Aufgaben:Aufgabe 2.08: Generatorpolynome für Reed-Solomon - Versionsgeschichte

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2018-01-09T16:26:04Z

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 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 2 und 3</u> &nbsp;&#8658;&nbsp; Matrizen $\mathbf{G}_{\rm B}$ und $\mathbf{G}_{\rm C}$.
+'''(1)'''&nbsp; Richtig sind die&nbsp; <u>Lösungsvorschläge 2 und 3</u> &nbsp; &#8658; &nbsp; Matrizen&nbsp; $\mathbf{G}_{\rm B}$&nbsp; und&nbsp; $\mathbf{G}_{\rm C}$.
 *In der Matrix $\mathbf{G}_{\rm C}$ wurden bereits die erlaubten Umformungen&nbsp; $\alpha^8 = \alpha, \ \alpha^{10} = \alpha^3$&nbsp; und&nbsp; $\alpha^{12} = \alpha^5$&nbsp; berücksichtigt.
-*Die Matrix $\mathbf{G}_{\rm A}$ gilt für den $(7, \, 5, \, 3)$&ndash;Hamming&ndash;Code und $\mathbf{G}_{\rm D}$ gehört zum $\rm RSC \, (7, \, 5, \, 3)_8$. Siehe hierzu Teilaufgabe (3).
+*In der Matrix&nbsp; $\mathbf{G}_{\rm C}$&nbsp; wurden bereits die erlaubten Umformungen &nbsp; $\alpha^8 = \alpha, \ \alpha^{10} = \alpha^3$ &nbsp; und &nbsp; $\alpha^{12} = \alpha^5$ &nbsp; berücksichtigt.
-'''(2)'''&nbsp; Beim $\rm RSC \, (7, \, 3, \, 5)_8$ werden in jedem Codierschritt $k = 3$ Informationssymbole verarbeitet, im Codierschritt 1 gemäß der Angabe die Symbole $\alpha^4, \ 1$ und $\alpha^3$.
+'''(2)'''&nbsp; Beim&nbsp; $\rm RSC \, (7, \, 3, \, 5)_8$&nbsp; werden in jedem Codierschritt&nbsp; $k = 3$&nbsp; Informationssymbole verarbeitet,&nbsp; im Codierschritt 1 gemäß der Angabe die Symbole&nbsp; $\alpha^4, \ 1$&nbsp; und&nbsp; $\alpha^3$.
 *Mit der Generatormatrix $\mathbf{G}_{\rm C}$ gilt somit:
 :$$\underline {c} = \underline {u} \cdot { \boldsymbol{\rm G}}_{\rm C} =
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 & \alpha^2 & \alpha^4 & \alpha^6 & \alpha^1 & \alpha^{3} & \alpha^{5}
 \end{pmatrix}\hspace{0.05cm}. $$
 *Damit ergibt sich entsprechend der nebenstehenden Hilfstabelle:
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   (\alpha^{2} + \alpha) + (\alpha^2 +1) + \alpha = 1 \hspace{0.05cm}.$$
-*Man erhält das genau gleiche Ergebnis wie in der Teilaufgabe (4) von [[Aufgaben:Aufgabe_2.07:_Reed–Solomon–Code_(7,_3,_5)_zur_Basis_8|Aufgabe 2.7]]. Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 1 und 2</u>.
+*Man erhält das genau gleiche Ergebnis wie in der&nbsp;  '''(4)'''&nbsp; von&nbsp; [[Aufgaben:Aufgabe_2.07:_Reed–Solomon–Code_(7,_3,_5)_zur_Basis_8|"Aufgabe 2.7"]].&nbsp; Richtig sind die&nbsp; <u>Lösungsvorschläge 1 und 2</u>.
 '''(3)'''&nbsp; Beim $\rm RSC \, (7, \, 5, \, 3)_8$ ist das Informationswort $\underline{u} = (u_0, \, u_1, \, u_2, \, u_3, \, u_4)$ zu berücksichtigen.
-*Mit der Generatormatrix $\mathbf{G}_{\rm D}$ erhält man:
+'''(3)'''&nbsp; Beim&nbsp; $\rm RSC \, (7, \, 5, \, 3)_8$&nbsp; ist das Informationswort&nbsp; $\underline{u} = (u_0, \, u_1, \, u_2, \, u_3, \, u_4)$&nbsp; zu berücksichtigen.
