Aufgaben:Aufgabe 2.11: Arithmetische Codierung - Versionsgeschichte

Guenter am 12. August 2021 um 12:53 Uhr

2021-08-12T12:53:03Z

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2020-01-28T13:13:46Z

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Mwiki-lnt: Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

2018-05-29T12:02:41Z

Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

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2018-01-03T14:01:11Z

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 '''(4)'''&nbsp; Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 1</u>:
-Aus&nbsp; $B_4 = 0.343 = B_3$&nbsp; (abzulesen in der Grafik auf dem Angabenblatt) folgt zwingend, dass das vierte  Quellensymbol ein&nbsp; $\rm X$&nbsp; war.
+*Aus&nbsp; $B_4 = 0.343 = B_3$&nbsp; (abzulesen in der Grafik auf dem Angabenblatt) folgt zwingend, dass das vierte  Quellensymbol ein&nbsp; $\rm X$&nbsp; war.
 '''(5)'''&nbsp; Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 2 und 3:</u>
-*Die Grafik zeigt die Intervallschachtelung mit allen bisherigen Ergebnissen.&nbsp; Man erkennt aus der Schraffierung, dass der zweite Lösungsvorschlag die richtige Symbolfolge angibt:  &nbsp; $\rm XXYXXXZ$.
+*Die Grafik rechts zeigt die Intervallschachtelung mit allen bisherigen Ergebnissen.&nbsp;
 * Die Intervallbreite&nbsp; $\it \Delta$&nbsp; kann wirklich gemäß dem Vorschlag 3 ermittelt werden. Es gilt:
 :$${\it \Delta}  = 0.359807 - 0.3564456 = 0.003614 \hspace{0.05cm},$$
-:$${\it \Delta} =p_{\rm X}^5 \cdot p_{\rm Y} \cdot p_{\rm Z} = 0.7^5 \cdot 0.1 \cdot 0.2 = 0.003614
+:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} {\it \Delta} =p_{\rm X}^5 \cdot p_{\rm Y} \cdot p_{\rm Z} = 0.7^5 \cdot 0.1 \cdot 0.2 = 0.003614
 \hspace{0.05cm}. $$

