Aufgaben:Aufgabe 2.1: Gruppe, Ring, Körper - Versionsgeschichte

Guenter am 27. August 2022 um 13:44 Uhr

2022-08-27T13:44:03Z

Guenter am 27. August 2022 um 13:33 Uhr

2022-08-27T13:33:53Z

Guenter am 16. Mai 2019 um 13:00 Uhr

2019-05-16T13:00:51Z

Guenter am 16. Mai 2019 um 12:41 Uhr

2019-05-16T12:41:44Z

Guenter am 7. Januar 2018 um 15:00 Uhr

2018-01-07T15:00:21Z

Guenter am 7. Januar 2018 um 14:49 Uhr

2018-01-07T14:49:41Z

Guenter am 7. Januar 2018 um 14:47 Uhr

2018-01-07T14:47:45Z

Guenter: Guenter verschob die Seite Aufgaben:2.1 Gruppe, Ring, Körper nach Aufgaben:Aufgabe 2.1: Gruppe, Ring, Körper

2018-01-03T09:17:39Z

Guenter verschob die Seite 2.1 Gruppe, Ring, Körper nach Aufgabe 2.1: Gruppe, Ring, Körper

Hussain am 14. Dezember 2017 um 21:40 Uhr

2017-12-14T21:40:58Z

Hussain am 14. Dezember 2017 um 21:40 Uhr

2017-12-14T21:40:04Z

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 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; Mit der Zahlenmenge $Z_3 = \{0, \, 1, \, 2\}$ beschreibt
+'''(1)'''&nbsp; Mit der Zahlenmenge&nbsp; $Z_3 = \{0, \, 1, \, 2\}$&nbsp; beschreibt
-* die Tabelle A3 die additive Gruppe $(Z_3, \, +)$,
+* die Tabelle A3 die additive Gruppe&nbsp; $(Z_3, \, +)$,
-* die Tabelle M3 die multiplikative Gruppe $(Z_3, \, \cdot)$.
+* die Tabelle M3 die multiplikative Gruppe&nbsp; $(Z_3, \, \cdot)$.
-&#8658; &nbsp; <u>Lösungsvorschlag 1 und 2</u>. Die Lösungsvorschläge 3 und 4 treffen dagegen hier nicht zu, da bei einer Gruppe jeweils nur eine Rechenoperation (Addition oder Multiplikation) definiert ist.
+&#8658; &nbsp; <u>Lösungsvorschlag 1 und 2</u>.
 '''(3)'''&nbsp; Jeder Körper ist gleichzeitig auch ein Ring, aber nicht jeder Ring ist auch ein Körper:
-*Bei letzterem ist auch die Division definiert und es gibt für jedes Element auch die '''multiplikative Inverse'''.
+'''(3)'''&nbsp; Jeder Körper ist gleichzeitig auch ein Ring,&nbsp; aber nicht jeder Ring ist auch ein Körper:
-*Ein '''endlicher Zahlenring''' der Ordnung $q$ (also mit $q$ Elementen) ist nur dann ein Körper, wenn $q$ eine Primzahl ist.
+*Bei letzterem ist auch die Division definiert und es gibt für jedes Element auch die&nbsp; '''multiplikative Inverse'''.
 *Man spricht dann auch von einem '''Galoisfeld''' ${\rm GF}(q)$.
 Richtig ist also die <u>Antwort 3</u>:
-*Die Rechenoperationen gemäß den Tabellen A3 und M3 ergeben zusammen das Galoisfeld ${\rm GF}(3)$.
+*Die Rechenoperationen gemäß den Tabellen A3 und M3 ergeben zusammen das Galoisfeld&nbsp; ${\rm GF}(3)$.
-*Dagegen führen die Tabellen A4 (Addition) und M4 Multiplikation) zusammen mit der Menge $\{0, \, 1, \, 2, \, 3\}$ nicht zum Galoisfeld ${\rm GF}(4)$.
+*Dagegen führen die Tabellen A4 (Addition) und M4 Multiplikation) zusammen mit der Menge&nbsp; $\{0, \, 1, \, 2, \, 3\}$&nbsp; nicht zum Galoisfeld&nbsp; ${\rm GF}(4)$.
-*Eine Bedingung für ein Galoisfeld ist, dass es für jedes Element $z_i$ eine multiplikative Inverse ${\rm Inv}_{\rm M}{(z_i)}$ gibt, so dass die Gleichung $z_i \cdot {\rm Inv}_{\rm M}(z_i) = 1$ erfüllt ist.
+*Eine Bedingung für ein Galoisfeld ist,&nbsp; dass es für jedes Element&nbsp; $z_i$&nbsp; eine multiplikative Inverse&nbsp; ${\rm Inv}_{\rm M}{(z_i)}$&nbsp; gibt,&nbsp; so dass die Gleichung&nbsp; $z_i \cdot {\rm Inv}_{\rm M}(z_i) = 1$&nbsp; erfüllt ist.
-*Nach Tabelle M4 existiert $\rm Inv_M(2)$ aber nicht. In der dritten Zeile gibt es keine &bdquo;$1$&rdquo;.
+*Nach Tabelle M4 existiert&nbsp; $\rm Inv_M(2)$&nbsp; aber nicht.&nbsp; In der dritten Zeile gibt es keine&nbsp; &bdquo;$1$&rdquo;.
+*Ein Galoisfeld $\rm GF(4)$ ergibt sich zum Beispiel durch Erweiterung der binären Menge&nbsp; $\{0, \, 1\}$&nbsp; zur Menge&nbsp; $\{0, \, 1, \, \alpha, \, 1+\alpha\}$.&nbsp; Genaueres hierzu finden Sie auf der Seite [[Kanalcodierung/Erweiterungsk%C3%B6rper#GF.2822.29_.E2.80.93_Beispiel_eines_Erweiterungsk.C3.B6rpers|"Beispiel eines Erweiterungskörpers"]].
-'''(4)'''&nbsp; Das Nullelement ist nie ein primitives Element. Auch $z_1 = 1$ ist kein primitives Element, denn dann müsste mit $q = 3$ gelten:
+'''(4)'''&nbsp; Das Nullelement ist nie ein primitives Element.&nbsp; Auch&nbsp; $z_1 = 1$&nbsp; ist kein primitives Element,&nbsp; denn dann müsste mit&nbsp; $q = 3$&nbsp; gelten:
 :$$z_1^1 \hspace{0.15cm}{\rm mod\hspace{0.15cm}} 3\hspace{0.1cm} \ne 1  \hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm}z_1^2 \hspace{0.15cm}{\rm mod\hspace{0.15cm}} 3\hspace{0.1cm} = 1
 \hspace{0.05cm}.$$
-Dagegen ist $z_2 = 2$ ein primitives Element wegen
+Dagegen ist&nbsp; $z_2 = 2$&nbsp; ein primitives Element wegen
 :$$2^1 \hspace{0.15cm}{\rm mod\hspace{0.15cm}} 3\hspace{0.1cm} = 2  \hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm}2^2 \hspace{0.15cm}{\rm mod\hspace{0.15cm}} 3\hspace{0.1cm} = 1
 \hspace{0.05cm}.$$
-Richtig ist also der <u>Lösungsvorschlag 3</u>.
+Richtig ist also der&nbsp; <u>Lösungsvorschlag 3</u>.
-'''(5)'''&nbsp; Die Menge $\{0, \, 1, \, 2, \, 3\}$ besitzt <u>kein primitives Element</u> und erfüllt dementsprechend auch nicht die Erfordernisse eines Galoisfeldes:
+'''(5)'''&nbsp; Die Menge&nbsp; $\{0, \, 1, \, 2, \, 3\}$&nbsp; besitzt&nbsp; <u>kein primitives Element</u>&nbsp; und erfüllt dementsprechend auch nicht die Erfordernisse eines Galoisfeldes:
 :$$z_1 \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} 1\text{:}\hspace{0.35cm}  1^1 = 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.1cm}1^2 = 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.1cm}1^3 = 1\hspace{0.05cm},$$
 :$$z_2 \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} 2\text{:}\hspace{0.35cm}  2^1 = 2\hspace{0.05cm},\hspace{0.1cm}2^2 \hspace{0.15cm}{\rm mod}\hspace{0.15cm}4 = 0 \hspace{0.05cm},\hspace{0.1cm}2^3 \hspace{0.15cm}{\rm mod}\hspace{0.15cm}4 = 0\hspace{0.05cm},$$

