Aufgaben:Aufgabe 2.09: Reed–Solomon–Parameter - Versionsgeschichte

Guenter am 11. Oktober 2022 um 12:59 Uhr

2022-10-11T12:59:55Z

Guenter am 11. Oktober 2022 um 12:47 Uhr

2022-10-11T12:47:35Z

Guenter am 22. Mai 2019 um 15:12 Uhr

2019-05-22T15:12:42Z

Guenter am 22. Mai 2019 um 15:07 Uhr

2019-05-22T15:07:14Z

Mwiki-lnt: Textersetzung - „* Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

2018-05-29T11:41:07Z

Textersetzung - „* Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

Guenter am 10. Januar 2018 um 11:21 Uhr

2018-01-10T11:21:43Z

Guenter am 10. Januar 2018 um 11:10 Uhr

2018-01-10T11:10:59Z

Guenter am 9. Januar 2018 um 17:04 Uhr

2018-01-09T17:04:25Z

Guenter am 9. Januar 2018 um 17:02 Uhr

2018-01-09T17:02:51Z

Guenter am 3. Januar 2018 um 09:38 Uhr

2018-01-03T09:38:45Z

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 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; Für die Codelänge der Reed&ndash;Solomon&ndash;Codes gilt allgemein.
+'''(1)'''&nbsp; Für die Codelänge der Reed&ndash;Solomon&ndash;Codes gilt allgemein:
 :$$n = q -1 = 2^m -1 \hspace{0.3cm}\Rightarrow  \hspace{0.3cm} m = 4 {\rm :}\hspace{0.2cm} n \hspace{0.15cm}\underline {= 15} \hspace{0.05cm},
 \hspace{0.4cm}m = 5 {\rm :}\hspace{0.2cm} n \hspace{0.15cm}\underline {= 31} \hspace{0.05cm},\hspace{0.4cm}
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-'''(2)'''&nbsp; Um $t$ Symbolfehler korrigieren zu können, muss die minimale Distanz $d_{\rm min} = 2t + 1$ betragen.
+'''(2)'''&nbsp; Um&nbsp; $t$&nbsp; Symbolfehler korrigieren zu können,&nbsp; muss die minimale Distanz mindestens &nbsp; $d_{\rm min} = 2t + 1$ &nbsp; betragen.
-*Der Reed&ndash;Solomon&ndash;Code ist ein sogenannter MDS&ndash;Code (<i>Maximum Distance Separable</i>).
+*Der Reed&ndash;Solomon&ndash;Code ist ein sogenannter MDS&ndash;Code&nbsp; ("Maximum Distance Separable").&nbsp; Für diese gilt:
 :$$d_{\rm min} = n-k+1 = 2t+1 \hspace{0.3cm} \Rightarrow  \hspace{0.3cm}k = n -2t =  2^m - ( 2t+1) \hspace{0.05cm}. $$
 *Damit erhält man für den
-:* $\rm RSC \ 1$ (mit $m = 4, \ t = 4) \text{:} \hspace{0.2cm} k = 2^4 - (2 \cdot 4 + 1) \ \underline{= 7}$,
+:* $\rm RSC \ 1$&nbsp; $($mit $m = 4, \ t = 4) \text{:} \hspace{0.2cm} k = 2^4 - (2 \cdot 4 + 1) \ \underline{= 7}$,
-:* $\rm RSC \ 2$ (mit $m = 5, \ t = 8) \text{:} \hspace{0.2cm} k = 2^5 - (2 \cdot 8 + 1) \ \underline{= 15}$.
