Aufgaben:Aufgabe 1.8Z: Cosinus-Quadrat-Tiefpass - Versionsgeschichte

Javier am 13. September 2021 um 09:27 Uhr

2021-09-13T09:27:21Z

Guenter am 9. September 2021 um 16:44 Uhr

2021-09-09T16:44:15Z

Guenter am 24. Oktober 2019 um 15:52 Uhr

2019-10-24T15:52:19Z

Guenter am 24. Oktober 2019 um 15:44 Uhr

2019-10-24T15:44:57Z

Guenter am 6. November 2018 um 12:09 Uhr

2018-11-06T12:09:59Z

Guenter am 6. November 2018 um 12:03 Uhr

2018-11-06T12:03:01Z

Guenter am 6. November 2018 um 11:59 Uhr

2018-11-06T11:59:54Z

Mwiki-lnt: Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

2018-05-29T12:02:41Z

Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

Guenter am 16. Februar 2018 um 16:49 Uhr

2018-02-16T16:49:41Z

Guenter am 16. Februar 2018 um 16:35 Uhr

2018-02-16T16:35:59Z

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−	}}

	[[Datei:P_ID868__LZI_Z_1_8.png\|right\|frame\|Zum Cosinus–Quadrat–Tiefpass]]		[[Datei:P_ID868__LZI_Z_1_8.png\|right\|frame\|Zum Cosinus–Quadrat–Tiefpass]]

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−	[[Category:Aufgaben zu Lineare zeitinvariante Systeme\|^1.3 ~~Einige systemtheoretische~~ Tiefpassfunktionen^]]	+	[[Category:Aufgaben zu Lineare zeitinvariante Systeme\|^1.3 Systemtheoretische Tiefpassfunktionen^]]