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 {{quiz-Header|Buchseite=Kanalcodierung/Einige Grundlagen der Algebra}}
-[[Datei:P_ID2490__KC_A_2_1.png|right|frame|&bdquo;Addition&rdquo; und &bdquo;Multiplikation&rdquo; für&nbsp; $q = 3$&nbsp; und&nbsp; $q = 4$]]
+[[Datei:P_ID2490__KC_A_2_1.png|right|frame|&bdquo;Addition&rdquo; und &bdquo;Multiplikation&rdquo; <br> &nbsp; für&nbsp; $q = 3$&nbsp; und&nbsp; $q = 4$]]
-Im&nbsp; [[Kanalcodierung/Einige_Grundlagen_der_Algebra|Theorieteil]]&nbsp; zu diesem Kapitel wurden verschiedene algebraische Begriffe definiert. Für das Folgende setzen wir voraus, dass alle Mengen aus jeweils&nbsp; $q$&nbsp; Elementen bestehen, wobei hier entweder&nbsp; $q = 3$&nbsp; oder&nbsp; $q = 4$&nbsp; gelten soll. Dann gilt:
+Im&nbsp; [[Kanalcodierung/Einige_Grundlagen_der_Algebra|"Theorieteil"]]&nbsp; zu diesem Kapitel wurden verschiedene algebraische Begriffe definiert. Für das Folgende setzen wir voraus,&nbsp; dass alle Mengen aus jeweils&nbsp; $q$&nbsp; Elementen bestehen,&nbsp; wobei hier entweder&nbsp; $q = 3$&nbsp; oder&nbsp; $q = 4$&nbsp; gelten soll.&nbsp; Dann gilt:
-* Eine&nbsp; [[Kanalcodierung/Einige_Grundlagen_der_Algebra#Definition_und_Beispiele_einer_algebraischen_Gruppe|algebraische Gruppe]]&nbsp; ist eine endliche Menge&nbsp; $G = \{0, \, 1, \hspace{0.05cm}\text{...} \hspace{0.1cm} , \ q-1\}$&nbsp; zusammen mit einer zwischen allen Elementen definierten Verknüpfungsvorschrift. Eine additive Gruppe wird mit&nbsp; $(G, \ +)$&nbsp; bezeichnet, eine multiplikative mit&nbsp; $(G, \ \cdot)$.
+* Eine&nbsp; [[Kanalcodierung/Einige_Grundlagen_der_Algebra#Definition_und_Beispiele_einer_algebraischen_Gruppe|"algebraische Gruppe"]]&nbsp; ist eine endliche Menge&nbsp; $G = \{0, \, 1, \hspace{0.05cm}\text{...} \hspace{0.1cm} , \ q-1\}$&nbsp; zusammen mit einer zwischen allen Elementen definierten Verknüpfungsvorschrift.&nbsp; $(G, \ +)$&nbsp; bezeichnet eine additive Gruppe,&nbsp; $(G, \ \cdot)$&nbsp; eine multiplikative.
-* Ein&nbsp; [[Kanalcodierung/Einige_Grundlagen_der_Algebra#Definition_und_Beispiele_eines_algebraischen_Rings|algebraischer Ring]]&nbsp; kennzeichnet eine Menge&nbsp; $R = \{0, \, 1, \hspace{0.05cm}\text{...} \hspace{0.1cm} , \ q-1\}$&nbsp; zusammen mit zwei darin definierten Rechenoperationen, nämlich der Addition&nbsp; (&bdquo;$+$&rdquo;)&nbsp; und der Multiplikation&nbsp; (&bdquo;$\hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm}$&rdquo;).
+* Ein&nbsp; [[Kanalcodierung/Einige_Grundlagen_der_Algebra#Definition_und_Beispiele_eines_algebraischen_Rings|"algebraischer Ring"]]&nbsp; kennzeichnet eine Menge&nbsp; $R = \{0, \, 1, \hspace{0.05cm}\text{...} \hspace{0.1cm} , \ q-1\}$&nbsp; zusammen mit zwei darin definierten Rechenoperationen,&nbsp; nämlich der Addition &nbsp; (&bdquo;$+$&rdquo;) &nbsp; und der Multiplikation &nbsp; (&bdquo;$\hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm}$&rdquo;).
-* Ein&nbsp; [[Kanalcodierung/Einige_Grundlagen_der_Algebra#Gruppe.2C_Ring.2C_K.C3.B6rper_.E2.80.93_algebraische_Grundbegriffe|algebraischer Körper]]&nbsp; ist ein Ring, bei dem zusätzlich die Division erlaubt ist und das Kommutativgesetz erfüllt wird.
+* Ein&nbsp; [[Kanalcodierung/Einige_Grundlagen_der_Algebra#Gruppe.2C_Ring.2C_K.C3.B6rper_.E2.80.93_algebraische_Grundbegriffe|"algebraischer Körper"]]&nbsp; ist ein Ring,&nbsp; bei dem zusätzlich die Division erlaubt ist und das Kommutativgesetz erfüllt wird.
-Da wir hier ausschließlich endliche Mengen betrachten, ist ein Körper (englisch: &nbsp;<i>Field</i>) gleichzeitig ein Galoisfeld&nbsp; ${\rm GF}(q)$&nbsp; der Ordnung&nbsp; $q$.