+:* $\rm RSC \ 2$&nbsp; $($mit $m = 5, \ t = 8) \text{:} \hspace{0.2cm} k = 2^5 - (2 \cdot 8 + 1) \ \underline{= 15}$.
-'''(3)'''&nbsp; Die Bezeichnung eines Reed&ndash;Solomon&ndash;Codes lautet ${\rm RSC} \, (n, \, k, \, d_{\rm min})_q$ mit $q = 2^m = n + 1$.
+'''(3)'''&nbsp; Die Bezeichnung eines Reed&ndash;Solomon&ndash;Codes lautet &nbsp; ${\rm RSC} \, (n, \, k, \, d_{\rm min})_q$ &nbsp; mit&nbsp; $q = 2^m = n + 1$.&nbsp; Richtig sind die&nbsp; <u>Lösungsvorschläge 1 und 4</u>:
 * $\rm RSC \ 2 \Rightarrow RSC \, (31, \, 15, \, 17)_{32}$.
-'''(4)'''&nbsp; Bezeichnet $d_{\rm min}$ die minimale Distanz eines Blockcodes, so können damit $e = d_{\rm min} - 1$ Symbolfehler erkannt und $t = e/2$ Symbolfehler korrigiert werden:
+'''(4)'''&nbsp; Bezeichnet&nbsp; $d_{\rm min}$&nbsp; die minimale Distanz eines Blockcodes,&nbsp; so können damit &nbsp; $e = d_{\rm min} - 1$ &nbsp; Symbolfehler erkannt und &nbsp; $t = e/2$ &nbsp; Symbolfehler korrigiert werden:
 * ${\rm RSC} \ 1 \text{:} \hspace{0.2cm} d_{\rm min} = \ \ 9, \ t = 4, \ \underline{e = 8}$,
 * ${\rm RSC} \ 2 \text{:} \hspace{0.2cm} d_{\rm min} = 17, \ t = 8, \ \underline{e = 16}$.
-'''(5)'''&nbsp; Richtig sind die beiden mittleren <u>Lösungsvorschläge 2 und 3</u>:
+'''(5)'''&nbsp; Richtig sind die beiden mittleren&nbsp; <u>Lösungsvorschläge 2 und 3</u>:
-*Bei ${\rm RSC} \ 1 \, (m = 4)$ entsprechen $n = 15$ Codesymbolen aus $\rm GF(2^5)$ gleich $60$ Bit und $k = 7$ Informationssymbole genau $28$ Bit:
+*Beim&nbsp; ${\rm RSC} \ 1 \, \, (m = 4)$&nbsp; entsprechen&nbsp; $n = 15$&nbsp; Codesymbole aus&nbsp; $\rm GF(2^5)$&nbsp; gleich&nbsp; $60$&nbsp; Bit&nbsp; und&nbsp; $k = 7$&nbsp; Informationssymbole genau&nbsp; $28$&nbsp; Bit:
 :* $\rm RSC \ 1 \Rightarrow RSC \, (15, \, 7, \, 9)_{16} \Rightarrow RSC \, (60, \, 28, \, 9)_2$,
 :* $\rm RSC \ 2 \Rightarrow RSC \, (31, \, 15, \, 17)_{32} \Rightarrow RSC \, (155, \, 75, \, 17)_2$.
 *Für die minimale Distanz auf Bitebene &nbsp; &rArr; &nbsp; $\rm GF(2)$ ergeben sich mit $d_{\rm min} = 9$ bzw. $d_{\rm min} = 17$ die gleichen Werte wie auf Symbolebene &nbsp; <br>&rArr; &nbsp; $\rm GF(2^4)$ bzw. $\rm GF(2^5)$ (siehe [[Kanalcodierung/Definition_und_Eigenschaften_von_Reed%E2%80%93Solomon%E2%80%93Codes#Codebezeichnung_und_Coderate|Theorieteil]]).
 {{ML-Fuß}}

