Aufgaben:Aufgabe 2.11: RS–Decodierung nach „Erasures” - Versionsgeschichte

Guenter am 20. Oktober 2022 um 15:46 Uhr

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Guenter am 20. Oktober 2022 um 15:38 Uhr

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Guenter am 20. Oktober 2022 um 15:31 Uhr

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Guenter am 24. Mai 2019 um 08:52 Uhr

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Guenter am 10. Januar 2018 um 15:31 Uhr

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Guenter am 10. Januar 2018 um 15:07 Uhr

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 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; Die Spaltenanzahl der Prüfmatrix $\mathbf{H}$ gibt die Codelänge an: $n \ \underline{= 7}$.
+'''(1)'''&nbsp; Die Spaltenanzahl der Prüfmatrix&nbsp; $\mathbf{H}$&nbsp; gibt die Codelänge an: &nbsp; $n \ \underline{= 7}$.
-*Zum gleichen Ergebnis kommt man, wenn man von der Ordnung $q = 8$ des Galoisfeldes ausgeht. Bei den Reed&ndash;Solomon&ndash;Codes gilt nämlich $n = q - 1$.
+*Zum gleichen Ergebnis kommt man,&nbsp; wenn man von der Ordnung&nbsp; $q = 8$&nbsp; des Galoisfeldes ausgeht.&nbsp; Bei den Reed&ndash;Solomon&ndash;Codes gilt nämlich&nbsp; $n = q - 1$.
-*Die Zeilenanzahl der Prüfmatrix ist gleich $n - k = 3 \ \Rightarrow \ k \ \underline{= 4}$.
-*Von allen Reed&ndash;Solomon&ndash;Codes wird die [[Kanalcodierung/Definition_und_Eigenschaften_von_Reed%E2%80%93Solomon%E2%80%93Codes#Singleton.E2.80.93Schranke_und_minimale_Distanz| Singleton&ndash;Schranke]] erfüllt &nbsp; &#8658; &nbsp; $d_{\rm min} = n - k + 1 \ \underline{= 4}$.
+*Die Zeilenanzahl der Prüfmatrix ist gleich&nbsp; $n - k = 3 \ \Rightarrow \ k \ \underline{= 4}$.
 *Die formale Rechnung bestätigt dieses Ergebnis:
 :$${ \boldsymbol{\rm H}}_{\rm K} \cdot \underline {z}_{\rm K}^{\rm T} =
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 '''(3)'''&nbsp; Auch hier ist&nbsp; $e = 2$&nbsp; kleiner als&nbsp; $d_{\rm min} = 4$ &nbsp; &#8658; &nbsp; <b><u>JA</u></b>.
-*Da auch $(1, \, 1, \, 1, \, 1, \, 1, \, 1, \, 1)$ ein gültiges Codewort ist, erwarten wir bei der formalen Überprüfung $z_0 = 1$ und $z_1 = 1$.
+*Da auch&nbsp; $(1, \, 1, \, 1, \, 1, \, 1, \, 1, \, 1)$&nbsp; ein gültiges Codewort ist,&nbsp; erwarten wir bei der formalen Überprüfung&nbsp; $z_0 = 1$&nbsp; und&nbsp; $z_1 = 1$.
 :$${ \boldsymbol{\rm H}}_{\rm K} \cdot \underline {z}_{\rm K}^{\rm T} \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm}
 \begin{pmatrix}
@@ Zeile 147: / Zeile 151: @@
 \hspace{0.05cm}. $$
-*Bei dieser Berechnung wurde zwischen der Polynomdarstellung und der Koeffizientendarstellung auf der Angabenseite variiert. Damit lautet das Gleichungssystem:
+*Bei dieser Berechnung wurde zwischen der Polynomdarstellung und der Koeffizientendarstellung auf der Angabenseite variiert.&nbsp; Damit lautet das Gleichungssystem:
 :$$\begin{pmatrix}
 (001) + (010) \\
@@ Zeile 177: / Zeile 181: @@
 \end{pmatrix}\hspace{0.05cm}.$$
-*Die zweite Form ergibt sich, wenn man die dritte Zeile aus der Modulo&ndash;$2$&ndash;Summe der Zeilen 2 und 3 ersetzt.
+*Die zweite Form ergibt sich,&nbsp; wenn man die dritte Zeile aus der Modulo&ndash;$2$&ndash;Summe der Zeilen 2 und 3 ersetzt.
