Aufgaben:Aufgabe 2.10Z: Coderate und minimale Distanz - Versionsgeschichte

Guenter am 12. Oktober 2022 um 11:08 Uhr

2022-10-12T11:08:50Z

Guenter am 12. Oktober 2022 um 10:54 Uhr

2022-10-12T10:54:46Z

Guenter am 22. Mai 2019 um 15:45 Uhr

2019-05-22T15:45:19Z

Guenter am 22. Mai 2019 um 15:39 Uhr

2019-05-22T15:39:54Z

Tasnad: Textersetzung - „* Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „“

2018-05-29T11:39:39Z

Textersetzung - „* Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „“

Guenter am 10. Januar 2018 um 14:57 Uhr

2018-01-10T14:57:26Z

Guenter am 10. Januar 2018 um 14:48 Uhr

2018-01-10T14:48:27Z

Guenter am 10. Januar 2018 um 14:43 Uhr

2018-01-10T14:43:55Z

Guenter am 10. Januar 2018 um 14:41 Uhr

2018-01-10T14:41:43Z

Guenter am 3. Januar 2018 um 09:40 Uhr

2018-01-03T09:40:05Z

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 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; Aus der Codelänge $n = 255$ folgt $q \ \underline{= 256}$.
+'''(1)'''&nbsp; Aus der Codelänge&nbsp; $n = 255$&nbsp; folgt&nbsp; $q \ \underline{= 256}$.
-*Die Coderate ergibt sich zu $R = {223}/{255} \hspace{0.15cm}\underline {=0.8745}\hspace{0.05cm}.$
+*Die Coderate ergibt sich zu&nbsp; $R = {223}/{255} \hspace{0.15cm}\underline {=0.8745}\hspace{0.05cm}.$
-*Die minimale Distanz beträgt $d_{\rm min} = n - k +1 = 255 - 223 +1
+*Die minimale Distanz beträgt&nbsp; $d_{\rm min} = n - k +1 = 255 - 223 +1
   \hspace{0.15cm}\underline {=33}\hspace{0.05cm}.$
 *Damit können
-:* $e = d_{\rm min} - 1 \ \underline{= 32}$ Symbolfehler erkannt werden, und
+:* $e = d_{\rm min} - 1 \ \underline{= 32}$&nbsp; Symbolfehler erkannt werden,&nbsp; und
 :* $t = e/2$ (abgerundet), also $\underline{t = 16}$ Symbolfehler korrigiert werden.
-'''(2)'''&nbsp; Der Code $\rm RSC \, (2040, \, 1784, \, d_{\rm min})_2$ ist die Binärrepräsentation des unter (1) behandelten ${\rm RSC} \, (255, \, 223, \, 33)_{256}$ mit genau der gleichen Coderate $R \ \underline{= 0.8745}$ und ebenfalls gleicher Minimaldistanz $d_{\rm min} \ \underline{= 33}$ wie dieser. Hier werden pro Codesymbol $8$ Bit  (1  Byte) verwendet.
+'''(2)'''&nbsp; Der Code&nbsp; $\rm RSC \, (2040, \, 1784, \, d_{\rm min})_2$&nbsp; ist die Binärrepräsentation des unter (1) behandelten &nbsp; ${\rm RSC} \, (255, \, 223, \, d_{\rm min})_{256}$&nbsp;
-'''(4)'''&nbsp; Der RS&ndash;Decoder kann 16 verfälschte Codesymbole korrigieren,
-*wobei es egal ist, ob in einem Codesymbol nur ein Bit oder alle $m = 8$ Bit verfälscht wurden.
+'''(4)'''&nbsp; Der RS&ndash;Decoder kann&nbsp; $16$&nbsp; verfälschte Codesymbole korrigieren.
-*Deshalb können bei der günstigsten Fehlerverteilung bis zu $N_4 = 8 \cdot 16 \ \underline{= 128}$ Bit verfälscht sein, ohne dass das Codewort falsch decodiert wird.
+*Dabei ist es egal,&nbsp; ob in einem Codesymbol nur ein Bit oder alle&nbsp; $m = 8$&nbsp; Bit verfälscht wurden.
 {{ML-Fuß}}

