Aufgaben:Aufgabe 2.11Z: Nochmals Arithmetische Codierung - Versionsgeschichte

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 {{ML-Kopf}}
 '''(1)'''&nbsp; Das ausgewählte Intervall beginnt bei&nbsp; $B_3 = 0.343$&nbsp; und endet bei&nbsp; $E_3 = 0.392$.
-*Die Intervallbreite ist somit&nbsp; ${\it \Delta}_3 = 0.049$&nbsp; und damit gilt mit dem <i>Logarithmus dualis</i>:
+*Die Intervallbreite ist somit&nbsp; ${\it \Delta}_3 = 0.049$&nbsp; und damit gilt mit dem &bdquo;Logarithmus dualis&rdquo;:
 :$$N_{\rm Bit} = {\rm log_2} \hspace{0.15cm} \left\lceil \frac{1}{0.049}\right\rceil+1\hspace{0.15cm}\underline{= 6}
 \hspace{0.05cm}.$$
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-:&nbsp;$H_4 = 2^{-2} + 2^{-2} = 0.3125$ &nbsp; &#8658; &nbsp; gehört nicht zum Intervall&nbsp; $I$.
+:&nbsp;$H_4 = 2^{-2} + 2^{-4} = 0.3125$ &nbsp; &#8658; &nbsp; gehört nicht zum Intervall&nbsp; $I$.
 :&nbsp;$H_5 = H_4 +2^{-5} = 0.34375  \in I$  &nbsp; &#8658; &nbsp;  Binärdarstellung: &nbsp; '''0.01011'''  &nbsp;&#8658;&nbsp;  Code: &nbsp; <b>01011</b>.
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-'''(5)'''&nbsp; <u>Alle Aussagen</u> sind richtig. Siehe auch:
+'''(5)'''&nbsp; <u>Alle hier gemachten Aussagen</u> sind richtig. Siehe auch:
 :Bodden, E.; Clasen, M.; Kneis, J.: Algebraische Kodierung. Proseminar, Lehrstuhl für Informatik IV, RWTH Aachen, 2002.
 {{ML-Fuß}}

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 * Das Intervall&nbsp; $I$&nbsp; wird bestimmt durch den Beginn&nbsp; $B$, das Ende&nbsp; $E$,&nbsp; die Intervallbreite&nbsp; ${\it \Delta} = E-B$ &nbsp;sowie die Intervallmitte &nbsp;$M = (B+E)/2$.
-* Das Intervall&nbsp; $I$&nbsp; wird gekennzeichnet durch die Binärdarstellung (mit begrenzter Auflösung) eines beliebigen reellen Zahlenwertes&nbsp; $r \in I$.&nbsp; Beispielsweise wählt man &nbsp;$r \approx M$.
+* Das Intervall&nbsp; $I$&nbsp; wird gekennzeichnet durch die Binärdarstellung&nbsp; (mit begrenzter Auflösung)&nbsp; eines beliebigen reellen Zahlenwertes&nbsp; $r \in I$.&nbsp; Beispielsweise wählt man &nbsp;$r \approx M$.
-* Die erforderliche Bitanzahl ergibt sich aus der Intervallbreite nach folgender Gleichung (die nach unten offenen eckigen Klammern bedeuten &bdquo;nach oben runden&rdquo;):
+* Die erforderliche Bitanzahl ergibt sich aus der Intervallbreite nach folgender Gleichung&nbsp; (die nach unten offenen eckigen Klammern bedeuten &bdquo;nach oben runden&rdquo;):
 :$$N_{\rm Bit} =  \left\lceil{\rm log_2} \hspace{0.15cm} 1/{\it \Delta} \right\rceil+1\hspace{0.05cm}. $$
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-''Hinweise:''
+<u>Hinweise:</u>
 *Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Informationstheorie/Weitere_Quellencodierverfahren|Weitere Quellencodierverfahren]].
 *Insbesondere wird  Bezug genommen auf die Seite&nbsp; [[Informationstheorie/Weitere_Quellencodierverfahren#Arithmetische_Codierung|Arithmetische Codierung]].

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 {Welcher arithmetischer Code&nbsp; $\rm (AC)$&nbsp; gilt für diesen Fall?