 *Aus der letzten Zeile folgt nun $z_1 = 1$ und die Zeilen 1 und 2 lauten dann:
 :$$(1)\hspace{0.3cm}z_0 + (010) \cdot 1 \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} (011)\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}z_0 = (001) = 1\hspace{0.05cm},$$
 :$$(2)\hspace{0.3cm}z_0 + (100) \cdot 1 \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} (101)\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}z_0 = (001) = 1\hspace{0.05cm}. $$
-*Beide Gleichungen führen zum gleichen Ergebnis $z_0 = 1, \ z_1 = 1$. Die Decodierung ist erfolgreich.
+*Beide Gleichungen führen zum gleichen Ergebnis&nbsp; $z_0 = 1, \ z_1 = 1$.&nbsp; Die Decodierung ist erfolgreich.
@@ Zeile 242: / Zeile 247: @@
 \hspace{0.05cm}. $$
-*Wir ersetzen nun die Zeile 2 durch die Modulo&ndash;$2$&ndash;Summe der Zeilen 1 und 2 sowie die Zeile 3 durch die Modulo&ndash;$2$&ndash;Summe der Zeilen 1 und 3:
+*Wir ersetzen nun die Zeile 2 durch die Modulo&ndash;2&ndash;Summe der Zeilen 1 und 2 sowie die Zeile 3 durch die Modulo&ndash;2&ndash;Summe der Zeilen 1 und 3:
 :$$\begin{pmatrix}
 (001) &(010) &(100)\\
@@ Zeile 260: / Zeile 265: @@
 \hspace{0.05cm}.$$
-*Aus der letzten Zeile folgt $z_1 + z_2 = 0 \ \Rightarrow \ z_2 = z_1$. Eingesetzt in die zweite Zeile dieser Matrixgleichung erhält man:
+*Aus der letzten Zeile folgt&nbsp; $z_1 + z_2 = 0 \ \Rightarrow \ z_2 = z_1$.&nbsp; Eingesetzt in die zweite Zeile dieser Matrixgleichung erhält man:
 :$$\big[(110) + (010)\big] \cdot z_1 = (100) \cdot z_1 = (111) \hspace{0.2cm} \Rightarrow \hspace{0.2cm}
 \alpha^2 \cdot z_1 = \alpha^5\hspace{0.2cm}\Rightarrow \hspace{0.2cm}
@@ Zeile 272: / Zeile 277: @@
 z_0 =  \alpha^3 + 1 = ( \alpha + 1) +1\hspace{0.15cm} \underline{= \alpha}\hspace{0.05cm}.$$
-*Richtig ist demnach der <u>Lösungsvorschlag 2</u>.
+*Richtig ist demnach der&nbsp; <u>Lösungsvorschlag 2</u>.
 '''(5)'''&nbsp; Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 4</u>. &nbsp; Begründung:
-* Aus den drei bekannten Symbolen $0, \, 1, \, \alpha$ kann man nicht vier Informationssymbole gewinnen.
+* Aus den drei bekannten Symbolen&nbsp; $0, \, 1, \, \alpha$&nbsp; kann man nicht vier Informationssymbole gewinnen.
 * Die $\mathbf{H}$&ndash;Matrix dieses $(7, \, 4, \, 4)_8$&ndash;Codes hat genau $n - k = 3$ Zeilen.
-*Man hat damit auch nur drei Gleichungen. Benötigen würde man aber vier Gleichungen für die Unbekannten $z_0, \ z_1, \ z_2$ und $z_6$.
+* Die&nbsp; $\mathbf{H}$&ndash;Matrix dieses&nbsp; $(7, \, 4, \, 4)_8$&ndash;Codes hat genau&nbsp; $n - k = 3$&nbsp; Zeilen.
 {{ML-Fuß}}

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 * Die Aufgabe bezieht sich auf das Kapitel&nbsp; [[Kanalcodierung/Reed%E2%80%93Solomon%E2%80%93Decodierung_beim_Ausl%C3%B6schungskanal| "Reed&ndash;Solomon&ndash;Decodierung beim Auslöschungskanal"]].
-* Hinsichtlich des <i>Codewortfinders</i> verweisen wir insbesondere auf die Seiten&nbsp;
+* Hinsichtlich des Codewortfinders verweisen wir insbesondere auf die Seiten&nbsp;
 :*[[Kanalcodierung/Reed–Solomon–Decodierung_beim_Auslöschungskanal#Vorgehensweise_am_Beispiel_des_RSC_.287.2C_3.2C_5.298|"Vorgehensweise ..."]]&nbsp; und&nbsp;
 :*[[Kanalcodierung/Reed%E2%80%93Solomon%E2%80%93Decodierung_beim_Ausl%C3%B6schungskanal#L.C3.B6sung_der_Matrixgleichungen_am_Beispiel_des_RSC_.287.2C_3.2C_5.298| "Lösung der Matrixgleichungen"]].
