Aufgaben:Aufgabe 2.1: Wahlnachfrage - Versionsgeschichte

Guenter am 3. Dezember 2021 um 12:38 Uhr

2021-12-03T12:38:46Z

Guenter am 3. Dezember 2021 um 12:34 Uhr

2021-12-03T12:34:58Z

Guenter am 12. November 2019 um 16:26 Uhr

2019-11-12T16:26:32Z

Guenter am 12. November 2019 um 16:20 Uhr

2019-11-12T16:20:14Z

Guenter am 2. August 2018 um 14:59 Uhr

2018-08-02T14:59:12Z

Guenter am 2. August 2018 um 14:51 Uhr

2018-08-02T14:51:58Z

Mwiki-lnt: Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

2018-05-29T12:02:41Z

Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

Guenter: Guenter verschob die Seite Aufgaben:2.1 Wahlnachfrage nach Aufgaben:Aufgabe 2.1: Wahlnachfrage

2018-01-03T13:29:07Z

Guenter verschob die Seite 2.1 Wahlnachfrage nach Aufgabe 2.1: Wahlnachfrage

Guenter am 5. März 2017 um 15:33 Uhr

2017-03-05T15:33:39Z

Guenter am 1. März 2017 um 17:27 Uhr

2017-03-01T17:27:04Z

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 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; Man sollte dieser Nachfrage zumindest glauben, dass&nbsp; $\underline{\text{Kandidat} \ A}$&nbsp; wahrscheinlich gewinnt.
+'''(1)'''&nbsp; Man sollte dieser Nachfrage zumindest glauben,&nbsp; dass&nbsp; $\underline{\text{Kandidat} \ A}$&nbsp; wahrscheinlich gewinnt.
-'''(2)'''&nbsp; Die Wahrscheinlichkeit, dass die Nachfrage&nbsp; $(h_{\rm A})$&nbsp; vom endg&uuml;ltigen Ergebnis&nbsp; $(p_{\rm A})$&nbsp; betragsm&auml;&szlig;ig um mehr als&nbsp; $2\%$&nbsp; abweicht, ist nach dem Bernouillischen Gesetz der gro&szlig;en Zahlen mit&nbsp; $N = 2000$:
+'''(2)'''&nbsp; Die Wahrscheinlichkeit,&nbsp; dass die Nachfrage&nbsp; $(h_{\rm A})$&nbsp; vom endg&uuml;ltigen Ergebnis&nbsp; $(p_{\rm A})$&nbsp; betragsm&auml;&szlig;ig um mehr als&nbsp; $2\%$&nbsp; abweicht,&nbsp; ist nach dem Bernouillischen Gesetz der gro&szlig;en Zahlen mit&nbsp; $N = 2000$:
 :$${\rm Pr}(|h_{\rm A} - p_{\rm A}| \geq 0.02) \leq \frac{1}{4 \cdot 2000\cdot 0.02^2} = 0.3125.$$
