Aufgaben:Aufgabe 2.11Z: Nochmals Arithmetische Codierung - Versionsgeschichte

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2026-03-16T12:35:14Z

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← Nächstältere Version		Version vom 16. März 2026, 14:35 Uhr
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	[[Category:Aufgaben zu Informationstheorie\|^2.4 Weitere Quellencodierverfahren^]]		[[Category:Aufgaben zu Informationstheorie\|^2.4 Weitere Quellencodierverfahren^]]
			[[en:Aufgaben:Exercise_2.11Z:_Arithmetic_Coding_once_again]]

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2026-02-24T13:38:40Z

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← Nächstältere Version		Version vom 24. Februar 2026, 15:38 Uhr
Zeile 19:		Zeile 19:

	Beispielsweise steht für  $N_{\rm Bit} = 5$  der Binärcode  <b>01001</b>  für die folgende reellwertige Zahl  $r$:		Beispielsweise steht für  $N_{\rm Bit} = 5$  der Binärcode  <b>01001</b>  für die folgende reellwertige Zahl  $r$:
	:$$r = 0 \cdot 2^{-1}+1 \cdot 2^{-2}+0 \cdot 2^{-3}+0 \cdot 2^{-4}+1 \cdot 2^{-5} = 0.28125		:$$r = 0 \cdot 2^{-1}+1 \cdot 2^{-2}+0 \cdot 2^{-3}+0 \cdot 2^{-4}+1 \cdot 2^{-5} = 0.28125\hspace{0.05cm}. $$
	\hspace{0.05cm}. $$


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	'''(1)'''  Das ausgewählte Intervall beginnt bei  $B_3 = 0.343$  und endet bei  $E_3 = 0.392$.		'''(1)'''  Das ausgewählte Intervall beginnt bei  $B_3 = 0.343$  und endet bei  $E_3 = 0.392$.
	*Die Intervallbreite ist somit  ${\it \Delta}_3 = 0.049$  und damit gilt mit dem &bdquo;Logarithmus dualis”:		*Die Intervallbreite ist somit  ${\it \Delta}_3 = 0.049$  und damit gilt mit dem &bdquo;Logarithmus dualis”:
	:$$N_{\rm Bit} = {\rm log_2} \hspace{0.15cm} \left\lceil \frac{1}{0.049}\right\rceil+1\hspace{0.15cm}\underline{= 6}		:$$N_{\rm Bit} = {\rm log_2} \hspace{0.15cm} \left\lceil \frac{1}{0.049}\right\rceil+1\hspace{0.15cm}\underline{= 6}\hspace{0.05cm}.$$
	\hspace{0.05cm}.$$


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	'''(3)'''  Hier ergibt sich mit dem Beginn  $B_7 = 0.3564456$  und dem Ende  $E_7 = 0.359807$  die Intervallbreite  ${\it \Delta}_7 = 0.0033614$  und damit		'''(3)'''  Hier ergibt sich mit dem Beginn  $B_7 = 0.3564456$  und dem Ende  $E_7 = 0.359807$  die Intervallbreite  ${\it \Delta}_7 = 0.0033614$  und damit
	:$$N_{\rm Bit} = \left\lceil {\rm log_2} \hspace{0.15cm} \frac{1}{0.0033614} \right\rceil + 1\hspace{0.15cm} =		:$$N_{\rm Bit} = \left\lceil {\rm log_2} \hspace{0.15cm} \frac{1}{0.0033614} \right\rceil + 1\hspace{0.15cm} =\left\lceil {\rm log_2} \hspace{0.15cm} 297.5 \right\rceil + 1\hspace{0.15cm} \underline{= 11}\hspace{0.05cm}.$$
	\left\lceil {\rm log_2} \hspace{0.15cm} 297.5 \right\rceil + 1\hspace{0.15cm} \underline{= 11}
	\hspace{0.05cm}.$$



	'''(4)'''  Die Binärdarstellung des Codes  <b>01011100001</b>  ergibt		'''(4)'''  Die Binärdarstellung des Codes  <b>01011100001</b>  ergibt
	:$$2^{-2}+ 2^{-4}+ 2^{-5}+ 2^{-6}+ 2^{-11} = 0.3598632813 > E_7		:$$2^{-2}+ 2^{-4}+ 2^{-5}+ 2^{-6}+ 2^{-11} = 0.3598632813 > E_7\hspace{0.05cm}.$$
	\hspace{0.05cm}.$$
	*Richtig ist also <u>NEIN</u>.  Der gültige arithmetische Code ist  $\rm AC =$  <b>01011011101</b>, wegen		*Richtig ist also <u>NEIN</u>.  Der gültige arithmetische Code ist  $\rm AC =$  <b>01011011101</b>, wegen
	:$$2^{-2}+ 2^{-4}+ 2^{-5}+ 2^{-7}+ 2^{-8}+ 2^{-9}+ 2^{-11} =0.3579101563 \hspace{0.3cm}		:$$2^{-2}+ 2^{-4}+ 2^{-5}+ 2^{-7}+ 2^{-8}+ 2^{-9}+ 2^{-11} =0.3579101563 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} B_7 \le 0.3579101563 < E_7.$$
	\Rightarrow \hspace{0.3cm} B_7 \le 0.3579101563 < E_7.$$

