Aufgaben:Aufgabe 2.1: Zweidimensionale Impulsantwort - Versionsgeschichte

Guenter am 13. Mai 2020 um 15:33 Uhr

2020-05-13T15:33:33Z

Guenter am 13. Mai 2020 um 15:22 Uhr

2020-05-13T15:22:58Z

Guenter am 9. April 2019 um 14:36 Uhr

2019-04-09T14:36:40Z

Guenter am 9. April 2019 um 14:27 Uhr

2019-04-09T14:27:08Z

Guenter am 9. April 2019 um 14:12 Uhr

2019-04-09T14:12:21Z

Mwiki-lnt: Textersetzung - „* Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

2018-05-29T13:18:33Z

Textersetzung - „* Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

Guenter am 4. Dezember 2017 um 14:52 Uhr

2017-12-04T14:52:35Z

Guenter am 4. Dezember 2017 um 14:42 Uhr

2017-12-04T14:42:30Z

Guenter am 4. Dezember 2017 um 14:38 Uhr

2017-12-04T14:38:00Z

Guenter: Guenter verschob die Seite Aufgaben:Aufgabe 2.1: 2–dimensionale Impulsantwort nach Aufgaben:Aufgabe 2.1: Zweidimensionale Impulsantwort

2017-12-04T14:28:16Z

Guenter verschob die Seite Aufgabe 2.1: 2–dimensionale Impulsantwort nach Aufgabe 2.1: Zweidimensionale Impulsantwort