 :$$\underline {c} = \underline {u} \cdot { \boldsymbol{\rm G}}_{\rm D} =
 \begin{pmatrix}
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 :$$c_1 \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm}  \left [ \alpha^{4}\cdot 1 + 1 \cdot \alpha + \alpha^{3}\cdot \alpha^{2} \right ] + 0 \cdot \alpha^{3} +  \alpha^{6}\cdot \alpha^{4}=  \left [ \alpha^{3} \right ] + \alpha^{3} = 0 \hspace{0.05cm}.$$
-*Hierbei ist berücksichtigt, dass der Klammerausdruck $[ \ \text{...} \ ]$ genau dem Ergebnis $c_1$ der Teilaufgabe (2) entspricht.
+*Hierbei ist berücksichtigt,&nbsp; dass der Klammerausdruck&nbsp; $[ \ \text{...} \ ]$&nbsp; genau dem Ergebnis&nbsp; $c_1$&nbsp; der Teilaufgabe&nbsp; '''(2)'''&nbsp; entspricht.
 *Entsprechendes wird auch bei den folgenden Berechnungen berücksichtigt:
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   =  (001) + (100) = (101) = \alpha^{6} \hspace{0.05cm}.$$
-*Das heißt: <u>Alle Lösungsvorschläge</u> sind richtig.
+*Das heißt:&nbsp; <u>Alle Lösungsvorschläge</u> sind richtig.
 {{ML-Fuß}}

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 {{quiz-Header|Buchseite=Kanalcodierung/Definition und Eigenschaften von Reed–Solomon–Codes}}
-[[Datei:P_ID2525__KC_A_2_8.png|right|frame|Vier Generatormatrizen, drei davon beschreiben Reed–Solomon–Codes]]
+[[Datei:P_ID2525__KC_A_2_8.png|right|frame|Vier Generatormatrizen,&nbsp; drei davon beschreiben Reed–Solomon–Codes]]
-In der&nbsp; [[Aufgaben:Aufgabe_2.07:_Reed–Solomon–Code_(7,_3,_5)_zur_Basis_8|Aufgabe 2.7]]&nbsp; sollten Sie die Codeworte des&nbsp; $\rm RSC \, (7, \, 3, \, 5)_8$&nbsp; über ein Polynom ermitteln. Man kann aber das Codewort&nbsp; $\underline{c}$&nbsp; auch aus dem Informationswort&nbsp; $\underline{u}$&nbsp; und der Generatormatrix&nbsp; $\mathbf{G}$&nbsp; gemäß der folgenden Gleichung bestimmen:
+In der&nbsp; [[Aufgaben:Aufgabe_2.07:_Reed–Solomon–Code_(7,_3,_5)_zur_Basis_8|"Aufgabe 2.7"]]&nbsp; sollten Sie die Codeworte des&nbsp; $\rm RSC \, (7, \, 3, \, 5)_8$&nbsp; über ein Polynom ermitteln.&nbsp; Man kann aber das Codewort&nbsp; $\underline{c}$&nbsp; auch aus dem Informationswort&nbsp; $\underline{u}$&nbsp; und der Generatormatrix&nbsp; $\mathbf{G}$&nbsp; gemäß der folgenden Gleichung bestimmen:
 :$$\underline {c} = \underline {u} \cdot { \boldsymbol{\rm G}}
 \hspace{0.05cm}.$$
-*Zwei dieser Generatormatrizen beschreiben den&nbsp; $\rm RSC \, (7, \, 3, \, 5)_8$. In der Teilaufgabe '''(1)''' ist explizit gefragt, welche.
+*Zwei dieser Generatormatrizen beschreiben den&nbsp; $\rm RSC \, (7, \, 3, \, 5)_8$.&nbsp; In der Teilaufgabe&nbsp; '''(1)'''&nbsp; ist explizit gefragt,&nbsp; welche.
 *Eine weitere Generatormatrix gehört zum&nbsp; $\rm RSC \, (7, \, 5, \, 3)_8$, der in der Teilaufgabe '''(3)''' betrachtet wird.
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+* Weitere Informationen zu den Reed&ndash;Solomon&ndash;Codes finden Sie in der&nbsp; [[Aufgaben:Aufgabe_2.07:_Reed–Solomon–Code_(7,_3,_5)_zur_Basis_8| "Aufgabe 2.7"]].