+Da wir hier ausschließlich endliche Mengen betrachten,&nbsp; ist ein Körper&nbsp; (englisch: &nbsp;"Field")&nbsp; gleichzeitig ein&nbsp; [[Kanalcodierung/Einige_Grundlagen_der_Algebra#Definition_eines_Galoisfeldes|"Galoisfeld"]]&nbsp; ${\rm GF}(q)$&nbsp; der Ordnung&nbsp; $q$.
-Eine wesentliche Eigenschaft des Galoisfeldes&nbsp; ${\rm GF}(q) = \{\hspace{0.1cm}z_0,\hspace{0.1cm} z_1,\hspace{0.05cm}\text{...} \hspace{0.1cm} , \hspace{0.1cm}z_{q-1}\}$&nbsp; ist, dass es mindestens ein primitives Element besitzt. Ein Element&nbsp; $z_i &ne; 0$&nbsp; bezeichnet man als primitiv, wenn die folgende Bedingung erfüllt ist &nbsp;$(k$ ist ganzzahlig$)$:
+Eine wesentliche Eigenschaft des Galoisfeldes&nbsp; ${\rm GF}(q) = \{\hspace{0.1cm}z_0,\hspace{0.1cm} z_1,\hspace{0.05cm}\text{...} \hspace{0.1cm} , \hspace{0.1cm}z_{q-1}\}$&nbsp; ist,&nbsp; dass es mindestens ein primitives Element besitzt.&nbsp; Ein Element&nbsp; $z_i &ne; 0$&nbsp; bezeichnet man dann als&nbsp; "primitiv",&nbsp; wenn die folgende Bedingung erfüllt ist &nbsp;$(k$&nbsp; ist ganzzahlig$)$:
 :$$z_i^k  \hspace{0.15cm}{\rm mod}\hspace{0.15cm}q = \left\{ \begin{array}{c} \ne 1\\
    \end{array} \right.\quad
@@ Zeile 20: / Zeile 20: @@
 \hspace{0.05cm}. $$
-Nur bei einem primitiven Element&nbsp; $z_i$&nbsp; ergeben sich durch die Rechenoparation&nbsp; $z_i^k$&nbsp; $($mit&nbsp; $k = 1, \, 2, \, 3, \, \hspace{0.05cm}\text{...} )$ alle Elemente des Galoisfeldes mit Ausnahme des Nullelementes $z_0 = 0$.
+Nur bei einem primitiven Element &nbsp; $z_i$ &nbsp; ergeben sich durch die Rechenoparation&nbsp; $z_i^k$&nbsp; $($mit&nbsp; $k = 1, \, 2, \, 3, \, \hspace{0.05cm}\text{...} )$&nbsp; alle Elemente des Galoisfeldes mit Ausnahme des Nullelementes&nbsp; $z_0 = 0$.
@@ Zeile 26: / Zeile 26: @@
+* Beachten Sie,&nbsp; dass bei Gruppe, Ring und Körper mit jeweils&nbsp; $q$&nbsp; Elementen die Rechenoperationen&nbsp; &bdquo;$+$&rdquo;&nbsp; und&nbsp; &bdquo;$\hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm}$&rdquo;&nbsp; jeweils modulo&nbsp; $q$&nbsp; zu verstehen sind.
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 ===Fragebogen===
 <quiz display=simple>
-{Welche der angegebenen Tabellen beschreiben eine Gruppe?
+{Welche der angegebenen Tabellen beschreiben eine&nbsp; '''Gruppe'''?
 |type="[]"}
 + Tabelle &nbsp;$\rm A3$,
@@ Zeile 46: / Zeile 44: @@
 - Tabelle &nbsp;$\rm A4$&nbsp; und Tabelle &nbsp;$\rm M4$&nbsp; gemeinsam.
-{Welche der angegebenen Tabellen beschreiben einen Ring?
+{Welche der angegebenen Tabellen beschreiben einen&nbsp; '''Ring'''?
 |type="[]"}
 - Tabelle &nbsp;$\rm A3$,
@@ Zeile 54: / Zeile 52: @@
 - Tabelle &nbsp;$\rm A3$&nbsp; und Tabelle &nbsp;$\rm M4$&nbsp; gemeinsam.
-{Welche der Tabellen beschreiben einen Körper bzw. ein Galoisfeld?
+{Welche der Tabellen beschreiben einen Körper bzw. ein&nbsp; '''Galoisfeld'''?
 |type="[]"}
 - Tabelle &nbsp;$\rm A3$,
@@ Zeile 61: / Zeile 59: @@
 - Tabelle &nbsp;$\rm A4$&nbsp; und Tabelle &nbsp;$\rm M4$&nbsp; gemeinsam.
-{Welche Elemente der Menge&nbsp; $\{0, \, 1, \, 2\} \ \Rightarrow \ q = 3$&nbsp; sind primitiv?
+{Welche Elemente der Menge&nbsp; $\{0, \, 1, \, 2\} \ \Rightarrow \ q = 3$&nbsp; sind&nbsp; "primitiv"?
 |type="[]"}
 - $z_0 = 0$,
@@ Zeile 67: / Zeile 65: @@
 + $z_2 = 2.$
-{Welche Elemente der Menge&nbsp; $\{0, \, 1, \, 2, \, 3\} \ \Rightarrow \ q = 4$&nbsp; sind primitiv?
+{Welche Elemente der Menge&nbsp; $\{0, \, 1, \, 2, \, 3\} \ \Rightarrow \ q = 4$&nbsp; sind&nbsp; "primitiv"?
 |type="[]"}
 - $z_0 = 0$,