@@ Zeile 53: / Zeile 53: @@
 $d_{\rm min} \ = \ ${ 4 }
-{Kann der Empfangsvektor&nbsp; $\underline{y} = (0, \, 0, \, 0,\, 0, \, 0, \, 0, \, {\rm E})$&nbsp; decodiert werden?
+{Kann der Empfangsvektor &nbsp; $\underline{y} = (0, \, 0, \, 0,\, 0, \, 0, \, 0, \, {\rm E})$ &nbsp; decodiert werden?
 |type="()"}
 + JA.
 - NEIN.
-{Kann der Empfangsvektor&nbsp; $\underline{y} = (\rm E, \, E, \, 1, \, 1, \, 1, \, 1, \, 1)$&nbsp; decodiert werden?
+{Kann der Empfangsvektor &nbsp; $\underline{y} = (\rm E, \, E, \, 1, \, 1, \, 1, \, 1, \, 1)$ &nbsp; decodiert werden?
 |type="()"}
 + JA.
 - NEIN.
-{Welches Ergebnis liefert die Decodierung von&nbsp; $\underline{y} = (\rm E, \, E, \, E, \, 0, \, 1, \, \alpha, \, 0)$?
+{Welches Ergebnis liefert die Decodierung von &nbsp; $\underline{y} = (\rm E, \, E, \, E, \, 0, \, 1, \, \alpha, \, 0)$?
 |type="()"}
 - $z_0 = \alpha, \ z_1 = \alpha^3, \ z_2 = 0$.
@@ Zeile 70: / Zeile 70: @@
 - Die Decodierung führt zu keinem Ergebnis.
-{Welches Ergebnis liefert die Decodierung von&nbsp; $\underline{y} = (\rm E, \, E, \, E, \, 0, \, 1, \, \alpha, \, E)$?
+{Welches Ergebnis liefert die Decodierung von &nbsp; $\underline{y} = (\rm E, \, E, \, E, \, 0, \, 1, \, \alpha, \, E)$?
 |type="()"}
 - $z_0 = \alpha, \ z_1 = \alpha^3, \ z_2 = 0, \ z_6 = 1$.

@@ Zeile 38: / Zeile 38: @@
 * Hinsichtlich des <i>Codewortfinders</i> verweisen wir insbesondere auf die Seiten&nbsp;
-::[[Kanalcodierung/Reed–Solomon–Decodierung_beim_Auslöschungskanal#Vorgehensweise_am_Beispiel_des_RSC_.287.2C_3.2C_5.298|"Vorgehensweise ..."]]&nbsp; und&nbsp;
+:*[[Kanalcodierung/Reed–Solomon–Decodierung_beim_Auslöschungskanal#Vorgehensweise_am_Beispiel_des_RSC_.287.2C_3.2C_5.298|"Vorgehensweise ..."]]&nbsp; und&nbsp;
-::[[Kanalcodierung/Reed%E2%80%93Solomon%E2%80%93Decodierung_beim_Ausl%C3%B6schungskanal#L.C3.B6sung_der_Matrixgleichungen_am_Beispiel_des_RSC_.287.2C_3.2C_5.298| "Lösung der Matrixgleichungen"]].
+:*[[Kanalcodierung/Reed%E2%80%93Solomon%E2%80%93Decodierung_beim_Ausl%C3%B6schungskanal#L.C3.B6sung_der_Matrixgleichungen_am_Beispiel_des_RSC_.287.2C_3.2C_5.298| "Lösung der Matrixgleichungen"]].
 * Alle Berechnungen sind in&nbsp; $\rm GF(2^3)$&nbsp; durchzuführen.&nbsp; Die obere Grafik beschreibt deren&nbsp; $q = 8$&nbsp; Elemente in Potenz&ndash;, Polynom&ndash; und Koeffizientenvektordarstellung.

@@ Zeile 38: / Zeile 38: @@
 * Hinsichtlich des <i>Codewortfinders</i> verweisen wir insbesondere auf die Seiten&nbsp;
-::[[Kanalcodierung/Reed–Solomon–Decodierung_beim_Auslöschungskanal#Vorgehensweise_am_Beispiel_des_RSC_.287.2C_3.2C_5.298 <Vorgehensweise]]&nbsp; und&nbsp;
+::[[Kanalcodierung/Reed–Solomon–Decodierung_beim_Auslöschungskanal#Vorgehensweise_am_Beispiel_des_RSC_.287.2C_3.2C_5.298|"Vorgehensweise ..."]]&nbsp; und&nbsp;
-::[[Kanalcodierung/Reed%E2%80%93Solomon%E2%80%93Decodierung_beim_Ausl%C3%B6schungskanal#L.C3.B6sung_der_Matrixgleichungen_am_Beispiel_des_RSC_.287.2C_3.2C_5.298| Lösung der Matrixgleichungen]].