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 [[Datei:P_ID2523__KC_A_2_9_neu.png|right|frame|Einige Reed–Solomon–Codes]]
-Nebenstehend finden Sie eine unvollständige Liste möglicher Reed&ndash;Solomon&ndash;Codes, die bekanntlich auf einem Galoisfeld&nbsp; ${\rm GF}(q) = {\rm GF}(2^m)$&nbsp; basieren. Der Parameter&nbsp; $m$&nbsp; gibt an, mit wie vielen Bit ein RS&ndash;Codesymbol dargestellt wird. Es gilt:
+Nebenstehend finden Sie eine unvollständige Liste möglicher Reed&ndash;Solomon&ndash;Codes,&nbsp; die bekanntlich auf einem Galoisfeld&nbsp; ${\rm GF}(q) = {\rm GF}(2^m)$&nbsp; basieren.&nbsp; Der Parameter&nbsp; $m$&nbsp; gibt an,&nbsp; mit wie vielen Bit ein RS&ndash;Codesymbol dargestellt wird. Es gilt:
 * $m = 4$&nbsp; (rote Schrift),
 * $m = 5$&nbsp; (blaue Schrift),
 * $m = 6$&nbsp; (grüne Schrift).
 Ein Reed&ndash;Solomon&ndash;Code wird allgemein wie folgt bezeichnet: &nbsp; ${\rm RSC}\ (n, \ k, \ d_{\rm min})_q$.
 Die Parameter haben folgende Bedeutung:
-* $n$&nbsp; gibt die Anzahl der Symbole eines Codewortes&nbsp; $\underline{c}$&nbsp; an &nbsp; &#8658; &nbsp; <b>Länge</b> des Codes,
+# $n$&nbsp; gibt die Anzahl der Symbole eines Codewortes&nbsp; $\underline{c}$&nbsp; an &nbsp; &#8658; &nbsp; <b>Länge</b>&nbsp; des Codes.
-* $k$&nbsp; gibt die Anzahl der Symbole eines Informationsblocks&nbsp; $\underline{u}$&nbsp; an &nbsp; &#8658; &nbsp; <b>Dimension</b> des Codes,
+# $k$&nbsp; gibt die Anzahl der Symbole eines Informationsblocks&nbsp; $\underline{u}$&nbsp; an &nbsp; &#8658; &nbsp; <b>Dimension</b>&nbsp; des Codes.
-* $d_{\rm min}$&nbsp; kennzeichnet die&nbsp; <b>minimale Distanz </b>&nbsp; zwischen zwei Codeworten <br>$($bei allen Reed&ndash;Solomon&ndash;Codes gleich&nbsp; $n-k+1)$,
+# $d_{\rm min}$&nbsp; kennzeichnet die&nbsp; <b>minimale Distanz </b>&nbsp; zwischen zwei Codeworten <br>$($bei allen Reed&ndash;Solomon&ndash;Codes gleich&nbsp; $n-k+1)$.
-* $q$&nbsp; gibt einen Hinweis auf die Verwendung des Galoisfeldes&nbsp; ${\rm GF}(q)$.
+# $q$&nbsp; gibt einen Hinweis auf die Verwendung des Galoisfeldes&nbsp; ${\rm GF}(q)$.
 Rechts daneben ist die Binärrepräsentation des gleichen Codes angegeben:
-*Bei dieser Realisierung eines RS&ndash;Codes wird jedes Informations&ndash; und Codesymbol durch&nbsp; $m$&nbsp; Bit dargestellt.
+# Bei dieser Realisierung eines RS&ndash;Codes wird jedes Informations&ndash; und Codesymbol durch&nbsp; $m$&nbsp; Bit dargestellt.
-*Beispielsweise erkennt man aus der ersten Zeile, dass die minimale Distanz hinsichtlich der Bits ebenfalls&nbsp; $d_{\rm min} = 5$&nbsp; ist, wenn in&nbsp; ${\rm GF}(2^m)$&nbsp; die minimale Distanz&nbsp; $d_{\rm min} = 5$&nbsp; beträgt.
+# Beispielsweise erkennt man aus der ersten Zeile, dass die minimale Distanz hinsichtlich der Bits ebenfalls&nbsp; $d_{\rm min} = 5$&nbsp; ist, wenn in&nbsp; ${\rm GF}(2^m)$&nbsp; die minimale Distanz&nbsp; $d_{\rm min} = 5$&nbsp; beträgt.
-*Damit können bis zu&nbsp; $t = 2$&nbsp; Bitfehler (oder Symbolfehler) korrigiert und bis zu&nbsp; $e = 4$&nbsp; Bitfehler (oder Symbolfehler) erkannt werden.
