Aufgaben:Aufgabe 2.10: Fehlererkennung bei Reed–Solomon - Versionsgeschichte

Guenter am 11. Oktober 2022 um 15:26 Uhr

2022-10-11T15:26:50Z

Guenter am 11. Oktober 2022 um 15:07 Uhr

2022-10-11T15:07:11Z

Guenter am 22. Mai 2019 um 15:33 Uhr

2019-05-22T15:33:40Z

Guenter am 22. Mai 2019 um 15:22 Uhr

2019-05-22T15:22:37Z

Mwiki-lnt: Textersetzung - „* Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

2018-05-29T11:41:07Z

Textersetzung - „* Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

Guenter am 10. Januar 2018 um 14:29 Uhr

2018-01-10T14:29:36Z

Guenter am 10. Januar 2018 um 14:28 Uhr

2018-01-10T14:28:30Z

Guenter am 10. Januar 2018 um 11:53 Uhr

2018-01-10T11:53:06Z

Guenter: Guenter verschob die Seite Aufgaben:Aufgabe 2.10: Fehlererkennung bei RSC nach Aufgaben:Aufgabe 2.10: Fehlererkennung bei Reed–Solomon

2018-01-10T11:23:32Z

Guenter verschob die Seite Aufgabe 2.10: Fehlererkennung bei RSC nach Aufgabe 2.10: Fehlererkennung bei Reed–Solomon

