Aufgaben:Aufgabe 2.12Z: Reed–Solomon–Syndromberechnung - Versionsgeschichte

Guenter am 30. Oktober 2022 um 16:16 Uhr

2022-10-30T16:16:32Z

Guenter am 30. Oktober 2022 um 16:08 Uhr

2022-10-30T16:08:38Z

Guenter am 29. Mai 2019 um 11:48 Uhr

2019-05-29T11:48:16Z

Guenter am 29. Mai 2019 um 11:43 Uhr

2019-05-29T11:43:13Z

Mwiki-lnt: Textersetzung - „* Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

2018-05-29T11:41:08Z

Textersetzung - „* Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

Guenter am 12. Januar 2018 um 10:26 Uhr

2018-01-12T10:26:03Z

Guenter am 12. Januar 2018 um 10:17 Uhr

2018-01-12T10:17:27Z

Guenter am 3. Januar 2018 um 09:52 Uhr

2018-01-03T09:52:25Z

Guenter: Guenter verschob die Seite Aufgaben:2.12Z Reed–Solomon–Syndromberechnung nach Aufgaben:Aufgabe 2.12Z: Reed–Solomon–Syndromberechnung

2018-01-03T09:42:52Z

Guenter verschob die Seite 2.12Z Reed–Solomon–Syndromberechnung nach Aufgabe 2.12Z: Reed–Solomon–Syndromberechnung

Hussain am 18. Dezember 2017 um 11:13 Uhr

2017-12-18T11:13:53Z

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 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-[[Datei:P_ID2560__KC_T_2_5_Darstellung.png|right|frame|Umrechnungstabellen für das Galoisfeld $\rm GF(2^3)$]]
+[[Datei:P_ID2560__KC_T_2_5_Darstellung.png|right|frame|Umrechnungstabellen für das Galoisfeld&nbsp; $\rm GF(2^3)$]]
 '''(1)'''&nbsp; Die entsprechende Gleichung zur Syndromberechnung lautet:
 :$$\underline {s} \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} (s_0, s_1, s_2) =
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 					 \hspace{0.05cm}.$$
-Das erste Element ergibt sich zu
+*Das erste Element ergibt sich zu
 :$$s_0 \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm}  \alpha \cdot 1 + \alpha^3 \cdot \alpha^2 + 1 \cdot \alpha^4 + \alpha \cdot \alpha^5=
 \alpha  + \alpha^5 + \alpha^4+ \alpha^6$$
 :$$\Rightarrow\hspace{0.3cm} s_0 \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm}  (\alpha) + (\alpha^2 + \alpha+ 1)+ (\alpha^2 + \alpha) + + (\alpha^2 +  1) = \alpha^2 + \alpha = \alpha^4\hspace{0.05cm}.$$
-Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 1</u>.
+*Richtig ist der&nbsp; <u>Lösungsvorschlag 1</u>.
-'''(2)'''&nbsp; Entsprechend gilt für das zweite Syndromelement entsprechend dem der <u>Lösungsvorschlag 2</u>:
+'''(2)'''&nbsp; Entsprechend gilt für das zweite Syndromelement entsprechend dem&nbsp; <u>Lösungsvorschlag 2</u>:
 :$$s_1 \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm}  \alpha \cdot 1 + \alpha^3 \cdot \alpha^4 + 1 \cdot \alpha^1 + \alpha \cdot \alpha^3=
 \alpha  + \alpha^7 + \alpha+ \alpha^4= 1 + \alpha^4 = \alpha^2 + \alpha + 1 =  \alpha^5
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-'''(3)'''&nbsp; Zur Berechnung von $s_2$ muss mit der letzten Matrixspalte multipliziert werden:
+'''(3)'''&nbsp; Zur Berechnung von&nbsp; $s_2$&nbsp; muss das Empfangswort mit der letzten Matrixspalte multipliziert werden:
 :$$s_2 \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm}  \alpha \cdot 1 + \alpha^3 \cdot \alpha^6 + 1 \cdot \alpha^5 + \alpha \cdot \alpha^1=
 \alpha  + \alpha^2 + \alpha^5 + \alpha^2=\alpha^5 + \alpha = (\alpha^2 + \alpha + 1) + \alpha = \alpha^2  + 1 = \alpha^5
 					 \hspace{0.05cm}.$$
-Richtig ist der  <u>Lösungsvorschlag 3</u>.
+*Richtig ist der&nbsp;  <u>Lösungsvorschlag 3</u>.
-'''(4)'''&nbsp; Aufgrund des errechneten Syndroms $\underline{s} = (\alpha^4, \, \alpha^5, \, \alpha^6) &ne; 0$ beinhaltet das Empfangswort mindestens einen Symbolfehler &nbsp; &#8658; &nbsp; $r > 0$.
+'''(4)'''&nbsp; Aufgrund des errechneten Syndroms&nbsp; $\underline{s} = (\alpha^4, \, \alpha^5, \, \alpha^6) &ne; 0$&nbsp; beinhaltet das Empfangswort mindestens einen Symbolfehler &nbsp; &#8658; &nbsp; $r > 0$.
-*Der vorliegende Reed&ndash;Solomon&ndash;Code $(7, \, 4, \, 4)_8 \ \Rightarrow \ d_{\rm min} = 4$ kann nicht mehr als $t = &lfloor;d_{\rm min}/2&rfloor; = 1$ Fehler korrigieren.
+*Der vorliegende Reed&ndash;Solomon&ndash;Code&nbsp; $(7, \, 4, \, 4)_8 \ \Rightarrow \ d_{\rm min} = 4$&nbsp; kann nicht mehr als&nbsp; $t = &lfloor;d_{\rm min}/2&rfloor; = 1$&nbsp; Fehler korrigieren.
-* Da das Empfangswort gemäß der Angabe tatsächlich decodiert werden kann, gilt&nbsp; $\underline{r = 1}$.
 {{ML-Fuß}}