-|type="[]"}
+|type="()"}
 - $\rm AC = $&nbsp;  <b>01011</b>,
 + $\rm AC = $&nbsp;  <b>010111</b>,
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 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; Das ausgewählte Intervall beginnt bei $B_3 = 0.343$ und endet bei $E_3 = 0.392$. Die Intervallbreite ist somit <i>&Delta;</i><sub>3</sub> = 0.049 und damit gilt mit dem <i>Logarithmus dualis</i>:
+'''(1)'''&nbsp; Das ausgewählte Intervall beginnt bei&nbsp; $B_3 = 0.343$&nbsp; und endet bei&nbsp; $E_3 = 0.392$.
 :$$N_{\rm Bit} = {\rm log_2} \hspace{0.15cm} \left\lceil \frac{1}{0.049}\right\rceil+1\hspace{0.15cm}\underline{= 6}
 \hspace{0.05cm}.$$
-'''(2)'''&nbsp; Das ausgewählte Intervall ergibt sich zu $I = \big[0.343, 0.392\big)$.
+'''(2)'''&nbsp; Das ausgewählte Intervall ergibt sich zu&nbsp; $I = \big[0.343, \ 0.392\big)$.
-*Die Mitte liegt bei $M_3 = 0.3675$.
+*Die Mitte liegt bei&nbsp; $M_3 = 0.3675$.
 *Zur Bestimmung des arithmetischen Codes versuchen wir, die Intervallmitte durch eine Binärdarstellung möglichst gut zu erreichen.
 *Da uns gerade kein entsprechendes Tool zur Lösung dieser Aufgabe zur Verfügung steht, gehen wir von folgenden Nebenrechnungen aus:
-:&nbsp;$H_5 = H_4 +2^{-5} = 0.34375  \in I$  &nbsp; &#8658; &nbsp;  Binärdarstellung: '''0.01011'''  &nbsp;&#8658;&nbsp;  Code: &nbsp; <b>01011</b>.
+:&nbsp;$H_4 = 2^{-2} + 2^{-2} = 0.3125$ &nbsp; &#8658; &nbsp; gehört nicht zum Intervall&nbsp; $I$.
-:&nbsp;$H_6 = H_5 +2^{-6} = 0.359375  \in I$  &nbsp; &#8658; &nbsp;  Binärdarstellung: '''0.010111'''  &nbsp;&#8658;&nbsp;  Code: &nbsp; <b>010111</b>.
+:&nbsp;$H_5 = H_4 +2^{-5} = 0.34375  \in I$  &nbsp; &#8658; &nbsp;  Binärdarstellung: &nbsp; '''0.01011'''  &nbsp;&#8658;&nbsp;  Code: &nbsp; <b>01011</b>.
-:&nbsp;$H_7 = H_6 +2^{-7} = 0.3671875  \in I$  &nbsp; &#8658; &nbsp;  Binärdarstellung: '''0.0101111'''  &nbsp;&#8658;&nbsp;  Code: &nbsp; <b>0101111</b>.
+:&nbsp;$H_6 = H_5 +2^{-6} = 0.359375  \in I$  &nbsp; &#8658; &nbsp;  Binärdarstellung: &nbsp; '''0.010111'''  &nbsp;&#8658;&nbsp;  Code: &nbsp; <b>010111</b>.
-:&nbsp;$H_{12} = H_7 +2^{-12} = 0.3674316406  \in I$  &nbsp; &#8658; &nbsp;  Binärdarstellung: '''0.010111100001'''  &nbsp;&#8658;&nbsp;  Code: &nbsp; <b>010111100001</b>.
+:&nbsp;$H_7 = H_6 +2^{-7} = 0.3671875  \in I$  &nbsp; &#8658; &nbsp;  Binärdarstellung: &nbsp; '''0.0101111'''  &nbsp;&#8658;&nbsp;  Code: &nbsp; <b>0101111</b>.
-Der entsprechende 6 Bit&ndash;Code lautet somit '''AC''' =  <b>010111</b> &nbsp;&nbsp;&#8658;&nbsp;&nbsp; Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 2</u>.