Guenter am 12. August 2021 um 13:46 Uhr

2021-08-12T13:46:55Z

← Nächstältere Version		Version vom 12. August 2021, 15:46 Uhr
Zeile 75:		Zeile 75:
	{{ML-Kopf}}		{{ML-Kopf}}
	'''(1)'''  Das ausgewählte Intervall beginnt bei  $B_3 = 0.343$  und endet bei  $E_3 = 0.392$.		'''(1)'''  Das ausgewählte Intervall beginnt bei  $B_3 = 0.343$  und endet bei  $E_3 = 0.392$.
	*Die Intervallbreite ist somit  ${\it \Delta}_3 = 0.049$  und damit gilt mit dem ~~<i>~~Logarithmus dualis~~</i>~~:		*Die Intervallbreite ist somit  ${\it \Delta}_3 = 0.049$  und damit gilt mit dem &bdquo;Logarithmus dualis”:
	:$$N_{\rm Bit} = {\rm log_2} \hspace{0.15cm} \left\lceil \frac{1}{0.049}\right\rceil+1\hspace{0.15cm}\underline{= 6}		:$$N_{\rm Bit} = {\rm log_2} \hspace{0.15cm} \left\lceil \frac{1}{0.049}\right\rceil+1\hspace{0.15cm}\underline{= 6}
	\hspace{0.05cm}.$$		\hspace{0.05cm}.$$
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	: $H_4 = 2^{-2} + 2^{-2} = 0.3125$   ⇒   gehört nicht zum Intervall  $I$.		: $H_4 = 2^{-2} + 2^{-4} = 0.3125$   ⇒   gehört nicht zum Intervall  $I$.

	: $H_5 = H_4 +2^{-5} = 0.34375 \in I$   ⇒   Binärdarstellung:   '''0.01011'''  ⇒  Code:   <b>01011</b>.		: $H_5 = H_4 +2^{-5} = 0.34375 \in I$   ⇒   Binärdarstellung:   '''0.01011'''  ⇒  Code:   <b>01011</b>.
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	'''(5)'''  <u>Alle Aussagen</u> sind richtig. Siehe auch:		'''(5)'''  <u>Alle hier gemachten Aussagen</u> sind richtig. Siehe auch:
	:Bodden, E.; Clasen, M.; Kneis, J.: Algebraische Kodierung. Proseminar, Lehrstuhl für Informatik IV, RWTH Aachen, 2002.		:Bodden, E.; Clasen, M.; Kneis, J.: Algebraische Kodierung. Proseminar, Lehrstuhl für Informatik IV, RWTH Aachen, 2002.
	{{ML-Fuß}}		{{ML-Fuß}}

Guenter am 12. August 2021 um 13:37 Uhr

2021-08-12T13:37:00Z

← Nächstältere Version		Version vom 12. August 2021, 15:37 Uhr
Zeile 14:		Zeile 14:

	* Das Intervall  $I$  wird bestimmt durch den Beginn  $B$, das Ende  $E$,  die Intervallbreite  ${\it \Delta} = E-B$  sowie die Intervallmitte  $M = (B+E)/2$.		* Das Intervall  $I$  wird bestimmt durch den Beginn  $B$, das Ende  $E$,  die Intervallbreite  ${\it \Delta} = E-B$  sowie die Intervallmitte  $M = (B+E)/2$.
	* Das Intervall  $I$  wird gekennzeichnet durch die Binärdarstellung (mit begrenzter Auflösung) eines beliebigen reellen Zahlenwertes  $r \in I$.  Beispielsweise wählt man  $r \approx M$.		* Das Intervall  $I$  wird gekennzeichnet durch die Binärdarstellung  (mit begrenzter Auflösung)  eines beliebigen reellen Zahlenwertes  $r \in I$.  Beispielsweise wählt man  $r \approx M$.
	* Die erforderliche Bitanzahl ergibt sich aus der Intervallbreite nach folgender Gleichung (die nach unten offenen eckigen Klammern bedeuten &bdquo;nach oben runden”):		* Die erforderliche Bitanzahl ergibt sich aus der Intervallbreite nach folgender Gleichung  (die nach unten offenen eckigen Klammern bedeuten &bdquo;nach oben runden”):
	:$$N_{\rm Bit} = \left\lceil{\rm log_2} \hspace{0.15cm} 1/{\it \Delta} \right\rceil+1\hspace{0.05cm}. $$		:$$N_{\rm Bit} = \left\lceil{\rm log_2} \hspace{0.15cm} 1/{\it \Delta} \right\rceil+1\hspace{0.05cm}. $$

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	''Hinweise:''		<u>Hinweise:</u>
	*Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Informationstheorie/Weitere_Quellencodierverfahren\|Weitere Quellencodierverfahren]].		*Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Informationstheorie/Weitere_Quellencodierverfahren\|Weitere Quellencodierverfahren]].
	*Insbesondere wird Bezug genommen auf die Seite  [[Informationstheorie/Weitere_Quellencodierverfahren#Arithmetische_Codierung\|Arithmetische Codierung]].		*Insbesondere wird Bezug genommen auf die Seite  [[Informationstheorie/Weitere_Quellencodierverfahren#Arithmetische_Codierung\|Arithmetische Codierung]].