Guenter am 3. Januar 2018 um 09:39 Uhr

2018-01-03T09:39:22Z

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 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; Die Gleichung zur Beschreibung der Gewichte $W_i$ lautet (die minimale Distanz $d_{\rm min}$ ist hier mit $d$ abgekürzt):
+'''(1)'''&nbsp; Die Gleichung zur Beschreibung der Gewichte&nbsp; $W_i$&nbsp; lautet&nbsp; $($die minimale Distanz&nbsp; $d_{\rm min}$&nbsp; ist hier mit&nbsp; $d$&nbsp; abgekürzt$)$:
 :$$W_i =   {n \choose i} \cdot \sum_{j = 0}^{i-d}\hspace{0.15cm}(-1)^j \cdot {i \choose j} \cdot \big  [\hspace{0.03cm}q^{i\hspace{0.03cm}-\hspace{0.03cm}j\hspace{0.03cm}-\hspace{0.03cm}d\hspace{0.03cm}+\hspace{0.03cm}1}-1 \hspace{0.03cm} \big ]\hspace{0.05cm}.$$
-Wegen der minimalen Distanz $d_{\min} = 5$ sind $W_3 \ \underline{= 0}$ und $W_4 \ \underline{= 0}$. Die weiteren Gewichte ergeben sich zu
+*Wegen der minimalen Distanz&nbsp; $d_{\min} = 5$&nbsp; sind&nbsp; $W_3 \ \underline{= 0}$&nbsp; und&nbsp; $W_4 \ \underline{= 0}$.&nbsp; Die weiteren Gewichte ergeben sich zu
 :$$W_5 =   {7 \choose 5} \cdot (8^1 - 1) = \frac {7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot4 \cdot 3}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot4 \cdot 5} \cdot 7 = 21 \cdot 7
 \hspace{0.15cm}\underline {= 147}\hspace{0.05cm},$$
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-'''(2)'''&nbsp; Analog zur Teilaufgabe (1) erhält man:
+'''(2)'''&nbsp; Analog zur Teilaufgabe&nbsp; '''(1)'''&nbsp; erhält man:
 :$$W_3 =   {7 \choose 3} \cdot (8^1 - 1) = \frac {7 \cdot 6 \cdot 5 }{1 \cdot 2 \cdot 3 } \cdot 7 = 35 \cdot 7
 \hspace{0.15cm}\underline {= 245}\hspace{0.05cm}.$$
-'''(3)'''&nbsp; Die Verfälschungswahrscheinlichkeit eines Symbols ist mit $\varepsilon_{\rm S} = 0.1$ gegeben.
+'''(3)'''&nbsp; Die Verfälschungswahrscheinlichkeit eines Symbols ist mit&nbsp; $\varepsilon_{\rm S} = 0.1$&nbsp; gegeben.&nbsp; Dann gilt für die Wahrscheinlichkeit,&nbsp; dass in einem Codewort mit&nbsp; $n = 7$&nbsp; Codesymbolen
+* genau drei Symbole verfälscht werden:
 :$$p_3 =  0.1^3  \cdot 0.9^4 = 0.6561  \cdot 10^{-3}
 \hspace{0.05cm},$$
-* genau 4 Symbole verfälscht werden:
+* genau vier Symbole verfälscht werden:
 :$$p_4 =  0.1^4  \cdot 0.9^3 = 0.729  \cdot 10^{-4}
 \hspace{0.05cm},$$
-* genau 5 Symbole verfälscht werden:
+* genau fünf Symbole verfälscht werden:
 :$$p_5 =  0.1^5  \cdot 0.9^2 = 0.81  \cdot 10^{-5}
 \hspace{0.05cm},$$
-* genau 6 Symbole verfälscht werden:
+* genau sechs Symbole verfälscht werden:
 :$$p_6 =  0.1^6  \cdot 0.9 = 0.9  \cdot 10^{-6}\hspace{0.05cm},$$
 * alle $n = 7$ Symbole verfälscht werden:
 :$$p_7 =  0.1^7  = 10^{-7}\hspace{0.05cm}.$$
-Beim $\rm RSC \, (7, \, 3, \, 5)_8$ kann das Nullwort durch Symbolfehler in eines von $q^k - 1 = 8^3 - 1 = 511$ anderen Codeworten verfälscht werden.
+&rArr; &nbsp; Beim $\rm RSC \, (7, \, 3, \, 5)_8$&nbsp; kann das Nullwort durch Symbolfehler in eines von&nbsp; $q^k - 1 = 8^3 - 1 = 511$&nbsp; anderen Codeworten verfälscht werden.&nbsp; Damit erhält man mit den Gewichtsfunktionen von Teilaufgabe&nbsp; '''(1)''':
 :$${\rm Pr}({\rm Blockfehler}) \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} \frac {W_5 \cdot p_5 + W_6 \cdot p_6 + W_7 \cdot p_7}{511} =\frac {147 \cdot 0.81  \cdot 10^{-5} + 147 \cdot 0.9  \cdot 10^{-6} + 217 \cdot 10^{-7}}{511}
 \hspace{0.15cm}\underline {\approx  0.263  \cdot 10^{-5}} \hspace{0.05cm}.$$
-Beim $\rm RSC \, (7, \, 5, \, 3)_8$ muss wegen $k = 5$ über $8^5 - 1 = 32767$ Verfälschungswahrscheinlichkeiten gemittelt werden.
+&rArr; &nbsp; Beim $\rm RSC \, (7, \, 5, \, 3)_8$&nbsp; muss wegen&nbsp; $k = 5$&nbsp; über&nbsp; $8^5 - 1 = 32767$&nbsp; Verfälschungswahrscheinlichkeiten gemittelt werden.&nbsp; Mit&nbsp; $W_3 = 245$&nbsp; aus Teilaufgabe&nbsp; '''(2)'''&nbsp; und den Gewichten
+:$$W_4 = 1224, \ W_5 = 5586, \ W_6 = 12838, \ W_7 = 12873$$
-Mit $W_3 = 245$ aus Teilaufgabe (2) und den Gewichten $W_4 = 1224, \ W_5 = 5586, \ W_6 = 12838, \ W_7 = 12873$ gemäß Angabenblatt erhält man hierfür:
+gemäß Angabenblatt erhält man hierfür:
 :$${\rm Pr}({\rm Blockfehler}) \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} \frac {W_3 \cdot p_3 + W_4 \cdot p_4 + W_5 \cdot p_5 + W_6 \cdot p_6 + W_7 \cdot p_7}{32767} =\frac {245 \cdot 0.656  \cdot 10^{-3} + \hspace{0.15cm}... \hspace{0.15cm}+ 12873 \cdot 10^{-7}}{32767}
 \hspace{0.15cm}\underline {\approx  0.942  \cdot 10^{-5}} \hspace{0.05cm}. $$
-'''(4)'''&nbsp; Bekannt sei nur $d_{\rm min}$ (weiter mit $d$ abgekürzt) und damit auch $p_d = \varepsilon_{\rm S}^d \cdot (1 - \varepsilon_{\rm S})^{n-d}$. Dies ist gleichzeitig die gesuchte obere Schranke:
+:* ${\rm RSC} \, (7, \, 5, \, 3)_8 \text{:} \hspace{0.33cm} {\rm Pr(Obere \ Schranke)} = p_3 = \underline{65.6 \cdot 10^{-5}}$.
-Da das Gewicht $W_d$ als nicht bekannt vorausgesetzt wurde, setzt man dieses auf den maximal möglichen Wert ($W_5 = 511$ bzw. $W_3 = 32767$), so dass die Vorfaktoren in den Gleichungen zur Teilaufgabe (3) verschwinden. Nur so ist eine obere Schranke sichergestellt.