+::[[Kanalcodierung/Reed%E2%80%93Solomon%E2%80%93Decodierung_beim_Ausl%C3%B6schungskanal#L.C3.B6sung_der_Matrixgleichungen_am_Beispiel_des_RSC_.287.2C_3.2C_5.298| "Lösung der Matrixgleichungen"]].
 * Alle Berechnungen sind in&nbsp; $\rm GF(2^3)$&nbsp; durchzuführen.&nbsp; Die obere Grafik beschreibt deren&nbsp; $q = 8$&nbsp; Elemente in Potenz&ndash;, Polynom&ndash; und Koeffizientenvektordarstellung.

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 [[Datei:P_ID2542__KC_A_2_11_neu.png|right|frame|${\rm GF}(2^3)$, dargestellt als  Potenzen, Polynome und Koeffizientenvektoren]]
-Wir betrachten hier ein Codier&ndash; und Decodiersystem entsprechend der&nbsp; [[Kanalcodierung/Reed%E2%80%93Solomon%E2%80%93Decodierung_beim_Ausl%C3%B6schungskanal#Blockschaltbild_und_Voraussetzungen_zur_RS.E2.80.93Fehlererkennung| Grafik]]&nbsp; im Theorieteil zu diesem Kapitel. Anzumerken ist:
+Wir betrachten hier ein Codier&ndash; und Decodiersystem entsprechend der&nbsp; [[Kanalcodierung/Reed%E2%80%93Solomon%E2%80%93Decodierung_beim_Ausl%C3%B6schungskanal#Blockschaltbild_und_Voraussetzungen_zur_RS.E2.80.93Fehlererkennung| "Grafik im Theorieteil zu diesem Kapitel"]].&nbsp; Anzumerken ist:
-* Der Reed&ndash;Solomon&ndash;Code ist durch die Generatormatrix&nbsp; $\mathbf{G}$&nbsp; und die Prüfmatrix&nbsp; $\mathbf{H}$&nbsp; vorgegeben, wobei alle Elemente aus dem Galoisfeld&nbsp; $\rm GF(2^3) \ \backslash \ \{0\}$&nbsp; stammen:
+* Der Reed&ndash;Solomon&ndash;Code ist durch die Generatormatrix&nbsp; $\mathbf{G}$&nbsp; und die Prüfmatrix&nbsp; $\mathbf{H}$&nbsp; vorgegeben,&nbsp; wobei alle Elemente aus dem Galoisfeld &nbsp; $\rm GF(2^3) \ \backslash \ \{0\}$ &nbsp; stammen:
 :$${ \boldsymbol{\rm G}} \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm}
 \begin{pmatrix}
@@ Zeile 18: / Zeile 18: @@
 \end{pmatrix} \hspace{0.05cm}.$$
-* Alle Codesymbole&nbsp; $c_i &#8712; \{0, \, 1, \, \alpha, \, \alpha^2, \, \alpha^3, \, \alpha^4, \, \alpha^5, \, \alpha^6\}$&nbsp; werden durch&nbsp; $m = 3$&nbsp; Bit  dargestellt und über den (in der Grafik) grün hinterlegten Auslöschungskanal&nbsp; $(m$&ndash;BEC$)$&nbsp; übertragen. Ein Codesymbol wird bereits dann als Auslöschung (<i>Erasure</i>&nbsp;)&nbsp; $\rm E$&nbsp; markiert, wenn eines der drei zugehörigen Bit unsicher ist.
+* Alle Codesymbole &nbsp; $c_i &#8712; \{0, \, 1, \, \alpha, \, \alpha^2, \, \alpha^3, \, \alpha^4, \, \alpha^5, \, \alpha^6\}$ &nbsp; werden durch&nbsp; $m = 3$&nbsp; Bit  dargestellt und über den Auslöschungskanal&nbsp; $(m \rm &ndash;BEC)$&nbsp; übertragen.&nbsp; Ein Codesymbol wird bereits dann als Auslöschung&nbsp; $\rm E$&nbsp; markiert, wenn eines der drei Bit unsicher ist.
-* Der <i>Codewortfinder</i>&nbsp; (CWF) hat die Aufgabe, aus dem teilweise ausgelöschten Empfangswort&nbsp; $\underline{y}$&nbsp; das regenerierte Codewort&nbsp; $\underline{z}$&nbsp; zu erzeugen. Dabei muss sichergestellt sein, dass das Ergebnis&nbsp; $\underline{z}$&nbsp; tatsächlich ein gültiges Reed&ndash;Solomon&ndash;Codewort ist.