-*Diese Wahrscheinlichkeit beinhaltet die beiden gleichwahrscheinlichen F&auml;lle, dass&nbsp; $p_{\rm A} \le 46\%$&nbsp; und&nbsp; $p_{\rm A} \ge 50\%$&nbsp; ist.
+*Diese Wahrscheinlichkeit beinhaltet die beiden gleichwahrscheinlichen F&auml;lle,&nbsp; dass&nbsp; $p_{\rm A} \le 46\%$&nbsp; und&nbsp; $p_{\rm A} \ge 50\%$&nbsp; ist.
 *Nur im letzten Fall gibt es keine Stichwahl:
 :$${\rm Pr(keine\hspace{0.1cm}Stichwahl)} \le 0.156 \hspace{0.15cm}\underline{=15.6 \%}.$$
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 :$${\rm Pr}\left(|h_{\rm C}-p_{\rm C}|\ge 0.04\right)\le\rm\frac{1}{4\cdot 2000\cdot 0.04^2}=0.078.$$
 Daraus folgt:
-*Die Wahrscheinlichkeit, dass Kandidat&nbsp; $C$&nbsp; mindestens&nbsp; $26\%$&nbsp; der Stimmen erh&auml;lt, ist nicht gr&ouml;&szlig;er als&nbsp; $3.9\%$.
+*Die Wahrscheinlichkeit,&nbsp; dass Kandidat&nbsp; $C$&nbsp; mindestens&nbsp; $26\%$&nbsp; der Stimmen erh&auml;lt,&nbsp; ist nicht gr&ouml;&szlig;er als&nbsp; $3.9\%$.
 *Da&nbsp; $p_{\rm A} = 0.48$&nbsp; fest vorausgesetzt wurde, gilt in diesem Fall gleichzeitig&nbsp; $p_{\rm B} \le 0.26$.
-*Da es sich hier um kontinuierliche Zufallsgr&ouml;&szlig;en handelt, sind&nbsp;  $(p_{\rm C} \ge 0.26, \; p_{\rm B} \le 0.26)$&nbsp;  und&nbsp; $(p_{\rm C} > 0.26, \; p_{\rm B}< 0.26)$&nbsp; gleich.
+*Da es sich hier um kontinuierliche Zufallsgr&ouml;&szlig;en handelt,&nbsp; sind&nbsp;  $(p_{\rm C} \ge 0.26, \; p_{\rm B} \le 0.26)$&nbsp;  und&nbsp; $(p_{\rm C} > 0.26, \; p_{\rm B}< 0.26)$&nbsp; gleich.
-*Damit ist die Wahrscheinlichkeit, dass&nbsp; $C$&nbsp; die Stichwahl erreicht,  ebenfalls auf&nbsp; $3.9\%$&nbsp; beschr&auml;nkt:
+*Damit ist die Wahrscheinlichkeit,&nbsp; dass&nbsp; $C$&nbsp; die Stichwahl erreicht,&nbsp;  ebenfalls auf&nbsp; $3.9\%$&nbsp; beschr&auml;nkt:
 :$${\rm Pr(}C\rm \hspace{0.1cm}erreicht\hspace{0.1cm}Stichwahl)\le 0.039 \hspace{0.15cm}\underline{= 3.9 \%}.$$
 {{ML-Fuß}}