+*Da das Gewicht&nbsp; $W_d$&nbsp; als nicht bekannt vorausgesetzt wurde,&nbsp; setzt man dieses auf den maximal möglichen Wert&nbsp; $(W_5 = 511$&nbsp; bzw.&nbsp; $W_3 = 32767)$,&nbsp; so dass die Vorfaktoren in den Gleichungen zur Teilaufgabe&nbsp; '''(3)'''&nbsp; verschwinden.&nbsp; Nur so ist eine obere Schranke sichergestellt.
-Die obere Schranke liegt in beiden Fällen deutlich über den Ergebnissen der Teilaufgabe (3):
+*Die obere Schranke liegt in beiden Fällen deutlich über den Ergebnissen der Teilaufgabe&nbsp; '''(3)''':
-* $\rm RSC \, (7, \, 3, \, 5)_8 \text{:} \hspace{0.33cm} 0.810 \cdot 10^{-5}$ statt $0.263 \cdot 10^{-5}$ (Faktor ca. $3$),
+:* $\rm RSC \, (7, \, 3, \, 5)_8 \text{:} \hspace{0.33cm} 0.810 \cdot 10^{-5}$&nbsp; statt&nbsp; $0.263 \cdot 10^{-5}$&nbsp; $($Faktor ca. $3)$,
-'''(5)'''&nbsp; Mit der Abkürzung $d = d_{\rm min}$ erhält man für die untere Schranke:
+'''(5)'''&nbsp; Mit der Abkürzung&nbsp; $d = d_{\rm min}$&nbsp; erhält man für die untere Schranke:
 :$${\rm Pr}({\rm Untere\hspace{0.15cm} Schranke})= \frac{W_d \cdot p_d}{q^k -1}
   \hspace{0.05cm}. $$
-* Für den $\rm RSC \, (7, \, 3, \, 5)_8$ liegt wegen $W_d = W_5$ und $p_d = p_5$ die unter Schranke um etwa $11\%$ unterhalb des tatsächlichen Wertes $(0.263 \cdot 10^{-5})$:
+* Für den&nbsp; $\rm RSC \, (7, \, 3, \, 5)_8$&nbsp; liegt wegen&nbsp; $W_d = W_5$&nbsp; und&nbsp; $p_d = p_5$&nbsp; die unter Schranke um etwa&nbsp; $11\%$ &nbsp;unterhalb des tatsächlichen Wertes&nbsp; $(0.263 \cdot 10^{-5})$:
 :$${\rm Pr}({\rm Untere\hspace{0.15cm} Schranke}) = \frac{147 \cdot 0.81  \cdot 10^{-5}}{511}
   \hspace{0.15cm}\underline {\approx  0.233  \cdot 10^{-5}}$$
-* Für den $\rm RSC \, (7, \, 5, \, 3)_8$ gilt mit $W_d = W_3$ und $p_d = p_3$ weicht die untere Schranke hier vom tatsächlichen Wert $(0.942 \cdot 10^{-5})$stärker ab, weil bei diesem Code die Beiträge der höheren Gewichte $(W_4, \ W_5, \ W_6, \ W_7)$ in Relation zu $W_3$ relevanter sind:
+* Für den&nbsp; $\rm RSC \, (7, \, 5, \, 3)_8$&nbsp; gilt mit&nbsp; $W_d = W_3$&nbsp; und&nbsp; $p_d = p_3$&nbsp; weicht die untere Schranke hier vom tatsächlichen Wert&nbsp; $(0.942 \cdot 10^{-5})$&nbsp; stärker ab,&nbsp; weil bei diesem Code die Beiträge der höheren Gewichte&nbsp; $(W_4, \ W_5, \ W_6, \ W_7)$&nbsp; in Relation zu&nbsp; $W_3$&nbsp; relevanter sind:
 :$${\rm Pr}({\rm Untere\hspace{0.15cm} Schranke}) = \frac{245 \cdot 0.656  \cdot 10^{-3}}{32767}
   \hspace{0.15cm}\underline {\approx  0.494  \cdot 10^{-5}}\hspace{0.05cm}.$$