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 * Der Beginn&nbsp; $B$&nbsp; gehört zum Intervall&nbsp; $I$.
 * Das Ende&nbsp; $E$&nbsp; ist nicht mehr in&nbsp; $I$&nbsp; enthalten.
-* Die Intervallbreite ist&nbsp; ${\it} \Delta = E - B$.
+* Die Intervallbreite ist&nbsp; ${\it} {\it \Delta} = E - B$.
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 :$$r =  0 \cdot 2^{-1}  + 1 \cdot 2^{-2} + 1 \cdot 2^{-3}+ 1 \cdot 2^{-4}+ 0 \cdot 2^{-5} + 1 \cdot 2^{-6} + \hspace{0.05cm}\text{...}$$
 :$$
-\Rightarrow\hspace{0.3cm}\text{binär:} \hspace{0.25cm}0.011101\hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}
+\Rightarrow\hspace{0.3cm}\text{binär:} \hspace{0.25cm}0.011101\hspace{0.05cm}\text{...}\hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}
-\text{Code:} \hspace{0.25cm} \boldsymbol{\rm 011101} \hspace{0.05cm}. $$
+\text{Code:} \hspace{0.25cm} \boldsymbol{\rm 011101}\hspace{0.05cm}\text{...} \hspace{0.05cm}. $$
-In dieser Aufgabe beschränken wir uns auf die Bestimmung des aktuellen Intervalls &nbsp;$I$, gekennzeichnet durch den Beginn &nbsp;$B$&nbsp; sowie dem Ende &nbsp;$E$&nbsp; bzw. der Breite &nbsp;$\Delta$.
+In dieser Aufgabe beschränken wir uns auf die Bestimmung des aktuellen Intervalls &nbsp;$I$, gekennzeichnet durch den Beginn &nbsp;$B$&nbsp; sowie dem Ende &nbsp;$E$&nbsp; bzw. der Breite &nbsp;${\it \Delta}$.
-*Diese Bestimmung geschieht entsprechend der Intervallschachtelung in obiger Grafik.
+*Diese Bestimmung geschieht entsprechend der Intervallschachtelung in nebenstehender Grafik.
 *An der Schraffierung ist zu erkennen, dass die Folge mit  den Ternärsymbolen&nbsp; $\rm XXY$&nbsp; beginnt.
 <br clear=all>
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 :$$B_0 = 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.4cm}C_0 = p_{\rm X}\hspace{0.05cm},\hspace{0.4cm}D_0 = p_{\rm X} + p_{\rm Y}\hspace{0.05cm},\hspace{0.4cm} E_0 = p_{\rm X} + p_{\rm Y}+ p_{\rm Z} = 1\hspace{0.05cm}.$$
-* Das erste Symbol der zu codierenden Folge ist&nbsp; $\rm X$. Das bedeutet: &nbsp; das ausgewählte Intervall wird  durch&nbsp; $B_0$&nbsp; und&nbsp; $C_0$&nbsp; begrenzt.&nbsp; Dieses Intervall wird mit neuem Beginn&nbsp; $B_1 = B_0$&nbsp; und neuem Ende&nbsp; $E_1 = C_0$&nbsp; in gleicher Weise aufgeteilt wie der Gesamtbereich im nullten Schritt.&nbsp; Die Zwischenwerte sind&nbsp; $C_1$&nbsp; und&nbsp; $D_1$.
+* Das erste Symbol der zu codierenden Folge ist&nbsp; $\rm X$. Das bedeutet: &nbsp; das ausgewählte Intervall wird  durch&nbsp; $B_0$&nbsp; und&nbsp; $C_0$&nbsp; begrenzt.&nbsp;
 * Die weitere Intervall&ndash;Aufteilung ist Ihre Aufgabe.&nbsp; Beispielsweise sollen in der Teilaufgabe&nbsp; '''(2)'''&nbsp; die Grenzen&nbsp; $B_2$,&nbsp; $C_2$,&nbsp; $D_2$&nbsp; und&nbsp; $E_2$&nbsp; für das zweite Symbol&nbsp; $\rm X$&nbsp;  ermittelt werden und in der Teilaufgabe&nbsp; '''(3)'''&nbsp; die Grenzen&nbsp; $B_3$,&nbsp; $C_3$,&nbsp; $D_3$&nbsp; und&nbsp; $E_3$&nbsp; für das dritte Symbol&nbsp; $\rm Y$.