Guenter am 28. Januar 2020 um 13:44 Uhr

2020-01-28T13:44:03Z

← Nächstältere Version		Version vom 28. Januar 2020, 15:44 Uhr
Zeile 44:		Zeile 44:

	{Welcher arithmetischer Code  $\rm (AC)$  gilt für diesen Fall?		{Welcher arithmetischer Code  $\rm (AC)$  gilt für diesen Fall?
	\|type="[]"}		\|type="()"}
	- $\rm AC = $  <b>01011</b>,		- $\rm AC = $  <b>01011</b>,
	+ $\rm AC = $  <b>010111</b>,		+ $\rm AC = $  <b>010111</b>,
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	===Musterlösung===		===Musterlösung===
	{{ML-Kopf}}		{{ML-Kopf}}
	'''(1)'''  Das ausgewählte Intervall beginnt bei $B_3 = 0.343$ und endet bei $E_3 = 0.392$. Die Intervallbreite ist somit ~~<i>~~&Delta~~;</i><sub>3</sub>~~ = 0.049 und damit gilt mit dem <i>Logarithmus dualis</i>:		'''(1)'''  Das ausgewählte Intervall beginnt bei  $B_3 = 0.343$  und endet bei  $E_3 = 0.392$.
			*Die Intervallbreite ist somit  ${\it \Delta}_3 = 0.049$  und damit gilt mit dem <i>Logarithmus dualis</i>:
	:$$N_{\rm Bit} = {\rm log_2} \hspace{0.15cm} \left\lceil \frac{1}{0.049}\right\rceil+1\hspace{0.15cm}\underline{= 6}		:$$N_{\rm Bit} = {\rm log_2} \hspace{0.15cm} \left\lceil \frac{1}{0.049}\right\rceil+1\hspace{0.15cm}\underline{= 6}
	\hspace{0.05cm}.$$		\hspace{0.05cm}.$$


	'''(2)'''  Das ausgewählte Intervall ergibt sich zu $I = \big[0.343, 0.392\big)$.		'''(2)'''  Das ausgewählte Intervall ergibt sich zu  $I = \big[0.343, \ 0.392\big)$.
	*Die Mitte liegt bei $M_3 = 0.3675$.		*Die Mitte liegt bei  $M_3 = 0.3675$.
	*Zur Bestimmung des arithmetischen Codes versuchen wir, die Intervallmitte durch eine Binärdarstellung möglichst gut zu erreichen.		*Zur Bestimmung des arithmetischen Codes versuchen wir, die Intervallmitte durch eine Binärdarstellung möglichst gut zu erreichen.
	*Da uns gerade kein entsprechendes Tool zur Lösung dieser Aufgabe zur Verfügung steht, gehen wir von folgenden Nebenrechnungen aus:		*Da uns gerade kein entsprechendes Tool zur Lösung dieser Aufgabe zur Verfügung steht, gehen wir von folgenden Nebenrechnungen aus:

	~~: $H_4 = 2^{-2} + 2^{-2} = 0.3125$   ⇒   gehört nicht zum Intervall $I$.~~

	: $~~H_5~~ = ~~H_4~~ +2^{-5} = 0.~~34375 \in I~~$   ⇒   ~~Binärdarstellung: '''0.01011'''~~  ~~⇒  Code:   <b>01011</b>~~.		: $H_4 = 2^{-2} + 2^{-2} = 0.3125$   ⇒   gehört nicht zum Intervall  $I$.

	: $~~H_6~~ = ~~H_5~~ +2^{-6} = 0.~~359375~~ \in I$   ⇒   Binärdarstellung: '''0.~~010111~~'''  ⇒  Code:   <b>~~010111~~</b>.		: $H_5 = H_4 +2^{-5} = 0.34375 \in I$   ⇒   Binärdarstellung:   '''0.01011'''  ⇒  Code:   <b>01011</b>.

	: $~~H_7~~ = ~~H_6~~ +2^{-7} = 0.~~3671875~~ \in I$   ⇒   Binärdarstellung: '''0.~~0101111~~'''  ⇒  Code:   <b>~~0101111~~</b>.		: $H_6 = H_5 +2^{-6} = 0.359375 \in I$   ⇒   Binärdarstellung:   '''0.010111'''  ⇒  Code:   <b>010111</b>.

	: $~~H_{12}~~ = ~~H_7~~ +2^{-12} = 0.~~3674316406~~ \in I$   ⇒   Binärdarstellung: '''0.~~010111100001~~'''  ⇒  Code:   <b>~~010111100001~~</b>.		: $H_7 = H_6 +2^{-7} = 0.3671875 \in I$   ⇒   Binärdarstellung:   '''0.0101111'''  ⇒  Code:   <b>0101111</b>.

	~~Der entsprechende 6 Bit~~&~~ndash~~;~~Code lautet somit~~ '''AC''' = ~~<b>010111</b>  ~~ ⇒   ~~Richtig ist der~~ <u>~~Lösungsvorschlag 2~~</u>.		: $H_{12} = H_7 +2^{-12} = 0.3674316406 \in I$   ⇒   Binärdarstellung:   '''0.010111100001'''  ⇒  Code:   <b>010111100001</b>.

			Der entsprechende 6 Bit–Code lautet somit  $\rm AC =$  <b>010111</b>   ⇒   Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 2</u>.