@@ Zeile 20: / Zeile 20: @@
 \hspace{0.05cm}. $$
-Nur bei einem primitiven Element&nbsp; $z_i$&nbsp; ergeben sich durch die Rechenoparation&nbsp; $z_i^k$&nbsp; $($mit $k = 1, \, 2, \, 3, \, \hspace{0.05cm}\text{...} )$ alle Elemente des Galoisfeldes mit Ausnahme des Nullelementes $z_0 = 0$.
+Nur bei einem primitiven Element&nbsp; $z_i$&nbsp; ergeben sich durch die Rechenoparation&nbsp; $z_i^k$&nbsp; $($mit&nbsp; $k = 1, \, 2, \, 3, \, \hspace{0.05cm}\text{...} )$ alle Elemente des Galoisfeldes mit Ausnahme des Nullelementes $z_0 = 0$.
@@ Zeile 83: / Zeile 83: @@
 &#8658; &nbsp; <u>Lösungsvorschlag 1 und 2</u>. Die Lösungsvorschläge 3 und 4 treffen dagegen hier nicht zu, da bei einer Gruppe jeweils nur eine Rechenoperation (Addition oder Multiplikation) definiert ist.
@@ Zeile 91: / Zeile 92: @@
 Dagegen beschreiben A3 und M4 keinen Ring, da sie sich auf unterschiedliche Mengen beziehen.
@@ Zeile 97: / Zeile 99: @@
 *Ein '''endlicher Zahlenring''' der Ordnung $q$ (also mit $q$ Elementen) ist nur dann ein Körper, wenn $q$ eine Primzahl ist.
 *Man spricht dann auch von einem '''Galoisfeld''' ${\rm GF}(q)$.
 Richtig ist also die <u>Antwort 3</u>:
@@ Zeile 118: / Zeile 121: @@
 Richtig ist also der <u>Lösungsvorschlag 3</u>.

