Aufgaben:Aufgabe 1.8Z: Cosinus-Quadrat-Tiefpass - Versionsgeschichte

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2026-03-16T12:35:07Z

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← Nächstältere Version		Version vom 16. März 2026, 14:35 Uhr
Zeile 74:		Zeile 74:

	*Auch aus der zweiten Gleichung erhält man diese Ergebnisse, beispielsweise		*Auch aus der zweiten Gleichung erhält man diese Ergebnisse, beispielsweise
	:$$y(t = 0) = {\pi}/{4} \cdot {\rm si}(0)\cdot \left[ {\~~rmsi~~}(\pi/2)+ {\rm si}(-\pi/2)\right] {\pi}/{2} \cdot {\rm si}(\pi/2) = {\pi}/{2} \cdot\frac{{\rm sin}(\pi/2)}{\pi/2} \hspace{0.15cm}\underline{= 1},$$		:$$y(t = 0) = {\pi}/{4} \cdot {\rm si}(0)\cdot \left[ {\rm si}(\pi/2)+ {\rm si}(-\pi/2)\right] {\pi}/{2} \cdot {\rm si}(\pi/2) = {\pi}/{2} \cdot\frac{{\rm sin}(\pi/2)}{\pi/2} \hspace{0.15cm}\underline{= 1},$$
	:$$y(t = T) \hspace{0.15cm}=\hspace{0.15cm}{\pi}/{4} \cdot {\rm si}(\pi)\cdot \left[ {\~~rmsi~~}(3\pi/2)+ {\rm si}(\pi/2)\right] \hspace{0.15cm}\underline{= 0}.$$		:$$y(t = T) \hspace{0.15cm}=\hspace{0.15cm}{\pi}/{4} \cdot {\rm si}(\pi)\cdot \left[ {\rm si}(3\pi/2)+ {\rm si}(\pi/2)\right] \hspace{0.15cm}\underline{= 0}.$$


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	'''(2)'''  Zur Berechnung dieser Signalwerte ist die zweite Darstellung besser geeignet:		'''(2)'''  Zur Berechnung dieser Signalwerte ist die zweite Darstellung besser geeignet:

	:$$y(t = T/2) = {\pi}/{4} \cdot {\rm si}(\pi/2)\cdot \big[ {\~~rmsi~~}(\pi)+ {\rm si}(0)\big].$$		:$$y(t = T/2) = {\pi}/{4} \cdot {\rm si}(\pi/2)\cdot \big[ {\rm si}(\pi)+ {\rm si}(0)\big].$$

	*Mit  ${\rm si}(0) = 1$  und  ${\rm si}(\pi) = 0$  erhält man so:		*Mit  ${\rm si}(0) = 1$  und  ${\rm si}(\pi) = 0$  erhält man so:
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	[[Category:Aufgaben zu Lineare zeitinvariante Systeme\|^1.3 Systemtheoretische Tiefpassfunktionen^]]		[[Category:Aufgaben zu Lineare zeitinvariante Systeme\|^1.3 Systemtheoretische Tiefpassfunktionen^]]
			[[en:Aufgaben:Exercise_1.8Z:_Cosine-Square_Low-Pass_Filter]]

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2026-02-24T13:38:36Z

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← Nächstältere Version		Version vom 24. Februar 2026, 15:38 Uhr
Zeile 13:		Zeile 13:

	Anzumerken ist, dass die äquivalente Bandbreite  $\Delta f = 1/{\Delta t}$  ist. Damit erhält man für die äquivalente  ${\Delta t}$  der Impulsantwort ebenfalls  $T$  und und es gilt:		Anzumerken ist, dass die äquivalente Bandbreite  $\Delta f = 1/{\Delta t}$  ist. Damit erhält man für die äquivalente  ${\Delta t}$  der Impulsantwort ebenfalls  $T$  und und es gilt:
	:$$y(t) = T \cdot h(t) = {\rm si}(\pi \cdot {t}/{T} )\cdot \frac		:$$y(t) = T \cdot h(t) = {\rm si}(\pi \cdot {t}/{T} )\cdot \frac{\cos(\pi \cdot t / T )}{1 - (2 \cdot t/T )^2}.$$
	{\cos(\pi \cdot t / T )}{1 - (2 \cdot t/T )^2}.$$

	Zu beachten ist, dass das Ausgangssignal  $y(t)$  im Gegensatz zur Impulsantwort  $h(t)$  ohne Einheit ist. Durch Anwendung trigonomischer Umformungen kann dieses Signal auch wie folgt dargestellt werden:		Zu beachten ist, dass das Ausgangssignal  $y(t)$  im Gegensatz zur Impulsantwort  $h(t)$  ohne Einheit ist. Durch Anwendung trigonomischer Umformungen kann dieses Signal auch wie folgt dargestellt werden:
	:$$y(t) = {\pi}/{4} \cdot {\rm si}(\pi \cdot {t}/{T} )\cdot		:$$y(t) = {\pi}/{4} \cdot {\rm si}(\pi \cdot {t}/{T} )\cdot\big[ {\rm si}\big(\pi \cdot \left({t}/{T}+ 0.5 \right)\big)+ {\rm si}\big(\pi \cdot \left({t}/{T}- 0.5 \right)\big)\big].$$
	\big[ {\rm si}\big(\pi \cdot \left({t}/{T}+ 0.5 \right)
	\big)+ {\rm si}\big(\pi \cdot \left({t}/{T}- 0.5 \right)
	\big)\big].$$

	Wählen Sie bei den folgenden Aufgaben die jeweils einfacher handhabbare Gleichung aus.		Wählen Sie bei den folgenden Aufgaben die jeweils einfacher handhabbare Gleichung aus.
Zeile 78:		Zeile 74:

