].		* Wir verweisen Sie hier auf die beiden interaktive Applets [[Applets:QFunction\|Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktionen]] und [[Applets:Binomialverteilung_vs._Poissonverteilung]].
	* Sollte die Eingabe des Zahlenwertes &bdquo;0” erforderlich sein, so geben Sie bitte &bdquo;0.” ein.		* Sollte die Eingabe des Zahlenwertes &bdquo;0” erforderlich sein, so geben Sie bitte &bdquo;0.” ein.

Guenter am 13. Januar 2018 um 16:42 Uhr

2018-01-13T16:42:11Z

← Nächstältere Version		Version vom 13. Januar 2018, 18:42 Uhr
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	soll die Berechnung der Blockfehlerwahrscheinlichkeit beim [[Kanalcodierung/Fehlerwahrscheinlichkeit_und_Anwendungsgebiete#Blockfehlerwahrscheinlichkeit_f.C3.BCr_RSC_und_BDD\|Bounded Distance Decoding]] (BDD) gezeigt werden. Die entsprechende Gleichung lautet:		soll die Berechnung der Blockfehlerwahrscheinlichkeit beim [[Kanalcodierung/Fehlerwahrscheinlichkeit_und_Anwendungsgebiete#Blockfehlerwahrscheinlichkeit_f.C3.BCr_RSC_und_BDD\|Bounded Distance Decoding]] (BDD) gezeigt werden. Die entsprechende Gleichung lautet:
	:$${\rm Pr(Blockfehler)} =		:$${\rm Pr(Blockfehler)} = {\rm Pr}(\underline{v} \ne \underline{u}) =
	\sum_{f = t + 1}^{n} {n \choose f} \cdot {\varepsilon_{\rm S}}^f \cdot (1 - \varepsilon_{\rm S})^{n-f} \hspace{0.05cm}.$$		\sum_{f = t + 1}^{n} {n \choose f} \cdot {\varepsilon_{\rm S}}^f \cdot (1 - \varepsilon_{\rm S})^{n-f} \hspace{0.05cm}.$$

Zeile 73:		Zeile 73:
	===Musterlösung===		===Musterlösung===
	{{ML-Kopf}}		{{ML-Kopf}}
	'''(1)'''  Aus der Tabelle auf der Angabenseite kann der BSC–Parameter $\~~epsilon~~ = 0.0505$ abgelesen werden. Damit erhält man für die Symbolverfälschungswahrscheinlichkeit $\~~epsilon_~~{\rm S}$ mit $m = 3$:		'''(1)'''  Aus der Tabelle auf der Angabenseite kann der BSC–Parameter $\varepsilon = 0.0505$ abgelesen werden. Damit erhält man für die Symbolverfälschungswahrscheinlichkeit $\varepsilon_{\rm S}$ mit $m = 3$:
	:$$1 - \varepsilon_{\rm S} = (1 - 0.0505)^3 \approx 0.856		:$$1 - \varepsilon_{\rm S} = (1 - 0.0505)^3 \approx 0.856
	\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}		\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}
Zeile 80:		Zeile 80:

	Der schnellste Weg zur Berechnung der Blockfehlerwahrscheinlichkeit führt hier über die Formel		Der schnellste Weg zur Berechnung der Blockfehlerwahrscheinlichkeit führt hier über die Formel
	:$${\rm Pr(Blockfehler)} \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} 1 - {\rm Pr}(f=0) - {\rm Pr}(f=1) - {\rm Pr}(f=2) =$$		:$${\rm Pr(Blockfehler)} \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} 1 - {\rm Pr}(f=0) - {\rm Pr}(f=1) - {\rm Pr}(f=2) = 1 - 1 \cdot 0.856^7 -
	~~:$$\hspace{2.875cm} \ = \ \hspace{-0.15cm}~~ 1 - 1 \cdot 0.856^7 -		7 \cdot 0.144^1 \cdot 0.856^6 - 21 \cdot 0.144^2 \cdot 0.856^5$$
	7 \cdot 0.144^1 \cdot 0.856^6 - 21 \cdot 0.144^2 \cdot 0.856^5 =$$		:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} {\rm Pr(Blockfehler)} \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} {\rm Pr}(\underline{v} \ne \underline{u}) =1 - 0.3368 - 0.3965 - 0.2001 \hspace{0.15cm} \underline{=0.0666}
	:$$\hspace{2.~~875cm~~} \ = \ \hspace{-0.15cm} 1 - 0.3368 - 0.3965 - 0.2001 \hspace{0.15cm} \underline{=0.0666}
	\hspace{0.05cm}.$$		\hspace{0.05cm}.$$