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 '''(2)'''&nbsp; Auch das zweite Symbol ist $\rm X$. Bei gleichem Vorgehen wie in der Aufgabenbeschreibung erhält man
 :$$B_2 \hspace{0.1cm}\underline{= 0}\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}C_2 = 0.49 \cdot 0.7 \hspace{0.1cm}\underline{= 0.343}\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}
 D_2 \hspace{0.1cm} \underline{= 0.392}\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}E_2 = C_1  \hspace{0.1cm}\underline{= 0.49} \hspace{0.05cm}.$$
 '''(3)'''&nbsp; Für das  dritte Symbol $\rm Y$ gelten nun die Begrenzungen $B_3 = C_2$  und $E_3 = D_2$:
 :$$B_3 \hspace{0.1cm}\underline{= 0.343}\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}C_3 \hspace{0.1cm}\underline{= 0.3773}\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}
 D_3 \hspace{0.1cm} \underline{= 0.3822}\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}E_3  \hspace{0.1cm}\underline{= 0.392} \hspace{0.05cm}.$$
 '''(4)'''&nbsp; Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 1</u>:
-*Aus $B_4 = 0.343 = B_3$ (abzulesen in der Grafik auf dem Angabenblatt) folgt zwingend, dass das vierte  Quellensymbol ein $\rm X$ war.
+Aus&nbsp; $B_4 = 0.343 = B_3$&nbsp; (abzulesen in der Grafik auf dem Angabenblatt) folgt zwingend, dass das vierte  Quellensymbol ein&nbsp; $\rm X$&nbsp; war.
 '''(5)'''&nbsp; Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 2 und 3:</u>
-*Die Grafik zeigt die Intervallschachtelung mit allen bisherigen Ergebnissen. Man erkennt aus der Schraffierung, dass der zweite Lösungsvorschlag die richtige Symbolfolge angibt:  &nbsp; $\rm XXYXXXZ$.
+*Die Grafik zeigt die Intervallschachtelung mit allen bisherigen Ergebnissen.&nbsp; Man erkennt aus der Schraffierung, dass der zweite Lösungsvorschlag die richtige Symbolfolge angibt:  &nbsp; $\rm XXYXXXZ$.
-* Die Intervallbreite $\it \Delta$ kann wirklich gemäß dem Vorschlag 3 ermittelt werden. Es gilt:
+* Die Intervallbreite&nbsp; $\it \Delta$&nbsp; kann wirklich gemäß dem Vorschlag 3 ermittelt werden. Es gilt:
 :$${\it \Delta}  = 0.359807 - 0.3564456 = 0.003614 \hspace{0.05cm},$$
 :$${\it \Delta} =p_{\rm X}^5 \cdot p_{\rm Y} \cdot p_{\rm Z} = 0.7^5 \cdot 0.1 \cdot 0.2 = 0.003614
@@ Zeile 129: / Zeile 133: @@
 '''(6)'''&nbsp; Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 2</u> &nbsp; &rArr; &nbsp; $r_2 = (0.010111)_{\text{binär}}$, wegen:
 :$$r_2 =  0 \cdot 2^{-1}  + 1 \cdot 2^{-2} + 0 \cdot 2^{-3}+ 1 \cdot 2^{-4}+ 1 \cdot 2^{-5} + 1 \cdot 2^{-6} = 0.359375\hspace{0.05cm}. $$
-*Der Vorschlag 1: &nbsp; $r_1 = (0.101100)_{\text{binär}}$ ist auszuschließen, da der zugehörige Dezimalwert $r_1 > 0.5$ ist.
+*Der Vorschlag 1: &nbsp; $r_1 = (0.101100)_{\text{binär}}$&nbsp; ist auszuschließen, da der zugehörige Dezimalwert&nbsp; $r_1 > 0.5$&nbsp; ist.
-*Auch der letzte Lösungsvorschlag ist falsch, da $r_3 = (0.001011)_{\text{binär}} < (0.01)_{\text{binär}} = (0.25)_{\text{dezimal}}$ ergibt.
+*Auch der letzte Lösungsvorschlag ist falsch, da&nbsp; $r_3 = (0.001011)_{\text{binär}} < (0.01)_{\text{binär}} = (0.25)_{\text{dezimal}}$&nbsp; sein wird.