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 [[Datei:P_ID2559__KC_T_2_5_Darstellung.png|right|frame|Umrechnungstabelle für das Galoisfeld&nbsp; $\rm GF(2^3)$]]
-Wie in der&nbsp; [[Aufgaben:Aufgabe_2.12:_Decodierung_beim_RSC_(7,_4,_4)_zur_Basis_8|Aufgabe 2.12]]&nbsp; betrachten wir den Reed&ndash;Solomon&ndash;Code&nbsp; $(7, \, 4, \, 4)_8$, der auf dem Galoisfeld&nbsp; ${\rm GF}(q)$&nbsp; mit&nbsp; $q = 8 = 2^3$&nbsp; basiert. Die Grafik zeigt die zugehörige Umrechnungstabelle.
+Wie in der&nbsp; [[Aufgaben:Aufgabe_2.12:_Decodierung_beim_RSC_(7,_4,_4)_zur_Basis_8|"Aufgabe 2.12"]]&nbsp; betrachten wir den Reed&ndash;Solomon&ndash;Code&nbsp; $(7, \, 4, \, 4)_8$,&nbsp; der auf dem Galoisfeld &nbsp; ${\rm GF}(q)$ &nbsp; mit&nbsp; $q = 8 = 2^3$&nbsp; basiert.&nbsp; Die Grafik zeigt die zugehörige Umrechnungstabelle.
-Gegeben sind die möglichen Codesymbole in Exponentendarstellung $($Potenzen von&nbsp; $\alpha)$&nbsp; sowie in Polynom&ndash; und Koeffizientenvektordarstellung.
+Gegeben sind die möglichen Codesymbole in
-soll überprüft werden, ob einzelne Symbole des Empfangsvektors&nbsp; $\underline{y}$&nbsp; bei der Übertragung verfälscht wurden. Gegeben ist hierzu die Prüfmatrix&nbsp; $\mathbf{H}$&nbsp; des betrachteten Codes und deren Transponierte:
+Vorgegeben ist das Empfangswort &nbsp; $\underline{y} = (\alpha, \, 0, \, \alpha^3, \, 0, \, 1, \, \alpha, \, 0)$.
 :$${ \boldsymbol{\rm H}} =
 \begin{pmatrix}
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+Hinweis:&nbsp; Die Aufgabe bezieht sich auf die Seite&nbsp;  [[Kanalcodierung/Fehlerkorrektur_nach_Reed%E2%80%93Solomon%E2%80%93Codierung#Schritt_.28A.29:_Auswertung_des_Syndroms_beim_BDD| "Schritt&nbsp; $\rm (A)$: Auswertung des Syndroms beim BDD"]]&nbsp; des Kapitels&nbsp; "Fehlerdeccodierung nach Reed&ndash;Solomon&ndash;Codierung".
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 ===Fragebogen===
 <quiz display=simple>
-{Empfangen wurde&nbsp; $\underline{y} = (\alpha, \, 0, \, \alpha^3, \, 0, \, 1, \, \alpha, \, 0)$. Geben Sie das erste Element des Syndroms&nbsp; $\underline{s} = (s_0, \, s_1, \, s_2)$&nbsp; an.
+{Empfangen wurde das Wort &nbsp; $\underline{y} = (\alpha, \, 0, \, \alpha^3, \, 0, \, 1, \, \alpha, \, 0)$.&nbsp; Geben Sie das erste Element des Syndroms&nbsp; $\underline{s} = (s_0, \, s_1, \, s_2)$&nbsp; an.
 |type="()"}
 + $s_0 = \alpha^4$,
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 - $s_2 = 0, \, 1, \, \alpha, \, \alpha^2$ oder $\alpha^3$.
-{Bekannt ist, dass das vorliegende Empfangswort&nbsp; $\underline{y}$&nbsp; richtig decodiert werden kann. Wieviele Symbolfehler beinhaltet das Empfangswort?
+{Bekannt ist,&nbsp; dass das vorliegende Empfangswort&nbsp; $\underline{y}$&nbsp; richtig decodiert werden kann.&nbsp; Wieviele Symbolfehler beinhaltet dieses Empfangswort?
 |type="{}"}
 $r \ = \ ${ 1 3% }