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 {{quiz-Header|Buchseite=Kanalcodierung/Einige Grundlagen der Algebra}}
-[[Datei:P_ID2490__KC_A_2_1.png|right|frame|Tabellen zur Addition sowie zur Multiplikation für $q = 3$ und $q = 4$]]
+[[Datei:P_ID2490__KC_A_2_1.png|right|frame|&bdquo;Addition&rdquo; und &bdquo;Multiplikation&rdquo; für&nbsp; $q = 3$&nbsp; und&nbsp; $q = 4$]]
-Im [[Kanalcodierung/Einige_Grundlagen_der_Algebra|Theorieteil]] zu diesem Kapitel wurden verschiedene algebraische Begriffe definiert. Für das Folgende setzen wir voraus, dass alle Mengen aus jeweils $q$ Elementen bestehen, wobei hier entweder $q = 3$ oder $q = 4$ gelten soll. Dann gilt:
+Im&nbsp; [[Kanalcodierung/Einige_Grundlagen_der_Algebra|Theorieteil]]&nbsp; zu diesem Kapitel wurden verschiedene algebraische Begriffe definiert. Für das Folgende setzen wir voraus, dass alle Mengen aus jeweils&nbsp; $q$&nbsp; Elementen bestehen, wobei hier entweder&nbsp; $q = 3$&nbsp; oder&nbsp; $q = 4$&nbsp; gelten soll. Dann gilt:
-* Eine [[Kanalcodierung/Einige_Grundlagen_der_Algebra#Definition_und_Beispiele_einer_algebraischen_Gruppe|algebraische Gruppe]] ist eine endliche Menge $G = \{0, \, 1, \hspace{0.05cm}\text{...} \hspace{0.1cm} , \ q-1\}$ zusammen mit einer zwischen allen Elementen definierten Verknüpfungsvorschrift. Eine additive Gruppe wird mit $(G, \ +)$ bezeichnet, eine multiplikative mit $(G, \ \cdot)$.
+* Eine&nbsp; [[Kanalcodierung/Einige_Grundlagen_der_Algebra#Definition_und_Beispiele_einer_algebraischen_Gruppe|algebraische Gruppe]]&nbsp; ist eine endliche Menge&nbsp; $G = \{0, \, 1, \hspace{0.05cm}\text{...} \hspace{0.1cm} , \ q-1\}$&nbsp; zusammen mit einer zwischen allen Elementen definierten Verknüpfungsvorschrift. Eine additive Gruppe wird mit&nbsp; $(G, \ +)$&nbsp; bezeichnet, eine multiplikative mit&nbsp; $(G, \ \cdot)$.
-* Ein [[Kanalcodierung/Einige_Grundlagen_der_Algebra#Definition_und_Beispiele_eines_algebraischen_Rings|algebraischer Ring]] kennzeichnet eine Menge $R = \{0, \, 1, \hspace{0.05cm}\text{...} \hspace{0.1cm} , \ q-1\}$ zusammen mit zwei darin definierten Rechenoperationen, nämlich der Addition (&bdquo;$+$&rdquo;) und der Multiplikation (&bdquo;$\cdot$&rdquo;).
+* Ein&nbsp; [[Kanalcodierung/Einige_Grundlagen_der_Algebra#Definition_und_Beispiele_eines_algebraischen_Rings|algebraischer Ring]]&nbsp; kennzeichnet eine Menge&nbsp; $R = \{0, \, 1, \hspace{0.05cm}\text{...} \hspace{0.1cm} , \ q-1\}$&nbsp; zusammen mit zwei darin definierten Rechenoperationen, nämlich der Addition&nbsp; (&bdquo;$+$&rdquo;)&nbsp; und der Multiplikation&nbsp; (&bdquo;$\hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm}$&rdquo;).
-* Ein [[Kanalcodierung/Einige_Grundlagen_der_Algebra#Gruppe.2C_Ring.2C_K.C3.B6rper_.E2.80.93_algebraische_Grundbegriffe|algebraischer Körper]] ist ein Ring, bei dem zusätzlich die Division erlaubt ist und stets das Kommutativgesetz erfüllt wird.
+* Ein&nbsp; [[Kanalcodierung/Einige_Grundlagen_der_Algebra#Gruppe.2C_Ring.2C_K.C3.B6rper_.E2.80.93_algebraische_Grundbegriffe|algebraischer Körper]]&nbsp; ist ein Ring, bei dem zusätzlich die Division erlaubt ist und das Kommutativgesetz erfüllt wird.
-Da wir hier ausschließlich endliche Mengen betrachten, ist ein Körper (englisch: <i>Field</i>) gleichzeitig ein Galoisfeld ${\rm GF}(q)$ der Ordnung $q$.
+Da wir hier ausschließlich endliche Mengen betrachten, ist ein Körper (englisch: &nbsp;<i>Field</i>) gleichzeitig ein Galoisfeld&nbsp; ${\rm GF}(q)$&nbsp; der Ordnung&nbsp; $q$.
-Eine wesentliche Eigenschaft des Galoisfeldes