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 '''(1)'''&nbsp; Aus der ersten Gleichung auf der Angabenseite folgt aufgrund der &nbsp;$\rm si$&ndash;Funktion direkt &nbsp;$y(t = 0) = 1$&nbsp; und &nbsp;$y(t = T) = y(t = 2T) = \text{...} =0$.
-Auch aus der zweiten Gleichung erhält man diese Ergebnisse, beispielsweise
+*Auch aus der zweiten Gleichung erhält man diese Ergebnisse, beispielsweise
 :$$y(t = 0) = {\pi}/{4} \cdot {\rm si}(0)\cdot \left[ {\rm
 si}(\pi/2)+ {\rm si}(-\pi/2)\right]
@@ Zeile 94: / Zeile 94: @@
 si}(\pi)+ {\rm si}(0)\big].$$
-Mit ${\rm si}(0) = 1$ und ${\rm si}(\pi) = 0$ erhält man so:
+*Mit&nbsp; ${\rm si}(0) = 1$&nbsp; und&nbsp; ${\rm si}(\pi) = 0$&nbsp; erhält man so:
 :$$y(t = T/2) =  {\pi}/{4}  \cdot {\rm si}(\pi/2)= {\pi}/{4}
 \cdot \frac{{\rm sin}(\pi/2)}{\pi/2} \hspace{0.15cm}\underline{ = 0.5}.$$
-In analoger Weise ergibt sich für $t = 1.5T$:
+*In analoger Weise ergibt sich für&nbsp; $t = 1.5T$:
 :$$y(t = 1.5T) =  {\pi}/{4}  \cdot {\rm si}(3\pi/2)\cdot \left[
 {\rm si}(2\pi)+ {\rm si}(\pi)\right] \hspace{0.15cm}\underline{ = 0}.$$
-Hierbei ist ${\rm si}(\pi) = {\rm si}(2\pi) = 0$ berücksichtigt. Auch zu den Zeiten $t/T = 2.5, 3.5,\text{ ... }$ gilt $y(t) = 0$, wie obige Grafik zeigt.
+*Hierbei ist&nbsp; ${\rm si}(\pi) = {\rm si}(2\pi) = 0$&nbsp; berücksichtigt.
-'''(3)'''&nbsp; Für große Werte von $t$ gilt näherungsweise (wenn man die &bdquo;1&rdquo; im Nenner vernachlässigt):
+'''(3)'''&nbsp; Für große Werte von&nbsp; $t$&nbsp; gilt näherungsweise&nbsp; (wenn man die &bdquo;1&rdquo; im Nenner vernachlässigt):
 :$$y(t)= {\rm si}(\pi \cdot {t}/{T} )\cdot \frac
 {\cos(\pi \cdot  t / T  )}{1 - (2 \cdot  t/T )^2} \approx  \frac {\sin(\pi \cdot  t / T  )\cdot \cos(\pi \cdot  t / T
@@ Zeile 112: / Zeile 113: @@
 \cdot  t / T  )}{ 8 \pi \cdot( t/T )^3}.$$
-Hierbei ist berücksichtigt, dass &nbsp;$\sin(\alpha) \cdot \cos(\alpha) = \sin(2\alpha)/2$&nbsp; ist. Zum Zeitpunkt &nbsp;$t = 10.75 T$&nbsp; gilt dann:
+*Hierbei ist berücksichtigt, dass &nbsp;$\sin(\alpha) \cdot \cos(\alpha) = \sin(2\alpha)/2$&nbsp; ist.
 :$$\sin(2\pi \cdot  t / T  ) = \sin (21.5\pi)= \sin (1.5\pi) = -1\hspace{0.3cm}
 \Rightarrow  \hspace{0.3cm} y(t = 10.75 T) =    \frac {1 }{ 8 \pi \cdot( 10.75 )^3}  \hspace{0.15cm}\underline{= 32
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 [[Datei:P_ID872__LZI_Z_1_8_d.png|right|frame|Gesuchter Empfängerfrequenzgang]]
-'''(4)'''&nbsp; Der Empfängerfrequenzgang lautet für $|f \cdot T| \le 1$ :
+'''(4)'''&nbsp; Der Empfängerfrequenzgang lautet für&nbsp; $|f \cdot T| \le 1$:
 :$$H_{\rm E}(f)  = \frac{H(f)}{H_{\rm S}(f)}= \frac{\cos^2(\pi f T
   /2)}{{\rm si}(\pi fT)}.$$
-Dieser Funktionsverlauf ist in der Grafik dargestellt. Für die gesuchten Stützwerte gilt:
+*Dieser Funktionsverlauf ist in der Grafik dargestellt. Für die gesuchten Stützwerte gilt:
 :$$H_{\rm E}(f = 0)  = \frac{\cos^2(0)}{{\rm si}(0)} \hspace{0.15cm}\underline{ = 1},$$
 :$$H_{\rm E}(f = {0.5}/T  \hspace{-0.15cm}  =  \hspace{-0.15cm} \frac{\cos^2(\pi/4)}{{\rm si}(\pi/2)}= (\sqrt{2} / 2)^2 \cdot \frac{\pi}{2}
@@ Zeile 128: / Zeile 130: @@
 :$$H_{\rm E}(f = {1}/{T})  = \frac{\cos^2(\pi/2)}{{\rm si}(\pi)} = "0/0"\hspace{0.15cm}\underline{= 0}.$$
-Bei diesem Ergebnis ist berücksichtigt, dass im gesamten Frequenzbereich $H_{\rm S}(f) \ge  H(f) $ gilt. Eigentlich müsste der zuletzt berechnete Wert durch einen Grenzübergang mathematisch-exakt bestimmt werden.
+Bei diesem Ergebnis ist berücksichtigt, dass im gesamten Frequenzbereich&nbsp; $H_{\rm S}(f) \ge  H(f) $&nbsp; gilt. Eigentlich müsste der zuletzt berechnete Wert durch einen Grenzübergang mathematisch-exakt bestimmt werden. Das haben wir auch gemacht, nur nicht in dieser Musterlösung.
 {{ML-Fuß}}