	'''(3)'''  Hier ergibt sich mit dem Beginn $B_7 = 0.3564456$ und dem Ende $E_7 = 0.359807$ die Intervallbreite $\~~Delta_7~~ = 0.0033614$ und damit

			'''(3)'''  Hier ergibt sich mit dem Beginn  $B_7 = 0.3564456$  und dem Ende  $E_7 = 0.359807$  die Intervallbreite  ${\it \Delta}_7 = 0.0033614$  und damit
	:$$N_{\rm Bit} = \left\lceil {\rm log_2} \hspace{0.15cm} \frac{1}{0.0033614} \right\rceil + 1\hspace{0.15cm} =		:$$N_{\rm Bit} = \left\lceil {\rm log_2} \hspace{0.15cm} \frac{1}{0.0033614} \right\rceil + 1\hspace{0.15cm} =
	\left\lceil {\rm log_2} \hspace{0.15cm} 297.5 \right\rceil + 1\hspace{0.15cm} \underline{= 11}		\left\lceil {\rm log_2} \hspace{0.15cm} 297.5 \right\rceil + 1\hspace{0.15cm} \underline{= 11}
Zeile 103:		Zeile 106:


	'''(4)'''  Die Binärdarstellung des Codes <b>01011100001</b> ergibt
			'''(4)'''  Die Binärdarstellung des Codes  <b>01011100001</b>  ergibt
	:$$2^{-2}+ 2^{-4}+ 2^{-5}+ 2^{-6}+ 2^{-11} = 0.3598632813 > E_7		:$$2^{-2}+ 2^{-4}+ 2^{-5}+ 2^{-6}+ 2^{-11} = 0.3598632813 > E_7
	\hspace{0.05cm}.$$		\hspace{0.05cm}.$$
	Richtig ist also <u>NEIN</u>. Der gültige arithmetische Code ist ~~'''~~AC~~'''~~ = <b>01011011101</b>, wegen		*Richtig ist also <u>NEIN</u>.  Der gültige arithmetische Code ist  $\rm AC =$  <b>01011011101</b>, wegen
	:$$2^{-2}+ 2^{-4}+ 2^{-5}+ 2^{-7}+ 2^{-8}+ 2^{-9}+ 2^{-11} =0.3579101563 \hspace{0.3cm}		:$$2^{-2}+ 2^{-4}+ 2^{-5}+ 2^{-7}+ 2^{-8}+ 2^{-9}+ 2^{-11} =0.3579101563 \hspace{0.3cm}
	\Rightarrow \hspace{0.3cm} B_7 \le 0.3579101563 < E_7.$$		\Rightarrow \hspace{0.3cm} B_7 \le 0.3579101563 < E_7.$$

Guenter am 28. Januar 2020 um 13:32 Uhr

2020-01-28T13:32:01Z

← Nächstältere Version		Version vom 28. Januar 2020, 15:32 Uhr
Zeile 4:		Zeile 4:

	[[Datei:P_ID2473__Inf_A_2_12.png\|right\|frame\|Vorgegebene Intervallbereiche]]		[[Datei:P_ID2473__Inf_A_2_12.png\|right\|frame\|Vorgegebene Intervallbereiche]]
	Wir betrachten hier die arithmetische Codierung (~~'''~~AC~~'''~~). Alle notwendigen Informationen zu dieser Art von Entropiecodierung finden Sie in der [[Aufgaben:2.11_Arithmetische_Codierung\|Aufgabe 2.11]].		Wir betrachten hier die arithmetische Codierung  $(\rm AC)$.  Alle notwendigen Informationen zu dieser Art von Entropiecodierung finden Sie in der  [[Aufgaben:2.11_Arithmetische_Codierung\|Aufgabe 2.11]].

	Auch die Grafik ist das Ergebnis von Aufgabe 2.11. Die für die aktuelle Aufgabe wichtigen Zahlenwerte für die Codierschritte 3 und 7 sind farblich hervorgehoben:		Auch die Grafik ist das Ergebnis von Aufgabe 2.11.  Die für die aktuelle Aufgabe wichtigen Zahlenwerte für die Codierschritte 3 und 7 sind farblich hervorgehoben:
	* Das Intervall für $N= 3$ (Symbolfolge $\rm XXY$) beginnt bei $B_3 = 0.343$ und reicht bis ~~zum Endwert~~ $E_3 = 0.392$.		* Das Intervall für  $N= 3$  $($Symbolfolge  $\rm XXY)$  beginnt bei  $B_3 = 0.343$  und reicht bis  $E_3 = 0.392$.
	* Das ~~Intervall~~ für $N= 7$ (Symbolfolge $\rm XXYXXXZ$~~) wird durch~~ $B_7 = 0.3564456$ und $E_7 =0.359807$ ~~begrenzt~~.		* Das Intervallgrenzen für  $N= 7$  $($Symbolfolge  $\rm XXYXXXZ)$  sind  $B_7 = 0.3564456$  und  $E_7 =0.359807$.