+Eine wesentliche Eigenschaft des Galoisfeldes&nbsp; ${\rm GF}(q) = \{\hspace{0.1cm}z_0,\hspace{0.1cm} z_1,\hspace{0.05cm}\text{...} \hspace{0.1cm} , \hspace{0.1cm}z_{q-1}\}$&nbsp; ist, dass es mindestens ein primitives Element besitzt. Ein Element&nbsp; $z_i &ne; 0$&nbsp; bezeichnet man als primitiv, wenn die folgende Bedingung erfüllt ist &nbsp;$(k$ ist ganzzahlig$)$:
 :$$z_i^k  \hspace{0.15cm}{\rm mod}\hspace{0.15cm}q = \left\{ \begin{array}{c} \ne 1\\
    \end{array} \right.\quad
@@ Zeile 23: / Zeile 20: @@
 \hspace{0.05cm}. $$
-Nur bei einem primitiven Element $z_i$ ergeben sich durch die Rechenoparation $z_i^k$ (mit $k = 1, \, 2, \, 3, \, \hspace{0.05cm}\text{...} )$ alle Elemente des Galoisfeldes mit Ausnahme des Nullelementes $z_0 = 0$.
+Nur bei einem primitiven Element&nbsp; $z_i$&nbsp; ergeben sich durch die Rechenoparation&nbsp; $z_i^k$&nbsp; $($mit $k = 1, \, 2, \, 3, \, \hspace{0.05cm}\text{...} )$ alle Elemente des Galoisfeldes mit Ausnahme des Nullelementes $z_0 = 0$.
@@ Zeile 30: / Zeile 30: @@
 ''Hinweise:''
-* Die Aufgabe behandelt das Themengebiet des Kapitels [[Kanalcodierung/Einige_Grundlagen_der_Algebra| Einige Grundlagen der Algebra]].
+* Die Aufgabe behandelt das Themengebiet des Kapitels&nbsp; [[Kanalcodierung/Einige_Grundlagen_der_Algebra| Einige Grundlagen der Algebra]].
-* Beachten Sie, dass bei Gruppe, Ring und Körper mit jeweils $q$ Elementen die Rechenoperationen &bdquo;$+$&rdquo; und &bdquo;$\cdot$&rdquo; jeweils modulo $q$ zu verstehen sind.
+* Beachten Sie, dass bei Gruppe, Ring und Körper mit jeweils&nbsp; $q$&nbsp; Elementen die Rechenoperationen &bdquo;$+$&rdquo; und &bdquo;$\hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm}$&rdquo; jeweils modulo&nbsp; $q$&nbsp; zu verstehen sind.
@@ Zeile 41: / Zeile 41: @@
 {Welche der angegebenen Tabellen beschreiben eine Gruppe?
 |type="[]"}
-+ Tabelle A3,
++ Tabelle &nbsp;$\rm A3$,
-+ Tabelle M3,
++ Tabelle &nbsp;$\rm M3$,
-- Tabelle A3 und Tabelle M3 gemeinsam,
+- Tabelle &nbsp;$\rm A3$&nbsp; und Tabelle &nbsp;$\rm M3$&nbsp; gemeinsam,
-- Tabelle A4 und Tabelle M4 gemeinsam.
+- Tabelle &nbsp;$\rm A4$&nbsp; und Tabelle &nbsp;$\rm M4$&nbsp; gemeinsam.
 {Welche der angegebenen Tabellen beschreiben einen Ring?
 |type="[]"}
-- Tabelle A3,
+- Tabelle &nbsp;$\rm A3$,
-- Tabelle M3,
+- Tabelle &nbsp;$\rm M3$,
-+ Tabelle A3 und Tabelle M3 gemeinsam,
++ Tabelle &nbsp;$\rm A3$&nbsp; und Tabelle &nbsp;$\rm M3$&nbsp; gemeinsam,
-+ Tabelle A4 und Tabelle M4 gemeinsam,
++ Tabelle &nbsp;$\rm A4$&nbsp; und Tabelle &nbsp;$\rm M4$&nbsp; gemeinsam,
-- Tabelle A3 und Tabelle M4 gemeinsam.
+- Tabelle &nbsp;$\rm A3$&nbsp; und Tabelle &nbsp;$\rm M4$&nbsp; gemeinsam.
 {Welche der Tabellen beschreiben einen Körper bzw. ein Galoisfeld?
 |type="[]"}
-- Tabelle A3,
+- Tabelle &nbsp;$\rm A3$,
-- Tabelle M3,
+- Tabelle &nbsp;$\rm M3$,
-+ Tabelle A3 und Tabelle M3 gemeinsam,
++ Tabelle &nbsp;$\rm A3$&nbsp; und Tabelle &nbsp;$\rm M3$&nbsp; gemeinsam,
-- Tabelle A4 und Tabelle M4 gemeinsam.
+- Tabelle &nbsp;$\rm A4$&nbsp; und Tabelle &nbsp;$\rm M4$&nbsp; gemeinsam.
-{Welche Elemente der Menge $\{0, \, 1, \, 2\} \ \Rightarrow \ q = 3$ sind primitiv?
+{Welche Elemente der Menge&nbsp; $\{0, \, 1, \, 2\} \ \Rightarrow \ q = 3$&nbsp; sind primitiv?
 |type="[]"}
 - $z_0 = 0$,
@@ Zeile 67: / Zeile 67: @@
 + $z_2 = 2.$
-{Welche Elemente der Menge $\{0, \, 1, \, 2, \, 3\} \ \Rightarrow \ q = 4$ sind primitiv?
+{Welche Elemente der Menge&nbsp; $\{0, \, 1, \, 2, \, 3\} \ \Rightarrow \ q = 4$&nbsp; sind primitiv?
 |type="[]"}
 - $z_0 = 0$,