-* Beinhaltet das Empfangswort&nbsp; $\underline{y}$&nbsp; zu viele Auslöschungen, so gibt der Decoder eine Meldung der Art &bdquo;Symbol ist nicht decodierbar&rdquo; aus. &nbsp;Es wird also nicht versucht, das Codewort zu schätzen. Wird&nbsp; $\underline{z}$&nbsp; ausgegeben, so ist dieses auch richtig:&nbsp; $\underline{z} = \underline{c}$.
+* Der&nbsp; "Codewortfinder"&nbsp; $\rm (CWF)$&nbsp; hat die Aufgabe,&nbsp; aus dem teilweise ausgelöschten Empfangswort&nbsp; $\underline{y}$&nbsp; das regenerierte Codewort &nbsp; $\underline{z}$ &nbsp; zu erzeugen.&nbsp; Dabei muss sichergestellt sein,&nbsp; dass das Ergebnis &nbsp; $\underline{z}$ &nbsp; tatsächlich ein gültiges Reed&ndash;Solomon&ndash;Codewort ist.
 * Das gesuchte Informationswert&nbsp; $\underline{v} = \underline{u}$&nbsp; ergibt sich durch die inverse Coderfunktion&nbsp; $\underline{v} = {\rm enc}^{-1}(\underline{z})$. Mit der Generatormatrix&nbsp; $\mathbf{G}$&nbsp; lässt sich diese wie folgt realisieren:
 :$$\underline{c} = {\rm enc}(\underline{u}) \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} \underline{u} \cdot {\boldsymbol{\rm G}}
 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} \underline{z} = {\rm enc}(\underline{v})
@@ Zeile 31: / Zeile 34: @@
+* Alle Berechnungen sind in&nbsp; $\rm GF(2^3)$&nbsp; durchzuführen.&nbsp; Die obere Grafik beschreibt deren&nbsp; $q = 8$&nbsp; Elemente in Potenz&ndash;, Polynom&ndash; und Koeffizientenvektordarstellung.

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 [[Datei:P_ID2542__KC_A_2_11_neu.png|right|frame|${\rm GF}(2^3)$, dargestellt als  Potenzen, Polynome und Koeffizientenvektoren]]
-Wir betrachten hier ein Codier&ndash; und Decodiersystem entsprechend der [[Kanalcodierung/Reed%E2%80%93Solomon%E2%80%93Decodierung_beim_Ausl%C3%B6schungskanal#Blockschaltbild_und_Voraussetzungen_zur_RS.E2.80.93Fehlererkennung| Grafik]] im Theorieteil zu diesem Kapitel. Anzumerken ist:
+Wir betrachten hier ein Codier&ndash; und Decodiersystem entsprechend der&nbsp; [[Kanalcodierung/Reed%E2%80%93Solomon%E2%80%93Decodierung_beim_Ausl%C3%B6schungskanal#Blockschaltbild_und_Voraussetzungen_zur_RS.E2.80.93Fehlererkennung| Grafik]]&nbsp; im Theorieteil zu diesem Kapitel. Anzumerken ist:
-* Der Reed&ndash;Solomon&ndash;Code ist durch die Generatormatrix $\mathbf{G}$ und die Prüfmatrix $\mathbf{H}$ vorgegeben, wobei alle Elemente aus dem Galoisfeld $\rm GF(2^3) \ \backslash \ \{0\}$ stammen:
+* Der Reed&ndash;Solomon&ndash;Code ist durch die Generatormatrix&nbsp; $\mathbf{G}$&nbsp; und die Prüfmatrix&nbsp; $\mathbf{H}$&nbsp; vorgegeben, wobei alle Elemente aus dem Galoisfeld&nbsp; $\rm GF(2^3) \ \backslash \ \{0\}$&nbsp; stammen:
 :$${ \boldsymbol{\rm G}} \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm}
 \begin{pmatrix}
@@ Zeile 18: / Zeile 18: @@
 \end{pmatrix} \hspace{0.05cm}.$$
-* Alle Codesymbole $c_i &#8712; \{0, \, 1, \, \alpha, \, \alpha^2, \, \alpha^3, \, \alpha^4, \, \alpha^5, \, \alpha^6\}$ werden durch $m = 3$ Bit  dargestellt und über den (in der Grafik) grün hinterlegten Auslöschungskanal ($m$&ndash;BEC) übertragen. Ein Codesymbol wird bereits dann als Auslöschung (<i>Erasure</i>) $\rm E$ markiert, wenn eines der drei zugehörigen Bit unsicher ist.
