Aufgaben:Aufgabe 2.11Z: Erasure–Kanal für Symbole - Versionsgeschichte

Guenter am 21. Oktober 2022 um 13:41 Uhr

2022-10-21T13:41:29Z

Guenter am 21. Oktober 2022 um 13:31 Uhr

2022-10-21T13:31:29Z

Guenter am 21. Oktober 2022 um 13:30 Uhr

2022-10-21T13:30:16Z

Guenter am 24. Mai 2019 um 09:42 Uhr

2019-05-24T09:42:54Z

Guenter am 24. Mai 2019 um 09:37 Uhr

2019-05-24T09:37:12Z

Mwiki-lnt: Textersetzung - „* Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

2018-05-29T11:41:08Z

Textersetzung - „* Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

Guenter am 10. Januar 2018 um 16:20 Uhr

2018-01-10T16:20:01Z

Guenter am 10. Januar 2018 um 15:59 Uhr

2018-01-10T15:59:29Z

Guenter am 3. Januar 2018 um 09:51 Uhr

2018-01-03T09:51:11Z

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 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; Aufgrund der Symmetrie des vorgegebenen BEC&ndash;Modells (Auslöschungskanal auf Bitebene) gilt für die <i>Erasure</i>&ndash;Wahrscheinlichkeit:
+'''(1)'''&nbsp; Aufgrund der Symmetrie des vorgegebenen BEC&ndash;Modells&nbsp; (Auslöschungskanal auf Bitebene)&nbsp; gilt für die&nbsp; "Erasure"&ndash;Wahrscheinlichkeit:
 :$$\ {\rm Pr}(y = {\rm E}) = \lambda \ \underline{= 20\%}.$$
-Da die Codesymbole $0$ und $1$ gleichwahrscheinlich sind, erhält man für deren Wahrscheinlichkeiten ${\rm Pr}(y = 0) \ \underline{= 40\%}$ und ${\rm Pr}(y = 1) \ \underline{= 40\%}$.
+*Da die Codesymbole&nbsp; $0$&nbsp; und&nbsp; $1$&nbsp; gleichwahrscheinlich sind,&nbsp; erhält man für deren Wahrscheinlichkeiten &nbsp; ${\rm Pr}(y = 0) \ \underline{= 40\%}$ &nbsp; und &nbsp; ${\rm Pr}(y = 1) \ \underline{= 40\%}$.
-'''(2)'''&nbsp; Ohne Einschränkung der Allgemeingültigkeit gehen wir zur Lösung dieser Aufgabe vom Codesymbol $c_{\rm binär} = $ &bdquo;$00$&rdquo; aus.
+'''(2)'''&nbsp; Ohne Einschränkung der Allgemeingültigkeit gehen wir zur Lösung dieser Aufgabe vom&nbsp; Codesymbol&nbsp; $c_{\rm bin} = $ &bdquo;$00$&rdquo; aus.
-*Entsprechend dem 2&ndash;BEC&ndash;Modell kann dann das Empfangssymbol $y_{\rm binär}$ entweder &bdquo;$00$&rdquo; oder ausgelöscht $(\rm E)$ sein und es gilt:
+*Entsprechend dem&nbsp; $2$&ndash;BEC&ndash;Modell kann dann das Empfangssymbol&nbsp; $y_{\rm bin}$&nbsp; entweder&nbsp; &bdquo;$00$&rdquo;&nbsp; oder ausgelöscht&nbsp; $(\rm E)$&nbsp; sein und es gilt:
 :$${\rm Pr}(y_{\rm bin} = "00"\hspace{0.05cm} |\hspace{0.05cm} c_{\rm bin} = "00") \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} ( 1 - \lambda)^2 = 0.8^2 = 0.64 = 1 - \lambda_2\hspace{0.3cm}