@@ Zeile 9: / Zeile 9: @@
 :$$H(f)  = H_{\rm S}(f) \cdot H_{\rm E}(f).$$
-Dieser Frequenzgang wird häufig als $\cos^2$-förmig angenommen (siehe Grafik):
+Dieser Frequenzgang wird häufig als&nbsp; $\cos^2$-förmig angenommen (siehe Grafik):
 * Für &nbsp;$f \cdot T \ge 1$&nbsp;  ist &nbsp;$H(f) = 0$.
 *Im inneren Bereich gilt &nbsp;$H(f)  = \cos^2(f \cdot T \cdot {\pi}/{ 2}  ) .$
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 Zu beachten ist, dass das Ausgangssignal &nbsp;$y(t)$&nbsp; im Gegensatz zur Impulsantwort &nbsp;$h(t)$&nbsp; ohne Einheit ist. Durch Anwendung trigonomischer Umformungen kann dieses Signal auch wie folgt dargestellt werden:
 :$$y(t) = {\pi}/{4} \cdot {\rm si}(\pi \cdot {t}/{T} )\cdot
-\big[ {\rm si}\left(\pi \cdot \left({t}/{T}+ 0.5 \right)
+\big[ {\rm si}\big(\pi \cdot \left({t}/{T}+ 0.5 \right)
-\right)+ {\rm si}\left(\pi \cdot \left({t}/{T}- 0.5 \right)
+\big)+ {\rm si}\big(\pi \cdot \left({t}/{T}- 0.5 \right)
-\right)\big].$$
+\big)\big].$$
 Wählen Sie bei den folgenden Aufgaben die jeweils einfacher handhabbare Gleichung aus.
-Für die Teilaufgabe '''(3)''' soll vorausgesetzt werden, dass das Signal  &nbsp;$s(t)$&nbsp;  in der Mitte zwischen den beiden Frequenzgängen &nbsp;$H_{\rm S}(f)$&nbsp; und  &nbsp;$H_{\rm S}(f)$&nbsp; ein Rechteckimpuls ist. Demzufolge muss gelten:
+Für die Teilaufgabe&nbsp; '''(3)'''&nbsp; soll vorausgesetzt werden, dass das Signal  &nbsp;$s(t)$&nbsp;  in der Mitte zwischen den beiden Frequenzgängen &nbsp;$H_{\rm S}(f)$&nbsp; und  &nbsp;$H_{\rm S}(f)$&nbsp; ein Rechteckimpuls ist. Demzufolge muss gelten:
 :$$H_{\rm E}(f)  = {\rm  si }(\pi f T  ) .$$
@@ Zeile 51: / Zeile 54: @@
-{Berechnen Sie das Ausgangssignal zu den Zeitpunkten &nbsp;$t = T/2$&nbsp; und  &nbsp;$t = 1.5 T$.
+{Berechnen Sie das Ausgangssignal zu den Zeitpunkten &nbsp;$t = 0.5 T$&nbsp; und  &nbsp;$t = 1.5 T$.
 |type="{}"}
 $y(t = 0.5 T)  \ = \ $  { 0.5 1% }
@@ Zeile 57: / Zeile 60: @@
-{Berechnen Sie &nbsp;$y(t)$&nbsp; für große &nbsp;$t$-Werte. Geeignete Näherungen sind erlaubt und erwünscht. <br>Wie groß ist der Signalwert bei &nbsp;$t = 10.75 T$?
+{Berechnen Sie &nbsp;$y(t)$&nbsp; für große &nbsp;$t$-Werte. Geeignete Näherungen sind erlaubt und erwünscht.&nbsp; Wie groß ist der Signalwert bei &nbsp;$t = 10.75 T$?
 |type="{}"}
 $y(t = 10.75 T) \ = \ $  { 32 1% } $ \ \cdot \ 10^{-6}$
-{Geben Sie den erforderlichen Empfängerfrequenzgang &nbsp;$H_{\rm E}(f)$&nbsp; für &nbsp;$H_{\rm S}(f)= {\rm si}(&pi;fT)$&nbsp; an. <br>Welche Werte ergeben sich für die angegebenen Frequenzen?
+{Geben Sie den erforderlichen Empfängerfrequenzgang &nbsp;$H_{\rm E}(f)$&nbsp; für &nbsp;$H_{\rm S}(f)= {\rm si}(&pi;fT)$&nbsp; an.&nbsp; Welche Werte ergeben sich für die angegebenen Frequenzen?
 |type="{}"}
 $H_{\rm E}(f=0) \ = \ $  { 1 1% }