+* Alle Codesymbole&nbsp; $c_i &#8712; \{0, \, 1, \, \alpha, \, \alpha^2, \, \alpha^3, \, \alpha^4, \, \alpha^5, \, \alpha^6\}$&nbsp; werden durch&nbsp; $m = 3$&nbsp; Bit  dargestellt und über den (in der Grafik) grün hinterlegten Auslöschungskanal&nbsp; $(m$&ndash;BEC$)$&nbsp; übertragen. Ein Codesymbol wird bereits dann als Auslöschung (<i>Erasure</i>&nbsp;)&nbsp; $\rm E$&nbsp; markiert, wenn eines der drei zugehörigen Bit unsicher ist.
-* Der <i>Codewortfinder</i> (CWF) hat die Aufgabe, aus dem teilweise ausgelöschten Empfangswort $\underline{y}$ das regenerierte Codewort $\underline{z}$ zu erzeugen. Dabei muss sicher gestellt sein, dass das Ergebnis $\underline{z}$ tatsächlich ein gültiges Reed&ndash;Solomon&ndash;Codewort ist.
+* Der <i>Codewortfinder</i>&nbsp; (CWF) hat die Aufgabe, aus dem teilweise ausgelöschten Empfangswort&nbsp; $\underline{y}$&nbsp; das regenerierte Codewort&nbsp; $\underline{z}$&nbsp; zu erzeugen. Dabei muss sichergestellt sein, dass das Ergebnis&nbsp; $\underline{z}$&nbsp; tatsächlich ein gültiges Reed&ndash;Solomon&ndash;Codewort ist.
-* Beinhaltet das Empfangswort $\underline{y}$ zu viele Auslöschungen, so gibt der Decoder eine Meldung der Art &bdquo;Symbol ist nicht decodierbar&rdquo; aus. Es wird also nicht versucht, das Codewort zu schätzen. Wird $\underline{z}$ ausgegeben, so ist dieses auch richtig: $\underline{z} = \underline{c}$.
+* Beinhaltet das Empfangswort&nbsp; $\underline{y}$&nbsp; zu viele Auslöschungen, so gibt der Decoder eine Meldung der Art &bdquo;Symbol ist nicht decodierbar&rdquo; aus. &nbsp;Es wird also nicht versucht, das Codewort zu schätzen. Wird&nbsp; $\underline{z}$&nbsp; ausgegeben, so ist dieses auch richtig:&nbsp; $\underline{z} = \underline{c}$.
-* Das gesuchte Informationswert $\underline{\upsilon} = \underline{u}$ ergibt sich durch die inverse Coderfunktion $\underline{\upsilon} = {\rm enc}^{-1}(\underline{z})$. Mit der Generatormatrix $\mathbf{G}$ lässt sich diese wie folgt realisieren:
+* Das gesuchte Informationswert&nbsp; $\underline{v} = \underline{u}$&nbsp; ergibt sich durch die inverse Coderfunktion&nbsp; $\underline{v} = {\rm enc}^{-1}(\underline{z})$. Mit der Generatormatrix&nbsp; $\mathbf{G}$&nbsp; lässt sich diese wie folgt realisieren:
 :$$\underline{c} = {\rm enc}(\underline{u}) \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} \underline{u} \cdot {\boldsymbol{\rm G}}
-\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} \underline{z} = {\rm enc}(\underline{\upsilon})
+\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} \underline{z} = {\rm enc}(\underline{v})
-= \underline{\upsilon} \cdot {\boldsymbol{\rm G}} \hspace{0.3cm}
+= \underline{v} \cdot {\boldsymbol{\rm G}} \hspace{0.3cm}
-\Rightarrow \hspace{0.3cm} \underline{\upsilon} \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} {\rm enc}^{-1}(\underline{z}) = \underline{z} \cdot {\boldsymbol{\rm G}}^{\rm T}\hspace{0.05cm}.$$
+\Rightarrow \hspace{0.3cm} \underline{v} \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} {\rm enc}^{-1}(\underline{z}) = \underline{z} \cdot {\boldsymbol{\rm G}}^{\rm T}\hspace{0.05cm}.$$
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 ''Hinweise:''
-* Die Aufgabe bezieht sich auf das Kapitel [[Kanalcodierung/Reed%E2%80%93Solomon%E2%80%93Decodierung_beim_Ausl%C3%B6schungskanal| Reed&ndash;Solomon&ndash;Decodierung beim Auslöschungskanal]].
+* Die Aufgabe bezieht sich auf das Kapitel&nbsp; [[Kanalcodierung/Reed%E2%80%93Solomon%E2%80%93Decodierung_beim_Ausl%C3%B6schungskanal| Reed&ndash;Solomon&ndash;Decodierung beim Auslöschungskanal]].