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−	'''(4)'''  Aufgrund des errechneten Syndroms $\underline{s} = (\alpha^4, \, \alpha^5, \, \alpha^6) ≠ 0$ beinhaltet das Empfangswort mindestens einen Symbolfehler   ⇒   $r > 0$. ~~Da der~~ vorliegende Reed–Solomon–Code $(7, \, 4, \, 4)_8 \ \Rightarrow \ d_{\rm min} = 4$ ~~auch~~ nicht mehr als $t = &lfloor;d_{\rm min}/2&rfloor; = 1$ Fehler korrigieren ~~kann und~~ das Empfangswort gemäß der Angabe tatsächlich decodiert werden kann, gilt $\underline{r = 1}$.	+	'''(4)'''  Aufgrund des errechneten Syndroms $\underline{s} = (\alpha^4, \, \alpha^5, \, \alpha^6) ≠ 0$ beinhaltet das Empfangswort mindestens einen Symbolfehler   ⇒   $r > 0$.
		+	*Der vorliegende Reed–Solomon–Code $(7, \, 4, \, 4)_8 \ \Rightarrow \ d_{\rm min} = 4$ kann nicht mehr als $t = &lfloor;d_{\rm min}/2&rfloor; = 1$ Fehler korrigieren.
		+	* Da das Empfangswort gemäß der Angabe tatsächlich decodiert werden kann, gilt  $\underline{r = 1}$.
	{{ML-Fuß}}		{{ML-Fuß}}