@@ Zeile 67: / Zeile 67: @@
 {Für welchen der genannten&nbsp; $T$&ndash;Werte macht das Arbeiten mit der&nbsp; $\rm 2D$&ndash;Impulsantwort Sinn?
-|type="[]"}
+|type="()"}
 - Eine (langsame) Kanaländerung erfolgt etwa nach&nbsp; $T = 1 \ \rm &micro; s$.
 + Eine (langsame) Kanaländerung erfolgt etwa nach&nbsp; $T = 1 \ \rm s$.
@@ Zeile 74: / Zeile 74: @@
 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; Das im äquivalenten Tiefpassbereich beschriebene Nachrichtensignal darf keine größere Bandbreite als $B_{\rm max} = 1/\Delta \tau \ \underline {= 500 \ \rm kHz}$ aufweisen.
+'''(1)'''&nbsp; Das im äquivalenten Tiefpassbereich beschriebene Nachrichtensignal darf keine größere Bandbreite als&nbsp; $B_{\rm max} = 1/\Delta \tau \ \underline {= 500 \ \rm kHz}$&nbsp; aufweisen.
-*Diese mathematische (zweiseitige) Bandbreite des Tiefpass&ndash;Signals ist gleichzeitig die maximale physikalische (einseitige) Bandbreite des zugehörigen Bandpass&ndash;Signals.
+*Diese mathematische&nbsp; (zweiseitige)&nbsp; Bandbreite des Tiefpass&ndash;Signals ist gleichzeitig die maximale physikalische&nbsp; (einseitige)&nbsp; Bandbreite des zugehörigen Bandpass&ndash;Signals.
-'''(2)'''&nbsp; $H(f, t_{\rm 2}) = 1$ bedeutet im Zeitbereich $h(\tau, t_{\rm 2}) = \delta(\tau)$.
+'''(2)'''&nbsp; $H(f,\ t_{\rm 2}) = 1$&nbsp; bedeutet im Zeitbereich&nbsp; $h(\tau,\ t_{\rm 2}) = \delta(\tau)$.
 *Nur dann ist der Kanal ideal.
-*Man erkennt aus der Grafik, dass dies nur für den Zeitpunkt $t_{\rm 2} \ \underline {= 0}$ zutrifft.
+*Man erkennt aus der Grafik, dass dies nur für den Zeitpunkt&nbsp; $t_{\rm 2} \ \underline {= 0}$&nbsp; zutrifft.
-'''(3)'''&nbsp; Verzerrungen treten dann auf, wenn sich zum Zeitpunkt $t$ die Impulsantwort aus zwei oder mehr Diracfunktionen zusammensetzt &nbsp; &#8658; &nbsp; $t &#8805; t_{\rm 3} \ \underline {= 3T}$.
+'''(3)'''&nbsp; Verzerrungen treten dann auf, wenn sich zum Zeitpunkt&nbsp; $t$&nbsp; die Impulsantwort aus zwei oder mehr Diracfunktionen zusammensetzt &nbsp; &#8658; &nbsp; $t &#8805; t_{\rm 3} \ \underline {= 3T}$.
-*Zum Zeitpunkt $t = T$ wird das Signal $s(t)$ nur um $2 \ \rm &micro; s$ verzögert.
+*Zum Zeitpunkt&nbsp; $t = T$&nbsp; wird das Signal&nbsp; $s(t)$&nbsp; nur um&nbsp; $2 \ \rm &micro; s$&nbsp; verzögert.
-*Bei $t = 2T$ wird zusätzlich noch die Amplitude um $50 \%$  reduziert ($6 \ \rm dB$ Verlust).
+*Bei&nbsp; $t = 2T$&nbsp; wird zusätzlich noch die Amplitude um&nbsp; $50 \%$&nbsp;  reduziert&nbsp; $(6 \ \rm dB$&nbsp; Verlust$)$.
-'''(4)'''&nbsp; Zum Zeitpunkt $t = 3T$ treten die beiden Diracfunktionen bei $\tau_{\rm min} = 0$ und $\tau_{\rm max} = 4 \ \rm &micro; s$ auf.
+'''(4)'''&nbsp; Zum Zeitpunkt $t = 3T$ treten die beiden Diracfunktionen bei&nbsp; $\tau_{\rm min} = 0$&nbsp; und&nbsp; $\tau_{\rm max} = 4 \ \rm &micro; s$&nbsp; auf.
 *Die (einfache Näherung für die) Kohärenzbandbreite ist der Kehrwert hiervon:
 :$$B_{\rm K}\hspace{0.01cm}' = \frac{1}{4\,\,{\rm &micro; s} } \hspace{0.25cm} \underline{ = 250\,\,{\rm kHz}}
   \hspace{0.05cm}.$$
-*Da auch zum Zeitpunkt $t = 4T$ die Diracfunktionen um $4 \ \rm &micro; s$ auseinanderliegen, erhält man hier ebenfalls $B_{\rm K} \hspace{0.01cm}' = \underline {250 \ \rm kHz}$.
+*Da auch zum Zeitpunkt&nbsp; $t = 4T$&nbsp; die Diracfunktionen um&nbsp; $4 \ \rm &micro; s$&nbsp; auseinanderliegen, erhält man hier ebenfalls&nbsp; $B_{\rm K} \hspace{0.01cm}' = \underline {250 \ \rm kHz}$.
-*Bei $t = 5T$ hat die Impulsantwort eine Ausdehnung von $6 \ \rm &micro; s \ \Rightarrow \ {\it B}_{\rm K} \hspace{0.01cm}' \ \underline {\approx 166.7 \ \rm kHz}$.
+*Bei&nbsp; $t = 5T$&nbsp; hat die Impulsantwort eine Ausdehnung von&nbsp; $6 \ \rm &micro; s \ \Rightarrow \ {\it B}_{\rm K} \hspace{0.01cm}' \ \underline {\approx 166.7 \ \rm kHz}$.
-'''(5)'''&nbsp; Die Impulsantworten sind zu den Zeiten $5T$, $6T$ und $7T$ identisch und bestehen jeweils aus 3 Diracs.
+'''(5)'''&nbsp; Die Impulsantworten sind zu den Zeiten&nbsp; $5T$,&nbsp; $6T$&nbsp; und&nbsp; $7T$&nbsp; identisch und bestehen jeweils aus drei Diracs.
-*Unter der Annahme, dass sich diesbezüglich für $t &#8805; 8T$ nichts ändert, erhält man $t_{\rm 5} \ \underline {= 5T}$.
+*Unter der Annahme, dass sich diesbezüglich auch für&nbsp; $t &#8805; 8T$&nbsp; nichts ändert, erhält man&nbsp; $t_{\rm 5} \ \underline {= 5T}$.
 '''(6)'''&nbsp; Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 2</u>:
-*Die zeitliche Veränderung der Impulsantwort, deren Dynamik durch den Parameter $T$ ausgedrückt wird, muss langsam sein im Vergleich zur maximalen Ausdehnung von $h(\tau, t)$, die in dieser Aufgabe gleich $\tau_{\rm max} = 6 \ \rm &micro; s$ beträgt: &nbsp;
+*Die zeitliche Veränderung der Impulsantwort, deren Dynamik durch den Parameter&nbsp; $T$&nbsp; ausgedrückt wird, muss langsam sein im Vergleich zur maximalen Ausdehnung von&nbsp; $h(\tau,\ t)$, die in dieser Aufgabe gleich&nbsp; $\tau_{\rm max} = 6 \ \rm &micro; s$&nbsp; beträgt: &nbsp;
 :$$T \gg \tau_{\rm max}.$$
 {{ML-Fuß}}