+# Damit können bis zu&nbsp; $t = 2$&nbsp; Bitfehler (oder Symbolfehler) korrigiert und bis zu&nbsp; $e = 4$&nbsp; Bitfehler (oder Symbolfehler) erkannt werden.
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-''Hinweise:''
+* Bezug genommen wird aber auch auf das Kapitel&nbsp; [[Kanalcodierung/Erweiterungsk%C3%B6rper| "Erweiterungskörper"]].
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 ===Fragebogen===
 <quiz display=simple>
-{Es gelte&nbsp; $c_i &#8712; {\rm GF}(2^m)$. Welche RS&ndash;Codeparameter&nbsp; $n$&nbsp; ergeben sich?
+{Es gelte&nbsp; $c_i &#8712; {\rm GF}(2^m)$.&nbsp; Welche Codeparameter&nbsp; $n$&nbsp; ergeben sich?
 |type="{}"}
 $m = 4 \text{:} \hspace{0.4cm} n \ = \ ${ 15 }
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 $m = 6 \text{:} \hspace{0.4cm} n \ = \ ${ 63 }
-{Im Folgenden werden zwei spezielle RS&ndash;Codes&nbsp; ${\rm RSC} \ 1 \ (m = 4, \ t = 4)$&nbsp; und&nbsp; ${\rm RSC} \ 2 \ (m = 5, \ t = 8)$&nbsp; betrachtet. <br>Mit welchem RS&ndash;Parameter&nbsp; $k$&nbsp; lassen sich genau&nbsp; $t$&nbsp; Symbolfehler korrigeren?
+{Im Folgenden werden zwei spezielle Reed&ndash;Solomon&ndash;Codes&nbsp; ${\rm RSC} \ 1 \ (m = 4, \ t = 4)$&nbsp; und&nbsp; ${\rm RSC} \ 2 \ (m = 5, \ t = 8)$&nbsp; betrachtet. <br>Mit welchem Parameter&nbsp; $k$&nbsp; lassen sich genau&nbsp; $t$&nbsp; Symbolfehler korrigeren?
 |type="{}"}
 ${\rm RSC} \ 1 \text{:} \hspace{0.4cm} k \ = \ ${ 7 }
@@ Zeile 51: / Zeile 51: @@
 {Welche Bezeichnungen sind für&nbsp; $\rm RSC \ 1$&nbsp; bzw.&nbsp; $\rm RSC \ 2$&nbsp; richtig?
 |type="[]"}
-+ $\rm RSC \ 1$&nbsp; nennt man auch&nbsp; $\rm RSC \, (15, \, 7, \, 9)_{16}$.
++ $\rm RSC \ 1$&nbsp; nennt man auch&nbsp; "$\rm RSC \, (15, \, 7, \, 9)_{16}$".
-- $\rm RSC \ 1$&nbsp; nennt man auch&nbsp; $\rm RSC \, (15, \, 7, \, 4)_4$.
+- $\rm RSC \ 1$&nbsp; nennt man auch&nbsp; "$\rm RSC \, (15, \, 7, \, 4)_4$".
-- $\rm RSC \ 2$&nbsp; nennt man auch&nbsp; $\rm RSC \, (31, \, 17, \, 15)_{32}$.
+- $\rm RSC \ 2$&nbsp; nennt man auch&nbsp; "$\rm RSC \, (31, \, 17, \, 15)_{32}$".
-+ $\rm RSC \ 2$&nbsp; nennt man auch&nbsp; $\rm  RSC \, (31, \, 15, \, 17)_{32}$.
++ $\rm RSC \ 2$&nbsp; nennt man auch&nbsp; "$\rm  RSC \, (31, \, 15, \, 17)_{32}$".
 {Wieviele Symbolfehler&nbsp; $(e)$&nbsp; können höchstens erkannt werden?
@@ Zeile 63: / Zeile 63: @@
 {Wie lauten die betrachteten Codes in Binärschreibweise?
 |type="[]"}
-- $\rm RSC \ 1$&nbsp; entspricht dem Code&nbsp; $\rm RSC \, (60, \, 28, \, 36)_2$.
+- $\rm RSC \ 1$&nbsp; entspricht dem Code&nbsp; "$\rm RSC \, (60, \, 28, \, 36)_2$".
-+ $\rm RSC \ 1$&nbsp; entspricht dem Code&nbsp; $\rm RSC \, (60, \, 28, \, 9)_2$.
++ $\rm RSC \ 1$&nbsp; entspricht dem Code&nbsp; "$\rm RSC \, (60, \, 28, \, 9)_2$".
-+ $\rm RSC \ 2$&nbsp; entspricht dem Code&nbsp; $\rm RSC \, (155, \, 75, \, 17)_2$.
++ $\rm RSC \ 2$&nbsp; entspricht dem Code&nbsp; "$\rm RSC \, (155, \, 75, \, 17)_2$".
-- $\rm RSC \ 2$&nbsp; entspricht dem Code&nbsp; $\rm RSC \, (124, \, 60, \, 17)_2$.
+- $\rm RSC \ 2$&nbsp; entspricht dem Code&nbsp; "$\rm RSC \, (124, \, 60, \, 17)_2$".
 </quiz>