 \Rightarrow \hspace{0.3cm} \lambda_2 \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} 1 - ( 1 - \lambda)^2 \hspace{0.15cm}\underline{= 36\%}\hspace{0.05cm}. $$
-*Hierbei ist vorausgesetzt, dass ein <i>Erasure</i> nur vermieden wird, wenn keines der zwei Bit ausgelöscht wurde.
+*Hierbei ist vorausgesetzt,&nbsp; dass ein&nbsp; "Erasure"&nbsp; nur vermieden wird,&nbsp; wenn keines der zwei Bit ausgelöscht wurde.
-'''(3)'''&nbsp; Der $\rm RSC \, (255, \, 223, \, 33)_{256}$ basiert auf dem Galoisfeld $\rm GF(256) = GF(2^8) \ \Rightarrow \ \it m = \rm 8$. Das Ergebnis der Teilaufgabe (2) muss nun an diesen Fall angepasst werden. Für den $8$&ndash;BEC gilt:
+'''(3)'''&nbsp; Der &nbsp; $\rm RSC \, (255, \, 223, \, 33)_{256}$ &nbsp; basiert auf dem Galoisfeld &nbsp; $\rm GF(256) = GF(2^8) \ \Rightarrow \ \it m = \rm 8$.
 :$$1 - \lambda_8 = ( 1 - \lambda)^8 = 0.8^8 \approx 0.168 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}
 \lambda_m = \lambda_8  \hspace{0.15cm}\underline{\approx 83.2\%}\hspace{0.05cm}. $$
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-'''(4)'''&nbsp; Aus der Bedingung $\lambda_m &#8804; 0.2$ folgt direkt $1 - \lambda_m &#8805; 0.8$. Daraus folgt weiter:
+'''(4)'''&nbsp; Aus der Bedingung &nbsp; $\lambda_m &#8804; 0.2$ &nbsp; folgt direkt:&nbsp; $1 - \lambda_m &#8805; 0.8$.&nbsp; Daraus folgt weiter:
 :$$( 1 - \lambda)^8 \ge 0.8  \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}
 - \lambda \ge 0.8^{0.125} \approx 0.9725 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}\lambda \hspace{0.15cm}
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 '''(5)'''&nbsp; Hier geht man wie folgt vor:
-*Mit $\lambda = 0.0275 \ \Rightarrow \ \lambda_m = 0.2$ sind $20\%$ der Empfangssymbole <i>Erasures</i>.
+*Mit&nbsp; $\lambda = 0.0275 \ \Rightarrow \ \lambda_m = 0.2$&nbsp; sind&nbsp; $20\%$&nbsp; der Empfangssymbole Auslöschungen.
-*Die  $2^8 = 256$ Empfangssymbole ($00000000$ &nbsp; ... &nbsp;  $11111111$) sind alle gleichwahrscheinlich. Daraus folgt:
+*Die&nbsp;  $2^8 = 256$&nbsp; Empfangssymbole&nbsp; $(00000000$ &nbsp; ... &nbsp;  $11111111)$&nbsp; sind alle gleichwahrscheinlich.&nbsp; Daraus folgt:
 :$${\rm Pr}(y_{\rm bin} = 00000000) = \hspace{0.1cm}\text{...} \hspace{0.1cm}= {\rm Pr}(y_{\rm bin} = 11111111)= \frac{0.8}{256}  \hspace{0.15cm}\underline{= 0.3125\%}\hspace{0.05cm}.$$
 {{ML-Fuß}}