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 [[Datei:P_ID90__Sto_A_2_1_.png|right|frame|Ergebnis der Wahlnachfrage]]
 Zu einer B&uuml;rgermeisterwahl treten die drei Kandidaten&nbsp; $A$,&nbsp; $B$&nbsp; und&nbsp; $C$&nbsp; an.
-*Gew&auml;hlt ist derjenige Kandidat, der mehr als&nbsp; $50\%$&nbsp; der abgegebenen Stimmen erh&auml;lt.
+*Gew&auml;hlt ist derjenige Kandidat,&nbsp; der mehr als&nbsp; $50\%$&nbsp; der abgegebenen Stimmen erh&auml;lt.
-*Gelingt dies im ersten Wahlgang keinem der drei Bewerber, so kommt es zwischen den beiden Kandidaten mit den meisten Stimmen zu einer Stichwahl.
+*Gelingt dies im ersten Wahlgang keinem der drei Bewerber,&nbsp; so kommt es zwischen den beiden Kandidaten mit den meisten Stimmen zu einer Stichwahl.
@@ Zeile 44: / Zeile 44: @@
-{Wie gro&szlig; ist die Wahrscheinlichkeit, dass keine Stichwahl erforderlich sein wird?&nbsp; Geben Sie hierf&uuml;r die obere Schranke an.
+{Wie gro&szlig; ist die Wahrscheinlichkeit,&nbsp; dass keine Stichwahl erforderlich sein wird?&nbsp; Geben Sie hierf&uuml;r die obere Schranke an.
 |type="{}"}
 $\text{Maximum:   Pr(keine Stichwahl)} \ = \ $  { 15.6 3% } $\ \rm \%$
-{Wir setzen nun voraus, dass Kandidat&nbsp; $A$&nbsp; tats&auml;chlich genau&nbsp; $48\%$&nbsp; der Stimmen erh&auml;lt. <br>Wie gro&szlig; ist damit (h&ouml;chstens) die Wahrscheinlichkeit, dass Kandidat&nbsp; $C$&nbsp; die Stichwahl erreicht?
+{Wir setzen nun voraus,&nbsp; dass Kandidat&nbsp; $A$&nbsp; tats&auml;chlich genau&nbsp; $48\%$&nbsp; der Stimmen erh&auml;lt. <br>Wie gro&szlig; ist damit&nbsp; (h&ouml;chstens)&nbsp; die Wahrscheinlichkeit,&nbsp; dass Kandidat&nbsp; $C$&nbsp; die Stichwahl erreicht?
 |type="{}"}
 $\text{Maximum:    Pr(}C \ \text{in Stichwahl)}\ = \ $ { 3.9 3% } $\ \rm \%$