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 ===Fragebogen===
 <quiz display=simple>
-{Welche der Generatorpolynome beschreiben den&nbsp; $\rm RSC \, (7, \, 3, \, 5)_8$?
+{Welche der Generatorpolynome beschreiben den &nbsp; $\rm RSC \, (7, \, 3, \, 5)_8$?
 |type="[]"}
 - Die Matrix&nbsp; $\mathbf{G}_{\rm A}$,
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 - die Matrix&nbsp; $\mathbf{G}_{\rm D}$.
-{Die Informationsfolge beginnt mit&nbsp; $\alpha^4, \, 1, \, \alpha^3, \, 0, \, \alpha^6$. Bestimmen Sie das erste Codewort für den&nbsp; $\rm RSC \, (7, \, 3, \, 5)_8$.
+{Die Informationsfolge beginnt mit &nbsp; $\alpha^4, \, 1, \, \alpha^3, \, 0, \, \alpha^6$. &nbsp; Bestimmen Sie das erste Codewort für den&nbsp; $\rm RSC \, (7, \, 3, \, 5)_8$.
 |type="[]"}
 + Es gilt&nbsp; $c_0 = \alpha^2$,

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 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 2 und 3</u> &nbsp;&#8658;&nbsp; Matrizen $\mathbf{G}_{\rm B}$ und $\mathbf{G}_{\rm C}$. *In der Matrix $\mathbf{G}_{\rm C}$ wurden bereits die erlaubten Umformungen $\alpha^8 = \alpha, \ \alpha^{10} = \alpha^3$ und $\alpha^{12} = \alpha^5$ berücksichtigt.
+'''(1)'''&nbsp; Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 2 und 3</u> &nbsp;&#8658;&nbsp; Matrizen $\mathbf{G}_{\rm B}$ und $\mathbf{G}_{\rm C}$.
 *Die Matrix $\mathbf{G}_{\rm A}$ gilt für den $(7, \, 5, \, 3)$&ndash;Hamming&ndash;Code und $\mathbf{G}_{\rm D}$ gehört zum $\rm RSC \, (7, \, 5, \, 3)_8$. Siehe hierzu Teilaufgabe (3).
-[[Datei:P_ID2584__KC_T_2_5_Darstellung.png|right|frame|$\rm GF(2^3)$ in Exponenten–, Polynom- und Koeffizientendarstellung]]
+'''(2)'''&nbsp; Beim $\rm RSC \, (7, \, 3, \, 5)_8$ werden in jedem Codierschritt $k = 3$ Informationssymbole verarbeitet, im Codierschritt 1 gemäß der Angabe die Symbole $\alpha^4, \ 1$ und $\alpha^3$.
 Mit der Generatormatrix $\mathbf{G}_{\rm C}$ gilt somit:
 :$$\underline {c} = \underline {u} \cdot { \boldsymbol{\rm G}}_{\rm C} =
 \begin{pmatrix}
@@ Zeile 65: / Zeile 67: @@
 \end{pmatrix}\hspace{0.05cm}. $$
+*Damit ergibt sich entsprechend der nebenstehenden Hilfstabelle:
 :$$c_0 \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm}   \alpha^{4}\cdot 1  + 1 \cdot 1 +  \alpha^{3}\cdot 1 =
 (110) + (001) + (011)= (100) = \alpha^{2} \hspace{0.05cm},$$
@@ Zeile 82: / Zeile 83: @@
   (\alpha^{2} + \alpha) + (\alpha^2 +1) + \alpha = 1 \hspace{0.05cm}.$$
-Man erhält das genau gleiche Ergebnis wie in der Teilaufgabe (4) von [[Aufgaben:Aufgabe_2.07:_Reed–Solomon–Code_(7,_3,_5)_zur_Basis_8|Aufgabe 2.7]]. Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 1 und 2</u>. Es gilt also nicht $c_6 = 0$, sondern $c_6 = 1$.
+*Man erhält das genau gleiche Ergebnis wie in der Teilaufgabe (4) von [[Aufgaben:Aufgabe_2.07:_Reed–Solomon–Code_(7,_3,_5)_zur_Basis_8|Aufgabe 2.7]]. Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 1 und 2</u>.