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 [[Datei:P_ID2526__KC_Z_2_10.png|right|frame|Die beiden Erfinder der Reed–Solomon–Codes]]
-Die von&nbsp; [https://de.wikipedia.org/wiki/Irving_Stoy_Reed Irving Stoy Reed]&nbsp; und&nbsp; [https://de.wikipedia.org/wiki/Gustave_Solomon Gustave Solomon]&nbsp; Anfang der 1960er Jahre entwickelten Codes werden in diesem Tutorial wie folgt bezeichnet:
+Die von&nbsp; &raquo;[https://de.wikipedia.org/wiki/Irving_Stoy_Reed Irving Stoy Reed]&laquo;&nbsp; und&nbsp; &raquo;[https://de.wikipedia.org/wiki/Gustave_Solomon Gustave Solomon]&laquo;&nbsp; Anfang der 1960er Jahre entwickelten Codes werden in diesem Tutorial wie folgt bezeichnet:
 :$${\rm RSC} \, (n, \, k, \, d_{\rm min}) _q.$$
 Die Codeparameter haben folgende Bedeutungen:
-* $q = 2^m$&nbsp; ist ein Hinweis auf die Größe des Galoisfeldes &nbsp; &#8658; &nbsp; ${\rm GF}(q)$,
+* $q = 2^m$&nbsp; ist ein Hinweis auf die&nbsp; <u>Größe des Galoisfeldes</u> &nbsp; &#8658; &nbsp; ${\rm GF}(q)$,
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-''Hinweise:''
+* Die für diese Aufgabe relevanten Informationen finden Sie auf der Seite&nbsp; [[Kanalcodierung/Definition_und_Eigenschaften_von_Reed%E2%80%93Solomon%E2%80%93Codes#Codebezeichnung_und_Coderate|"Codebezeichnung und Coderate"]].
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 $d_{\rm min} \ = \ ${ 33 }
-{Wieviele Bitfehler&nbsp; $(N_3)$&nbsp; darf ein Empfangswort&nbsp; $\underline{y}$&nbsp; maximal aufweisen, damit es <u>mit Sicherheit richtig decodiert wird</u>?
+{Wieviele Bitfehler&nbsp; $(N_3)$&nbsp; darf ein Empfangswort&nbsp; $\underline{y}$&nbsp; maximal aufweisen,&nbsp; damit es&nbsp; <u>mit Sicherheit richtig decodiert wird</u>?
 |type="{}"}
 $N_{3} \ = \ $ { 16 }
-{Wieviele Bitfehler&nbsp; $(N_4)$&nbsp; darf ein Empfangswort&nbsp; $\underline{y}$&nbsp; im günstigsten Fall aufweisen, damit es noch <u>richtig decodiert werden könnte</u>?
+{Wieviele Bitfehler&nbsp; $(N_4)$&nbsp; darf ein Empfangswort&nbsp; $\underline{y}$&nbsp; <u>im günstigsten Fall</u>&nbsp; aufweisen,&nbsp; damit es noch&nbsp; <u>richtig decodiert werden könnte</u>?
 |type="{}"}
 $N_{4} \ = \ $ { 128 }