	'''(2)'''  Nach gleichem Rechengang wie in Teilaufgabe (1) ergibt sich mit $\~~epsilon_~~{\rm S} \approx 0.03 \ \Rightarrow \ 1 - \~~epsilon_~~{\rm S} = 0.97$:		'''(2)'''  Nach gleichem Rechengang wie in Teilaufgabe (1) ergibt sich mit $\varepsilon_{\rm S} \approx 0.03 \ \Rightarrow \ 1 - \varepsilon_{\rm S} = 0.97$:
	:$${\rm Pr(Blockfehler)}		:$${\rm Pr(Blockfehler)}
	\hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} 1 - 1 \cdot 0.97^7 -		\hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} 1 \hspace{-0.05cm}-\hspace{-0.05cm} 1 \cdot 0.97^7 \hspace{-0.05cm}-\hspace{-0.05cm}
	7 \cdot 0.03^1 \cdot 0.97^6 - 21 \cdot 0.03^2 \cdot 0.97^5 =$$		7 \cdot 0.03^1 \cdot 0.97^6 \hspace{-0.05cm}-\hspace{-0.05cm} 21 \cdot 0.03^2 \cdot 0.97^5 =1 \hspace{-0.05cm}-\hspace{-0.05cm} 0.8080 \hspace{-0.05cm}-\hspace{-0.05cm} 0.1749\hspace{-0.05cm}-\hspace{-0.05cm} 0.0162= 1 \hspace{-0.05cm}-\hspace{-0.05cm} 0.9991 = 9 \cdot 10^{-4}
	~~:$$~~\hspace{2.~~875cm~~} \ = \ \hspace{-0.~~15cm~~} 1 - 0.~~8080~~ - 0.~~1749 -~~ 0.0162= 1 - 0.9991 = 9 \cdot 10^{-4}
	\hspace{0.05cm}.$$		\hspace{0.05cm}.$$

Zeile 101:		Zeile 99:
	:$${\rm Pr}(f=5) \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm}		:$${\rm Pr}(f=5) \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm}
	{7 \choose 5} \cdot \varepsilon_{\rm S}^5 \cdot (1 - \varepsilon_{\rm S})^2 = 21 \cdot 0.03^5 \cdot 0.97^2 = 0.005 \cdot 10^{-4}$$		{7 \choose 5} \cdot \varepsilon_{\rm S}^5 \cdot (1 - \varepsilon_{\rm S})^2 = 21 \cdot 0.03^5 \cdot 0.97^2 = 0.005 \cdot 10^{-4}$$
	:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} {\rm Pr(Blockfehler)} \approx {\rm Pr}(f=3) + {\rm Pr}(f=4) + {\rm Pr}(f=5) \hspace{0.15cm} \underline{=8.63 \cdot 10^{-4}} \hspace{0.05cm}.$$		:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} {\rm Pr(Blockfehler)} = {\rm Pr}(\underline{v} \ne \underline{u}) \approx {\rm Pr}(f=3) + {\rm Pr}(f=4) + {\rm Pr}(f=5) \hspace{0.15cm} \underline{=8.63 \cdot 10^{-4}} \hspace{0.05cm}.$$

	Auf die Terme für $f = 6$ und $f = 7$ kann hier verzichtet werden. Sie liefern keinen relevanten Beitrag.		Auf die Terme für $f = 6$ und $f = 7$ kann hier verzichtet werden. Sie liefern keinen relevanten Beitrag.