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 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; Aus der ersten Gleichung auf der Angabenseite folgt aufgrund der $\rm si$&ndash;Funktion direkt $y(t = 0) = 1$ und $y(t = T) = y(t = 2T) = \text{...} =0$.
+'''(1)'''&nbsp; Aus der ersten Gleichung auf der Angabenseite folgt aufgrund der &nbsp;$\rm si$&ndash;Funktion direkt &nbsp;$y(t = 0) = 1$&nbsp; und &nbsp;$y(t = T) = y(t = 2T) = \text{...} =0$.
 Auch aus der zweiten Gleichung erhält man diese Ergebnisse, beispielsweise
 :$$y(t = 0) = {\pi}/{4} \cdot {\rm si}(0)\cdot \left[ {\rm
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 '''(2)'''&nbsp; Zur Berechnung dieser Signalwerte ist die zweite Darstellung besser geeignet:
-[[Datei:P_ID871__LZI_Z_1_8_b.png|right|frame|Ausgangssignal des Cosinus–Quadrat–Tiefpasses]]
-:$$y(t = T/2) =  {\pi}/{4}  \cdot {\rm si}(\pi/2)\cdot \left[ {\rm
+:$$y(t = T/2) =  {\pi}/{4}  \cdot {\rm si}(\pi/2)\cdot \big[ {\rm
-si}(\pi)+ {\rm si}(0)\right].$$
+si}(\pi)+ {\rm si}(0)\big].$$
 Mit ${\rm si}(0) = 1$ und ${\rm si}(\pi) = 0$ erhält man so:
@@ Zeile 97: / Zeile 99: @@
 {\rm si}(2\pi)+ {\rm si}(\pi)\right] \hspace{0.15cm}\underline{ = 0}.$$
-Hierbei ist ${\rm si}(\pi) = {\rm si}(2\pi) = 0$ berücksichtigt. Auch zuu den Zeiten $t/T = 2.5, 3.5,\text{ ... }$ gilt $y(t) = 0$, wie nebenstehende Grafik zeigt.
+Hierbei ist ${\rm si}(\pi) = {\rm si}(2\pi) = 0$ berücksichtigt. Auch zu den Zeiten $t/T = 2.5, 3.5,\text{ ... }$ gilt $y(t) = 0$, wie obige Grafik zeigt.
@@ Zeile 107: / Zeile 109: @@
 \cdot  t / T  )}{ 8 \pi \cdot( t/T )^3}.$$
-Hierbei ist berücksichtigt, dass $\sin(\alpha) \cdot \cos(\alpha) = \sin(2\alpha)/2$ ist. Zum Zeitpunkt $t = 10.75 T$ gilt dann:
+Hierbei ist berücksichtigt, dass &nbsp;$\sin(\alpha) \cdot \cos(\alpha) = \sin(2\alpha)/2$&nbsp; ist. Zum Zeitpunkt &nbsp;$t = 10.75 T$&nbsp; gilt dann:
 :$$\sin(2\pi \cdot  t / T  ) = \sin (21.5\pi)= \sin (1.5\pi) = -1\hspace{0.3cm}
 \Rightarrow  \hspace{0.3cm} y(t = 10.75 T) =    \frac {1 }{ 8 \pi \cdot( 10.75 )^3}  \hspace{0.15cm}\underline{= 32
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 [[Datei:P_ID872__LZI_Z_1_8_d.png|right|frame|Gesuchter Empfängerfrequenzgang]]
-'''(4)'''&nbsp; Der Empfängerfrequenzgang lautet für$|f \cdot T| \le 1$ :
+'''(4)'''&nbsp; Der Empfängerfrequenzgang lautet für $|f \cdot T| \le 1$ :
 :$$H_{\rm E}(f)  = \frac{H(f)}{H_{\rm S}(f)}= \frac{\cos^2(\pi f T
   /2)}{{\rm si}(\pi fT)}.$$