	*Auch aus der zweiten Gleichung erhält man diese Ergebnisse, beispielsweise		*Auch aus der zweiten Gleichung erhält man diese Ergebnisse, beispielsweise
	:$$y(t = 0) = {\pi}/{4} \cdot {\rm si}(0)\cdot \left[ {\rm		:$$y(t = 0) = {\pi}/{4} \cdot {\rm si}(0)\cdot \left[ {\rmsi}(\pi/2)+ {\rm si}(-\pi/2)\right] {\pi}/{2} \cdot {\rm si}(\pi/2) = {\pi}/{2} \cdot\frac{{\rm sin}(\pi/2)}{\pi/2} \hspace{0.15cm}\underline{= 1},$$
	si}(\pi/2)+ {\rm si}(-\pi/2)\right]		:$$y(t = T) \hspace{0.15cm}=\hspace{0.15cm}{\pi}/{4} \cdot {\rm si}(\pi)\cdot \left[ {\rmsi}(3\pi/2)+ {\rm si}(\pi/2)\right] \hspace{0.15cm}\underline{= 0}.$$
	{\pi}/{2} \cdot {\rm si}(\pi/2) = {\pi}/{2} \cdot
	\frac{{\rm sin}(\pi/2)}{\pi/2} \hspace{0.15cm}\underline{= 1},$$
	:$$y(t = T) \hspace{0.15cm}=\hspace{0.15cm}{\pi}/{4} \cdot {\rm si}(\pi)\cdot \left[ {\rm
	si}(3\pi/2)+ {\rm si}(\pi/2)\right] \hspace{0.15cm}\underline{= 0}.$$


Zeile 89:		Zeile 81:
	'''(2)'''  Zur Berechnung dieser Signalwerte ist die zweite Darstellung besser geeignet:		'''(2)'''  Zur Berechnung dieser Signalwerte ist die zweite Darstellung besser geeignet:

	:$$y(t = T/2) = {\pi}/{4} \cdot {\rm si}(\pi/2)\cdot \big[ {\rm		:$$y(t = T/2) = {\pi}/{4} \cdot {\rm si}(\pi/2)\cdot \big[ {\rmsi}(\pi)+ {\rm si}(0)\big].$$
	si}(\pi)+ {\rm si}(0)\big].$$

	*Mit  ${\rm si}(0) = 1$  und  ${\rm si}(\pi) = 0$  erhält man so:		*Mit  ${\rm si}(0) = 1$  und  ${\rm si}(\pi) = 0$  erhält man so:
	:$$y(t = T/2) = {\pi}/{4} \cdot {\rm si}(\pi/2)= {\pi}/{4}		:$$y(t = T/2) = {\pi}/{4} \cdot {\rm si}(\pi/2)= {\pi}/{4} \cdot \frac{{\rm sin}(\pi/2)}{\pi/2} \hspace{0.15cm}\underline{ = 0.5}.$$
	\cdot \frac{{\rm sin}(\pi/2)}{\pi/2} \hspace{0.15cm}\underline{ = 0.5}.$$

	*In analoger Weise ergibt sich für  $t = 1.5T$:		*In analoger Weise ergibt sich für  $t = 1.5T$:
	:$$y(t = 1.5T) = {\pi}/{4} \cdot {\rm si}(3\pi/2)\cdot \left[		:$$y(t = 1.5T) = {\pi}/{4} \cdot {\rm si}(3\pi/2)\cdot \left[{\rm si}(2\pi)+ {\rm si}(\pi)\right] \hspace{0.15cm}\underline{ = 0}.$$
	{\rm si}(2\pi)+ {\rm si}(\pi)\right] \hspace{0.15cm}\underline{ = 0}.$$

	*Hierbei ist  ${\rm si}(\pi) = {\rm si}(2\pi) = 0$  berücksichtigt.		*Hierbei ist  ${\rm si}(\pi) = {\rm si}(2\pi) = 0$  berücksichtigt.
Zeile 106:		Zeile 95:

	'''(3)'''  Für große Werte von  $t$  gilt näherungsweise  (wenn man die &bdquo;1” im Nenner vernachlässigt):		'''(3)'''  Für große Werte von  $t$  gilt näherungsweise  (wenn man die &bdquo;1” im Nenner vernachlässigt):
	:$$y(t)= {\rm si}(\pi \cdot {t}/{T} )\cdot \frac		:$$y(t)= {\rm si}(\pi \cdot {t}/{T} )\cdot \frac{\cos(\pi \cdot t / T )}{1 - (2 \cdot t/T )^2} \approx \frac {\sin(\pi \cdot t / T )\cdot \cos(\pi \cdot t / T)}{ - (\pi \cdot t/T )(2 \cdot t/T )^2} = - \frac {\sin(2\pi\cdot t / T )}{ 8 \pi \cdot( t/T )^3}.$$
	{\cos(\pi \cdot t / T )}{1 - (2 \cdot t/T )^2} \approx \frac {\sin(\pi \cdot t / T )\cdot \cos(\pi \cdot t / T
	)}{ - (\pi \cdot t/T )(2 \cdot t/T )^2} = - \frac {\sin(2\pi
	\cdot t / T )}{ 8 \pi \cdot( t/T )^3}.$$