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 [[Datei:P_ID2543__KC_Z_2_11.png|right|frame|Auslöschungskanal für Symbole: &nbsp; $m$–BEC]]
-Das Kanalmodell&nbsp; [[Kanalcodierung/Kanalmodelle_und_Entscheiderstrukturen#Binary_Symmetric_Channel_.E2.80.93_BSC|"Binary Erasure Channel"]]&nbsp; $\rm (BEC)$&nbsp; beschreibt einen Auslöschungskanal auf Bitebene:
+Das Kanalmodell&nbsp; [[Kanalcodierung/Kanalmodelle_und_Entscheiderstrukturen#Binary_Erasure_Channel_.E2.80.93_BEC|"Binary Erasure Channel"]]&nbsp; $\rm (BEC)$&nbsp; beschreibt einen Auslöschungskanal auf Bitebene:
 *Ein Binärsymbol&nbsp; $(0$&nbsp; bzw.&nbsp; $1)$&nbsp; wird mit der Wahrscheinlichkeit&nbsp; $1 - \lambda$&nbsp; richtig übertragen und mit der Wahrscheinlichkeit&nbsp; $\lambda$&nbsp; als Auslöschung&nbsp; $\rm E$&nbsp; ("Erasure")&nbsp; markiert.

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 [[Datei:P_ID2543__KC_Z_2_11.png|right|frame|Auslöschungskanal für Symbole: &nbsp; $m$–BEC]]
-Das Kanalmodell&nbsp; [[Kanalcodierung/Kanalmodelle_und_Entscheiderstrukturen#Binary_Symmetric_Channel_.E2.80.93_BSC|Binary Erasure Channel]]&nbsp; (BEC) beschreibt einen Auslöschungskanal auf Bitebene:
+Das Kanalmodell&nbsp; [[Kanalcodierung/Kanalmodelle_und_Entscheiderstrukturen#Binary_Symmetric_Channel_.E2.80.93_BSC|"Binary Erasure Channel"]]&nbsp; $\rm (BEC)$&nbsp; beschreibt einen Auslöschungskanal auf Bitebene:
-*Ein Binärsymbol&nbsp; $0$&nbsp; bzw.&nbsp; $1$&nbsp; wird mit der Wahrscheinlichkeit&nbsp; $1 - \lambda$&nbsp; richtig übertragen und mit der Wahrscheinlichkeit&nbsp; $\lambda$&nbsp; als Auslöschung&nbsp; $\rm E$&nbsp; (<i>Erasure</i>&nbsp;) markiert.
+*Ein Binärsymbol&nbsp; $(0$&nbsp; bzw.&nbsp; $1)$&nbsp; wird mit der Wahrscheinlichkeit&nbsp; $1 - \lambda$&nbsp; richtig übertragen und mit der Wahrscheinlichkeit&nbsp; $\lambda$&nbsp; als Auslöschung&nbsp; $\rm E$&nbsp; ("Erasure")&nbsp; markiert.
-*Alle Codesymbole &ndash; in Binärdarstellung&nbsp; $00, \ 01, \ 10, \ 11$&nbsp; &ndash; werden mit Wahrscheinlichkeit&nbsp; $1 - \lambda_2$&nbsp; richtig übertragen.
+Ein Reed&ndash;Solomon&ndash;Code basiert auf einem Galoisfeld&nbsp; ${\rm GF}(2^m)$&nbsp; mit ganzzahligem&nbsp; $m$.&nbsp; Somit lässt sich jedes Codesymbol &nbsp; $c$ &nbsp; durch&nbsp; $m$ Bit&nbsp; darstellen.&nbsp; Will man hier das BEC&ndash;Modell anwenden,&nbsp; so muss man dieses zum&nbsp; "$m$-BEC-Modell"&nbsp; modifizieren,&nbsp; wie es in der unteren Grafik für&nbsp; $m = 2$&nbsp; gezeigt ist:
-''Hinweise:''
+* Für die ersten Teilaufgaben gelte für die Auslöschungswahrscheinlichkeit gemäß der oberen Grafik stets&nbsp; $\lambda = 0.2$.
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 ===Fragebogen===
 <quiz display=simple>
-{Es gelte&nbsp; $\lambda = 0.2$. Mit welchen Wahrscheinlichkeiten treten beim&nbsp; BEC&ndash;Grundmodell&nbsp; die möglichen Empfangswerte auf?
+{Es gelte&nbsp; $\lambda = 0.2$.&nbsp; Mit welchen Wahrscheinlichkeiten treten beim&nbsp; BEC&ndash;Grundmodell&nbsp; die möglichen Empfangswerte auf?
 |type="{}"}
 ${\rm Pr}(y = 0) \ = \ ${ 40 3% } $\ \%$
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 $\lambda_2 \ = \ ${ 36 3% } $\ \%$
-{Wie groß ist die Auslöschungswahrscheinlichkeit&nbsp; $\lambda_m$, wenn das&nbsp; $m$&ndash;BEC&ndash;Modell&nbsp; an den&nbsp; $\rm RSC \, (255, \, 223, \, 33)_{256}$&nbsp; angepasst wird&nbsp; $(\lambda = 0.2)$?
+{Wie groß ist die Auslöschungswahrscheinlichkeit&nbsp; $\lambda_m$,&nbsp; wenn das&nbsp; $m$&ndash;BEC&ndash;Modell&nbsp; an den&nbsp; $\rm RSC \, (255, \, 223, \, 33)_{256}$&nbsp; angepasst wird&nbsp; $(\lambda = 0.2)$?
 |type="{}"}
 $\lambda_m \ = \ ${ 83.2 3% } $\ \%$
-{Wie groß darf die Auslöschungswahrscheinlichkeit&nbsp; $\lambda$&nbsp; beim&nbsp; BEC&ndash;Grundmodell&nbsp; maximal sein, damit&nbsp; $\lambda_m &#8804; 0.2$&nbsp; gilt?
+{Wie groß darf die Auslöschungswahrscheinlichkeit&nbsp; $\lambda$ &nbsp; beim&nbsp; BEC&ndash;Grundmodell&nbsp; maximal sein, damit&nbsp; $\lambda_m &#8804; 0.2$&nbsp; gilt?
 |type="{}"}
 ${\rm Max} \ \big[\lambda\big ] \ = \ ${ 2.75 3% } $\ \%$
-{Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird in diesem Fall das &bdquo;Nullsymbol&rdquo; empfangen?
+{Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird in diesem Fall das&nbsp; &bdquo;Nullsymbol&rdquo;&nbsp; empfangen?
 |type="{}"}
 ${\rm Pr}(y_{\rm bin} = 00000000) \ = \ ${ 0.3125 3% } $\ \%$