@@ Zeile 82: / Zeile 82: @@
-&#8658; <u>Lösungsvorschlag 1 und 2</u>. Die Lösungsvorschläge 3 und 4 treffen dagegen hier nicht zu, da bei einer Gruppe jeweils nur eine Rechenoperation (Addition oder Multiplikation) definiert ist.
+&#8658; &nbsp; <u>Lösungsvorschlag 1 und 2</u>. Die Lösungsvorschläge 3 und 4 treffen dagegen hier nicht zu, da bei einer Gruppe jeweils nur eine Rechenoperation (Addition oder Multiplikation) definiert ist.
 '''(2)'''&nbsp; Auf einem algebraischen Ring sind im Gegensatz dazu zwei Rechenoperationen definiert. Richtig sind somit die <u>Lösungsvorschläge 3 und 4</u>:
 * Die Tabellen A3 und M3 beschreiben den Ring $(Z_3, \, +, \, \cdot)$.
-* Die Tabellen A4 und M4 beschreiben denRing $(Z_4, \, +, \, \cdot)$.
+* Die Tabellen A4 und M4 beschreiben den Ring $(Z_4, \, +, \, \cdot)$.
@@ Zeile 93: / Zeile 93: @@
-'''(3)'''&nbsp; Jeder Körper ist gleichzeitig auch ein Ring, aber nicht jeder Ring ist auch ein Körper. Bei letzterem ist auch die Division definiert und es gibt für jedes Element auch die <font color="#cc0000"><span style="font-weight: bold;">multiplikative Inverse</span></font>. Ein endlicher Zahlenring der Ordnung $q$ &ndash; also mit $q$ Elementen &ndash; ist nur dann ein Körper, wenn $q$ eine Primzahl ist. Man spricht dann auch von einem Galoisfeld ${\rm GF}(q)$.
+'''(3)'''&nbsp; Jeder Körper ist gleichzeitig auch ein Ring, aber nicht jeder Ring ist auch ein Körper:
-Richtig ist also <u>Antwort 3</u>. Die Rechenoperationen gemäß den Tabellen A3 und M3 ergeben zusammen das Galoisfeld ${\rm GF}(3)$.
+Richtig ist also die <u>Antwort 3</u>:
-Ein Galoisfeld $\rm GF(4)$ ergibt sich zum Beispiel durch Erweiterung der binären Menge $\{0, \, 1\}$ zur Menge $\{0, \, 1, \, \alpha, \, 1+\alpha\}$. Genaueres hierzu finden Sie auf der Seite [[Kanalcodierung/Erweiterungsk%C3%B6rper#GF.2822.29_.E2.80.93_Beispiel_eines_Erweiterungsk.C3.B6rpers|Beispiel eines Erweiterungskörpers (1)]].
+Ein Galoisfeld $\rm GF(4)$ ergibt sich zum Beispiel durch Erweiterung der binären Menge $\{0, \, 1\}$ zur Menge $\{0, \, 1, \, \alpha, \, 1+\alpha\}$. Genaueres hierzu finden Sie auf der Seite [[Kanalcodierung/Erweiterungsk%C3%B6rper#GF.2822.29_.E2.80.93_Beispiel_eines_Erweiterungsk.C3.B6rpers|Beispiel eines Erweiterungskörpers]].
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 '''(5)'''&nbsp; Die Menge $\{0, \, 1, \, 2, \, 3\}$ besitzt <u>kein primitives Element</u> und erfüllt dementsprechend auch nicht die Erfordernisse eines Galoisfeldes:
-:$$z_1 \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} 1:\hspace{0.35cm}  1^1 = 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.1cm}1^2 = 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.1cm}1^3 = 1\hspace{0.05cm},$$
+:$$z_1 \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} 1\text{:}\hspace{0.35cm}  1^1 = 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.1cm}1^2 = 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.1cm}1^3 = 1\hspace{0.05cm},$$
-:$$z_2 \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} 2:\hspace{0.35cm}  2^1 = 2\hspace{0.05cm},\hspace{0.1cm}2^2 \hspace{0.15cm}{\rm mod}\hspace{0.15cm}4 = 0 \hspace{0.05cm},\hspace{0.1cm}2^3 \hspace{0.15cm}{\rm mod}\hspace{0.15cm}4 = 0\hspace{0.05cm},$$
+:$$z_2 \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} 2\text{:}\hspace{0.35cm}  2^1 = 2\hspace{0.05cm},\hspace{0.1cm}2^2 \hspace{0.15cm}{\rm mod}\hspace{0.15cm}4 = 0 \hspace{0.05cm},\hspace{0.1cm}2^3 \hspace{0.15cm}{\rm mod}\hspace{0.15cm}4 = 0\hspace{0.05cm},$$
-:$$z_3 \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} 3:\hspace{0.35cm}  3^1 = 3\hspace{0.05cm},\hspace{0.1cm}3^2 \hspace{0.15cm}{\rm mod}\hspace{0.15cm}4 = 1 \hspace{0.05cm},\hspace{0.1cm}3^3 \hspace{0.15cm}{\rm mod}\hspace{0.15cm}4 = 3\hspace{0.05cm}.$$
+:$$z_3 \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} 3\text{:}\hspace{0.35cm}  3^1 = 3\hspace{0.05cm},\hspace{0.1cm}3^2 \hspace{0.15cm}{\rm mod}\hspace{0.15cm}4 = 1 \hspace{0.05cm},\hspace{0.1cm}3^3 \hspace{0.15cm}{\rm mod}\hspace{0.15cm}4 = 3\hspace{0.05cm}.$$
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	Dagegen führen die Operationstabellen A4 (Addition) und M4 Multiplikation) zusammen mit der Menge $\{0, \, 1, \, 2, \, 3\}$ nicht zum Galoisfeld ${\rm GF}(4)$. Eine Bedingung für ein Galoisfeld ist, dass es für jedes Element $z_i$ eine multiplikative Inverse ${\rm Inv}_{\rm M}{(z_i)}$ gibt, so dass die Gleichung $z_i \cdot {\rm Inv}_{\rm M}(z_i) = 1$ erfüllt ist. Nach Tabelle M4 existiert $\rm Inv_M(2)$ aber nicht. In der dritten Zeile gibt es keine &bdquo;$1$”.		Dagegen führen die Operationstabellen A4 (Addition) und M4 Multiplikation) zusammen mit der Menge $\{0, \, 1, \, 2, \, 3\}$ nicht zum Galoisfeld ${\rm GF}(4)$. Eine Bedingung für ein Galoisfeld ist, dass es für jedes Element $z_i$ eine multiplikative Inverse ${\rm Inv}_{\rm M}{(z_i)}$ gibt, so dass die Gleichung $z_i \cdot {\rm Inv}_{\rm M}(z_i) = 1$ erfüllt ist. Nach Tabelle M4 existiert $\rm Inv_M(2)$ aber nicht. In der dritten Zeile gibt es keine &bdquo;$1$”.