-* Hinsichtlich des <i>Codewortfinders</i> verweisen wir insbesondere auf die Seiten [[Kanalcodierung/Reed%E2%80%93Solomon%E2%80%93Decodierung_beim_Ausl%C3%B6schungskanal#Vorgehensweise_am_Beispiel_des_RSC_.287.2C_3.2C_5.298| Vorgehensweise]] und [[Kanalcodierung/Reed%E2%80%93Solomon%E2%80%93Decodierung_beim_Ausl%C3%B6schungskanal#L.C3.B6sung_der_Matrixgleichungen_am_Beispiel_des_RSC_.287.2C_3.2C_5.298| Lösung der Matrixgleichungen]].
+* Hinsichtlich des <i>Codewortfinders</i> verweisen wir insbesondere auf die Seiten&nbsp; [[Kanalcodierung/Reed%E2%80%93Solomon%E2%80%93Decodierung_beim_Ausl%C3%B6schungskanal#Vorgehensweise_am_Beispiel_des_RSC_.287.2C_3.2C_5.298| Vorgehensweise]]&nbsp; und&nbsp; [[Kanalcodierung/Reed%E2%80%93Solomon%E2%80%93Decodierung_beim_Ausl%C3%B6schungskanal#L.C3.B6sung_der_Matrixgleichungen_am_Beispiel_des_RSC_.287.2C_3.2C_5.298| Lösung der Matrixgleichungen]].
-* Alle Berechnungen sind in $\rm GF(2^3)$ durchzuführen. Die obere Grafik beschreibt deren $q = 8$ Elemente in Potenz&ndash;, Polynom&ndash; und Koeffizientenvektordarstellung.
+* Alle Berechnungen sind in&nbsp; $\rm GF(2^3)$&nbsp; durchzuführen. Die obere Grafik beschreibt deren&nbsp; $q = 8$&nbsp; Elemente in Potenz&ndash;, Polynom&ndash; und Koeffizientenvektordarstellung.
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 $d_{\rm min} \ = \ ${ 4 }
-{Kann der Empfangsvektor $\underline{y} = (0, \, 0, \, 0,\, 0, \, 0, \, 0, \, {\rm E})$ decodiert werden?
+{Kann der Empfangsvektor&nbsp; $\underline{y} = (0, \, 0, \, 0,\, 0, \, 0, \, 0, \, {\rm E})$&nbsp; decodiert werden?
 |type="()"}
 + JA.
 - NEIN.
-{Kann der Empfangsvektor $\underline{y} = (\rm E, \, E, \, 1, \, 1, \, 1, \, 1, \, 1)$ decodiert werden?
+{Kann der Empfangsvektor&nbsp; $\underline{y} = (\rm E, \, E, \, 1, \, 1, \, 1, \, 1, \, 1)$&nbsp; decodiert werden?
 |type="()"}
 + JA.
 - NEIN.
-{Welches Ergebnis liefert die Decodierung von $\underline{y} = (\rm E, \, E, \, E, \, 0, \, 1, \, \alpha, \, 0)$?
+{Welches Ergebnis liefert die Decodierung von&nbsp; $\underline{y} = (\rm E, \, E, \, E, \, 0, \, 1, \, \alpha, \, 0)$?
 |type="()"}
 - $z_0 = \alpha, \ z_1 = \alpha^3, \ z_2 = 0$.
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 - Die Decodierung führt zu keinem Ergebnis.
-{Welches Ergebnis liefert die Decodierung von $\underline{y} = (\rm E, \, E, \, E, \, 0, \, 1, \, \alpha, \, E)$?
+{Welches Ergebnis liefert die Decodierung von&nbsp; $\underline{y} = (\rm E, \, E, \, E, \, 0, \, 1, \, \alpha, \, E)$?
 |type="()"}
 - $z_0 = \alpha, \ z_1 = \alpha^3, \ z_2 = 0, \ z_6 = 1$.

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 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; Die Spaltenanzahl der Prüfmatrix $\mathbf{H}$ gibt die Codelänge an: $n \ \underline{= 7}$. Zum gleichen Ergebnis kommt man, wenn man von der Ordnung $q = 8$ des Galoisfeldes ausgeht. Bei den Reed&ndash;Solomon&ndash;Codes gilt nämlich $n = q - 1$. Die Zeilenanzahl der Prüfmatrix ist gleich $n - k = 3 \ \Rightarrow \ k \ \underline{= 4}$. Von allen Reed&ndash;Solomon&ndash;Codes wird die [[Kanalcodierung/Definition_und_Eigenschaften_von_Reed%E2%80%93Solomon%E2%80%93Codes#Singleton.E2.80.93Schranke_und_minimale_Distanz| Singleton&ndash;Schranke]] erfüllt &nbsp;&#8658;&nbsp; $d_{\rm min} = n - k + 1 \ \underline{= 4}$. Es handelt sich also um den Reed&ndash;Solomon&ndash;Code $(7, \, 4, \, 4)_8$.