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 m = 6 {\rm :}\hspace{0.2cm} n \hspace{0.15cm}\underline {= 63} \hspace{0.05cm}. $$
 '''(2)'''&nbsp; Um $t$ Symbolfehler korrigieren zu können, muss die minimale Distanz $d_{\rm min} = 2t + 1$ betragen. Der Reed&ndash;Solomon&ndash;Code ist ein sogenannter MDS&ndash;Code (<i>Maximum Distance Separable</i>). Für diese gilt:
 :$$d_{\rm min} = n-k+1 = 2t+1 \hspace{0.3cm} \Rightarrow  \hspace{0.3cm}k = n -2t =  2^m - ( 2t+1) \hspace{0.05cm}. $$
-Damit erhält man für den
+*Damit erhält man für den
-* $\rm RSC \ 1$ (mit $m = 4, \ t = 4) \text{:} \hspace{0.2cm} k = 2^4 - (2 \cdot 4 + 1) \ \underline{= 7}$,
+:* $\rm RSC \ 1$ (mit $m = 4, \ t = 4) \text{:} \hspace{0.2cm} k = 2^4 - (2 \cdot 4 + 1) \ \underline{= 7}$,
-* $\rm RSC \ 2$ (mit $m = 5, \ t = 8) \text{:} \hspace{0.2cm} k = 2^5 - (2 \cdot 8 + 1) \ \underline{= 15}$.
+:* $\rm RSC \ 2$ (mit $m = 5, \ t = 8) \text{:} \hspace{0.2cm} k = 2^5 - (2 \cdot 8 + 1) \ \underline{= 15}$.
 '''(3)'''&nbsp; Die Bezeichnung eines Reed&ndash;Solomon&ndash;Codes lautet ${\rm RSC} \, (n, \, k, \, d_{\rm min})_q$ mit $q = 2^m = n + 1$. Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 1 und 4</u>:
 * $\rm RSC \ 1 \Rightarrow RSC \, (15, \, 7, \, 9)_{16}$,
 * $\rm RSC \ 2 \Rightarrow RSC \, (31, \, 15, \, 17)_{32}$.
@@ Zeile 92: / Zeile 99: @@
 * ${\rm RSC} \ 1 \text{:} \hspace{0.2cm} d_{\rm min} = \ \ 9, \ t = 4, \ \underline{e = 8}$,
 * ${\rm RSC} \ 2 \text{:} \hspace{0.2cm} d_{\rm min} = 17, \ t = 8, \ \underline{e = 16}$.
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 :* $\rm RSC \ 1 \Rightarrow RSC \, (15, \, 7, \, 9)_{16} \Rightarrow RSC \, (60, \, 28, \, 9)_2$,
 :* $\rm RSC \ 2 \Rightarrow RSC \, (31, \, 15, \, 17)_{32} \Rightarrow RSC \, (155, \, 75, \, 17)_2$.
-*Für die minimale Distanz auf Bitebene &nbsp; &rArr; &nbsp; $\rm GF(2)$ ergeben sich mit $d_{\rm min} = 9$ bzw. $d_{\rm min} = 17$ die gleichen Werte wie auf Symbolebene &nbsp; &rArr; &nbsp; $\rm GF(2^4)$ bzw. $\rm GF(2^5)$ (siehe [[Kanalcodierung/Definition_und_Eigenschaften_von_Reed%E2%80%93Solomon%E2%80%93Codes#Codebezeichnung_und_Coderate|Theorieteil]]).
+*Für die minimale Distanz auf Bitebene &nbsp; &rArr; &nbsp; $\rm GF(2)$ ergeben sich mit $d_{\rm min} = 9$ bzw. $d_{\rm min} = 17$ die gleichen Werte wie auf Symbolebene &nbsp; <br>&rArr; &nbsp; $\rm GF(2^4)$ bzw. $\rm GF(2^5)$ (siehe [[Kanalcodierung/Definition_und_Eigenschaften_von_Reed%E2%80%93Solomon%E2%80%93Codes#Codebezeichnung_und_Coderate|Theorieteil]]).
 {{ML-Fuß}}