@@ Zeile 58: / Zeile 58: @@
 :$$\ {\rm Pr}(y = {\rm E}) = \lambda \ \underline{= 20\%}.$$
 Da die Codesymbole $0$ und $1$ gleichwahrscheinlich sind, erhält man für deren Wahrscheinlichkeiten ${\rm Pr}(y = 0) \ \underline{= 40\%}$ und ${\rm Pr}(y = 1) \ \underline{= 40\%}$.
@@ Zeile 65: / Zeile 66: @@
 \Rightarrow \hspace{0.3cm} \lambda_2 \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} 1 - ( 1 - \lambda)^2 \hspace{0.15cm}\underline{= 36\%}\hspace{0.05cm}. $$
 *Hierbei ist vorausgesetzt, dass ein <i>Erasure</i> nur vermieden wird, wenn keines der zwei Bit ausgelöscht wurde.
@@ Zeile 70: / Zeile 72: @@
 :$$1 - \lambda_8 = ( 1 - \lambda)^8 = 0.8^8 \approx 0.168 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}
 \lambda_m = \lambda_8  \hspace{0.15cm}\underline{\approx 83.2\%}\hspace{0.05cm}. $$
@@ Zeile 76: / Zeile 79: @@
 - \lambda \ge 0.8^{0.125} \approx 0.9725 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}\lambda \hspace{0.15cm}
 \underline{\le 2.75\%}\hspace{0.05cm}.$$