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 [[Datei: P_ID2524__KC_A_2_10.png|right|frame|Distanzspektren zweier verschiedener Reed–Solomon–Codes]]
-Bei einem linearen Blockcode können bis zu&nbsp; $e = d_{\rm min} - 1$&nbsp; Fehler erkannt werden. Bei allen Reed&ndash;Solomon&ndash;Codes beträgt dabei die minimale Distanz
+Bei einem linearen Blockcode können bis zu&nbsp; $e = d_{\rm min} - 1$&nbsp; Fehler erkannt werden.&nbsp; Bei allen Reed&ndash;Solomon&ndash;Codes beträgt dabei die minimale Distanz
 :$$d_{\rm min} = n-k+1  \hspace{0.05cm}.$$
 Man muss folgende Fälle unterscheiden:
-* Treten nicht mehr als&nbsp; $e = n - k$&nbsp; Symbolfehler auf, so wird der Block stets als fehlerhaft erkannt.
+* Treten nicht mehr als &nbsp; $e = d_{\rm min} - 1= n - k$ &nbsp; Symbolfehler auf,&nbsp; so wird der Block stets als fehlerhaft erkannt.
 * Die Fehlererkennung kann auch bei mehr als&nbsp; $n - k$&nbsp; Symbolfehlern noch funktionieren, und zwar dann, wenn das Empfangswort kein gültiges Codewort des Reed&ndash;Solomon&ndash;Codes ist:
-:$$\underline {y} \notin C_{\rm RS} = \{ \underline {c}_{\hspace{0.05cm}0}, \hspace{0.05cm}\text{...} \hspace{0.1cm}, \underline {c}_i,  \hspace{0.05cm}\text{...} \hspace{0.1cm},  \underline {c}_{\hspace{0.05cm}n -1} \}
+* Die Fehlererkennung kann auch bei mehr als&nbsp; $n - k$&nbsp; Symbolfehlern noch funktionieren,&nbsp; und zwar dann,&nbsp; wenn das Empfangswort kein gültiges Codewort des Reed&ndash;Solomon&ndash;Codes ist:
   \hspace{0.05cm}. $$
-* Ist aber das verfälschte Empfangswort&nbsp; $(\underline{y} &ne; \underline{c})$&nbsp; ein gültiges Codewort &nbsp; &#8658; &nbsp; $\underline{y}$, so bleibt bei der Decodierung der fehlerhafte Block unentdeckt.
+* Ist aber das verfälschte Empfangswort&nbsp; $(\underline{y} \ne \underline{c})$&nbsp;  ein gültiges Codewort&nbsp; $(\underline{y\in C_{\rm RS}})$,&nbsp; so bleibt bei der Decodierung der fehlerhafte Block unentdeckt.
-Wir definieren als Blockfehlerwahrscheinlichkeit.
+Wir definieren als&nbsp; '''Blockfehlerwahrscheinlichkeit''':
 :$${\rm Pr}({\rm Blockfehler}) = {\rm Pr}(\underline {y} \ne \underline {c})
   \hspace{0.05cm}.$$
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 In dieser Aufgabe soll diese Wahrscheinlichkeit für folgende Codes ermittelt werden:
 * Reed&ndash;Solomon&ndash;Code&nbsp; $(7, \, 3, \, 5)_8 \ \Rightarrow \ d_{\rm min} = 5$,
 * Reed&ndash;Solomon&ndash;Code&nbsp; $(7, \, 5, \, 3)_8 \ \Rightarrow \ d_{\rm min} = 3$.
@@ Zeile 24: / Zeile 26: @@
 Weiterhin soll gelten:
 * Jedes Symbol wird mit der Wahrscheinlichkeit&nbsp; $\varepsilon_{\rm S} = 0.1$&nbsp; in ein anderes Symbol verfälscht und mit der Wahrscheinlichkeit&nbsp; $1 - \varepsilon_{\rm S} = 0.9$&nbsp; richtig übertragen.
 * Für das Distanzspektrum eines Reed&ndash;Solomon&ndash;Codes der Länge&nbsp; $n$&nbsp; gilt mit&nbsp; $d = d_{\rm min}$:
 :$$W_i =   {n \choose i} \cdot \sum_{j = 0}^{i-d}\hspace{0.15cm}(-1)^j \cdot {i \choose j} \cdot \big  [\hspace{0.03cm}q^{i\hspace{0.03cm}-\hspace{0.03cm}j\hspace{0.03cm}-\hspace{0.03cm}d\hspace{0.03cm}+\hspace{0.03cm}1}-1 \hspace{0.03cm} \big ]\hspace{0.05cm}.$$
 Daneben sollen zwei Schranken für die Blockfehlerwahrscheinlichkeit betrachtet und bewertet werden:
-* Ist allein die minimale Distanz bekannt, so kann man daraus eine <i>obere Schranke</i>&nbsp; ableiten. Die Gewichtsfaktoren&nbsp; $W_i$&nbsp; sind dabei so zu wählen, dass sicher (das heißt:  &nbsp; bei allen Konstellationen) gilt:
+* Ist allein die minimale Distanz bekannt,&nbsp;  so kann man daraus eine&nbsp; <u>obere Schranke</u>&nbsp; ableiten.&nbsp; Die Gewichtsfaktoren&nbsp; $W_i$&nbsp; sind dabei so zu wählen,&nbsp; dass sicher&nbsp; (das heißt:&nbsp; bei allen Konstellationen)&nbsp; gilt:
 :$${\rm Pr}({\rm Obere\hspace{0.15cm} Schranke}) \ge {\rm Pr}({\rm Blockfehler})
   \hspace{0.05cm}. $$
-* Eine <i>untere Schranke</i>&nbsp; erfordert zusätzlich die Kenntnis der Gewichtsfunktion&nbsp; $W_i$&nbsp; für&nbsp; $i = d_{\rm min}$. Damit kann folgende Bedingung erfüllt werden:
+* Eine <u>untere Schranke</u>&nbsp; erfordert zusätzlich die Kenntnis der Gewichtsfunktion&nbsp; $W_i$&nbsp; für&nbsp; $i = d_{\rm min}$.&nbsp; Damit kann folgende Bedingung erfüllt werden:
 :$${\rm Pr}({\rm Untere\hspace{0.15cm} Schranke}) \le {\rm Pr}({\rm Blockfehler})
   \hspace{0.05cm}.$$
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 * Zu berechnen sind die in der obigen Grafik rot markierten Gewichte&nbsp; $W_i$.