	*Hierbei ist berücksichtigt, dass  $\sin(\alpha) \cdot \cos(\alpha) = \sin(2\alpha)/2$  ist.		*Hierbei ist berücksichtigt, dass  $\sin(\alpha) \cdot \cos(\alpha) = \sin(2\alpha)/2$  ist.
	*Zum Zeitpunkt  $t = 10.75 T$  gilt dann:		*Zum Zeitpunkt  $t = 10.75 T$  gilt dann:
	:$$\sin(2\pi \cdot t / T ) = \sin (21.5\pi)= \sin (1.5\pi) = -1\hspace{0.3cm}		:$$\sin(2\pi \cdot t / T ) = \sin (21.5\pi)= \sin (1.5\pi) = -1\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} y(t = 10.75 T) = \frac {1 }{ 8 \pi \cdot( 10.75 )^3} \hspace{0.15cm}\underline{= 32\cdot 10^{-6}}.$$
	\Rightarrow \hspace{0.3cm} y(t = 10.75 T) = \frac {1 }{ 8 \pi \cdot( 10.75 )^3} \hspace{0.15cm}\underline{= 32
	\cdot 10^{-6}}.$$


	[[Datei:P_ID872__LZI_Z_1_8_d.png\|right\|frame\|Gesuchter Empfängerfrequenzgang]]		[[Datei:P_ID872__LZI_Z_1_8_d.png\|right\|frame\|Gesuchter Empfängerfrequenzgang]]
	'''(4)'''  Der Empfängerfrequenzgang lautet für  $\|f \cdot T\| \le 1$:		'''(4)'''  Der Empfängerfrequenzgang lautet für  $\|f \cdot T\| \le 1$:
	:$$H_{\rm E}(f) = \frac{H(f)}{H_{\rm S}(f)}= \frac{\cos^2(\pi f T		:$$H_{\rm E}(f) = \frac{H(f)}{H_{\rm S}(f)}= \frac{\cos^2(\pi f T/2)}{{\rm si}(\pi fT)}.$$
	/2)}{{\rm si}(\pi fT)}.$$
	*Dieser Funktionsverlauf ist in der Grafik dargestellt. Für die gesuchten Stützwerte gilt:		*Dieser Funktionsverlauf ist in der Grafik dargestellt. Für die gesuchten Stützwerte gilt:
	:$$H_{\rm E}(f = 0) = \frac{\cos^2(0)}{{\rm si}(0)} \hspace{0.15cm}\underline{ = 1},$$		:$$H_{\rm E}(f = 0) = \frac{\cos^2(0)}{{\rm si}(0)} \hspace{0.15cm}\underline{ = 1},$$
	:$$H_{\rm E}(f = {0.5}/T \hspace{-0.15cm} = \hspace{-0.15cm} \frac{\cos^2(\pi/4)}{{\rm si}(\pi/2)}= (\sqrt{2} / 2)^2 \cdot \frac{\pi}{2}		:$$H_{\rm E}(f = {0.5}/T \hspace{-0.15cm} = \hspace{-0.15cm} \frac{\cos^2(\pi/4)}{{\rm si}(\pi/2)}= (\sqrt{2} / 2)^2 \cdot \frac{\pi}{2} = \hspace{-0.15cm} \frac{\pi}{4}\hspace{0.15cm}\underline{ \approx 0.785},$$
	= \hspace{-0.15cm} \frac{\pi}{4}\hspace{0.15cm}\underline{ \approx 0.785},$$
	:$$H_{\rm E}(f = {1}/{T}) = \frac{\cos^2(\pi/2)}{{\rm si}(\pi)} = "0/0"\hspace{0.15cm}\underline{= 0}.$$		:$$H_{\rm E}(f = {1}/{T}) = \frac{\cos^2(\pi/2)}{{\rm si}(\pi)} = "0/0"\hspace{0.15cm}\underline{= 0}.$$

Javier am 13. September 2021 um 09:27 Uhr

2021-09-13T09:27:21Z

← Nächstältere Version		Version vom 13. September 2021, 11:27 Uhr
Zeile 1:		Zeile 1:
			{{quiz-Header\|Buchseite=Lineare zeitinvariante Systeme/Einige systemtheoretische Tiefpassfunktionen}}
	{{quiz-Header\|Buchseite=Lineare zeitinvariante Systeme/Einige systemtheoretische ~~Tiefpassfunktion~~
	}}

	[[Datei:P_ID868__LZI_Z_1_8.png\|right\|frame\|Zum Cosinus–Quadrat–Tiefpass]]		[[Datei:P_ID868__LZI_Z_1_8.png\|right\|frame\|Zum Cosinus–Quadrat–Tiefpass]]

Guenter am 9. September 2021 um 16:44 Uhr

2021-09-09T16:44:15Z

← Nächstältere Version		Version vom 9. September 2021, 18:44 Uhr
Zeile 135:		Zeile 135:


	[[Category:Aufgaben zu Lineare zeitinvariante Systeme\|^1.3 ~~Einige systemtheoretische~~ Tiefpassfunktionen^]]		[[Category:Aufgaben zu Lineare zeitinvariante Systeme\|^1.3 Systemtheoretische Tiefpassfunktionen^]]

Guenter am 24. Oktober 2019 um 15:52 Uhr

2019-10-24T15:52:19Z

Guenter am 24. Oktober 2019 um 15:44 Uhr

2019-10-24T15:44:57Z

← Nächstältere Version		Version vom 24. Oktober 2019, 17:44 Uhr
Zeile 9:		Zeile 9:
	:$$H(f) = H_{\rm S}(f) \cdot H_{\rm E}(f).$$		:$$H(f) = H_{\rm S}(f) \cdot H_{\rm E}(f).$$