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 [[Datei:P_ID2523__KC_A_2_9_neu.png|right|frame|Einige Reed–Solomon–Codes]]
-Nebenstehend finden Sie eine unvollständige Liste möglicher Reed&ndash;Solomon&ndash;Codes, die bekanntlich auf einem Galoisfeld ${\rm GF}(q) = {\rm GF}(2^m)$ basieren. Der Parameter $m$ gibt an, mit wie vielen Bits ein RS&ndash;Codesymbol dargestellt wird. Es gilt:
+Nebenstehend finden Sie eine unvollständige Liste möglicher Reed&ndash;Solomon&ndash;Codes, die bekanntlich auf einem Galoisfeld&nbsp; ${\rm GF}(q) = {\rm GF}(2^m)$&nbsp; basieren. Der Parameter&nbsp; $m$&nbsp; gibt an, mit wie vielen Bit ein RS&ndash;Codesymbol dargestellt wird. Es gilt:
-* $m = 4$ (rote Schrift),
+* $m = 4$&nbsp; (rote Schrift),
-* $m = 5$ (blaue Schrift),
+* $m = 5$&nbsp; (blaue Schrift),
-* $m = 6$ (grüne Schrift).
+* $m = 6$&nbsp; (grüne Schrift).
-Ein Reed&ndash;Solomon&ndash;Code wird wie folgt bezeichnet: &nbsp; ${\rm RSC}\ (n, \ k, \ d_{\rm min})_q$.
+Ein Reed&ndash;Solomon&ndash;Code wird allgemein wie folgt bezeichnet: &nbsp; ${\rm RSC}\ (n, \ k, \ d_{\rm min})_q$.
 Die Parameter haben folgende Bedeutung:
-* $n$ gibt die Anzahl der Symbole eines Codewortes $\underline{c}$ an &nbsp; &#8658; &nbsp; <b>Länge</b> des Codes,
+* $n$&nbsp; gibt die Anzahl der Symbole eines Codewortes&nbsp; $\underline{c}$&nbsp; an &nbsp; &#8658; &nbsp; <b>Länge</b> des Codes,
-* $k$ gibt die Anzahl der Symbole eines Informationsblocks $\underline{u}$ an &nbsp; &#8658; &nbsp; <b>Dimension</b> des Codes,
+* $k$&nbsp; gibt die Anzahl der Symbole eines Informationsblocks&nbsp; $\underline{u}$&nbsp; an &nbsp; &#8658; &nbsp; <b>Dimension</b> des Codes,
-* $d_{\rm min}$ kennzeichnet die <b>minimale Distanz </b> zwischen zwei Codeworten (bei allen Reed&ndash;Solomon&ndash;Codes gleich $n-k+1$),
+* $d_{\rm min}$&nbsp; kennzeichnet die&nbsp; <b>minimale Distanz </b>&nbsp; zwischen zwei Codeworten <br>$($bei allen Reed&ndash;Solomon&ndash;Codes gleich&nbsp; $n-k+1)$,
-* $q$ gibt einen Hinweis auf die Verwendung des Galoisfeldes ${\rm GF}(q)$.
+* $q$&nbsp; gibt einen Hinweis auf die Verwendung des Galoisfeldes&nbsp; ${\rm GF}(q)$.
 Rechts daneben ist die Binärrepräsentation des gleichen Codes angegeben:
-*Bei dieser Realisierung eines RS&ndash;Codes wird jedes Informations&ndash; und Codesymbol durch $m$ Bit dargestellt.
+*Bei dieser Realisierung eines RS&ndash;Codes wird jedes Informations&ndash; und Codesymbol durch&nbsp; $m$&nbsp; Bit dargestellt.
-*Beispielsweise erkennt man aus der ersten Zeile, dass die minimale Distanz hinsichtlich der Bits ebenfalls $d_{\rm min} = 5$ ist, wenn in ${\rm GF}(2^m)$ die minimale Distanz $d_{\rm min} = 5$ beträgt.
+*Beispielsweise erkennt man aus der ersten Zeile, dass die minimale Distanz hinsichtlich der Bits ebenfalls&nbsp; $d_{\rm min} = 5$&nbsp; ist, wenn in&nbsp; ${\rm GF}(2^m)$&nbsp; die minimale Distanz&nbsp; $d_{\rm min} = 5$&nbsp; beträgt.
-*Damit können bis zu $t = 2$ Bitfehler (oder Symbolfehler) korrigiert und bis zu $e = 4$ Bitfehler (oder Symbolfehler) erkannt werden.
+*Damit können bis zu&nbsp; $t = 2$&nbsp; Bitfehler (oder Symbolfehler) korrigiert und bis zu&nbsp; $e = 4$&nbsp; Bitfehler (oder Symbolfehler) erkannt werden.
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 ''Hinweise:''
-* Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Kanalcodierung/Erweiterungsk%C3%B6rper| Erweiterungskörper]].
+* Die Aufgabe gehört zum Kapitel&nbsp; [[Kanalcodierung/Definition_und_Eigenschaften_von_Reed%E2%80%93Solomon%E2%80%93Codes| Definition und Eigenschaften von Reed&ndash;Solomon&ndash;Codes]].
-* Bezug genommen wird aber auch auf das Kapitel [[Kanalcodierung/Definition_und_Eigenschaften_von_Reed%E2%80%93Solomon%E2%80%93Codes| Definition und Eigenschaften von Reed&ndash;Solomon&ndash;Codes]].
+* Bezug genommen wird aber auch auf das Kapitel&nbsp; [[Kanalcodierung/Erweiterungsk%C3%B6rper| Erweiterungskörper]].
@@ Zeile 35: / Zeile 38: @@
 ===Fragebogen===
 <quiz display=simple>
-{Es gelte $c_i &#8712; {\rm GF}(2^m)$. Welche RS&ndash;Codeparameter $n$ ergeben sich?
+{Es gelte&nbsp; $c_i &#8712; {\rm GF}(2^m)$. Welche RS&ndash;Codeparameter&nbsp; $n$&nbsp; ergeben sich?
 |type="{}"}
 $m = 4 \text{:} \hspace{0.4cm} n \ = \ ${ 15 }
@@ Zeile 41: / Zeile 44: @@
 $m = 6 \text{:} \hspace{0.4cm} n \ = \ ${ 63 }
-{Im Folgenden werden zwei spezielle RS&ndash;Codes ${\rm RSC} \ 1 \ (m = 4, \ t = 4)$ und ${\rm RSC} \ 2 \ (m = 5, \ t = 8)$ betrachtet. <br>Mit welchem RS&ndash;Parameter $k$ lassen sich genau $t$ Symbolfehler korrigeren?
+{Im Folgenden werden zwei spezielle RS&ndash;Codes&nbsp; ${\rm RSC} \ 1 \ (m = 4, \ t = 4)$&nbsp; und&nbsp; ${\rm RSC} \ 2 \ (m = 5, \ t = 8)$&nbsp; betrachtet. <br>Mit welchem RS&ndash;Parameter&nbsp; $k$&nbsp; lassen sich genau&nbsp; $t$&nbsp; Symbolfehler korrigeren?
 |type="{}"}
 ${\rm RSC} \ 1 \text{:} \hspace{0.4cm} k \ = \ ${ 7 }
 ${\rm RSC} \ 2 \text{:} \hspace{0.4cm} k \ = \ ${ 15 }
-{Welche Bezeichnungen sind für $\rm RSC 1$ bzw. $\rm RSC \ 2$ richtig?
+{Welche Bezeichnungen sind für&nbsp; $\rm RSC \ 1$&nbsp; bzw.&nbsp; $\rm RSC \ 2$&nbsp; richtig?
 |type="[]"}
-+ $\rm RSC \ 1$ nennt man auch $\rm RSC \, (15, \, 7, \, 9)_{16}$.
++ $\rm RSC \ 1$&nbsp; nennt man auch&nbsp; $\rm RSC \, (15, \, 7, \, 9)_{16}$.
-- $\rm RSC \ 1$ nennt man auch $\rm RSC \, (15, \, 7, \, 4)_4$.
+- $\rm RSC \ 1$&nbsp; nennt man auch&nbsp; $\rm RSC \, (15, \, 7, \, 4)_4$.
-- $\rm RSC \ 2$ nennt man auch $\rm RSC \, (31, \, 17, \, 15)_{32}$.
+- $\rm RSC \ 2$&nbsp; nennt man auch&nbsp; $\rm RSC \, (31, \, 17, \, 15)_{32}$.
-+ $\rm RSC \ 2$ nennt man auch $\rm  RSC \, (31, \, 15, \, 17)_{32}$.
++ $\rm RSC \ 2$&nbsp; nennt man auch&nbsp; $\rm  RSC \, (31, \, 15, \, 17)_{32}$.
-{Wieviele Symbolfehler $(e)$ können höchstens erkannt werden?
+{Wieviele Symbolfehler&nbsp; $(e)$&nbsp; können höchstens erkannt werden?
 |type="{}"}
 ${\rm RSC} \ 1 \text{:} \hspace{0.4cm} e \ = \ ${ 8 }
@@ Zeile 60: / Zeile 63: @@
 {Wie lauten die betrachteten Codes in Binärschreibweise?
 |type="[]"}
-- $\rm RSC \ 1$ entspricht dem Code $\rm RSC \, (60, \, 28, \, 36)_2$.
+- $\rm RSC \ 1$&nbsp; entspricht dem Code&nbsp; $\rm RSC \, (60, \, 28, \, 36)_2$.
-+ $\rm RSC \ 1$ entspricht dem Code $\rm RSC \, (60, \, 28, \, 9)_2$.
++ $\rm RSC \ 1$&nbsp; entspricht dem Code&nbsp; $\rm RSC \, (60, \, 28, \, 9)_2$.
-+ $\rm RSC \ 2$ entspricht dem Code $\rm RSC \, (155, \, 75, \, 17)_2$.
++ $\rm RSC \ 2$&nbsp; entspricht dem Code&nbsp; $\rm RSC \, (155, \, 75, \, 17)_2$.
-- $\rm RSC \ 2$ entspricht dem Code $\rm RSC \, (124, \, 60, \, 17)_2$.
+- $\rm RSC \ 2$&nbsp; entspricht dem Code&nbsp; $\rm RSC \, (124, \, 60, \, 17)_2$.
 </quiz>