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 '''(1)'''&nbsp; Aus der Codelänge $n = 255$ folgt $q \ \underline{= 256}$.
-Die Coderate ergibt sich zu $R = {223}/{255} \hspace{0.15cm}\underline {=0.8745}\hspace{0.05cm}.$
+*Die Coderate ergibt sich zu $R = {223}/{255} \hspace{0.15cm}\underline {=0.8745}\hspace{0.05cm}.$
-Die minimale Distanz beträgt $d_{\rm min} = n - k +1 = 255 - 223 +1
+*Die minimale Distanz beträgt $d_{\rm min} = n - k +1 = 255 - 223 +1
   \hspace{0.15cm}\underline {=33}\hspace{0.05cm}.$
-Damit können
+*Damit können
-* $e = d_{\rm min} - 1 \ \underline{= 32}$ Symbolfehler erkannt werden, und
+:* $e = d_{\rm min} - 1 \ \underline{= 32}$ Symbolfehler erkannt werden, und
-* $t = e/2$ (abgerundet), also $\underline{t = 16}$ Symbolfehler korrigiert werden.
+:* $t = e/2$ (abgerundet), also $\underline{t = 16}$ Symbolfehler korrigiert werden.
 '''(2)'''&nbsp; Der Code $\rm RSC \, (2040, \, 1784, \, d_{\rm min})_2$ ist die Binärrepräsentation des unter (1) behandelten ${\rm RSC} \, (255, \, 223, \, 33)_{256}$ mit genau der gleichen Coderate $R \ \underline{= 0.8745}$ und ebenfalls gleicher Minimaldistanz $d_{\rm min} \ \underline{= 33}$ wie dieser. Hier werden pro Codesymbol $8$ Bit  (1  Byte) verwendet.
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 '''(4)'''&nbsp; Der RS&ndash;Decoder kann 16 verfälschte Codesymbole korrigieren, wobei es egal ist, ob in einem Codesymbol nur ein Bit oder alle $m = 8$ Bit verfälscht wurden. Deshalb können bei der günstigsten Fehlerverteilung bis zu $N_4 = 8 \cdot 16 \ \underline{= 128}$ Bit verfälscht sein, ohne dass das Codewort falsch decodiert wird.
 {{ML-Fuß}}