@@ Zeile 6: / Zeile 6: @@
 :$$h(\tau,\hspace{0.05cm}t) = \sum_{m = 1}^{M} z_m(t) \cdot {\rm \delta} (\tau - \tau_m)$$
-gemäß der nebenstehenden Grafik analysiert werden. Die beiden Achsen sind zeitdiskret:
+gemäß der nebenstehenden Grafik analysiert werden.&nbsp; Die beiden Achsen sind zeitdiskret:
 * $\tau$&nbsp; kennzeichnet die&nbsp; <i>Verzögerungszeit</i>&nbsp; und kann im Beispiel Werte zwischen&nbsp; $0$&nbsp; und&nbsp; $6 \ {\rm &micro; s}$&nbsp; annehmen.
-* Die ''absolute Zeit''&nbsp; $t$&nbsp; macht Aussagen über die Häufigkeit der Momentaufnahmen und charakterisiert die Zeitvarianz. Es gilt&nbsp; $t = n \cdot T$, wobei&nbsp; $T \gg \tau_{\rm max}$&nbsp; gelten soll.
+* Die ''absolute Zeit''&nbsp; $t$&nbsp; macht Aussagen über die Häufigkeit der Momentaufnahmen und charakterisiert die Zeitvarianz.&nbsp; Es gilt&nbsp; $t = n \cdot T$, wobei&nbsp; $T \gg \tau_{\rm max}$&nbsp; gelten soll.
-Die Pfeile in der Grafik markieren verschiedene Diracfunktionen mit den Impulsgewichten&nbsp; $1$&nbsp; (rot),&nbsp; $1/2$&nbsp; (blau) und&nbsp; $1/4$&nbsp; (grün). Das bedeutet, dass hier auch die Verzögerungszeit&nbsp; $\tau$&nbsp; zeitdiskret ist.
+Die Pfeile in der Grafik markieren verschiedene Diracfunktionen mit den Impulsgewichten&nbsp; $1$&nbsp; (rot),&nbsp; $1/2$&nbsp; (blau) und&nbsp; $1/4$&nbsp; (grün).&nbsp; Das bedeutet, dass hier auch die Verzögerungszeit&nbsp; $\tau$&nbsp; zeitdiskret ist.
-Bei den Messungen der Impulsantworten zu verschiedenen Zeiten&nbsp; $t$&nbsp; im Sekundenabstand betrug die Auflösung der&nbsp; $\tau$&ndash;Achse&nbsp; $2$&nbsp; Mikrosekunden $(\Delta \tau = 2 \ \rm &micro; s)$. Genauer wurden die Echos nicht lokalisiert.
+Bei den Messungen der Impulsantworten zu verschiedenen Zeiten&nbsp; $t$&nbsp; im Sekundenabstand betrug die Auflösung der&nbsp; $\tau$&ndash;Achse&nbsp; $2$&nbsp; Mikrosekunden&nbsp; $(\Delta \tau = 2 \ \rm &micro; s)$.&nbsp; Genauer wurden die Echos nicht lokalisiert.
 Weiter wird in dieser Aufgabe noch auf folgende Größen Bezug genommen:
-* die <i>zeitvariante Übertragungsfunktion</i>&nbsp; entsprechend der Definition
+* die <u>zeitvariante Übertragungsfunktion</u>&nbsp; entsprechend der Definition
 :$$H(f,\hspace{0.05cm} t)
-  \hspace{0.2cm}  \stackrel {f,\hspace{0.05cm}\tau}{\bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ} \hspace{0.2cm} h(\tau,\hspace{0.05cm}t)
+  \hspace{0.2cm}  \stackrel {f,\hspace{0.05cm}\tau}{\bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ} \hspace{0.2cm} h(\tau,\hspace{0.1cm}t)
   \hspace{0.05cm},$$
-* die Näherung der <i>Kohärenzbandbreite</i>&nbsp; als Kehrwert der maximalen Ausdehnung von&nbsp; $h(\tau, t)$:
+* die Näherung der <u>Kohärenzbandbreite</u>&nbsp; als Kehrwert der maximalen Ausdehnung von&nbsp; $h(\tau,\ t)$:
 :$$B_{\rm K} \hspace{0.01cm}' = \frac{1}{\tau_{\rm max} - \tau_{\rm min}}
   \hspace{0.05cm}.$$
@@ Zeile 33: / Zeile 36: @@
 * Die Aufgabe gehört zum Themengebiet des Kapitels&nbsp; [[Mobile_Kommunikation/Allgemeine_Beschreibung_zeitvarianter_Systeme| Allgemeine Beschreibung zeitvarianter Systeme]].
 * Genauere Informationen zu verschiedene Definitionen für die Kohärenzbandbreite finden Sie im Kapitel&nbsp; [[Mobile_Kommunikation/Das_GWSSUS%E2%80%93Kanalmodell| Das GWSSUS&ndash;Kanalmodell]], insbesondere in der Musterlösung zur&nbsp; [[Aufgaben:2.7_Koh%C3%A4renzbandbreite|Aufgabe 2.7Z]].
-* Anzumerken ist, dass es sich hier um eine konstruierte Aufgabe handelt. Entsprechend obiger Grafik ändert sich die 2D&ndash;Impulsantwort während der Zeitspanne&nbsp; $T$&nbsp; gravierend. Deshalb ist&nbsp; $T$&nbsp; hier als sehr groß zu interpretieren, zum Beispiel eine Stunde.
+* Anzumerken ist, dass es sich hier um eine konstruierte Aufgabe handelt.&nbsp; Entsprechend obiger Grafik ändert sich die 2D&ndash;Impulsantwort während der Zeitspanne&nbsp; $T$&nbsp; gravierend.&nbsp; Deshalb ist&nbsp; $T$&nbsp; hier als sehr groß zu interpretieren, zum Beispiel eine Stunde.
 *Im Mobilfunk ändert sich&nbsp; $h(\tau, t)$&nbsp; unter Berücksichtigung des Dopplereffektes im Millisekundenbereich, doch sind die Änderungen während dieser Zeit eher moderat.
@@ Zeile 41: / Zeile 44: @@
 ===Fragebogen===
 <quiz display=simple>
-{Welche Einschränkung bedeutet die Angabe&nbsp; $\Delta \tau = 2 \rm &micro; s$&nbsp; für die maximale Bandbreite&nbsp; $B_{\rm max}$&nbsp; des zu untersuchenden Nachrichtensignals?
+{Welche Einschränkung bedeutet die Angabe&nbsp; $\Delta \tau = 2 \ \rm &micro; s$&nbsp; für die maximale Bandbreite&nbsp; $B_{\rm max}$&nbsp; des zu untersuchenden Nachrichtensignals?
 |type="{}"}
 $B_{\rm max} \ = \ ${ 500 3% } $\ \rm kHz$
-{Zu welcher Zeit&nbsp; $t_2$&nbsp; ist der Kanal ideal, gekennzeichnet durch&nbsp; $H(f, t_{\rm 2}) = 1$?
+{Zu welcher Zeit&nbsp; $t_2$&nbsp; ist der Kanal ideal, gekennzeichnet durch&nbsp; $H(f,\ t_{\rm 2}) = 1$?
 |type="{}"}
 $t_{\rm 2} \ = \ ${ 0. } $\ \cdot T$
@@ Zeile 53: / Zeile 56: @@
 $t_{\rm 3} \ = \ ${ 3 3% } $\ \cdot T$
-{Berechnen Sie die Kohärenzbandbreite für&nbsp; $t = 3T$,&nbsp; $t = 4T$&nbsp; und&nbsp; $t = 5T$:
+{Berechnen Sie die (näherungsweise) Kohärenzbandbreite für&nbsp; $t = 3T$,&nbsp; $t = 4T$&nbsp; und&nbsp; $t = 5T$:
 |type="{}"}
 $t = 3T \text{:} \hspace{0.4cm} B_{\rm K} \hspace{0.01cm}' \ = \ ${ 250 3% } $\ \rm kHz$