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 [[Datei:P_ID2468__Inf_A_2_11.png|right|frame|Intervallschachtelung bei <br>arithmetischer Codierung]]
-Die arithmetische Codierung ist eine spezielle Form der Entropiecodierung: &nbsp;  Die Symbolwahrscheinlichkeiten müssen auch hier bekannt sein. In dieser Aufgabe gehen wir von $M = 3$ Symbolen aus, die wir mit $\rm X$, $\rm Y$ und  $\rm Z$ benennen.
+Die arithmetische Codierung ist eine spezielle Form der Entropiecodierung: &nbsp;  Die Symbolwahrscheinlichkeiten müssen auch hier bekannt sein.&nbsp; In dieser Aufgabe gehen wir von&nbsp; $M = 3$&nbsp; Symbolen aus, die wir mit&nbsp; $\rm X$,&nbsp; $\rm Y$&nbsp; und  $\rm Z$&nbsp; benennen.
-Während die Huffman&ndash;Codierung symbolweise erfolgt, wird bei der Arithmetischen Codierung ('''AC''') eine Symbolfolge der Länge $N$ gemeinsam codiert. Das Codierergebnis ist ein reeller Zahlenwert $r$ aus dem Intervall
+Während die Huffman&ndash;Codierung symbolweise erfolgt, wird bei der Arithmetischen Codierung&nbsp; $(\rm AC)$&nbsp; eine Symbolfolge der Länge&nbsp; $N$&nbsp; gemeinsam codiert.&nbsp; Das Codierergebnis ist ein reeller Zahlenwert&nbsp; $r$&nbsp; aus dem Intervall
-:$$I = \big[B, E \big) = \big[B, B +{\it \Delta} \big)\hspace{0.05cm}.$$
+:$$I = \big[B, \ E \big) = \big[B, \ B +{\it \Delta} \big)\hspace{0.05cm}.$$
 Diese Notation bedeutet:
-* Der Beginn $B$ gehört zum Intervall $I$.
+* Der Beginn&nbsp; $B$&nbsp; gehört zum Intervall&nbsp; $I$.
-* Das Ende $E$ ist nicht mehr in $I$ enthalten.
+* Das Ende&nbsp; $E$&nbsp; ist nicht mehr in&nbsp; $I$&nbsp; enthalten.
-* Die Intervallbreite ist ${\it} \Delta = E - B$.
+* Die Intervallbreite ist&nbsp; ${\it} \Delta = E - B$.
-Von den unendlich vielen möglichen Werten $r \in I$ (da $r$ reellwertig ist, also kein Integer) wird derjenige Zahlenwert ausgewählt, der mit der geringsten Bitanzahl auskommt. Hierzu zwei Beispiele zur Verdeutlichung:
+Von den unendlich vielen möglichen Werten&nbsp; $r \in I$&nbsp; $($da&nbsp; $r$&nbsp; reellwertig ist, also kein Integer$)$&nbsp; wird derjenige Zahlenwert ausgewählt, der mit der geringsten Bitanzahl auskommt.&nbsp; Hierzu zwei Beispiele zur Verdeutlichung:
-* Der Dezimalwert &nbsp;$r = 3/4$ lässt sich mit zwei Bit darstellen:
+* Der Dezimalwert &nbsp;$r = 3/4$&nbsp; lässt sich mit zwei Bit darstellen:
 :$$r =  1 \cdot 2^{-1}  + 1 \cdot 2^{-2} = 0.75 \hspace{0.3cm}
-\Rightarrow\hspace{0.3cm}\text{binär:}\hspace{0.15cm} 0.11\hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}\text
+\Rightarrow\hspace{0.3cm}\text{binär:}\hspace{0.25cm} 0.11\hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}\text
-{Code:} \hspace{0.15cm} \boldsymbol{\rm 11} \hspace{0.05cm}, $$
+{Code:} \hspace{0.25cm} \boldsymbol{\rm 11} \hspace{0.05cm}, $$
-* Der Dezimalwert &nbsp;$r = 1/3$ benötigt dagegen unendlich viele Bit:
+* Der Dezimalwert &nbsp;$r = 1/3$&nbsp; benötigt dagegen unendlich viele Bit:
 :$$r =  0 \cdot 2^{-1}  + 1 \cdot 2^{-2} + 1 \cdot 2^{-3}+ 1 \cdot 2^{-4}+ 0 \cdot 2^{-5} + 1 \cdot 2^{-6} + \hspace{0.05cm}\text{...}$$
 :$$
-\Rightarrow\hspace{0.3cm}\text{binär:} \hspace{0.15cm}0.011101\hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}
+\Rightarrow\hspace{0.3cm}\text{binär:} \hspace{0.25cm}0.011101\hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}
-\text{Code:} \hspace{0.15cm} \boldsymbol{\rm 011101} \hspace{0.05cm}. $$
+\text{Code:} \hspace{0.25cm} \boldsymbol{\rm 011101} \hspace{0.05cm}. $$
 In dieser Aufgabe beschränken wir uns auf die Bestimmung des aktuellen Intervalls &nbsp;$I$, gekennzeichnet durch den Beginn &nbsp;$B$&nbsp; sowie dem Ende &nbsp;$E$&nbsp; bzw. der Breite &nbsp;$\Delta$.
 *Diese Bestimmung geschieht entsprechend der Intervallschachtelung in obiger Grafik.
-*An der Schraffierung ist zu erkennen, dass die Folge mit  den Ternärsymbolen $\rm XXY$ beginnt.
+*An der Schraffierung ist zu erkennen, dass die Folge mit  den Ternärsymbolen&nbsp; $\rm XXY$&nbsp; beginnt.
 <br clear=all>
 Der Algorithmus funktioniert wie folgt:
-* Vor Beginn (quasi beim nullten Symbol) wird der gesamte Wahrscheinlichkeitsbereich nach den Wahrscheinlichkeiten $p_{\rm X}$, $p_{\rm Y}$ und $p_{\rm Z}$ in drei Bereiche unterteilt. Die Grenzen liegen bei
+* Vor Beginn&nbsp; (quasi beim nullten Symbol)&nbsp; wird der gesamte Wahrscheinlichkeitsbereich nach den Wahrscheinlichkeiten&nbsp; $p_{\rm X}$,&nbsp; $p_{\rm Y}$&nbsp; und&nbsp; $p_{\rm Z}$&nbsp; in drei Bereiche unterteilt.&nbsp; Die Grenzen liegen bei
-:$$B_0 = 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}C_0 = p_{\rm X}\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}D_0 = p_{\rm X} + p_{\rm Y}\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} E_0 = p_{\rm X} + p_{\rm Y}+ p_{\rm Z} = 1\hspace{0.05cm}.$$