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 {{quiz-Header|Buchseite=Kanalcodierung/Fehlerkorrektur nach Reed–Solomon–Codierung}}
-[[Datei:P_ID2559__KC_T_2_5_Darstellung.png|right|frame|Umrechnungstabellen für das Galoisfeld $\rm GF(2^3)$]]
+[[Datei:P_ID2559__KC_T_2_5_Darstellung.png|right|frame|Umrechnungstabelle für das Galoisfeld&nbsp; $\rm GF(2^3)$]]
-Wie in der [[Aufgaben:Aufgabe_2.12:_Decodierung_beim_RSC_(7,_4,_4)_zur_Basis_8|Aufgabe 2.12]] betrachten wir den Reed&ndash;Solomon&ndash;Code $(7, \, 4, \, 4)_8$, der auf dem Galoisfeld ${\rm GF}(q)$ mit $q = 8 = 2^3$ basiert. Die Grafik zeigt die zugehörige Umrechnungstabelle.
+Wie in der&nbsp; [[Aufgaben:Aufgabe_2.12:_Decodierung_beim_RSC_(7,_4,_4)_zur_Basis_8|Aufgabe 2.12]]&nbsp; betrachten wir den Reed&ndash;Solomon&ndash;Code&nbsp; $(7, \, 4, \, 4)_8$, der auf dem Galoisfeld&nbsp; ${\rm GF}(q)$&nbsp; mit&nbsp; $q = 8 = 2^3$&nbsp; basiert. Die Grafik zeigt die zugehörige Umrechnungstabelle.
-Gegeben sind die möglichen Codesymbole in Exponentendarstellung (Potenzen von $\alpha$) sowie in Polynom&ndash; und Koeffizientenvektordarstellung.
+Gegeben sind die möglichen Codesymbole in Exponentendarstellung $($Potenzen von&nbsp; $\alpha)$&nbsp; sowie in Polynom&ndash; und Koeffizientenvektordarstellung.
-Vorgegeben ist das Empfangswort $\underline{y} = (\alpha, \, 0, \, \alpha^3, \, 0, \, 1, \, \alpha, \, 0)$. Anhand des Syndroms
+Vorgegeben ist das Empfangswort&nbsp; $\underline{y} = (\alpha, \, 0, \, \alpha^3, \, 0, \, 1, \, \alpha, \, 0)$. Anhand des Syndroms
 :$$\underline {s} = (s_0, s_1, s_2) = \underline {y}  \cdot { \boldsymbol{\rm H }}^{\rm T}$$
-soll überprüft werden, ob einzelne Symbole des Empfangsvektors $\underline{y}$ bei der Übertragung verfälscht wurden. Gegeben ist hierzu die Prüfmatrix $\mathbf{H}$ des betrachteten Codes und deren Transponierte:
+soll überprüft werden, ob einzelne Symbole des Empfangsvektors&nbsp; $\underline{y}$&nbsp; bei der Übertragung verfälscht wurden. Gegeben ist hierzu die Prüfmatrix&nbsp; $\mathbf{H}$&nbsp; des betrachteten Codes und deren Transponierte:
 :$${ \boldsymbol{\rm H}} =
 \begin{pmatrix}
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-''Hinweise:''
-* Die Aufgabe bezieht auf die Seite  [[Kanalcodierung/Fehlerkorrektur_nach_Reed%E2%80%93Solomon%E2%80%93Codierung#Schritt_.28A.29:_Auswertung_des_Syndroms_beim_BDD| Schritt '''(A)''': Auswertung des Syndroms beim BDD]] des Kapitels &bdquo;Fehlercodierung nach Reed&ndash;Solomon&ndash;Codierung&rdquo;.
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 ===Fragebogen===
 <quiz display=simple>
-{Empfangen wurde $\underline{y} = (\alpha, \, 0, \, \alpha^3, \, 0, \, 1, \, \alpha, \, 0)$. Geben Sie das erste Element des Syndroms $\underline{s} = (s_0, \, s_1, \, s_2)$ an.
+{Empfangen wurde&nbsp; $\underline{y} = (\alpha, \, 0, \, \alpha^3, \, 0, \, 1, \, \alpha, \, 0)$. Geben Sie das erste Element des Syndroms&nbsp; $\underline{s} = (s_0, \, s_1, \, s_2)$&nbsp; an.
 |type="()"}
 + $s_0 = \alpha^4$,
 - $s_0 = \alpha^5$,
 - $s_0 = \alpha^6$,
-- $s_0 = 0, \, 1, \, \alpha, \, \alpha^2$ oder $\alpha^3$.
+- $s_0 = 0, \, 1, \, \alpha, \, \alpha^2$&nbsp; oder&nbsp; $\alpha^3$.
 {Wie lautet bei gleichem Empfangswort das zweite Syndromelement?
@@ Zeile 52: / Zeile 55: @@
 + $s_1 = \alpha^5$,
 - $s_1 = \alpha^6$,
-- $s_1 = 0, \, 1, \, \alpha, \, \alpha^2$ oder $\alpha^3$.
+- $s_1 = 0, \, 1, \, \alpha, \, \alpha^2$&nbsp; oder&nbsp; $\alpha^3$.
 {Wie lautet bei gleichem Empfangswort das dritte Syndromelement?
@@ Zeile 61: / Zeile 64: @@
 - $s_2 = 0, \, 1, \, \alpha, \, \alpha^2$ oder $\alpha^3$.
-{Bekannt ist, dass das vorliegende Empfangswort $\underline{y}$ decodiert werden kann. Wieviele Symbolfehler beinhaltet das Empfangswort?
+{Bekannt ist, dass das vorliegende Empfangswort&nbsp; $\underline{y}$&nbsp; richtig decodiert werden kann. Wieviele Symbolfehler beinhaltet das Empfangswort?
 |type="{}"}
 $r \ = \ ${ 1 3% }