@@ Zeile 71: / Zeile 71: @@
 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; Das im äquivalenten Tiefpassbereich beschriebene Nachrichtensignal darf keine größere Bandbreite als $B_{\rm max} = 1/\Delta \tau \ \underline {= 500 \ \rm kHz}$ aufweisen. Diese mathematische (zweiseitige) Bandbreite des Tiefpass&ndash;Signals ist gleichzeitig die maximale physikalische (einseitige) Bandbreite des zugehörigen Bandpass&ndash;Signals.
+'''(1)'''&nbsp; Das im äquivalenten Tiefpassbereich beschriebene Nachrichtensignal darf keine größere Bandbreite als $B_{\rm max} = 1/\Delta \tau \ \underline {= 500 \ \rm kHz}$ aufweisen.
-'''(4)'''&nbsp; Zum Zeitpunkt $t = 3T$ treten die beiden Diracfunktionen bei $\tau_{\rm min} = 0$ und $\tau_{\rm max} = 4 \ \rm \mu s$ auf. Die (einfache Näherung für die) Kohärenzbandbreite ist der Kehrwert hiervon:
+'''(3)'''&nbsp; Verzerrungen treten dann auf, wenn sich zum Zeitpunkt $t$ die Impulsantwort aus zwei oder mehr Diracfunktionen zusammensetzt &nbsp; &#8658; &nbsp; $t &#8805; t_{\rm 3} \ \underline {= 3T}$.
-:$$B_{\rm K}\hspace{0.01cm}' = \frac{1}{4\,\,{\rm \mu s} } \hspace{0.25cm} \underline{ = 250\,\,{\rm kHz}}
+*Zum Zeitpunkt $t = T$ wird das Signal $s(t)$ nur um $2 \ \rm &micro; s$ verzögert.
   \hspace{0.05cm}.$$
-*Da auch zum Zeitpunkt $t = 4T$ die Diracfunktionen um $4 \ \rm \mu s$ auseinanderliegen, erhält man hier ebenfalls $B_{\rm K} \hspace{0.01cm}' = \underline {250 \ \rm kHz}$.
+*Da auch zum Zeitpunkt $t = 4T$ die Diracfunktionen um $4 \ \rm &micro; s$ auseinanderliegen, erhält man hier ebenfalls $B_{\rm K} \hspace{0.01cm}' = \underline {250 \ \rm kHz}$.
-*Bei $t = 5T$ hat die Impulsantwort eine Ausdehnung von $6 \ \rm \mu s \ \Rightarrow \ {\it B}_{\rm K} \hspace{0.01cm}' \ \underline {\approx 166.7 \ \rm kHz}$.
+*Bei $t = 5T$ hat die Impulsantwort eine Ausdehnung von $6 \ \rm &micro; s \ \Rightarrow \ {\it B}_{\rm K} \hspace{0.01cm}' \ \underline {\approx 166.7 \ \rm kHz}$.
 '''(6)'''&nbsp; Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 2</u>:
-*Die zeitliche Veränderung der Impulsantwort, deren Dynamik durch den Parameter $T$ ausgedrückt wird, muss langsam sein im Vergleich zur maximalen Ausdehnung von $h(\tau, t)$, die in dieser Aufgabe gleich $\tau_{\rm max} = 6 \ \rm \mu s$ beträgt: &nbsp; $T \gg \tau_{\rm max}$.
+*Die zeitliche Veränderung der Impulsantwort, deren Dynamik durch den Parameter $T$ ausgedrückt wird, muss langsam sein im Vergleich zur maximalen Ausdehnung von $h(\tau, t)$, die in dieser Aufgabe gleich $\tau_{\rm max} = 6 \ \rm &micro; s$ beträgt: &nbsp;
 {{ML-Fuß}}