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 [[Datei:P_ID2543__KC_Z_2_11.png|right|frame|Auslöschungskanal für Symbole: &nbsp; $m$–BEC]]
-Das Kanalmodell [[Kanalcodierung/Kanalmodelle_und_Entscheiderstrukturen#Binary_Symmetric_Channel_.E2.80.93_BSC|Binary Erasure Channel]] (BEC) beschreibt einen Auslöschungskanal auf Bitebene:
+Das Kanalmodell&nbsp; [[Kanalcodierung/Kanalmodelle_und_Entscheiderstrukturen#Binary_Symmetric_Channel_.E2.80.93_BSC|Binary Erasure Channel]]&nbsp; (BEC) beschreibt einen Auslöschungskanal auf Bitebene:
-*Ein Binärsymbol $0$ bzw. $1$ wird mit der Wahrscheinlichkeit $1 - \lambda$ richtig übertragen und mit der Wahrscheinlichkeit $\lambda$ als Auslöschung $\rm E$ (<i>Erasure</i>) markiert.
+*Ein Binärsymbol&nbsp; $0$&nbsp; bzw.&nbsp; $1$&nbsp; wird mit der Wahrscheinlichkeit&nbsp; $1 - \lambda$&nbsp; richtig übertragen und mit der Wahrscheinlichkeit&nbsp; $\lambda$&nbsp; als Auslöschung&nbsp; $\rm E$&nbsp; (<i>Erasure</i>&nbsp;) markiert.
-*Im Gegensatz zum [[Kanalcodierung/Kanalmodelle_und_Entscheiderstrukturen#Binary_Symmetric_Channel_.E2.80.93_BSC| Binary Symmetric Channel]] (BSC) kann es hier nicht zu Verfälschungen $(0 &#8594 1, \ 1 &#8594; 0)$ kommen.
+*Im Gegensatz zum&nbsp; [[Kanalcodierung/Kanalmodelle_und_Entscheiderstrukturen#Binary_Symmetric_Channel_.E2.80.93_BSC| Binary Symmetric Channel]]&nbsp; (BSC) kann es hier nicht zu Verfälschungen&nbsp; $(0 &#8594 1, \ 1 &#8594; 0)$&nbsp; kommen.
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 ''Hinweise:''
-* Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Kanalcodierung/Reed%E2%80%93Solomon%E2%80%93Decodierung_beim_Ausl%C3%B6schungskanal| Reed&ndash;Solomon&ndash;Decodierung beim Auslöschungskanal]].
+* Die Aufgabe gehört zum Kapitel&nbsp; [[Kanalcodierung/Reed%E2%80%93Solomon%E2%80%93Decodierung_beim_Ausl%C3%B6schungskanal| Reed&ndash;Solomon&ndash;Decodierung beim Auslöschungskanal]].
-* Bei einem auf ${\rm GF}(2^m)$ basierenden Code ist das skizzierte 2&ndash;BEC&ndash;Modell zum $m$&ndash;BEC zu erweitern. Die Auslöschungswahrscheinlichkeit dieses Modell wird dann mit $\lambda_m$ bezeichnet.
+* Bei einem auf&nbsp; ${\rm GF}(2^m)$&nbsp; basierenden Code ist das skizzierte&nbsp; $2$&ndash;BEC&ndash;Modell zum&nbsp; $m$&ndash;BEC zu erweitern.
-* Für die ersten Teilaufgaben gelte für die Auslöschungswahrscheinlichkeit des Grundmodells gemäß der oberen Grafik stets $\lambda = 0.2$.
+*Die Auslöschungswahrscheinlichkeit dieses Modell wird dann mit&nbsp; $\lambda_m$&nbsp; bezeichnet.
@@ Zeile 26: / Zeile 30: @@
 ===Fragebogen===
 <quiz display=simple>
-{Es gelte $\lambda = 0.2$. Mit welchen Wahrscheinlichkeiten treten beim BEC&ndash;Grundmodell die möglichen Empfangswerte auf?
+{Es gelte&nbsp; $\lambda = 0.2$. Mit welchen Wahrscheinlichkeiten treten beim&nbsp; BEC&ndash;Grundmodell&nbsp; die möglichen Empfangswerte auf?
 |type="{}"}
 ${\rm Pr}(y = 0) \ = \ ${ 40 3% } $\ \%$
@@ Zeile 32: / Zeile 36: @@
 ${\rm Pr}(y = {\rm 1}) \ = \ ${ 40 3% } $\ \%$
-{Wie groß ist die Auslöschungswahrscheinlichkeit $\lambda_2$ auf Symbolebene (2&ndash;BEC&ndash;Modell), wenn der RS&ndash;Code auf $\rm GF(2^2)$ basiert $(\lambda = 0.2)$?
+{Wie groß ist die Auslöschungswahrscheinlichkeit&nbsp; $\lambda_2$&nbsp; auf Symbolebene&nbsp; $(2$&ndash;BEC&ndash;Modell$)$, wenn der RS&ndash;Code auf&nbsp; $\rm GF(2^2)$&nbsp; basiert&nbsp; $(\lambda = 0.2)$?
 |type="{}"}
 $\lambda_2 \ = \ ${ 36 3% } $\ \%$
-{Wie groß ist die Auslöschungswahrscheinlichkeit $\lambda_m$, wenn das $m$&ndash;BEC&ndash;Modell an den $\rm RSC \, (255, \, 223, \, 33)_{256}$ angepasst wird $(\lambda = 0.2)$?
+{Wie groß ist die Auslöschungswahrscheinlichkeit&nbsp; $\lambda_m$, wenn das&nbsp; $m$&ndash;BEC&ndash;Modell&nbsp; an den&nbsp; $\rm RSC \, (255, \, 223, \, 33)_{256}$&nbsp; angepasst wird&nbsp; $(\lambda = 0.2)$?
 |type="{}"}
 $\lambda_m \ = \ ${ 83.2 3% } $\ \%$
-{Wie groß darf die Auslöschungswahrscheinlichkeit $\lambda$ beim BEC&ndash;Grundmodell maximal sein, damit $\lambda_m &#8804; 0.2$ gilt?
+{Wie groß darf die Auslöschungswahrscheinlichkeit&nbsp; $\lambda$&nbsp; beim&nbsp; BEC&ndash;Grundmodell&nbsp; maximal sein, damit&nbsp; $\lambda_m &#8804; 0.2$&nbsp; gilt?
 |type="{}"}
-${\rm Max} \ [\lambda] \ = \ ${ 2.75 3% } $\ \%$
+${\rm Max} \ \big[\lambda\big ] \ = \ ${ 2.75 3% } $\ \%$
 {Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird in diesem Fall das &bdquo;Nullsymbol&rdquo; empfangen?

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