@@ Zeile 29: / Zeile 29: @@
 * Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Kanalcodierung/Erweiterungsk%C3%B6rper| Erweiterungskörper]].
 * Bezug genommen wird aber auch auf das Kapitel [[Kanalcodierung/Definition_und_Eigenschaften_von_Reed%E2%80%93Solomon%E2%80%93Codes| Definition und Eigenschaften von Reed&ndash;Solomon&ndash;Codes]].
-* Sollte die Eingabe des Zahlenwertes &bdquo;0&rdquo; erforderlich sein, so geben Sie bitte &bdquo;0.&rdquo; ein.

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−	Ein Reed–Solomon–Code wird wie folgt bezeichnet:   ${\rm RSC}(n, \ k, \ d_{\rm min})_q$.	+	Ein Reed–Solomon–Code wird wie folgt bezeichnet:   ${\rm RSC}\ (n, \ k, \ d_{\rm min})_q$.

← Nächstältere Version		Version vom 3. Januar 2018, 09:38 Uhr
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−	[[Category:Aufgaben zu Kanalcodierung\|^2.3 ~~Definition und Eigenschaften von~~ Reed–Solomon–Codes^]]	+	[[Category:Aufgaben zu Kanalcodierung\|^2.3 Zu den Reed–Solomon–Codes^]]