@@ Zeile 41: / Zeile 41: @@
 ===Fragebogen===
 <quiz display=simple>
-{Welche Einschränkung bedeutet &bdquo;$\Delta \tau = 2 \rm \mu s$&rdquo; für die maximale Bandbreite $B_{\rm max}$ des zu untersuchenden Nachrichtensignals?
+{Welche Einschränkung bedeutet die Angabe&nbsp; $\Delta \tau = 2 \rm &micro; s$&nbsp; für die maximale Bandbreite&nbsp; $B_{\rm max}$&nbsp; des zu untersuchenden Nachrichtensignals?
 |type="{}"}
 $B_{\rm max} \ = \ ${ 500 3% } $\ \rm kHz$
-{Zu welcher Zeit $t_2$ ist der Kanal ideal, gekennzeichnet durch $H(f, t_{\rm 2}) = 1$?
+{Zu welcher Zeit&nbsp; $t_2$&nbsp; ist der Kanal ideal, gekennzeichnet durch&nbsp; $H(f, t_{\rm 2}) = 1$?
 |type="{}"}
 $t_{\rm 2} \ = \ ${ 0. } $\ \cdot T$
-{Ab welcher Zeit $t_{\rm 3}$ führt dieser Kanal zu Verzerrungen?
+{Ab welcher Zeit&nbsp; $t_{\rm 3}$&nbsp; führt dieser Kanal zu Verzerrungen?
 |type="{}"}
 $t_{\rm 3} \ = \ ${ 3 3% } $\ \cdot T$
-{Berechnen Sie die Kohärenzbandbreite für $t = 3T$, $t = 4T$ und $t = 5T$:
+{Berechnen Sie die Kohärenzbandbreite für&nbsp; $t = 3T$,&nbsp; $t = 4T$&nbsp; und&nbsp; $t = 5T$:
 |type="{}"}
 $t = 3T \text{:} \hspace{0.4cm} B_{\rm K} \hspace{0.01cm}' \ = \ ${ 250 3% } $\ \rm kHz$
@@ Zeile 59: / Zeile 59: @@
 $t = 5T \text{:} \hspace{0.4cm} B_{\rm K} \hspace{0.01cm}' \ = \ ${ 166.7 3% } $\ \rm kHz$
-{Ab welcher Zeit $t_{\rm 5}$ könnte man diesen Kanal als zeitinvariant betrachten?
+{Ab welcher Zeit&nbsp; $t_{\rm 5}$&nbsp; könnte man diesen Kanal als zeitinvariant betrachten?
 |type="{}"}
 $t_{\rm 5} \ = \ ${ 5 3% } $\ \cdot T$
-{Für welchen der genannten $T$&ndash;Werte macht das Arbeiten mit der $2D$&ndash;Impulsantwort Sinn?
+{Für welchen der genannten&nbsp; $T$&ndash;Werte macht das Arbeiten mit der&nbsp; $\rm 2D$&ndash;Impulsantwort Sinn?
 |type="[]"}
-- Eine (langsame) Kanaländerung erfolgt etwa nach $T = 1 \ \rm \mu s$.
+- Eine (langsame) Kanaländerung erfolgt etwa nach&nbsp; $T = 1 \ \rm &micro; s$.
-+ Eine (langsame) Kanaländerung erfolgt etwa nach $T = 1 \ \rm s$.
++ Eine (langsame) Kanaländerung erfolgt etwa nach&nbsp; $T = 1 \ \rm s$.
 </quiz>