	'''(3)'''  Hier ist bereits $\~~epsilon_~~{\rm S} = 0.005 \ \Rightarrow \ 1 - \~~epsilon_~~{\rm S} = 0.995$ in der Tabelle vorgegeben. Der (weitaus) dominierende Term bei der Berechnung der Blockfehlerwahrscheinlichkeit ist ${\rm Pr}(f = 3)$:		'''(3)'''  Hier ist bereits $\varepsilon_{\rm S} = 0.005 \ \Rightarrow \ 1 - \varepsilon_{\rm S} = 0.995$ in der Tabelle vorgegeben. Der (weitaus) dominierende Term bei der Berechnung der Blockfehlerwahrscheinlichkeit ist ${\rm Pr}(f = 3)$:
	:$${\rm Pr(Blockfehler)} \approx {\rm Pr}(f=3) = {7 \choose 3} \cdot 0.005^3 \cdot 0.995^4		:$${\rm Pr(Blockfehler)} = {\rm Pr}(\underline{v} \ne \underline{u}) \approx {\rm Pr}(f=3) = {7 \choose 3} \cdot 0.005^3 \cdot 0.995^4
	\hspace{0.15cm} \underline{\approx 4.3 \cdot 10^{-6}} \hspace{0.05cm}.$$		\hspace{0.15cm} \underline{\approx 4.3 \cdot 10^{-6}} \hspace{0.05cm}.$$


	'''(4)'''  Für den BSC–Parameter $\~~epsilon~~$ gilt mit $\~~epsilon_~~{\rm S} = 0.1$:		'''(4)'''  Für den BSC–Parameter $\varepsilon$ gilt mit $\varepsilon_{\rm S} = 0.1$:
	:$$\varepsilon = 1 -(1 - \varepsilon_{\rm S})^{1/3} = 1 - 0.9^{1/3} \approx 0.0345		:$$\varepsilon = 1 -(1 - \varepsilon_{\rm S})^{1/3} = 1 - 0.9^{1/3} \approx 0.0345
	\hspace{0.05cm}.$$		\hspace{0.05cm}.$$

	Der Zusammenhang zwischen $\~~epsilon~~$ und $E_{\rm B}/N_0$ lautet:		Der Zusammenhang zwischen $\varepsilon$ und $E_{\rm B}/N_0$ lautet:
	:$$\varepsilon = {\rm Q}(x)\hspace{0.05cm}, \hspace{0.5cm} x = \sqrt{2 \cdot R \cdot E_{\rm B}/N_0}\hspace{0.05cm}.$$		:$$\varepsilon = {\rm Q}(x)\hspace{0.05cm}, \hspace{0.5cm} x = \sqrt{2 \cdot R \cdot E_{\rm B}/N_0}\hspace{0.05cm}.$$

	Die Inverse $x = {\rm Q}^{-1}(0.0345)$ ergibt sich mit dem ~~Programm~~ [[Gaußsche Fehlerfunktionen]] zu $x = 1.82$. Damit erhält man weiter:		Die Inverse $x = {\rm Q}^{-1}(0.0345)$ ergibt sich mit dem Applet [[Applets:QFunction\|Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktionen]] zu $x = 1.82$. Damit erhält man weiter:
	:$$E_{\rm B}/N_0 = \frac{x^2}{2R} = \frac{1.82^2}{2R \cdot 3/7} \approx 3.864		:$$E_{\rm B}/N_0 = \frac{x^2}{2R} = \frac{1.82^2}{2R \cdot 3/7} \approx 3.864
	\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}		\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}
Zeile 126:		Zeile 124:

	'''(5)'''  Nach gleicher Rechnung erhält man		'''(5)'''  Nach gleicher Rechnung erhält man
	* für $\~~epsilon_~~{\rm S} = 10^{-2} \ \Rightarrow \ \~~epsilon~~ \approx 0.33 \cdot 10^{-2} \ \Rightarrow \ x = {\rm Q}^{-1}(\~~epsilon~~) = 2.71$		* für $\varepsilon_{\rm S} = 10^{-2} \ \Rightarrow \ \varepsilon \approx 0.33 \cdot 10^{-2} \ \Rightarrow \ x = {\rm Q}^{-1}(\varepsilon) = 2.71$
	:$$E_{\rm B}/N_0 = \frac{x^2}{2R} = \frac{2.71^2}{2R \cdot 3/7} \approx 8.568		:$$E_{\rm B}/N_0 = \frac{x^2}{2R} = \frac{2.71^2}{2R \cdot 3/7} \approx 8.568
	\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}		\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}
Zeile 132:		Zeile 130:
	\hspace{0.15cm} \underline{\approx 9.32 \,\, {\rm dB}} \hspace{0.05cm}, $$		\hspace{0.15cm} \underline{\approx 9.32 \,\, {\rm dB}} \hspace{0.05cm}, $$