	In dieser Aufgabe geht es nur um die Zuweisung von Binärfolgen zu den ausgewählten Intervallen. Vorgehensweise:		In dieser Aufgabe geht es nur um die Zuweisung von Binärfolgen zu den ausgewählten Intervallen. Vorgehensweise:

	* Das Intervall $I$ wird bestimmt durch den Beginn $B$, das Ende $E$, die Intervallbreite ${\it \Delta} = E-B$ sowie die Intervallmitte  $M = (B+E)/2$.		* Das Intervall  $I$  wird bestimmt durch den Beginn  $B$, das Ende  $E$,  die Intervallbreite  ${\it \Delta} = E-B$  sowie die Intervallmitte  $M = (B+E)/2$.
	* Das Intervall $I$ wird gekennzeichnet durch die Binärdarstellung (mit begrenzter Auflösung) eines beliebigen reellen Zahlenwertes $r \in I$ . Beispielsweise wählt man  $r \approx M$.		* Das Intervall  $I$  wird gekennzeichnet durch die Binärdarstellung (mit begrenzter Auflösung) eines beliebigen reellen Zahlenwertes  $r \in I$.  Beispielsweise wählt man  $r \approx M$.
	* Die erforderliche Bitanzahl ergibt sich aus der Intervallbreite nach folgender Gleichung (die nach unten offenen Klammern bedeuten &bdquo;nach oben runden”):		* Die erforderliche Bitanzahl ergibt sich aus der Intervallbreite nach folgender Gleichung (die nach unten offenen eckigen Klammern bedeuten &bdquo;nach oben runden”):
	:$$N_{\rm Bit} = \left\lceil{\rm log_2} \hspace{0.15cm} 1/{\it \Delta} \right\rceil+1\hspace{0.05cm}. $$		:$$N_{\rm Bit} = \left\lceil{\rm log_2} \hspace{0.15cm} 1/{\it \Delta} \right\rceil+1\hspace{0.05cm}. $$

	Beispielsweise steht für $N_{\rm Bit} = 5$ der Binärcode <b>01001</b> für die folgende reellwertige Zahl ~~<i>~~r~~</i>~~:		Beispielsweise steht für  $N_{\rm Bit} = 5$  der Binärcode  <b>01001</b>  für die folgende reellwertige Zahl  $r$:
	:$$r = 0 \cdot 2^{-1}+1 \cdot 2^{-2}+0 \cdot 2^{-3}+0 \cdot 2^{-4}+1 \cdot 2^{-5} = 0.28125		:$$r = 0 \cdot 2^{-1}+1 \cdot 2^{-2}+0 \cdot 2^{-3}+0 \cdot 2^{-4}+1 \cdot 2^{-5} = 0.28125
	\hspace{0.05cm}. $$		\hspace{0.05cm}. $$




Zeile 29:		Zeile 31:
	*Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Informationstheorie/Weitere_Quellencodierverfahren\|Weitere Quellencodierverfahren]].		*Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Informationstheorie/Weitere_Quellencodierverfahren\|Weitere Quellencodierverfahren]].
	*Insbesondere wird Bezug genommen auf die Seite  [[Informationstheorie/Weitere_Quellencodierverfahren#Arithmetische_Codierung\|Arithmetische Codierung]].		*Insbesondere wird Bezug genommen auf die Seite  [[Informationstheorie/Weitere_Quellencodierverfahren#Arithmetische_Codierung\|Arithmetische Codierung]].
	*Weitere Informationen zum Thema finden Sie auch in diesem  [https://de.wikipedia.org/wiki/Arithmetisches_Kodieren WIKIPEDIA-Artikel]		*Weitere Informationen zum Thema finden Sie auch in diesem  [https://de.wikipedia.org/wiki/Arithmetisches_Kodieren WIKIPEDIA-Artikel].


Zeile 36:		Zeile 38:

	<quiz display=simple>		<quiz display=simple>
	{Wie viele Bit werden zur Darstellung der Quellensymbolfolge $\rm XXY$   ⇒   $N = 3$ benutzt?		{Wie viele Bit werden zur Darstellung der Quellensymbolfolge  $\rm XXY$   ⇒   $N = 3$  benutzt?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$N_\text{Bit} \ = \ $ { 6 }		$N_\text{Bit} \ = \ $ { 6 }


	{Welcher arithmetischer Code (AC) gilt für diesen Fall?		{Welcher arithmetischer Code  $\rm (AC)$  gilt für diesen Fall?
	\|type="[]"}		\|type="[]"}
	- AC = <b>01011</b>,		- $\rm AC = $  <b>01011</b>,
	+ AC = <b>010111</b>,		+ $\rm AC = $  <b>010111</b>,
	- AC = <b>110111</b>.		- $\rm AC = $  <b>110111</b>.


	{Wie viele Bit werden zur Darstellung der Quellensymbolfolge $\rm XXYXXXZ$   ⇒   $N = 7$ benutzt?		{Wie viele Bit werden zur Darstellung der Quellensymbolfolge  $\rm XXYXXXZ$   ⇒   $N = 7$  benutzt?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$N_\text{Bit} \ = \ $ { 11 }		$N_\text{Bit} \ = \ $ { 11 }


	{Ist <b>01011100001</b> ein gültiger Code für die Quellensymbolfolge $\rm XXYXXXZ$?		{Ist  <b>01011100001</b>  ein gültiger Code für die Quellensymbolfolge  $\rm XXYXXXZ$?
	\|type="()"}		\|type="()"}
	- Ja.		- Ja.
Zeile 62:		Zeile 64:
	\|type="[]"}		\|type="[]"}
	+ Es handelt sich um eine gemeinsame Codierung ganzer Folgen.		+ Es handelt sich um eine gemeinsame Codierung ganzer Folgen.
	+ Eine 32 Bit–Rechnerarchitektur begrenzt die Folgenlänge $N$.		+ Eine 32 Bit–Rechnerarchitektur begrenzt die Folgenlänge  $N$.
	+ Dieses Problem lässt sich durch Integer–Realisierung umgehen.		+ Dieses Problem lässt sich durch Integer–Realisierung umgehen.
	+ Eine Integer–Realisierung erhöht die Codiergeschwindigkeit.		+ Eine Integer–Realisierung erhöht die Codiergeschwindigkeit.