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 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; Man sollte dieser Nachfrage zumindest glauben, dass $\underline{\text{Kandidat} \ A}$ wahrscheinlich gewinnt.
+'''(1)'''&nbsp; Man sollte dieser Nachfrage zumindest glauben, dass&nbsp; $\underline{\text{Kandidat} \ A}$&nbsp; wahrscheinlich gewinnt.
-'''(2)'''&nbsp; Die Wahrscheinlichkeit, dass die Nachfrage $(h_{\rm A})$ vom endg&uuml;ltigen Ergebnis $(p_{\rm A})$ betragsm&auml;&szlig;ig um mehr als $2\%$ abweicht, ist nach dem Bernouillischen Gesetz der gro&szlig;en Zahlen mit $N = 2000$:
+'''(2)'''&nbsp; Die Wahrscheinlichkeit, dass die Nachfrage&nbsp; $(h_{\rm A})$&nbsp; vom endg&uuml;ltigen Ergebnis&nbsp; $(p_{\rm A})$&nbsp; betragsm&auml;&szlig;ig um mehr als&nbsp; $2\%$&nbsp; abweicht, ist nach dem Bernouillischen Gesetz der gro&szlig;en Zahlen mit&nbsp; $N = 2000$:
 :$${\rm Pr}(|h_{\rm A} - p_{\rm A}| \geq 0.02) \leq \frac{1}{4 \cdot 2000\cdot 0.02^2} = 0.3125.$$
-Diese Wahrscheinlichkeit beinhaltet die beiden gleichwahrscheinlichen F&auml;lle, dass $p_{\rm A} \le 46\%$ und $p_{\rm A} \ge 50\%$ ist. <br>Nur im letzten Fall gibt es keine Stichwahl:
+*Diese Wahrscheinlichkeit beinhaltet die beiden gleichwahrscheinlichen F&auml;lle, dass&nbsp; $p_{\rm A} \le 46\%$&nbsp; und&nbsp; $p_{\rm A} \ge 50\%$&nbsp; ist.
 :$${\rm Pr(keine\hspace{0.1cm}Stichwahl)} \le 0.156 \hspace{0.15cm}\underline{=15.6 \%}.$$
-'''(3)'''&nbsp; Mit $\varepsilon  = 4\%$ (ergibt sich aus $0.26 -0.22$) liefert das Gesetz der gro&szlig;en Zahlen:
+'''(3)'''&nbsp; Mit&nbsp; $\varepsilon  = 4\%$&nbsp; $($ergibt sich aus&nbsp; $0.26 -0.22)$&nbsp; liefert das Gesetz der gro&szlig;en Zahlen:
 :$${\rm Pr}\left(|h_{\rm C}-p_{\rm C}|\ge 0.04\right)\le\rm\frac{1}{4\cdot 2000\cdot 0.04^2}=0.078.$$
 Daraus folgt:
-*Die Wahrscheinlichkeit, dass Kandidat $C$ mindestens $26\%$ der Stimmen erh&auml;lt, ist nicht gr&ouml;&szlig;er als $3.9\%$.
+*Die Wahrscheinlichkeit, dass Kandidat&nbsp; $C$&nbsp; mindestens&nbsp; $26\%$&nbsp; der Stimmen erh&auml;lt, ist nicht gr&ouml;&szlig;er als&nbsp; $3.9\%$.
-*Da $p_{\rm A} = 0.48$ fest vorausgesetzt wurde, gilt in diesem Fall gleichzeitig $p_{\rm B} \le 0.26$.
+*Da&nbsp; $p_{\rm A} = 0.48$&nbsp; fest vorausgesetzt wurde, gilt in diesem Fall gleichzeitig&nbsp; $p_{\rm B} \le 0.26$.
-*Da es sich hier um kontinuierliche Zufallsgr&ouml;&szlig;en handelt, sind  $(p_{\rm C} \ge 0.26, \; p_{\rm B} \le 0.26)$  und $(p_{\rm C} > 0.26, \; p_{\rm B}< 0.26)$ gleich.
+*Da es sich hier um kontinuierliche Zufallsgr&ouml;&szlig;en handelt, sind&nbsp;  $(p_{\rm C} \ge 0.26, \; p_{\rm B} \le 0.26)$&nbsp;  und&nbsp; $(p_{\rm C} > 0.26, \; p_{\rm B}< 0.26)$&nbsp; gleich.
-*Damit ist die Wahrscheinlichkeit, dass $C$ die Stichwahl erreicht,  ebenfalls auf $3.9\%$ beschr&auml;nkt:
+*Damit ist die Wahrscheinlichkeit, dass&nbsp; $C$&nbsp; die Stichwahl erreicht,  ebenfalls auf&nbsp; $3.9\%$&nbsp; beschr&auml;nkt:
 :$${\rm Pr(}C\rm \hspace{0.1cm}erreicht\hspace{0.1cm}Stichwahl)\le 0.039 \hspace{0.15cm}\underline{= 3.9 \%}.$$
 {{ML-Fuß}}