	Dieser Frequenzgang wird häufig als $\cos^2$-förmig angenommen (siehe Grafik):		Dieser Frequenzgang wird häufig als  $\cos^2$-förmig angenommen (siehe Grafik):
	* Für  $f \cdot T \ge 1$  ist  $H(f) = 0$.		* Für  $f \cdot T \ge 1$  ist  $H(f) = 0$.
	*Im inneren Bereich gilt  $H(f) = \cos^2(f \cdot T \cdot {\pi}/{ 2} ) .$		*Im inneren Bereich gilt  $H(f) = \cos^2(f \cdot T \cdot {\pi}/{ 2} ) .$
Zeile 20:		Zeile 20:
	Zu beachten ist, dass das Ausgangssignal  $y(t)$  im Gegensatz zur Impulsantwort  $h(t)$  ohne Einheit ist. Durch Anwendung trigonomischer Umformungen kann dieses Signal auch wie folgt dargestellt werden:		Zu beachten ist, dass das Ausgangssignal  $y(t)$  im Gegensatz zur Impulsantwort  $h(t)$  ohne Einheit ist. Durch Anwendung trigonomischer Umformungen kann dieses Signal auch wie folgt dargestellt werden:
	:$$y(t) = {\pi}/{4} \cdot {\rm si}(\pi \cdot {t}/{T} )\cdot		:$$y(t) = {\pi}/{4} \cdot {\rm si}(\pi \cdot {t}/{T} )\cdot
	\big[ {\rm si}\~~left~~(\pi \cdot \left({t}/{T}+ 0.5 \right)		\big[ {\rm si}\big(\pi \cdot \left({t}/{T}+ 0.5 \right)
	\~~right~~)+ {\rm si}\~~left~~(\pi \cdot \left({t}/{T}- 0.5 \right)		\big)+ {\rm si}\big(\pi \cdot \left({t}/{T}- 0.5 \right)
	\~~right~~)\big].$$		\big)\big].$$

	Wählen Sie bei den folgenden Aufgaben die jeweils einfacher handhabbare Gleichung aus.		Wählen Sie bei den folgenden Aufgaben die jeweils einfacher handhabbare Gleichung aus.

	Für die Teilaufgabe '''(3)''' soll vorausgesetzt werden, dass das Signal  $s(t)$  in der Mitte zwischen den beiden Frequenzgängen  $H_{\rm S}(f)$  und  $H_{\rm S}(f)$  ein Rechteckimpuls ist. Demzufolge muss gelten:		Für die Teilaufgabe  '''(3)'''  soll vorausgesetzt werden, dass das Signal  $s(t)$  in der Mitte zwischen den beiden Frequenzgängen  $H_{\rm S}(f)$  und  $H_{\rm S}(f)$  ein Rechteckimpuls ist. Demzufolge muss gelten:
	:$$H_{\rm E}(f) = {\rm si }(\pi f T ) .$$		:$$H_{\rm E}(f) = {\rm si }(\pi f T ) .$$





Zeile 51:		Zeile 54:


	{Berechnen Sie das Ausgangssignal zu den Zeitpunkten  $t = T/2$  und  $t = 1.5 T$.		{Berechnen Sie das Ausgangssignal zu den Zeitpunkten  $t = 0.5 T$  und  $t = 1.5 T$.
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$y(t = 0.5 T) \ = \ $ { 0.5 1% }		$y(t = 0.5 T) \ = \ $ { 0.5 1% }
Zeile 57:		Zeile 60:


	{Berechnen Sie  $y(t)$  für große  $t$-Werte. Geeignete Näherungen sind erlaubt und erwünscht. ~~<br>~~Wie groß ist der Signalwert bei  $t = 10.75 T$?		{Berechnen Sie  $y(t)$  für große  $t$-Werte. Geeignete Näherungen sind erlaubt und erwünscht.  Wie groß ist der Signalwert bei  $t = 10.75 T$?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$y(t = 10.75 T) \ = \ $ { 32 1% } $ \ \cdot \ 10^{-6}$		$y(t = 10.75 T) \ = \ $ { 32 1% } $ \ \cdot \ 10^{-6}$


	{Geben Sie den erforderlichen Empfängerfrequenzgang  $H_{\rm E}(f)$  für  $H_{\rm S}(f)= {\rm si}(πfT)$  an. ~~<br>~~Welche Werte ergeben sich für die angegebenen Frequenzen?		{Geben Sie den erforderlichen Empfängerfrequenzgang  $H_{\rm E}(f)$  für  $H_{\rm S}(f)= {\rm si}(πfT)$  an.  Welche Werte ergeben sich für die angegebenen Frequenzen?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$H_{\rm E}(f=0) \ = \ $ { 1 1% }		$H_{\rm E}(f=0) \ = \ $ { 1 1% }

Guenter am 6. November 2018 um 12:09 Uhr

2018-11-06T12:09:59Z

← Nächstältere Version		Version vom 6. November 2018, 14:09 Uhr
Zeile 74:		Zeile 74:
	===Musterlösung===		===Musterlösung===
	{{ML-Kopf}}		{{ML-Kopf}}
	'''(1)'''  Aus der ersten Gleichung auf der Angabenseite folgt aufgrund der $\rm si$–Funktion direkt $y(t = 0) = 1$ und $y(t = T) = y(t = 2T) = \text{...} =0$.		'''(1)'''  Aus der ersten Gleichung auf der Angabenseite folgt aufgrund der  $\rm si$–Funktion direkt  $y(t = 0) = 1$  und  $y(t = T) = y(t = 2T) = \text{...} =0$.