-'''(3)'''&nbsp; Beim $\rm RSC \, (7, \, 5, \, 3)_8$ ist das Informationswort $\underline{u} = (u_0, \, u_1, \, u_2, \, u_3, \, u_4)$ zu berücksichtigen. Mit der Generatormatrix $\mathbf{G}_{\rm D}$ erhält man:
+'''(3)'''&nbsp; Beim $\rm RSC \, (7, \, 5, \, 3)_8$ ist das Informationswort $\underline{u} = (u_0, \, u_1, \, u_2, \, u_3, \, u_4)$ zu berücksichtigen.
 :$$\underline {c} = \underline {u} \cdot { \boldsymbol{\rm G}}_{\rm D} =
 \begin{pmatrix}
@@ Zeile 98: / Zeile 102: @@
 \end{pmatrix}\hspace{0.05cm}. $$
-Daraus folgt:
+*Daraus folgt:
 :$$c_0 \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm}   \alpha^{4}\cdot 1  + 1 \cdot 1 +  \alpha^{3}\cdot 1  + 0 \cdot 1 +  \alpha^{6}\cdot 1= (110) + (001) + (011) + (000) +  (101) = (001) = 1 \hspace{0.05cm},$$
 :$$c_1 \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm}  \left [ \alpha^{4}\cdot 1 + 1 \cdot \alpha + \alpha^{3}\cdot \alpha^{2} \right ] + 0 \cdot \alpha^{3} +  \alpha^{6}\cdot \alpha^{4}=  \left [ \alpha^{3} \right ] + \alpha^{3} = 0 \hspace{0.05cm}.$$
-Hierbei ist berücksichtigt, dass der Klammerausdruck $[ \ \text{...} \ ]$ genau dem Ergebnis $c_1$ der Teilaufgabe (2) entspricht. Entsprechendes wird auch bei den folgenden Berechnungen berücksichtigt:
+*Hierbei ist berücksichtigt, dass der Klammerausdruck $[ \ \text{...} \ ]$ genau dem Ergebnis $c_1$ der Teilaufgabe (2) entspricht.
 :$$c_2 \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm}    \left [ \alpha^{3} \right ] + \alpha^{6}\cdot \alpha^{1}=
 \left [ \alpha^{3} \right ] + \alpha^{7} =
@@ Zeile 118: / Zeile 124: @@
   =  (001) + (100) = (101) = \alpha^{6} \hspace{0.05cm}.$$
-Das heißt: <u>Alle Lösungsvorschläge</u> sind richtig.
+*Das heißt: <u>Alle Lösungsvorschläge</u> sind richtig.
 {{ML-Fuß}}

@@ Zeile 2: / Zeile 2: @@
 [[Datei:P_ID2525__KC_A_2_8.png|right|frame|Vier Generatormatrizen, drei davon beschreiben Reed–Solomon–Codes]]
-In der [[Aufgaben:Aufgabe_2.07:_Reed–Solomon–Code_(7,_3,_5)_zur_Basis_8|Aufgabe 2.7]] sollten Sie die Codeworte des $\rm RSC \, (7, \, 3, \, 5)_8$ über ein Polynom ermitteln. Man kann aber das Codewort $\underline{c}$ auch aus dem Informationswort $\underline{u}$ und der Generatormatrix $\mathbf{G}$ gemäß der folgenden Gleichung bestimmen:
+In der&nbsp; [[Aufgaben:Aufgabe_2.07:_Reed–Solomon–Code_(7,_3,_5)_zur_Basis_8|Aufgabe 2.7]]&nbsp; sollten Sie die Codeworte des&nbsp; $\rm RSC \, (7, \, 3, \, 5)_8$&nbsp; über ein Polynom ermitteln. Man kann aber das Codewort&nbsp; $\underline{c}$&nbsp; auch aus dem Informationswort&nbsp; $\underline{u}$&nbsp; und der Generatormatrix&nbsp; $\mathbf{G}$&nbsp; gemäß der folgenden Gleichung bestimmen:
 :$$\underline {c} = \underline {u} \cdot { \boldsymbol{\rm G}}
 \hspace{0.05cm}.$$
-*Zwei der vorgegebenen Generatormatrizen beschreiben den $\rm RSC \, (7, \, 3, \, 5)_8$. In der Teilaufgabe (1) ist explizit gefragt, welche.