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-'''(3)'''&nbsp; Die Verfälschungswahrscheinlichkeit eines einzelnen Symbols ist mit $\varepsilon_{\rm S} = 0.1$ gegeben. Dann gilt für die Wahrscheinlichkeit, dass in einem Codewort mit $n = 7$ Codesymbolen
+'''(3)'''&nbsp; Die Verfälschungswahrscheinlichkeit eines Symbols ist mit $\varepsilon_{\rm S} = 0.1$ gegeben.
 * genau 3 Symbole verfälscht werden:
 :$$p_3 =  0.1^3  \cdot 0.9^4 = 0.6561  \cdot 10^{-3}
@@ Zeile 116: / Zeile 118: @@
 :$$p_7 =  0.1^7  = 10^{-7}\hspace{0.05cm}.$$
-Beim $\rm RSC \, (7, \, 3, \, 5)_8$ kann das Nullwort durch Symbolfehler in eines von $q^k - 1 = 8^3 - 1 = 511$ anderen Codeworten verfälscht werden. Damit erhält man mit den Gewichtsfunktionen von Teilaufgabe (1):
+Beim $\rm RSC \, (7, \, 3, \, 5)_8$ kann das Nullwort durch Symbolfehler in eines von $q^k - 1 = 8^3 - 1 = 511$ anderen Codeworten verfälscht werden.
 :$${\rm Pr}({\rm Blockfehler}) \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} \frac {W_5 \cdot p_5 + W_6 \cdot p_6 + W_7 \cdot p_7}{511} =\frac {147 \cdot 0.81  \cdot 10^{-5} + 147 \cdot 0.9  \cdot 10^{-6} + 217 \cdot 10^{-7}}{511}
 \hspace{0.15cm}\underline {\approx  0.263  \cdot 10^{-5}} \hspace{0.05cm}.$$
-Beim $\rm RSC \, (7, \, 5, \, 3)_8$ muss wegen $k = 5$ über $8^5 - 1 = 32767$ Verfälschungswahrscheinlichkeiten gemittelt werden. Mit $W_3 = 245$ aus Teilaufgabe (2) und den Gewichten $W_4 = 1224, \ W_5 = 5586, \ W_6 = 12838, \ W_7 = 12873$ gemäß Angabenblatt erhält man hierfür:
+Beim $\rm RSC \, (7, \, 5, \, 3)_8$ muss wegen $k = 5$ über $8^5 - 1 = 32767$ Verfälschungswahrscheinlichkeiten gemittelt werden.
 :$${\rm Pr}({\rm Blockfehler}) \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} \frac {W_3 \cdot p_3 + W_4 \cdot p_4 + W_5 \cdot p_5 + W_6 \cdot p_6 + W_7 \cdot p_7}{32767} =\frac {245 \cdot 0.656  \cdot 10^{-3} + \hspace{0.15cm}... \hspace{0.15cm}+ 12873 \cdot 10^{-7}}{32767}
 \hspace{0.15cm}\underline {\approx  0.942  \cdot 10^{-5}} \hspace{0.05cm}. $$
-'''(4)'''&nbsp; Bekannt sei nur $d_{\rm min}$ (weiter mit $d$ abgekürzt) und damit auch $p_d = \epsilon_{\rm S}^d \cdot (1 - \epsilon_{\rm S})^{n-d}$. Dies ist gleichzeitig die gesuchte obere Schranke:
 * ${\rm RSC} \, (7, \, 3, \, 5)_8 \text{:} \hspace{0.33cm} {\rm Pr(Obere \ Schranke)} = p_5 = \underline{0.81 \cdot 10^{-5}}$,
 * ${\rm RSC} \, (7, \, 5, \, 3)_8 \text{:} \hspace{0.33cm} {\rm Pr(Obere \ Schranke)} = p_3 = \underline{65.6 \cdot 10^{-5}}$.
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 * $\rm RSC \, (7, \, 3, \, 5)_8 \text{:} \hspace{0.33cm} 0.810 \cdot 10^{-5}$ statt $0.263 \cdot 10^{-5}$ (Faktor ca. $3$),
 * $\rm RSC \, (7, \, 5, \, 3)_8 \text{:} \hspace{0.33cm} 65.6 \cdot 10^{-5}$ statt $0.942 \cdot 10^{-5}$ (Faktor ca. $70$).