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 }}
-[[Datei:P_ID90__Sto_A_2_1_.png|right|Wahlnachfrage]]
+[[Datei:P_ID90__Sto_A_2_1_.png|right|frame|Ergebnis der Wahlnachfrage]]
-Zu einer B&uuml;rgermeisterwahl treten die drei Kandidaten $A$, $B$ und $C$ an.
+Zu einer B&uuml;rgermeisterwahl treten die drei Kandidaten&nbsp; $A$,&nbsp; $B$&nbsp; und&nbsp; $C$&nbsp; an.
-*Gew&auml;hlt ist derjenige Kandidat, der mehr als $50\%$ der abgegebenen Stimmen erh&auml;lt.
+*Gew&auml;hlt ist derjenige Kandidat, der mehr als&nbsp; $50\%$&nbsp; der abgegebenen Stimmen erh&auml;lt.
 *Gelingt dies im ersten Wahlgang keinem der drei Bewerber, so kommt es zwischen den beiden Kandidaten mit den meisten Stimmen zu einer Stichwahl.
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 Direkt nach Schlie&szlig;ung der Wahllokale wird das Ergebnis einer Wahlnachfrage vorgelegt:
-:Kandidat $A$: &nbsp; $48\%$,	 &nbsp; &nbsp; Kandidat $B$: &nbsp; $30\%$,	 &nbsp; &nbsp;  	Kandidat $C$: &nbsp; $22\%$.
+:Kandidat&nbsp; $A$: &nbsp; $48\%$,	 &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; Kandidat&nbsp; $B$: &nbsp; $30\%$,	 &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;   	Kandidat&nbsp; $C$: &nbsp; $22\%$.
-Diese Nachfrage basiert auf einer Umfrage unter lediglich $N = 2000$ der insgesamt $N' = 800 \hspace{0.05cm}000$ W&auml;hlerinnen und W&auml;hler.
+Diese Nachfrage basiert auf einer Umfrage unter lediglich&nbsp; $N = 2000$&nbsp; der insgesamt&nbsp; $N' = 800 \hspace{0.05cm}000$&nbsp; W&auml;hlerinnen und W&auml;hler.
 Gehen Sie bei der Beantwortung der nachfolgenden Fragen von folgenden Voraussetzungen aus:
-*Die bei der Wahl von den Kandidaten $A$, $B$ und $C$ tats&auml;chlich erzielten Stimmen k&ouml;nnen als die Wahrscheinlichkeiten $p_{\rm A}$, $p_{\rm B}$ und $p_{\rm C}$ aufgefasst werden, obwohl auch diese selbst als relative H&auml;ufigkeiten (bezogen auf $N'$) ermittelt werden.
+*Die bei der Wahl von den Kandidaten&nbsp; $A$,&nbsp; $B$&nbsp; und&nbsp; $C$&nbsp; tats&auml;chlich erzielten (prozentualen) Stimmen k&ouml;nnen als die Wahrscheinlichkeiten&nbsp; $p_{\rm A}$,&nbsp; $p_{\rm B}$&nbsp; und&nbsp; $p_{\rm C}$&nbsp; aufgefasst werden, obwohl auch diese selbst als relative H&auml;ufigkeiten&nbsp; $($bezogen auf&nbsp; $N')$&nbsp; ermittelt werden.
-*Die $2000$ ausgew&auml;hlten W&auml;hler repr&auml;sentieren die gesamte W&auml;hlerschaft im statistischen Sinne ideal und haben bei der Wahlnachfrage wahrheitsgem&auml;&szlig; geantwortet.
+*Die&nbsp; $2000$&nbsp; ausgew&auml;hlten W&auml;hler repr&auml;sentieren die gesamte W&auml;hlerschaft im statistischen Sinne ideal und haben bei der Wahlnachfrage wahrheitsgem&auml;&szlig; geantwortet.