+*Zwei dieser Generatormatrizen beschreiben den&nbsp; $\rm RSC \, (7, \, 3, \, 5)_8$. In der Teilaufgabe '''(1)''' ist explizit gefragt, welche.
-*Eine weitere Generatormatrix gehört zum $\rm RSC \, (7, \, 5, \, 3)_8$, der in der Teilaufgabe (3) betrachtet wird.
+*Eine weitere Generatormatrix gehört zum&nbsp; $\rm RSC \, (7, \, 5, \, 3)_8$, der in der Teilaufgabe '''(3)''' betrachtet wird.
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 ''Hinweise:''
-* Die Aufgabe gehört zum Themengebiet des Kapitels [[Kanalcodierung/Definition_und_Eigenschaften_von_Reed%E2%80%93Solomon%E2%80%93Codes| Definition und Eigenschaften von Reed&ndash;Solomon&ndash;Codes]].
+* Die Aufgabe gehört zum Kapitel&nbsp; [[Kanalcodierung/Definition_und_Eigenschaften_von_Reed%E2%80%93Solomon%E2%80%93Codes| Definition und Eigenschaften von Reed&ndash;Solomon&ndash;Codes]].
-* Wichtige Informationen zu den Reed&ndash;Solomon&ndash;Codes finden Sie auch in der [[Aufgaben:Aufgabe_2.07:_Reed–Solomon–Code_(7,_3,_5)_zur_Basis_8| Aufgabe 2.7]].
+* Wichtige Informationen zu den Reed&ndash;Solomon&ndash;Codes finden Sie auch in der&nbsp; [[Aufgaben:Aufgabe_2.07:_Reed–Solomon–Code_(7,_3,_5)_zur_Basis_8| Aufgabe 2.7]].
@@ Zeile 22: / Zeile 25: @@
 ===Fragebogen===
 <quiz display=simple>
-{Welche der Generatorpolynome beschreiben den $\rm RSC \, (7, \, 3, \, 5)_8$?
+{Welche der Generatorpolynome beschreiben den&nbsp; $\rm RSC \, (7, \, 3, \, 5)_8$?
 |type="[]"}
-- Die Matrix $\mathbf{G}_{\rm A}$,
+- Die Matrix&nbsp; $\mathbf{G}_{\rm A}$,
-+ die Matrix $\mathbf{G}_{\rm B}$,
++ die Matrix&nbsp; $\mathbf{G}_{\rm B}$,
-+ die Matrix $\mathbf{G}_{\rm C}$,
++ die Matrix&nbsp; $\mathbf{G}_{\rm C}$,
-- die Matrix $\mathbf{G}_{\rm D}$.
+- die Matrix&nbsp; $\mathbf{G}_{\rm D}$.
-{Die Informationsfolge beginnt mit $\alpha^4, \, 1, \, \alpha^3, \, 0, \, \alpha^6$. Bestimmen Sie das erste Codewort für den $\rm RSC \, (7, \, 3, \, 5)_8$.
+{Die Informationsfolge beginnt mit&nbsp; $\alpha^4, \, 1, \, \alpha^3, \, 0, \, \alpha^6$. Bestimmen Sie das erste Codewort für den&nbsp; $\rm RSC \, (7, \, 3, \, 5)_8$.
 |type="[]"}
-+ Es gilt $c_0 = \alpha^2$,
++ Es gilt&nbsp; $c_0 = \alpha^2$,
-+ Es gilt $c_1 = \alpha^3$,
++ Es gilt&nbsp; $c_1 = \alpha^3$,
-- Es gilt $c_6 = 0$.
+- Es gilt&nbsp; $c_6 = 0$.
-{Wie lautet bei gleicher Informationsfolge das Codewort für den $\rm RSC \, (7, \, 5, \, 3)_8$?
+{Wie lautet bei gleicher Informationsfolge das Codewort für den&nbsp; $\rm RSC \, (7, \, 5, \, 3)_8$?
 |type="[]"}
-+ Es gilt $c_0 = 1$,
++ Es gilt&nbsp; $c_0 = 1$,
-+ Es gilt $c_1 = 0$,
++ Es gilt&nbsp; $c_1 = 0$,
-+ Es gilt $c_6 = \alpha^6$.
++ Es gilt&nbsp; $c_6 = \alpha^6$.