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 [[Datei:P_ID2526__KC_Z_2_10.png|right|frame|Die beiden Erfinder der Reed–Solomon–Codes]]
-Die von [https://de.wikipedia.org/wiki/Irving_Stoy_Reed Irving Story Reed] und [https://de.wikipedia.org/wiki/Gustave_Solomon Gustav Solomon] Anfang der 1960er Jahre entwickelten Codes werden in diesem Tutorial wie folgt mit
+Die von&nbsp; [https://de.wikipedia.org/wiki/Irving_Stoy_Reed Irving Stoy Reed]&nbsp; und&nbsp; [https://de.wikipedia.org/wiki/Gustave_Solomon Gustave Solomon]&nbsp; Anfang der 1960er Jahre entwickelten Codes werden in diesem Tutorial wie folgt bezeichnet:
-${\rm RSC} \, (n, \, k, \, d_{\rm min}) _q.$ bezeichnet.
+:$${\rm RSC} \, (n, \, k, \, d_{\rm min}) _q.$$
 Die Codeparameter haben folgende Bedeutungen:
-* $q = 2^m$ ist ein Hinweis auf die Größe des Galoisfeldes &nbsp; &#8658; &nbsp; ${\rm GF}(q)$,
+* $q = 2^m$&nbsp; ist ein Hinweis auf die Größe des Galoisfeldes &nbsp; &#8658; &nbsp; ${\rm GF}(q)$,
-* $n = q - 1$ ist die Codelänge (Symbolanzahl eines Codewortes),
+* $n = q - 1$&nbsp; ist die Codelänge (Symbolanzahl eines Codewortes),
-* $k$ gibt die Dimension an (Symbolanzahl eines Informationsblocks),
+* $k$&nbsp; gibt die Dimension an (Symbolanzahl eines Informationsblocks),
-* $d_{\rm min}$ bezeichnet die minimale Distanz zwischen zwei Codeworten. Für die Reed–Solomon–Codes gilt $d_{\rm min} = n - k + 1$.
+* $d_{\rm min}$&nbsp; bezeichnet die minimale Distanz zwischen zwei Codeworten. Für jeden Reed–Solomon–Codes gilt&nbsp; $d_{\rm min} = n - k + 1$.
-*Mit keinem anderen Code mit gleichem $k$ und  $n$ ergibt sich ein größerer Wert.
+*Mit keinem anderen Code mit gleichem&nbsp; $k$&nbsp; und&nbsp;  $n$&nbsp; ergibt sich ein größerer Wert.
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 ''Hinweise:''
-* Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Kanalcodierung/Definition_und_Eigenschaften_von_Reed%E2%80%93Solomon%E2%80%93Codes| Definition und Eigenschaften von Reed&ndash;Solomon&ndash;Codes]].
+* Die Aufgabe gehört zum Kapitel&nbsp; [[Kanalcodierung/Definition_und_Eigenschaften_von_Reed%E2%80%93Solomon%E2%80%93Codes| Definition und Eigenschaften von Reed&ndash;Solomon&ndash;Codes]].
-* Die für diese Aufgabe relevanten Informationen finden Sie am Ende des Theorieteils, nämlich auf der Seite [[Kanalcodierung/Definition_und_Eigenschaften_von_Reed%E2%80%93Solomon%E2%80%93Codes#Codebezeichnung_und_Coderate|Codebezeichnung und Coderate]].
+* Die für diese Aufgabe relevanten Informationen finden Sie auf der Seite&nbsp; [[Kanalcodierung/Definition_und_Eigenschaften_von_Reed%E2%80%93Solomon%E2%80%93Codes#Codebezeichnung_und_Coderate|Codebezeichnung und Coderate]].
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 ===Fragebogen===
 <quiz display=simple>
-{Geben Sie die Kenngrößen des ${\rm RSC} \, (255, \, 223, \, d_{\rm min})_q$ an.
+{Geben Sie die Kenngrößen des&nbsp; ${\rm RSC} \, (255, \, 223, \, d_{\rm min})_q$&nbsp; an.
 |type="{}"}
 $q \hspace{0.2cm} = \ ${ 256 }
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 $d_{\rm min} \ = \ ${ 33 }
-{Geben Sie die Kenngrößen des $\rm RSC \, (2040, \, 1784, \, d_{\rm min})_2$ an.
+{Geben Sie die Kenngrößen des&nbsp; $\rm RSC \, (2040, \, 1784, \, d_{\rm min})_2$&nbsp; an.
 |type="{}"}
 $R \hspace{0.2cm} = \ ${ 0.8745 3% }
 $d_{\rm min} \ = \ ${ 33 }
-{Wieviele Bitfehler $(N_3)$ darf ein Empfangswort $\underline{y}$ maximal aufweisen, damit es <u>mit Sicherheit richtig decodiert wird</u>?
+{Wieviele Bitfehler&nbsp; $(N_3)$&nbsp; darf ein Empfangswort&nbsp; $\underline{y}$&nbsp; maximal aufweisen, damit es <u>mit Sicherheit richtig decodiert wird</u>?
 |type="{}"}
 $N_{3} \ = \ $ { 16 }
-{Wieviele Bitfehler $(N_4)$ darf ein Empfangswort $\underline{y}$ im günstigsten Fall aufweisen, damit es noch <u>richtig decodiert werden könnte</u>?
+{Wieviele Bitfehler&nbsp; $(N_4)$&nbsp; darf ein Empfangswort&nbsp; $\underline{y}$&nbsp; im günstigsten Fall aufweisen, damit es noch <u>richtig decodiert werden könnte</u>?
 |type="{}"}
 $N_{4} \ = \ $ { 128 }

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 * Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Kanalcodierung/Definition_und_Eigenschaften_von_Reed%E2%80%93Solomon%E2%80%93Codes| Definition und Eigenschaften von Reed&ndash;Solomon&ndash;Codes]].
 * Die für diese Aufgabe relevanten Informationen finden Sie am Ende des Theorieteils, nämlich auf der Seite [[Kanalcodierung/Definition_und_Eigenschaften_von_Reed%E2%80%93Solomon%E2%80%93Codes#Codebezeichnung_und_Coderate|Codebezeichnung und Coderate]].
-* Sollte die Eingabe des Zahlenwertes &bdquo;0&rdquo; erforderlich sein, so geben Sie bitte &bdquo;0.&rdquo; ein.

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 $q \ = \ ${ 256 }
 $R \ = \ ${ 0.8745 3% }
 $e \ = \ ${ 32 }
 $t \ = \ ${ 16 }

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