+:$$B_0 = 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.4cm}C_0 = p_{\rm X}\hspace{0.05cm},\hspace{0.4cm}D_0 = p_{\rm X} + p_{\rm Y}\hspace{0.05cm},\hspace{0.4cm} E_0 = p_{\rm X} + p_{\rm Y}+ p_{\rm Z} = 1\hspace{0.05cm}.$$
-* Das erste Symbol der zu codierenden Folge ist $\rm X$ &nbsp; &#8658; &nbsp; das ausgewählte Intervall wird  durch $B_0$ und $C_0$ begrenzt. Dieses Intervall wird mit neuem Beginn $B_1 = B_0$ und neuem Ende $E_1 = C_0$ in gleicher Weise aufgeteilt wie der Gesamtbereich im nullten Schritt. Die Zwischenwerte sind $C_1$ und $D_1$.
+* Das erste Symbol der zu codierenden Folge ist&nbsp; $\rm X$. Das bedeutet: &nbsp; das ausgewählte Intervall wird  durch&nbsp; $B_0$&nbsp; und&nbsp; $C_0$&nbsp; begrenzt.&nbsp; Dieses Intervall wird mit neuem Beginn&nbsp; $B_1 = B_0$&nbsp; und neuem Ende&nbsp; $E_1 = C_0$&nbsp; in gleicher Weise aufgeteilt wie der Gesamtbereich im nullten Schritt.&nbsp; Die Zwischenwerte sind&nbsp; $C_1$&nbsp; und&nbsp; $D_1$.
-* Die weitere Intervall&ndash;Aufteilung ist Ihre Aufgabe. Beispielsweise sollen in der Teilaufgabe '''(2)''' die Grenzen $B_2$, $C_2$, $D_2$ und $E_2$ für das zweite Symbol $\rm X$  ermittelt werden und in der Teilaufgabe '''(3)''' die Grenzen $B_3$, $C_3$, $D_3$ und $E_3$ für das dritte Symbol $\rm Y$.
+* Die weitere Intervall&ndash;Aufteilung ist Ihre Aufgabe.&nbsp; Beispielsweise sollen in der Teilaufgabe&nbsp; '''(2)'''&nbsp; die Grenzen&nbsp; $B_2$,&nbsp; $C_2$,&nbsp; $D_2$&nbsp; und&nbsp; $E_2$&nbsp; für das zweite Symbol&nbsp; $\rm X$&nbsp;  ermittelt werden und in der Teilaufgabe&nbsp; '''(3)'''&nbsp; die Grenzen&nbsp; $B_3$,&nbsp; $C_3$,&nbsp; $D_3$&nbsp; und&nbsp; $E_3$&nbsp; für das dritte Symbol&nbsp; $\rm Y$.
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 ''Hinweise:''
-*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Informationstheorie/Weitere_Quellencodierverfahren|Weitere Quellencodierverfahren]].
+*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Informationstheorie/Weitere_Quellencodierverfahren|Weitere Quellencodierverfahren]].
-*Insbesondere wird  Bezug genommen auf die Seite [[Informationstheorie/Weitere_Quellencodierverfahren#Arithmetische_Codierung|Arithmetische Codierung]].
+*Insbesondere wird  Bezug genommen auf die Seite&nbsp; [[Informationstheorie/Weitere_Quellencodierverfahren#Arithmetische_Codierung|Arithmetische Codierung]].
-*Die Binärdarstellung des ausgewählten Intervalls wird in der [[Aufgaben:Aufgabe_2.11:_Nochmals_Arithmetische_Codierung|Aufgabe 2.11Z]] behandelt.
+*Die Binärdarstellung des ausgewählten Intervalls wird in der&nbsp; [[Aufgaben:Aufgabe_2.11:_Nochmals_Arithmetische_Codierung|Aufgabe 2.11Z]]&nbsp; behandelt.
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 <quiz display=simple>
-{Welche Wahrscheinlichkeiten sind der Grafik zugrundegelegt?
+{Welche Wahrscheinlichkeiten liegen der Grafik zugrunde?
 |type="{}"}
 $p_{\rm X} \hspace{0.10cm} = \ $ { 0.7 3% }
@@ Zeile 58: / Zeile 58: @@
-{Wie lauten die Bereichsgrenzen nach der Codierung des zweiten Symbols $\rm X$?
+{Wie lauten die Bereichsgrenzen nach der Codierung des zweiten Symbols&nbsp; $\rm X$?
 |type="{}"}
 $B_2 \hspace{0.12cm} = \ $  { 0. }
@@ Zeile 66: / Zeile 66: @@
-{Wie lauten die Bereichsgrenzen nach der Codierung des dritten Symbols  $\rm Y$?
+{Wie lauten die Bereichsgrenzen nach der Codierung des dritten Symbols&nbsp;  $\rm Y$?
 |type="{}"}
 $B_3 \hspace{0.12cm} = \ $ { 0.343 1% }
@@ Zeile 74: / Zeile 74: @@
-{Nach der Codierung des vierten Symbols ist $B_4 = 0.343$. Was folgt daraus?
+{Nach der Codierung des vierten Symbols ist&nbsp; $B_4 = 0.343$.&nbsp; Was folgt daraus?
-|type="[]"}
+|type="()"}
-+ Das vierte Symbol war $\rm X$.
++ Das vierte Symbol war&nbsp; $\rm X$.
-- Das vierte Symbol war $\rm Y$.
+- Das vierte Symbol war&nbsp; $\rm Y$.
-- Das vierte Symbol war $\rm Z$.
+- Das vierte Symbol war&nbsp; $\rm Z$.
-{Nach weiteren Symbolen wird das Intervall durch $B_7  = 0.3564456$ und $E_7  = 0.359807$ begrenzt. Welche Aussagen treffen zu?
+{Nach weiteren Symbolen wird das Intervall durch&nbsp; $B_7  = 0.3564456$&nbsp; und&nbsp; $E_7  = 0.359807$&nbsp; begrenzt.&nbsp; Welche Aussagen treffen zu?
 |type="[]"}
-- Die zur Codierung anstehende Symbolfolge lautet $\rm XXYXXZX$.
+- Die zur Codierung anstehende Symbolfolge lautet&nbsp; $\rm XXYXXZX$.
-+ Die zur Codierung anstehende Symbolfolge lautet $\rm XXYXXXZ$.
++ Die zur Codierung anstehende Symbolfolge lautet&nbsp; $\rm XXYXXXZ$.
-+ Die Breite des resultierenden Intervalls ist ${\it \Delta} = p_{\rm X}^5 \cdot p_{\rm Y} \cdot p_{\rm Z}$.
++ Die Breite des resultierenden Intervalls ist&nbsp; ${\it \Delta} = p_{\rm X}^5 \cdot p_{\rm Y} \cdot p_{\rm Z}$.