	Auch aus der zweiten Gleichung erhält man diese Ergebnisse, beispielsweise		Auch aus der zweiten Gleichung erhält man diese Ergebnisse, beispielsweise
	:$$y(t = 0) = {\pi}/{4} \cdot {\rm si}(0)\cdot \left[ {\rm		:$$y(t = 0) = {\pi}/{4} \cdot {\rm si}(0)\cdot \left[ {\rm
Zeile 84:		Zeile 85:


			[[Datei:P_ID871__LZI_Z_1_8_b.png\|right\|frame\|Ausgangssignal des Cosinus–Quadrat–Tiefpasses]]
	'''(2)'''  Zur Berechnung dieser Signalwerte ist die zweite Darstellung besser geeignet:		'''(2)'''  Zur Berechnung dieser Signalwerte ist die zweite Darstellung besser geeignet:
	~~[[Datei:P_ID871__LZI_Z_1_8_b.png\|right\|frame\|Ausgangssignal des Cosinus–Quadrat–Tiefpasses]]~~
	:$$y(t = T/2) = {\pi}/{4} \cdot {\rm si}(\pi/2)\cdot \~~left~~[ {\rm		:$$y(t = T/2) = {\pi}/{4} \cdot {\rm si}(\pi/2)\cdot \big[ {\rm
	si}(\pi)+ {\rm si}(0)\~~right~~].$$		si}(\pi)+ {\rm si}(0)\big].$$

	Mit ${\rm si}(0) = 1$ und ${\rm si}(\pi) = 0$ erhält man so:		Mit ${\rm si}(0) = 1$ und ${\rm si}(\pi) = 0$ erhält man so:
Zeile 97:		Zeile 99:
	{\rm si}(2\pi)+ {\rm si}(\pi)\right] \hspace{0.15cm}\underline{ = 0}.$$		{\rm si}(2\pi)+ {\rm si}(\pi)\right] \hspace{0.15cm}\underline{ = 0}.$$

	Hierbei ist ${\rm si}(\pi) = {\rm si}(2\pi) = 0$ berücksichtigt. Auch ~~zuu~~ den Zeiten $t/T = 2.5, 3.5,\text{ ... }$ gilt $y(t) = 0$, wie ~~nebenstehende~~ Grafik zeigt.		Hierbei ist ${\rm si}(\pi) = {\rm si}(2\pi) = 0$ berücksichtigt. Auch zu den Zeiten $t/T = 2.5, 3.5,\text{ ... }$ gilt $y(t) = 0$, wie obige Grafik zeigt.


Zeile 107:		Zeile 109:
	\cdot t / T )}{ 8 \pi \cdot( t/T )^3}.$$		\cdot t / T )}{ 8 \pi \cdot( t/T )^3}.$$

	Hierbei ist berücksichtigt, dass $\sin(\alpha) \cdot \cos(\alpha) = \sin(2\alpha)/2$ ist. Zum Zeitpunkt $t = 10.75 T$ gilt dann:		Hierbei ist berücksichtigt, dass  $\sin(\alpha) \cdot \cos(\alpha) = \sin(2\alpha)/2$  ist. Zum Zeitpunkt  $t = 10.75 T$  gilt dann:
	:$$\sin(2\pi \cdot t / T ) = \sin (21.5\pi)= \sin (1.5\pi) = -1\hspace{0.3cm}		:$$\sin(2\pi \cdot t / T ) = \sin (21.5\pi)= \sin (1.5\pi) = -1\hspace{0.3cm}
	\Rightarrow \hspace{0.3cm} y(t = 10.75 T) = \frac {1 }{ 8 \pi \cdot( 10.75 )^3} \hspace{0.15cm}\underline{= 32		\Rightarrow \hspace{0.3cm} y(t = 10.75 T) = \frac {1 }{ 8 \pi \cdot( 10.75 )^3} \hspace{0.15cm}\underline{= 32
Zeile 114:		Zeile 116:

	[[Datei:P_ID872__LZI_Z_1_8_d.png\|right\|frame\|Gesuchter Empfängerfrequenzgang]]		[[Datei:P_ID872__LZI_Z_1_8_d.png\|right\|frame\|Gesuchter Empfängerfrequenzgang]]
	'''(4)'''  Der Empfängerfrequenzgang lautet für$\|f \cdot T\| \le 1$ :		'''(4)'''  Der Empfängerfrequenzgang lautet für $\|f \cdot T\| \le 1$ :
	:$$H_{\rm E}(f) = \frac{H(f)}{H_{\rm S}(f)}= \frac{\cos^2(\pi f T		:$$H_{\rm E}(f) = \frac{H(f)}{H_{\rm S}(f)}= \frac{\cos^2(\pi f T
	/2)}{{\rm si}(\pi fT)}.$$		/2)}{{\rm si}(\pi fT)}.$$

Guenter am 6. November 2018 um 12:03 Uhr

2018-11-06T12:03:01Z

← Nächstältere Version		Version vom 6. November 2018, 14:03 Uhr
Zeile 45:		Zeile 45:

	<quiz display=simple>		<quiz display=simple>
	{Berechnen Sie das Ausgangssignal zu den Zeitpunkten $t = 0$ und $t = T$.		{Berechnen Sie das Ausgangssignal zu den Zeitpunkten  $t = 0$  und  $t = T$.
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$y(t = 0) \ = \ $ { 1 1% }		$y(t = 0) \ = \ $ { 1 1% }
Zeile 51:		Zeile 51:


	{Berechnen Sie das Ausgangssignal zu den Zeitpunkten $t = T/2$ und $t = 1.5 T$.		{Berechnen Sie das Ausgangssignal zu den Zeitpunkten  $t = T/2$  und  $t = 1.5 T$.
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$y(t = 0.5 T) \ = \ $ { 0.5 1% }		$y(t = 0.5 T) \ = \ $ { 0.5 1% }
Zeile 57:		Zeile 57:


	{Berechnen Sie $y(t)$ für große $t$-Werte. Geeignete Näherungen sind erlaubt und erwünscht. Wie groß ist der Signalwert bei $t = 10.75 T$?		{Berechnen Sie  $y(t)$  für große  $t$-Werte. Geeignete Näherungen sind erlaubt und erwünscht. <br>Wie groß ist der Signalwert bei  $t = 10.75 T$?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$y(t = 10.75 T) \ = \ $ { 32 1% } $ \ \cdot \ 10^{-6}$		$y(t = 10.75 T) \ = \ $ { 32 1% } $ \ \cdot \ 10^{-6}$


	{Geben Sie den erforderlichen Empfängerfrequenzgang $H_{\rm E}(f)$ für $H_{\rm S}(f)= {\rm si}(πfT)$ an. Welche Werte ergeben sich für die angegebenen Frequenzen?		{Geben Sie den erforderlichen Empfängerfrequenzgang  $H_{\rm E}(f)$  für  $H_{\rm S}(f)= {\rm si}(πfT)$  an. <br>Welche Werte ergeben sich für die angegebenen Frequenzen?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$H_{\rm E}(f=0) \ = \ $ { 1 1% }		$H_{\rm E}(f=0) \ = \ $ { 1 1% }

Guenter am 6. November 2018 um 11:59 Uhr

2018-11-06T11:59:54Z

Mwiki-lnt: Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

2018-05-29T12:02:41Z

Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

← Nächstältere Version		Version vom 29. Mai 2018, 14:02 Uhr
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	*Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Einige_systemtheoretische_Tiefpassfunktionen#Cosinus-Rolloff-Tiefpass\|Cosinus–Rolloff–Tiefpass]].		*Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Einige_systemtheoretische_Tiefpassfunktionen#Cosinus-Rolloff-Tiefpass\|Cosinus–Rolloff–Tiefpass]].
	*Sie können Ihre Ergebnisse mit dem interaktiven Applet [[Applets:Frequenzgang_und_Impulsantwort\|Frequenzgang und Impulsantwort]] überprüfen.		*Sie können Ihre Ergebnisse mit dem interaktiven Applet [[Applets:Frequenzgang_und_Impulsantwort\|Frequenzgang und Impulsantwort]] überprüfen.
	*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes &bdquo;0” erforderlich sein, so geben Sie bitte &bdquo;0.” ein.

← Nächstältere Version		Version vom 24. Oktober 2019, 17:52 Uhr
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	'''(1)'''  Aus der ersten Gleichung auf der Angabenseite folgt aufgrund der  $\rm si$–Funktion direkt  $y(t = 0) = 1$  und  $y(t = T) = y(t = 2T) = \text{...} =0$.		'''(1)'''  Aus der ersten Gleichung auf der Angabenseite folgt aufgrund der  $\rm si$–Funktion direkt  $y(t = 0) = 1$  und  $y(t = T) = y(t = 2T) = \text{...} =0$.

	Auch aus der zweiten Gleichung erhält man diese Ergebnisse, beispielsweise		*Auch aus der zweiten Gleichung erhält man diese Ergebnisse, beispielsweise
	:$$y(t = 0) = {\pi}/{4} \cdot {\rm si}(0)\cdot \left[ {\rm		:$$y(t = 0) = {\pi}/{4} \cdot {\rm si}(0)\cdot \left[ {\rm
	si}(\pi/2)+ {\rm si}(-\pi/2)\right]		si}(\pi/2)+ {\rm si}(-\pi/2)\right]
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	si}(\pi)+ {\rm si}(0)\big].$$		si}(\pi)+ {\rm si}(0)\big].$$

	Mit ${\rm si}(0) = 1$ und ${\rm si}(\pi) = 0$ erhält man so:		*Mit  ${\rm si}(0) = 1$  und  ${\rm si}(\pi) = 0$  erhält man so:
	:$$y(t = T/2) = {\pi}/{4} \cdot {\rm si}(\pi/2)= {\pi}/{4}		:$$y(t = T/2) = {\pi}/{4} \cdot {\rm si}(\pi/2)= {\pi}/{4}
	\cdot \frac{{\rm sin}(\pi/2)}{\pi/2} \hspace{0.15cm}\underline{ = 0.5}.$$		\cdot \frac{{\rm sin}(\pi/2)}{\pi/2} \hspace{0.15cm}\underline{ = 0.5}.$$

	In analoger Weise ergibt sich für $t = 1.5T$:		*In analoger Weise ergibt sich für  $t = 1.5T$:
	:$$y(t = 1.5T) = {\pi}/{4} \cdot {\rm si}(3\pi/2)\cdot \left[		:$$y(t = 1.5T) = {\pi}/{4} \cdot {\rm si}(3\pi/2)\cdot \left[
	{\rm si}(2\pi)+ {\rm si}(\pi)\right] \hspace{0.15cm}\underline{ = 0}.$$		{\rm si}(2\pi)+ {\rm si}(\pi)\right] \hspace{0.15cm}\underline{ = 0}.$$

	Hierbei ist ${\rm si}(\pi) = {\rm si}(2\pi) = 0$ berücksichtigt. Auch zu den Zeiten $t/T = 2.5, 3.5,\text{ ... }$ gilt $y(t) = 0$, wie obige Grafik zeigt.		*Hierbei ist  ${\rm si}(\pi) = {\rm si}(2\pi) = 0$  berücksichtigt.
			*Auch zu den Zeiten  $t/T = 2.5, 3.5,\text{ ... }$  gilt  $y(t) = 0$, wie obige Grafik zeigt.