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 [[Datei: P_ID2524__KC_A_2_10.png|right|frame|Distanzspektren zweier verschiedener Reed–Solomon–Codes]]
-Bei einem linearen Blockcode können bis zu $e = d_{\rm min} - 1$ Fehler erkannt werden. Bei allen Reed&ndash;Solomon&ndash;Codes beträgt dabei die minimale Distanz
+Bei einem linearen Blockcode können bis zu&nbsp; $e = d_{\rm min} - 1$&nbsp; Fehler erkannt werden. Bei allen Reed&ndash;Solomon&ndash;Codes beträgt dabei die minimale Distanz
 :$$d_{\rm min} = n-k+1  \hspace{0.05cm}.$$
 Man muss folgende Fälle unterscheiden:
-* Treten nicht mehr als $e = n - k$ Symbolfehler auf, so wird der Block als fehlerhaft erkannt.
+* Treten nicht mehr als&nbsp; $e = n - k$&nbsp; Symbolfehler auf, so wird der Block stets als fehlerhaft erkannt.
-* Die Fehlererkennung kann auch bei mehr als $n - k$ Symbolfehlern noch funktionieren, und zwar dann, wenn das Empfangswort kein gültiges Codewort des Reed&ndash;Solomon&ndash;Codes ist:
+* Die Fehlererkennung kann auch bei mehr als&nbsp; $n - k$&nbsp; Symbolfehlern noch funktionieren, und zwar dann, wenn das Empfangswort kein gültiges Codewort des Reed&ndash;Solomon&ndash;Codes ist:
 :$$\underline {y} \notin C_{\rm RS} = \{ \underline {c}_{\hspace{0.05cm}0}, \hspace{0.05cm}\text{...} \hspace{0.1cm}, \underline {c}_i,  \hspace{0.05cm}\text{...} \hspace{0.1cm},  \underline {c}_{\hspace{0.05cm}n -1} \}
   \hspace{0.05cm}. $$
-* Ist aber das verfälschte Empfangswort $(\underline{y} &ne; \underline{c})$ ein gültiges Codewort &nbsp;&#8658;&nbsp; $\underline{y}$, so bleibt bei der Decodierung der fehlerhafte Block unentdeckt. Wir definieren als Blockfehlerwahrscheinlichkeit.
+* Ist aber das verfälschte Empfangswort&nbsp; $(\underline{y} &ne; \underline{c})$&nbsp; ein gültiges Codewort &nbsp; &#8658; &nbsp; $\underline{y}$, so bleibt bei der Decodierung der fehlerhafte Block unentdeckt.
 :$${\rm Pr}({\rm Blockfehler}) = {\rm Pr}(\underline {y} \ne \underline {c})
   \hspace{0.05cm}.$$
 In dieser Aufgabe soll diese Wahrscheinlichkeit für folgende Codes ermittelt werden:
-* Reed&ndash;Solomon&ndash;Code $(7, \, 3, \, 5)_8 \ \Rightarrow \ d_{\rm min} = 5$,
+* Reed&ndash;Solomon&ndash;Code&nbsp; $(7, \, 3, \, 5)_8 \ \Rightarrow \ d_{\rm min} = 5$,
-* Reed&ndash;Solomon&ndash;Code $(7, \, 5, \, 3)_8 \ \Rightarrow \ d_{\rm min} = 3$.
+* Reed&ndash;Solomon&ndash;Code&nbsp; $(7, \, 5, \, 3)_8 \ \Rightarrow \ d_{\rm min} = 3$.
 Weiterhin soll gelten:
-* Jedes Symbol wird mit der Wahrscheinlichkeit $\varepsilon_{\rm S} = 0.1$ in ein anderes Symbol verfälscht und mit der Wahrscheinlichkeit $1 - \varepsilon_{\rm S} = 0.9$ richtig übertragen.
+* Jedes Symbol wird mit der Wahrscheinlichkeit&nbsp; $\varepsilon_{\rm S} = 0.1$&nbsp; in ein anderes Symbol verfälscht und mit der Wahrscheinlichkeit&nbsp; $1 - \varepsilon_{\rm S} = 0.9$&nbsp; richtig übertragen.
-* Für das Distanzspektrum eines Reed&ndash;Solomon&ndash;Codes der Länge $n$ gilt mit $d = d_{\rm min}$:
+* Für das Distanzspektrum eines Reed&ndash;Solomon&ndash;Codes der Länge&nbsp; $n$&nbsp; gilt mit&nbsp; $d = d_{\rm min}$:
 :$$W_i =   {n \choose i} \cdot \sum_{j = 0}^{i-d}\hspace{0.15cm}(-1)^j \cdot {i \choose j} \cdot \big  [\hspace{0.03cm}q^{i\hspace{0.03cm}-\hspace{0.03cm}j\hspace{0.03cm}-\hspace{0.03cm}d\hspace{0.03cm}+\hspace{0.03cm}1}-1 \hspace{0.03cm} \big ]\hspace{0.05cm}.$$
 Daneben sollen zwei Schranken für die Blockfehlerwahrscheinlichkeit betrachtet und bewertet werden:
-* Ist allein die minimale Distanz bekannt, so kann man daraus eine <i>obere Schranke</i> ableiten. Die Gewichtsfaktoren $W_i$ sind dabei so zu wählen, dass sicher (das heißt:  bei allen Konstellationen) gilt:
+* Ist allein die minimale Distanz bekannt, so kann man daraus eine <i>obere Schranke</i>&nbsp; ableiten. Die Gewichtsfaktoren&nbsp; $W_i$&nbsp; sind dabei so zu wählen, dass sicher (das heißt:  &nbsp; bei allen Konstellationen) gilt:
 :$${\rm Pr}({\rm Obere\hspace{0.15cm} Schranke}) \ge {\rm Pr}({\rm Blockfehler})
   \hspace{0.05cm}. $$