-*Nach dem [[Stochastische_Signaltheorie/Vom_Zufallsexperiment_zur_Zufallsgröße#Bernoullisches_Gesetz_der_gro.C3.9Fen_Zahlen|Bernoullischen Gesetz der gro&szlig;en Zahlen]] sollen die Ergebnisse dieser Nachfrage als relative H&auml;ufigkeiten aufgefasst werden:
+*Nach dem&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Vom_Zufallsexperiment_zur_Zufallsgröße#Bernoullisches_Gesetz_der_gro.C3.9Fen_Zahlen|Bernoullischen Gesetz der gro&szlig;en Zahlen]]&nbsp; sollen die Ergebnisse dieser Nachfrage als relative H&auml;ufigkeiten aufgefasst werden:
 :$$h_{\rm A} = 0.48,\hspace{0.8cm}h_{\rm B} = 0.30,\hspace{0.9cm} h_{\rm C} = 0.22.$$
 ''Hinweise:''
-*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Vom_Zufallsexperiment_zur_Zufallsgröße|Vom Zufallsexperiment zur Zufallsgröße]].
+*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Vom_Zufallsexperiment_zur_Zufallsgröße|Vom Zufallsexperiment zur Zufallsgröße]].
-*Die Thematik ist im Lernvideo [[Bernoullisches_Gesetz_der_großen_Zahlen_(Lernvideo)|Bernoullisches Gesetz der gro&szlig;en Zahlen]] zusammengefasst.
+*Die Thematik wird im Lernvideo&nbsp; [[Bernoullisches_Gesetz_der_großen_Zahlen_(Lernvideo)|Bernoullisches Gesetz der gro&szlig;en Zahlen]]&nbsp; zusammengefasst.
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 {Wen erwarten Sie nach dieser Nachfrage als zuk&uuml;nftigen B&uuml;rgermeister?
 |type="[]"}
-+ Kandidat $A$,
++ Kandidat&nbsp; $A$,
-- Kandidat $B$,
+- Kandidat&nbsp; $B$,
-- Kandidat $C$.
+- Kandidat&nbsp; $C$.
-{Wie gro&szlig; ist die Wahrscheinlichkeit, dass keine Stichwahl erforderlich sein wird? Geben Sie hierf&uuml;r die obere Schranke an.
+{Wie gro&szlig; ist die Wahrscheinlichkeit, dass keine Stichwahl erforderlich sein wird?&nbsp; Geben Sie hierf&uuml;r die obere Schranke an.
 |type="{}"}
-$\text{Maximum: Pr(keine Stichwahl)} \ = \ $  { 15.6 3% } $\ \rm \%$
+$\text{Maximum:   Pr(keine Stichwahl)} \ = \ $  { 15.6 3% } $\ \rm \%$
-{Wir setzen nun voraus, dass Kandidat $A$ tats&auml;chlich genau $48\%$ der Stimmen erh&auml;lt. <br>Wie gro&szlig; ist damit h&ouml;chstens die Wahrscheinlichkeit, dass Kandidat $C$ die Stichwahl erreicht?
+{Wir setzen nun voraus, dass Kandidat&nbsp; $A$&nbsp; tats&auml;chlich genau&nbsp; $48\%$&nbsp; der Stimmen erh&auml;lt. <br>Wie gro&szlig; ist damit (h&ouml;chstens) die Wahrscheinlichkeit, dass Kandidat&nbsp; $C$&nbsp; die Stichwahl erreicht?
 |type="{}"}
-$\text{Maximum:  Pr(}C \ \text{in Stichwahl)}\ = \ $ { 3.9 3% } $\ \rm \%$
+$\text{Maximum:    Pr(}C \ \text{in Stichwahl)}\ = \ $ { 3.9 3% } $\ \rm \%$