 </quiz>

@@ Zeile 44: / Zeile 44: @@
 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 2 und 3</u> &nbsp;&#8658;&nbsp; Matrizen $\mathbf{G}_{\rm B}$ und $\mathbf{G}_{\rm C}$, wobei in der Matrix $\mathbf{G}_{\rm C}$ bereits die erlaubten Umformungen $\alpha^8 = \alpha, \ \alpha^{10} = \alpha^3$ und $\alpha^{12} = \alpha^5$ berücksichtigt wurden. Die Matrix $\mathbf{G}_{\rm A}$ gilt für den $(7, \, 5, \, 3)$&ndash;Hamming&ndash;Code und $\mathbf{G}_{\rm D}$ gehört zum $\rm RSC \, (7, \, 5, \, 3)_8$. Siehe hierzu Teilaufgabe (3).
+'''(1)'''&nbsp; Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 2 und 3</u> &nbsp;&#8658;&nbsp; Matrizen $\mathbf{G}_{\rm B}$ und $\mathbf{G}_{\rm C}$. *In der Matrix $\mathbf{G}_{\rm C}$ wurden bereits die erlaubten Umformungen $\alpha^8 = \alpha, \ \alpha^{10} = \alpha^3$ und $\alpha^{12} = \alpha^5$ berücksichtigt.
-'''(2)'''&nbsp; Beim $\rm RSC \, (7, \, 3, \, 5)_8$ werden in jedem Codierschritt $k = 3$ Informationssymbole verarbeitet, im Codierschritt 1 die Symbole $\alpha^4, \ 1$ und $\alpha^3$. Mit der Generatormatrix $\mathbf{G}_{\rm C}$ gilt somit:
+'''(2)'''&nbsp; Beim $\rm RSC \, (7, \, 3, \, 5)_8$ werden in jedem Codierschritt $k = 3$ Informationssymbole verarbeitet, im Codierschritt 1 entsprechend der Angabe die Symbole $\alpha^4, \ 1$ und $\alpha^3$.
 :$$\underline {c} = \underline {u} \cdot { \boldsymbol{\rm G}}_{\rm C} =
 \begin{pmatrix}
@@ Zeile 58: / Zeile 62: @@
 \end{pmatrix}\hspace{0.05cm}. $$
-[[Datei:P_ID2584__KC_T_2_5_Darstellung.png|right|frame|]] Damit ergibt sich entsprechend der nebenstehenden Tabelle:
-:$$c_0 \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm}   \alpha^{4}\cdot 1  + 1 \cdot 1 +  \alpha^{3}\cdot 1 =$$
+Damit ergibt sich entsprechend der nebenstehenden Hilfstabelle:
-:$$\hspace{0.475cm} = \ \hspace{-0.15cm}
+:$$c_0 \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm}   \alpha^{4}\cdot 1  + 1 \cdot 1 +  \alpha^{3}\cdot 1 =
 (110) + (001) + (011)= (100) = \alpha^{2} \hspace{0.05cm},$$
-:$$c_1 \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm}   \alpha^{4}\cdot 1 + 1 \cdot \alpha + \alpha^{3}\cdot \alpha^{2}= $$
+:$$c_1 \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm}   \alpha^{4}\cdot 1 + 1 \cdot \alpha + \alpha^{3}\cdot \alpha^{2}=
   (110)  + (010) + (110) = (011) = \alpha^{3} \hspace{0.05cm},$$
-:$$c_2 \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm}    \alpha^{4}\cdot 1 + 1 \cdot \alpha^{2} + \alpha^{3}\cdot \alpha^{4}=$$
+:$$c_2 \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm}    \alpha^{4}\cdot 1 + 1 \cdot \alpha^{2} + \alpha^{3}\cdot \alpha^{4}=
   (110) + (100) + (001) = (011) = \alpha^{3} \hspace{0.05cm},$$
-:$$c_3 \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm}   \alpha^{4}\cdot 1 + 1 \cdot \alpha^{3} + \alpha^{3}\cdot \alpha^{6}=$$
+:$$c_3 \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm}   \alpha^{4}\cdot 1 + 1 \cdot \alpha^{3} + \alpha^{3}\cdot \alpha^{6}=$
   (110) + (011) + (100) = (001) = 1 \hspace{0.05cm},$$
 :$$c_4 \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm}    \alpha^{4}\cdot 1 + 1 \cdot \alpha^{4} + \alpha^{3}\cdot \alpha^{1}