@@ Zeile 7: / Zeile 7: @@
 gemäß der nebenstehenden Grafik analysiert werden. Die beiden Achsen sind zeitdiskret:
-* $\tau$ kennzeichnet die <i>Verzögerungszeit</i> und kann im Beispiel Werte zwischen $0$ und $6 \ {\rm \mu s}$ annehmen.
+* $\tau$&nbsp; kennzeichnet die&nbsp; <i>Verzögerungszeit</i>&nbsp; und kann im Beispiel Werte zwischen&nbsp; $0$&nbsp; und&nbsp; $6 \ {\rm &micro; s}$&nbsp; annehmen.
-* Die <i>absolute Zeit $t$</i> macht Aussagen über die Häufigkeit der Momentaufnahmen und charakterisiert die Zeitvarianz. Es gilt $t = n \cdot T$, wobei $T \gg \tau_{\rm max}$ gelten soll.
+* Die ''absolute Zeit''&nbsp; $t$&nbsp; macht Aussagen über die Häufigkeit der Momentaufnahmen und charakterisiert die Zeitvarianz. Es gilt&nbsp; $t = n \cdot T$, wobei&nbsp; $T \gg \tau_{\rm max}$&nbsp; gelten soll.
-Die Pfeile in der Grafik markieren verschiedene Diracfunktionen mit den Impulsgewichten $1$ (rot), $1/2$ (blau) und $1/4$ (grün). Das bedeutet, dass hier auch die Verzögerungszeit $\tau$ zeitdiskret ist.
+Die Pfeile in der Grafik markieren verschiedene Diracfunktionen mit den Impulsgewichten&nbsp; $1$&nbsp; (rot),&nbsp; $1/2$&nbsp; (blau) und&nbsp; $1/4$&nbsp; (grün). Das bedeutet, dass hier auch die Verzögerungszeit&nbsp; $\tau$&nbsp; zeitdiskret ist.
-Bei den Messungen der Impulsantworten zu verschiedenen Zeiten $t$ im Sekundenabstand betrug die Auflösung der $\tau$&ndash;Achse $2$ Mikrosekunden $(\Delta \tau = 2 \ \rm \mu s)$. Genauer wurden die Echos nicht lokalisiert.
+Bei den Messungen der Impulsantworten zu verschiedenen Zeiten&nbsp; $t$&nbsp; im Sekundenabstand betrug die Auflösung der&nbsp; $\tau$&ndash;Achse&nbsp; $2$&nbsp; Mikrosekunden $(\Delta \tau = 2 \ \rm &micro; s)$. Genauer wurden die Echos nicht lokalisiert.
 Weiter wird in dieser Aufgabe noch auf folgende Größen Bezug genommen:
-* die <i>zeitvariante Übertragungsfunktion</i> entsprechend der Definition
+* die <i>zeitvariante Übertragungsfunktion</i>&nbsp; entsprechend der Definition
 :$$H(f,\hspace{0.05cm} t)
   \hspace{0.2cm}  \stackrel {f,\hspace{0.05cm}\tau}{\bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ} \hspace{0.2cm} h(\tau,\hspace{0.05cm}t)
   \hspace{0.05cm},$$
-* die Näherung der <i>Kohärenzbandbreite</i> als Kehrwert der maximalen Ausdehnung von $h(\tau, t)$:
+* die Näherung der <i>Kohärenzbandbreite</i>&nbsp; als Kehrwert der maximalen Ausdehnung von&nbsp; $h(\tau, t)$:
 :$$B_{\rm K} \hspace{0.01cm}' = \frac{1}{\tau_{\rm max} - \tau_{\rm min}}
   \hspace{0.05cm}.$$
 ''Hinweise:''
-* Die Aufgabe gehört zum Themengebiet des Kapitels [[Mobile_Kommunikation/Allgemeine_Beschreibung_zeitvarianter_Systeme| Allgemeine Beschreibung zeitvarianter Systeme]].
+* Die Aufgabe gehört zum Themengebiet des Kapitels&nbsp; [[Mobile_Kommunikation/Allgemeine_Beschreibung_zeitvarianter_Systeme| Allgemeine Beschreibung zeitvarianter Systeme]].
-* Genauere Informationen zu verschiedene Definitionen für die Kohärenzbandbreite finden Sie im Kapitel [[Mobile_Kommunikation/Das_GWSSUS%E2%80%93Kanalmodell| Das GWSSUS&ndash;Kanalmodell]], insbesondere in der Musterlösung zur Aufgabe [[Aufgaben:2.7_Koh%C3%A4renzbandbreite|Aufgabe 2.7Z]].
+* Genauere Informationen zu verschiedene Definitionen für die Kohärenzbandbreite finden Sie im Kapitel&nbsp; [[Mobile_Kommunikation/Das_GWSSUS%E2%80%93Kanalmodell| Das GWSSUS&ndash;Kanalmodell]], insbesondere in der Musterlösung zur&nbsp; [[Aufgaben:2.7_Koh%C3%A4renzbandbreite|Aufgabe 2.7Z]].
-* Anzumerken ist, dass es sich hier um eine konstruierte Aufgabe handelt. Entsprechend obiger Grafik ändert sich die 2D&ndash;Impulsantwort während der Zeitspanne $T$ gravierend. Deshalb ist $T$ hier als sehr groß zu interpretieren, zum Beispiel eine Stunde.
+* Anzumerken ist, dass es sich hier um eine konstruierte Aufgabe handelt. Entsprechend obiger Grafik ändert sich die 2D&ndash;Impulsantwort während der Zeitspanne&nbsp; $T$&nbsp; gravierend. Deshalb ist&nbsp; $T$&nbsp; hier als sehr groß zu interpretieren, zum Beispiel eine Stunde.
-*Im Mobilfunk ändert sich $h(\tau, t)$ unter Berücksichtigung des Dopplereffektes im Millisekundenbereich, doch sind die Änderungen während dieser Zeit eher moderat.
+*Im Mobilfunk ändert sich&nbsp; $h(\tau, t)$&nbsp; unter Berücksichtigung des Dopplereffektes im Millisekundenbereich, doch sind die Änderungen während dieser Zeit eher moderat.