	'''(3)'''  Für große Werte von $t$ gilt näherungsweise (wenn man die &bdquo;1” im Nenner vernachlässigt):		'''(3)'''  Für große Werte von  $t$  gilt näherungsweise  (wenn man die &bdquo;1” im Nenner vernachlässigt):
	:$$y(t)= {\rm si}(\pi \cdot {t}/{T} )\cdot \frac		:$$y(t)= {\rm si}(\pi \cdot {t}/{T} )\cdot \frac
	{\cos(\pi \cdot t / T )}{1 - (2 \cdot t/T )^2} \approx \frac {\sin(\pi \cdot t / T )\cdot \cos(\pi \cdot t / T		{\cos(\pi \cdot t / T )}{1 - (2 \cdot t/T )^2} \approx \frac {\sin(\pi \cdot t / T )\cdot \cos(\pi \cdot t / T
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	\cdot t / T )}{ 8 \pi \cdot( t/T )^3}.$$		\cdot t / T )}{ 8 \pi \cdot( t/T )^3}.$$

	Hierbei ist berücksichtigt, dass  $\sin(\alpha) \cdot \cos(\alpha) = \sin(2\alpha)/2$  ist. Zum Zeitpunkt  $t = 10.75 T$  gilt dann:		*Hierbei ist berücksichtigt, dass  $\sin(\alpha) \cdot \cos(\alpha) = \sin(2\alpha)/2$  ist.
			*Zum Zeitpunkt  $t = 10.75 T$  gilt dann:
	:$$\sin(2\pi \cdot t / T ) = \sin (21.5\pi)= \sin (1.5\pi) = -1\hspace{0.3cm}		:$$\sin(2\pi \cdot t / T ) = \sin (21.5\pi)= \sin (1.5\pi) = -1\hspace{0.3cm}
	\Rightarrow \hspace{0.3cm} y(t = 10.75 T) = \frac {1 }{ 8 \pi \cdot( 10.75 )^3} \hspace{0.15cm}\underline{= 32		\Rightarrow \hspace{0.3cm} y(t = 10.75 T) = \frac {1 }{ 8 \pi \cdot( 10.75 )^3} \hspace{0.15cm}\underline{= 32
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	[[Datei:P_ID872__LZI_Z_1_8_d.png\|right\|frame\|Gesuchter Empfängerfrequenzgang]]		[[Datei:P_ID872__LZI_Z_1_8_d.png\|right\|frame\|Gesuchter Empfängerfrequenzgang]]
	'''(4)'''  Der Empfängerfrequenzgang lautet für $\|f \cdot T\| \le 1$ :		'''(4)'''  Der Empfängerfrequenzgang lautet für  $\|f \cdot T\| \le 1$:
	:$$H_{\rm E}(f) = \frac{H(f)}{H_{\rm S}(f)}= \frac{\cos^2(\pi f T		:$$H_{\rm E}(f) = \frac{H(f)}{H_{\rm S}(f)}= \frac{\cos^2(\pi f T
	/2)}{{\rm si}(\pi fT)}.$$		/2)}{{\rm si}(\pi fT)}.$$
	Dieser Funktionsverlauf ist in der Grafik dargestellt. Für die gesuchten Stützwerte gilt:		*Dieser Funktionsverlauf ist in der Grafik dargestellt. Für die gesuchten Stützwerte gilt:
	:$$H_{\rm E}(f = 0) = \frac{\cos^2(0)}{{\rm si}(0)} \hspace{0.15cm}\underline{ = 1},$$		:$$H_{\rm E}(f = 0) = \frac{\cos^2(0)}{{\rm si}(0)} \hspace{0.15cm}\underline{ = 1},$$
	:$$H_{\rm E}(f = {0.5}/T \hspace{-0.15cm} = \hspace{-0.15cm} \frac{\cos^2(\pi/4)}{{\rm si}(\pi/2)}= (\sqrt{2} / 2)^2 \cdot \frac{\pi}{2}		:$$H_{\rm E}(f = {0.5}/T \hspace{-0.15cm} = \hspace{-0.15cm} \frac{\cos^2(\pi/4)}{{\rm si}(\pi/2)}= (\sqrt{2} / 2)^2 \cdot \frac{\pi}{2}
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	:$$H_{\rm E}(f = {1}/{T}) = \frac{\cos^2(\pi/2)}{{\rm si}(\pi)} = "0/0"\hspace{0.15cm}\underline{= 0}.$$		:$$H_{\rm E}(f = {1}/{T}) = \frac{\cos^2(\pi/2)}{{\rm si}(\pi)} = "0/0"\hspace{0.15cm}\underline{= 0}.$$

	Bei diesem Ergebnis ist berücksichtigt, dass im gesamten Frequenzbereich $H_{\rm S}(f) \ge H(f) $ gilt. Eigentlich müsste der zuletzt berechnete Wert durch einen Grenzübergang mathematisch-exakt bestimmt werden.		Bei diesem Ergebnis ist berücksichtigt, dass im gesamten Frequenzbereich  $H_{\rm S}(f) \ge H(f) $  gilt. Eigentlich müsste der zuletzt berechnete Wert durch einen Grenzübergang mathematisch-exakt bestimmt werden. Das haben wir auch gemacht, nur nicht in dieser Musterlösung.
	{{ML-Fuß}}		{{ML-Fuß}}

← Nächstältere Version		Version vom 6. November 2018, 13:59 Uhr
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	[[Datei:P_ID868__LZI_Z_1_8.png\|right\|frame\|Zum Cosinus–Quadrat–Tiefpass]]		[[Datei:P_ID868__LZI_Z_1_8.png\|right\|frame\|Zum Cosinus–Quadrat–Tiefpass]]
	Bei der Untersuchung von Digitalsystemen geht man häufig von einem diracförmigen Eingangssignal $x(t) = T \cdot \delta(t)$ aus, so dass $X(f) = T$ gilt. Das Ausgangsspektrum $Y(f)$ ist dann formgleich mit dem Gesamtfrequenzgang von Sende– und Empfangsfilter:		Bei der Untersuchung von Digitalsystemen geht man häufig von einem diracförmigen Eingangssignal  $x(t) = T \cdot \delta(t)$  aus, so dass  $X(f) = T$  gilt.