	* für $\~~epsilon_~~{\rm S} = 10^{-3} \ \Rightarrow \ \~~epsilon~~ \approx 0.33 \cdot 10^{-3} \ \Rightarrow \ x = {\rm Q}^{-1}(\~~epsilon~~) = 3.4$:		* für $\varepsilon_{\rm S} = 10^{-3} \ \Rightarrow \ \varepsilon \approx 0.33 \cdot 10^{-3} \ \Rightarrow \ x = {\rm Q}^{-1}(\varepsilon) = 3.4$:
	:$$E_{\rm B}/N_0 = \frac{x^2}{2R} = \frac{3.4^2}{2R \cdot 3/7} \approx 13.487		:$$E_{\rm B}/N_0 = \frac{x^2}{2R} = \frac{3.4^2}{2R \cdot 3/7} \approx 13.487
	\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}		\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}
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	[[Datei:P_ID2572__KC_A_2_15e_neu.png\|center\|frame\|Ergebnisse zur $\rm RSC \, (7, \, 3, \, 5)_8$–Decodierung]]		[[Datei:P_ID2572__KC_A_2_15e_neu.png\|center\|frame\|Ergebnisse zur $\rm RSC \, (7, \, 3, \, 5)_8$–Decodierung]]

	Die Grafik zeigt den Verlauf der Blockfehlerwahrscheinlichkeit in Abhängigkeit von $10 \cdot \lg {E_{\rm B}/N_0}$ sowie die vollständig ausgefüllte Ergebnistabelle. Man erkennt das deutlich ungünstigere (asymptotische) Verhalten dieses kurzen (grünen) Codes $\rm RSC \, (7, \, 5, \, 3)_8$ gegenüber dem (roten) Vergleichscode $\rm RSC \, (255, \, 223, \, 33)_8$.		Die Grafik zeigt den Verlauf der Blockfehlerwahrscheinlichkeit in Abhängigkeit von $10 \cdot \lg {E_{\rm B}/N_0}$ sowie die vollständig ausgefüllte Ergebnistabelle. Man erkennt das deutlich ungünstigere (asymptotische) Verhalten dieses kurzen (grünen) Codes $\rm RSC \, (7, \, 5, \, 3)_8$ gegenüber dem (roten) Vergleichscode $\rm RSC \, (255, \, 223, \, 33)_8$:

	Für Abszissenwerte kleiner als $10 \ \rm dB$ ergibt sich sogar ein schlechteres Ergebnis als ohne Codierung. Deshalb soll hier nochmals darauf hingewiesen werden, dass dieser $\rm RSC \, (7, \, 3, \, 5)_8$ wenig praktische Bedeutung hat. Er wurde für diese Aufgabe nur deshalb ausgewählt, um mit vertretbarem Aufwand die Berechnung der BDD~~–Blockfehlerwahrscheinlichkeit~~ demonstrieren zu können.		*Für Abszissenwerte kleiner als $10 \ \rm dB$ ergibt sich sogar ein schlechteres Ergebnis als ohne Codierung.
			*Deshalb soll hier nochmals darauf hingewiesen werden, dass dieser $\rm RSC \, (7, \, 3, \, 5)_8$ wenig praktische Bedeutung hat.
			*Er wurde für diese Aufgabe nur deshalb ausgewählt, um mit vertretbarem Aufwand die Berechnung der Blockfehlerwahrscheinlichkeit bei ''Bounded Distance Decoding'' (BDD) demonstrieren zu können.
	{{ML-Fuß}}		{{ML-Fuß}}

	[[Category:Aufgaben zu Kanalcodierung\|^2.6 RSC–Fehlerwahrscheinlichkeit^]]		[[Category:Aufgaben zu Kanalcodierung\|^2.6 RSC–Fehlerwahrscheinlichkeit^]]