@@ Zeile 52: / Zeile 52: @@
 {Berechnen Sie die Kohärenzbandbreite für $t = 3T$, $t = 4T$ und $t = 5T$:
 |type="{}"}
-$t = 3T \text{:} \hspace{0.4cm} B_{\rm K}' \ = \ ${ 250 3% } $\ \rm kHz$
+$t = 3T \text{:} \hspace{0.4cm} B_{\rm K} \hspace{0.01cm}' \ = \ ${ 250 3% } $\ \rm kHz$
-$t = 4T \text{:} \hspace{0.4cm} B_{\rm K}' \ = \ ${ 250 3% } $\ \rm kHz$
+$t = 4T \text{:} \hspace{0.4cm} B_{\rm K} \hspace{0.01cm}' \ = \ ${ 250 3% } $\ \rm kHz$
-$t = 5T \text{:} \hspace{0.4cm} B_{\rm K}' \ = \ ${ 167 3% } $\ \rm kHz$
+$t = 5T \text{:} \hspace{0.4cm} B_{\rm K} \hspace{0.01cm}' \ = \ ${ 166.7 3% } $\ \rm kHz$
 {Ab welcher Zeit $t_{\rm 5}$ könnte man diesen Kanal als zeitinvariant betrachten?
@@ Zeile 71: / Zeile 71: @@
-'''(2)'''&nbsp; $H(f, t_{\rm b}) = 1$ bedeutet im Zeitbereich $h(\tau, t_{\rm b}) = \delta(\tau)$. Nur dann ist der Kanal ideal. Man erkennt aus der Grafik, dass dies nur für den Zeitpunkt $t_{\rm b} \ \underline {= 0}$ zutrifft.
+'''(2)'''&nbsp; $H(f, t_{\rm 2}) = 1$ bedeutet im Zeitbereich $h(\tau, t_{\rm 2}) = \delta(\tau)$. Nur dann ist der Kanal ideal. Man erkennt aus der Grafik, dass dies nur für den Zeitpunkt $t_{\rm 2} \ \underline {= 0}$ zutrifft.
-'''(3)'''&nbsp; Verzerrungen treten dann auf, wenn sich zum Zeitpunkt $t$ die Impulsantwort aus zwei oder mehr Diracfunktionen zusammensetzt &#8658; $t &#8805; t_{\rm c} \ \underline {= 3T}$. Zum Zeitpunkt $t = T$ wird das Signal $s(t)$ nur um $2 \ \rm \mu s$ verzögert, bei $t = 2T$ zusätzlich noch in der Amplitude um $50 \%$ ($6 \ \rm dB$ Verlust) reduziert.
+'''(3)'''&nbsp; Verzerrungen treten dann auf, wenn sich zum Zeitpunkt $t$ die Impulsantwort aus zwei oder mehr Diracfunktionen zusammensetzt &nbsp; &#8658; &nbsp; $t &#8805; t_{\rm 3} \ \underline {= 3T}$. Zum Zeitpunkt $t = T$ wird das Signal $s(t)$ nur um $2 \ \rm \mu s$ verzögert, bei $t = 2T$ zusätzlich noch in der Amplitude um $50 \%$  reduziert ($6 \ \rm dB$ Verlust).
@@ Zeile 81: / Zeile 81: @@
   \hspace{0.05cm}.$$
-Da auch zum Zeitpunkt $t = 4T$ die Diracfunktionen um $4 \ \rm \mu s$ auseinanderliegen, erhält man hier ebenfalls $B_{\rm K}' = \underline {250 \ \rm kHz}$. Bei $t = 5T$ hat die Impulsantwort eine Ausdehnung von $6 \ \rm \mu s \Rightarrow {\it B}_{\rm K}' \ \underline {\approx 167 \ \rm kHz}$.
+*Da auch zum Zeitpunkt $t = 4T$ die Diracfunktionen um $4 \ \rm \mu s$ auseinanderliegen, erhält man hier ebenfalls $B_{\rm K} \hspace{0.01cm}' = \underline {250 \ \rm kHz}$.
-'''(5)'''&nbsp; Die Impulsantworten sind zu den Zeiten $5T$, $6T$ und $7T$ identisch und bestehen jeweils aus 3 Diracs. Unter der Annahme, dass sich diesbezüglich für $t &#8805; 8T$ nichts ändert, erhält man $t_{\rm e} \ \underline {= 5T}$.
+'''(5)'''&nbsp; Die Impulsantworten sind zu den Zeiten $5T$, $6T$ und $7T$ identisch und bestehen jeweils aus 3 Diracs. Unter der Annahme, dass sich diesbezüglich für $t &#8805; 8T$ nichts ändert, erhält man $t_{\rm 5} \ \underline {= 5T}$.
-'''(6)'''&nbsp; Die zeitliche Veränderung der Impulsantwort, deren Dynamik durch den Parameter $T$ ausgedrückt wird, muss langsam sein im Vergleich zur maximalen Ausdehnung von $h(\tau, t)$, die in dieser Aufgabe gleich $\tau_{\rm max} = 6 \ \rm \mu s$ beträgt: $T >> \tau_{\rm max}$. Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 2</u>.
+'''(6)'''&nbsp; Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 2</u>:
 {{ML-Fuß}}

← Nächstältere Version	Version vom 4. Dezember 2017, 14:28 Uhr
(kein Unterschied)