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 [[Datei:P_ID868__LZI_Z_1_8.png|right|frame|Zum Cosinus–Quadrat–Tiefpass]]
-Bei der Untersuchung von Digitalsystemen geht man häufig von einem diracförmigen Eingangssignal $x(t) = T \cdot \delta(t)$ aus, so dass $X(f) = T$ gilt. Das Ausgangsspektrum $Y(f)$ ist dann formgleich mit dem Gesamtfrequenzgang von Sende&ndash; und Empfangsfilter:
+Bei der Untersuchung von Digitalsystemen geht man häufig von einem diracförmigen Eingangssignal &nbsp;$x(t) = T \cdot \delta(t)$&nbsp; aus, so dass &nbsp;$X(f) = T$&nbsp; gilt.
 :$$H(f)  = H_{\rm S}(f) \cdot H_{\rm E}(f).$$
-Dieser wird häufig als $\cos^2$-förmig angenommen (siehe Grafik):
+Dieser Frequenzgang wird häufig als $\cos^2$-förmig angenommen (siehe Grafik):
-* Für $f \cdot T \ge 1$  ist $H(f) = 0$.
+* Für &nbsp;$f \cdot T \ge 1$&nbsp;  ist &nbsp;$H(f) = 0$.
-*Im inneren Bereich gilt $H(f)  = \cos^2(f \cdot T \cdot {\pi}/{ 2}  ) .$
+*Im inneren Bereich gilt &nbsp;$H(f)  = \cos^2(f \cdot T \cdot {\pi}/{ 2}  ) .$
-Anzumerken ist, dass die äquivalente Bandbreite $\Delta f = 1/{\Delta t}$ ist. Damit erhält man für die äquivalente ${\Delta t}$ der Impulsantwort ebenfalls $T$ und und es gilt:
+Anzumerken ist, dass die äquivalente Bandbreite &nbsp;$\Delta f = 1/{\Delta t}$&nbsp; ist. Damit erhält man für die äquivalente &nbsp;${\Delta t}$&nbsp; der Impulsantwort ebenfalls &nbsp;$T$&nbsp; und und es gilt:
 :$$y(t) = T \cdot h(t) = {\rm si}(\pi \cdot {t}/{T} )\cdot \frac
 {\cos(\pi \cdot  t / T  )}{1 - (2 \cdot  t/T )^2}.$$
-Zu beachten ist, dass das Ausgangssignal $y(t)$ im Gegensatz zur Impulsantwort $h(t)$ ohne Einheit ist. Durch Anwendung trigonomischer Umformungen kann dieses Signal auch wie folgt dargestellt werden:
+Zu beachten ist, dass das Ausgangssignal &nbsp;$y(t)$&nbsp; im Gegensatz zur Impulsantwort &nbsp;$h(t)$&nbsp; ohne Einheit ist. Durch Anwendung trigonomischer Umformungen kann dieses Signal auch wie folgt dargestellt werden:
 :$$y(t) = {\pi}/{4} \cdot {\rm si}(\pi \cdot {t}/{T} )\cdot
-\left[ {\rm si}\left(\pi \cdot \left({t}/{T}+ 0.5 \right)
+\big[ {\rm si}\left(\pi \cdot \left({t}/{T}+ 0.5 \right)
 \right)+ {\rm si}\left(\pi \cdot \left({t}/{T}- 0.5 \right)
-\right)\right].$$
+\right)\big].$$
 Wählen Sie bei den folgenden Aufgaben die jeweils einfacher handhabbare Gleichung aus.
-Für die Teilaufgabe (3) soll vorausgesetzt werden, dass das Signal  $s(t)$  in der Mitte zwischen den beiden Frequenzgängen $H_{\rm S}(f)$ und  $H_{\rm S}(f)$ ein Rechteckimpuls ist. Demzufolge muss gelten:
+Für die Teilaufgabe '''(3)''' soll vorausgesetzt werden, dass das Signal  &nbsp;$s(t)$&nbsp;  in der Mitte zwischen den beiden Frequenzgängen &nbsp;$H_{\rm S}(f)$&nbsp; und  &nbsp;$H_{\rm S}(f)$&nbsp; ein Rechteckimpuls ist. Demzufolge muss gelten:
 :$$H_{\rm E}(f)  = {\rm  si }(\pi f T  ) .$$
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 ''Hinweise:''
-*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Einige_systemtheoretische_Tiefpassfunktionen|Einige systemtheoretische Tiefpassfunktionen]].
+*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Einige_systemtheoretische_Tiefpassfunktionen|Einige systemtheoretische Tiefpassfunktionen]].
-*Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite  [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Einige_systemtheoretische_Tiefpassfunktionen#Cosinus-Rolloff-Tiefpass|Cosinus&ndash;Rolloff&ndash;Tiefpass]].
+*Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite&nbsp;  [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Einige_systemtheoretische_Tiefpassfunktionen#Cosinus-Rolloff-Tiefpass|Cosinus&ndash;Rolloff&ndash;Tiefpass]].
-*Sie können Ihre Ergebnisse mit dem interaktiven Applet [[Applets:Frequenzgang_und_Impulsantwort|Frequenzgang und Impulsantwort]] überprüfen.
+*Sie können Ihre Ergebnisse mit dem interaktiven Applet &nbsp;[[Applets:Frequenzgang_und_Impulsantwort|Frequenzgang und Impulsantwort]]&nbsp; überprüfen.