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 ''Hinweise:''
-*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Vom_Zufallsexperiment_zur_Zufallsgröße|Vom Zufallsexperiment zurZufallsgröße]].
+*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Vom_Zufallsexperiment_zur_Zufallsgröße|Vom Zufallsexperiment zur Zufallsgröße]].
 *Die Thematik ist im Lernvideo [[Bernoullisches_Gesetz_der_großen_Zahlen_(Lernvideo)|Bernoullisches Gesetz der gro&szlig;en Zahlen]] zusammengefasst.
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-{Wir setzen nun voraus, dass Kandidat $A$ tats&auml;chlich genau $48\%$ der Stimmen erh&auml;lt. Wie gro&szlig; ist damit h&ouml;chstens die Wahrscheinlichkeit, dass Kandidat $C$ die Stichwahl erreicht?
+{Wir setzen nun voraus, dass Kandidat $A$ tats&auml;chlich genau $48\%$ der Stimmen erh&auml;lt. <br>Wie gro&szlig; ist damit h&ouml;chstens die Wahrscheinlichkeit, dass Kandidat $C$ die Stichwahl erreicht?
 |type="{}"}
 $\text{Maximum:  Pr(}C \ \text{in Stichwahl)}\ = \ $ { 3.9 3% } $\ \rm \%$
@@ Zeile 56: / Zeile 56: @@
 '''(1)'''&nbsp; Man sollte dieser Nachfrage zumindest glauben, dass $\underline{\text{Kandidat} \ A}$ wahrscheinlich gewinnt.
-'''(2)'''&nbsp; Die Wahrscheinlichkeit, dass die Nachfrage ($h_{\rm A}$) vom endg&uuml;ltigen Ergebnis ($p_{\rm A}$) betragsm&auml;&szlig;ig um mehr als $2\%$ abweicht, ist nach dem Bernouillischen Gesetz der gro&szlig;en Zahlen mit $N = 2000$:
-$${\rm Pr}(|h_{\rm A} - p_{\rm A}| \geq 0.02) \leq \frac{1}{4 \cdot 2000\cdot 0.02^2} = 0.3125.$$
+'''(2)'''&nbsp; Die Wahrscheinlichkeit, dass die Nachfrage $(h_{\rm A})$ vom endg&uuml;ltigen Ergebnis $(p_{\rm A})$ betragsm&auml;&szlig;ig um mehr als $2\%$ abweicht, ist nach dem Bernouillischen Gesetz der gro&szlig;en Zahlen mit $N = 2000$:
-Diese Wahrscheinlichkeit beinhaltet die beiden gleichwahrscheinlichen F&auml;lle, dass $p_{\rm A} \le 46\%$ und $p_{\rm A} \ge 50\%$ ist. Nur im letzten Fall gibt es keine Stichwahl:
+:$${\rm Pr}(|h_{\rm A} - p_{\rm A}| \geq 0.02) \leq \frac{1}{4 \cdot 2000\cdot 0.02^2} = 0.3125.$$
-$${\rm Pr(keine\hspace{0.1cm}Stichwahl)} \le 0.156 \hspace{0.15cm}\underline{=15.6 \%}.$$
+Diese Wahrscheinlichkeit beinhaltet die beiden gleichwahrscheinlichen F&auml;lle, dass $p_{\rm A} \le 46\%$ und $p_{\rm A} \ge 50\%$ ist. <br>Nur im letzten Fall gibt es keine Stichwahl:
 '''(3)'''&nbsp; Mit $\varepsilon  = 4\%$ (ergibt sich aus $0.26 -0.22$) liefert das Gesetz der gro&szlig;en Zahlen:
-$${\rm Pr}\left(|h_{\rm C}-p_{\rm C}|\ge 0.04\right)\le\rm\frac{1}{4\cdot 2000\cdot 0.04^2}=0.078.$$
+:$${\rm Pr}\left(|h_{\rm C}-p_{\rm C}|\ge 0.04\right)\le\rm\frac{1}{4\cdot 2000\cdot 0.04^2}=0.078.$$
 Daraus folgt:
 *Die Wahrscheinlichkeit, dass Kandidat $C$ mindestens $26\%$ der Stimmen erh&auml;lt, ist nicht gr&ouml;&szlig;er als $3.9\%$.
-*Da $p_{\rm A} = 0.48$ fest vorausgesetzt wurde, gilt in diesem Fall gleichzeitig $p_{\rm B} \le 0.26$. Da es sich hier um kontinuierliche Zufallsgr&ouml;&szlig;en handelt, sind  $(p_{\rm C} \ge 0.26, \; p_{\rm B} \le 0.26)$  und $(p_{\rm C} > 0.26, \; p_{\rm B}< 0.26)$ gleich.
+*Da $p_{\rm A} = 0.48$ fest vorausgesetzt wurde, gilt in diesem Fall gleichzeitig $p_{\rm B} \le 0.26$.
 *Damit ist die Wahrscheinlichkeit, dass $C$ die Stichwahl erreicht,  ebenfalls auf $3.9\%$ beschr&auml;nkt:
 :$${\rm Pr(}C\rm \hspace{0.1cm}erreicht\hspace{0.1cm}Stichwahl)\le 0.039 \hspace{0.15cm}\underline{= 3.9 \%}.$$