Guenter am 2. Oktober 2018 um 12:43 Uhr

2018-10-02T12:43:34Z

← Nächstältere Version		Version vom 2. Oktober 2018, 14:43 Uhr
Zeile 54:		Zeile 54:

	{Ist <b>01011100001</b> ein gültiger Code für die Quellensymbolfolge $\rm XXYXXXZ$?		{Ist <b>01011100001</b> ein gültiger Code für die Quellensymbolfolge $\rm XXYXXXZ$?
	\|type="[]"}		\|type="()"}
	- Ja.		- Ja.
	+ Nein.		+ Nein.
Zeile 72:		Zeile 72:
	===Musterlösung===		===Musterlösung===
	{{ML-Kopf}}		{{ML-Kopf}}
	'''(1)'''  Das ausgewählte Intervall beginnt bei ~~<i>B</i><sub>3</sub>~~ = 0.343 und endet bei ~~<i>E</i><sub>3</sub>~~ = 0.392. Die Intervallbreite ist somit <i>Δ</i><sub>3</sub> = 0.049 und damit gilt mit dem <i>Logarithmus dualis</i>:		'''(1)'''  Das ausgewählte Intervall beginnt bei $B_3 = 0.343$ und endet bei $E_3 = 0.392$. Die Intervallbreite ist somit <i>Δ</i><sub>3</sub> = 0.049 und damit gilt mit dem <i>Logarithmus dualis</i>:
	:$$N_{\rm Bit} = {\rm log_2} \hspace{0.15cm} \left\lceil \frac{1}{0.049}\right\rceil+1\hspace{0.15cm}\underline{= 6}		:$$N_{\rm Bit} = {\rm log_2} \hspace{0.15cm} \left\lceil \frac{1}{0.049}\right\rceil+1\hspace{0.15cm}\underline{= 6}
	\hspace{0.05cm}.$$		\hspace{0.05cm}.$$

	'''(2)'''  Das ausgewählte Intervall ergibt sich zu <i>I</i> = [0.343, 0.392). Die Mitte liegt bei <i>M</i><sub>3</sub> = 0.3675. Zur Bestimmung des arithmetischen Codes versuchen wir, die Intervallmitte durch eine Binärdarstellung möglichst gut zu erreichen. Da uns gerade kein entsprechendes Tool zur Lösung dieser Aufgabe zur Verfügung steht, gehen wir von folgenden Nebenrechnungen aus:

	~~:<i>H</i><sub>4</sub> =~~ 2~~<sup>~~&~~ndash~~;~~2</sup> + 2<sup>–4</sup>~~ = 0.~~3125  ⇒  gehört nicht zum Intervall <i>I</i>~~.		'''(2)'''  Das ausgewählte Intervall ergibt sich zu $I = \big[0.343, 0.392\big)$.
			*Die Mitte liegt bei $M_3 = 0.3675$.
			*Zur Bestimmung des arithmetischen Codes versuchen wir, die Intervallmitte durch eine Binärdarstellung möglichst gut zu erreichen.
			*Da uns gerade kein entsprechendes Tool zur Lösung dieser Aufgabe zur Verfügung steht, gehen wir von folgenden Nebenrechnungen aus:

	:~~<i>H</i><sub>5</sub>~~ = ~~<i>H</i><sub>4</sub>~~ + 2~~<sup>–5</sup>~~ = 0.~~34375 ∈ <i>I</i>~~  ⇒  ~~Binärdarstellung: 0.01011  ⇒  Code: <b>01011</b>~~.		: $H_4 = 2^{-2} + 2^{-2} = 0.3125$   ⇒   gehört nicht zum Intervall $I$.

	:~~<i>H</i><sub>6</sub>~~ = ~~<i>H</i><sub>5</sub>~~ + 2~~<sup>–6</sup>~~ = 0.~~359375 ∈ <i>~~I~~</i>~~ ⇒  Binärdarstellung: 0.~~010111~~  ⇒  Code: <b>~~010111~~</b>.		: $H_5 = H_4 +2^{-5} = 0.34375 \in I$   ⇒   Binärdarstellung: '''0.01011'''  ⇒  Code:   <b>01011</b>.

	:~~<i>H</i><sub>7</sub>~~ = ~~<i>H</i><sub>6</sub>~~ + 2~~<sup>–7</sup>~~ = 0.~~3671875 ∈ <i>~~I~~</i>~~  ⇒  Binärdarstellung: 0.~~0101111~~  ⇒  Code: <b>~~0101111~~</b>.		: $H_6 = H_5 +2^{-6} = 0.359375 \in I$   ⇒   Binärdarstellung: '''0.010111'''  ⇒  Code:   <b>010111</b>.

	:~~<i>H</i><sub>12</sub>~~ = ~~<i>H</i><sub>7</sub>~~ + 2~~<sup>–12</sup>~~ = 0.~~3674316406 ∈ <i>~~I~~</i>~~ ⇒  ~~binär~~: 0.~~010111100001~~  ⇒  Code: <b>~~010111100001~~</b>.		: $H_7 = H_6 +2^{-7} = 0.3671875 \in I$   ⇒   Binärdarstellung: '''0.0101111'''  ⇒  Code:   <b>0101111</b>.