+:&nbsp;$H_{12} = H_7 +2^{-12} = 0.3674316406  \in I$  &nbsp; &#8658; &nbsp;  Binärdarstellung: &nbsp; '''0.010111100001'''  &nbsp;&#8658;&nbsp;  Code: &nbsp; <b>010111100001</b>.
-'''(3)'''&nbsp; Hier ergibt sich mit dem Beginn $B_7 = 0.3564456$ und dem Ende $E_7  = 0.359807$ die Intervallbreite $\Delta_7 = 0.0033614$ und damit
 :$$N_{\rm Bit} = \left\lceil  {\rm log_2} \hspace{0.15cm} \frac{1}{0.0033614} \right\rceil + 1\hspace{0.15cm} =
 \left\lceil  {\rm log_2} \hspace{0.15cm} 297.5 \right\rceil + 1\hspace{0.15cm} \underline{= 11}
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 '''(4)'''&nbsp; Die Binärdarstellung des Codes <b>01011100001</b> ergibt
 :$$2^{-2}+ 2^{-4}+ 2^{-5}+ 2^{-6}+ 2^{-11} = 0.3598632813 > E_7
 \hspace{0.05cm}.$$
-Richtig ist also <u>NEIN</u>. Der gültige arithmetische Code ist '''AC''' = <b>01011011101</b>, wegen
+*Richtig ist also <u>NEIN</u>.&nbsp; Der gültige arithmetische Code ist&nbsp; $\rm AC =$&nbsp; <b>01011011101</b>, wegen
 :$$2^{-2}+ 2^{-4}+ 2^{-5}+ 2^{-7}+ 2^{-8}+ 2^{-9}+ 2^{-11} =0.3579101563 \hspace{0.3cm}
 \Rightarrow \hspace{0.3cm} B_7 \le 0.3579101563 <  E_7.$$

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 [[Datei:P_ID2473__Inf_A_2_12.png|right|frame|Vorgegebene Intervallbereiche]]
-Wir betrachten hier die arithmetische Codierung ('''AC'''). Alle notwendigen Informationen zu dieser Art von Entropiecodierung finden Sie in der [[Aufgaben:2.11_Arithmetische_Codierung|Aufgabe 2.11]].
+Wir betrachten hier die arithmetische Codierung&nbsp; $(\rm AC)$.&nbsp; Alle notwendigen Informationen zu dieser Art von Entropiecodierung finden Sie in der&nbsp; [[Aufgaben:2.11_Arithmetische_Codierung|Aufgabe 2.11]].
-Auch die Grafik ist das Ergebnis von Aufgabe 2.11. Die für die aktuelle Aufgabe wichtigen Zahlenwerte für die Codierschritte 3 und 7 sind farblich hervorgehoben:
+Auch die Grafik ist das Ergebnis von Aufgabe 2.11.&nbsp; Die für die aktuelle Aufgabe wichtigen Zahlenwerte für die Codierschritte 3 und 7 sind farblich hervorgehoben:
-* Das Intervall für $N= 3$ (Symbolfolge $\rm XXY$) beginnt bei $B_3 = 0.343$ und reicht bis zum Endwert $E_3 = 0.392$.
+* Das Intervall für&nbsp; $N= 3$&nbsp; $($Symbolfolge&nbsp; $\rm XXY)$&nbsp; beginnt bei&nbsp; $B_3 = 0.343$&nbsp; und reicht bis&nbsp; $E_3 = 0.392$.
-* Das Intervall für $N= 7$ (Symbolfolge $\rm XXYXXXZ$) wird durch $B_7 = 0.3564456$ und $E_7 =0.359807$ begrenzt.
+* Das Intervallgrenzen für&nbsp; $N= 7$&nbsp; $($Symbolfolge&nbsp; $\rm XXYXXXZ)$&nbsp; sind&nbsp; $B_7 = 0.3564456$&nbsp; und&nbsp; $E_7 =0.359807$.
 In dieser Aufgabe geht es nur um die Zuweisung von Binärfolgen zu den ausgewählten Intervallen. Vorgehensweise:
-* Das Intervall $I$ wird bestimmt durch den Beginn $B$, das Ende $E$, die Intervallbreite ${\it \Delta} = E-B$ sowie die Intervallmitte &nbsp;$M = (B+E)/2$.