@@ Zeile 22: / Zeile 22: @@
 ''Hinweise:''
 *Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Vom_Zufallsexperiment_zur_Zufallsgröße|Vom Zufallsexperiment zurZufallsgröße]].
-*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes &bdquo;0&rdquo; erforderlich sein, so geben Sie bitte &bdquo;0.&rdquo; ein.
 *Die Thematik ist in dem folgenden Lernvideo zusammengefasst:
 :[[Bernoullisches Gesetz der gro&szlig;en Zahlen]]

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−	[[Category:Aufgaben zu Stochastische Signaltheorie\|^2.1 Vom ~~Zufallsexperiment~~ zur Zufallsgröße^]]	+	[[Category:Aufgaben zu Stochastische Signaltheorie\|^2.1 Vom Experiment zur Zufallsgröße^]]

@@ Zeile 52: / Zeile 52: @@
 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-:<b>1.</b>&nbsp;&nbsp;Man sollte dieser Nachfrage zumindest glauben, dass <u>Kandidat <i>A</i></u> wahrscheinlich gewinnt.
+'''(1)'''&nbsp; Man sollte dieser Nachfrage zumindest glauben, dass $\underline{\text{Kandidat} \ A}$ wahrscheinlich gewinnt.
-:<b>2.</b>&nbsp;&nbsp;Die Wahrscheinlichkeit, dass die Nachfrage (<i>h</i><sub>A</sub>) vom endg&uuml;ltigen Ergebnis (<i>p</i><sub>A</sub>) betragsm&auml;&szlig;ig um mehr als 2% abweicht, ist nach dem Bernouillischen Gesetz der gro&szlig;en Zahlen mit <i>N</i> = 2000:
-:$$Pr(|h_A - p_A| \geq 0.02) \leq \frac{1}{4 \cdot 2000\cdot 0.02^2} = 0.3125.$$
+'''(2)'''&nbsp; Die Wahrscheinlichkeit, dass die Nachfrage ($h_{\rm A}$) vom endg&uuml;ltigen Ergebnis ($p_{\rm A}$) betragsm&auml;&szlig;ig um mehr als $2\%$ abweicht, ist nach dem Bernouillischen Gesetz der gro&szlig;en Zahlen mit $N = 2000$:
-:Diese Wahrscheinlichkeit beinhaltet die beiden F&auml;lle, dass <i>p</i><sub>A</sub> &#8804; 46% und <i>p</i><sub>A</sub> &#8805; 50% ist. Nur im letzten Fall gibt es keine Stichwahl:
+$${\rm Pr}(|h_{\rm A} - p_{\rm A}| \geq 0.02) \leq \frac{1}{4 \cdot 2000\cdot 0.02^2} = 0.3125.$$
-:$$\rm Pr(keine\hspace{0.1cm}Stichwahl)\le 15.6 \%\hspace{0.15cm}\underline{= 0.156}.$$
+Diese Wahrscheinlichkeit beinhaltet die beiden gleichwahrscheinlichen F&auml;lle, dass $p_{\rm A} \le 46\%$ und $p_{\rm A} \ge 50\%$ ist. Nur im letzten Fall gibt es keine Stichwahl:
-:<b>3.</b>&nbsp;&nbsp;Mit <i>&epsilon;</i> = 4% (ergibt sich aus 0.26 &ndash; 0.22) liefert das Gesetz der gro&szlig;en Zahlen:
+$${\rm Pr(keine\hspace{0.1cm}Stichwahl)} \le 0.156 \hspace{0.15cm}\underline{=15.6 \%}.$$
-:$$\rm Pr\left(|\it h_{\rm C}-p_{\rm C}|\ge \rm 0.04\right)\le\rm\frac{1}{4\cdot 2000\cdot 0.04^2}=0.078.$$
-:Daraus folgt: Die Wahrscheinlichkeit, dass Kandidat <i>C</i> mindestens 26% der Stimmen erh&auml;lt, ist nicht gr&ouml;&szlig;er als 3.9%.
+'''(3)'''&nbsp; Mit $\varepsilon  = 4\%$ (ergibt sich aus $0.26 -0.22$) liefert das Gesetz der gro&szlig;en Zahlen:
-:Da <i>p</i><sub>A</sub> = 0.48 fest vorausgesetzt wurde, gilt in diesem Fall gleichzeitig <i>p</i><sub>B</sub> &#8804; 0.26. Da es sich hier um kontinuierliche Zufallsgr&ouml;&szlig;en handelt, sind (<i>p</i><sub>C</sub> &#8805; 0.26; <i>p</i><sub>B</sub> &#8804; 0.26) und (<i>p</i><sub>C</sub> > 0.26; <i>p</i><sub>B</sub> < 0.26) gleich. Damit ist die Wahrscheinlichkeit, dass <i>C</i> die Stichwahl) erreicht,  ebenfalls auf 3.9% beschr&auml;nkt:
+$${\rm Pr}\left(|h_{\rm C}-p_{\rm C}|\ge 0.04\right)\le\rm\frac{1}{4\cdot 2000\cdot 0.04^2}=0.078.$$
-:$$\rm Pr(C\hspace{0.1cm}erreicht\hspace{0.1cm}Stichwahl)\le 3.9 \%\hspace{0.15cm}\underline{= 0.039}.$$
+Daraus folgt:
 {{ML-Fuß}}
 [[Category:Aufgaben zu Stochastische Signaltheorie|^2.1 Vom Zufallsexperiment zur Zufallsgröße^]]