	~~Der entsprechende 6 Bit~~&~~ndash~~;~~Code lautet somit AC~~ = ~~<b>010111</b>~~   ⇒   ~~Richtig ist der~~ <u>~~Lösungsvorschlag 2~~</u>.		: $H_{12} = H_7 +2^{-12} = 0.3674316406 \in I$   ⇒   Binärdarstellung: '''0.010111100001'''  ⇒  Code:   <b>010111100001</b>.

	'''(3)'''  Hier ergibt sich mit dem Beginn ~~<i>B</i><sub>7</sub>~~ = 0.3564456 und dem Ende ~~<i>E</i><sub>7</sub>~~ = 0.359807 die Intervallbreite ~~<i>Δ</i><sub>7</sub>~~ = 0.0033614 und damit		Der entsprechende 6 Bit–Code lautet somit '''AC''' = <b>010111</b>   ⇒   Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 2</u>.


			'''(3)'''  Hier ergibt sich mit dem Beginn $B_7 = 0.3564456$ und dem Ende $E_7 = 0.359807$ die Intervallbreite $\Delta_7 = 0.0033614$ und damit
	:$$N_{\rm Bit} = \left\lceil {\rm log_2} \hspace{0.15cm} \frac{1}{0.0033614} \right\rceil + 1\hspace{0.15cm} =		:$$N_{\rm Bit} = \left\lceil {\rm log_2} \hspace{0.15cm} \frac{1}{0.0033614} \right\rceil + 1\hspace{0.15cm} =
	\left\lceil {\rm ld} \hspace{0.15cm} 297.5 \right\rceil + 1\hspace{0.15cm} \underline{= 11}		\left\lceil {\rm log_2} \hspace{0.15cm} 297.5 \right\rceil + 1\hspace{0.15cm} \underline{= 11}
	\hspace{0.05cm}.$$		\hspace{0.05cm}.$$


	'''(4)'''  Die Binärdarstellung des Codes <b>01011100001</b> ergibt		'''(4)'''  Die Binärdarstellung des Codes <b>01011100001</b> ergibt
	:$$2^{-2}+ 2^{-4}+ 2^{-5}+ 2^{-6}+ 2^{-11} = 0.3598632813 > E_7		:$$2^{-2}+ 2^{-4}+ 2^{-5}+ 2^{-6}+ 2^{-11} = 0.3598632813 > E_7
	\hspace{0.05cm}.$$		\hspace{0.05cm}.$$
	Richtig ist also <u>NEIN</u>. ~~Wegen~~		Richtig ist also <u>NEIN</u>. Der gültige arithmetische Code ist '''AC''' = <b>01011011101</b>, wegen
	:$$2^{-2}+ 2^{-4}+ 2^{-5}+ 2^{-7}+ 2^{-8}+ 2^{-9}+ 2^{-11} =0.3579101563 \hspace{0.3cm}		:$$2^{-2}+ 2^{-4}+ 2^{-5}+ 2^{-7}+ 2^{-8}+ 2^{-9}+ 2^{-11} =0.3579101563 \hspace{0.3cm}
	\Rightarrow \hspace{0.3cm} B_7 \le 0.3579101563 < E_7$$		\Rightarrow \hspace{0.3cm} B_7 \le 0.3579101563 < E_7.$$
	~~ist der gültige arithmetische Code gleich <b>01011011101</b>.~~

	'''(5)'''  <u>Alle Aussagen</u> sind richtig. Siehe auch:		'''(5)'''  <u>Alle Aussagen</u> sind richtig. Siehe auch:

Guenter am 2. Oktober 2018 um 12:15 Uhr

2018-10-02T12:15:08Z

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	''Hinweise:''		''Hinweise:''
	*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Informationstheorie/Weitere_Quellencodierverfahren\|Weitere Quellencodierverfahren]].		*Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Informationstheorie/Weitere_Quellencodierverfahren\|Weitere Quellencodierverfahren]].
	*Insbesondere wird Bezug genommen auf die Seite [[Informationstheorie/Weitere_Quellencodierverfahren#Arithmetische_Codierung\|Arithmetische Codierung]].		*Insbesondere wird Bezug genommen auf die Seite  [[Informationstheorie/Weitere_Quellencodierverfahren#Arithmetische_Codierung\|Arithmetische Codierung]].
	*Weitere Informationen zum Thema finden Sie auch in diesem [https://de.wikipedia.org/wiki/Arithmetisches_Kodieren WIKIPEDIA-Artikel]		*Weitere Informationen zum Thema finden Sie auch in diesem  [https://de.wikipedia.org/wiki/Arithmetisches_Kodieren WIKIPEDIA-Artikel]


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	<quiz display=simple>		<quiz display=simple>
	{Wie viele Bit werden zur Darstellung der Quellensymbolfolge ~~<b>~~XXY~~</b>~~   ⇒   $N = 3$ benutzt?		{Wie viele Bit werden zur Darstellung der Quellensymbolfolge $\rm XXY$   ⇒   $N = 3$ benutzt?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$N_\text{Bit} \ = \ $ { 6 }		$N_\text{Bit} \ = \ $ { 6 }
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	{Wie viele Bit werden zur Darstellung der Quellensymbolfolge ~~<b>~~XXYXXXZ~~</b>~~   ⇒   $N = 7$ benutzt?		{Wie viele Bit werden zur Darstellung der Quellensymbolfolge $\rm XXYXXXZ$   ⇒   $N = 7$ benutzt?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$N_\text{Bit} \ = \ $ { 11 }		$N_\text{Bit} \ = \ $ { 11 }


	{Ist <b>01011100001</b> ein gültiger Code für die Quellensymbolfolge ~~<b>~~XXYXXXZ~~</b>~~?		{Ist <b>01011100001</b> ein gültiger Code für die Quellensymbolfolge $\rm XXYXXXZ$?
	\|type="[]"}		\|type="[]"}
	- Ja.		- Ja.