+* Das Intervall&nbsp; $I$&nbsp; wird bestimmt durch den Beginn&nbsp; $B$, das Ende&nbsp; $E$,&nbsp; die Intervallbreite&nbsp; ${\it \Delta} = E-B$ &nbsp;sowie die Intervallmitte &nbsp;$M = (B+E)/2$.
-* Das Intervall $I$ wird gekennzeichnet durch die Binärdarstellung (mit begrenzter Auflösung) eines beliebigen reellen Zahlenwertes $r \in I$ . Beispielsweise wählt man &nbsp;$r \approx M$.
+* Das Intervall&nbsp; $I$&nbsp; wird gekennzeichnet durch die Binärdarstellung (mit begrenzter Auflösung) eines beliebigen reellen Zahlenwertes&nbsp; $r \in I$.&nbsp; Beispielsweise wählt man &nbsp;$r \approx M$.
-* Die erforderliche Bitanzahl ergibt sich aus der Intervallbreite nach folgender Gleichung (die nach unten offenen Klammern bedeuten &bdquo;nach oben runden&rdquo;):
+* Die erforderliche Bitanzahl ergibt sich aus der Intervallbreite nach folgender Gleichung (die nach unten offenen eckigen Klammern bedeuten &bdquo;nach oben runden&rdquo;):
 :$$N_{\rm Bit} =  \left\lceil{\rm log_2} \hspace{0.15cm} 1/{\it \Delta} \right\rceil+1\hspace{0.05cm}. $$
-Beispielsweise steht für $N_{\rm Bit} = 5$ der Binärcode <b>01001</b> für die folgende reellwertige Zahl <i>r</i>:
+Beispielsweise steht für&nbsp; $N_{\rm Bit} = 5$&nbsp; der Binärcode&nbsp; <b>01001</b>&nbsp; für die folgende reellwertige Zahl&nbsp; $r$:
 :$$r = 0 \cdot 2^{-1}+1 \cdot 2^{-2}+0 \cdot 2^{-3}+0 \cdot 2^{-4}+1 \cdot 2^{-5} = 0.28125
 \hspace{0.05cm}. $$
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 *Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Informationstheorie/Weitere_Quellencodierverfahren|Weitere Quellencodierverfahren]].
 *Insbesondere wird  Bezug genommen auf die Seite&nbsp; [[Informationstheorie/Weitere_Quellencodierverfahren#Arithmetische_Codierung|Arithmetische Codierung]].
-*Weitere Informationen zum Thema finden Sie auch in diesem&nbsp; [https://de.wikipedia.org/wiki/Arithmetisches_Kodieren WIKIPEDIA-Artikel]
+*Weitere Informationen zum Thema finden Sie auch in diesem&nbsp; [https://de.wikipedia.org/wiki/Arithmetisches_Kodieren WIKIPEDIA-Artikel].
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 <quiz display=simple>
-{Wie viele Bit werden zur Darstellung der Quellensymbolfolge $\rm XXY$ &nbsp; &rArr; &nbsp; $N = 3$ benutzt?
+{Wie viele Bit werden zur Darstellung der Quellensymbolfolge&nbsp; $\rm XXY$ &nbsp; &rArr; &nbsp; $N = 3$&nbsp; benutzt?
 |type="{}"}
 $N_\text{Bit} \ = \ $ { 6 }
-{Welcher arithmetischer Code (AC) gilt für diesen Fall?
+{Welcher arithmetischer Code&nbsp; $\rm (AC)$&nbsp; gilt für diesen Fall?
 |type="[]"}
-- AC = <b>01011</b>,
+- $\rm AC = $&nbsp;  <b>01011</b>,
-+ AC = <b>010111</b>,
++ $\rm AC = $&nbsp;  <b>010111</b>,
-- AC = <b>110111</b>.
+- $\rm AC = $&nbsp; <b>110111</b>.
-{Wie viele Bit werden zur Darstellung der Quellensymbolfolge $\rm XXYXXXZ$ &nbsp; &rArr; &nbsp; $N = 7$ benutzt?