-* Eine <i>untere Schranke</i> erfordert zusätzlich die Kenntnis der Gewichtsfunktion $W_i$ für $i = d_{\rm min}$. Damit kann folgende Bedingung erfüllt werden:
+* Eine <i>untere Schranke</i>&nbsp; erfordert zusätzlich die Kenntnis der Gewichtsfunktion&nbsp; $W_i$&nbsp; für&nbsp; $i = d_{\rm min}$. Damit kann folgende Bedingung erfüllt werden:
 :$${\rm Pr}({\rm Untere\hspace{0.15cm} Schranke}) \le {\rm Pr}({\rm Blockfehler})
   \hspace{0.05cm}.$$
@@ Zeile 37: / Zeile 43: @@
 ''Hinweise:''
-* Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Kanalcodierung/Definition_und_Eigenschaften_von_Reed%E2%80%93Solomon%E2%80%93Codes|Definition und Eigenschaften von Reed&ndash;Solomon&ndash;Codes]].
+* Die Aufgabe gehört zum Kapitel&nbsp; [[Kanalcodierung/Definition_und_Eigenschaften_von_Reed%E2%80%93Solomon%E2%80%93Codes|Definition und Eigenschaften von Reed&ndash;Solomon&ndash;Codes]].
-*Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite [[Kanalcodierung/Definition_und_Eigenschaften_von_Reed–Solomon–Codes#Singleton.E2.80.93Schranke_und_minimale_Distanz|Singleton&ndash;Schranke und minimale Distanz]].
+*Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite&nbsp; [[Kanalcodierung/Definition_und_Eigenschaften_von_Reed–Solomon–Codes#Singleton.E2.80.93Schranke_und_minimale_Distanz|Singleton&ndash;Schranke und minimale Distanz]].
-* Zu berechnen sind die in der obigen Grafik rot markierten Gewichte $W_i$.
+* Zu berechnen sind die in der obigen Grafik rot markierten Gewichte&nbsp; $W_i$.
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 ===Fragebogen===
 <quiz display=simple>
-{Berechnen Sie das Distanzspektrum für den $\rm RSC \, (7, \, 3, \, 5)_8$.
+{Berechnen Sie das Distanzspektrum für den&nbsp; $\rm RSC \, (7, \, 3, \, 5)_8$.
 |type="{}"}
 $W_3 \ = \ ${ 0. }
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 $W_7 \ = \ ${ 217 }
-{Wie lautet das in der Grafik fehlende Gewicht des $\rm RSC \, (7, \, 5, \, 3)_8$?
+{Wie lautet das in der Grafik fehlende Gewicht des&nbsp; $\rm RSC \, (7, \, 5, \, 3)_8$?
 |type="{}"}
 $W_3 \ = \ ${ 245 }
-{Mit welcher Wahrscheinlichkeit bleibt ein fehlerhafter Block unerkannt? Die Verfälschungswahrscheinlichkeit eines Symbols sei $\varepsilon = 0.1$.
+{Mit welcher Wahrscheinlichkeit bleibt ein fehlerhafter Block unerkannt? Die Verfälschungswahrscheinlichkeit eines jeden Symbols sei&nbsp; $\varepsilon = 0.1$.
 |type="{}"}
 $\rm RSC \, (7, \, 3, \, 5) \text{:} \hspace{0.4cm} Pr(Blockfehler) \ = \ ${ 0.263 3% } $\ \cdot 10^{-5}$
 $\rm RSC \, (7, \, 5, \, 3) \text{:} \hspace{0.4cm} Pr(Blockfehler) \ = \ ${ 0.942 3% } $\ \cdot 10^{-5}$
-{Berechnen und bewerten Sie für beide Codes die in der Angabe vorgeschlagene obere Schranke $p_{\rm oben} = \rm Pr(Obere \ Schranke)$.
+{Berechnen und bewerten Sie für beide Codes die in der Angabe vorgeschlagene obere Schranke&nbsp; $p_{\rm oben} = \rm Pr(Obere \ Schranke)$.
 |type="{}"}
 ${\rm RSC} \, (7, \, 3, \, 5) \text{:} \hspace{0.4cm} p_{\rm oben} \ = \ ${ 0.81 3% } $\ \cdot 10^{-5}$
 ${\rm RSC} \, (7, \, 5, \, 3) \text{:} \hspace{0.4cm} p_{\rm oben} \ = \ ${ 65.6 3% } $\ \cdot 10^{-5}$
-{Berechnen und bewerten Sie für beide Codes die in der Angabe vorgeschlagene untere Schranke $p_{\rm unten} = \rm Pr(Untere \ Schranke)$.
+{Berechnen und bewerten Sie für beide Codes die in der Angabe vorgeschlagene untere Schranke&nbsp; $p_{\rm unten} = \rm Pr(Untere \ Schranke)$.
 |type="{}"}
 ${\rm RSC} \, (7, \, 3, \, 5) \text{:} \hspace{0.4cm} p_{\rm unten} \ = \ ${ 0.233 3% } $\ \cdot 10^{-5}$

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 *Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite [[Kanalcodierung/Definition_und_Eigenschaften_von_Reed–Solomon–Codes#Singleton.E2.80.93Schranke_und_minimale_Distanz|Singleton&ndash;Schranke und minimale Distanz]].
 * Zu berechnen sind die in der obigen Grafik rot markierten Gewichte $W_i$.
-* Sollte die Eingabe des Zahlenwertes &bdquo;0&rdquo; erforderlich sein, so geben Sie bitte &bdquo;0.&rdquo; ein.

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