			Das Ausgangsspektrum  $Y(f)$  ist dann formgleich mit dem Gesamtfrequenzgang von Sende– und Empfangsfilter:
	:$$H(f) = H_{\rm S}(f) \cdot H_{\rm E}(f).$$		:$$H(f) = H_{\rm S}(f) \cdot H_{\rm E}(f).$$

	Dieser wird häufig als $\cos^2$-förmig angenommen (siehe Grafik):		Dieser Frequenzgang wird häufig als $\cos^2$-förmig angenommen (siehe Grafik):
	* Für $f \cdot T \ge 1$ ist $H(f) = 0$.		* Für  $f \cdot T \ge 1$  ist  $H(f) = 0$.
	*Im inneren Bereich gilt $H(f) = \cos^2(f \cdot T \cdot {\pi}/{ 2} ) .$		*Im inneren Bereich gilt  $H(f) = \cos^2(f \cdot T \cdot {\pi}/{ 2} ) .$


	Anzumerken ist, dass die äquivalente Bandbreite $\Delta f = 1/{\Delta t}$ ist. Damit erhält man für die äquivalente ${\Delta t}$ der Impulsantwort ebenfalls $T$ und und es gilt:		Anzumerken ist, dass die äquivalente Bandbreite  $\Delta f = 1/{\Delta t}$  ist. Damit erhält man für die äquivalente  ${\Delta t}$  der Impulsantwort ebenfalls  $T$  und und es gilt:
	:$$y(t) = T \cdot h(t) = {\rm si}(\pi \cdot {t}/{T} )\cdot \frac		:$$y(t) = T \cdot h(t) = {\rm si}(\pi \cdot {t}/{T} )\cdot \frac
	{\cos(\pi \cdot t / T )}{1 - (2 \cdot t/T )^2}.$$		{\cos(\pi \cdot t / T )}{1 - (2 \cdot t/T )^2}.$$

	Zu beachten ist, dass das Ausgangssignal $y(t)$ im Gegensatz zur Impulsantwort $h(t)$ ohne Einheit ist. Durch Anwendung trigonomischer Umformungen kann dieses Signal auch wie folgt dargestellt werden:		Zu beachten ist, dass das Ausgangssignal  $y(t)$  im Gegensatz zur Impulsantwort  $h(t)$  ohne Einheit ist. Durch Anwendung trigonomischer Umformungen kann dieses Signal auch wie folgt dargestellt werden:
	:$$y(t) = {\pi}/{4} \cdot {\rm si}(\pi \cdot {t}/{T} )\cdot		:$$y(t) = {\pi}/{4} \cdot {\rm si}(\pi \cdot {t}/{T} )\cdot
	\~~left~~[ {\rm si}\left(\pi \cdot \left({t}/{T}+ 0.5 \right)		\big[ {\rm si}\left(\pi \cdot \left({t}/{T}+ 0.5 \right)
	\right)+ {\rm si}\left(\pi \cdot \left({t}/{T}- 0.5 \right)		\right)+ {\rm si}\left(\pi \cdot \left({t}/{T}- 0.5 \right)
	\right)\~~right~~].$$		\right)\big].$$

	Wählen Sie bei den folgenden Aufgaben die jeweils einfacher handhabbare Gleichung aus.		Wählen Sie bei den folgenden Aufgaben die jeweils einfacher handhabbare Gleichung aus.

	Für die Teilaufgabe (3) soll vorausgesetzt werden, dass das Signal $s(t)$ in der Mitte zwischen den beiden Frequenzgängen $H_{\rm S}(f)$ und $H_{\rm S}(f)$ ein Rechteckimpuls ist. Demzufolge muss gelten:		Für die Teilaufgabe '''(3)''' soll vorausgesetzt werden, dass das Signal  $s(t)$  in der Mitte zwischen den beiden Frequenzgängen  $H_{\rm S}(f)$  und  $H_{\rm S}(f)$  ein Rechteckimpuls ist. Demzufolge muss gelten:
	:$$H_{\rm E}(f) = {\rm si }(\pi f T ) .$$		:$$H_{\rm E}(f) = {\rm si }(\pi f T ) .$$

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	''Hinweise:''		''Hinweise:''
	*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Einige_systemtheoretische_Tiefpassfunktionen\|Einige systemtheoretische Tiefpassfunktionen]].		*Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Einige_systemtheoretische_Tiefpassfunktionen\|Einige systemtheoretische Tiefpassfunktionen]].
	*Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Einige_systemtheoretische_Tiefpassfunktionen#Cosinus-Rolloff-Tiefpass\|Cosinus–Rolloff–Tiefpass]].		*Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite  [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Einige_systemtheoretische_Tiefpassfunktionen#Cosinus-Rolloff-Tiefpass\|Cosinus–Rolloff–Tiefpass]].
	*Sie können Ihre Ergebnisse mit dem interaktiven Applet [[Applets:Frequenzgang_und_Impulsantwort\|Frequenzgang und Impulsantwort]] überprüfen.		*Sie können Ihre Ergebnisse mit dem interaktiven Applet  [[Applets:Frequenzgang_und_Impulsantwort\|Frequenzgang und Impulsantwort]]  überprüfen.