+{Wie viele Bit werden zur Darstellung der Quellensymbolfolge&nbsp; $\rm XXYXXXZ$ &nbsp; &rArr; &nbsp; $N = 7$&nbsp; benutzt?
 |type="{}"}
 $N_\text{Bit} \ = \ $ { 11 }
-{Ist <b>01011100001</b> ein gültiger Code für die Quellensymbolfolge  $\rm XXYXXXZ$?
+{Ist&nbsp; <b>01011100001</b>&nbsp; ein gültiger Code für die Quellensymbolfolge&nbsp;  $\rm XXYXXXZ$?
 |type="()"}
 - Ja.
@@ Zeile 62: / Zeile 64: @@
 |type="[]"}
 + Es handelt sich um eine gemeinsame Codierung ganzer Folgen.
-+ Eine 32 Bit&ndash;Rechnerarchitektur begrenzt die Folgenlänge $N$.
++ Eine 32 Bit&ndash;Rechnerarchitektur begrenzt die Folgenlänge&nbsp; $N$.
 + Dieses Problem lässt sich durch Integer&ndash;Realisierung umgehen.
 + Eine Integer&ndash;Realisierung erhöht die Codiergeschwindigkeit.

@@ Zeile 54: / Zeile 54: @@
 {Ist <b>01011100001</b> ein gültiger Code für die Quellensymbolfolge  $\rm XXYXXXZ$?
-|type="[]"}
+|type="()"}
 - Ja.
 + Nein.
@@ Zeile 72: / Zeile 72: @@
 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; Das ausgewählte Intervall beginnt bei <i>B</i><sub>3</sub> = 0.343 und endet bei <i>E</i><sub>3</sub> = 0.392. Die Intervallbreite ist somit <i>&Delta;</i><sub>3</sub> = 0.049 und damit gilt mit dem <i>Logarithmus dualis</i>:
+'''(1)'''&nbsp; Das ausgewählte Intervall beginnt bei $B_3 = 0.343$ und endet bei $E_3 = 0.392$. Die Intervallbreite ist somit <i>&Delta;</i><sub>3</sub> = 0.049 und damit gilt mit dem <i>Logarithmus dualis</i>:
 :$$N_{\rm Bit} = {\rm log_2} \hspace{0.15cm} \left\lceil \frac{1}{0.049}\right\rceil+1\hspace{0.15cm}\underline{= 6}
 \hspace{0.05cm}.$$
-:<i>H</i><sub>4</sub> = 2<sup>&ndash;2</sup> + 2<sup>&ndash;4</sup> = 0.3125 &nbsp;&#8658;&nbsp; gehört nicht zum Intervall <i>I</i>.
+'''(2)'''&nbsp; Das ausgewählte Intervall ergibt sich zu $I = \big[0.343, 0.392\big)$.
-:<i>H</i><sub>5</sub> = <i>H</i><sub>4</sub> + 2<sup>&ndash;5</sup> = 0.34375 &#8712; <i>I</i>  &nbsp;&#8658;&nbsp;  Binärdarstellung: 0.01011  &nbsp;&#8658;&nbsp;  Code: <b>01011</b>.
+:&nbsp;$H_4 = 2^{-2} + 2^{-2} = 0.3125$ &nbsp; &#8658; &nbsp; gehört nicht zum Intervall $I$.
-:<i>H</i><sub>6</sub> = <i>H</i><sub>5</sub> + 2<sup>&ndash;6</sup> = 0.359375 &#8712; <i>I</i>&nbsp;&#8658;&nbsp;  Binärdarstellung: 0.010111  &nbsp;&#8658;&nbsp;  Code: <b>010111</b>.
+:&nbsp;$H_5 = H_4 +2^{-5} = 0.34375  \in I$  &nbsp; &#8658; &nbsp;  Binärdarstellung: '''0.01011'''  &nbsp;&#8658;&nbsp;  Code: &nbsp; <b>01011</b>.
-:<i>H</i><sub>7</sub> = <i>H</i><sub>6</sub> + 2<sup>&ndash;7</sup> = 0.3671875 &#8712; <i>I</i> &nbsp;&#8658;&nbsp;  Binärdarstellung: 0.0101111  &nbsp;&#8658;&nbsp;  Code: <b>0101111</b>.