−	Ein Galoisfeld $\rm GF(4)$ ergibt sich zum Beispiel durch Erweiterung der binären Menge $\{0, \, 1\}$ zur Menge $\{0, \, 1, \alpha, \, 1+\alpha\}$. Genaueres hierzu finden Sie auf der Seite [[Kanalcodierung/Erweiterungsk%C3%B6rper#GF.2822.29_.E2.80.93_Beispiel_eines_Erweiterungsk.C3.B6rpers\|Beispiel eines Erweiterungskörpers (1)]].	+	Ein Galoisfeld $\rm GF(4)$ ergibt sich zum Beispiel durch Erweiterung der binären Menge $\{0, \, 1\}$ zur Menge $\{0, \, 1, \, \alpha, \, 1+\alpha\}$. Genaueres hierzu finden Sie auf der Seite [[Kanalcodierung/Erweiterungsk%C3%B6rper#GF.2822.29_.E2.80.93_Beispiel_eines_Erweiterungsk.C3.B6rpers\|Beispiel eines Erweiterungskörpers (1)]].

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 Richtig ist also <u>Antwort 3</u>. Die Rechenoperationen gemäß den Tabellen A3 und M3 ergeben zusammen das Galoisfeld ${\rm GF}(3)$.
-Dagegen führen die Operationstabellen A4 (Addition) und M4 Multiplikation) zusammen mit der Menge $\{0, \, 1, \, 2, \, 3\}$ nicht zum Galoisfeld ${\rm GF}(4)$. Eine Bedingung für ein Galoisfeld ist, dass es für jedes Element $z_i$ eine multiplikative Inverse ${\rm Inv}_{\rm M}{(z_i)}$ gibt, so dass die Gleichung $z_i \cdot {\rm Inv}_{\rm M}(z_i) = 1$ erfüllt ist. Nach Tabelle M4 existiert $\rm Inv_M(2)$ aber nicht. In der dritten Zeile gibt es keine &bdquo;$q$&rdquo;.
+Dagegen führen die Operationstabellen A4 (Addition) und M4 Multiplikation) zusammen mit der Menge $\{0, \, 1, \, 2, \, 3\}$ nicht zum Galoisfeld ${\rm GF}(4)$. Eine Bedingung für ein Galoisfeld ist, dass es für jedes Element $z_i$ eine multiplikative Inverse ${\rm Inv}_{\rm M}{(z_i)}$ gibt, so dass die Gleichung $z_i \cdot {\rm Inv}_{\rm M}(z_i) = 1$ erfüllt ist. Nach Tabelle M4 existiert $\rm Inv_M(2)$ aber nicht. In der dritten Zeile gibt es keine &bdquo;$1$&rdquo;.
 Ein Galoisfeld $\rm GF(4)$ ergibt sich zum Beispiel durch Erweiterung der binären Menge $\{0, \, 1\}$ zur Menge $\{0, \, 1, \alpha, \, 1+\alpha\}$. Genaueres hierzu finden Sie auf der Seite [[Kanalcodierung/Erweiterungsk%C3%B6rper#GF.2822.29_.E2.80.93_Beispiel_eines_Erweiterungsk.C3.B6rpers|Beispiel eines Erweiterungskörpers (1)]].