   = \alpha^{4} \hspace{0.05cm},$$
-:$$c_5 \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm}    \alpha^{4}\cdot 1 + 1 \cdot \alpha^{5} + \alpha^{3}\cdot \alpha^{3}=$$
+:$$c_5 \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm}    \alpha^{4}\cdot 1 + 1 \cdot \alpha^{5} + \alpha^{3}\cdot \alpha^{3}=
   (110) + (111) + (101) =  (100) = \alpha^{2} \hspace{0.05cm},$$
-:$$c_6 \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm}  \alpha^{4}\cdot 1 + 1 \cdot \alpha^{6} + \alpha^{3}\cdot \alpha^{5}=$$
+:$$c_6 \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm}  \alpha^{4}\cdot 1 + 1 \cdot \alpha^{6} + \alpha^{3}\cdot \alpha^{5}=
   (\alpha^{2} + \alpha) + (\alpha^2 +1) + \alpha = 1 \hspace{0.05cm}.$$
-Man erhält das genau gleiche Ergebnis wie in der Teilaufgabe (4) von [[Aufgaben:2.07_Reed%E2%80%93Solomon%E2%80%93Code_(7,_3,_5)(Base_8)|Aufgabe A2.7]]. Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 1 und 2</u>. Es gilt nicht $c_6 = 0$, sondern $c_6 = 1$.
+Man erhält das genau gleiche Ergebnis wie in der Teilaufgabe (4) von [[Aufgaben:Aufgabe_2.07:_Reed–Solomon–Code_(7,_3,_5)_zur_Basis_8|Aufgabe 2.7]]. Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 1 und 2</u>. Es gilt also nicht $c_6 = 0$, sondern $c_6 = 1$.
-'''(3)'''&nbsp; Beim $\rm RSC \, (7, \, 5, \, 3)_8$ ist nun das Informationswort $\underline{u} = (u_0, \, u_1, \, u_2, \, u_3, \, u_4)$ zu berücksichtigen. Mit der Generatormatrix $\mathbf{G}_{\rm D}$ erhält man somit:
+'''(3)'''&nbsp; Beim $\rm RSC \, (7, \, 5, \, 3)_8$ ist das Informationswort $\underline{u} = (u_0, \, u_1, \, u_2, \, u_3, \, u_4)$ zu berücksichtigen. Mit der Generatormatrix $\mathbf{G}_{\rm D}$ erhält man:
 :$$\underline {c} = \underline {u} \cdot { \boldsymbol{\rm G}}_{\rm D} =
 \begin{pmatrix}
@@ Zeile 97: / Zeile 96: @@
 Daraus folgt:
-:$$c_0 \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm}   \alpha^{4}\cdot 1  + 1 \cdot 1 +  \alpha^{3}\cdot 1  + 0 \cdot 1 +  \alpha^{6}\cdot 1=$$
+:$$c_0 \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm}   \alpha^{4}\cdot 1  + 1 \cdot 1 +  \alpha^{3}\cdot 1  + 0 \cdot 1 +  \alpha^{6}\cdot 1= (110) + (001) + (011) + (000) +  (101) = (001) = 1 \hspace{0.05cm},$$
 :$$c_1 \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm}  \left [ \alpha^{4}\cdot 1 + 1 \cdot \alpha + \alpha^{3}\cdot \alpha^{2} \right ] + 0 \cdot \alpha^{3} +  \alpha^{6}\cdot \alpha^{4}=  \left [ \alpha^{3} \right ] + \alpha^{3} = 0 \hspace{0.05cm}.$$
-Hierbei ist berücksichtigt, dass der Klammerausdruck $[ \ ... \ ]$ genau dem Ergebnis $c_1$ der Teilaufgabe (2) entspricht. Entsprechendes wird bei den folgenden Berechnungen ebenfalls berücksichtigt:
+Hierbei ist berücksichtigt, dass der Klammerausdruck $[ \ \text{...} \ ]$ genau dem Ergebnis $c_1$ der Teilaufgabe (2) entspricht. Entsprechendes wird auch bei den folgenden Berechnungen berücksichtigt:
 :$$c_2 \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm}    \left [ \alpha^{3} \right ] + \alpha^{6}\cdot \alpha^{1}=
 \left [ \alpha^{3} \right ] + \alpha^{7} =

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(kein Unterschied)

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