+:&nbsp;$H_6 = H_5 +2^{-6} = 0.359375  \in I$  &nbsp; &#8658; &nbsp;  Binärdarstellung: '''0.010111'''  &nbsp;&#8658;&nbsp;  Code: &nbsp; <b>010111</b>.
-:<i>H</i><sub>12</sub> = <i>H</i><sub>7</sub> + 2<sup>&ndash;12</sup> = 0.3674316406 &#8712; <i>I</i>&nbsp;&#8658;&nbsp;  binär: 0.010111100001  &nbsp;&#8658;&nbsp;  Code: <b>010111100001</b>.
+:&nbsp;$H_7 = H_6 +2^{-7} = 0.3671875  \in I$  &nbsp; &#8658; &nbsp;  Binärdarstellung: '''0.0101111'''  &nbsp;&#8658;&nbsp;  Code: &nbsp; <b>0101111</b>.
-Der entsprechende 6 Bit&ndash;Code lautet somit AC =  <b>010111</b> &nbsp;&nbsp;&#8658;&nbsp;&nbsp; Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 2</u>.
+:&nbsp;$H_{12} = H_7 +2^{-12} = 0.3674316406  \in I$  &nbsp; &#8658; &nbsp;  Binärdarstellung: '''0.010111100001'''  &nbsp;&#8658;&nbsp;  Code: &nbsp; <b>010111100001</b>.
-'''(3)'''&nbsp; Hier ergibt sich mit dem Beginn <i>B</i><sub>7</sub> = 0.3564456 und dem Ende <i>E</i><sub>7</sub> = 0.359807 die Intervallbreite <i>&Delta;</i><sub>7</sub> = 0.0033614 und damit
+Der entsprechende 6 Bit&ndash;Code lautet somit '''AC''' =  <b>010111</b> &nbsp;&nbsp;&#8658;&nbsp;&nbsp; Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 2</u>.
 :$$N_{\rm Bit} = \left\lceil  {\rm log_2} \hspace{0.15cm} \frac{1}{0.0033614} \right\rceil + 1\hspace{0.15cm} =
-\left\lceil  {\rm ld} \hspace{0.15cm} 297.5 \right\rceil + 1\hspace{0.15cm} \underline{= 11}
+\left\lceil  {\rm log_2} \hspace{0.15cm} 297.5 \right\rceil + 1\hspace{0.15cm} \underline{= 11}
 \hspace{0.05cm}.$$
 '''(4)'''&nbsp; Die Binärdarstellung des Codes <b>01011100001</b> ergibt
 :$$2^{-2}+ 2^{-4}+ 2^{-5}+ 2^{-6}+ 2^{-11} = 0.3598632813 > E_7
 \hspace{0.05cm}.$$
-Richtig ist also <u>NEIN</u>. Wegen
+Richtig ist also <u>NEIN</u>. Der gültige arithmetische Code ist '''AC''' = <b>01011011101</b>, wegen
 :$$2^{-2}+ 2^{-4}+ 2^{-5}+ 2^{-7}+ 2^{-8}+ 2^{-9}+ 2^{-11} =0.3579101563 \hspace{0.3cm}
-\Rightarrow \hspace{0.3cm} B_7 \le 0.3579101563 <  E_7$$
+\Rightarrow \hspace{0.3cm} B_7 \le 0.3579101563 <  E_7.$$
-ist der gültige arithmetische Code gleich <b>01011011101</b>.
 '''(5)'''&nbsp; <u>Alle Aussagen</u> sind richtig. Siehe auch:

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 *Insbesondere wird  Bezug genommen auf die Seite [[Informationstheorie/Weitere_Quellencodierverfahren#Arithmetische_Codierung|Arithmetische Codierung]].
 *Weitere Informationen zum Thema finden Sie auch in diesem [https://de.wikipedia.org/wiki/Arithmetisches_Kodieren WIKIPEDIA-Artikel]
-*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes &bdquo;0&rdquo; erforderlich sein, so geben Sie bitte &bdquo;0.&rdquo; ein.