@@ Zeile 33: / Zeile 33: @@
 ''Hinweise:''
 * Die Aufgabe bezieht auf die Seite  [[Kanalcodierung/Fehlerkorrektur_nach_Reed%E2%80%93Solomon%E2%80%93Codierung#Schritt_.28A.29:_Auswertung_des_Syndroms_beim_BDD| Schritt '''(A)''': Auswertung des Syndroms beim BDD]] des Kapitels &bdquo;Fehlercodierung nach Reed&ndash;Solomon&ndash;Codierung&rdquo;.
-* Sollte die Eingabe des Zahlenwertes &bdquo;0&rdquo; erforderlich sein, so geben Sie bitte &bdquo;0.&rdquo; ein.

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−	[[Category:Aufgaben zu Kanalcodierung\|^2.5 Fehlerkorrektur nach ~~Reed–Solomon–Codierung~~^]]	+	[[Category:Aufgaben zu Kanalcodierung\|^2.5 Fehlerkorrektur nach RSC^]]

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−	'''(4)'''  Aufgrund des errechneten Syndroms $\underline{s} = (\alpha^4, \, \alpha^5, \, \alpha^6) ≠ 0$ beinhaltet das Empfangswort mindestens einen Symbolfehler  ⇒  $r > 0$. Da der vorliegende Reed–Solomon–Code $(7, \, 4, \, 4)_8$ \ \Rightarrow \ d_{\rm min} = 4$ auch nicht mehr als $t = &lfloor;d_{\rm min}/2&rfloor; = 1$ Fehler korrigieren kann und das Empfangswort vereinbarungsgemäß ebenfalls decodiert werden kann, gilt $\underline{r = 1}$.	+	'''(4)'''  Aufgrund des errechneten Syndroms $\underline{s} = (\alpha^4, \, \alpha^5, \, \alpha^6) ≠ 0$ beinhaltet das Empfangswort mindestens einen Symbolfehler  ⇒  $r > 0$. Da der vorliegende Reed–Solomon–Code $(7, \, 4, \, 4)_8 \ \Rightarrow \ d_{\rm min} = 4$ auch nicht mehr als $t = &lfloor;d_{\rm min}/2&rfloor; = 1$ Fehler korrigieren kann und das Empfangswort vereinbarungsgemäß ebenfalls decodiert werden kann, gilt $\underline{r = 1}$.
	{{ML-Fuß}}		{{ML-Fuß}}