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 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-[[Datei:P_ID2469__Inf_A_2_11_ML.png|right|Intervallschachtelung mit allen Zahlenwerten]]
+[[Datei:P_ID2469__Inf_A_2_11_ML.png|right|frame|Intervallschachtelung mit allen Zahlenwerten]]
 '''(1)'''&nbsp; Aus der Grafik auf der Angabenseite kann man die Wahrscheinlichkeiten ablesen:
 :$$p_{\rm X} = 0.7\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}p_{\rm Y} = 0.1\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}p_{\rm Z} = 0.2\hspace{0.05cm}.$$
-'''(2)'''&nbsp; Auch das zweite Symbol ist <b>X</b>. Bei gleichem Vorgehen wie in der Aufgabenbeschreibung erhält man
 :$$B_2 \hspace{0.1cm}\underline{= 0}\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}C_2 = 0.49 \cdot 0.7 \hspace{0.1cm}\underline{= 0.343}\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}
 D_2 \hspace{0.1cm} \underline{= 0.392}\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}E_2 = C_1  \hspace{0.1cm}\underline{= 0.49} \hspace{0.05cm}.$$
-'''(3)'''&nbsp; Für das  dritte Symbol <b>Y</b> gelten nun die Begrenzungen $B_3 = C_2$  und $E_3 = D_2$:
 :$$B_3 \hspace{0.1cm}\underline{= 0.343}\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}C_3 \hspace{0.1cm}\underline{= 0.3773}\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}
 D_3 \hspace{0.1cm} \underline{= 0.3822}\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}E_3  \hspace{0.1cm}\underline{= 0.392} \hspace{0.05cm}.$$
-'''(4)'''&nbsp; Aus $B_4 = 0.343 = B_3$ (abzulesen in der Grafik auf dem Angabenblatt) folgt zwingend, dass das vierte  Quellensymbol ein <b>X</b> war &nbsp; &#8658; &nbsp; <u>Lösungsvorschlag 1.</u>
+'''(4)'''&nbsp; Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 1</u>:
 '''(5)'''&nbsp; Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 2 und 3:</u>
-*Die Grafik zeigt die Intervallschachtelung mit allen bisherigen Ergebnissen. Man erkennt aus der Schraffierung, dass der zweite Lösungsvorschlag die richtige Symbolfolge angibt:  <b>XXYXXXZ</b>.
+*Die Grafik zeigt die Intervallschachtelung mit allen bisherigen Ergebnissen. Man erkennt aus der Schraffierung, dass der zweite Lösungsvorschlag die richtige Symbolfolge angibt:  &nbsp; $\rm XXYXXXZ$.
-* Die Intervallbreite $\it \Delta$ kann wirklich gemäß dem Vorschlag 3 ermittelt werden:
+* Die Intervallbreite $\it \Delta$ kann wirklich gemäß dem Vorschlag 3 ermittelt werden. Es gilt:
-:$${\it \Delta}  = 0.359807 - 0.3564456 = 0.003614 \hspace{0.05cm}$$
+:$${\it \Delta}  = 0.359807 - 0.3564456 = 0.003614 \hspace{0.05cm},$$
 :$${\it \Delta} =p_{\rm X}^5 \cdot p_{\rm Y} \cdot p_{\rm Z} = 0.7^5 \cdot 0.1 \cdot 0.2 = 0.003614
 \hspace{0.05cm}. $$
 '''(6)'''&nbsp; Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 2</u> &nbsp; &rArr; &nbsp; $r_2 = (0.010111)_{\text{binär}}$, wegen:
 :$$r_2 =  0 \cdot 2^{-1}  + 1 \cdot 2^{-2} + 0 \cdot 2^{-3}+ 1 \cdot 2^{-4}+ 1 \cdot 2^{-5} + 1 \cdot 2^{-6} = 0.359375\hspace{0.05cm}. $$
-*Der Vorschlag 1: $r_1 = (0.101100)_{\text{binär}}$ ist auszuschließen, da der zugehörige Dezimalwert $r_1 > 0.5$ ist.
+*Der Vorschlag 1: &nbsp; $r_1 = (0.101100)_{\text{binär}}$ ist auszuschließen, da der zugehörige Dezimalwert $r_1 > 0.5$ ist.
 *Auch der letzte Lösungsvorschlag ist falsch, da $r_3 = (0.001011)_{\text{binär}} < (0.01)_{\text{binär}} = (0.25)_{\text{dezimal}}$ ergibt.