+'''(1)'''&nbsp; Die Spaltenanzahl der Prüfmatrix $\mathbf{H}$ gibt die Codelänge an: $n \ \underline{= 7}$.
-'''(2)'''&nbsp; Eine Decodierung ist sicher möglich, so lange die Anzahl $e$ der Auslöschungen kleiner ist als die Minimaldistanz $d_{\rm min}$. Diese Bedingung ist hier erfüllt &nbsp;&#8658;&nbsp; <u>JA</u>. Nachdem bei allen RS&ndash;Codes das Nullwort zulässig ist und jedes andere Codewort mindestens vier Symbole ungleich &bdquo;$0$&rdquo; beinhaltet, ist bereits ohne Rechnung sicher, dass das Nullwort gesendet wurde. Die formale Rechnung bestätigt dieses Ergebnis:
+'''(2)'''&nbsp; Eine Decodierung ist sicher möglich, so lange die Anzahl $e$ der Auslöschungen kleiner ist als die Minimaldistanz $d_{\rm min}$. Diese Bedingung ist hier erfüllt &nbsp;&#8658;&nbsp; <b><u>JA</u></b>.
 :$${ \boldsymbol{\rm H}}_{\rm K} \cdot \underline {z}_{\rm K}^{\rm T} =
 \begin{pmatrix}
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-'''(3)'''&nbsp; Auch hier ist $e = 2$ kleiner als $d_{\rm min} = 4$ &nbsp;&#8658;&nbsp; <u>JA</u>. Da auch $(1, \, 1, \, 1, \, 1, \, 1, \, 1, \, 1)$ ein gültiges Codewort ist, erwarten wir bei der formalen Überprüfung $z_0 = 1$ und $z_1 = 1$.
+'''(3)'''&nbsp; Auch hier ist $e = 2$ kleiner als $d_{\rm min} = 4$ &nbsp; &#8658; &nbsp; <b><u>JA</u></b>.
 :$${ \boldsymbol{\rm H}}_{\rm K} \cdot \underline {z}_{\rm K}^{\rm T} \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm}
 \begin{pmatrix}
@@ Zeile 112: / Zeile 119: @@
 		 \alpha^4 + \alpha^6 + \alpha^1 + \alpha^{3} + \alpha^{5}\\
 		 \alpha^6 + \alpha^2 + \alpha^{5} + \alpha^{1} + \alpha^{4}
-\end{pmatrix}=$$
+\end{pmatrix}$$
-:$$\hspace{1.35cm} \ = \ \hspace{-0.15cm}
+:$$\Rightarrow  \hspace{0.3cm}{ \boldsymbol{\rm H}}_{\rm K} \cdot \underline {z}_{\rm K}^{\rm T} \hspace{-0.15cm} \ = \
 \begin{pmatrix}
 (100) + (011) + (110) + (111) + (101)\\
@@ Zeile 184: / Zeile 191: @@
 		 \alpha^1 + \alpha^{4}\\
 		 \alpha^5 + \alpha^2
-\end{pmatrix}=$$
+\end{pmatrix}=
 \begin{pmatrix}
 (110) + (101)\\
@@ Zeile 206: / Zeile 212: @@
 		z_1\\
 		z_2
-\end{pmatrix}$$
+\end{pmatrix}\hspace{0.3cm}
-:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}
+\Rightarrow \hspace{0.3cm}
 \begin{pmatrix}
 (001) &(010) &(100)\\
@@ Zeile 260: / Zeile 266: @@
 '''(5)'''&nbsp; Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 4</u>. Begründung:
 * Aus den drei bekannten Symbolen $0, \, 1, \, \alpha$ kann man nicht vier Informationssymbole gewinnen.
-* Die $\mathbf{H}$&ndash;Matrix dieses $(7, \, 4, \, 4)_8$&ndash;Codes hat genau $n - k = 3$ Zeilen. Man hat damit auch nur drei Gleichungen. Benötigen würde man aber vier Gleichungen für die Unbekannten $z_0, \ z_1, \ z_2$ und $z_6$.
+* Die $\mathbf{H}$&ndash;Matrix dieses $(7, \, 4, \, 4)_8$&ndash;Codes hat genau $n - k = 3$ Zeilen.
 {{ML-Fuß}}