Guenter am 2. Oktober 2018 um 12:12 Uhr

2018-10-02T12:12:31Z

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	}}		}}

	[[Datei:P_ID2473__Inf_A_2_12.png\|right\|Intervallbereiche ~~für die Arithmetische Codierung~~]]		[[Datei:P_ID2473__Inf_A_2_12.png\|right\|frame\|Vorgegebene Intervallbereiche]]
	Wir betrachten hier die arithmetische Codierung (AC). Alle notwendigen Informationen zu dieser Art von Entropiecodierung finden Sie in der [[Aufgaben:2.11_Arithmetische_Codierung\|Aufgabe 2.11]].		Wir betrachten hier die arithmetische Codierung ('''AC'''). Alle notwendigen Informationen zu dieser Art von Entropiecodierung finden Sie in der [[Aufgaben:2.11_Arithmetische_Codierung\|Aufgabe 2.11]].

	Auch die Grafik ist das Ergebnis von Aufgabe 2.11. Die für die aktuelle Aufgabe wichtigen Zahlenwerte für die Codierschritte 3 und 7 sind farblich hervorgehoben:		Auch die Grafik ist das Ergebnis von Aufgabe 2.11. Die für die aktuelle Aufgabe wichtigen Zahlenwerte für die Codierschritte 3 und 7 sind farblich hervorgehoben:
	* Das Intervall für $N= 3$ (Symbolfolge ~~<b>~~XXY~~</b>~~) beginnt bei $B_3 = 0.343$ und reicht bis zum Endwert $E_3 = 0.392$.		* Das Intervall für $N= 3$ (Symbolfolge $\rm XXY$) beginnt bei $B_3 = 0.343$ und reicht bis zum Endwert $E_3 = 0.392$.
	* Das Intervall für $N= 7$ (Symbolfolge ~~<b>~~XXYXXXZ~~</b>~~) ~~beginnt bei~~ $B_7 = 0.3564456$ und ~~endet bei~~ $E_7 =0.359807$.		* Das Intervall für $N= 7$ (Symbolfolge $\rm XXYXXXZ$) wird durch $B_7 = 0.3564456$ und $E_7 =0.359807$ begrenzt.

	~~In dieser Aufgabe geht es nur um die Zuweisung von Binärfolgen zu den ausgewählten Intervallen. Man geht wie folgt vor:~~

	* Das Intervall $I$ wird bestimmt durch den Beginn $B$, das Ende $E$, die Intervallbreite ${\it \Delta} = E-B$ sowie die Intervallmitte $M = (B+E)/2$.		In dieser Aufgabe geht es nur um die Zuweisung von Binärfolgen zu den ausgewählten Intervallen. Vorgehensweise:
	* Das Intervall $I$ wird gekennzeichnet durch die Binärdarstellung (mit begrenzter Auflösung) eines beliebigen reellen Zahlenwertes $r \in I$ . Beispielsweise wählt man $r \approx M$.
			* Das Intervall $I$ wird bestimmt durch den Beginn $B$, das Ende $E$, die Intervallbreite ${\it \Delta} = E-B$ sowie die Intervallmitte  $M = (B+E)/2$.
			* Das Intervall $I$ wird gekennzeichnet durch die Binärdarstellung (mit begrenzter Auflösung) eines beliebigen reellen Zahlenwertes $r \in I$ . Beispielsweise wählt man  $r \approx M$.
	* Die erforderliche Bitanzahl ergibt sich aus der Intervallbreite nach folgender Gleichung (die nach unten offenen Klammern bedeuten &bdquo;nach oben runden”):		* Die erforderliche Bitanzahl ergibt sich aus der Intervallbreite nach folgender Gleichung (die nach unten offenen Klammern bedeuten &bdquo;nach oben runden”):
	:$$N_{\rm Bit} = \left\lceil{\rm log_2} \hspace{0.15cm} 1/{\it \Delta} \right\rceil+1\hspace{0.05cm}. $$		:$$N_{\rm Bit} = \left\lceil{\rm log_2} \hspace{0.15cm} 1/{\it \Delta} \right\rceil+1\hspace{0.05cm}. $$
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	:$$r = 0 \cdot 2^{-1}+1 \cdot 2^{-2}+0 \cdot 2^{-3}+0 \cdot 2^{-4}+1 \cdot 2^{-5} = 0.28125		:$$r = 0 \cdot 2^{-1}+1 \cdot 2^{-2}+0 \cdot 2^{-3}+0 \cdot 2^{-4}+1 \cdot 2^{-5} = 0.28125
	\hspace{0.05cm}. $$		\hspace{0.05cm}. $$





	''Hinweise:''		''Hinweise:''

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2018-10-02T12:04:32Z

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(kein Unterschied)