@@ Zeile 43: / Zeile 43: @@
 *Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Informationstheorie/Weitere_Quellencodierverfahren|Weitere Quellencodierverfahren]].
 *Insbesondere wird  Bezug genommen auf die Seite [[Informationstheorie/Weitere_Quellencodierverfahren#Arithmetische_Codierung|Arithmetische Codierung]].
-*Die Binärdarstellung des ausgewählten Intervalls wird in der [[Aufgaben:2.12_Nochmals_Arithmetische_Codierung|Zusatzaufgabe 2.11Z]] behandelt.
+*Die Binärdarstellung des ausgewählten Intervalls wird in der [[Aufgaben:Aufgabe_2.11:_Nochmals_Arithmetische_Codierung|Zusatzaufgabe 2.11Z]] behandelt.

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 *Insbesondere wird  Bezug genommen auf die Seite [[Informationstheorie/Weitere_Quellencodierverfahren#Arithmetische_Codierung|Arithmetische Codierung]].
 *Die Binärdarstellung des ausgewählten Intervalls wird in der [[Aufgaben:2.12_Nochmals_Arithmetische_Codierung|Zusatzaufgabe 2.11Z]] behandelt.
-*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes &bdquo;0&rdquo; erforderlich sein, so geben Sie bitte &bdquo;0.&rdquo; ein.
 ===Fragebogen===